Jime rvo Feres Nelink TRICES Y DETERINNTES s mries preen por primer vez hi el ño 8, inroduids por J.J. Sylveser. El desrrollo iniil de l eorí se dee l memáio W.R. Hmilon en 8. En 88,. Cyley inrodue l noión mriil omo un form revid de esriir un sisem de m euiones lineles on n inógnis. s mries se uilizn en el álulo numério, en l resoluión de sisems de euiones lineles, de ls euiones difereniles y de ls derivds priles. demás de su uilidd pr el esudio de sisems de euiones lineles, ls mries preen de form nurl en geomerí, esdísi, eonomí, informái, físi, e... uilizión de mries rrys) onsiuye ulmene un pre esenil dn los lengujes de progrmión, y que l myorí de los dos se inroduen en los ordendores omo ls orgnizds en fils y olumns : hojs de álulo, ses de dos,.... TRICES Un mriz de orden m n es un rreglo rengulr de números o funiones, de l form: i n i n ij ) mn i i ij in m m mj mn Oserviones: El número ij, represen el elemeno de l i-ésim fil y l j-ésim olumn de l mriz. : Sen ls mries 7 ; es un mriz de orden es un mriz de orden En l mriz enemos: 7; ; ; GUNS CSES DE TRICES ) endiendo l form ) Si es un mriz de orden n se llm mriz fil [ ] n, es un mriz de orden n
Jime rvo Feres Nelink [ ], es un mriz de orden ) Si es un mriz de orden m se llm mriz olumn ) riz udrd l digonl prinipl es l líne formd por los elemenos, los elemenos de l digonl prinipl son,,. d) Un mriz, se llm rspues de, y se represen por, l mriz que se oiene mindo fils por olumns. primer fil es l primer olumn de, l segund fil de es l segund olumn de, y sí suesivmene. De l definiión se dedue que si es de orden m n, enones es de orden n m. e) Un mriz udrd es siméri si, es deir, si ij ji m es un mriz de orden m Si es un mriz de n n, on n fils y n olumns se llm mriz udrd. En un m : nn...,, de 9 8 7 9 8 7 j i, Oservión: En un mriz siméri, los elemenos son simérios respeo l digonl prinipl. f) Un mriz udrd es nisiméri si, es deir, si ij Oservión ji j i, )
Jime rvo Feres Nelink En un mriz nisiméri, los elemenos de l l pri ué?), y los resnes son opuesos respe digon nipl son siempre o dih digonl. se llm Orogonl si se verifi que: Nos: invers de un mriz orogonl es un mriz orogonl. El produo de dos mries orogonles es un mriz orogonl. El deerminne de un mriz orogonl vle ó -. ) endiendo los elemenos ) Un mriz de orden m n, on odos sus elemenos igules ero, se llm mriz nul. y son mries nuls. ; ) Un mriz udrd, se llm mriz digonl si odos sus elemenos que no esán en l digonl prinipl son ero. ) Un mriz se denomin riz eslr, si es un mriz digonl on odos los elemenos de l digonl igules ; donde nulos por q g) I Un riz I ; R d) Se denomin riz unidd o idenidd, un mriz eslr on los elemenos de l digonl prinipl igules. Tmién se suele deir que un mriz se llm mriz idenidd un mriz udrd, uyos elemenos de l digonl prinipl son y los oros elemenos son odos ero.
Jime rvo Feres Nelink I e) Un mriz udrd se onoe omo ringulr superior o inferior) si odos sus elemenos por dejo o rri) de l digonl prinipl son ero., es un mriz ringulr superior., es un mriz ringulr inferior. f) Un mriz se llm involuiv si se umple: uego es un mriz involuiv uego es un mriz involuiv. TRSPOSICIÓN DE TRICES Dd un mriz de orden m n, ij ), se llm mriz rspues de, y se represen por, l mriz que se oiene mindo ls fils por ls olumns o vievers) en l mriz. Es deir: Propieddes de l rsposiión de mries. Dd un mriz de orden m n, siempre eise su rspues y demás es úni. C I I I mn n m nn n n
Jime rvo Feres Nelink. ). Enuenre ls rnspuess de ls mries: ; Soluión s rnspuess de y son: ; 8 8. GER DE TRICES Iguldd de ries Dos mries y son igules si y sólo si: ) y ienen el mismo número de fils y olumns. ) Todos los elemenos orrespondienes son igules es deir: ij ) mn ij ) mn ij ij ; i, j Si ; ; Sum de ries sum de dos mries y de orden m n se define omo l mriz ij ij ) mn es deir, sumr dos mries del mismo orden, es sumr sus elemenos orrespondienes. sum de:, 7 ; es 7 9 7 ulipliión de un riz por un Eslr ij ) m n mulipliión de un eslr k por un mriz ; se define medine: k ij ) mn k, k R. Propieddes Sen, y C mries de orden m n y se k un eslr enones:.
Jime rvo Feres Nelink.. ) C C).. ) k k k, R. θ θ: mriz nul) 7. k h) k h Sen.. Clulr - : ;. 7 Soluión:.. 7. ulipliión de ries Sen ij ) mn, y se ij ) np Enones el produo de y es un mriz Es deir : fil i de ).olumn j de ) ij n C ij ) mp, donde: ij jkkj k Oservión El produo de C; esá definido sí el número de olumns de l mriz es igul l número de fils de ; en ese so se die que ls mries y son onformles. : Si y, lule y si es posile. Soluión: ) es un mriz de orden es un mriz de orden esá definid y es un mriz de orden, ddo por: 8 9 7 ) Cálulo de Se iene que, es un mriz de orden
Jime rvo Feres Nelink ienrs que, es un mriz de orden, por lo no el produo de no esá definido Propieddes ) ey soiiv pr l mulipliión de mries. Se ij ) nm, ij ) mp y C ij ) pq Enones: C) )C esá definid ) eyes disriuivs pr l mulipliión de mries. Si ods ls sums y odos los produos siguienes esán definidos, enones: C) C ) C C C ) ey de l mriz idenidd: I ; I es l mriz idenidd. ) El produo de mries en generl no es onmuivo 7 7 Conseuenis de ls propieddes ) Si θ no impli q e u θ ó θ. Sen θ θ θ. ) Si C no impli que C. 7 C de donde 7 C
Jime rvo Feres Nelink ) En generl ), y que. ) En generl ) ), y que.. TRICES INVERSIES Un mriz udrd que posee invers se die que es inversile o regulr donde el ) ; en so onrrio reie el nomre de singulr donde el ). Propieddes de l inversión de mries. mriz invers, si eise, es úni. I. ). ) k k. ) ). ) ) Oservión I Podemos enonrr mries que umplen I, y que, en l so, podemos deir que es l invers de "por l izquierd" o que es l invers de "por l dereh". Hy vrios méodos pr lulr l mriz invers de un mriz dd que veremos más delne):. Diremene usndo l resoluión de un sisem de euiones:. Usndo deerminnes C. Por el méodo de Guss-Jordn. DETERINNTES od mriz udrd de orden n n, le orresponde un número rel llmdo deerminne de l mriz, que se deno por de ó ) Deerminne de orden uno ) [ ] de ) ; mién se puede usr l noión ; No
Jime rvo Feres Nelink noión no dee onfundirse on el vlor soluo de un número. ) Definiión de un deerminne pr un mriz de orden Se enones de Hllr el deerminne de l mriz Soluión Si enones: de ) )) )) 8 Oservión: os elemenos,, onsiuyen l digonl prinipl, mienrs que,, onsiuyen l digonl seundri. los elemenos ) Definiión de un Deerminne pr un mriz de orden Se un mriz udrd de orden, el deerminne de se define: de) o ul se puede reordr de modo fáil medine l siguiene regl: l que se le llm l Regl de Srrus. No: regl de Srrus sólo sirve pr deerminnes de orden. Pr deerminnes de myor orden se us l definiión del menor omplemenrio y ofores, que veremos más delne. s ) Clulr el deerminne de -
Jime rvo Feres Nelink Soluión l dereh del deerminne ddo gregmos ls dos primers olumns de modo que: - )) )) ))) )) ) ))) )) 8 ) Enuenre odos los vlores de pr los ules de ) Soluión ) de )[) ) ] ) ) enor Complemenrio ) ) ó S e un mriz de orden n n, se llm menor i, j) de l deerminne de l ) ) ij sumriz de n n que se oiene de, l eliminr l i-ésim fil y l j-ésim olumn de.. Se. Enuenre y Soluión, Cofor. Se un mriz de orden n n. El ofor de i, j) de, denodo por es: ij ij i j ) ij
Jime rvo Feres Nelink i j ; si, i j es pr ) ; si, i j es impr El signo de d ofor esá onfigurdo de l siguiene mner: Clule el deerminne de l siguiene mriz: Soluión de) ) ) ) de ) de ) ) ) 8) ) ) ) Cálulo de un deerminne por los djunos de un líne Se un mriz udrd y ij uno ulquier de sus elemenos. Si se suprime l fil i y l olumn j de l mriz se oiene un sumriz que reie el nomre de ij mriz omplemenri del elemeno. ij Dd l mriz i n i n ij j ij nj n n in nn l mriz omplemenri del elemeno es l mriz que resul de suprimir en l mriz l fil y l olumn ; es deir:
Jime rvo Feres Nelink n n nn lmmos menor omplemenr io del elemeno ij l deerminne de l mriz omplemenri del elemeno ij, y se represen por ij i j Se llm djuno de, y se represen por por ij, l número ). Oservión i j El signo es si ij es pr, en ) i j El signo es - si ij es impr, ) Dd l mriz 7 ij ij ij ) El menor omplemenrio del elemeno de es, )) )) 7, ese deerminne es el de l sumriz, oenid l quirles l segund fil y l primer olumn. ) El djuno del elemeno de es: ) )7) 7 CONCUSIÓN: El deerminne de un mriz udrd es igul l sum de los elemenos de un fil o olumn ulquier, muliplidos por sus djunos. ij Por ejemplo, si desrrollmos un deerminne de orden n por los djunos de l ª fil se iene: n i j i demosrión es muy fáil, s on plir l definiión de deerminne mos ldos de l iguldd. n n n n m mn m mn m m mn De modo priulr, lulr el deerminne de l mriz Soluión. n m m
Jime rvo Feres Nelink 8 9 ) 8) ) ) ) ) ) de Por lo no se iene: Si PROPIEDDES DE OS DETERINNTES los álulos. ) Si odos los elemenos de un fil o olumn) de un mriz son eros, enones su deerminne es igul ero. de). os deerminnes ienen muhs propieddes que filin ; ) El deerminne de un mriz y el de su rnspues ) son igules. ) Si se inermin dos fils o olumns) de un mriz, enones el deerminne mi de signo. s :Indi el inermio de ls olumns y ; Clulndo el vlor de los deerminnes de l mriz se iene: ) de ) de ; 7 7 luego C ; C 9 ) ) ) )
Jime rvo Feres Nelink 9 ) )) )) Como oservmos l inermir dos olumns en l mriz el vlor del deerminne igno. ; : Indi el inermio de ls fils y ; en ese so mién se iene que el de ) - de) ; el vlor soluo de los deerminnes es el mismo y se diferenin en riz iene dos fils o olumns) igules, enones su deerminne es igul ) mi de s F F el signo solmene). ) Si un m ero. 9 ) ) ) Si ) Si un fil o olumn) de un mriz es un múliplo onsne de or fil o olumn), enones su deerminne es ero. 9 ) de 9 : ; ) de : Si Si ) Si un múliplo de un fil o olumn) de un mriz se sum or fil o olumn) de l mriz, enones el deerminne no vrí. 7) Culquier número rel k, y pr ulquier mriz de orden n n, se umple que: ) de ) de ) Si F F
Jime rvo Feres Nelink de) k dek) n jemplo Se ; y se E de) 7 de) de) ) 7 no: de) de) 8) Un deerminne ringulr es igul l produo de los elemenos de l digonl prinipl. hor plindo l propiedd enemos: hor: Por lo )) ) ) de Si 9) Si es un mriz regulr inverile) enones se umple: Si jemplo E Se / / / / / / / / / / ) ndos, diho eerminne se desompone en l sum de dos deerminnes. ) Si odos los elemenos de un fil o olumn esán formdos por dos sum d f d e f e d Se ` 7 9 7 8 ) de ) El deerminne de un produo es igul l produo de los deerminnes.
Jime rvo Feres Nelink 7 8 7 Se y Se quí se iene que: de ) - y de ) ; de ) - Por no: de ) - de ) de ) - l méodo de Guss e n e equivlene on el mismo vlor) l que se preende lulr, pero esregi ener en uen en el so de deerminnes de orden o myores que, onsise en her eros pueso que el vlor del deerminne no vrí elemenles en fils r que l mejor deerminne por el méodo de Guss es her eros en un fil o olumn que nos yude simplifir el álulo del deerminne. De es form el prolem se redue que es sne fáil usndo ls ropieddes de los deerminnes. Pr onseguir ringulrizr el deerminne se pueden plir ls siguienes operiones: Permur fils ó olumns. uliplir o dividir un líne por un número no nulo. Sumrle o resrle un líne or prlel muliplid por un número no nulo. Clulr el deerminne de l mriz ; pr filir el rjo inermimos l fil on l fil ; luego enemos: Cálulo de deerminnes por e Se onoe ómo méodo de Guss un méodo pr filir el álulo d deerminnes usndo ls propieddes de ésos. Diho méodo onsise en hllr u deerminn ringulr. l relizr iers rnsformiones omo nos indin ls propieddes nes esudids. De mne form de lulr un lulr un deerminne de un mriz ringulr, os p 8 8 8 F F F F F por F 9 7 8 8 F F F F F F Enones el 9 ) 9 ))) ) de
Jime rvo Feres Nelink 7. OPERCIONES EEENTES DE FI Un operión elemenl de fil en un mriz es ulquier de los res ipos de operiones siguienes: ) Inermir ls fils i por j: F F ) uliplir l fil i por un número diferene de ero: i j F i ) ) ulipliión de l fil i por y sumr el resuldo l fil j: F i ) Fj Oservión: Cominndo ess res operiones deudmene hllremos fáilmene el rngo de un mriz; l invers de un mriz o resolver un sisem de euiones lineles. Form Reduid de Guss Culquier mriz de orden m n puede ser reduid un mriz más simple, medine un número finio de operiones elemenles de fil; donde se umplen ls uro ondiiones siguienes: ) Tods ls fils nuls de preen en l pre inferior de l mriz. ) Pr d fil no nul, el primer elemeno no nulo es denomindo prinipl). ) Pr dos fils onseuivs no nuls, el prinipl de l fil superior esá más l izquierd que el prinipl de l fil inferior. ) Tod olumn on un prinipl iene eros en ods ls posiiones por dejo de su prinipl. s mries y esán en su form reduid de Guss. ; 8. RNGO DE UN TRIZ El rngo de un mriz, es igul l número de fils no nuls en su form reduid de Guss; se deno por r). Deerminr el rngo de ls mries 7, 7 Soluión Epresndo y en su form reduid de Guss.
Jime rvo Feres Nelink F ) F F F ) F 7 7 F ) F) F F enones r). en su form reduid de Guss, iene l form F ) F F ) F 7 F ) F F ) ', Enones, el rngo de, se epres por: r). CÁCUO DE RNGO USNDO DETERINNTES Oservión: Si onsidermos ls fils y olumns de un mriz, omo veores, podemos firmr enones que es formd por veores fil o veores olumn. Reordr que ls ries formn espios veoriles, que por no ser em del presene no lo omos delldmene quí); Son neesris ls siguienes definiiones: Cominión inel: Ddos dos veores y y dos números reles α y β. El veor α β, se die que es un ominión linel de y. Veores inelmene Dependienes: Vrios Veores fils o olumns) de un mriz se die que son linelmene Dependienes, si eise un Cominión inel de ellos que es igul l mriz nul, si que sen eros los oefiienes de l Cominión inel. Es deir: α α α... α n n Veores inelmene Independienes: Vrios Veores fils o olumns) de un mriz se die que son linelmene Independienes, si ninguno de ellos puede ser esrio omo un Cominión inel de los resnes. Es deir: Si: α α α... αn n y se umple que: α α... αn es se die que los veores fils o,,..., n enon olumns) linelmene Independienes son,
Jime rvo Feres Nelink Rngo de un mriz: es deermindo por el número e fils o olumns linelmene independienes. Clulr el rngo de l mriz: 8 Soluión Pueso que, es un mriz de fils por olumns, enones el deerminne sólo puede ser un deerminne de orden, es deir de fils y olumns. Eso quiere deir que el rngo máimo podrí ser. Pr ello nliemos primermene un menor u lquier que se forme de l mriz dd, de orden, es deir de fils y olumns, hllmos su deerminne: ) Si nos d disino de ero, el rngo serí omo mínimo. ) Si nos d ero, promos on oros menores de orden, hs enonrr uno que se disino de ero. ) Si no hy ninguno que se diferene de ero, el rngo serí uno. Tommos el deerminne del menor: eso indi que ls fils y son linelmene independienes. )) )) 8 7, O se: α α y se umple que: α α,, enones ) α ) α ) De donde se iene: α α α α α α α α de l ulim euión se iene α y en ulquier euión se iene α Siuión que verifi que ls fils y son inelmene independienes. hor vemos si l mriz iene rngo Pr ello orlmos. Orlr un menor es formr un menor de orden un unidd superior omndo un fil y un olumn más de ls que formn el menor iniil. 8 8 8 8 9
Jime rvo Feres Nelink ) 7 78 Como vemos los dos deerminnes que hemos orldo de orden, nos dn ero. Por no el rngo es. Es irunsni deermin que l fil, es dependiene de ls fils y, siuión que se verifi medine: F α F α F. Eso es: F αf α F 8) α ) α ) α ) α ) α α α ) α ) α α 8 8 α ) α ) Por lo no: F. F F No: Es siuión nos onfirm pues que l Fil es dependiene de ls Fils y. Clulr el rngo de l mriz Soluión Se r de un riz de orden, es deir de res fils y olumns, enones el rngo máimo es. Empezmos omndo el menor:. Hllmos su deerminne y oservmos que: de ) ) ) )). Por lo no el rngo mínimo es. Orlmos ese menor de mner que se iene:, luego lulmos, por no el rngo es. Eso nos indi que ls res fils y ls res olumns de l mriz son linelmene independienes. 9. PICCIONES DE TRICES Y DETERINNTES 9. Soluión de Sisems de Euiones Un sisem de m euiones lineles en n inógnis se esrie de l form:
Jime rvo Feres Nelink m m n n nn mn n m ) sí: m m n n mn es l mriz de oefiienes del sisem ). m riz de vriles; mriz de los érminos independienes n n enones el sisem ) puede esriirse en form mriil omo: TRIZ UENTD n m m mn m l mriz n [ ] se le llm mriz umend o mplid del sisem ) Se resuelve el sisem ) esudindo l mriz umend y reduiendo por fils su form reduid méodo denomindo ringulión de Guss o eliminión Gussin). s siguienes ondiiones nos permiirán onoer que ipos de soluiones iene el sisem: ) Si r ) > r), enones el sisem no iene soluión. ) Si r ) r) n número de vriles), enones el sisem iene un úni soluión. ) Si r ) r) < n número de vriles), enones el sisem iene infinis soluiones. Deerminr l soluión del siguiene sisem
Jime rvo Feres Nelink 7 7 9 Soluión Reduiendo l mriz umend sisem iene soluiones. [ ] su form eslond, deerminmos si el 7 7 F 9 7 F ) F F ) F 7 9 F ) 9 F 9 F) F 9 9 Por lo no: [ ] r [ ] r n número de vriles). uego: El sisem iene soluión úni. soluión del sisem es: de l úlim mriz reduid. ; ; ; l que se oiene diremene Deermine que ipo de soluión iene el sisem homogéneo y z y z y z Soluión F ) F F ) F ) F F De donde r) r ) < número de vriles), enones el sisem iene un número infinio de soluiones 9. CÁCUO DE INVERS DE UN TRIZ CUDRD invers de un mriz si eise, se denorá por. Pr su álulo se pli l [ ] mriz I, operiones elemenles de fil hs oener l mriz I, enones ; donde, I es l mriz idenidd. [ ]
Jime rvo Feres Nelink Oservión: U n mriz udrd iene invers si y sólo si de ) Si de ), se die que es no singulr. Si de ), enones es singulr.. Diremene usndo l resoluión de un sisem de euiones: Hllr l invers de l mriz, si eise. Soluión Semos que I, enones usmos, medine: d d I d d No mriz que se h luldo relmene serí l invers por l "dereh", pero es fáil om pror que mién umple I, on lo ul verifimos que es relmene l invers de.. Por el méodo de Guss Jordn Como un pliión de ls operiones fil elemenles enemos quí, el álulo de l mriz invers. El méodo de Guss-Jordn pr lulr l mriz invers de un mriz dd se s en un ringulrizión superior y luego or inferior de l mriz l ul se le quiere lulr l invers. Se, lule si eise. Soluión Usemos el proedimieno pr lulr l invers de un mriz udrd. F ) F F )
Jime rvo Feres Nelink plindo el méodo de Guss-Jordn l mriz invers de. Soluión. Clulr l mriz En primer lugr ringulrizmos inferiormene: F F Un vez que hemos ringulrizdo superiormene lo hemos inferiormene: F F Por úlimo, hrá que onverir l mriz digonl en l mriz idenidd: ) F ; ) F De donde, l mriz invers de es C. Cálulo de l mriz invers usndo deerminnes Dd un mriz udrd, se llm mriz djun de, y se represen por dj), l mriz de los djunos, dj) ij ). Si enemos un mriz l que de ), se verifi: Eso es fáil prorlo pueso que semos que l sum de los produos de los elemenos de un fil por sus djunos es el vlor del deerminne, y que l sum de los produos de los elemenos de un fil por los djunos de or fil diferene es eso serí el desrrollo de un deerminne que iene dos fils igules por los djunos de un de ells). ) Se, lule - si eise. Soluión de ) 8 eise.
Jime rvo Feres Nelink. REG DE CRER Si es un sisem de n euiones on n vriles, l que sisem iene soluión úni. de ), enones el Es soluión es: de ) de ) de n ) ;,..., n de ) de ) de ) Donde j es l mriz que se oiene l reemplzr los elemenos de l j-ésim olumn de por los elemenos de l mriz: n Usndo l regl de Crmer resuelv el sisem Soluión independienes mriz de oefiienes; de ) el sisem iene soluión úni. de ) mriz olumn de los érminos de ) de) de ) Por lo no: ; de) de) uego: El onjuno soluión es: TRICES EN OQUES Sen,,C, D mries n n, n m, m n, m m respeivmene. Enones: de C D D de ) de D). Eso se puede ver de l formul de eiiniz.
Jime rvo Feres Nelink Emplendo l siguiene idenidd: C D C D I D C Vemos que pr un mriz generl se iene: de C D de ) de D C ) nálogmene, se puede oener un idenidd similr on de D) forizndo. Si d son mries digonles, i j de d d r d d r de de d de d r ) ) de d de d r ) ) PROES. Si es de orden, enones el orden de, es: ) ) ) d) e). Si en l mriz E ; se verifi que: ; ; enones el vlor de ) ) ) d) e). Sen ls mries: 8 7 d l sum de ls vriles es: ) ) 99 99 ) d) e) 8. Deerminr y) de modo que se eng: y y y ) ) ) 8 d) e). Dds ls mries,. Cuáles de ls siguienes ondiiones dee de umplirse pr que se verifique: ) I) II) ) )
Jime rvo Feres Nelink III) IV) V) y engn el mismo orden. ) II y III ) I y IV ) IV y V d) I, II, IV y V e) Sólo V. Se mriz de orden, l que: i j y [ ij ], donde ij ) y demás: ; luego el vlor de y, es: y y ) ) ) d) e) 7. sum de los elemenos de l segund fil de l mriz X, si se iene l euión: 8 X 8 9 ; es: ) 8 ) ) d) 8 e) 7 8. En el prolem nerior hllr l sum de los elemenos de X. ) ) ) d) e) 9. Dds ls mries, y θ l mriz nul. Cuál de ls siguienes firmiones es fls?. ) θ ) θ enones θ ó θ ) I d) ) e) )C C C. Sen l mries: m y n ; si y son mries onmules, el vlor de "m n" es: ) ) ) d) e) X Y. Sen y.l resolver el sisem:. El produo de los X Y elemenos de l digonl prinipl de X e Y vle: ) 7 ) ) 88 d) e). Dds ls mries y : 8 ; El produo de los elemenos de l digonl seundri de es: ) ) ) d) e). Si l mriz,, lulr ) ) I ) I d) e) I
Jime rvo Feres Nelink. El elemeno de, si es: ) ) 8. Se ) 8 d) e) enones l sum de los elemenos de l primer fil de es: ) ) ) d) e) [ ]. Si donde min{ i, j} enones se firm que: ij ) I I mriz idenidd) ) ) d) Tr) e) es un mriz digonl. ) 7. Si es un mriz ringulr inferior hllr el áre del ) prlelogrmo siguiene: º ij ) u ) u ) 8 u d) 9 u e) u 8. Dd l mriz, siendo que I es l mriz idenidd. qué es igul ) I ) I ) I d) I e) I?. y 9. Cuál es l mriz X z u si se se que X I ) ) ) d) e). Dds ls mries y. Cuáles de ls siguienes proposiiones son verdders? I) II) II I) ) I y III ) II y III ) I y II d) I, II y III e) Sólo I. Sen y dos mries no nuls, enones l siguiene iguldd: ) ), solmene es verdder si:
Jime rvo Feres Nelink ) y son mries udrds. ) ) d) es l invers de. e) y son mries onformles onmuivs.. Cuáns de ls firmiones que se dn son orres?: I) de ) de ) II) I III) sum de mries es soiiv. IV) El produo de mries es onmuivo. ) ) ) d) e). Dd ; demás si fx) X gx) I. uego: [ f) g) ] es un mriz: ) Tringulr inferior. ) Digonl ) Idenidd d) Eslr e) Cuy primer fil es [ ]. ij ij ij ). rz de l mriz ) / ; es: ) ) ) d) e). Pr que vlores de "" l mriz ; iene deerminne ero?. ) {, } ) {, } ), } d) {, } e) {, }. Clulr l sum de los vlores de, les que: 7 ) ) ) d) 8 e) 8 7. Si ; y el deerminne de es: ) ) ) d) e) 8. El deerminne de es: ) ) ) d) e)
Jime rvo Feres Nelink : ; 9. Sen ls mries N ; N, el de) es: d) Si ) ) ) e). Si es un mriz que se oiene de inermindo sus fi-ls, enones: e). Siendo, uyo deerminne es m; enones de - ) es: ) m ) m ) d) /m e) /m. Si enones l resolver l euión siguiene: X ) ; Cuáles de ls siguienes proposiiones son verdders? I) X es un mriz que iene invers II) X III) X es mriz ringulr superior. ) VFF ) FFF ) VVV d) VFV e) FVF. Hllr el vlor del polinomio f) de l mriz si fx) ) ) ) d) e). Si l mriz es siméri; su deerminne es: ) ) ) d) e). Qué vlor posiivo de, soluion l euión: ) ) ) d) d ; ; ; ) ) 8 ) d) e) 8. Si y demás f, ). Enones el vlor de ft, V) es: T ; V
Jime rvo Feres Nelink ) ) 8 ) 8 d) e) 7. En l mriz X [ ij ], de l euión : X ;l sum de odos los [ ij ], es: ) ) ) d) e) 8. Deermine si eise l invers de l mriz luego l rz de ; es: ) ) ) d) e) 9. Dds ls mries y les que: y [ ]. sum de los elemenos de, es: ) ) ) d) e) 8. Deermine pr que vlores de, l mriz es singulr. ) 8 y ) y ) 8 y d) y e) 8 y. Enuenre un vlor o vlores de k, si es que eise, l que el sisem de euiones: y ; eng preismene un soluión: ky ) k ) k ) k d) k e) k. Se un mriz l que Tr) 7, enones el vlor de es: ) ) ) d) e) 9. Si y son dos mries de orden les que de) y de) 7. Clulr de ) ) ) 7 ) d) e) 7. Hllr el vlor del deerminne:
Jime rvo Feres Nelink ) ) ) d) 8 e). Hllr el vlor de m en: m g) f) ; en ; si f) ; y g). ) ) ) d) e). Sen, y E n ; on, n N; enones l sum de los elemenos de E, es: ) ) ) nn ) d) nn ) e) nn ) 7. Se l mriz ; l que de H) ; luego ; puede ser: ) ) ) d) e) 8. Se un mriz de orden 7 l que H H ; luego el vlor de es: ) ) ) 8 d) e) 9. Pr qué vlor de "" el sisem ddo es inompile? ) ) ) d) e). Cuál es l sum de los vlores, y, z l resolver el sisem. ) ) ) d) e) y y 9 z y z y z y
Jime rvo Feres Nelink