CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS

9 CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 7 INTRODUCCIÓN E el capítulo 3 calculamos el águlo etre dos vectores del espacio y obtuvimos que si ad be cf u a, b, c, v d, e, f y es el águlo etre u y v, etoces cos a b c d e f Esto os permitió itroducir dos coceptos, el cocepto de orma y el cocepto de producto uv, escalar co los cuales la fórmula aterior se trasformó e cos E este capítulo u v geeralizaremos estos coceptos para espacios vectoriales arbitrarios, itroduciedo de esta forma los coceptos geométricos de distacia y águlo U espacio vectorial real eriquecido de esta forma os bridará u marco teórico adecuado para tratar posteriormete a la geometría métrica a través del álgebra lieal Defiició Sea V u espacio vectorial real y, :VV ua fució Decimos que, es u producto itero defiido e V si y sólo si cumple: ) uu, 0, u V y uu, 0 sii u ) u, v v, u, u, v V 3) u, v u, v,, u, v V 4) u, v w u, v u, w, v, u, w V U espacio vectorial real e el cual se ha defiido u producto itero recibe el ombre de espacio vectorial euclidiao Eemplos ) E siedo u ( x, x,, x ) y v ( y, y,, y ) defiimos u, v x y x y x y x y i i i Ya fue probado e el capítulo 3 que o tambié producto itero habitual, es u producto itero e llamado producto escalar ) E puede verificar ( x, y),( x', y ') xx ' 3 yy ' es tambié u producto itero e como el lector 9

0 Lo cual os muestra que e u mismo espacio vectorial es posible defiir más de u producto itero Vayamos ahora al cocepto de orma Defiició Sea V u espacio vectorial euclidiao real Cosideramos v V Llamamos orma de v y lo otamos v al úmero real vv, Observemos que co el producto itero habitual si v ( x, y), v v v x y d O P, (, ) P( x, y) A v tambié se le deomia módulo de v Si todo cocuerda co lo que sabemos ateriormete debería cumplirse que: ) v 0, v V ) v 0 v 3) v v,, v V 4) u v u v, u, v V (desigualdad triagular) O Las tres primeras proposicioes se deduce imediatamete de las defiicioes correspodietes Cetremos la ateció e la 4): u v u v u v u v u v, u v u v u v u v u, u u, v v, v u v u v u, v u v Demostremos que esta última desigualdad es válida e cualquier espacio vectorial real Teorema (Desigualdad de Cauchy Schwarz) Sea V u espacio vectorial euclidiao Etoces u, v u v, u, v V Dem: Si v Es imediato que u, v u v pues ambos miembros vale cero 0

Si v Cosideramos f : defiida por f ( ) u v, u v Observemos que f ( ) 0, Pero f ( ) u v, u v u, u v v, u v u, u u, v v, u v, v u, u u, v v, u v, v f ( ) v, v u, v u, u Como e este caso v, teemos vv, 0 y por lo tato f es ua fució poliómica real de segudo grado de coeficiete pricipal positivo Teiedo e cueta que f ( ) 0,, si llamamos al discrimiate se obtiee u v, 4 v, vu, u 0 4 u, v 4 v, v u, u 0 4 u, v 4 v, v u, u u, v v u u, v u v v u Observemos que u, v u v u, v u v 4 u, v 4 v, v u, u 0 0 sii f acepta ua raíz doble (llamémosle 0 u v u v 0 0 ) Etoces Por lo tato si u, v u v y v, u y v so colieales Tegamos e cueta que podemos prescidir de la codició v Proposició Sea V u espacio vectorial euclidiao Etoces se cumple que: ) v 0, v V ) v 0 v 3) v v,, v V f 0 u v, u v 0 0 0 0 4) u v u v, u, v V (desigualdad triagular) Dem: 4) Como u, v u v, u, v V, la desigualdad triagular queda demostrada

7 ÁNGULO ENTRE VECTORES E y 3 co el producto itero habitual si llamamos al águlo determiado por u y v uv, teemos que: cos u v Como diimos al comiezo queremos geeralizar la defiició de águlo etre dos vectores a cualquier espacio vectorial Ahora que teemos defiido u producto itero y ua orma podemos hacerlo como sigue: Defiició Sea V u espacio vectorial euclidiao y u y v dos vectores o ulos Llamamos águlo determiado por u y v al úmero real 0, tal que uv, cos u v Observemos que si u y v so dos vectores o ulos de u espacio euclidiao V por Cauchy - uv, Schawarz teemos que: u, v u v u v u, v u v, u v lo cual os asegura que existe y es úico el real etre 0 y cuyo coseo es uv, u v Observemos tambié que estamos defiiedo el águlo determiado por dos vectores como u úmero real Defiició Sea V u espacio vectorial euclidiao, u, v V Decimos que u y v so ortogoales sii uv, 0 Lo otaremos u v Observacioes ) El vector ulo es ortogoal a todos los vectores del espacio ) Dos vectores o ulos so ortogoales si y sólo si el águlo determiado por ellos es 3) Si u y v so ortogoales y w es colieal co u etoces w y v so ortogoales 73 BASES ORTONORMALES Cosideremos dos vectores v y w de u espacio vectorial euclidiao V Si escalar, v x x y w y y,,,, sabemos que v, w i V co el producto xiyi Es decir que el producto

3 itero habitual de v y w se calcula como la suma de los productos compoete a compoete Pero e este caso las compoetes de u vector so sus coordeadas e la base caóica Si V es u espacio vectorial euclidiao cualquiera cabe pregutarse si existe ua base de V tal que el producto itero de dos vectores se calcule como e el caso iterior, esto es como la suma de los productos coordeada a coordeada Sea B u u,, ua base de V, v, w V tales que coord,, B v y coord,, B w Etoces v, w u u, u u i ui, u Para que esto coicida co sea 0 y que para i para i i, i i es ecesario que los sumados para los cuales i es distito de i se tega i Todo esto se logra si u, u 0 para i y u, u Esto es, si los vectores de B so ortogoales dos a dos y tiee orma Esto motiva las siguietes defiicioes Defiició S v, v,, v V Sea V u espacio euclidiao, Decimos que S es u couto ortogoal sii v, v 0, i, de a, i Si además vi i de a diremos que S es u couto ortoormal i i i Nota i 0 si i Defiimos i : por (deomiada delta de Króecker) i si i Etoces co esta otació v, v,, v es ortoormal sii vi, v i, i, de a Proposició Sea V u espacio vectorial euclidiao y ortoormal, etoces S es LI S v, v,, v V Si S es u couto Dem: Cosideremos u combiació lieal v v v Debemos probar que 0 v v v v v v, v, v 0 Veamos: v, v v, v v, v 0 0 0 0 Aálogamete se prueba que 0,, 0 3

4 Teorema Todo espacio vectorial euclidiao de dimesió fiita admite ua base ortoormal E la demostració de este teorema se preseta u procedimieto (llamado método de Gram Schmidt) que permite costruir ua base ortoormal B u u u cualquiera B v v v,,, ',,, a partir de ua base Dem: Tomemos u v v que escribiremos v v Así u v v Cosideramos ahora w v u co Itetaremos hallar para que w ortogoal a u w u w, u 0 v u, u 0 v, u u, u 0 v, u es ortogoal a u Tomado ahora u Así w v v, u u u es colieal a w y además u w teemos que u u w sea ya que w v u u co, Buscamos y para que w3 u y w3 u Sea 3 3 w u w, u 0 v u u, u 0 v, u u, u u, u 0 v, u 3 3 3 3 3 0 w u w, u 0 v u u, u 0 v, u u, u u, u 0 v, u 3 3 3 3 3 Así que w3 v3 v3, u u v3, u u es ortogoal tato a u como a u Llamado u w 3 3 teemos que u3 u w3, u3 u y además u3 0 Esto os alieta a razoar iductivamete Supogamos que teemos u, u,, uk u couto ortoormal Para hallar uk cosideramos k primero wk vk i ui Itetaremos hallar,,, k para que w k u, de a k Igual que ates: i k w u w, u 0 v u, u 0 v, u u, u 0 k k k i i k i i i i k v, u 0 v, u k i i k i k 4

5 Así que wk vk vk, ui ui k es ortogoal a,,, k i u u u y tomado u teemos que u, u,, uk, uk es u couto ortoormal Reiterado este razoamieto obteemos ua base ortoormal u, u,, u k w k, w k Eemplo ortoormal de v A partir de B (,,0),(,0,),(0,,) costruyamos por Gram - Schmidt ua base 3 (utilizado el producto itero habitual) v (,,0) (,,0) u,,0 Etoces,,0 v u w v v, u u (,0,) (,0,),,,0,,0 (,0,),,0 6 w 4 w,, w,, u,, u,, 6 6 6 6 w v v, u u v, u u (0,,) (0,,),,,0,,0 (0,,),,,,, 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 w w u 3 3 3 3 3 (0,,),,0,, 6 6 6 3,, 3 3 3 3 6 w3 9 3 3 3 3 u3,, u3,, 3 3 3 3 3 3 w,, Por lo tato la base ortoormal costruida es B 3 3 3 ',,0,,,,,, 6 6 6 3 3 3 Eercicio: ) Elia ua base de ) A partir de la base elegida costruya por el método de Gram-Schmidt ua base ortoormal de 5

6 Teorema V u espacio vectorial euclidiao de dimesió fiita B ua base ortoormal de V H) ( x, x,, x ) coordeadas de v e la base B ( y, y,, y ) coordeadas de w e la base B i i i T ) v, w x y x y x y x y E otras palabras, si trabaamos co las coordeadas e ua base ortoormal el producto itero siempre se realiza como el producto itero habitual e Ya está probado al comiezo de la secció Proposició Sea V u espacio vectorial euclidiao de dimesió fiita, S u subespacio de V y v V Etoces v es ortogoal a todo vector de S sii v es ortogoal a ua base de S Demostració a cargo del lector 74 COMPLEMENTO ORTOGONAL Y PROYECCIONES Se cosidera el plao de ecuació x 3y 7z 0 Sabemos que podemos pesar como u subespacio de 3, es decir podemos idetificar co S x y z x y z 3,, : 3 7 0 Sabemos además que los coeficietes,3 y -7 de la ecuació de so coordeadas de u vector u perpedicular a dicho plao y que cualquier otro vector perpedicular a es múltiplo de u Pero podemos caracterizar a los vectores perpediculares a como aquellos vectores que so ortogoales a todos los vectores de S E otras palabras el couto de los vectores ortogoales a todos los vectores de S es v 3 : v u, co Claramete este couto es u subespacio al que otaremos S y que geométricamete puede ser pesado como la recta perpedicular a por el orige 3 Es fácil verificar además que SS Geeralicemos estas ideas a cualquier espacio vectorial euclidiao Defiició Sea V u espacio vectorial euclidiao S u subespacio de V Llamamos complemeto ortogoal de S al couto v V : v, s 0, s S y lo otamos S 6

7 Proposició Sea V u espacio vectorial euclidiao de dimesió fiita y S u subespacio de V Etoces: Dem: Ahora ) S es u subespacio de V ) V S S ) S es u subespacio sii u v S,,, u, v S u v, s u, s v, s 0, s S,,, u, v S lo que os 0 0 asegura que u v S,,, u, v S como queríamos i) S S ) V S S ii) S S V i) Si v S S, v S y v S, por lo tato vs, 0, s S E particular vv, 0 y de aquí que v Por lo tato S S y como S S, se tiee S S ii) S S V sii para todo v V, existe s S y s S tales que v s s Como V es u espacio euclidiao existe B u u u,,, base ortoormal de S Dado v V cosideramos s v u u u Itetaremos determiar los escalares,,, para que s perteezca a S Así se tedrá v s u u u Ahora s S sii s, s 0, s S sii s, u i 0, ui B s, u v u u u, u v u, u v, u u, u Pero i i k k i i k k i k k Por tato s, u i 0 sii i vu, i E cosecuecia v V, existe i S s v, ui ui S y s v s S tales que v s s i Nota Como V S S, v V existe s S y s S úicos, tales que v s s Al vector s lo deomiamos proyecció ortogoal de v sobre S (aotamos p ( v )) y a s proyecció ortogoal de v sobre S (aotamos p () v ) S S 7

8 Eemplo E 3 cosideramos S ( x, y, z) 3 : x y ) Probar que S es u subespacio ) Hallar S 3) Hallar ps () v y ps () v siedo v 3,, ) A cargo del lector ) Comecemos por buscar u geerador de S Como S ( x, y, z) 3 : x y ( x, x, z) : x, z L(,,0),(0,0,), ( x, y, z),(,,0) 0 x y 0 y x ( x, y, z) S y ( x, y, z),(0,0,) 0 z 0 Por lo tato S ( x, x,0) : x L(,,0) 3) Para hallar las proyeccioes ortogoales de v sobre S y sobre S itetaremos escribir v como suma de u vector de S (que es de la forma (,, ) ) más u vector de S (,,0) ) 3 (3,, ) (,, ) (,,0) E cosecuecia p v (3,, ) (,, ) (,,0) S S S ps ( v) (,,) (,,0) (que es de la forma Nota Si B u, u,, up es ua base ortoormal de S etoces las coordeadas de ps () v e la base B so v, u, v, u,, v, up Observemos que e el eercicio aterior o utilizamos esta fórmula pues la base obteida de S o es ua base ortoormal 8

9 Nota S v s s S u Nombremos s p () v, s p () v etoces v s s Sea u otro vector de S y otemos co S al águlo formado por v y s y co al formado por v y u S Si todo fucioa previsiblemete debería cumplirse que s, v u, v s, v u, v Ahora (*) cos cos s v u v s u s 0 0 s, s s u, s s s, s s, s u, s u, s s u u, s s u s u lo que es cierto por la desigualdad de Cauchy-Schwarz Etoces s u u, v y por lo tato E otras palabras el águlo formado por u vector y su proyecció ortogoal sobre u subespacio S es meor que el formado por ese mismo vector y cualquier otro de S (*) recordemos que e el itervalo 0, la fució coseo es decreciete Defiició V u espacio euclidiao de dimesió fiita, v V, S u subespacio de V Llamamos águlo etre v y S al águlo determiado por v y ps () v Eercicio ) Probar que ps () v cos siedo el águlo etre v y S v ) Hallar el águlo etre v = (3,,-) y S ( x, y, z) 3 : x y Iterpretar geométricamete 9

30 Nota: El hecho de que V S S os permite cocluir que dimv dim S dim S Eercicio Sea V u espacio vectorial euclidiao, u, v V, u Probar que existe u real tal que ( v u) u Hallarlo e iterpretar geométricamete e el caso que Al vector u lo deomiamos proyecció ortogoal de v sobre u V o 3 V 30