ENCUENTRO # 5 TEMA: Resolución de problems de rzones y proporciones. CONTENIDOS:. Mgnitudes proporcionles (direct e invers). 2. Regl de tres simple. DESARROLLO Ejercicio Reto Cntiddes proporcionles cntiddes directmente proporcionles Si se tienen 2 cntiddes tles que l multiplicr un de ells por un número l otr qued multiplicd por el mismo número, o l dividir un de ells l otr qued dividid por el mismo número, se dice que ls cntiddes son directmente proporcionles. Ejemplo.. Si 8 lápices cuestn C$28, entonces 54 lápices costrán el triple, es decir, C$84; l multiplicr el número de lápices por 3 el costo tmbién quedó multiplicdo por 3. Por lo tnto, ls cntiddes son directmente proporcionles. Ejemplo.2. Un utomóvil recorre 360 km en 4 hors velocidd constnte; entonces, en 2 hors recorrerá l mitd, esto es 80 km, mbs cntiddes quedron dividids por 2, entonces se dice que sondirectmente proporcionles. Cntiddes inversmente proporcionles Si se tienen 2 cntiddes tles que l multiplicr un de ells por un número, l otr qued dividid por el mismo número y vicevers, entonces, ls cntiddes se dice que son inversmente proporcionles. Portl de Mtemátic portldemtemtic.com
Ejemplo.3. Si 8 hombres construyen un brd en 2 dís, entonces 6 hombres construirán l mism brd en el triple de tiempo, es decir, 36 dís. Al dividir el número de hombres por 3, el número de dís quedó multiplicdo por 3, por consiguiente ls cntiddes son inversmente proporcionles. Rzón Es el cociente entre 2 cntiddes, donde el numerdor recibe el nombre de ntecedente y el denomindor de consecuente. Pr ls cntiddes, b en l rzón ó : b con b 0, "" recibe el nombre de b ntecedente y "b" el de consecuente. Ejemplo 2.. En l rzón 7, 7 es el ntecedente y 4 es el consecuente. 4 Ejemplo 2.2. En l rzón 2 : 3 (se lee 2 es 3), 2 es el ntecedente y 3 es el consecuente. Rzón de proporcionlidd Si y b son 2 cntiddes directmente proporcionles, l rzón b rzón de proporcionlidd, l cul siempre es constnte. recibe el nombre de Ejemplo 2.3. Si 8 libros de cienci cuestn C$260, l rzón de proporcionlidd es de 70, y que 260 8 = 70. Proporción Es l iguldd entre 2 rzones. b = c d 0 bien : b :: c : d con b 0 c 0 L epresión se lee es b como c es d, y d son los etremos, b y c son los medios. Ejemplo 3.. 3 es 6 como 8 es 6, se escribe 3 6 = 8 6. Al simplificr cd frcción se obtiene, que es l rzón de proporcionlidd. 2 Portl de Mtemátic 2 portldemtemtic.com
En un proporción el producto de los etremos es igul l producto de los medios: b = c entonces d = b c con b 0 y d 0 d Ejemplo 3.2. Pr l proporción 5 4 = 20 se tiene que (5)(6) = (4)(20) = 80 6 En un proporción un etremo es igul l producto de los medios dividido por el etremo restnte, es decir: Ejemplo 3.3. En l proporción 2 3 = 0 5 b = c d entonces = b c d se tiene que 2 = (3)(0) 5 Ejemplo 3.4. Hll el vlor de m en l siguiente proporción m 5 = 24 30 m es un etremo en l proporción, entonces: ó d = b c y 5 = (3)(0) 2 m = ( 5 )(24) 2 30 = 4 6 6 = 4 Por tnto, m = 4 Ejemplo 3.5. Cuál es el vlor de b en l siguiente proporción 7 2 = 0 b? b es uno de los etremos en l proporción, por lo tnto: b = (2)(0) = 20 Por consiguiente, b = 20 7 7 7 En un proporción un medio es igul l producto de los etremos dividido por el medio restnte, es decir: b = c d entonces b = d c Ejemplo 3.6. En l proporción 2 7 = 6, se tiene que: 2 7 = (2)(2) 6 ó c = d b y 6 = (2)(2) 7 Ejemplo 3.7. Cuál es el vlor de c en l proporción 5 4 = c 28? c es un medio de l proporción, entonces: c = (5)( 28 7 ) = 35 Por tnto, c = 35 4 Portl de Mtemátic 3 portldemtemtic.com
Ejercicios propuestos. Determin el vlor del elemento que flt en cd un de ls siguientes proporciones: () 3 4 = 8 (b) 2 n = 8 32 (c) 4 5 = 2 m (d) 5 = 6 5 (e) 20 = 6 5 (f) 7 4 = y 0 (g) 4 = 6 2 (h) 2 3 = 2 n (i) 7 8 = 56 p (j) 8 = 9 2 (k) 3 7 = 28 (l) y 5 = 8 20 (m) 00 = 50 75 (n) 5 70 = 30 Medi proporcionl (medi geométric) A un proporción de l form: b = b c, b 0, c 0 Se le llm proporción geométric y se dice que b es medi proporcionl (geométric) entre y c. L medi proporcionl es igul l ríz cudrd del producto de los etremos. Ejemplo 4.. En l proporción 4 = 8, se tienes que: 8 6 (4)(6) = 64 = 8 Ejemplo 4.2. Clcul el vlor de m en l proporción 9 = m. m 4 m es l medi proporcionl de 9 y 4, entonces: m = (9)(4) = 36 = 6 Por tnto, m = 6 Ejemplo 4.3. Cuál es l medi proporcionl entre 4 y 6? L proporción es 4 = b, donde b es b 6 l medi proporcionl, por tnto: (4)(6) = 2 6 b = Por consiguiente, l medi proporcionl entre 4 y 6 es 2 6. Portl de Mtemátic 4 portldemtemtic.com
Ejercicios propuestos. Encuentr l medi proporcionl (geométric) entre los números ddos: () 2 y 3 (d) 4 y 2 (g) 0 y 25 (j) 0.8 y.6 (b) 6 y 24 (e) 2 y 7 (h) 0. y 0.5 (c) 9 y 25 (f) 9 y 8 (i) 0.2 y 0.8 Regl de tres simple Es l operción que se utiliz pr encontrr el curto término en un proporción. A l prte que contiene los dtos conocidos se le llm supuesto y l que contiene el dto no conocido se le llm pregunt. Direct Se utiliz cundo ls cntiddes son directmente proporcionles. Ejemplo 5.. Si 2 discos compctos cuestn C$600, cuánto costrán 8? Supuesto: 2 discos cuestn C$600 Pregunt: 8 discos cuestn Ls cntiddes son directmente proporcionles, y que l umentr el número de discos el precio tmbién se increment. Se form un proporción entre ls rzones del supuesto y l pregunt. 2 8 = 600 Donde = ( 600 50 )(8) 2 = 900 Por tnto, 8 discos compctos cuestn C$900. Portl de Mtemátic 5 portldemtemtic.com
Ejemplo 5.2. Un llve que se bre 4 hors diris durnte 5 dís, vierte 5 200 litros de gu, cuántos litros vertirá en 2 dís si se bre 4 hors por dí? Se clcul el número de hors totles; es decir, en 5 dís l llve h estdo biert 20 hors y en 2 dís l llve permneció biert 48 hors. Supuesto: en 20 hors l llve h vertido 5 200 litros. Pregunt: en 48 hors l llve h vertido litros. Ls cntiddes son directmente proporcionles, y que l umentr el número de hors tmbién se increment el número de litros vertidos. Se form un proporción entre ls rzones del supuesto y l pregunt. Invers 20 48 = 5200 = ( 5200 260 )(48) 20 = 2480 Se utiliz cundo ls cntiddes son inversmente proporcionles. Por consiguiente, en 48 hors l llve vierte 2 480 litros. Ejemplo 5.3. Se h plnedo que un brd se construid por 24 hombres en 8 dís; sin embrgo, sólo se logró contrtr 2 hombres, en cuántos dís l construirán? Supuesto: 24 hombres construyen l brd en 8 dís. Pregunt: 2 hombres l construirán en dís. Ls cntiddes son inversmente proporcionles, y que l disminuir el número de hombres contrtdos trdrán más dís en construirl. Se formn ls rzones entre ls cntiddes. Rzón entre el número de hombres: 24 2 Rzón entre el número de dís: 8 Se invierte culquier de ls rzones y se igul con l otr, es decir: 8 = 24 2 = (8)( 24 2 ) 2 = 36 Por tnto, 2 hombres construyen l brd en 36 dís. Portl de Mtemátic 6 portldemtemtic.com
Ejemplo 5.4. Ls rueds trsers y delnters de un utomóvil tienen un diámetro de.5 m y m, respectivmente, cundo ls primers hn ddo 350 vuelts, cuánts hn ddo ls segunds? Supuesto: ls rueds trsers tienen un diámetro de.5 m y dn 350 vuelts. Pregunt: ls rueds delnters tienen un diámetro de m y dn vuelts. Rzón entre los diámetros:.5 Rzón entre el número de vuelts: 350 Se invierte culquier de ls rzones y se igul con l otr, es decir: 350 =.5 = (350)(.5) = 525 Por consiguiente, ls delnters dn 525 vuelts. Ejercicios propuestos. El precio de 25 lts de ceite es de C$248, cuánts lts se podrán comprr con C$ 240? 2. Lim escuch l rdio durnte 30 minutos, lpso en el que hy 7 minutos de nuncios comerciles; si escuch l rdio durnte 20 minutos, cuántos minutos de nuncios escuchrá? 3. Durnte 70 dís de trbjo An gnó C$3 500, cuánto gnrí si trbjr 2 dís más? 4. Un llve biert 6 hors diris durnte 7 dís rrojó 6 20 litros de gu, cuántos litros rrojrá durnte 4 dís si se bre 4 hors diris? 5. Un utomóvil gst 9 litros de gsolin cd 20 km. Si quedn en el depósito 6 litros, cuántos kilómetros podrá recorrer? 6. En un libro de 80 págins cd un tiene 35 línes, cuánts págins tendrá el mismo libro si en cd un se colocn 40 línes? 7. Un bodeg se llen con 3 500 scos de 6 kg de pps cd uno y otr de l mism cpcidd se llen con scos de 5 kg, cuántos scos de 5 kg cben en l segund bodeg? 8. Un leñdor trd 8 segundos en dividir en 4 prtes un tronco de cierto tmño, cuánto tiempo trdrá en dividir un tronco semejnte en 5 prtes? Portl de Mtemátic 7 portldemtemtic.com
9. Si un utomóvil hizo 9 hors durnte un recorrido de 750 kilómetros, qué tiempo emplerá en recorrer 2 250 kilómetros si su velocidd es constnte? 0. Teres tiene en su tiend vrios scos de hrin de 8 kg y v vender cd uno en C$08, pero como ndie quiere comprr por sco decide venderl por kilo. Su primer cliente le pidió 4 kg, hor ell quiere sber cuánto debe cobrrle.. Don Arturo tiene un pstelerí y sbe que pr hcer un pstel de fress pr 8 persons utiliz 2 kg de zúcr, qué cntidd de zúcr utilizrá si le encrgn un pstel, tmbién de fress, que lcnce pr 24 persons? 2. An, Fbián y Lim hn ido comprr discos compctos; An compró 2 de músic gruper; Fbián 3 de rock lterntivo y Lim compró 5 de hevy metl. Si en totl se pgron C$ 620 y todos cuestn lo mismo, cuánto deberá pgr cd uno? 3. El vlor de 25m 2 de zulejo es de C$3 25. Cuántos m 2 se comprrán con C$5 625? 4. Si 9 trros tienen un precio de C$450, cuántos trros se comprrán con C$ 7 200? 5. Se comprron 40 kg de dulces pr reprtirlos equittivmente entre 20 niños. Cuántos kilogrmos se necesitrán pr un grupo de 90 pequeños? 6. Un lbñil gn C$ 500 mensules. Cuánto recibe por 20 dís? 7. Fernndo, Josué y Mrtín cobrron por resolver un guí de problems de cálculo de vris vribles C$975; Fernndo trbjó 6 hors, Josué 4 hors y Mrtín 3 hors, cuánto recibirá cd uno por hor de trbjo? 8. Un microbús cobr un person C$7.50 de psje por un distnci de 2 kilómetros, cuánto pgrá otr person, cuyo destino está 5 kilómetros de distnci? 9. Un piscin se llen en 0 hors con un llve que rroj 20 litros de gu por minuto, cuántos minutos trdrá pr llenrse si est llve rrojr 80 litros del líquido? 20. Un grupo de 45 estudintes de l UNI contrt un utobús pr ir un evento y clculn que cd uno debe pgr C$50; finlmente sólo sisten 30 estudintes, cuánto deberá pgr cd uno? Portl de Mtemátic 8 portldemtemtic.com
2. Si 8 metros de lmbre cuestn C$63. Cuál será el precio de 42 m? 22. Si un docen de pñuelos cuest C$200, cuánto se pgrá por 9 de ellos? 23. Un decen de cnics cuest C$8, cuánts podrá comprr un niño con C$5.40? 24. Un utomóvil recorre 240 kilómetros con 60 litros de gsolin. Cuántos litros necesit pr recorrer 320 kilómetros? 25. Si 3 decens de pres de zptos cuestn C$8000, cuál será el precio de 25 pres? 26. Si 5 hombres hcen un obr de construcción en 60 dís, cuánto tiempo emplerán 20 hombres pr relizr l mism obr? 27. Si 4 hombres terminn un trbjo en 63 dís, cuántos más deben de ñdirse los primeros pr concluir el mismo trbjo en 28 dís? 28. Un ciclist recorrió ciert distnci en 4 hors con un velocidd de 60 km/h, qué velocidd deberá llevr pr recorrer l mism distnci en 5 hors? 29. Si se llenn 24 frscos con cpcidd pr 250 grmos, con mermeld de fres, cuántos frscos de 300 grmos se pueden llenr con l mism cntidd de mermeld? 30. Un ejército de 900 hombres tiene víveres pr 20 dís; si se dese que ls provisiones duren 0 dís más, cuántos hombres hbrá que dr de bj? 3. Se dese plntr árboles dispuestos en 30 fils, de modo que cd fil teng 24 de estos. Si se colocn los mismos árboles en 8 fils, cuántos se tendrán por fil? Portl de Mtemátic 9 portldemtemtic.com