95 Teoremas límte Cosderemos el exermeto aleatoro que cosste e arrojar ua moeda equlbrada veces. Suogamos que se regstra la roorcó de caras. U resultado coocdo es que esta roorcó estará cerca de /. Formalzado u oco teemos: ε: se arroja ua moeda equlbrada veces A saló cara : o de caras que se observa, ~ B (, / 0 s sale ceca s sale cara, luego / / : roorcó de caras ( frecueca relatva del suceso A f A A / Se esera que a medda que crece la frecueca relatva de cara -----se acerque a------> 0.5 E( (meda oblacoal / Frecueca Relatva 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0 0 00 00 300 400 Orde de la trada Fgura : Frecueca relatva de cara ara ua sucesó de 400 tradas
96 La fgura muestra que las frecuecas relatvas de cara obtedas e 400 tradas sucesvas de ua moeda se acerca a 0.5 a medda que aumeta la catdad de tradas (los valores de ara las 0 rmeras y 0 últmas tradas fuero: 0 0 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 resectvamete Veremos a cotuacó la ley de los grades úmeros. Establece que la robabldad de que la meda muestral (calculada a artr de ua muestra aleatora de ua dstrbucó dfera de la meda oblacoal e más de u valor fjo (que uede ser arbtraramete equeño tede a cero a medda que el tamaño de la muestra tede a fto. or eso romedamos!! Ley (débl de los Grades Números Sea,,...,, ua sucesó de v.a. deedetes tales que E( µ y Var( σ <, etoces ε > 0 sedo. ( > ε 0 Dem: Sabemos que E( µ desgualdad de Chebshev a y, or lo tato µ (, y Var( Var( ( µ > ε ε > 0 ε σ σ, etoces alcado la ε σ ( µ > ε lm 0 ε > 0 lm cqd. ε Cuado vale ( decmos que la meda muestral coverge e robabldad a µ, lo dcamos or µ També decmos que es u estmador cosstete de µ Observacó : La frecueca relatva de u suceso A tede a su robabldad. Cosderemos reetcoes deedetes de u exermeto aleatoro y sea A u suceso co robabldad (A, costate e las reetcoes. S llamamos A a la frecueca absoluta de A (úmero de veces que ocurre A e las reetcoes y f A A / a la frecueca relatva, etoces f A
97 Esto resulta de la ley de los grades úmeros co ~ B(,, (A f A A / / E(f A y Var(f A (- /. Observacó La desgualdad de Chebshev també os ermte acotar la catdad de reetcoes ecesaras ara que la frecueca relatva del suceso A dfera de su robabldad ((A como máxmo e 0.0 co robabldad mayor o gual que 0.90. E efecto, queremos ecotrar tal que ( f 0.0 0. 90 A, ( or Chebshev co ε 0.0 teemos que ( A (0.0 ( f 0.0 Luego la desgualdad ( se cumlrá semre que ( (0.0 ( 0.90 (0.0 ( 0.0 (0.0 (0.0 El valor mímo de deede de. Es máxmo cuado 0.50. or ejemlo, 0.50 5000 0.0 950 0.0 990 Observacó 3: La exsteca de la varaza o es ecesara ara la valdez de la ley de los grades úmeros, metras que la de la eseraza es dsesable. Fgura 3: comortameto de la meda muestral ara ua sucesó de observacoes de ua varable aleatora N(0, y ua varable aleatora Cauchy
98 La fgura 3 muestra que la sucesó corresodete a la N(0, se acerca a cero, metras que la sucesó corresodete a la dstrbucó Cauchy muestra u comortameto errátco. Cómo es la dstrbucó Cauchy? La fucó de desdad de robabldad de ua varable aleatora Z llamada Cauchy es f Z ( z < z < π ( + z y su fucó de dstrbucó acumulada F Z ( z + arcta( z < z < π Qué forma tee la fucó de desdad de la dstrbucó Cauchy? - Es smétrca co resecto al cero - Tee forma de camaa - Las colas tede a cero más letamete que la Normal 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 Cauchy N(0, -4-0 4 z Fgura 4: fucoes de desdad de robabldad N(0, y Cauchy Debdo a la smetría alrededor de cero de la fucó de desdad la eseraza de ua varable Cauchy debería ser cero. S embargo
99 E( Z z z dz dz lm log( + a π ( + z π 0 ( + z π a La razó or la cual falla la exsteca de la eseraza es debdo a que la desdad decrece ta letamete que valores grades de la varable uede ocurrr co ua robabldad sustacal Cómo surge la dstrbucó Cauchy? Se uede demostrar ( vea or ejemlo Joh Rce Mathematcal Statstcs ad Data Aalyss 988-995 que el cocete de dos varables aleatoras N(0, deedetes tee dstrbucó Cauchy. Corolaro de la Ley de los Grades Números Sea,..., ua muestra aleatora de ua dstrbucó co E( µ y Var( σ < etoces a µ La meda muestral coverge e robabldad a la meda oblacoal b S σ La varaza muestral coverge e robabldad a la varaza oblacoal Dem. a or la Ley de los Grades Números. b Demostraremos que la varaza muestral varaza oblacoal. S ( S es u estmador cosstete de la or la Ley de los Grades Números µ, etoces µ. or otra arte, alcado uevamete la Ley de los Grades Números a E [ E( ] σ + ( V ( + µ
00 Como además, se obtee S σ + µ µ σ y or lo tato la varaza muestral es u estmador cosstete de σ. Teorema Cetral del Límte: Sea,,... v.a...d co E ( µ y Var( σ <, etoces s es sufcetemete grade, ( µ T µ ( a ~ N(0, σ σ ( a ~ N(0, co T Dcho de otro modo, T µ σ D Z ( µ D ~ N(0, Z ~ N(0, σ dode la covergeca e dstrbucó ( D se terreta e el sguete setdo: T µ σ ( µ a Φ( a a Φ( a σ es decr, que las fucoes de dstrbucó coverge a la fucó de dstrbucó ormal stadard. Observacó: Qué sgfca sufcetemete grade? Cómo sabemos s la aroxmacó es buea? El tamaño de muestra requerdo ara que la aroxmacó sea razoable deede de la forma de la dstrbucó de las. Metras más smétrca y acamaada sea, más rádamete se obtee ua buea aroxmacó.
0 0 000 0 000 0 000 000 0 000 500.0.0 3.0.0.0 3.0.0.0 3.0 5.4.0.6 30 0.8.0. 0.0 0.4 0.8 0.0.0 0.0 0.6 0.0.5 3.0 0.0 0.4 0.8 5 0 4 6 0.3 0.5 0.7 30 0. 0.6.0 0.0.0.0 0. 0.6 0.0 0.4 0.8 0.0 0.4 0.8 0.0 0. 0.4 5 0.0.0.0 0.0 0.04 30 Fgura 5: Dstrbucó de ara dsttas dstrbucoes: a dscreta, b Uforme, c Exoecal Ejemlo: Al sumar úmeros, ua calculadora aroxma cada úmero al etero más róxmo. Los errores de aroxmacó se suoe deedetes y co dstrbucó U(-0.5,0.5. a S se suma 500 úmeros, cuál es la robabldad de que el valor absoluto del error total exceda 5? Sea el error corresodete al -ésmo sumado, E ( 0 y Var (. 500 500 El error total es T 500 y or lo tato E ( T 500 0 y Var ( T 500. ( T > ( T 5 ( 5 5 500 5 500 T 500
0 5 500 / T 500 500 / 5 Φ 500 / 5 + Φ 500 / 5 500 / Φ(.34 + Φ(.34 0.8 b Cuátos úmeros uede sumarse a f de que el valor absoluto del error total sea meor o gual que 0 co robabldad mayor o gual que 0.90? Buscamos el valor de tal que ( 0 0. 90 T 0 ( T 0 0.90 ( 0 T 0 0.90 T 0. 90 / 0 / Alcado la aroxmacó ormal, debemos hallar tal que 0 0 0 Φ Φ 0.90 Φ 0.90 Φ / / / 0 / 0.95 0 /.64. 446 es decr, que se uede sumar a lo sumo 446 úmeros ara que el valor absoluto del error total sea meor o gual que 0 co robabldad mayor o gual que 0.90. Aroxmacó de la dstrbucó bomal or la ormal: Sea ~ B (,, etoces es el úmero de éxtos e reetcoes de u exermeto bomal co robabldad de éxto gual a, y / es la roorcó muestral de éxtos. Defamos las sguetes varables aleatoras 0 s se obtuvo Éxto e la reetcó s se obtuvo Fracaso e la reetcó ara,...,. Estas v.a. so deedetes, ~ B (, y. Alcado el Teorema Cetral del Límte, s es sufcetemete grade,
03 ~ N ( a (, ( ~ N, ( ( a La aroxmacó es buea s 5 y (- 5. S / la aroxmacó es buea aú ara equeño ues e ese caso la dstrbucó bomal es smétrca. 0.0 0. 0.4 0.6 B(5,0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 B(0,0.0 0.0 0. 0.4 B(0,0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 B(50,0.0 0.0 0.5 0.0 0.06 0. 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 B(00,0.0 0.0 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.04 0.08 0.0 0. 0. 0.3 0.4 B(00,0.0 0.0 0.05 0.0 0.5 0.0 Fgura 6: Dstrbucó robabldades de Correccó or cotudad Cuado se aroxma ua dstrbucó dscreta or ua cotua, como es el caso de la aroxmacó de la dstrbucó bomal or la ormal, es ecesaro efectuar ua correccó. Cosderemos el sguete ejemlo: Sea ~ B (00, 0.6 y calculemos e forma aroxmada ( 50 y ( 5. S alcamos drectamete el TCL, obteemos:
04 ( ( 60 50 60 50 Φ 4 4 (.04 0.0 60 5 60 5 Φ(.84 0.967 4 4 S be, ( 50 + ( 5, los valores aroxmados o satsface esta restrccó. ara evtar este roblema, se efectúa la sguete correccó, deomada correccó or cotudad, ( ( 50 ( 5 ( 60 50.5 60 50.5 Φ 4 4 (.94 0.06 60 50.5 60 50.5 Φ(.94 0.974 4 4 E geeral, cuado la v.a. es dscreta y x x -, la correccó se realza e la forma: ( ( a ( a ( a + 0.5 a 0.5 S la dstaca etre dos valores sucesvos de es k >, cómo alcaría la correccó or cotudad? Ejemlo: Sea ~ B(60,/3. Calcular e forma aroxmada la robabldad de que sea mayor o gual que 5. 60 4.5 60 ( 5 ( 4.5 3 3 Φ(.3 0. 60 60 3 3 3 3 Otras alcacoes del Teorema Cetral del Límte: a Sea,,..., v.a...d. co dstrbucó osso de arámetro λ, etoces ( ~ λ or lo tato, cualquer v.a. co dstrbucó de osso co arámetro sufcetemete grade uede ser aroxmada or la dstrbucó ormal.
05 b Sea,,..., v.a. deedetes co dstrbucó Gamma de arámetros y λ, o sea ~ Γ(, λ etoces ~ Γ, λ or lo tato, cualquer v.a. co dstrbucó Γ(m, λ co arámetro m sufcetemete grade uede ser aroxmada or la dstrbucó ormal.