E DECOHERENCIA INDUCIDA POR EL ENTORNO EN PEQUEÑOS SISTEMAS CUÁNTICOS Besabé C. Aguar Álvarez Trabajo F de Grado Tuor: Saago Brouard Marí Deparameo de Físca Fudameal II z Uversdad de La Lagua
1 Summary Quaum sysems ca oly rarely be cosdered as solaed from her evromes. Parcles or phoos are usually coupled o oher sysems ha affec her dyamcs, somemes a very mpora ad drasc maer. The evrome of a charged parcle or sysem of parcles, for sace, s he elecromagec feld whch ca o be swched off ad always affecs he dyamcs of he parcle or parcles eve hough s s vacuum sae (o phoos). The mere exsece of he couplg o he elecromagec feld s resposble for he eveual decay of exced sysems ad subseque emsso of a phoo or several phoos. The measureme of a gve observable of a sysem s aoher smple example where he couplg of a (small) quaum sysem o a larger (deecor) sysem affecs s dyamcs a crcal maer, producg he collapse of he wave fuco o a egesae or a se of egesaes assocaed o he measured quay. Ths projec focuses o he sudy of he dyamcs of a quaum sysem eracg wh a evrome or a macroscopc/classcal deecor. I parcular I wll be eresed descrbg he decoherece effec duced by he evrome, he decay of he coherece elemes of he desy marx descrbg he sysem a gve bass. The ma objecve s o oba he maser equao ha descrbes he evoluo of a small quaum sysem A he presece of a larger sysem (reservor) R. I parcular, he maser equao s obaed ad suded for small quaum sysems such as wo ad hree-level aoms. The maser equao for he sysem A s obaed deal he bass of eergy egesaes of he sysem A, where he evoluo of populaos ad cohereces s evaluaed. The dyamcs of he sysem A + R s descrbed frs usg he Schrodger equao a eraco pcure, where he free Hamloa of sysem A ad evrome R s elmaed ad oly he relave dyamcs wh respec o he free moo s descrbed. Takg o accou ha geeral s o ecessary o have a complee or dealed kowledge of he dyamcs of he evrome, a race operaor s performed o he desy marx of he complee sysem o keep oly a reduced desy operaor for sysem A. Some approxmaos ad assumpos are used o oba he maser equao, of whch oly he more mpora oes wll be meoed hs summary. Frsly, he Vo Newma equao s formally egraed by erao where oly erms up o he secod order he eraco V bewee he wo subsysems are kep. Secodly, a Markova reservor s assumed so ha he egro-dffereal equao we are dealg wh s rewre as a dffereal equao, whch allows oe o calculae he fuure evoluo of he sysem A from he kowledge of he sae of he sysem a he prese me, o depedg o he pas hsory. Thrdly, whe dealg wh he se of coupled dffereal equaos s show ha oly populaos ad/or cohereces ha evolve freely wh smlar frequeces (smlar wh he rage 1/ ) affec each oher's dyamcs. A secular approxmao s made whch cosss o keepg each dffereal equao erms ha evolve freely wh almos he same frequecy. The, he maser equao s derved for a wo-level aom coupled o he radao feld. A que geerc sae for he radao feld s cosdered, wh s reduced desy marx σ R
2 correspodg o a cosa of moo for he solaed radao feld, wh Hamloa H R ([σ R, H R ] = ). The parcular case of he vacuum sae of he radao feld s cosdered separaely. To go furher hs parcular case of wo levels he asympoc values of he populaos s obaed as me goes o fy ad s suded how decoherece s duced he sysem A. A maser equao s ex derved for a hree level aomc sysem. The se of equaos for populaos ad cohereces he eergy bass s obaed ad suded more deal for hree dffere cases. The hree cases are suded as wheher decoherece appears or o ad whch are he asympoc values of populaos ad cohereces: 1) The dfferece bewee he eerges of he levels are all dffere ad o zero (o degeeracy s allowed). The populaos are decoupled from he cohereces accordg o he secular approxmao. A expresso s obaed for he asympoc values of populaos whereas cohereces (all decoupled from he res) are show o go o zero (decoherece). 2) The eerges of he levels are dsrbued equdsaly, so wo of he Bohr frequeces are equal ad dffere o he hrd (ad also o zero). I hs case, he asympoc populaos are evaluaed he same way as before, ad all he cohereces are show o go o zero as well (decoherece). 3) Two of he eergy levels are degeerae, so oe of he Bohr frequeces s zero ad he oher wo are boh equal ad o zero. Oe of he cohereces s coupled o he populaos sce s free evoluo frequecy s zero. I hs case populaos are coupled o hs coherece ad her asympoc values are obaed. The res of he cohereces go o zero as me goes o fy bu o complee decoherece s observed sce oe of he cohereces wll geeral have a o zero value.
3 Ídce Iroduccó 4 Dámca de u ssema pequeño A e preseca de u baño R: ecuacó maesra....5 1. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN MAESTRA.5 2. ECUACIÓN MAESTRA PROYECTANDO EL OPERADOR DENSIDAD REDUCIDO EN LA BASE DE ESTADOS DE ENERGÍA 9 3. ECUACIÓN MAESTRA PARA UN SISTEMA ATÓMICO DE DOS NIVELES ACOPLADO AL CAMPO DE RADIACIÓN..15 3.1 Ecuacó maesra para la emsó espoáea e u campo de radacó e el esado de vacío.16 3.2 Ecuacó maesra cluyedo absorcó y emsó esmulada por u campo de radacó de bada acha.. 18 4. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN MAESTRA PARA UN SISTEMA ATÓMICO DE TRES NIVELES..22 Coclusoes.. 3 Bblografía.31
4 Iroduccó U ema de basae erés e el campo de la mecáca cuáca es el esudo del mecasmo por el cual ocurre la rascó cuáco-clásca. La mecáca cuáca ee u domo de aplcacó basae amplo y sus predccoes cocuerda co los expermeos co gra precsó, s embargo exse cera ambgüedad cuado se quere esablecer la froera ere lo que se cosdera cuáco y lo que se pesa que es clásco. Ua explcacó para esa rascó de lo cuáco a lo clásco podría ser que los ssemas macroscópcos, debdo a su eraccó co el eoro, se compora de maera clásca. La eraccó de u ssema cuáco abero co el eoro produce decohereca, eso es, la pérdda de cohereca. La decohereca puede defrse como la pérdda de las propedades cuácas de u ssema por eraccó co los alrededores, es decr, como u esado cuáco erelazado puede dar lugar a u esado físco clásco o erelazado. El problema de la medda sempre ha esado presee e la mecáca cuáca. Surge la pregua de cómo es posble explcar, e ua medcó cuáca, el valor defdo de los observables del aparao macroscópco, s desde el puo de vsa cuáco el ssema se ecuera e ua superposcó de esados. Ua de las prmeras explcacoes fue la erpreacó de Copehague, propuesa por Nels Bohr, que asumó que el resulado de u aparao debería de ser clásco. Wojcech Huber Zurek [1] jugó u mporae papel co su rabajo sobre decohereca cuáca, ya que preparó el camo haca la compresó de cómo el mudo clásco emerge de la mecáca cuáca. Zurek desarrolló la dea de que los ssemas macroscópcos, como los aparaos de medcó, uca esá aslados so que eracúa sgfcavamee co su eoro. Ese rabajo esá cerado e esudar la decohereca e el proceso de eraccó de u ssema co su eoro. El objevo es defr e dealle la ecuacó maesra que descrbe la evolucó de u ssema cuáco pequeño A e eraccó co ssemas que hace el papel de eoro o deecor (aparao de medda). E parcular se obee la ecuacó maesra para u ssema de dos veles y se esuda cómo se duce decohereca e el ssema A. També se derva y dscue la ecuacó para u ssema de res veles dode se aalza dferees casos e fucó de que muesre o o decohereca. E érmos de las marces desdad, la pérdda de cohereca equvale a la desaparcó de elemeos o dagoales, por lo que basa co esudar s las coherecas se va a cero e u empo lo sufceemee largo. De esa maera, se comprueba s el acoplameo del ssema co el baño produce o o decohereca e ua deermada base, que e ese caso será la de auoesados del Hamloao del ssema aslado A.
5 Dámca de u ssema pequeño A e preseca de u baño R: ecuacó maesra 1. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN MAESTRA Se cosdera u ssema cuáco A + R cosudo por dos subssemas, uo de ellos (A) co u úmero reducdo de grados de lberad e comparacó co el oro (R) que se deoma baño [2]. El Hamloao del ssema oal será H = H A + H R + V, (1.1) dode V descrbe la eraccó ere A y R, de maera que el operador desdad ρ del ssema oal obedece la ecuacó de evolucó d ρ() = 1 [H, ρ()]. (1.2) ħ Hacedo uso del cambo de represeacó (mage de eraccó) Ψ () = U Ψ() = e (H A+H R )/ħ Ψ() = e H /ħ Ψ(), dode U es u operador uaro, UU + = U + U = 1, se ee para la ecuacó de evolucó (1.2) ρ () = Uρ()U +, d ρ() = 1 1 [H, ρ()] = [Hρ() ρ()h] = ħ ħ = 1 ħ [(H + V)U + ρ ()U U + ρ ()U(H + V)] = = 1 ħ [H U + ρ ()U + VU + ρ ()U U + ρ ()UH U + ρ ()UV] = = 1 ħ [U+ H ρ ()U + VU + ρ ()U U + ρ ()H U U + ρ ()UV] = Por oro lado y eedo e cuea = 1 ħ [VU+ ρ ()U U + ρ ()UV] = 1 ħ [U+ UVU + ρ ()U U + ρ ()UVU + U] = = 1 ħ [U+ V ()ρ ()U U + ρ ()V ()U]. (1.3) d ρ() = d [U+ ρ ()U] = du+ du + la ecuacó (1.4) queda dρ () (ρ ()U) + U+ (U) + U + ρ () du, (1.4) = d (e H ħ) = e H ħ ( H ħ ) = U+ ( H ħ ) du = d (eh /ħ ) = e H /ħ ( H ħ ) = U (H ħ ),
6 d ρ() = U+ ( H dρ () ) (ρ ()U) + U+ ħ Falmee se obee para la ecuacó de evolucó de ρ () U + U + ρ ()U ( H ħ dρ () ) = U+ U. co d ρ () = 1 ħ [V (), ρ ()], (1.5) ρ () = e (H A+H R )/ħ ρ()e (H A+H R )/ħ (1.6. a) Iegrado la ecuacó (1.5) ere y +, V () = e (H A+H R )/ħ Ve (H A+H R )/ħ. (1.6. b) De gual forma, + d ρ ( ) = 1 ħ ρ ( + ) = ρ () + 1 ħ + + [V ( ), ρ ( )], ρ ( ) = ρ () + 1 ħ [V ( ), ρ ( )]. [V ( ), ρ ( )]. (1.7) Icluyedo esa úlma expresó e (1.7) y esablecedo que ρ () = ρ ( + ) ρ (), ρ () = 1 ħ = 1 ħ = 1 ħ + + + [V ( ), ρ ( )] = [V ( ), ρ () + 1 ħ [V ( ), ρ ( )]] = [V ( ), ρ ()] + ( 1 ħ ) 2 + [V ( ), [V ( ), ρ ( )]]. (1.8) Lo que eresa es la evolucó del ssema A. El operador desdad reducdo σ de A se obee como σ () = Tr R [ρ ()], de maera que, omado la raza co respeco a R de la ecuacó (1.8) σ () = 1 ħ + ( 1 ħ ) 2 + Tr R [V ( ), ρ ()] + + Tr R [V ( ), [V ( ), ρ ( )]]. (1.9) El baño por su pare esá descro por el operador desdad reducdo σ R() = Tr A [ρ ()]. Ieresa la suacó e que la varacó de σ R() debdo al acoplameo co A sea pequeña. Como prmera aproxmacó, σ R() puede cosderarse como ua cosae e la represeacó de eraccó σ R() σ R() = σ R, (1.1) y se asume que el baño esá e u esado esacoaro, es decr que σ R comua co H R [σ R, H R ] =. (1.11)
7 σ R o ee elemeos dagoales ere auoesados de H R co dferees auovalores y puede cosderarse como ua mezcla esadísca de auoesados de H R co pesos p H R = E, (1.12) σ R = p. (1.13) La eraccó V ere A y R se omará como el produco de u observable A de A y u observable R de R V = AR. (1.14) E la represeacó de eraccó V () = A ()R (), (1.15) co A () = e HA/ħ Ae H A/ħ (1.16) R () = e H R ħre R ħ. (1.17) Se asume ambé que el valor medo de R e el esado σ R de R es, Tr[σ R R] = Tr[σ R R ()] =, (1.18) y eedo e cuea (1.17), (1.11) y la varaca de la raza de u produco e ua permuacó cíclca, se sgue que, para odo el valor medo e σ R del acoplameo V () es. Tr R [σ R V ()] = A ()Tr[σ R R ()] =. (1.19) Se cosdera ahora g(, ) = Tr[σ R R ( )R ( )] (1.2) gual al valor medo e el esado σ R de u produco de dos observables R ( ) y R ( ) omados e dos empos dferees y dode g(, ) depede solo de τ =, Tr R [σ R R ( )R ( )] = Tr R [σ R e H R ħre H R ħ = Tr R [σ R e H R ħre H R( ) ħre H R ħ] = = Tr R [σ R e H R ħe H R ħre H R( ) ħr] = e H R ħ Re H R ħ] = = Tr R [σ R e H R( ) ħre H R( ) ħr] = Tr R [σ R e H Rτ ħre H Rτ ħr] = = Tr R [σ R R (τ)r ()] = g(τ). (1.21) S se susuye σ R = p e la ecuacó aeror g(τ) = Tr {p R (τ)r () } = Tr p e H Rτ ħre H Rτ ħr () = = p e H Rτ ħr e H Rτ ħr () = = p e E τ ħr e E τ ħr = = p e ω τ R e ω τ R = p R 2 e ω τ dode se ha esablecdo R R, ω ω ω y ω E ħ., (1.22)
8 Como p y R 2 so reales, esá claro de (1.22) que g( τ) = g(τ). (1.23) (1.22) muesra que g(τ) es ua superposcó de expoecales osclado a dferees frecuecas de Bohr ω de R. Como R es u baño, ee u cojuo deso de veles de eergía y, por ao, u especro cas couo de frecuecas de Bohr. Para dervar la ecuacó maesra para σ se ha de roducr varas aproxmacoes. S V es basae pequeño y s es sufceemee coro comparado co la evolucó de empo T R de σ, se puede gorar la evolucó de ρ ere y e el úlmo érmo de (1.9) y reemplazar ρ ( ) por ρ (). Tal aproxmacó es equvalee a ua eracó de (1.7), dode solo los érmos hasa segudo orde e V se maee. Después de esa aproxmacó, el lado derecho de (1.9) coee sólo ρ (), que puede escrbrse e la forma ρ () = Tr R ρ () Tr A ρ () + ρ correl (), (1.24) dode ρ correl () es gual a la dfereca ere ρ () y el produco de los operadores de desdad reducdos de A y R. ρ correl () descrbe las correlacoes que exse ere A y R a empo. Para prosegur co la obecó de la ecuacó maesra, se va a asumr que esas correlacoes desaparece rápdamee e comparacó co el empo de evolucó de A, por lo que o se ee e cuea la corbucó de ρ correl () a σ (). Tal aproxmacó es equvalee a escrbr ρ () = σ () σ R. (1.25) Las aproxmacoes roducdas esá basadas e la codcó de que T R y que τ c, lo que mplca la exseca de dos escalas de empo muy dferees T R τ c τ c T R. (1.26) S e (1.9) se reemplaza ρ ( ) y ρ () por (1.25) y se dvde ambos lados de la ecuacó ere, se obee σ = 1 1 ħ + Tr R [V ( ), σ () σ R ] + 1 ( 1 ħ ) 2 + y eedo e cuea que el prmer érmo es cero segú (1.19) σ = 1 1 ħ 2 + Tr R [V ( ), [V ( ), σ ( ) σ R ]], Tr R [V ( ), [V ( ), σ () σ R ]]. (1.27) El rmo de varacó σ / se llama rmo de varacó de grao grueso porque puede cosderarse el empo promedo del rmo saáeo dσ / sobre u ervalo, σ σ ( + ) σ () = = 1 + dσ. (1.28)
9 Todas las varacoes rápdas del rmo saáeo que ocurre e ua escala de empo más pequeña que se suavza e promedo. El hecho de que σ / depeda sólo del esado σ () del ssema A a empo sgfca que, examado co u empo de resolucó que o es muy grade, la evolucó de A depede sólo del presee y o del pasado (proceso Markovao). La egral de (1.27) depede del baño sólo a ravés de g(τ) o g( τ), co τ =. Como g(τ) decrece muy rápdamee co τ, es coveee cambar las varables de egracó e (1.27), pasado de las varables y a las varables τ y. Para u valor fjado τ, se puede egrar sobre de + τ a +, luego se egra sobre τ de a, que da + = dτ +. (1.29) +τ Como g(τ) y g( τ) so desprecables para τ τ c, la úca regó del domo de egracó dode el egrado es dso de cero es ua esrecha bada de acho del orde de τ c. Como τ c, se comee u error desprecable s el líme superor de la egral e τ de (1.29) se exede hasa + y s el líme feror de la egral sobre se exede a. S se expade el doble comuador de (1.27), y usado (1.15) se ee, Tr R [ A ( )R ( ), [ A ( )R ( ), σ () σ R ]] = = Tr R [A ( )R ( )A ( )R ( )σ ()σ R A ( )R ( )σ ()σ R A ( )R ( ) A ( )R ( )σ ()σ R A ( )R ( ) + σ ()σ R A ( )R ( )A ( )R ( )] = = Tr R [R ( )R ( )σ R ]A ( )A ( )σ () Tr R [R ( )σ R R ( )]A ( )σ ()A ( ) Tr R [R ( )σ R R ( )]A ( )σ ()A ( ) + Tr R [σ R R ( )R ( )]σ ()A ( )A ( ) = = g(τ)a ( )A ( τ )σ () g( τ)a ( )σ ()A ( τ ) g(τ)a ( τ )σ ()A ( ) + g( τ)σ ()A ( τ )A ( ), dode se ha hecho el cambo τ = ; = τ y se ha edo e cuea (1.21). Falmee se obee, σ = 1 + ħ 2 dτ 1 {g(τ)[a ( )A ( τ)σ () A ( τ)σ ()A ( )] + +g( τ)[σ ()A ( τ)a ( ) A ( )σ ()A ( τ)]} (1.3) Para segur co el esudo, covee proyecar el operador de la ecuacó (1.3) sobre ua base de esados. 2. ECUACIÓN MAESTRA PROYECTANDO EL OPERADOR DENSIDAD REDUCIDO EN LA BASE DE ESTADOS DE ENERGÍA Sea u los auoesados de H A co auovalores E, H A u = E u. (2.1) La ecuacó (1.3) se covere, e la base oroomal { u, = 1, }
1 dode γ jkl () = 1 ħ 2 dτ 1 + σ j = γ jkl()σ kl (), (2.2) kl {g(τ) [δ jl A ( ) A k ( τ) A k ( τ)a lj ( )] +g( τ) [δ k A l ( τ)a j ( ) A k ( )A lj ( τ) ]} (2.3) Los elemeos de marz A ( ), A k ( τ), varía como exp[ ω ], exp[ ω k ( τ)], Todos los érmos de (2.3) dero de los paréess varía como e (ω j ω kl ). Por ejemplo, eedo e cuea δ jl, ω j = ω l,la depedeca e del prmer érmo es e (ω ω k ) = e (ω ω +ω ω k ) = e (ω ω k ) = e (ω ω j +ω l ω k ) = e (ω j ω kl ). (2.4) La depedeca del segudo érmo es e (ω ω j +ω l ω k ) = e (ω j ω kl ), (2.5) y de maera aáloga puede hacerse para el ercer y cuaro érmo. Se sgue que la egral sobre de (2.3) puede calcularse fáclmee y da dode 1 + e (ω j ω kl ) = e (ω j ω kl ) f[(ω j ω kl ) ] (2.6) f(x) = e x 2 s(x/2) (x/2). (2.7) S ω j ω kl 1/, el valor de f e (2.6) esá cerca a 1 y se aula para ω j ω kl 1/. Se puede gorar el acoplameo ere σ j y σ kl s ω j ω kl 1. S ω j ω kl ~1/, la codcó T R mplca que el acoplameo ere σ j y σ kl ee u efeco débl. Por ao, se maee sólo los érmos que acopla σ j a σ kl co ω j ω kl 1/. Esos érmos, dode f = 1, se llama seculares. Falmee co esa aproxmacó secular, la ecuacó maesra (2.2) ee la forma (sec) σ j = e(ω j ω kl ) R jkl σ kl (), k,l (2.8) dode k,l (sec) dca que la suma esá resrgda a esados k, l ales que ω j ω kl 1/. R jkl so coefcees depedees de y que vee dados por la egral sobre τ de (2.3), R jkl = 1 ħ 2 dτ {g(τ) [δ jl A A k e ωkτ A k A lj e ωkτ ] + dode se ha edo e cuea +g( τ) [δ k A l A j e ωlτ A k A lj e ωjlτ ]}, (2.9) A ( ) = u A ( ) u = u e H A /ħ Ae H A /ħ u = e E /ħ u A u e E /ħ = = A e ω. (2.1)
11 Para calcular los coefcees R jkl de la ecuacó maesra hay que cambar de la represeacó de eraccó a la represeacó de Schrödger, dode el operador desdad de A es σ(). De la relacó ere los elemeos de marz de σ() y σ () sgue la relacó σ j () = e ω j σ j () (2.11) dσ j () = e ω j ( ω j )σ j () + e ω j dσ j () = ω j σ j () + e ω j dσ j () (2.12) ere el rago saáeo de varacó de σ j y σ j. S se aproxma el rmo saáeo dσ j que aparece e (2.12) usado el rmo de grao grueso σ j calculado e (2.8) y eedo e cuea (2.11) d σ j() = ω j σ j () + e ωj (sec) e (ω j ω kl ) R jkl σ kl () = ω j σ j () + e ω j (sec) k,l k,l e (ω j ω kl ) R jkl e ω kl σ kl () d sec σ j() = ω j σ j () + R jkl σ kl (). (2.13) E la represeacó de Schrödger, la ecuacó maesra, expadda sobre la base de auoesados de H A ee la esrucura de u ssema dferecal leal co coefcees depedees del empo, de maera que ya o aparece las expoecales que aparecía e (2.8). El prmer érmo del lado derecho de (2.13) descrbe la evolucó lbre de σ j y el segudo érmo descrbe el efeco de la eraccó co R. Los coefcees R jkl so del orde de 1 T R, dode T R es el empo de evolucó de A. S los elemeos de marz de σ j y σ kl ee auofrecuecas ω j y ω kl sufceemee dferees, es decr, s ω j ω kl 1/T R, el acoplameo R jkl ere ellos edrá efecos muy débles. Como T R la codcó ω j ω kl ~1/ correspode a ω j ω kl 1/T R, de dode se deduce que es posble gorar e (2.8) el acoplameo ere σ j y σ kl cuado ω j ω kl o es muy pequeño comparado co 1/. Evolucó de las poblacoes Las poblacoes σ de los veles de eergía u de A edrá odas la msma frecueca lbre de evolucó (ω = ). Se asume que o hay cohereca σ kl co ua frecueca de evolucó muy baja (ω kl 1/ ), de maera que las poblacoes esá acopladas sólo a poblacoes y la ecuacó (2.13) puede escrbrse dσ = R kk σ kk. (2.14) k Para calcular R kk, se esablece que j = y l = k e (2.9) y se asume que k. Los dos símbolos de Kroecker δ jl y δ k so cero. Los dos érmos resaes dero del paréess de (2.9) so complejos cojugados uo de oro y se reagrupa para dar k,l
12 R kk k = 1 ħ 2 dτ {g(τ)[ A ka k e ωkτ ] + g( τ)[ A k A k e ωkτ ]} = = 1 ħ 2 dτg(τ)[ A k 2 e ω kτ ] + 1 ħ 2 dτg( τ)[ A k 2 e ω kτ ]. Hacedo u cambo de varable τ τ ; dτ dτ R kk k = 1 ħ 2 dτg(τ)[ A k 2 e ω kτ ] + 1 ħ 2 ( dτ)g(τ)[ A k 2 e ω kτ ] = Reemplazado g(τ) por = 1 ħ 2 dτg(τ) A k 2 e ωkτ. (2.15) R kk k p R 2 e ω τ = 1 ħ 2 p dτe (ω +ω k )τ A k 2 R 2. La egral sobre τ es gual a 2πδ(ω + ω k ) = 2πħδ(E + E k E E ) y A k 2 R 2 =, u V, u k 2. Falmee, esablecedo que para Γ k se obee (2.16) R kk = Γ k (2.17) k Γ k = 2π ħ p, u V, u k 2 δ(e + E k E E ). (2.18) Γ k es la probabldad por udad de empo de que el ssema A haga ua rascó del vel k al vel como resulado del acoplameo co R. La ecuacó (2.18) da el rmo para la rascó promedado sobre odos los posbles esados cales del baño (co peso p ) y sumados sobre odos los posbles esados fales del baño, co la fucó dela expresado la coservacó de la eergía para el ssema oal A + R. Fala evaluar R. Ahora los símbolos de Kroecker δ jl y δ k vale uo y el segudo y cuaro érmo dero del corchee de (2.9) cacela el érmo = de la prmera y ercera sumas. R = 1 ħ 2 dτ {g(τ) [ A A e ωτ A A e ωτ ] +g( τ) [ A A e ωτ A A e ωτ ]}, R = Γ. (2.19) Falmee, la ecuacó maesra para las poblacoes (2.14) es dσ = σ Γ + σ kk Γ k (2.2) k dσ = ( σ kk k Γ k σ Γ k ). (2.21)
13 La ecuacó (2.2) dca que la poblacó σ de A decrece como cosecueca de las rascoes que ocurre de a oros veles y se cremea como resulado de rascoes de oros veles k al vel. La forma de (2.21) muesra el balace de rasferecas que ocurre para cada pareja de veles k e d σ =. (2.22) Es frecuee que la solucó del esado esacoaro de la ecuacó (2.21) correspoda a σ s Γ k = σ kk s Γ k, (2.23) ecuacó llamada codcó deallada de balace y muesra que e el esado esacoaro, y para cada par de veles y k, el úmero de rascoes de a k compesa el umero de rascoes de k a. Evolucó de Coherecas Se exama ahora la evolucó de los elemeos o dagoales σ j de σ y prmero se cosdera el caso dode las frecuecas de Bohr ω j, asocadas co la cohereca σ j, o esá degeeradas, es decr, o hay oras frecueca de Bohr ω kl que dfera de ω j e meos de 1/. El úco érmo secular es el que acopla la cohereca σ j a s msma, y la ecuacó (2.13) se escrbe Para calcular R jj, se esablece k = y l = j e (2.9), R jj = 1 ħ 2 d σ j = ω j σ j + R jj σ j. (2.24) dτ {g(τ) [ A A e ωτ A A jj e ωτ ] + = 1 ħ 2 dτg(τ) A 2 +g( τ) [ A j A j e ωjτ A A jj e ωjjτ ]} = e ω τ + 1 ħ 2 dτg(τ)a A jj 1 ħ 2 dτg( τ) A j 2 e ωjτ 1 + ħ 2 dτg( τ)a A jj. (2.25) S se reemplaza g(τ) por p R 2 e ω τ, g( τ) por g(τ) y se evalúa las egrales desde τ = a τ = de las expoecales, eso coduce a la aparcó de pares prcpales y fucoes delas. Tomado el prmer érmo de la ecuacó aeror se obee 1 ħ 2 dτg(τ) A 2 e ωτ = = 1 ħ 2 p R 2 A 2 dτe (ω +ω )τ = = 1 ħ 2 p R 2 A 2 1 {πδ(ω + ω ) + P ( )} = ω + ω
14 dode se ha edo e cuea = 1 ħ 2 p R 2 A 2 πδ ( E ħ + E ħ ) 1 ħ 2 p R 2 A 2 1 P ( E ħ + E ) = ħ = 1 ħ p, u V, u 2 πδ(e E + E E ) 1 ħ p, u V, u 2 πδ(e E ) 1 ħ p R 2 A 2 1 P ( ), (2.26) E E + E E lm ε + eωτ+ετ = {πδ(ω) + P ( 1 ω )}. (2.27) Se resuelve de maera aáloga el ercer érmo de (2.25). S se coge ahora el segudo y cuaro érmo, eedo e cuea que so complejos cojugados, 1 ħ 2 dτ p R 2 e ω τ A A jj = = 1 ħ 2 p R 2 A A jj e ωτ dτ = Falmee se obee = 1 ħ p R u A u R u j A u j 2πδ(E E ). R jj = { 1 2 ( 2π ħ p, u V, u 2 δ(e E + E E ) + + 2π ħ p, u V, u j 2 δ(e E + E j E ))} + 2π ħ p δ(e E ) j ( 1 2, u V, u 2 + 1 2, u j V, u j 2, u V, u, u j V, u j ) 1 ħ p, u V, u 2 1 P ( ) + E E + E E + 1 ħ p, u V, u j 2 1 P ( ). (2.28) E E + E j E R jj se puede escrbr como R jj = Γ j j (2.29) dode Γ j y j so cadades reales dadas por j = j (2.3) co
15 = 1 ħ P p, u V, u 2 E + E E E y ua expresó aáloga para j, y dode Γ j = Γ oad ad j + Γ j co (2.31) (2.32) Γ j oad = 1 2 ( Γ + j Γ j ) (2.33) Γ j ad. = 2π ħ p δ(e E ) ( 1 2, u V, u 2 + 1 2, u j V, u j 2 ) Re, u V, u, u j V, u j 2. (2.34) La cadad ħ j represea u desplazameo de la frecueca ω j debdo a la eraccó ere A y R y la cadad Γ j represea el rmo de decameo de la cohereca σ j debdo a la eraccó ere A y R. La prmera corbucó a Γ j, mosrada e (2.33) vee de efecos o adabácos debdo a que esa expresó es la mad de la suma de los rmos co los cuales el ssema deja el esado o j. La seguda corbucó, mosrada e (2.34) se llama adabáca porque se debe a u proceso dode A o camba el esado meras eracúa co R, que va del esado al esado eedo la msma eergía que. Para falzar esa seccó, queda cosderar el caso dode la frecueca ω j es degeerada. Hay que eer e cuea el acoplameo ere la cohereca σ j y las oras coherecas σ kl ales que ω kl ω j 1/. S se calcula R jkl e (2.9) co k y j l (δ jl = y δ k =, ω k = ω jl ) R jkl = 1 ħ 2 dτ {g(τ)[ A ka lj e ωkτ ] + g( τ)[ A k A lj e ωjlτ ]} = = 1 ħ 2 dτ p R 2 e ω τ [ A k A lj e ωkτ ] = = 1 ħ 2 dτ p R R e ω τ A k A lj e ωkτ = = 1 ħ 2 p R A k R A lj dτe ωkτ e ω τ R jkl = 2π ħ p, u V, u k, u l V, u j δ(e +E k E E ). (2.35), 3. ECUACIÓN MAESTRA PARA UN SISTEMA ATÓMICO DE DOS NIVELES ACOPLADO AL CAMPO DE RADIACIÓN Se esuda e esa seccó el caso parcular de u ssema aómco de dos veles. Se deoa por { a, b } la base de auoesados del Hamloao, co eergías E a y E b respecvamee.
16 Se supoe que los elecroes aómcos evolucoa e oro al puo fjo e el orge de coordeadas R =. Se raa u áomo famee pesado y e reposo, por lo que se esuda sólo los grados de lberad eros. E la aproxmacó dpolar elécrca el Hamloao de eraccó ere el áomo y el campo de radacó vee dado por V = d E ( ) = d ħω j 2ε L 3 ε j(a j a + j ) g j (a j a + j ), (3.1) j dode d es el operador momeo dpolar elécrco del áomo y E ( ) el campo cuáco de radacó e la poscó del áomo, d = q α r α α ; E (r) = ħω j 2ε L 3 (a jε j e k j r a + j ε j e k j r ). j 3.1 Ecuacó maesra para la emsó espoáea e u campo de radacó e el esado de vacío Se supoe que el campo de radacó se ecuera e el esado de vacío j σ R =. (3.2) El ssema compleo, compueso por el áomo y el baño, vee descro por el Hamloao dode V vee dado por (3.1) y H P = p 2 α + V 2m coul + ε dp α α H = H P + H R + V, α ; V coul = ε coul α + 1 q αq β, 8πε r α r β α β H R = ħω (a + a + 1 2 ) ħω a + a (E vacío ), d () e H P/ħ de H P/ħ ; E () e H R/ħ E e H R/ħ. σ R sasface las ecuacoes (1.11) y (1.19), por lo que se puede cosderar el campo de radacó e al esado como u baño, [σ R, H R ] = [, ħω (a + a + 1 2 )] = ħω [, a + a + 1 2 ] = Tr R [σ R V ()] = Tr R [σ R ( d ()E ())] = d ()Tr [σr E ()] = d ()Tr [ E ()] = d () E () =. Como se ee u áomo de dos veles a y b, la ecuacó (2.18) edría ahora la forma Γ b a = 2π ħ p, a V, b 2 δ(e + E b E E a ). (3.3) E el caso esudado p = δ, σ R = p = y E, Γ b a = 2π ħ a, V b, 2 δ(e (E b E a )),
17 Evolucó de las poblacoes Γ b a = 2π ħ a, k ε V b, 2 δ(ħω ħω ba ). Para dos veles a y b, la ecuacó (2.21) es co k ε dσ bb dσ aa = σ aa Γ a b σ bb Γ b a = σ bb Γ b a σ aa Γ a b, (3.4) Γ b a = 2π ħ a, k ε V b, 2 δ(ħω ħω ba ) Γ = 1 τ, (3.5) k ε dode el rmo de emsó espoáea de u foó es gual a la versa del empo de vda τ del vel b. S embargo (ħω + ħω ba porque ω ). Γ a b = 2π ħ b, k ε V a, 2 δ(ħω + ħω ba ) = (3.6) k ε La emsó espoáea de u foó desde el esado a o coserva la eergía oal. Falmee (3.4) queda dσ bb = σ bb Γ b a ; dσ bb = Γσ bb dσ aa = σ bb Γ b a ; dσ aa = Γσ bb y las poblacoes ee la forma de las ecuacoes de Ese co (ω) = Evolucó de las coherecas σ bb () = σ bb ()e Γ σ aa () = 1 σ bb ()e Γ. Teedo e cuea las ecuacoes (2.24) y (2.29), d σ ba() = ω ba σ ba () + R baba σ ba () co R baba = Γ ba ba, dσ ba = (ω ba + ba )σ ba Γ ba σ ba (3.7) y segú (2.32) y (2.33) se ee Γ ba = Γ oad ad ba + Γ ba, co Γ oad ba = 1 2 ( Γ b b + a Γ a ) = 1 2 (Γ b a + Γ a b ) = Γ 2. E el caso parcular que se esá esudado, la ecuacó (2.34) oma la forma ad = 2π ħ δ(ħω) ( 1 2 b, k ε V b, 2 + 1 2 a, V a, k ε 2 Γ ba k ε Re b, V b, k ε a, k ε V a, 2 ) =
18 debdo a que V~d E ( ) o ee elemeos dagoales e los esados a ó b ( a y b se supoe que ee pardad be defda y d es mpar). Falmee, eedo e cuea que Γ ba = Γ oad ba = Γ/2 y susuyedo e (3.7), dode dσ ba = (ω ba + ba )σ ba Γ 2 σ ba, (3.8) ba = b a, b = 1 ħ P a, k ε V b, 2 k ε ħω ba ħω, a = 1 ħ P b, k ε V a, 2 k ε ħω ba ħω. (3.9) Ua vez obeda la ecuacó maesra para el caso parcular de dos veles, se quere esudar cuál es el comporameo de las poblacoes y las coherecas e u empo ededo a fo. S se oma las ecuacoes para las poblacoes dσ bb dσ aa = Γσ bb, = Γ(1 σ aa ) co σ aa + σ bb = 1 y se guala a, se obee para el esado esacoaro dσ bb = ; Γσ bb = dσ aa = ; (1 σ aa )Γ =, dode se observa que σ bb = y que σ aa = 1. E el caso de la cohereca, dσ ba = (ω ba + ba )σ ba Γ 2 σ ba, s se guala a se obee para el esado esacoaro dσ ba = ; ω ba σ ba Γ 2 σ ba = co ω ba = ω ba + ba, {ω ba + Γ 2 } σ ba =. Se comprueba fáclmee que σ ba =, es decr, que e el esado esacoaro las coherecas se va a cero, y por lo ao se produce decohereca. 3.2 Ecuacó maesra cluyedo absorcó y emsó esmulada por u campo de radacó de bada acha E ese caso el operador desdad del baño vee dado por σ R = p( 1,,, ) 1,,, 1,,,, (3.1) { } dode 1,,, so los auoesados de H R co 1 fooes e el modo 1, fooes e el modo,
19 E dcho esado el campo puede cosderarse u baño, σ R sasface las ecuacoes(1.11) y (1.19) [σ R, H R ] = [ p( 1,,, ) 1,,, 1,,,, ħω j (a + j a j + 1 2 )] = { } = p( 1,,, ) ħω j [ { } { }, a + j a j + 1 2 ] = { } Tr R [σ R V ()] = Tr R [σ R ( d ()E ())] = d ()Tr [σr E ()] = = d () p( 1 { } j,,, ) { } E () { } =. El empo de correlacó del campo el del orde de τ c = 1/Δω sedo Δω la achura especral de la radacó. El empo medo T R ras el cual ocurre absorcó o emsó aómca (empo de evolucó aómca) es versamee proporcoal a la esdad de la luz I, T R I 1, por lo ao, τ c I T R Δω como u baño. Evolucó de las poblacoes. S la I es baja y Δω grade, eoces τ c T R y la radacó podría raarse A dfereca de las ecuacoes (3.4), la probabldad por udad de empo de absorcó de u foó desde a es ahora dsa de. Teedo e cuea (3.3) y (3.1), Γ a b = 2π ħ p({ } ) b; { } V a; { } 2 δ(e fal E cal ) Γ. (3.11) { } Teedo e cuea (3.1) y ambé se ee dode { } b; { } V a; { } 2 δ(e f E ) = { } = b; 1, 1, V a; 1,, 2 δ(ħω ba ħω ) + + b; 1, + 1, V a; 1,, 2 δ(ħω ba + ħω ) 1 a = 1 1 = = = a 1, Γ = 2π ħ p({ } ) b; V a; 1 2 δ(ħω ħω ba ) { } Γ = 2π ħ ( p( 1,, )) b; V a; 1 2 δ(ħω ħω ba ), { } { } es el úmero medo de fooes e el modo. j (3.12) = ( p( 1,, )) (3.13) Falmee, la aparcó de la fucó δ(ħω ħω ba ), que expresa la coservacó de la eergía e (3.12), ee como cosecueca que sólo el úmero medo de fooes e los
2 modos resoaes corbuye. Por ao Γ es proporcoal a la esdad promedo I(ω ba ) de la radacó cdee a la frecueca aómca ω ba. De gual forma Γ b a = 2π ħ p({ } ) a; { } V b; { } 2 δ(e f E ), { } { } a; { } V b; { } 2 δ(e f E ) = { } = a; 1, + 1, V b; 1,, 2 δ(ħω ħω ba ) = = + 1 a; 1 V b; 2 δ(ħω ħω ba ). Ahora es el elemeo de marz asocado a a + el que coserva la eergía, luego Γ b a = 2π ħ p({ } ) + 1 a; 1 V b; 2 δ(ħω ħω ba ) = { } Como p({ } { } ) = 1, = 2π ħ ( + 1) a; 1 V b; 2 Γ b a = 2π ħ a; 1 V b; 2 + 2π ħ a; 1 V b; 2 δ(ħω ħω ba ). δ(ħω ħω ba ) δ(ħω ħω ba ), (3.14) dode el prmer érmo da la probabldad de rascó Γ de la ecuacó (3.12) y el segudo érmo da el rmo de rascó Γ asocado co la emsó espoáea de b a a. Falmee se puede escrbr Γ b a = Γ + Γ, (3.15) co lo que las ecuacoes (3.4) ee la forma dσ bb = σ aa Γ σ bb (Γ + Γ ); dσ bb = Γσ bb + Γ (σ aa σ bb ) dσ aa = σ bb (Γ + Γ ) σ aa Γ ; dσ aa dode Γ es proporcoal a la esdad de la luz. = Γσ bb + Γ (σ bb σ aa ), (3.16) La dfereca ere Γ y Γ vee sólo de la egral e ω, pero debdo a la δ(ħω ħω ba ) esa egral es rval, el valor del egrado e ω es gual a ω ab. Por ao, la úca dfereca ere Γ y Γ sería el facor mulplcavo (ω ba ). Γ = Γ (ω ba ) (3.17) dode (ω ba ) es el úmero medo de fooes e el modo resoae.
21 Evolucó de las coherecas La úca cohereca defda e ese ssema es σ ba, para la que se ee dσ ba = (ω ba + ba )σ ab Γ ba σ ba, co ba = b a y b = 1 ħ P p, V, b 2, E + E b E E Γ ba = Γ oad ba + Γ ad ba = Γ oad ba = 1 2 ( Γ a a + b Γ b ), ad dode se ha edo e cuea que Γ ba vale cero debdo a que los elemeos de marz a V a y b V b vale cero. a = 1 ħ P p( 1,,, ) b, 1,,, V a, 1,,, 2 = E { } + E a E { } E b { } { } = 1 ħ P p( 1,,, ) { b, 1,, 1, V a, 1,,, 2 ħω ħω ba { } + b, 1,, + 1, V a, 1,,, 2 } ħω ħω a + ( a a ). ba Los elemeos de marz dsos de cero so 1 a = a 1 y + 1 a + = + 1 1 a. a = 1 ħ P ( p( 1,,, )) b, V a, 1 2, ħω ħω ba { } a a = 1 ħ P ( (1 + )p( 1,,, )) b, 1 V a, 2 = ħω ħω ba { } = 1 ħ P b, 1 V a, 2 ħω ba ħω + 1 ħ P b, 1 V a, 2 ħω ba ħω = a + a, dode a es el a de emsó espoáea calculado e (3.9. b). Falmee se puede escrbr Teedo e cuea (3.11) y (3.15) a = a + ( a + a ) a + a 1 (3.18) a 1 a + a. Γ ba = Γ oad ba = 1 2 (Γ b a + Γ a b ) = 1 ([Γ + Γ ] + Γ ). (3.19) 2 Co (3.18) y (3.19), la ecuacó para las coherecas (3.7) ee la forma dσ ba = (ω ba + ba + ba 1 )σ ba 1 2 (Γ + 2Γ )σ ba.
22 Para esudar el comporameo de las poblacoes y las coherecas e u empo fo, se guala a cero las ecuacoes obedas y se resuelve. Para la cohereca σ ba (), se obee para el esado esacoaro dσ ba y eso coduce a = (ω ba + ba + ba 1 )σ ba 1 2 (Γ + 2Γ )σ ba =, ω ba σ ba 1 2 (Γ + 2Γ )σ ba =, co ω ba = ω ba + ba + 1 ba, y por ao a σ ba =. Es decr, que e el esado esacoaro las coherecas se va a cero, y por lo ao hay decohereca. Para la poblacó σ bb (), se obee para el esado esacoaro, dσ bb = Γσ bb + Γ (σ aa σ bb ) = (σ aa + σ bb = 1), Γσ bb + Γ (1 2σ bb ) = ; (Γ + 2Γ )σ bb = Γ, σ bb = Γ Γ + 2Γ = Γ (ω ba) Γ + 2Γ (ω ba ) = dode se ha edo e cuea la ecuacó (3.17). (ω ba) 1 + 2 (ω ba ), E ese caso parcular de u áomo de dos veles se observa que las poblacoes so dsas de cero. S el úmero medo de fooes co frecueca ω ba es cero, (ω ba ) =, eoces σ bb =. Eso es lo que se esperaba obeer, ya que s el úmero de fooes es gual a cero se recupera el caso ya esudado, dode el campo de radacó se ecuera e el esado de vacío. S por el coraro (ω ba ) es muy grade, e el esado esacoaro las poblacoes será σ bb = 1/2 y σ aa = 1/2, es decr, que esará repardas por gual ere los dos veles. 4. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN MAESTRA PARA UN SISTEMA ATÓMICO DE TRES NIVELES Para eeder u poco mejor el ema de esudo, se va a cosderar e esa seccó el caso de u ssema aómco de res veles. Se deoa por { a, b, c } la base de auoesados del Hamloao, co eergías E a, E b y E c respecvamee. Se esudará res casos dferees e fucó de que muesre o o decohereca. Para comezar el esudo, se vuelve a la ecuacó maesra (2.13) σ j() = ω j σ j () + (sec) R jkl k,l σ kl (), dode hay que recordar que k,l (sec) dca que la suma esá resrgda sólo a érmos seculares.
23 Caso 1 Se comezará esudado el caso dode los res veles de eergía o esá equdsaes y las frecuecas ω ab, ω bc y ω ac so dferees y dsas de cero. Fgura 1. Esquema de los res veles co ω ab ω bc ω ac. E ese caso las poblacoes esá acopladas sólo a poblacoes, co lo que se obee dσ aa () dσ bb () dode = R aabb σ bb () + R aacc σ cc () + R aaaa σ aa () = = σ bb ()Γ b a + σ cc ()Γ c a σ aa ()(Γ a b + Γ a c ) (4.1) = R bbaa σ aa () + R bbcc σ cc () + R bbbb σ bb () = = σ aa ()Γ a b + σ cc ()Γ c b σ bb ()(Γ b a + Γ b c ), (4.2) R kk = Γ k y R = Γ. k Teedo e cuea que se cumple se ee además dσ aa () dσ cc () + dσ bb() + dσ cc() =, = dσ aa() dσ bb(). (4.3) Se emplea ahora la oacó Γ j para desgar la rascó del vel j al cuado el campo de radacó se ecuera e el esado de vacío. De maera aáloga al caso aeror de dos veles, dode Γ a b = Γ, Γ b a = Γ + Γ y Γ = Γ (ω ba ), los rmos de rascó ahora so Γ a b = Γ b a (ω ba ) Γ b a = Γ b a + Γ b a (ω ba ) Γ a c = Γ c a (ω ca ) Γ c a = Γ c a + Γ c a (ω ca ) Γ b c = Γ c b (ω cb ) Γ c b = Γ c b + Γ c b (ω cb ). (4.4)
24 S se resuelve el ssema de ecuacoes para las poblacoes e el esado esacoaro gualado dσ a, se obee que σ aa, σ bb y σ cc so e geeral dsas de cero. Eso se debe a que se ee u ssema leal o homogéeo de res ecuacoes co res cógas. El ssema adme ua ecuacó de marces A X = B, dode la marz A es la marz de los coefcees, X es la marz de cógas, B la marz de érmos depedees y A la marz amplada del ssema leal. Se raa de u ssema compable ya que rag (A) = rag (A ) y por lo ao podemos afrmar que el ssema ee solucó dsa de cero. Los valores que ome las poblacoes depederá de los rmos de rascó y del úmero medo de fooes que se ega para cada frecueca. S se esuda las coherecas, dσ ab () dσ ac () dσ bc () = ω ab σ ab () + R abab σ ab () = (ω ab + ab )σ ab () Γ ab σ ab () (4.5) = ω ac σ ac () + R acac σ ac () = (ω ac + ac )σ ac () Γ ac σ ac () (4.6) = ω bc σ bc () + R bcbc σ bc () = (ω bc + bc )σ bc () Γ bc σ bc (). (4.7) Se ha edo e cuea que e el caso de frecuecas o degeeradas R jj = Γ j j co Γ j = Γ j oad + Γ j ad, y como Γ ad j =, Γ j = Γ oad j = 1 ( Γ 2 + Γ j Γ ab = 1 2 (Γ a b + Γ a c + Γ b a + Γ b c ) = j ), = 1 2 (Γ b a (ω ba ) + Γ c a (ω ca ) + Γ b a + Γ b a (ω ba ) + Γ c b (ω cb ) ) = = 1 2 {Γ b a(1 + 2 (ω ba ) ) + Γ c a (ω ca ) + Γ c b (ω cb ) } (4.8) Γ bc = 1 2 (Γ b a + Γ b c + Γ c a + Γ c b ) = = 1 2 (Γ b a + Γ b a (ω ba ) + Γ c b (ω cb ) + Γ c a + Γ c a (ω ca ) + Γ c b + Γ c b (ω cb ) ) = = 1 2 {Γ b a(1 + (ω ba ) ) + Γ c b (1 + 2 (ω cb ) ) + Γ c a (1 + (ω ca ) )} (4.9) Γ ac = 1 2 (Γ a b + Γ a c + Γ c a + Γ c b ) = = 1 2 (Γ b a (ω ba ) + Γ c a (ω ca ) + Γ c a + Γ c a (ω ca ) + Γ c b + Γ c b (ω cb ) ) = = 1 2 {Γ b a (ω ba ) + Γ c a (1 + 2 (ω ca ) ) + Γ c b (1 + (ω cb ) )}. (4.1)
25 El úco érmo secular que aparece e cada ua de las ecuacoes es aquél que acopla cada cohereca cosgo msma, co lo que las coherecas esá desacopladas uas de oras. Al esudar cómo se compora las coherecas e u empo ededo a fo hacedo el esado esacoaro dσ ab () =, se comprueba fáclmee que las coherecas va a cero. La solucó para las coherecas es σ ab () = σ ab ()e (ω ab+ ab ) Γ ab y como la solucó e u empo ededo a fo es cero, se produce decohereca. Caso 2 E el segudo caso que se cosdera e esa seccó, los res veles de eergía esá gualmee espacados, co lo que las frecuecas ω ab y ω bc so guales pero dsas de ω ac. Fgura 2. Esquema de los res veles co ω ab = ω bc y ω bc ω ac. S se esuda las poblacoes, se observa que so guales al caso 1, s embargo e las coherecas se observa que ahora σ ab y σ bc esá acopladas, dσ ab () dσ bc () dσ ac () = ω ab σ ab () + R abab σ ab () + R abbc σ bc () (4.11) = ω bc σ bc () + R bcbc σ bc () + R bcab σ ab () (4.12) = ω ac σ ac () + R acac σ ac () = (ω ac + ac )σ ac () Γ ac σ ac (), (4.13) dode Γ ac vee dada por la ecuacó (4.1) y R abbc = 2π ħ p, a V, b, c V, b δ(e +E b E E a ) = = 2π ħ p R A ab R A cb δ(e +E b E E a ), R bcab = 2π ħ p, b V, a, b V, c δ(e +E a E E b ) = = 2π ħ p R A bc R A bc δ(e +E b E E a ).
26 E la ecuacó (4.13) se observa que la cohereca σ ac () esá desacoplada, co lo que es fácl demosrar que e el esado esacoaro (dσ ac = ), σ ac vale cero, σ ac () = σ ac ()e (ω ac+ ac ) Γ ac. S se esuda además cuáo vale σ ab y σ bc e u empo ededo a fo, se comprueba que vale cero ambé. Por ao se puede afrmar que, al gual que e el caso aeror, odas las coherecas ede a cero, por lo que se produce decohereca. Caso 3 Para r u poco más allá, se preede esudar ahora el caso dode las frecuecas ω ab, ω aa, ω bb y ω cc sea guales a cero y además ω bc y ω ac sea guales y dsas de cero. Fgura 3. Esquema de los res veles co ω ab = ω aa = ω bb = ω cc = y ω bc = ω ac. Al escrbr la ecuacó maesra para ese caso, aparece las poblacoes acopladas co la cohereca σ ab, dσ aa () = R aaaa σ aa () + R aabb σ bb () + R aacc σ cc () + R aaab σ ab () (4.14) dσ bb () = R bbbb σ bb () + R bbaa σ aa () + R bbcc σ cc () + R bbab σ ab () (4.15) dσ ab () = ω ab σ ab () + R abab σ ab () + R abbb σ bb () + R abaa σ aa () + R abcc σ cc (), (4.16) dode R aaab = 2π ħ p, a V, a, b V, a δ(e +E a E E a ) R bbab = 2π ħ p, b V, a, b V, b δ(e +E a E E b ) R abbb = 2π ħ p, a V, b, b V, b δ(e +E b E E a ) R abaa = 2π ħ p, a V, a, a V, b δ(e +E a E E a ) R abcc = 2π ħ p, a V, c, c V, b δ(e +E c E E a ). Por oro lado se ee las oras dos coherecas acopladas ere sí dσ bc () = ω bc σ bc () + R bcbc σ bc () + R bcac σ ac () (4.17) dσ ac () = ω ac σ ac () + R acac σ ac () + R acbc σ bc (), (4.18)
27 dode R bcac = 2π ħ p, b V, a, c V, a δ(e +E a E E b ) R acbc = 2π ħ p, a V, b, c V, c δ(e +E b E E a ). E el caso 1 y el caso 2 esudados, el acoplameo co el baño produce decohereca y e ambos casos, au sedo las poblacoes dferees de cero, las coherecas se ba a cero. S embargo e ese ercer caso, odas las coherecas o se va a cero, por lo que se raa de u ejemplo dode o se produce decohereca oal e la base e que se rabaja. Auque el reso de coherecas (co frecueca lbre de evolucó dsa de cero) se va a cero a u empo ededo a fo, o hay decohereca complea s ua de ellas ee u valor dso de cero. Eso se debe a que se ee u ssema leal o homogéeo de res ecuacoes co res cógas. Al gual que las poblacoes e los casos 1 y 2, ahora se ee u ssema compable y se puede afrmar que el ssema ee solucó dsa de cero. Hasa ese puo, e esa seccó se ha obedo la ecuacó maesra para u ssema aómco de res veles y se ha esudado e dealle para res casos dferees. Se va a cosderar ahora el caso parcular e que los res veles de eergía o esá equdsaes (caso 1) y se va a esudar de maera deallada el comporameo de las poblacoes medae gráfcas que represee σ aa y σ bb e fucó del úmero medo de fooes para las dferees frecuecas ω ba, ω ca y ω cb. Ieresa el esudo de las poblacoes e el esado esacoaro, co lo que las ecuacoes (4.1) y (4.2) se guala a cero. Se esudará res suacoes dferees, hacedo que e cada suacó ua de las posbles rascoes sea cero. I) Se comezará co la codcó de que Γ b a sea cero, es decr, o se perme la emsó espoáea del vel b a a ampoco la rascó del vel a a b. Las ecuacoes (4.1) y (4.2) para las poblacoes e el esado esacoaro quedaría de la forma σ cc ()Γ c a σ aa ()Γ a c = σ cc ()Γ c b σ bb ()Γ b c =. Desde ese momeo y e las res suacoes que se esudará a couacó, se va a cosderar que el reso de rascoes Γ j apropadas). posbles ome el valor uo (e las udades S se ee e cuea las ecuacoes (4.4) y que σ cc = σ aa σ bb, se ee σ aa [1 + 2 (ω ca ) ] + σ bb [1 + (ω ca ) ] = 1 + (ω ca ) (4.19) σ aa [1 + (ω cb ) ] + σ bb [1 + 2 (ω cb ) ] = 1 + (ω cb ) (4.2)
28 S se aalza el caso dode (ω cb ) sea gual a cero se obee que σ bb = 1 y σ aa = σ cc =. De gual forma s se hace que (ω ca ) sea cero, se ee que σ bb = y por ao σ aa = 1 y σ cc =. Fgura 4. Evolucó de la poblacó σ bb e fucó de (ω cb ) y (ω ca ). S (ω cb ) es cero, σ bb vale uo para cualquer valor de (ω ca ). S (ω ca ) es cero, σ bb vale cero para cualquer valor de (ω cb ). El úmero medo de fooes para cada frecueca es ua cadad admesoal. S se aalza el líme dode (ω cb ) y (ω ca ) sea muy grades se obee que las poblacoes se repare ere los res veles a, b y c, de maera que σ aa = σ bb = σ cc = 1/3 II) Ahora se camba la codcó cal y lo que se hace es cosderar que Γ c b es cero. Ahora las ecuacoes (4.1) y (4.2) para el esado esacoaro será σ aa [1 + 2 (ω ca ) + (ω ba ) ] σ bb [ (ω ba ) (ω ca ) ] = 1 + (ω ca ) (4.21) σ aa (ω ba ) σ bb [1 + (ω ba ) ] =. (4.22) 1/2 cuado (ω ba ) sea grade. Fgura 5. Evolucó de la poblacó σ aa e fucó de (ω ca ) y (ω ba ). S (ω ba ) es cero σ aa decae desde el valor 1 e (ω ca ) = hasa 1/2 s (ω ca ) es grade. S (ω ca ) es cero σ aa decae desde el valor 1 e (ω ba ) = hasa
29 Fgura 6. Evolucó de la poblacó σ bb e fucó de (ω ca ) y (ω ba ). S (ω ba ) es cero, σ bb vale cero para cualquer valor de (ω ca ). S (ω ca ) es cero, σ bb aumea desde cero hasa el valor 1/2. S el úmero medo de fooes (ω ba ) es gual a cero, se obee de la ecuacó (4.22) que σ bb = y de (4.21) se ee que σ aa = 1 + (ω ca) 1 + 2 (ω ca ), dode s (ω ca ) es cero, σ aa = 1 y σ cc = y cuado (ω ca ) ede a u valor muy grade σ aa = 1/2 y σ cc = 1/2 S se esuda el líme cuado (ω ca ) valga cero y (ω ba ) eda a u valor grade, se ee σ aa = 1/2, σ bb = 1/2 y σ cc =. Queda por esudar el líme cuado (ω ca ) y (ω ba ) ome valores muy grades. E ese caso σ aa = σ bb = σ cc = 1/3 III) Por úlmo queda por esudar la codcó de que Γ c a sea cero, o es posble subr del vel a al c, bajar del c al a. Ahora las ecuacoes (4.1) y (4.2) para el esacoaro será σ bb [1 + (ω ba ) ] σ aa (ω ba ) = (4.23) σ aa [ (ω ba ) 1 (ω cb ) ] + σ bb [2 + 2 (ω cb ) (ω ba ) ] = 1 + (ω cb ). (4.24)
3 Fgura 7. Evolucó de la poblacó σ aa e fucó de (ω cb ) y (ω ba ). S (ω ba ) es cero, σ aa vale uo para cualquer valor de (ω cb ). S (ω cb ) es cero, σ aa va decayedo desde 1 hasa 1/2. Fgura 8. Evolucó de la poblacó σ bb e fucó de (ω cb ) y (ω ba ). S (ω ba ) es cero, σ bb vale cero sempre. S (ω cb ) es cero, σ bb aumea desde e (ω ba ) = hasa omar el valor 1/2 cuado (ω ba ) es muy grade. S (ω ba ) es gual a cero, se obee de la ecuacó (4.23) que σ bb = y de (4.24) se ee que σ aa = 1, por lo que σ cc =. S (ω cb ) es gual a cero y (ω ab ) es u úmero muy grade σ aa = σ bb = 1/2 y σ cc =. S se aalza el líme dode (ω cb ) y (ω ba ) sea muy grades se obee que las poblacoes se repare ere los res veles a, b y c, de forma que σ aa = σ bb = σ cc = 1/3. Coclusoes El objevo claro de ese rabajo era esudar la decohereca e el proceso de eraccó de u ssema co su eoro. E la prmera seccó el objevo prcpal era obeer la ecuacó maesra que descrbe la evolucó de u ssema cuáco pequeño A e eraccó co ssemas que hace el papel de eoro o deecor R. E la seguda seccó el sguee paso fue obeer e dealle la ecuacó maesra para el ssema A e la base de auoesados de eergía del ssema A para luego evaluar la evolucó de las poblacoes y coherecas.
31 E la ercera seccó se cosderó el caso parcular de u ssema aómco de dos veles, dode se obuvero los valores de las poblacoes y coherecas e u empo ededo a fo. E el esado esacoaro las coherecas se ba a cero, por lo que la decohereca es ducda e el ssema A. Falmee e la úlma seccó se dervó la ecuacó maesra para el caso de u ssema de res veles. Al aalzar los res casos propuesos, se observa que sólo e el úlmo caso, cuado las coherecas esá acopladas a poblacoes, o se produce decohereca. Se sabe que la eraccó de u ssema cuáco abero co el eoro produce decohereca. Ese proceso de decohereca es u ema eresae dero de la mecáca cuáca ya que explca por qué muchos ssemas físcos macroscópcos ee u comporameo dferee de los ssemas que muesra efecos cuácos. Bblografía [1] W.H.Zurek, Physcs Today (1991). [2] Claude Cohe Taoudj, Jacques Dupo-Roc y Glber Gryberg, "Aom-Phoo Ieracos: Basc Processes ad Applcaos". Ed. Wley Ierscece, 1992.