Elctricidad y calor Wbpag: http://paginas.fisica.uson.mx/qb 2007 Dpartamnto d Física Univrsidad d Sonora 1
Tmas 8. Potncial léctrico. i. Enrgía Potncial léctrica. ii. Enrgía Potncial léctrica n un campo uniform. iii. Enrgía Potncial léctrica d cargas puntuals. iv. Potncial léctrico. v. Calculo dl potncial léctrico. vi. Suprficis quipotncials. vii. El lctrón-volt. 2
Enrgía potncial léctrica. En mcánica s introduc l concpto d nrgía, como una cantidad scalar qu s utiliza para formular la ly d la consrvación d la nrgía. Al mplar la ly d la consrvación d la nrgía, podmos vitar trabajar dirctamnt con furzas cuando s rsulvn problmas mcánicos. La furza léctrica al igual qu la furza gravitacional, s conscuncia d las lys fundamntals d la naturalza. Tomando como bas qu la furza léctrica s consrvativa podmos afirmar, d manra análoga al caso gravitacional, qu s posibl asociar a una partícula con carga o una colcción d partículas cargadas una cantidad llamada nrgía potncial léctrica. Esta nrgía potncial léctrica pud transformars n nrgía cinética o d moviminto. 3
h g Enrgía potncial léctrica. Furza consrvativa. Supongamos qu tnmos un campo gravitacional g qu apunta hacia abajo, y colocamos dntro dl campo un curpo d masa m. Si considramos un dsplazaminto dl curpo n dircción contraria al campo podmos afirmar qu la furza gravitacional (pso) ha ralizado un trabajo sobr l curpo. Considrando qu l trabajo s dfin como l producto scalar d la furza aplicada por la distancia rcorrida, n st caso podmos calcular l trabajo ralizado, al rcorrr la trayctoria (rcta) mostrada, como W = F d = mg h Cos180 = mgh ( )( ) 0 4
h g Enrgía potncial léctrica. Furza consrvativa. A continuación, si considramos un dsplazaminto arbitrario para dsplazar l objto d masa m. Podmos calcular l trabajo ralizado, rsultando qu st s f i W = F dr = mgh S dic qu una furza s consrvativa cuando l trabajo fctuado sobr una partícula qu s muv bajo su influncia ntr dos puntos s indpndint d la trayctoria, s dcir, qu sólo dpnd d la posición inicial y final dl curpo y no d los dtalls d cómo s ralizó l paso d su posición inicial a la final. 5
Enrgía potncial léctrica. Furza consrvativa. Lo antrior prmit afirmar qu una furza s consrvativa cuando l trabajo qu raliza a lo largo d una trayctoria crrada s cro. Podmos considrar qu l trabajo ralizado sobr un curpo s una nrgía xtrna qu, n st caso, l s cdida al objto convirtiéndos n lo qu s conoc como nrgía potncial; d tal forma qu si soltamos l curpo, st buscará ubicars n puntos d mnor nrgía potncial (n st caso rlacionada dirctamnt con la altura, ya qu l trabajo rsultó sr mgh). La nrgía potncial s prsnta n conxión con furzas consrvativas como por jmplo la furza d gravdad y la furza lástica d un rsort. En particular, hmos mostrado qu cuando un curpo s dsplaza n sntido contrario al campo gravitacional, la furza gravitacional raliza un trabajo ngativo, dado por -mgh. 6
Enrgía potncial léctrica. El moviminto d una partícula d masa m n un campo gravitacional (g), s análogo al moviminto d una partícula d carga q 0 positiva n un campo léctrico (E). Cuando una partícula d carga positiva s dsplaza n sntido contrario al campo léctrico raliza un trabajo ngativo. E + + Supongamos qu tnmos un campo léctrico E y colocamos dntro dl campo una partícula d carga positiva q 0. Para movr una partícula n sntido contrario al campo (gravitacional o léctrico) s rquir dl trabajo d un agnt xtrno. Si la furza xtrna s igual y opusta a la furza dbida al campo, la nrgía cinética d la partícula no cambia. En st caso todo l trabajo xtrno s almacna como nrgía potncial dl sistma. 7
Enrgía potncial léctrica. Prviamnt hmos mncionado qu la furza gravitacional (mg) s una furza consrvativa ya qu l trabajo asociado con lla NO dpnd d la trayctoria sguida, sino sólo d las posicions inicial y final. E + + Como la furza léctrica (q 0 E) tin la misma forma d la furza gravitacional podmos afirmar, por analogía, qu la furza léctrica s también una furza consrvativa, s dcir, l trabajo dbido al campo léctrico no dpnd d la trayctoria sguida, sino sólo d las posicions inicial y final d la carga. Por tanto, los fnómnos lctrostáticos pudn dscribirs convnintmnt n términos d una nrgía potncial léctrica y d un potncial léctrico. 8
Enrgía potncial léctrica. La nrgía potncial gravitacional U g crca d la tirra vin dada por U g = mgh S pud obtnr una función qu no dpnda d la masa m, dfinindo l potncial gravitacional V g, como la nrgía potncial por unidad d masa, s dcir V g U = = gh m La difrncia d potncial gravitacional ntr dos puntos s dfin como l trabajo xtrno ncsario para dsplazar una unidad d masa m dsd l nivl inicial y i hasta una altura final y f dada, sin cambiar su rapidz. 9
Enrgía potncial léctrica. D manra análoga, podmos dfinir l cambio d nrgía potncial léctrica como l trabajo (xtrno) ncsario para dsplazar una carga q 0 a través d un campo léctrico E, rsultando f 0 i Δ U = q E ds Dond la intgral s valúa a lo largo d la trayctoria sguida por la carga q 0 para ir dsd la posición inicial (i) hasta la posición final (f). 10
Enrgía potncial léctrica. Como la furza léctrica (q 0 E) s consrvativa, l valor d sta intgral NO dpnd d la trayctoria sguida, sino sólo d los puntos inicial y final. f 0 i Δ U = q E ds El cambio d nrgía potncial léctrica ntr dos puntos s dfin como l trabajo xtrno ncsario para dsplazar una carga q 0 dsd l punto inicial (i) hasta l punto final (f), sin cambiar su rapidz. 11
Enrgía potncial léctrica n un campo uniform. La xprsión antrior, para l caso d un campo léctrico uniform s pud valuar como Δ U = q E Δs En st caso, Δs rprsnta l vctor qu va dl punto inicial al punto final, s dcir Δ s = r r Si d rprsnta la magnitud dl dsplazaminto y θ l ángulo ntr l campo léctrico y l dsplazaminto, ntoncs podmos scribir al cambio d nrgía potncial léctrica como Δ U = q EdCosθ 0 f 0 i 12
Enrgía potncial léctrica n un campo uniform. Con lo antrior podmos concluir qu las línas d campo léctrico simpr apuntan hacia rgions n las qu la nrgía potncial léctrica disminuy, d forma análoga al caso gravitacional. a) Considrando un campo E dirigido hacia abajo, cuando una carga positiva q s muv d A a B l sistma carga-campo pird nrgía potncial léctrica. b) Cuando un objto d masa m s muv hacia abajo n la dircción d un campo gravitacional g, l sistma curpo-campo pird nrgía potncial gravitacional. 13
Enrgía potncial léctrica n un campo uniform. Un jmplo. Calcul l cambio d nrgía potncial qu xprimnta un protón qu s dsplazado oblicuamnt sobr una rgión d 30cm d ancho dond xist un campo léctrico uniform d 4.5x10 6 N/C. Considr qu l ángulo formado ntr la lína d dsplazaminto y l campo léctrico s d 25 0. 30cm θ Δ U = q EdCosθ 0 14
Enrgía potncial léctrica d cargas puntuals. Para l cálculo d la nrgía potncial léctrica d varias cargas puntuals, por jmplo: cuatro, dbmos ncontrar cuánto trabajo ncsitamos ralizar para formar l arrglo qu tinn dichas cargas. Cuando iniciamos, sólo tnmos una carga puntual por lo qu no ralizamos trabajo ya qu no hay campo léctrico qu nos gnr una furza léctrica sobr la carga qu stamos movindo. Al movr la sgunda carga ahora sí tnmos una nrgía potncial ya qu l campo léctrico dond s muv la carga s difrnt d cro, n st caso tnmos f q1 ˆ 2 2 r i Δ U = q k r dr 15
Enrgía potncial léctrica d cargas puntuals. Esta intgral s pud rsolvr tomando una trayctoria rcta qu inici n infinito y trmin n l punto dond s colocará la carga q 2, con lo qu U 2 = k qq r Al movr la trcra carga puntual, tnmos qu ahora aparcn dos trabajos ya qu sta trcra carga s muv n l campo d las dos primras cargas, así qu 2 1 21 qq U3 = k + k r qq 3 1 3 2 31 r32 16
Enrgía potncial léctrica d cargas puntuals. Al movr la cuarta carga puntual tnmos la aparición d trs trabajos, cada uno corrspondint al campo léctrico producido por las trs cargas antriors, a sabr qq qq U = k + k + k 4 4 1 4 2 4 3 r41 r42 r43 Lo antrior prmit stablcr qu la nrgía potncial léctrica d cuatro cargas puntuals corrspond al trabajo fctuado, a sabr, la suma d las nrgías parcials antriors, s dcir qq U = U1+ U2 + U3+ U4 qq qq qq qq qq qq U = 0 + k + k + k + k + k + k 2 1 3 2 3 1 4 1 4 2 4 3 r21 r32 r31 r41 r42 r43 17
Enrgía potncial léctrica d cargas puntuals. Gnralizando st rsultado podmos stablcr qu la nrgía potncial léctrica d N cargas puntuals, corrspond al trabajo total fctuado para formar l arrglo, a sabr, la suma d las nrgías corrspondints a TODAS las parjas qu podamos formar SIN rptirlas, s dcir ó qq qq qq qq qq qq U k k k k k k 2 1 3 2 3 1 4 1 4 2 4 3 = 0 + + + + + + +... r21 r32 r31 r41 r42 r43 U N = k i= 1 j> i qq i r ij j Enrgía potncia léctrica d un arrglo d N cargas puntuals, dond la sumatoria s raliza sobr todas las parjas sin rptir. 18
Enrgía potncial léctrica d cargas puntuals. Un jmplo. Calcul la nrgía potncial léctrica dl arrglo mostrado n la figura P25.28. La nrgía rqurida para formar l arrglo d cargas (y qu corrspond a la nrgía potncial léctrica) s d 7.50x10-5 J. 19
Potncial léctrico. Para una posición dada d la carga pruba q 0 n l campo, l sistma carga-campo tin una nrgía potncial léctrica U. Dividindo sta nrgía potncial ntr la carga pruba s obtin una cantidad física qu sólo dpnd d la distribución d cargas funt, y no d la carga pruba qu mplamos. La nrgía potncial por unidad d carga U /q 0, qu s indpndint dl valor d q 0 y tin un valor n cada punto d un campo léctrico, rcib l nombr d potncial léctrico (o simplmnt potncial) V. Por lo tanto, l potncial léctrico V n cualquir punto d un campo léctrico s V U q 0 En l SI la unidad dl potncial léctrico s l Volt (V), d forma tal qu 1Volt = 1J/C. El hcho d qu la nrgía potncial sa un scalar origina qu l potncial, también, sa una cantidad scalar. 20
Potncial léctrico. D nuvo, al star dfinido l potncial léctrico n términos d la nrgía potncial léctrico, podmos afirmar qu la difrncia d potncial (o voltaj) NO dpnd d la trayctoria sguida, sino sólo d sus puntos inicial y final. En (a) la partícula s muv n dircción paralla al campo, d tal forma qu l cambio d potncial s ( θ ) ΔU q0edcos Δ V = = q q s dcir 0 0 Δ V = Ed dond hmos considrado qu θ=0 0. 21
Potncial léctrico. En (b) la partícula s muv primro n dircción prpndicular al campo, así qu l cambio d potncial n sta part d la trayctoria s cro ( porqué?). A continuación lo hac diagonalmnt formando un ángulo d 45 0 con l campo. En sta sgunda part d la trayctoria, s rcorr una distancia d =d/sn45 0, d tal forma qu l cambio d potncial s d Δ V = E Cos45 0 Sn45 s dcir Δ V = Ed dond hmos considrado qu Sn45 0 =Cos45 0. 0 22
Potncial léctrico. Con lo antrior, hmos dmostrado qu la difrncia d potncial (o voltaj) NO dpnd d la trayctoria sguida, sino sólo d sus puntos inicial y final, rsultando n st caso Δ V = Ed Con todo sto podmos stablcr qu la difrncia d potncial o voltaj ΔV, al movr una carga d pruba una distancia d sobr una trayctoria qu forma un ángulo θ con un campo uniform E, stá dado por Δ V = E d = EdCosθ 23
Potncial léctrico. Algunas anotacions. Una vz stablcidas las idas d nrgía potncial léctrica y potncial léctrico, s important hacr las siguints anotacions: La nrgía potncial léctrica s caractrística dl sistma carga-campo dbida a una intracción ntr l campo y una partícula cargada colocada n l campo. El potncial léctrico s caractrístico dl campo solamnt, ya qu s indpndint d una carga pruba qu puda sr colocada n l campo. A partir d la dfinición d potncial, así como dl rsultado Δ V = Ed podmos stablcr qu las unidads dl campo léctrico, admás d N/C, pudn sr V/m. Esto nos prmit intrprtar l campo léctrico como la razón d cambio dl potncial con rspcto a la posición. 24
Cálculo dl potncial léctrico. El potncial léctrico s pud calcular d una manra muy simpl: basta rcurrir a la dfinición gnral d nrgía potncial léctrica f para scribir Δ U = q0 E ds f i i f i Δ V = V V = E ds Antriormnt ya hmos ralizado st cálculo para l caso n qu l campo léctrico s uniform, ncontrando qu V V V E ds E s Δ = B B A = = A 25
Cálculo dl potncial léctrico. Para l caso d una carga puntual, procdamos a calcular la intgral f i Δ V = V V = E ds Considrando l squma anxo, l campo E n cualquir punto a una distancia r stá dado por q E = k ˆ r 2 r Con llo, l argumnto d la intgral s pud scribir como q E ds k ˆ = r ds 2 r pro como la magnitud dl vctor unitario s 1, l producto punto s scrib como ˆr ds = dscosθ f i 26
Cálculo dl potncial léctrico. Dl squma pud vrs qu dscosθ s la proycción d ds sobr r, así qu dscosθ = dr, s dcir, cualquir dsplazaminto ds a lo largo d la trayctoria produc un cambio dr n la magnitud d r. Con sto n mnt, podmos scribir q E ds = k dr 2 r Por lo qu la difrncia d potncial, a partir d la intgral rsulta sr q Δ V = V V = k dr 2 r B B A A 1 1 Δ V = VB VA = kq r B r A 27
Cálculo dl potncial léctrico. En st punto s convnint stablcr la dfinición siguint: S dfin l potncial léctrico V(r) n un punto P, como la difrncia d potncial léctrico ΔV xistnt ntr infinito (dond s toma V=0) y l punto P, s dcir d dond V() r = Δ V = VP V q V() r = k r qu rprsnta l potncial léctrico V a una distancia r a partir d la carga q. 28
Cálculo dl potncial léctrico. Para una carga puntual, n la gráfica anxa s mustra l comportaminto, tanto dl campo léctrico como dl potncial. V dcrc como 1/r E dcrc como 1/r 2 Gráfica dl potncial léctrico V d una carga positiva 29
Cálculo dl potncial léctrico. Para situacions n qu tnmos dos o más cargas puntuals, l potncial léctrico s calcula mplando l principio d suprposición, qu stablc qu l potncial n un punto s la suma d los potncials d cada una d las cargas, s dcir qi V() r = k r dond r i s la distancia d la carga q i al punto P dond stamos calculando l potncial V. Gráfica dl potncial léctrico n l plano qu contin un dipolo construida usando l principio d suprposición i i 30
Cálculo dl potncial léctrico. Cálculos típicos d potncials léctricos Distribución d carga Esfra aislant d radio R, dnsidad d carga uniform y carga total Q. Esfra conductora d radio R y carga total Q Anillo uniformmnt cargado d radio a Disco uniformmnt cargado, d radio a y dnsidad suprficial d carga σ. Potncial léctrico k Q k r 2 Q r 3 2R R Q k r k x Q k R Q + a 2 2 2 π σ + 2 2 2 k x a x Ubicación r>r r<r r>r r<r A lo largo dl j prpndicular al plano dl anillo a una distancia x A lo largo dl j prpndicular al plano dl disco a una distancia x 31
Cálculo dl potncial léctrico. Ejrcicios. 20. Dos cargas puntuals Q1=+5.00nC y Q2=-3.00nC, stán sparadas 35.0cm. (a) Cuál s la nrgía potncial dl par? Qué significado tin l signo algbraico d la rspusta? (b) Cuál s l potncial léctrico n l punto mdio ntr las cargas? 32
Cálculo dl potncial léctrico. Ejrcicios. Tomando como rfrncia la figura P25.19, calcul (a) la nrgía mplada para formar l arrglo d cargas; (b) l potncial léctrico V P n l punto mdio d la bas dl triángulo. Considr qu q=7.50μc. (a) No s rquir nrgía para formar l arrglo d cargas, ya qu la nrgía potncial léctrica s 0J. (b) El potncial léctrico V P s -11.8629MV. P 33
Suprficis quipotncials. El nombr d suprfici quipotncial s dado a cualquir suprfici formada por una distribución continua d puntos qu tinn l mismo potncial léctrico. Una caractrística fundamntal d las suprficis quipotncials s qu n cualquir punto son prpndiculars a las línas d campo léctrico. Para l caso d un campo uniform, como l mostrado n l diagrama anxo, mintras qu las línas d campo (n color naranja) son horizontals, las suprficis quipotncials (línas puntadas azuls) son vrticals; d forma tal qu, n cualquir punto d cruc ntr llas, l ángulo qu s forma s un ángulo rcto. 34
Suprficis quipotncials. Para una carga puntual l squma anxo mustra l patrón formado por las línas d campo y las suprficis quipotncials. Estas últimas corrspondn a círculos concéntricos a la carga. Para l caso d un dipolo léctrico, mostrado n l diagrama anxo, vmos qu l patrón d suprficis quipotncials muy crca d las cargas son circulars, pro conform s aljan mpizan dformars para tomar n cunta la prsncia d la otra carga. 35
El lctrón-volt. Una unidad d nrgía comúnmnt mplada n laboratorios s l lctrón-volt (rprsntado por V), qu s dfin como la nrgía qu un lctrón (o protón) gana (o pird) al sr aclrado a través d una difrncia d potncial d 1 volt. Los lctrons, n átomos normals, tinn nrgías dl ordn d dcnas d lctrón-volts (V s). Elctrons xcitados tinn nrgías dl ordn d los mils d lctrón-volts (kv s: kilo lctron-volts). Los rayos gamma d alta nrgía posn nrgías qu s ubican n l ordn d los millons d lctrón-volts (MV s: mga lctrón-volts). Con bas n la dfinición s pud stablcr la quivalncia siguint: 1 V=1 J/C» 1 V = 1.6021892x10-19 J 36
Sumarizando En l siguint cuadro s rsumn difrnts cantidads físicas qu hmos studiado hasta l momnto, así como su rlación. Concpto o cantidad física Caráctr vctorial Caráctr scalar Intracción ntr cargas Propidads dl spacio asociadas a la prsncia d cargas Furza léctrica qq F = k rˆ 1 2 2 r12 12 Campo léctrico q E = k ˆ r 2 r Enrgía potncial léctrica U = k 1 2 12 Potncial léctrico V = qq r q k r 37