DISEÑO DE SISTEMAS BONUS-MALUS EN EL CASO TRANSITORIO

DISEÑO DE SISTAS BONUS-MALUS EN EL CASO TRANSITORIO Atoo Heas Matíez, José A. Gl Faa y José L. Vla Zaó Resume.- A la hoa de dseña u sstema bous-malus o paece adecuado cosdea sólo sus caacteístcas ua vez que ha alcazado el estado estacoao so que se ha de tee e cueta u hozote tempoal de ampltud sufcete y, su evolucó a lo lago del msmo. E elacó co el caso tastoo Boga, Hoem, y Nobeg (9), establece u uevo cteo de evaluacó de u sstema bous-malus que geealza el cteo astótco de Nobeg (976). E este tabajo estudaemos cómo la metodología popuesta po Heas, A.; Vla, J.L. y Gl, J.A (2002) y Heas, A.; Gl, J.A, Gacía-Peda, P. y Vla, J.L. (200) paa el dseño de sstemas bous-malus e el caso estacoao, fudametada e la pogamacó po metas, se adapta pefectamete al caso tastoo. Palabas clave.- Sstemas bous-malus. Escala de Bayes. Caso tastoo. Pogamacó po metas. Abstact.- Whe we desg a bous-malus system t does't seem appopate to cosde oly the chaactestcs oce the statoay state has bee eached. Rathe we must keep md a tme hozo of suffcetly lage as well as ts evoluto. Ths s kow as the taset case. I coecto wth t, Boga, Hoem, ad Nobeg (9) popose a ew appoach fo the evaluato of a bous-malus system that geealzes the Nobeg`s asymptotc appoach (976). Depatameto de Ecoomía Facea y Cotabldad I. Facultad de Cecas Ecoómcas y Empesaales. Uvesdad Complutese de Madd. Campus de Somosaguas. 2223 Pozuelo de Alacó. Este atículo se ha ecbdo e vesó evsada el 25 de juo de 200. 3

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 I ths wok we wll study how the methodology poposed Heas, A.; Vla, J.L. ad Gl, J.A (2002) ad Heas, A.; Gl, J.A, Gacía-Peda, P. ad Vla, J.L. (200) the bous-malus systems desg whch s based goal pogammg, apples well to the taset case. Key Wods.- Bous-Malus Systems. Bayes Scale. Taset case. Goal pogammg..- Sstemas bous-malus. Dado u gupo de esgo, supodemos que el vel de esgo de cada pólza vee epesetado po u paámeto λ>0, el úmeo espeado de sestos po peodo. Supodemos que o es posble detema el vedadeo valo de este paámeto paa cada pólza y que exste ua vaable aleatoa Λ (la vaable de estuctua) cuyas ealzacoes so los valoes del paámeto de esgo paa las pólzas peteecetes al gupo. La fucó de dstbucó asocada a la vaable de estuctua seá epesetada como U(λ) y deomada fucó de estuctua. Supodemos, además que Λ es depedete del tempo. Las vaables aleatoas N t / Λ=λ, úmeo de sestos de ua pólza e sucesvos peodos codcoados a algú valo de λ, se supoe que so mutuamete depedetes e détcamete dstbudas de acuedo a ua dstbucó de Posso de meda λ. Po tato, la vaable aleatoa o codcoada N t seguá ua dstbucó de Posso podeada po la fucó de estuctua. Supodemos també que las cuatías de los sestos dvduales { X } = so depedetes del úmeo de sestos y de la vaable de estuctua, y mutuamete E X <. depedetes e détcamete dstbudas co meda { } Tomaemos esta últma como udad moetaa, de tal foma que la pma pua de ua pólza co paámeto de esgo λ seá gual a λ meddo e udades de E{ X }. Falmete, os stuaemos e el caso más secllo e el que las vaables aleatoas N t / Λ=λ, N t y X so depedetes de la eleccó del sstema bous-malus, esto es, o tedemos e cueta el hambe de bous.

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 Sguedo a Lemae (995, pág. 6), demos que ua compañía de seguos utlza u Sstema Bous-Malus (SBM) cuado se vefca las codcoes sguetes: - Exste úcamete u úmeo fto de clases C,...,C tales que cada pólza pemaece e ua sola clase duate u peodo de tempo (habtualmete u año). - La pma coespodete a cada pólza depede úcamete de la clase e que se ecueta. - La clase a la que peteece u aseguado duate u ceto peodo depede úcamete de la clase a la que peteecía duate el peodo ateo y del úmeo de sestos duate dcho peodo (Codcó Makovaa). Po tato, u SBM costa de tes elemetos: - La clase cal, C o a la que so asgados los uevos aseguados. - La escala de tafas, b = (b,,b ) e la que se establece las pmas asocadas a cada clase. -.Las eglas de tascó, que detema cuádo se pasa de ua clase a ota, y vee dadas po uas tasfomacoes T k tales que T k ()=j s se pasa de C a C j cuado se tee k sestos. T k se puede expesa matcalmete: k T = t dode k ( j) t = s T ( ) = j k j k t j = 0 k T s k ( ) j La Pobabldad de Tascó de C a C j paa u aseguado de paámeto λ=λ 0 se calcula como dode k ( 0) ( 0). k j λ = k λ j k = 0 p p t ( λ ) = P [ = / λ = λ ] p N k 0 0 Las Matces de Tascó codcoadas seá P ( p j ) ( λ ) = ( λ ) 0 0 5

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 Las hpótess ateoes pemte modelza el compotameto de cada aseguado de paámeto λ 0 e el SBM medate ua Cadea de Makov (co matz de tascó P ( λ0 )). S supoemos, como es habtual, que la cadea es egódca (es dec, que sempe es posble accede a ua clase dada a pat de cualque ota, e u úmeo fto de pasos) y s cclos, etoces, como es be sabdo, la teoía de las Cadeas de Makov os asegua la exsteca de ua dstbucó estacoaa de pobabldades ( Π( λ0),..., Π ( λ0)) que epeseta el compotameto a lago plazo de dcha pólza. Π k ( λ0 ) se tepeta como la pobabldad de que la pólza de paámeto λ 0 se ecuete e la clase k cuado, pasado ceto tempo, el sstema alcaza o al meos se apoxma a su estado estacoao La dstbucó estacoaa o es dfícl de calcula, demostádose que cocde co el autovecto po la zqueda de la matz de tascó asocado co el autovalo udad (el autovalo de Föbeus) y cuyas compoetes suma la udad. Además de las pobabldades estacoaas codcoadas al valo de λ, es posble def las pobabldades estacoaas o codcoadas ( Π,..., Π ), co ua tepetacó smla peo efeda a ua pólza abtaa. Tales pobabldades se defe como Π ( λ ) ( λ ) Π du s 0 s = Y s supoemos adecuadamete dscetzada la fucó de estuctua: se cumplá també Π λ λ pob( λ ), pob( λ)... = Π ( λ ). pob( λ ) s s = Ahoa be e este tabajo queemos tee e cueta e el mometo de dseña u SBM, o la stuacó del msmo ua vez que todas las pólzas que lo tega ha alcazado el estado estacoao so que hemos de 6

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 cosdea que e la páctca e el sstema exste pólzas de dfeete atgüedad y po ello alguas de ellas muy alejadas del estado estacoao. Paa ello hemos de dspoe de otas pobabldades: -- Π ( λ ) k s : Pobabldad de que ua pólza de paámeto λ se ecuete e la clase s a los k años de atgüedad de la pólza. El coespodete vecto de pobabldades es Π ( λ ) = ( Π ( λ),..., Π ( λ)). k k k Cetamete, s Π 0 ( λ ) = (0,...,0,,0,...,0), es clao que, k 0 k Π ( λ ) =Π ( λ). P ( λ). Asmsmo, las coespodetes pobabldades descodcoadas, k k k s = Π s( λ). pob( λ) = Πs( λ). du ( λ) = 0 Π 2.- Dseño de u SBM. Caso Tastoo. Se suele dstgu tes poblemas e la costuccó de u SBM: - La eleccó del úmeo de clases y de las eglas de tascó. - La eleccó de la clase cal. - El cálculo de la pma coespodete a cada clase. Es tutvamete clao que el coocmeto de la dstbucó estacoaa puede esulta muy útl a la hoa de dseña u SBM, ya que os foma de cuál seá apoxmadamete el compotameto de las pólzas cuado haya tascudo ceto tempo. Además, s teemos e cueta que e la ealdad se poduce gesos y saldas de pólzas, lo que mplca que ua pate de las msmas se ecuete lejos del estado estacoao, el vecto de estado del sstema, que os popocoa la pobabldad de que ua pólza se ecuete e las dsttas 7

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 clases del sstema puede dfe de foma mpotate de la dstbucó estacoaa. El pme poblema de los ctados más aba, cotúa abeto: o es posble todavía ecota el úmeo de clases y las eglas de tascó óptmas e geeal, auque sí es posble coclu que cetas eglas so mejoes que otas e base a cetas meddas de efceca. La eleccó de ua clase cal óptma o puede basase e la dstbucó estacoaa, ya que esta últma o depede de dcha clase cal (lo que sí depede de la clase cal es, obvamete, la velocdad de covegeca a la dstbucó estacoaa). S embago, este es u poblema que s exste e el ámbto del modelo tastoo. Po tato, cuado hablamos de dseño óptmo de u SBM os efeemos al tece poblema ateomete mecoado, el de ecota uas pmas óptmas que e el caso tastoo cluye el de detema la pma de etada. Peo todavía queda po aclaa e qué setdo, es dec, especto a qué fucó objetvo, debe se óptmas las pmas. La cosecucó de tafas equtatvas costtuye la azó de se de cualque SBM, paece tutvamete clao que la optmaldad de las pmas debeá defse especto a este cteo. E otas palabas, el objetvo del dseño debe se maxmza la equdad del sstema esultate El dseño de u SBM e el caso astótco ha sdo amplamete tatado e la lteatua actuaal. Nobeg (976) etoma ua dea de Pesoe (963) establece como pma asocada a ua clase de bous-malus la espeaza matemátca de la sestaldad aual de ua pólza ''ftamete veja'' peteecete a esa clase, demostado que la escala así establecda (coocda como escala de Bayes) mmza el eo cuadátco de tafcacó espeado. E deftva, paa uas eglas de tascó dadas, se tata de obtee los valoes de b, b 2,,b que maxmza la equdad del sstema, meddo po el eo cuadátco medo de tafcacó, hacedo míma la sguete fucó: 2 Q ( b,..., b ) = ( λ b ) Π ( λ ) pob( λ ) (2.) Ba j j = j=

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 Heas, Vla y Gl (2002) popoe ua ueva medda paa la evaluacó de la equdad de u SBM que sve de fudameto a u uevo cteo astótco paa la detemacó de las pmas. Q ( b,..., b ) = Π ( λ ). b λ pob( λ ), (2.2) Ma j j = j= que pemte obtee las pmas optmas medate la esolucó de u pogama leal e el maco de la pogamacó po metas. Y e Heas, Gl, Gª Peda y Vla (200) se aalza las posbldades de esta metodología paa el dseño de SBM e el caso astótco. Cetádoos e el caso tastoo Boga, O., Hoem, J.M. y Nobeg, R. (9) establece u uevo cteo de evaluacó de u SBM que geealza el cteo astótco de Nobeg (976). A cotuacó aalzaemos el modelo de los ctados autoes y a la vez ua ueva popuesta que geealza (2.2) al caso tastoo. Teedo e cueta que e la catea exste pólzas de dfeetes años de atgüedad, la fucó objetvo que popoe los autoes es: 2 t (,..., ) = ( λ ) Π ( λ ) ( λ ) (2.3) j Q b b w b pob Bt t j t= 0 = j= que podea los eoes cuadátcos medos de tafcacó de cada uo de los posbles años de atgüedad de las pólzas. Las pmas que mmza esta fucó so: t wt λπ s( λ) pob( λ) t= 0 = bs = s =,... t w Π ( λ ) pob( λ ) t t= 0 = s (2.) y vefca t b w w E s Π = t s t s = t = 0 t = 0 ( λ ) (2.5) 9

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 Es posble establece dsttos pesos w paa los eoes de tafcacó. Alguos de ellos da ua teesate tepetacó de (2.3) como objetvo de equdad. E el ctado tabajo los autoes cosdea t=0 el estado estacoao, osotos,.s pedda de geealdad supodemos que, como sucede e la ealdad, ua pólza o estaá e vgo más de m años (edad lmte) po lo que o alcazaá el estado estacoao. Supodemos además que exste uos tatos medos de pemaeca de ua pólza e el sstema, tales que 0 p = y m+ p = 0 ( p es la pobabldad de que ua pólza alcace años de atgüedad e el sstema). Ahoa t=0 es el año de etada e el sstema. Cosdeemos tes posbles podeacoes: 2..- w es la popocó del total de pólzas co años de atgüedad. Es posble supoe que a pat de ua detemada atgüedad del sstema la ctada dstbucó de edades se matee vaable. Basta acepta además que el úmeo de pólzas que cada año eta e el sstema es costate. Sedo p w = = 0,..., m p S teemos ua dstbucó de edades vaable co el tempo ( w, w,..., w ) so costates las pobabldades 0 m m Π ( λ ) = w. Π ( λ ) +... + w. Π ( λ ) 0 s 0 s m de que ua pólza de paámeto λ se ecuete e la clase s, y 0 m Π s = w0. Π s +... + wm. Π s de que ua pólza cualquea se ecuete e la clase s. Las pmas que mmza (.3) so ahoa s 50

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 m t wt λπ s( λ) pob( λ) t= 0 = bs = s =,... m t w Π ( λ ) pob( λ ) t t= 0 = s y vefca la gualdad b b E λ. Π +... +. Π = ( ), que puede tepetase como que, e cada ejecco, la pma meda pagada po ua pólza abtaa es gual a su sestaldad espeada (equlbo faceo paa el cojuto de la catea). No hay gú poblema e geealza al caso tastoo la solucó dada medate la pogamacó po metas. La equdad del sstema se medá ahoa de foma dstta: paa ua pólza de paámeto λ el sstema seá más equtatvo cuato meo sea la dfeeca ete la pma meda pagada po dcha pólza bj Π j ( λ ) y la espeaza matemátca de su sestaldad λ. j= La fucó objetvo del msmo seá, = jπ j = j= QMt ( b,..., b ) b ( λ ) λ. pob( λ ) (2.6) * Notemos que m bjπ j ( λ) λ = ( b Π ( λ) +... + b. Π( λ) λ) w j= = 0 Mmza esta fucó es equvalete a esolve el sguete pogama leal * (2.), (2.2), (2.3) y (2.6) so meddas de efceca (equdad) del sstema bousmalus. Nos pemte compaa dsttos sstemas e cuato a clase de etada, eglas de tascó, escalas de pmas y otas estccoes. 5

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 + M pob( λ ).( y + y ) + b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) + y y = λ... + b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) + y y = λ (2.7) + Restccoes comecales y téccas. Estas estccoes téccas y comecales ha de se establecdas como estccoes leales e las pmas. Afotuadamete la mayoía de ellas puede establecese de esa foma. ** Límtes a los cemetos ete pmas sucesvas, b. + t b b t b. + 2 ** Dfeeca ete las pmas de la pmea y últma clases, b tb. ** Elastcdad paa alguos valoes de λ. Cetamete es posble da dsttas defcoes de elastcdad e el caso tastoo. E este caso paece atual def la elastcdad paa ua pólza de paámeto λ como: dp( λ) ηλ ( ) = dλ, P( λ) λ e ella ( λ). ( λ).... ( λ) P = b Π + + b Π. es la pma meda pagada po ua pólza cualquea de paámeto λ y ( ) η λ os expesa la vaacó pocetual e la msma paa ua vaacó pocetual e λ. Cosdeada como medda de efceca dcho valo, al meos paa los valoes mas sgfcatvos de λ ha de se cecao a uo. 52

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 Notemos que las pobabldades Π ( λ) =,..., depede de la clase de etada. Fjado el valo de la elastcdad,ε, paa u detemado λ, la estccó es leal e las pmas. dp( λ) P( λ) ε = 0 dλ λ co ** Supea u detemado valo del RSAL, P b RSAL = b b P= b Π + + b Π..... Fjado u valo R paa esa magtud, la estccó es leal. b.( Π ( λ) + R) + b. Π ( λ) +... + b.( Π R) = 0 2 2 ** Equlbo faceo. Ateomete cometamos que la escala de Bayes (caso tastoo) posee la popedad de equlbo faceo, b Π + + b Π = E λ (2.)..... ( ) Esta es ua estccó leal que podá toducse s dfcultad e el pogama de pogamacó po metas. s s 2.2.- Tomemos ahoa ws = ( + ) = v s = 0... m Se tata ahoa de mmza el valo actual de los eoes cuadátcos medos de tafcacó. Las pmas que mmza (2.3) so (2.) y vefca b. Π +... + b. Π = a E( λ) m+ 53

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 Paa ua pólza abtaa de uevo geso e la catea el valo actual de los gesos futuos espeados po pmas guala al valo actual de su sestaldad espeada. Esta es ua popedad de equlbo faceo que o mplca como la del caso ateo que los gesos po pmas de cada año cocda co la espeaza de la sestaldad. E la popuesta de pogamacó po metas la fucó objetvo seá, Q ( b,..., b ) = b Π ( λ ) a λ. pob( λ ) Mt j j m+ = j= Paa ua pólza de paámeto λ el sbm es más equtatvo cuato más pequeña es la dfeeca ete el valo actual de las pmas medas pagadas y el valo actual de sus sestaldades espeadas. Mmza esta fucó es equvalete a esolve el sguete pogama leal + M pob( λ ).( y + y ) + b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) + y y = a λ m+... b. Π ( λ) +... + + b. Π ( λ) + y y = a λ m+ (2.9) + Restccoes comecales y téccas. Las estccoes báscas puede escbse como ( bπ ( λ) +... + b Π ( λ) λ) + ( bπ ( λ) +... + b Π ( λ) λ) v+...... ( ( )... ( ) ) 0 0 0 m m m + + bπ λ + + bπ λ λ v + y y = Lo que os dca el tpo de equdad buscada po el modelo. Restccó de equlbo faceo: Ateomete cometamos que la escala de Bayes (caso tastoo) posee la popedad de equlbo faceo, 5

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 b. Π +... + b. Π = a E( λ) (2.0) m+ Tal estccó es leal. Notemos que esta últma estccó també puede escbse como, ( b. Π +... + b. Π E( λ)) + ( b. Π +... + b. Π E( λ)). v+... + ( b. Π +... + b. Π E( λ)). v = 0 0 0 m m m que posee seclla tepetacó. Peo e el modelo de metas o hay gú poblema e exg la estccó más deseable Elastcdad: b b E λ. Π +... +. ( ) Π = Lemae (995, cap. 6) popoe ua expesó pefectamete compatble co las hpótess de este modelo paa la elastcdad. E ella P( λ ) es el valo actual de la espeaza de los pagos po pmas ealzados po u aseguado de paámeto λ. Supuesto que la clase de etada es la C j y s deomamos ahoa P P P P sedo s s s P ( λ) = b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) s= 0,..., m (otemos que P 0 ( λ ) = bj ). 0 m m ( λ) ( λ) ( ) = + +. ( λ) +... + ( + ). ( λ) ηλ ( ) = dp( λ) dλ P( λ) λ s s 2.3.- sea ahoa w = ( + ). p= v. p s= 0... m s s s s p es la pobabldad de que ua pólza alcace ua atgüedad de s años. ( 0 p = ). 55

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 Sea a. =+ v. p+ v. p+... + v m. p 2 2 m (2.3) sgue sedo valda. Se tata de mmza el valo actual espeado de los eoes de tafcacó. Las pmas que mmza (2.3) so (2.) y la codcó de equlbo faceo obedece a, b Π + + b Π = a E λ...... ( ) E la popuesta de pogamacó po metas la fucó objetvo del msmo seá, Q ( b,..., b ) = b Π ( λ ) a. λ. pob( λ ) Mt j j = j= Mmza esta fucó es equvalete a esolve el sguete pogama leal + M pob( λ ).( y + y ) + b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) + y y = a. λ... + b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) + y y = a. λ (2.) + Restccoes comecales y téccas. Las estccoes báscas puede escbse como ( bπ ( λ) +... + b Π ( λ) λ) + ( bπ ( λ) +... + b Π ( λ) λ) v p+...... ( ( )... ( ) ) 0 0 0 m m m + + bπ λ + + bπ λ λ v mp+ y y = Lo que os dca el tpo de equdad buscada po el modelo. ** Equlbo faceo. 56

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 Ateomete cometamos que la escala de Bayes (caso tastoo) posee la popedad de equlbo faceo, Tal estccó es leal. b Π + + b Π = ae λ (2.2)..... ( ) Peo e el modelo de metas o hay gú poblema e exg la estccó más deseable Elastcdad S deomamos ahoa b b E λ. Π +... +. ( ) Π = 0 m m P( λ) = P ( λ) + ( + ) pp. ( λ) +... + ( + ). m pp ( λ), sedo s s s P ( λ) = b. Π ( λ) +... + b. Π ( λ) s = 0,..., m, (otemos que P 0 ( λ ) = bj ). 3.- Ejemplo. ηλ ( ) = dp( λ) dλ P( λ) λ Desaollaemos a cotuacó u ejemplo uméco e el que aalzaemos alguas de las posbldades de las popuestas teócas plateadas e los apatados ateoes co lo que ceemos que quedaá sufcetemete pobada la flexbldad de la metodología de la pogamacó po metas paa el dseño de sstemas bous-malus. Cosdeemos ua catea de autos co las sguetes caacteístcas: * La fucó de estuctua dsceta λ 0.033 0.066 0.099 0.32 0.65 0.9 0.23 0.26 0.297 0.330 p( λ ) 0.2770 0.279 0.237 0.06609 0.072 0.02623 0.03636 0.026 0.0592 0.0050 57

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 λ 0.363 0.396 0.29 0.62 0.95 0.52 0.56 0.59 0.627 0.660 p( λ ) 0.00732 0.0020 0.003 0.006 0.007 0.0005 0.0005 0.00029 0.0003 0.0007 pocede de la aplcacó del método de dscetzacó de Vla (2000) a la fucó de estuctua cotua coespodete a ua dstbucó vesa gaussaa de paámetos g y h. g ( ) ( ) λ g 2 2hλ u λ = e g, h> 0 3 2πhλ 2 co g=0.00 y h=0.0629, tomada de Lemae (995, págs 35 a 37). * Las eglas de tascó del SBM so las sguetes: Clase después de sestos Clase 0 2 3 0 9 0 0 0 0 9 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 6 9 0 0 0 6 5 0 0 0 5 7 9 0 0 3 6 9 0 3 2 5 7 9 0 2 6 7 9 3 5 6 Asmsmo la pobabldad de que ua pólza alcace ua atgüedad de años es 2 3 5 6 7 9 0 p 0.9 0.95 0.92 0.90 0. 0.5 0.2 0.79 0.76 0.7 2 3 5 6 7 9 p 0.66 0.60 0.52 0.5 0.36 0.2 0.9 0.07 0 Aalcemos alguos ejemplos: 5

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 3..- S supoemos que el úmeo de gesos es costate la dstbucó de edades estacoaa es la sguete: 0 2 3 5 6 7 9 w 0.07 0.0772 0.079 0.0725 0.0709 0.0693 0.0670 0.066 0.0622 0.0599 0 2 3 5 6 7 9 w 0.0559 0.0520 0.072 0.00 0.035 0.023 0.022 0.050 0.0055 0 E la tabla teemos la escala de Bayes tastoa paa cada ua de las clases de etada (otemos la mpotaca de la eleccó de la clase de etada) y la escala de bayes astótca a Notemos que desde el puto de vsta de la equdad, esta es máxma, s la clase de etada es la 3 (meo valo de Q Bt ) + 2 2 + 2 3 3 + 3 + 5 5 + 5 6 6 + 6 0.0.6 0.065.293 0.06.27 0.02.259 0.009.23 0.079.229 2 0.290.055 0.9.99 0.079.065 0.03.060 0.007.060 0.0972.05 3 0.363.322 0.32.272 0.9.00 0.06.05 0.067.039 0.029.039 0.0.05 0.707.30 0.609.099 0.56.26 0.09.09 0.069.05 5 0.960.22 0.929.99 0.769.2 0.69.27 0.63.5 0.7.03 6 0.232.05 0.232.5 0.29. 0.5.227 0.696.9 0.60.92 7 0.26.6 0.257.53 0.237.72 0.220.39 0.97.263 0.73.33 0.3029. 0.2972.25 0.257.27 0.259.76 0.2396. 0.96.292 9 0.33.30 0.33.3 0.3220.9 0.3056.7 0.275.20 0.253.70 0.356 0 Q Bt 0 0.307 2 0 2 0.370 3 0 3 0.3506 =.36 =.39 =.37 =3.7 =.23 =.07 0.0052 0.00509 0.00507 0.005 0.0056 0.0052 + 0.3303 5 + 5 0.296 6 0 6 59

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 7 7 + 7 + 9 9 + 9 0 0 + 0 a a + 0.0773.25 0.0755.20 0.07.92 0.073.2 0.02.35 2 0.0939.057 0.0909.057 0.0.05 0.06.05 0.222.07 3 0.0993.00 0.096.039 0.0935.00 0.09.03 0.279.357 0.033.05 0.099.07 0.0973.0 0.0953.09 0.735.0 5 0.079.03 0.06.039 0.020.03 0.000.05 0..20 6 0.20.06 0.07.06 0.06.06 0.05.050 0.232.9 7 0.72.529 0.37.050 0.3.09 0.097.05 0.262.60 0.792.5 0.9.53 0.6.057 0.53.056 0.300.6 9 0.206.32 0.90.7 0.23.656 0.27.06 0.3392.7 7 9 0 5 0 0 0 + + 0.2732 0 7 0.2226 0.2036 9 0.295 0 0.3303 5 =3.53 =2.9 =2.7 =.76 =.07 Q Bt 0.0053 0.00550 0.00566 0.005933 (Tabla ) Compaemos estos esultados e la tabla 2 co los que se obtee co el modelo de pogamacó po metas co las sguetes estccoes: equlbo faceo (2.), las pmas de clases cosecutvas se cemeta ete u 5% y u 60% y la pma de la clase 0 es como máxmo cco veces mayo que la de la clase. També se cluye la escala de metas astótca co esas msmas estccoes. Además e la últma fla se ecoge el cálculo de Q Mt (fucó (2.6)), que toma el meo valo cuado la clase de etada es la 2, lo que dca que esta escala de pmas co esa clase de etada posee la mayo equdad y co este cteo ha de se la elegda. a + 2 2 + 2 3 3 + 3 + 5 5 + 5 6 6 + 6 0.0776.60 0.0735.60 0.0657.60 0.0577.57 0.057.05 0.056.05 2 0.2.60 0.76.60 0.05.60 0.0.60 0.0607.057 0.0597.05 3 0.96.57 0.2.57 0.62.57 0.36.60 0.0.60 0.0627.57 0.295.05 0.273.05 0.25.05 0.25.05 0.5.60 0.093.60 5 0.300.05 0.20.05 0.257.05 0.226.05 0.2265.05 0.62.60 6 0.392.05 0.302.05 0.2703.05 0.237.05 0.237.05 0.2339.05 7 0.3352.05 0.375.05 0.23.05 0.293.05 0.297.05 0.256.05 0.359.05 0.333.05 0.290.05 0.26.05 0.2622.05 0.2579.05 9 0.3695.05 0.350.05 0.329.05 0.279.05 0.2753.05 0.2706.05 0 0.30 0.3676 2 0.325 3 0.26 0.29 5 0.2 6 0 0 2 =5 =5 =5 =5 =5 =5 Q t 0.0396 0.037 0.039 0.0396 0.002 0.006 0 3 0 0 5 0 6 60

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 7 7 + 7 + 9 9 + 9 0 a 0 + a + 0 a 0.055.05 0.0527.05 0.06.05 0.006.05 0.072.60 2 0.05.05 0.055.05 0.0.05 0.026.05 0.0.60 3 0.060.05 0.05.05 0.050.05 0.07.05 0.2.57 0.696.75 0.060.05 0.053.05 0.070.05 0.265.05 5 0.7.60 0.06.60 0.0560.57 0.093.57 0.279.05 6 0.73.60 0.026.60 0.07.60 0.079.60 0.293.05 7 0.967.05 0.62.57 0.307.60 0.50.60 0.3077.05 0.2065.05 0.2393.05 0.2092.05 0..05 0.323.05 9 0.26.05 0.252.05 0.297.05 0.933.05 0.3393.05 0 0.2277 7 0 7 =5 0.263 0 =5 0.2307 9 0 9 =5 Q Mt 0.00 0.07 0.029 0.0 (Tabla 2) 0.2030 0 0 0 =5 0.3562 a 0 =5 a 3.2.- Cosdeemos e segudo luga las sguetes podeacoes: w ( 0.03) = +. Ahoa la tabla de pesos es la sguete: 0 2 3 5 6 7 9 w 0.9709 0926 0.95 0.5 0.626 037 03 0.79 0.766 0 2 3 5 6 7 9 w 0.7 0.722 0.70 0.609 0.66 0.69 0.6232 0.6050 0.57 0 y la escala de Bayes paa las clases de etada y, + + 0.02.20 0.0765.239 2 0.0600.05 0.09.052 3 0.22.09 0099.03 0.77.23 0.036.0 6

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 5 0.675.36 0.02.03 6 0.902.22 0.6.03 7 0.2322.3 0.6.06 0.2655.70 0.2.60 9 0.306. 0.95.7 0.3552 0 0 =.2 0.230 Q Bt 0.0739 0.005 0 =3.00 Cosdeemos el modelo de pogamacó po metas co las sguetes estccoes: equlbo faceo (2.), las pmas de clases cosecutvas se cemeta ete u 5% y u 60% y la pma de la clase 0 es como máxmo cco veces mayo que la de la clase. E las pmas co * se emplea la estccó de equlbo faceo (2.). Las coespodetes escalas de metas paa las clases de etada y so: + + 0.0579.60 0.092.05 0.0562.60 0.069.05 2 0.0927.60 0.057.05 0.099.60 0.092.05 3 0.5.57 0.053.052 0.39.57 0057.05 0.26.05 0.0570.60 0.209.05 0.053.57 5 0.227.05 0.092.60 0.2203.05 0.0792.60 6 0.235.05 0.59.57 0.233.05 0.267.60 7 0.250.05 0.227.05 0.229.05 0.2027.05 0.2630.05 0.223.05 0.2550.05 0.229.05 9 0.276.05 0.235.05 0.267.05 0.2235.05 0 0.299 0 =5 0.263 0 * =5 0.2 * + * 0 * =5 0.237 Q Mt 0.577 0.65 0.55 0.623 * + * =5 0 3.3.- Tomemos falmete las podeacoes: w ( 0.03) = +. p. La tabla de pesos es: 62

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 0 2 3 5 6 7 9 w 0.95 0.95 0.9 0.7996 0.7590 0.7 0.6667 0.6236 0.52 0 2 3 5 6 7 9 w 0.523 0.767 0.20 0.350 0.2975 0.230 0.7 0.9 0.0 0 Los esultados de la escala de Bayes paa las clases de etada y so: + + 0.02.239 0.0753. 2 0.027.059 0.095.055 3 0.0.0 009.036 0.33.35 0.097.06 5 0.626.20 0.023.03 6 0.2.23 0.062.05 7 0.225.37 0.0.050 0.2563.3 0.65.52 9 0.303.9 0.3.7 0.32 0 0 =.202 0.263 Q Bt 0.053 0.052 0 =2.72 Cosdeemos ahoa el modelo de pogamacó po metas co las sguetes estccoes: equlbo faceo (2.2), las pmas de clases cosecutvas se cemeta ete u 5% y u 60% y la pma de la clase 0 es como máxmo cco veces mayo que la de la clase. E las pmas co * se emplea la estccó de equlbo faceo (2.). Los esultados de la escala de metas paa las clases de etada y se esume e sguete tabla: + + 0.0656.05 0.059.05 0.069.05 0.069.05 2 0.069.60 0.055.05 0.0729.57 0.092.05 3 0.03.60 00572.05 0.062.60 0057.05 0.765.57 00600.05 0.700.60 0053.57 * * + * * * + * 63

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 5 0.2572.05 00630.2 0.2720.05 00792.60 6 0.270.05 0.096.60 0.256.05 0.267.60 7 0.236.05 0.35.60 0.2999.05 0.2027.05 0.297.05 0.2296.076 0.39.05 0.229.05 9 0.327.05 0.27.05 0.3306.05 0.2235.05 0.323 0 0 0.259 0 0.37 =5 =5 =5 =5 Q Mt 0.23 0. 0.2 0.623 0 0.237 0 3..- La metodología pesetada pemte mejoa algua medda de efceca a la hoa de dseña u SBM. Aalzaemos falmete la mejoa de la elastcdad e el ejemplo 3.. Cosdeemos la escala de Bayes tastoa cuado hemos elegdo como clase de etada la,. Notemos que las pmas sucesvas de se cemeta ete u,5% y u 2,6%, que la elacó ete la pma de la clase y la de la clase 0 es,23, cumple la estccó de equlbo faceo (2.5) y que la elastcdad e 0.00 es 0.33. Es posble ecota ua escala de metas que cumpla las codcoes ateomete dcadas de y mejoe la elastcdad e el puto dcado. Basta paa ello esolve el sstema leal (2.7) co las estccoes añaddas El esultado es la escala * : m b + b +.26b.0b m b. Π +... + b. Π = E( λ) 0 0 b.23b 0 dp(0.00) P(0.00) 0.33 0 dλ 0.00 6

Atoo Heas, José A. Gl Faa y José L. Vla Aales 200 /3-66 + * * + * 0.02.259 0.06.26 2 0.03.060 0.099.26 3 0.06.05 0.30.26 0.56.26 0.60.70 5 0.69.27 0.277.05 6 0.5.227 0.2275.05 7 0.220.39 0.237.05 0.259.76 0.25.05 9 0.3056.7 0.2597.05 0 0.3506 + =.23 0.27 * 0 =.23 * Q Q Bt =0.005 Q Mt =0.050 Q Mt ==.02 η (0.00)= 0.33 η (0.00)= 0.2326 Notemos que el esultado obtedo o sólo mejoa la elastcdad paa λ = 0.00 so paa los λ feoes a 0.26 lo que epeseta al 96% de las pólzas (véase la fgua sguete). La líea de putos epeseta la elastcdad de la escala de Metas y líea cotua la elastcdad de la escala de Bayes. 65

Dseño de sstemas bous-malus e el caso tastoo Aales 200 /3-66 Los autoes agadece al Msteo de Ceca e Iovacó la facacó de este tabajo (poyecto EC0200-22065-C03-0). Bblogafía. Baoe, Levates y Mezett (2002).- The developmet of a optmal bousmalus system a compettve maket.- ASTIN Bullet vol 32 º. 59-70. Boga, O.; Hoem, J.M. y Nobeg, R. (9). A Noasymptotc Cteo fo the Evaluato of Automoble Bous Systems. Scadava Actuaal Joual 65-7. Deut, Maéchal, Ptebos y Walh (2007).- Actuaal Modellg of Clam Couts. Joh Wley & Sos, Ltd. Gacía Peda, P. (2002). Dseño de Sstemas de Tafcacó Bous-Malus medate la metodología de Pogamacó po Metas. Tess Doctoal pedete de publcacó, Uvesdad Complutese de Madd. Gl, Gª Peda, Heas y Vla.- Cteos astótcos paa el cálculo de pmas e sstemas bous-malus. Aales del Isttuto de Actuaos Españoles 2003. Glde, V. y Sudt, B. (99). O Bous Systems wth Cedblty Scales. Scadava Actuaal Joual -32. Heas, A.; Vla, J.L. y Gl, J.A (2002). Asymptotc Faess of Bous-Malus Systems ad Optmal Scales of Pemums. The Geeva Papes of Rsk ad Isuace Theoy 27, 6-2. Heas, A.; Gl, J.A, Gaca-Peda, P. y Vla, J.L. (200). A Applcato of Lea Pogammg to Bous Malus System Desg. ASTIN Bullet vol. 3 (2) 35-56. Kemey, J.G. y Sell, J.L. (976). Fte Makov Chas. Spge-Velag. Klugma, S.A.; Paje, H.H. y Wllmot, G.E. (99). Loss Models. Fom Data to Decsos}. Wley sees Pobablty ad Statstcs. Lemae, J. (95). Automoble Isuace. Actuaal Models. Kluwe-Njhoff Publshg. Lemae, J. (995). Bous-Malus Systems Automoble Isuace. Kluwe Academc Publshes. Lemae, J. (200). Bous-Malus Systems. Ecyclopeda of Actuaal Scece. Wley. Lomaata, K. (972). Some Asymptotc Popetes of Bous Systems. ASTIN Bullet 6, 233-25. Nobeg, R. (976). A Cedblty Theoy fo Automoble Bous Systems. Scadava Actuaal Joual, 92-07. Pesoe, M. (963). A Numecal Method of Fdg a Sutable Bous Scale. ASTIN Bullet 2, 02-0. Vla, J.L. (2000). Athmetzato of Dstbutos ad Lea Goal Pogammg. Isuace: Mathematcs ad Ecoomcs 27, 3-22. Veco, P. (2002). Bous-Malus Systems: ''Lack of Taspaecy'' ad Adequacy Measue. ASTIN Bullet 32 (2), 35-3. 66