13 Áres y perímetros GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. Egipcios y ionios demostrron un ciert destrez ccundo áres de poígonos y voúmenes de gunos cuerpos ( esto o mn cutur de montones). Pr hr s áres de poígonos regures, prtir de s ongitudes de sus dos, utiizn fórmus otenids experimentmente. Por ejempo, os ionios ccun e áre de un pentágono regur muitpicndo e cudrdo de su do por 1 + 43/60, que es un uen proximción. Los griegos, sin emrgo, otuvieron fórmus pr e cácuo de áres y voúmenes medinte un proceso deductivo. L cuminción egó con Arquímedes, que supo otener áres y voúmenes de figurs curvs medinte un método muy sofisticdo. Es interesnte cómo fue vrindo e vor signdo π ( reción entre ongitud de un circunferenci y su diámetro): os egipcios estimron pr π e vor 3,16; os ionios, 3 + 1/8 = 3,15; y Arquímedes o situó entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70, es decir, proximdmente 3,141. Por qué se e mó sí, π, este número? Viene de pr periferei que, por ser grieg, empiez por etr π ( correspondiente nuestr P). Est pr signific circunferenci ( periferi de un círcuo). Pero e nomre π no se o dieron os griegos, sino que se empezó usr comienzos de sigo xviii. DEBERÁS RECORDAR Q ué son mediciones directs e indirects. No existe reción entre e perímetro y e áre de un figur.
1 Medids en os cudriáteros Cácuo ment Di e áre de este rectánguo:, Rectánguo Tnto e áre como e perímetro de un rectánguo son muy conocidos. áre perímetro A = P = + Cácuo ment Cuá es e do de este cudrdo cuy áre conocemos? 81 cm? Cudrdo Un cudrdo es un rectánguo con todos os dos igues. Por tnto: áre A = perímetro P = 4 Cácuo ment H e áre de este preogrmo: 3, cm Y hor, y que conoces e áre, srís ccur otr tur? Es decir, distnci entre os otros dos dos. Preogrmo cuquier A suprimir en e preogrmo e triánguo de izquierd y ponero derech, se otiene un rectánguo de dimensiones Ò. E perímetro, P = + c, no gurd reción con e áre. Hy muchos preogrmos con e mismo perímetro, pero con distint áre: c 3 cm 7 cm 7 cm 7 cm 1 cm Actividdes preogrmo de dos y c y tur 1 Ccu e perímetro y e áre de un hitción rectngur de dimensiones 6,4 m y 3,. Mide s dimensiones de un págin de este iro. Cuántos metros cudrdos de ppe se necesitn pr hcer e iro competo, sin contr s tps? 3 Cuánto mide e do de un cudrdo de de áre? c 4 H tur de un rectánguo de 47 m de superficie y 4 m de se. 5 H e áre y e perímetro de estos dos preogrmos. Oserv que, unque e segundo es un romo, su áre se puede ccur como de un preogrmo cuquier. áre A = perímetro P = + c 4 m 4 m 6 m GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 146
UNIDAD 13 Romo Puesto que e romo es un preogrmo, su áre se puede ccur como se h descrito en e prtdo nterior: A = ( es distnci entre dos dos opuestos). Cácuo ment Ls digones de un romo miden 6 cm y. Cuá es su áre? L digon de un cudrdo mide 4 dm. Cuá es su áre? Tmién se puede ccur conociendo sus digones. d' d Áre de rectánguo mordo: A rectánguo = d d' Áre de romo: A romo = A rectánguo romo de do y digones d y d' d' d d d' áre A = perímetro P = 4 Cácuo ment Ls ses de un trpecio miden 13 cm y 7 cm. Su tur,. Cuá es su áre? Trpecio ' + ' A os dos preos de un trpecio se es m ses ( se myor, ' se menor). A distnci entre s ses se e m tur,. Si un trpecio e dosmos otro igu, se otiene un preogrmo de se + ' y tur. A trpecio = A preogrmo = ( + ' ) GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. Actividdes 6 H e áre y e perímetro de s siguientes figurs: ) ) 16 m 14,4 m 4 m c) 3 m d) 13 m 11 m 13 m 37 m 8 m 0 m 43 m 13 m 4 m 7 Un prce cudrngur tiene dos dos preos de ongitudes 37, y 6,4 m. L distnci entre esos dos preos es 4. Cuá es superficie de prce? 8 Ls digones de un romo miden 37 cm y. H su áre. 9 L digon de un cudrdo mide 1. H su áre. 147
Áre de un triánguo Cácuo ment H e áre de este triánguo: Oserv: si un triánguo e dosmos otro igu, se otiene un preogrmo. Por tnto, e áre de triánguo es mitd de de preogrmo. 6 m A triánguo = A preogrmo = Si e triánguo es rectánguo, os dos ctetos son perpendicures. Tomndo uno de eos como se, e otro es tur. Por tnto, e áre se puede ccur de dos mners: Notción c y c' son os ctetos. h es hipotenus. es tur sore hipotenus. c h c' A = h c' c h A = c c' Ejercicios resuetos 1. Ccur e áre de triánguo rectánguo de dos 1, 0 cm y. Ccur tur sore hipotenus. 1. Los dos ctetos son os dos menores. E áre es, pues: A = c c' 0 cm 1 Como A = 150 8 5 = 15 0 = 150 cm E áre tmién se puede ccur sí: A = 5 L tur sore hipotenus mide 1 cm. 1 = 150 8 5 = 300 8 = 300 5 0 cm = 1 cm. Hr e áre de un triánguo equiátero de do y 8,66 cm de tur. Actividdes 1 H e áre de un prce tringur de que conocemos un do, 0 m, y su tur, 13 m. H e áre de este triánguo:. 8,66 cm 13 m 0 m 50 m 40 m A = 10 8,66 E áre es 43,3 cm. 3 H e áre de un triánguo equiátero de 40 m de do y 34,64 m de tur. 4 De un triánguo rectánguo conocemos os tres dos: c = 18 cm, c' = y h = 30 cm. ) Ccu su áre. = 43,3 cm ) Cuánto mide tur sore hipotenus? GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 148
3 Medids en os poígonos UNIDAD 13 Cácuo ment H e áre y e perímetro de este cudriátero irregur: Pr hr e áre de un poígono cuquier, se descompone en triánguos y se ccu e áre de cd uno de os triánguos. 13 m áre de poígono = = Sum de s áres de os triánguos 3 m 1 m Sin emrgo, pr os poígonos regures se puede proceder de form más senci. 4 m Áre y perímetro de un poígono regur Si e poígono es regur, se puede descomponer en tntos triánguos igues como dos tiene e poígono. Notción es potem de poígono regur. A = n veces = Perímetro n es e número de dos y, por tnto, n = Perímetro. Actividdes GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 1 Copi este poígono, continú descomponiéndoo en triánguos y tom en eos s medids necesris pr ccur sus áres. H, sí, e áre tot. 1,7 cm,7 cm 1, E do de un octógono regur mide 1, y su potem, 18 cm. H su áre. 3 Recuerd que en e hexágono regur ongitud de do es igu ongitud de rdio de circunferenci circunscrit. Diuj un hexágono regur cuyo do teng un ongitud =. Comprue que su potem mide, proximdmente, 3,. Ccu su áre. 4 Ccu e áre de siguiente figur: 1 m 60 m 0 m 149
4 Medids en e círcuo Perímetro de círcuo d = πd = πr E número π (pi) ve, proximdmente, 3,14 ó 3,1416. E perímetro de un círcuo es ongitud de su circunferenci. Semos que ongitud de un circunferenci es go más de tres veces su diámetro. d d d Longitud de circunferenci = 3,14 veces su diámetro 8 = πd = πr Áre de círcuo Descomponemos e círcuo en muchos triánguos, como si fuer un poígono regur de muchos dos. r Perímetro = πr Si os sectores son muy finos, son prácticmente triánguos. Su tur es r. L sum de tods sus ses es e perímetro de círcuo, πr. Por tnto, su áre es: A = πr r = πr Ejercicio resueto Hr e áre y e perímetro de os recintos cooredos. I 3 cm Actividdes II 3 cm 1 H superficie y e perímetro de recinto mrrón: I. Ests dos circunferencis se mn concéntrics, porque tienen e mismo centro. L región comprendid entre es se m coron circur. Su áre es diferenci de s áres de os dos círcuos. A = π 5 π 3 = 16π = 50,6 cm E perímetro de recinto es sum de s ongitudes de s dos circunferencis: P = π 5 + π 3 = 16π = 50,6 cm Curiosmente, su áre en centímetros cudrdos coincide con su perímetro en centímetros. Es, simpemente, un csuidd. II. Aunque form se distint, tnto su áre como su perímetro coinciden con os de recinto nterior. 0 m 40 m Ccu e perímetro y e áre de est figur: 40 m GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 150
Ejercicios y proems Consoid o prendido utiizndo tus competencis Áres y perímetros de figurs sencis H e áre y e perímetro de cd un de s figurs cooreds en os siguientes ejercicios: 1 ) ) ) ) 5 dm 8 m cm 8 cm 17 m 8 Averigu cuánto mide tur de un rectánguo de 40 m de superficie y de se. 9 H e áre de un trpecio cuys ses miden 1 cm y 0 cm, y su tur,. 10 Ls ses de un trpecio isóscees miden 6 cm y 1; tur, 8 cm, y otro de sus dos,. Ccu e perímetro y e áre de figur. 11 Los dos de un triánguo rectánguo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Ccu su áre y tur sore hipotenus. UNIDAD 13 3 ) ) 5 dm 7 dm 9, dm 11 dm 4 ) ) 6 cm m 1 10 mm 1 Ccu e áre y e perímetro de un hexágono regur de 6 mm de do y 5, mm de potem. Medir y ccur áres y perímetros En cd un de s siguientes figurs cooreds h su áre y su perímetro. Pr eo, tendrás que medir gún eemento (do, digon, rdio ). 9, 18 cm 5,4 hm 8 hm 15 hm 13 ) ) GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 5 ) ) 47 mm 30 mm 57 mm 6 ) ) 5 dm 7 ) ) 7, cm 4 dm 9 dm 30,4 mm 3 cm 6 cm 1 cm 36 cm 1,1 cm 6 km 43 cm 0 cm 14 ) ) 15 ) ) 151
Ejercicios y proems Consoid o prendido utiizndo tus competencis Áres y perímetros menos sencios 16 Ccu e áre y e perímetro de s figurs cooreds. ) 31 m 3 37 m 49 m 40 m H e perímetro y e áre de s figurs cooreds en os siguientes ejercicios: 17 ) ) 1 8 m 7 mm ) 54 m 18 ) ) 9,9 km 7 cm 3 km 4 km 10 8 mm c) 19 ) ), 1 m 0, 5 hm 7 hm 8,6 hm Autoevución 1 Ccu e áre y e perímetro de cd un de s siguientes figurs: ) c) e) g) 7 cm 1 1 cm 16 cm 10 8 cm cm 6 cm ) 17 cm d) f) 1 cm 56 m 11 m 16 m 0, 106 m 90 m 1, Ten en cuent que 10 es tercer prte de 360. H e áre de este cmpo: 60 m 6 4 40m 3 H e áre y e perímetro de cd un de s cutro prces de este jrdín circur de 16 m de diámetro: GRUPO ANAYA, S.A. Mtemátics 1. ESO. Mteri fotocopie utorizdo. 15