Icertdumbre de la medda. MEDIDAS, ICERTIDUMBRE, ERRORES Al realzar el proceo de medcó, el valor obtedo y agado a la medda dferrá probablemete del valor verdadero debdo a caua dvera, algua de la cuale ombraremo má adelate. El llamado valor verdadero e e realdad u cocepto puramete teórco y abolutamete acceble. E el proceo de medcó úcamete pretedemo etmar de forma aproxmada el valor de la magtud medda. Para ello debemo dar u úmero co u udade y ua etmacó del error. Dcho de otra maera el reultado de cualquer medda e empre certo y a lo má que podemo aprar e a etmar u grado de certdumbre. Errore de la medda. Llamamo error de ua medda a la dcrepaca etre el valor verdadero de la magtud y el valor meddo. Eta dcrepaca puede er debda a dvera caua. Errore temátco. Sería debdo a caua que podría er cotrolada o elmada. Por ejemplo medda realzada co u aparato averado, o mal calbrado. La fuete del error podría elmare uado u aparato que fucoae correctamete o calbrádolo adecuadamete ate de medr. Ete tpo de errore o erá aalzado e ete capítulo. Errore aleatoro. So fruto del azar o de caua que o podemo cotrolar. Como coecueca de ello, repetmo ua medda certo úmero de vece e codcoe reproducble, o obtedremo empre el mmo valor, o que obtedremo u cojuto de valore que e dtrburá probablítcamete. Eta dtrbucó de valore puede er aalzada por método etadítco y eto o permtrá objetvar u valor probable y ua certdumbre de la medda. Error aboluto. El error de ua medcó o puede calculare, o ólo etmare, lo mmo que el propo valor de la medda. Lo que í podremo por medo del aál etadítco de la medcoe e llegar a etmar que el valor má probable de la medda e x y que el valor verdadero etaría compreddo e el tervalo x x y x + x co ua certa probabldad. El valor de x (empre mayor que 0) e a lo que llamamo error aboluto. Error relatvo. El error relatvo e ε r = x/x. aturalmete, cuato meor ea ε r, meor erá la certdumbre de la medda. El error relatvo e uele exprear també e forma porcetual: x ε r = 00 x %. Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága
Para exprear umércamete el reultado de ua medda x ha de empleare u úmero de cfra que depede del error x. Cocretamete o debería utlzare cfra de orde feror a al de la cfra de mayor orde del error aboluto. Veamo ejemplo: de u cojuto de medcoe obteemo u valor medo de 474.370 co u error etmado de ± 0.05; el orde del error e de cetéma, por lo tato o deberíamo utlzar e la expreó del reultado cfra de meor orde que la cetéma. Aí pue, la forma correcta de exprear el reultado erá: 474.33 ± 0.05 e cluo ería correcto també o epecfcar el error aboluto dcado que la 5 cfra del valor o cfra gfcatva; e ete cao e etede que el error e de la mtad de ua udad de orde feror del valor expreado. Por ejemplo: u valor -4.47 co 5 cfra gfcatva lo debemo terpretar como que el error aboluto etmado e de ± 0.05. Redodeo. S 474.370 e el valor obtedo e u proceo de medcó y el úmero de cfra gfcatva e 5 (474.3), debemo redodear el valor a la cetéma, que e ete cao e. Para ello el valor de la cfra de orde feror (e ete cao la mléma) e mayor que 5, la últma cfra gfcatva e cremeta e ua udad (e ete cao, el e camba por u 3 y el reultado lo exprearíamo por 474.33). Otro ejemplo: -3.34 co 4 cfra gfcatva hay que redodearla a la décma, que e ete cao e 3. Para ello, la cfra de orde feror (e ete cao la cetéma) e meor que 5, la ultma cfra gfcatva o e camba y el reultado e exprearía por -3.3. Eta regla e de etdo comú. Otro ejemplo:.985 ± 0.06 habría que redodearlo a la cetéma y la cfra de meor orde (mléma) e gual a 5, la últma cfra gfcatva e deja gual e par y e cremeta e ua udad e mpar. E ete cao, como e u 8, e deja gual:.98. El reultado -45.55 co 4 cfra gfcatva e exprearía por -45.6. Eta últma regla e puramete covecoal, que o aegura repartr la devacoe e exceo o e defecto de forma etadítca equlbrada. Valor de ua medda y u error Ua forma de lmtar lo errore aleatoro e reptedo vara vece la medcó. Supogamo que lo reultado ucevo ha do: x, x, x 3,... x. Parece lógco (y aí e ha covedo hacer) atrbur a la medda e el valor medo, e decr: x = = x () el valor aí obtedo habremo de trucarlo y redodearlo e fucó del error etmado. El error que atrbumo a la medda e la llamada devacó etádar o devacó típca: σ = = ( x x) (), o be: σ = = ( x x) - (3) S el úmero e grade la expreoe () y (3) da valore muy próxmo, pero e el cao de que ólo e hubera hecho ua medcó, la expreó daría u valor del error 0, Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága
e cambo la expreó (3) ería 0/0, e decr u valor determado. Eto e mucho má lógco y por eo e prefere la (3) como expreó del error. La expreó del valor atrbudo a ua medda y de u error, e baa e el hecho de que cuado la dperó de lo valore e debda a mucha caua depedete etre í, lo valore obtedo e la uceva medcoe etará dtrbudo etadítcamete egú lo que e llama dtrbucó ormal. S tomamo uo eje de coordeada repreetado e abca valore poble de x y e ordeada la dedad de probabldad, f(x), e decr la probabldad, por udad de tervalo de valore de x, o ea, dp f(x) = dx, edo dp la probabldad de que el valor obtedo e la medcó eté compreddo etre x-dx y x+dx, la gráfca erá como la que vemo e la fgura. Eta curva e forma de campaa recbe el ombre de campaa de Gau y tee etre otra la guete propedade: + p = f(x).dx = e decr, la probabldad p de obteer u valor compreddo etre y + e aturalmete (certeza); + p = σ f(x).dx = 0. 638% σ, o ea, cuado hacemo u gra úmero de medcoe de ua magtud, e de eperar que el 63.8 % de lo valore obtedo etará compreddo etre x σ y x + σ. De la mma maera el 95.4 % de lo valore etaría compreddo e el tervalo ( x σ x + σ) y el 99.7 %, e el tervalo ( x 3 σ x + 3σ), etc.. Hay que decr que u cojuto de medda de ua magtud o empre tee ua dtrbucó ormal como la que acabamo de expoer. Puede haber factore fluyete o aleatoro o o depedete y la curva de dedad de probabldad o erá ua campaa de Gau, o que puede er ua curva o métrca, co varo máxmo etc. Errore de lectura. Sebldad Supogamo u trumeto de medda, que fucoa correctamete, e dgtal y de cuatro dígto má la coma decmal. Co él queremo medr ua magtud de la que coocemo ua etmacó de u error. Por ejemplo = 0.005 udade. El reultado eperamo que ea del orde de ceto de udade. Qué ocurrrá? Como vemo el error etmado prevamete e meor que ua udad de la últma cfra de la patalla de lectura (la décma), por lo tato el valor obtedo al repetr el proceo de medcó erá empre exactamete el mmo. Podemo decr que el trumeto e cuetó tee poca ebldad para aprecar el valor de la magtud medda. Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága 3
Llamamo ebldad,, de u trumeto de medda al valor de dvó má pequeña de la ecala, e trata de u trumeto aalógco o el valor de ua udad del dígto má a la derecha de la patalla de lectura. La aprecacó e la mtad de la ebldad: /. El error de lectura, aálogo a la devacó etádar,,de la medda por caua aleatora e codera gual a 3. S e ua medda e verfca que << 3, el error total e puede coderar 3. Por el cotraro, >> 3, el error total e codera gual a. E el cao e que y ea comparable, el error total e la uma + 3. Propagacó de lo errore. Frecuetemete lo valore de vara magtude, obtedo e proceo de medda y por lo tato co u error aocado, e tee que combar e ua fucó cuyo valor e determa matemátcamete a partr de lo valore de la varable. El valor de la fucó calculado etará por lo tato afectado por u error que erá a u vez fucó de lo errore de la varable. La varable medda puede er depedete o o. Por ejemplo: el volume de u depóto de forma de u paralelepípedo e determará mdedo la 3 arta a, b y c. La varable a, b y c o depedete, cada ua etará afectada por u error y por lo tato el valor de la fucó volume, V=a.b.c, etará afectada por u error que depederá de lo errore de a, b y c. Otro ejemplo: upogamo que certa fucó bológca la queremo relacoar co la varable altura y peo, para ello debemo medr eta do varable co el correpodete error. S embargo, altura y peo o depedete, ya que etadítcamete obervaríamo que geeralmete la peroa má alta també tee má peo. Por el mometo o referremo al cao má ecllo de varable depedete. Supogamo ua fucó de ua ola varable y=f(x). El valor de la dx e u puto abemo que e puede terpretar como la rapdez co que varía y al varar lgeramete la x. Podemo terpretar que la pequeña varacó de x e el error de eta varable, x, por lo que el error que podemo aocar a la y, y, e puede exprear aí: y = x dx (4) dode e el valor aboluto de la e el puto x. S la fucó y lo e de vara dx dx varable x, x,.., depedete, tedremo que la expreó geeral del error erá: y = x + x +... = x ι x x x (5) dode la o lo valore aboluto de la dervada parcale x e el puto (x, x x,..,). Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága 4
Ajute por mímo cuadrado. E mucho cao medmo certo úmero de pare de valore de la magtude (x, y) y, a partr de dcho valore, o terea etablecer ua relacó matemátca etre eta varable. Supogamo que, por razoe teórca, dcha relacó creemo que debe er leal, e decr, del tpo y=a+bx. o terea etmar lo valore de lo coefcete a y b de de forma que la fucó y=a+bx repreete de lo má adecuadamete poble la relacó etre x e y. Se codera como crtero razoable que ea míma la uma de lo cuadrado de la dfereca etre lo valore meddo, y, y lo obtedo obre la recta ajutada, a+bx. E decr, e trata de que e haga míma S, dode: S = = (y ax b) (6) S = 0 Para ello deberá verfcare que a y gualádola a 0, reulta eta do codcoe: S b = 0. Hallado eta dervada e a x + b x = x = = = y a x + b. = y (7) y = = (8) y depejado a y b e el tema de ecuacoe (7) y (8): x y = a = x = x y = = x = y a x = = b = (9) y (0) y E la fgura vemo la repreetacó de 6 medda (rombo egro) dtrbuda e forma dpera a u lado y otro de la recta ajutada por mímo cuadrado. Fgura Recta x Veamo u ejemplo umérco: teemo ua tabla de valore obtedo de forma expermetal (tabla ) y queremo ajutar ua recta por el método decrto: x y x y 0.5. 3.0 6.0.0.0 3.5 6.9.5.9 4.0 8..0 4. 4.5 9..5 4.8 Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága 5
Fudameto Fíco de la Iformátca. Capítulo 3. Pága 6