CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Oscr Crdon Villegs Héctor Escobr Cdvid UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA ESCUELA DE INGENIERÍAS 016 1
MÓDULO 5 LAS LÍNEAS CÓNICAS EN EL PLANO 5.1 GENERALIDADES DE LAS CÓNICAS Definición 5.1 Se llm líne cónic en el plno y l conjunto de puntos P(, y ) que verificn un ecución de l form by cy d ey f 0 (1) Donde, y son vribles reles y, b, c, d, e, f son constntes reles. Dependiendo de los vlores de ls constntes l ecución (1) puede representr un circunferenci, un prábol, un elipse o un hipérbol. En lgunos csos se obtienen línes degenerds, es decir, que se pueden epresr en l form de (1) pero no son cónics. Inclusive, hy csos donde el conjunto de puntos que verificn (1) es vcío. Por ejemplo:. b. 3 y 0. Est ecución sólo l verific el punto (0,0) 3 y 0. Est ecución es equivlente y 3, es decir dos rects que se cortn en el origen. c. 3 y 1 0, no tiene solución en Ls línes cónics se llmn sí porque se obtienen l cortr un cono recto circunferencil (est superficie se estudirá en el cpítulo 6) con un plno. Según se el corte entre el cono y el plno, se obtiene un cónic sí; (ver figur 5.1)
. Si el plno es perpendiculr l eje del cono y no ps por el vértice, l cónic se denomin circunferenci. En el cso especil de que el plno pse por el vértice se obtiene un punto. b. Si el plno no es perpendiculr l eje del cono y formn entre sí un ángulo superior l ángulo que formn el eje del cono y un culquier de ls genertrices, l cónic resultnte se denomin elipse, slvo en el cso especil en que el plno pse por el vértice, en cuyo cso se obtiene un punto. c. Si el plno es prlelo un culquier de ls genertrices, l cónic se denomin prábol, ecepto si el plno ps por el vértice, en cuyo cso se obtiene un rect (que es un genertriz). d. Si el ángulo que formn el plno y el eje de giro es inferior l ángulo que formn el eje y un culquier de ls genertrices, l cónic se denomin hipérbol, slvo en el cso especil en que el plno pse por el vértice, cundo se obtienen dos rects que se cortn. Figur 5.1 Línes cónics 3
Los csos especiles que precen nteriormente se denominn, como y se dijo, secciones cónics degenerds y son puntos o rects o pres de rects que se cortn. En l ecución (1) el término y, que es un término de segundo orden, se denomin término cruzdo y, si prece en l ecución, signific que l cónic tiene el eje principl, rotdo respecto l sistem de referenci. El nálisis de ésts cónics se bord efectundo primero un rotción de ejes pr eliminr el término cruzdo. Definición 5. De l ecución (1), el número que se obtiene como discriminnte de l ecución. D b 4c se llm Teorem 5.1 El discriminnte de l ecución (1) define el tipo de cónic que l ecución represent, sí: Si D 0, es un prábol Si D 0, es un elipse Si D 0, es un hipérbol Este teorem se present quí sin demostrción, pero, medid que se vyn estudindo ls cónics se podrá verificr su vercidd. L circunferenci es un cso prticulr de l elipse y cbe resltr que si b 0 l ecución (1) no puede representr un circunferenci. Sin much dificultd, usted podrá drse cuent de que l circunferenci no tiene un eje de simetrí principl 4
( diferenci de ls otrs cónics) y por lo tnto no tiene sentido hblr de que un circunferenci está rotd con respecto l sistem de referenci. 5. CIRCUNFERENCIA Definición 5.3 Un circunferenci es el conjunto de puntos P(, y ) de un plno que stisfcen que su distnci un punto fijo C, llmdo centro, es constnte. Est constnte, se denomin rdio de l circunferenci. L definición nterior se puede eplicr sí: CP r CP CP r C( 0, y 0) es el centro de l circunferenci; P(, y ) es un punto Figur 5.. Circunferenci culquier de l circunferenci Si CP r entonces el conjunto es un círculo (un región del plno). 5
5..1 Ecuciones de l circunferenci Si el centro C, y entonces CP, y y CP CP CP () De () se obtiene., y y, y y r (3) L epresión (3) es equivlente ( ) ( y y ) r (4), que se conoce como l form centro-rdio o ecución cnónic de l circunferenci.. Si el centro es C (0,0), l ecución (4) qued reducid y r que recibe el nombre de ecución norml de l circunferenci. b. Reorgnizndo l ecución (4): y y y y r 0 (5) Si en (5) se relizn ls siguientes sustituciones: prece l epresión d e y y d ey f 0 0 f y r 0 (6) que recibe el nombre de ecución generl de l circunferenci. 6
Como consecuenci de lo nterior: Tmbién l form C(, y ) C( d /, e /) 1 r d e 4 f g gy d ey f 0 es un circunferenci, y que bst dividir l ecución por g, pr reducirl l form generl (6). Form prmétric de un circunferenci. Consideremos primero un circunferenci con centro en el origen y.tomndo como prámetro el ángulo que form el rdio vector de un punto de l circunferenci con el eje (figur 5.3) y P(, y) Figur 5.3. Form prmétric (centro en el origen) L mgnitud del rdio vector es constnte e igul. Por trigonometrí, cos y sen (7) es un form prmétric pr l circunferenci de l figur 5.4 con prámetro. (7) 7
Si l circunferenci tiene centro en ( 0, y 0) (figur 5.5), se puede obtener l form prmétric con el mismo prámetro hciendo trslción de ejes. y y P(, y) Pr el sistem, Figur 5.4. Form prmétric (centro en ( 0, y 0) ) trslción es y, l form prmétric es cos, y sen y l, y y y. De esto se obtiene cos y sen y que es un form prmétric, con prámetro, pr l circunferenci de l figur 5.4. 0 0 Otr form, menos usul, de prmetrizr un circunferenci es medinte l prmetrizción trivil, es decir tomndo como prámetro un de ls vribles, o y. Por ejemplo pr l circunferenci (8) y, un prmetrizción trivil es, t y t (9) 8
En (9) l prte positiv en l riz represent l mitd superior de l circunferenci y l prte negtiv l otr mitd. Teorem 5. Un circunferenci está determind por tres puntos distintos culesquier en el plno que no sen colineles. Es decir, por tres puntos no colinles siempre ps un únic circunferenci Teorem 5.3 Ddos un circunferenci ( ) ( y y ) r ; y un punto de ell P1 ( 1, y 1), l ecución de l rect tngente l circunferenci en 1 por CP CX r 1 culquier de l tngente P está dd siendo C ( 0, y0) el centro y X (, y) un punto C(, y ) X(, y) Figur 5.5. Rect tngente Actividd en clse: Demostrr el teorem nterior. 5.. Fmili de circunferencis 9
Anteriormente fueron considerds fmilis de rects. Aquí en form similr se pueden considerr fmilis de circunferencis.y se dijo que l ecución de un circunferenci qued determind por tres condiciones independientes. Es por est rzón que l ecución de un circunferenci que stisfce menos de tres condiciones independientes no es únic y por lo tnto un ecución de este tipo contiene un o dos constntes rbitrris llmds prámetros que originn un fmili de circunferencis. Por ejemplo, l fmili de tods ls circunferencis cuyo centro común en C (4,5) tiene por ecución ( 4) ( y 5) k, donde k 0 es el prámetro. Teorem 5.4 Si dos circunferencis dds C * 1 y C * son: entonces l ecución C * : y d e y f 0 1 1 1 1 C * : y d e y f 0. y d e y f K( y d e y f ) 0 (10) 1 1 1 represent un fmili de circunferencis tods ls cules tienen sus centros en l rect que ps por los centros de C * 1 y C *. Del teorem nterior se derivn ls siguientes consecuencis:. Si C * 1 y C * se cortn en dos puntos diferentes, l ecución represent tods ls circunferencis que psn por los dos puntos de intersección de C y C *, pr todo k 1, con l únic ecepción de C * (figur 5.6) 1 * 10
C1 C Figur 5.6. Circunferencis secntes b. Si C * 1 y C * son tngentes entre si, l ecución represent tods ls circunferencis que son tngentes C * 1 y C * en su punto común, pr k con l únic ecepción de * todo 1 C (figur 5.7). C C 1 Figur 5.7. Circunferencis tngentes c. Si C * 1 y C * no tienen ningún punto común, l ecución represent un circunferenci, pr cd k 1. Ningún pr de circunferencis de l fmili tienen un punto común con C * 1 y C * (figur 5.8) 11
C C 1 Figur 5.8. Circunferencis sin puntos comunes Actividd pr el estudinte: Epresr en términos de los centros y los rdios qué condiciones se requieren pr que dos circunferencis sen:. Secntes. b. Tngentes eteriores. c. Tngentes interiores. d. No secnte. e. Concéntrics. Si k 1 l ecución (10) tom l form: ( d d ) ( e e ) y ( f f ) 0 (11) 1 1 1 Si C * 1 y C * no son concéntrics y se verificrá que d d o que e e o 1 1 mbos l vez, de mner que l menos uno de los coeficientes, el de o el de y se diferente de cero, l ecución (11) represent un líne rect llmd eje rdicl de C * 1 y C *. (Ver fig. 5.6, 5.7, 5.8) Ejemplos 1. Hllr el centro y el rdio de l circunferenci y 8 4 y 1 0 Solución: Un form de resolver este ejercicio es completndo cudrdos perfectos 1
( 4 4) ( y y 1) 9 Es decir, ( ) ( y 1) 9 De cuerdo l form cnónic de l circunferenci ( ) ( y y ) r, se obtiene que C( 0, y0) C(, 1) y r 3 Otr form es escribir l ecución en l form generl y 4 y 0 1 y, teniendo en cuent que l ecución generl de l circunferenci viene dd por y d ey f d e 0, entonces el centro es C, C (, 1) y su rdio 1 1 r d e 4 f ( 4) () r 3 Not: Si se hce l trslción l sistem ' y ' con origen (, 1) referido l sistem y, l circunferenci estrá en posición norml respecto este sistem y su ecución será ( ') ( y '), donde ', y y ' 1 serán ls 9 ecuciones que relcionn los dos sistems.. Hllr l ecución de l circunferenci cuyo rdio es 5 y es tngente l rect 3 4 y 16 0 en el punto P (4,1) 1 13
Solución: Se necesit encontrr C( 0, y 0) de l circunferenci, puesto que de cuerdo con los dtos l circunferenci se puede presentr como ( ) ( y y ) 5 Se tiene en cuent que el vector N 3,4 es norml l rect y por lo tnto A 4,3 es un vector director de l mism. Por qué? Si C( 0, y 0) es el centro de l circunferenci, entonces el vector D CP 4,1 y 1 C(, y ) L : 3 4y 16 0 Figur 5.9. Ejemplo y el vector A son perpendiculres y A D 0, lo cul es equivlente 4 3 y 13 0 (1) Tmbién l distnci del centro l rect tngente es el rdio r 5 y por lo tnto con l distnci del punto C( 0, y 0) l rect 3 4 y 16 0, se tiene 30 4 y0 16 5 9 16 3 4 y 16 5 () ó Resolviendo simultánemente (1) y (), se obtienen ls soluciones 7, y 5 y 0 1, y0 3 lo que signific que hy dos circunferencis que cumplen ls condiciones dds: ( 7) ( y 5) 5 y ( 1) ( y 3) 5 14
3. Hllr l ecución de l circunferenci que pr por los puntos A(,3), B(1, 4) y C (5,). Solución: Prtimos de l ecución generl y d ey f 0. Los puntos A(,3), B(1,4), C (5,) están sobre l circunferenci, entonces stisfcen dich ecución y por lo tnto l reemplzr en su orden ls coordends de los puntos A, B, C, se obtiene el siguiente sistem de ecuciones: d 3e f 13 d 4e f 17 5d e f 9 cuy solución es d 10, e 14, f 49, con lo que l ecución pedid es y 10 14 y 49 0 4. Hllr l fmili de circunferencis cuyos centros están sobre l rect y 1 0 y psn por el origen de coordends. L : y 1 0 C(, y ) Figur 5.10. Ejemplo 4 15
Solución: Se C( 0, y 0) el centro de un circunferenci culquier de l fmili. Entonces el centro nterior stisfce y 1 0. Luego: 0 y0 1 0 (1) Ahor l ecución de l circunferenci es de l form ( ) ( y y ) r () Como ls circunferencis de l fmili psn por el origen (0,0), se obtiene en l ecución () que y r (3) Ls ecuciones (1), () y (3), permiten escribir l ecución de l fmili, eligiendo pr ello 0 como prámetro. De (1) y0 1 0 y reemplzndo esto en (3), (1 ) r. Al substituir estos dos dtos en l () se obtiene ( ) ( y (1 )) (1 ). Simplificndo este resultdo se lleg : y 0 0 y ( 1) 0 (4) que es l ecución de l fmili de circunferencis pedids. En prticulr lgunos miembros de l fmili son: Si 0, entonces Si 0 1 y y 4 0, entonces y 0 Si 0, entonces y y 4 6 0 5. Hllr ls ecuciones de ls circunferencis que psen por los puntos A(1,), B (3,4) y que son tngentes l rect 3 y 3 0 16
C(, y ) Figur 5.11. Ejemplo 5 Solución: Pr hllr ls coordends del centro C( 0, y 0), se tienen en cuent ls igulddes: CA CB y CA CN donde N es el punto de tngenci, es decir: (1 ) ( y ) (3 ) (4 y ) (1) 30 y0 3 (1 0) ( y 0) () 10 Simplificndo ests ecuciones resultn: 0 y0 5 (3) 9 y 6 y 34 y 41 0 (4) Resolviendo el nterior sistem de ecuciones se obtiene 3 7 4, y 1 y 0, y0 Ahor pr cd pr de vlores 0, y 0, result el vlor de r, medinte l epresión r 3 y 3 10 r y r, es decir 10 10 17
Ahor, teniendo en cuent que ecuciones pedids serán respectivmente o en su form generl ( 4) ( y 1) 10 y y y 8 7 0 y ( ) ( y y ) r, entonces ls dos 3 7 5 y y y 3 7 1 0 5..3 Ejercicios 1. En cd uno de los numerles siguientes hlle l ecución de l circunferenci que cumple ls condiciones dds. Escrib dich ecución en l forms cnónic y generl.. Centro (3, ) y rdio 10. b. Centro ( 4, 8) y diámetro 0. c. De centro (4,1) y ps por ( 1,3). d. Su diámetro es el segmento que une los puntos A(, 6) y B( 7,8) e. Su centro es el punto ( 4,3) y es tngente l eje y. f. Es tngente los dos ejes coordendos, tiene rdio 8 y su centro está en el primer cudrnte. g. Ps por el origen, de rdio 10. h. Ps por los puntos A(8, ), B(6,) y C(3, 7).. Hlle l ecución de l circunferenci circunscrit l triángulo cuyos ldos están sobre l rect y 0, 3y 1 0 y 4 y 17 0. 3. Hlle l ecución de l circunferenci inscrit en el triángulo cuyos ldos están sobre ls rects 4 3y 65 0, 7 4 y 55 0 y 3 4 y 5 0. 18
4. Hlle l ecución de l circunferenci tngente ls rects y 4 0 y 3 y 3 0 y que teng su centro en l rect 7 1y 3 0. 5. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por el punto (,) y por l intersección de ls circunferencis. y 5 0 y y y 6 1 0 6. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por los puntos de intersección de ls circunferencis cuyo centro está en l rect y y 6 4 0 y y. y y 4 6 0 y 7. Hlle l ecución de l circunferenci que tiene su centro sobre el eje, rdio y ps por 0, 3. 8. A qué punto debe trsldrse el origen de ejes crtesinos pr que l circunferenci r 8cos se tngente l eje en el punto (3,0). 9. Hlle l ecución de l circunferenci que tiene el centro sobre el eje, es tngente l eje y en el punto (0,0) y ps por el punto( 1, 3). 10. Hlle l ecución de l circunferenci que es tngente l rect 5 y 3 en el punto (, 7) y el centro está sobre l rect y 19 11. Hlle l ecución de l circunferenci que es tngente l eje y y el centro est en (5,3). 1. L ecución de un circunferenci en coordends polres es r 4cos hlle su rdio y su centro en coordends crtesins., 13. Hlle nlíticmente el ángulo que deben rotrse los ejes coordendos pr que l circunferenci quede con centro en y y 4 6 3 0, vist desde el nuevo sistem, 5 /,1 /. 19
14. Hlle l circunferenci que tiene centro en el origen, ps por los puntos de corte de ls circunferencis 5.3 PARÁBOLA ( 1) y 9 y y 6 7 0 Como y se dijo, l prábol se obtiene l cortr un cono circunferencil con un plno que v prlelo un genertriz del mismo. Como veremos más bjo est curv se encuentr en muchs plicciones en diverss rms de l cienci siendo l más conocid l tryectori que sigue un objeto cundo se lnz formndo con un ángulo respecto un rect horizontl: l tryectori prbólic. Definición 5.4 Un prábol es el conjunto de puntos P(, y ) de un plno que equidistn de un rect fij llmd directriz y de un punto fijo llmdo foco que no está ne l directriz. Elementos de l prábol: En l figur 5.1 se pueden observr los elementos que se encuentrn en un prábol. L P(, y) N 1 S 1 T 1 Q D V F L 1 P N T S L : Rect fij llmd directriz ( F : Punto fijo llmdo foco. Figur 5.1. Elementos de l prábol L L ). 1 0
L 1 : Eje trnsversl o eje de simetrí: rect por el foco perpendiculr l directriz. V : Punto común de l prábol y el eje trnsversl, que tom el nombre de vértice. N1N : Segmento que une dos puntos de l prábol, recibe el nombre de cuerd. TT : Cuerd que ps por el foco y por est rzón recibe el nombre de cuerd 1 focl. S1S : Cuerd focl perpendiculr l eje trnsversl que tom el nombre de ldo recto. P(, y ) : Punto que pertenece l prábol. Cumple que QP FP. Cundo el punto P coincide con V, entonces DV FV p, es decir p es l distnci del vértice l foco y del vértice l directriz. Ls propieddes de l prábol se pueden usr pr describir, eplicr y predecir muchos fenómenos físicos. Es de grn importnci que l prábol reflej por el foco todos los ryos que incidn en ell prlelos l eje y, de l mism form, todo ryo que slg del foco se reflej en l prábol prlelo l eje. Est propiedd es usd en l construcción de espejos y reflectores prbólicos (ntens, rdiotelescopios, fros). Los stronómos sben que un objeto (un comet o un simple piedr) que ce hci el sol desde el infinito, vijrí por un prábol que tiene l sol como foco si en el universo no hubier otros cuerpos cuys fuerzs grvitcionles desvirn su tryectori. Otro ppel importnte de l prábol se desprende de un principio de l mecánic: el cble principl de l suspensión de un puente sumirá l form de un prábol (si el cble fuer de ms mínim y perfectmente fleible y si el puente tuvier un peso uniformemente distribuido por unidd de distnci longitudinl). En form similr, un principio mecánico en 1
ciert mner nálogo, impone el uso de rcos prbólicos ciertos problems de construcción en lugr de usr rcos semicirculres. 5.3.1 Ecuciones de l prábol. Primero que todo se puede considerr l prábol cuyo vértice es V( 0, y 0), su foco es F( 1, y 1) y su directriz es l rect by c 0 T P(, y) V( 0, y0) F( 1, y1) by c 0 Figur 5.13. Ecución de l prábol De cuerdo l definición de prábol TP FP (1) pero TP es equivlente l distnci que hy del punto P(, y ) l directriz by c 0 es decir : TP by c b () Además FP ( ) ( y y ) (3) 1 1 Reemplzndo () y (3) en (1) qued:
o tmbién by c ( 1) ( y y 1) b ( by c) b que es l form más generl de l prábol. ( ) ( y y ) 1 1 (4) b. Supóngse el cso prticulr de l prábol con eje trnsverso en el eje y vértice en (0,0) que se bre hci l derech (fig 5.14). y V F( p,0) p Figur 5.14. Prábol con vértice en el origen En este cso el foco es F( p,0) y l directriz p. (Recordr p que es l distnci del vértice l foco y l directriz). Luego, l sustituir estos dtos en (4) se tiene: ( p) ( p) y p p p p y y 4 p (5) Si el vértice no está en el origen sino en ( 0, y 0), medinte un trslción de ejes 0 y y y y0, se logr 3
( y y ) 4 p( ) (6) (6) se conoce como form cnónic. Si l prábol se bre l izquierd l ecución (6) qued ( y y ) 4 p( ) Si l prábol tiene eje trnsverso verticl se consigue, medinte el mismo procedimiento (hcerlo). ( ) 4 p( y y ) L tbl 3 muestr un resumen de ls diferentes forms de l prábol. c. L ecución (6) es de segundo grdo y de l form dy ey f g 0 que recibe el nombre de ecución generl de l prábol. d. Pr un form vectoril se puede tener en cuent lo siguiente (figur 5.15): Si p es un punto de l prábol, su vector rdr es R i y j. Como l prábol es un líne (vriedd de un sol dimensión) su form vectoril se puede dr, medinte prmetrizción trivil como R p( y) i y j con prámetro y o como R i p( ) j con prámetro, donde p( ) ó p( y ) se obtienen despejndo en l form generl dy ey f g 0. P(, y) Figur 5.15. Form vectoril Tbl 3. Forms de l prábol 4
Elemento Prábol Horizontl Prábol Verticl Ecución cnónic ( y y ) 4 p( ) ( ) 4 p( y y ) Ecución norml y 4 p 4 py Ecución generl dy ey f g 0 d e fy g 0 Vértice Foco Ecución de l directriz V( 0, y 0) V( 0, y 0) F(, ) 0 p y0 F(, y p) 0 p y y0 p Longitud del ldo recto l 4 p l 4 p Con Con 4 p Se bre l derech Se bre hci rrib 4 p Se bre l izquierd Se bre hci bjo Ejemplos 1. Encuentre los elementos de l prábol 4 9 y 16 0 Solución: L form cnónic de l prábol se reduce : si se compr (7) con 1, y, Entonces: 9 4 p o el vértice V( 0, y0) es V( 1,) 9 ( 1) ( y ) (7) ( ) 4 p( y y ), result : 9 p, l prábol es verticl y se bre hci bjo. 8 5
el foco F( 0, y0 p) es 7 F 1, 8 l ecución de l directriz es y y0 p o Si se trsld l sistem 1 1 norml y su ecución se trnsform en 1 1 y 5 8 y con origen ( 1,), l curv estrá en posición 9 y con '(0,0) 1 1 V y 9 F 0, con 8 1, y y que son ls ecuciones que relcionn los sistems.. Hllr l ltur de un punto de un rco prbólico de 18 uniddes de ltur en su centro y 4 uniddes de bse, situdo un distnci de 8 del centro del rco. Solución: Se tom el eje en l bse del rco y el origen en el punto medio, tl como lo ilustr l figur 5.16. Figur 5.16. Ejemplo L ecución de l prábol es entonces ( ) 4 p( y y ) o tmbién ( 0) 4 p( y 18) (8) 6
Como l curv ps por (1,0), entonces este punto stisfce l ecución (8). Reemplzndo dicho punto, result p y l ecución (8) qued reducid 8( y 18) (9) Luego pr hllr l ltur del rco 8 uniddes del centro, se sustituye 8 en (9) y se obtiene y 10. 3. Hllr l ecución de l prábol cuyo eje es prlelo l eje y que ps por los tres puntos 3, 1, (0,5) Solución: L ecución buscd es de l form y ( 6, 7) ( y y ) 4 p( ) Pero tmbién se puede tomr l ecución de l form dy e fy g 0. Como d 0, se puede dividir est ecución por d, pr obtener: donde 1 1 1 y e1 f1 y g1 0 (10) e f g e, f, g son tres constntes por determinrse. d d d Ahor, como los tres puntos están sobre l prábol, sus coordends deben stisfcer l ecución (10), l substituirlos se obtiene: Con 3 3, 1, 1 1 1 1 0 e f g Con (0,5), 5 5 f g 0 1 1 Con ( 6, 7), 49 6e 7 f g 0 1 1 1 Ls tres ecuciones nteriores pueden escribirse como siguen: 7
3 1 1 1 1 e f g 5 f g 5 1 1 6e 7 f g 49 1 1 1 L solución de este sistem de ecuciones es e 1 8, f 1, g 1 15 Sustituyendo estos vlores en l ecución (10), result l prábol buscd: y y 8 15 0 4. Hllr l ecución de un prábol cuyo ldo recto es el segmento entre los puntos A (3,5) y B(3, 3). Solución: Por ls cordends de los puntos se deduce que l prábol es horizntl. Primero se hll l distnci entre los puntos ddos que es l longitud del ldo recto y es igul 4 p AB (5 3) (3 3) 64 8 Ahor como l prábol es horizontl, l ecución pedid es: ( y y ) 8( ) (11) Pr determinr ls coordends ( 0, y 0), se sustituyen los puntos ddos en (11), y que los puntos A y B están sobre l prábol y desde luego que stisfcen su ecución, es decir, Resolviendo el sistem, se obtiene (5 y ) 8(3 ) (1) ( 3 y ) 8(3 ) (13) 1, y 1 y 0 5, y0 1 8
Es decir que hy dos soluciones. Reemplzndo estos vlores en (11) ls ecuciones que quedn son : que son ls prábols pedids. ( y 1) 8( 1) ( y 1) 8( 5) 5.3. Ejercicios 1. Eprese en form cnónic y generl, l prábol que stisfce ls condiciones dds:. Vértice en (3,) y foco en (3,4) b. Vértice en (4,1) y directriz c. Vértice en (4, ), ldo recto 8, bre hci bjo. d. Vértice en (3, ), etremos del ldo recto 1 1,, 8, e. Foco en (,), directriz y 4. f. Vértice en (3, 4), eje horizontl, ps por (, 5) g. Eje verticl y ps por ( 1, 3), (1, ) y (,1). Eprese en form cnónic, nlice y dibuje ls prábols siguientes:. c. y 8 8 0 b. y 4 16 4 0 d. 4 y 8 0 y y 6 4 9 0 e. 3y 1y 4 84 0 f. y 1 37 0 3. Un nten pr TV por stélite es prbólic y tiene su receptor 70 cm de su vértice (el receptor se situ en el foco). Encuentre l ecución de l sección 9
trnsversl prbólic de l nten si el vértice se coloc en el origen y el eje coincide con el eje. 4. Si desde los etremos del ldo recto de culquier prábol se trzn dos rects que psn por el punto de intersección del eje con l directriz, demuestre que ests rects son perpendiculres. 5. Hlle l ecución de l prábol que tiene su vértice en el centro de l circunferenci y y 4 4 0 y su directriz es y 5. 6. Hlle un de ls circunferencis que ps por el vértice y uno de los etremos del ldo recto de l prábol ( 1) 8( y ) y tiene su centro sobre l directriz de l prábol. 7. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por el vértice y el foco de l prábol ( 3) 8( y ) y tiene su centro sobre dich prábol. 8. Se tiene un prábol con foco en (0, 7) y directriz y 1. Hlle el nuevo origen l cul debe trsldrse el sistem coordendo pr que uno de los etremos del ldo recto de l prábol quede en el punto (5, 3) con respecto l nuevo sistem. 9. Hlle l ecución de l prábol que tiene vértice en el centro de l circunferenci y y 10 4 0 0 y los etremos del ldo recto son los puntos donde l rect 3 cort l circunferenci. 10. Hlle l ecución de l prábol que se bre l izquierd, el foco y el vértice coinciden con los etremos de un diámetro de l circunferenci y 10 1 0 11. Hlle l prábol cuyos etremos del ldo recto son (1,0) y (9,0) y bre hci bjo. 30
1. Será posible hllr l ecución de l directriz de un prábol si se conocen ls coordends del foco, del vértice y se sbe que bre l izquierd? Describ un procedimiento pr hcerlo. 5.4 LA ELIPSE L elipse es un curv pln cerrd con dos ejes perpendiculres desigules, su plicción más importnte se encuentr en ls órbits que describen los plnets lrededor del sol. Definición 5.5 Un elipse es el conjunto de todos los puntos P(, y ) de un plno tles que l sum de ls distncis de P dos puntos fijos sobre el plno, llmdos focos, es constnte y myor que l distnci entre ellos. Es decir, si F 1 y F son los dos focos tles que F1 F C y k tl que k C, entonces el conjunto de todos los puntos P(, y ) del plno que cumplen l condición F1 P F P k (1), recibe el nombre de elipse. Elementos de un elipse L B 1 V 4 N 1 V 1 F1 F V L 1 B N V 3 31
F1 F : Focos o puntos fijos. Figur 5.17. Elementos de un elipse L 1 : Eje trnsversl o eje myor: Rect que ps por los focos. C : Centro: Punto medio del segmento entre los focos. L : Eje conjugdo o eje menor: Rect perpendiculr l eje trnsverso en el centro. V, V : Vértices principles: puntos donde el eje myor cort l elipse 1 V, V Vértices secundrios: puntos donde el eje menor ort l elipse 3 4 c FC 1 FC, distnci del centro un foco. Est iguldd se origin por l definición de elipse. V1C VC : Semieje myor, distnci del centro un vértice principl. b V3C V4C : Semieje menor, distnci del centro un vértice secundrio. N1N : Cuerd, segmento que une dos puntos culesquier de l elipse. B1B : Cuerd focl, un cuerd que pse por un foco. B B Si 1 1 L, entonces B1B es el ldo recto de l elipse. A prtir de l definición de l elipse se pueden deducir dos suntos importntes. 1. Como el vértice V 1 es un punto de l elipse cumple l ecución (1) y por lo tnto, FV FV k 1 1 1 Con referenci l figur 5.17 vemos que esto es un equivlente es decir k ( c) ( c) k 3
Esto signific que en un elipse l sum de ls distncis de culquier punto de ell los focos es igul l distnci entre los vértices principles. Con eso l ecución (1) qued F1 P FP () VV, V V b y F1 Fc. Ddo que 1 3 4 respecto sus dos ejes (figur 5.18 ), entonces: y l elipse es simétric V1 1 c V 3 b C F F V c V 4 Figur 5.18. Crcterístics de l elipse Los triángulos FCV 1 3 y F CV 3 son congruentes y rectángulos ( Cómo se justific?) y por eso FV 1 3 FV 3 ; demás V 3 es un punto de l elipse y cumple l ecución (): FV 1 3 FV 3 con eso concluimos que FV 1 3 FV 3 Y por el teorem de Pitágors en el FCV 1 3 o bien en el F CV 3 se concluye que b c (3) Est ecución relcion tres medids constntes en un elipse: l distnci centro-vértice principl, l distnci centro-vértice secundrio y l distnci centro-foco. Cbe notr que (3) es independiente de l posición de l elipse respecto l sistem de referenci. 33
L elipse se emple en rquitectur y en diseño de puentes: el coliseo romno es un elipse; muchos puentes de piedr y concreto tienen rcos elípticos; y más interesnte ún, l elipse interviene en el diseño de glerís de eco, donde un sonido que se origin en un foco se puede oir en el otro foco y no en otro punto. Ls elipses tmbién tienen plicciones en mecánic: los engrnjes elípticos se utilizn en máquins lmindors y plndors metálics, pr ls cules se eige un cpcidd de presión lent y poderos. 5.4.1 Ecuciones de l elipse. Lo más generl es considerr l elipse con centro C( 0, y 0) ; focos F1 ( 1, y 1) y F (, y ) y P(, y ) un punto culquier sobre l elipse. De cuerdo con l ecución () F1 P FP F P ( ) ( y y ) (4) 1 1 1 F P ( ) ( y y ) (5) si se reemplz (4) y (5) en () se obtiene que es l form más generl de l elipse. ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) (6) 1 1 b. Teniendo en cuent l ecución (6), se puede hllr l ecución de l elipse con eje trnsversl prlelo l eje, centro C( 0, y 0) y llegr un ecución de l form 34
que recibe el nombre de ecución cnónic de l elipse. ( 0) ( y y0) 1 (7) b c. De igul mner, l ecución cnónic de un elipse con centro en C( 0, y 0) y eje trnsverso prlelo l eje y es ( 0) ( y y0) 1 (8) b d. Si el centro de l elipse es el origen, ls ecuciones (7) y (8) se convierten en Nots: y y b 1 b y (9) 1. b. siempre es el myor de los denomindores. d ey f gy h 0 es l form generl de l elipse, donde los coeficientes d y e poseen el mismo signo. Actividdes pr el estudinte:. Qué ocurre cundo en l form cnónic b? b. L ecentricidd de un elipse se define su significdo? e. Form prmétric. c e Tomemos inicilmente l elipse con ecución : Geométricmente cuál es y b 1 (9) y definmos como prámetro el ángulo que form el rdio vector de un punto de l elipse con el eje como se ve en l figur 5.19 35
y b P(, y) 0 Si hcemos y Figur 5.19. Form prmétric y y b, l ecución (9) qued y 1 que es l ecución de un circunferenci unitri con centro en el origen cuy form prmétric, con prámetro, es cos y sen De hí que, l reemplzr en y y b y qued cos y b sen (10) que es l form prmétric buscd. Si l elipse tiene centro en C( 0, y 0), medinte un trslción de ejes se logr cos y b sen y De igul form se procede cundo l elipse tiene eje trnsverso verticl. 0 0 (11) Teorem 5.6 El ldo recto de un elipse en culquier posición está ddo por b l 36
Tmbién como se hizo en l prábol, se puede dr l siguiente tbl que resume ls diferentes forms de l elipse. Tbl 4. Forms de l elipse Elipse Horizontl Verticl Form cnónic ( 0) ( y y0) b Focos Vértices principles Centro F(, ) 1 ( y y ) ( ) b 0 c y0 V(, ) Form norml y b Ecentricidd Longitud del ldo recto F(, y c) 0 y0 V(, y ) C( 0, y 0) C( 0, y 0) 1 b y 1 c c e 1 e 1 b l b l 1 Ejemplos 1. Hllr l ecución de l elipse cuyo centro está en el origen, su eje myor sobre el eje y que ps por los puntos A (4,3) y B (6,). Solución: 37
Teniendo en cuent los dtos del problem, l ecución buscd es de l form y (1), por tener su eje myor o trnsversl prlelo l eje. b 1 Ahor, como los puntos A (4,3) y B(6,) stisfcen l (1), se logr: Resolviendo el sistem de ecuciones, result pr y luego l ecución pedid es 1 o tmbién 5 13. Dd l ecución de l elipse sus elementos. Solución: 16 9 1 b () 36 4 1 b (3) 5 y b 13 y desde 4 y 5. 4 9 y 48 7y 144 L ecución dd se puede reducir l form siguiente: Comprndo l ecución (4) con, encontrr todos 4( 1 ) 9( y 8 y) 144 4( 1 36) 9( y 8y 16) 144 88 4( 6) 9( y 4) 144 ( 6) ( y 4) 1 (4) 36 16 ( ) ( y y ) b elipse con eje trnsversl prlelo l eje y demás: 36 6 b 16 b 4 1, se observ que es un 38
Centro: C( 0, y0) C(6, 4) c b c 5 F( c, y ) F(6 5, 4) Focos: Vértices principles: V(, y ) : V (1, 4), V (0, 4) 1 Vértices secundrios: V(, y b) : V (6,0), V (6, 8) Ecentricidd: c e Longitud del ldo recto: 5 6 3 4 b (16) 16 l. 6 3 3. Hllr l ecución de l elipse cuyo centro está en el punto ( 1, 1), uno de sus vértices es el punto (5, 1) y su ecentricidd es. 3 Solución: Como el vértice y el centro tienen l mism coordend 1, l elipse es horizontl y l ecución es de l form ( ) ( y y ) b Como V (, y ) V (5, 1), entonces, es decir, 6 tmbién como Tmbién se sbe que e, entonces 3 b c o Entonces l ecución pedid es: 0 5 c 3, c, es decir c 4. 3 b c 0 ( 1) ( y 1) 1 36 0 1 39
4. Los vértices principles de un elipse tienen por coordends los puntos V ( 3,7) 1 y V ( 3, 1) y l longitud de su ldo recto es. Hllr l ecución de l elipse. Solución: Como los vértices V 1 y V tienen l mism bcis 3, se deduce que l elipse es verticl y por lo tnto l ecución buscd es de l form ( 0) ( y y0) 1. b El centro C( 0, y 0) son ls coordends del punto medio del eje myor VV 1, es decir C( 3,3). Además VV 1 8. Luego 4. Tmbién se tiene que l longitud del ldo recto es Teniendo b l, o se, 4, 4, ( 0, 0) ( 3,3) b, es decir, b b C y C, l ecución pedid será: ( 3) ( y 3) 4 16 1 Actividd: Construy l gráfic, hlle sus focos y su ecentricidd. 4 5.4. Ejercicios 1. En cd cso hlle l ecución de l elipse que cumple ls condiciones dds.. Focos F( 6,0), vértices ( 3,0) b. Vértices ( 4,0), longitud del ldo recto. c. Focos F (3,5) 1 y F (9,5), semieje myor 5. d. Focos F 1 ( 1, ) y F ( 1,0) y un vértice V ( 1,1) 40
. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por el foco de l prábol 8 y 0 y los focos de l elipse 16 5y 400 0 3. Anlice (hlle todos lo elementos) y grfique ls siguientes elipses:. b. y 9 10 16 0 4 9 y 4 36 y 36 0 c. y y 4 6 16 1 0 4. Muestre que el conjunto de puntos A(, y ) tles que l distnci de A l eje se el doble de l distnci de A l punto ( 1,) es un elipse. 5. Hlle l distnci del punto (,1) de l elipse 9 y 18 y 1 0 su centro. 6. L ecución de un fmili de elipses es 4 9 y by 11 0. Encuentre l ecución del elemento de l fmili que ps por los puntos A (,3) y B (5,1). 7. Hlle l ecución de un de ls elipses que cumple con tener el centro sobre el eje, eje myor prlelo l eje y, l longitud del ldo recto es 1, l distnci entre los vértices principles es 4 y ps por el punto (4,0). 8. Hlle l ecución de l elipse que tiene ecentricidd de 0.5, centro en (,0), eje myor prlelo l eje y l distnci del foco l vértice del mismo ldo es. 9. Hlle l ecución de l elipse que tiene su centro en el centro de l circunferenci y y 4 1 0 y el diámetro de ést es igul l distnci entre los focos de l elipse. Además l distnci entre los vértices secundrios es 6. 41
10. Hlle l ecución de l elipse en l cul l distnci de un foco uno de los vértices es 3 y l otro vértice es 7 ; demás tiene el centro en el origen y el eje myor sobre el eje 11. Demuestre que pr culquier elipse, l distnci de uno de los vértices principles culquier de los etremos del ldo recto más cercno está dd por c d c ( ). 1. Hlle l ecución de l circunferenci que tiene su centro en el vértice más l norte de l elipse cerc de tl vértice. ( y 1) 4 9 1 y ps por el foco de dich elipse más 13. Será posible que un prábol horizontl que bre l derech y su vértice está en el vértice principl izquierdo de l elipse y b 1 y los etremos del ldo recto de l prábol coinciden con los vértices secundrios de l elipse, teng como foco b F,0? 14. Hllr l ecución de l prábol que tiene su vértice en uno de los focos de l elipse ( ) ( y 1) 16 5 secundrios de l elipse. 1 y ést prábol ps por los vértices 5.5 LA HIPÉRBOLA L hipérbol es l últim curv cónic de estudio en este cpítulo. Como se verá es un curv biert, como l prábol, pero con l diferenci de que l hipérbol tiene síntots y l prábol no. Un plicción muy importnte de l hipérbol 4
es l de loclizr un lugr de donde se origin un sonido, como un dispro de cñón, o un señl electromgnétic. A prtir de l diferenci en los tiempos en que lleg el sonido dos puntos de escuch, se puede determinr l diferenci de ls distncis de los puestos del cñón. Entonces se sbe que el cñón está colocdo sobre un rm de un hipérbol de l cul los puntos son los focos. Se puede encontrr l posición del cñón en est curv, usndo un tercer punto de escuch. Uno de los focos y el tercero son los focos de un rm de otr hipérbol donde está colocdo el cñón. Por tnto el cñón está situdo en l intersección de ls dos rms. Este el el principio que se usb en el sistem de nvegción conocido como LORAN. Definición 5.6 Un hipérbol es el conjunto de puntos P(, y ) en el plno tles que el vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis de cd punto del conjunto dos puntos fijos del plno, llmdos focos, es constnte y menor que l distnci entre los focos. En un form ms detlld: Sen F 1 y F los focos tles que F1 F c y se k un número rel tl que 0 k c. Entonces el conjunto de puntos P(, y ) del plno tles que F1 P FP k recibe el nombre de hipérbol. Elementos de l hipérbol Así como se hizo en ls cónics nteriores, es conveniente hcer un descripción de los principles elementos de un hipérbol (figur 5.0): 43
L A 1 A N 1 F1 V1 V F L 1 A 3 N F, F, los focos 1 Figur 5.0. Elementos de l hipérbol L 1 : Eje trnsversl: rect que ps por los focos. C : Centro de l hipérbol: punto medio del segmento entre los focos. L : Eje conjugdo: rect perpendiculr l eje trnsversl por el centro. V, V : Vértices, puntos comunes de l hipérbol con el eje trnsversl. 1 A A, A A : Cuerds. 1 1 3 N1N : Cuerd focl. Si N1N L V1C VC, Semieje myor. FC FC c 1, entonces es un ldo recto de l hipérbol., Est iguldd se origin por l definición de l hipérbol. 5.5.1 Ecuciones de l hipérbol Antes de deducir l ecución generl de un hipérbol, debemos hcer evidentes dos relciones importntes que se cumplen en tod hipérbol. 1. VV 1 y F1 Fc según l definición. 44
Ahor, V 1 es un punto de l hipérbol, por eso debe cumplir l definición, o se: de donde, k V F V F k 1 1 1 ( c ) ( c ) k Lo que signific que l constnte que se refiere l definición es igul l distnci entre los dos vértices (precido como ps en l elipse). Por est rzón es que l diferenci de ls distncis, en vlor bsoluto, de un punto de l elipse los focos es menor que l distnci entre los focos, porque c.. En l hipérbol se define l iguldd c b Como l hipérbol es un líne que tiene síntots, más delnte vmos demostrr que ésts contienen ls digonles de un rectángulo cuyos ldos miden y b y tiene centro en el centro de l hipérbol (figur 5.6) Psemos hor considerr lgunos csos:. Primero se consider el cso generl: l hipérbol con centro C( 0, y 0), focos F1 ( 1, y1), F (, y ) y P(, y ) un punto culquier sobre l hipérbol. Por definición de hipérbol se tiene: donde F1 P FP (1) F P ( ) ( y y ) () 1 1 1 F P ( ) ( y y ) (3) 45
reemplzndo () y (3) en (1) se obtiene : ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) (4) 1 1 que es l form más generl de l hipérbol. b. Teniendo en cunt l epresión (4), se puede hllr l ecución de l hipérbol con eje trnsversl prlelo l eje, centro C( 0, y 0) y llegr un ecución de l form, ( 0) ( y y0) 1 (5) b que recibe el nombre de ecución cnónic de l hipérbol. c. De l mism form, l ecución cnónic de un hipérbol con centro C( 0, y0) y eje trnsverso prlelo l eje y es, ( y y0) ( 0) 1 (6) b Ls ecuciones (5) y (6) se pueden llegr trnsformr en d ey f gy h 0 (7) que recibe el nombre de ecución generl de l hipérbol donde los coeficientes d y e tienen signos diferentes. d. En el cso prticulr en que el centro se el origen C (0,0), entonces (5) y (6) quedn y y b 1 5.5. Asíntots de l hipérbol y b 1 Unos elementos muy importntes que fltbn por describir en el estudio de ls hipérbols son sus síntots. Repsemos brevemente lo que es un síntot: Cundo en un curv dd, un punto móvil se lej indefinidmente del origen, y l distnci entre el punto y un 46
rect fij decrece indefinidmente tendiendo cero, dich rect se llm síntot de l curv. De l nterior definición se puede concluir: 1) Si un curv tiene síntots no es cerrd ni de etensión finit, esto es, se etiende l infinito en un plno crtesino. ) Un curv se proim más y más su síntot, medid que se etiende indefinidmente en el plno crtesino. Ls síntots pueden ser horizontles si son prlels o coincidentes con el eje ; verticles si son prlels o coinciden con el eje y y oblicus si no son prlels ninguno de los ejes. Teniendo en cuent l ecución ( 0) ( y y0) 1 y con nociones b elementles de límites, el estudinte puede llegr l conclusión de que ls síntots de l hipérbol representd por l ecución nterior, vienen dds por: b y y0 ( 0) y L F1 ( 1, y1) b F (, y) L 1 Figur 5.1. Asintots de l hipérbol Se debe tener presente que: y b reciben el nombre de semieje myor y menor respectivmente, unque puede ser menor o igul que b. 47
En l form cnónic de l hipérbol, término positivo. Si b, l hipérbol recibe el nombre de equiláter. siempre es el denomindor del Tmbién como se hizo en ls cónics nteriores, se puede presentr este tbl de resumen. Tbl 5. Forms de l hipérbol Hipérbol Horizontl Verticl Form cnónic ( 0) ( y y0) 1 b Focos Vértices Centro F(, ) ( y y0) ( 0) 1 b 0 c y0 V(, ) Form norml y b Asíntot Longitud del ldo recto Ecentricidd F(, y c) 0 y0 V(, y ) C( 0, y 0) C( 0, y 0) 1 b y y y b 1 ( ) b 0 ( 0) y y0 0 b l b l c e 1 e c 1 Ejemplos 48
1. Dd l hipérbol 9 16 y 18 64 y 199 0, hllr centro, vértices, focos, ecuciones de ls síntots, ecentricidd. Solución: Como el coeficiente de cnónic es es positivo, l hipérbol es horizontl y su form ( 0) ( y y0) 1 (1) b l cul se puede reducir l ecución dd en el enuncido: 9( 1) 16( y 4 y 4) 199 9 64 dividiendo l ecución () por 144 qued : Comprndo l (1) con l (3) se lleg : Tmbién se tiene que Pr los focos: Pr los vértices: 9( 1) 16( y ) 144 () ( 1) ( y ) 1 (3) 16 9 16 4 b 9b 3 C(, y ) C(1, ) c b, entonces c 5 F ( c, y ) F ( 4, ) 1 1 F ( c, y ) F (6, ) V (, y ) V ( 3, ) 1 1 V (, y ) V (5, ) 49
En cunto ls ecuciones de ls síntots, ests son de l form b y y0 ( 0), es decir, pr este cso qued: 3 y ( 1) 4 Finlmente l ecentricidd c 5 e. 4 El estudinte está en cpcidd de relizr un gráfic de l curv.. Dig si l ecución siguiente represent un hipérbol o un pr de rects que se cortn. 9 18 4 y 4 y 7 0 Solución: L ecución propuest nteriormente es equivlente : 9( 1) 4( y 6 y 9) 7 9 36 9( 1) 4( y 3) 0 y y 3( 1) ( 3) 3( 1) ( 3) 0 3 y 3 0 3 y 9 0 Son ecuciones de dos rects que se cortn. (Hcer un gráfic). 5.5.3 Ejercicios 1. Discut y grfique ls siguientes curvs:. y 4 50
b. c. 4 9 y 36 y y 4 4 16 8 0 d. 16 9 y 3 16 0. Muestre que l longitud del ldo recto de l hipérbol es b l. 3. Hlle en cd cso l ecución de l hipérbol que cumple ls condiciones señlds.. Focos ( 6,0), vértices ( 3,0) b. Vértices ( 4,0), longitud del ldo recto igul. c. Vértices ( 1,0) y ps por ( 3,8). d. Eje trnsversl prlelo l eje, longitud del ldo recto 4 y ls síntots son y 1 0 y y 3 0. 4. Hlle l ecución que represent el conjunto de puntos A(, y ) que se mueven de tl mner que l distnci de A l punto (0,) es el doble de l distnci de A l rect y 3 0. Identifique l curv hlld. 5. Los etremos del eje conjugdo de un hipérbol son los puntos (0,3) y (0, 3) y l longitud de cd ldo recto es 6. Encuentre l ecución de l hipérbol y su ecentricidd. 6. Hlle l ecución de l hipérbol que tiene los etremos de un ldo recto en ( 5, 0) y (11, 0) y tiene el centro sobre el eje 7. Hlle l ecución de l hipérbol donde un síntot es 3y 4 10 0, su centro est sobre l rect y y uno de sus vértices está en el punto ( 1,8). 8. Encuentre l ecución de l hipérbol que tiene centro en el origen, el eje conjugdo es prlelo l eje y un síntot es 3y. 51
9. Identifique que cónic represent l ecución y en cd cso hlle ls coordends de vértice, foco, etremos del ldo recto (si es prábol); centro, focos, etremos de los ejes myor y menor (si es elipse) y síntots (si es hipérbol):. y y 6 4 9 0 b. c. d. e. f. g. y y 4 6 16 1 0 9 16 y 36 3y 14 0 4 y 9 8 y 54 81 0 4 8 y 4 4 y 13 0 y 3 0 y 10 5 0 5.6 ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS Cundo se definieron ls cónics, se dio entender que estbn representds por l ecución by cy d ey f 0. Est ecución prácticmente condens todo el estudio nterior tnto de ls cónics como de rects en cuerdo l comportmiento de los coeficientes reles, b, c, d, e, f, g. Por tl motivo se tiene el siguiente teorem: E, de 5
Teorem 5.7 El conjunto de puntos que represent l ecución by cy d ey f 0, (1) es uno y sólo uno de los siguientes: Un rect, un punto, dos rects, un conjunto vcío, un sección cónic. Al principio del cpítulo se dijo que el tipo de cónic representdo por (1) se puede determinr con el discriminnte D b 4c. En l unidd sobre trnsformción de coordends se vio que con un rotción decud del sistem y, se podí eliminr el término y en l ecución by cy d ey f 0.Pr brevir el procedimiento se tiene el siguiente teorem: Teorem 5.8 L ecución by cy d ey f 0, se puede trnsformr l sistem ' y ' en ' ' b' ' y ' c' y ' d' ' e' y ' f ' 0 medinte l rotción de un ángulo, donde cot( ) c b y demás ' cos b sen cos c sen b' bcos ( c)sen 0 c' sen b sen cos ccos d' dcos e sen e' ecos d sen f ' f 53
Actividd en clse: Demostrr este teorem. Ejemplos 1. Determine l clse de cónic que represent l ecución: Solución: 5 4y y 4 1y 9 0 Pr l ecución nterior el indictivo o discriminnte es D b 4 c (4) (4)(5)() 4 Luego como D 0, l ecución represent un elipse.. Identifique l cónic 11 4y 4 y 6 3y 5 0 en un nuevo sistem ' y ' medinte l rotción de un ángulo que elimine el término y. Solución: En l ecución dd se tiene que 11, b 4, y c 4. Entonces el ángulo gudo que deberán girrse los ejes coordendos pr que l ecución se trnsforme en otr que crezc del término y debe cumplir l condición: c 11 4 7 cot b 4 4 Pr que dé un respuest precis, se puede hcer lo siguiente: Del tringulo ABC, por el teorem de Pitágors se tiene: AC (7) (4) 65 5 entonces 54
sen 1 cos( ) 1 7 3 5 5 cos 1 cos( ) 1 7 4 5 5 Por consiguiente ls ecuciones de rotción son: 4 ' 3 y ' 'cos y ' sen = 5 3 ' 4 y ' y ' sen +y' cos = 5 C 4 A 7 B Figur 5.. Sustituyendo los vlores nteriores en l ecución originl, grupndo términos semejntes y reduciendo, result 500 ' 15 y ' 1000 ' 50 y ' 15 0 Llevndo est curv su form cnónic qued: ( ' 1) ( y ' 1) 1 1 4 Est ecución represent un hipérbol en el nuevo sistem ' y ' y con ls siguientes propieddes: Eje trnsversl prlelo l eje ' con centro en C( 1,1), con 1 ( 1), b 4 ( b ) c b c 5 ( 5). Los focos y los vértices referidos l nuevo sistem son entonces F ( 1 5,1), F ( 1 5,1), V (0,1), V (,1) 1 1 55
Actividd: El estudinte puede hllr los focos y los vértices referidos l sistem originl y construir un proimción gráfic. 5.7 CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES (opcionl) 5.7.1 Definición generl de cónic Definición 5.7 Dd un rect fij l y un punto fijo F no contenido en es rect, se llm cónic l conjunto de puntos P(, y ) de tl mner que l rzón de su distnci de F su distnci de l es siempre igul un constnte positiv Figur 5.3. Cónics en coordends polres l : rect fij o directriz F : punto fijo o foco. P(, y ) : punto de l cónic FP e es l ecentricidd. BP Not: Se observ en l tbl 6 l relción que eiste entre los vlores del discriminnte o indicdor D y l ecentricidd de ls diverss cónics: Tbl 6. Cónics 56
Prábol Elipse Hipérbol D b 4c D 0 D 0 D 0 Ecentricidd e e 1 e 1 e 1 5.7. Ecución de ls cónics en coordends polres L ecución polr de un cónic puede tomr un form sencill cundo uno de los focos está en el polo y el eje polr coincide con el eje focl. OB : eje polr (eje focl) O : polo (foco) l : directriz ( L OE AB OB OB ) : distnci entre el foco y l directriz. l P( r, ) E O B Figur 5.4. Ecución polr de un cónic Teorem 5.10 Se e l ecentricidd de un cónic cuyo foco está en el polo y un distnci uniddes de l directriz correspondiente.. Si el eje focl coincide con el eje polr, l ecución de l cónic es de l form e r 1 ecos, donde el signo más (+) o el signo menos (-) indic que l directriz está l izquierd o l derech del polo. 57
b. Si el eje focl coincide con el eje /, l ecución de l cónic es de l form e r 1 esen, donde el signo más (+) o el signo menos (-) indic que l directriz está rrib o bjo del eje polr. Ejemplo Trzr l gráfic de l ecución Solución: 8 r 3 3cos Se divide entre 3 el numerdor y el denomindor de l frcción y se tiene Est ecución es de l form 8 r 3 1 cos. e r 1 ecos. Lo que indic que e 1 (un prábol) y 8/3. Luego l gráfic es un prábol con eje lo lrgo del eje polr qued. 8 3 F 4 3 8 3 Figur 5.5. Ejemplo Al sustituir sucesivmente por 0, / y 3 / se encuentr que los puntos de intersección con los ejes son: 58
4,0, 8,, 8, 3 3 3 3 el primero de estos puntos es el vértice de l prábol y el segundo y el tercero son los etremos del ldo recto. 5.8 EJERCICIOS DE FINAL DE CAPÍTULO Pregunts de repso: 1. Geométricmente como se obtiene un líne cónic?. Cuántos puntos no colineles determinn ectmente un circunferenci? 3. Cómo se obtiene el eje rdil de dos circunferencis? 4. Qué posiciones reltivs pueden tener dos circunferencis? 5. Cuándo un prábol se puede dr como un función? 6. Cuándo un prábol se bre hci l izquierd? 7. Qué plicciones tiene l prábol en l físic? 8. Como se determin si un elipse es horizontl o verticl? 9. Cuál es l diferenci entre vértices principles y secundrios de un elipse? 10. Cuándo un hipérbol es equiláter? 11. En qué punto se cortn ls síntots de un hipérbol? 1. Si un cónic tiene l form identific? by cy d ey f 0, Cómo se Pregunts de flso y verddero: Justificr si los enuncidos siguientes son verdderos o flsos 59
1. L circunferenci punto C(3, ). 8 8y 6 4 y 0 tiene su centro loclizdo en el. L distnci entre los centros de dos circunferencis tngentes eteriores es myor que l sum de ls medids de sus rdios. 3. L rect y es tngente l circunferenci punto (1,). ( 1) ( y 3) 1 en el 4. En culquier prábol l distnci del vértice uno de los etremos del ldo recto es p 5. 5. L ecentricidd de un elipse indic el grdo de chtmiento de l elipse. 6. Si un hipérbol está dd por síntots es 4 y 8 0. 4 y 8 0 7. Un hipérbol es equiláter cundo b., entonces un de sus 8. Ls síntots de un hipérbol se cortn en el centro de l curv. 9. Un circunferenci y un elipse pueden tener como máimo dos puntos comunes. 10. L ecentricidd de un hipérbol equiláter es. 11. Pr que un cónic quede bien determind se necesitn tres 1. condiciones. y 4 100 0 es un conjunto vcío. Ejercicios básicos 1. Determine si l gráfic de cd un de ls ecuciones siguientes es un circunferenci, un punto o el conjunto vcío. 60
. b. y 4 4 0 y y 4 4 9 0 c. y y 4 4 9 0. Si l distnci de un punto A(, y ) l punto B (6,0) es el doble de l distnci de A l punto C (0,3), pruebe que el conjunto de puntos A es un circunferenci. Encuentre el rdio y el centro. 3. Un cuerd de l circunferenci y 5 está sobre l rect cuy ecución es 7 y 5 0. Encuentre l longitud de l cuerd. 4. Encuentre l ecución de l meditriz de l cuerd del ejercicio nterior y muestre que ps por el centro de l circunferenci. 5. Escrib l ecución de l fmili de circunferencis que psn por ls intersecciones de : C y y 1 * :( ) ( 1) 35 C y * :( 10) ( 3) 49. Encuentre el miembro de es fmili que ps por el origen. b. Encuentre l ecución de eje rdicl de C * 1 y C *. 6. L ecución de un circunferenci es ( 3) ( y 4) 36. Demuestre que el punto A(, 5) es interior l circunferenci y que el punto B( 4,1) es eterior. 7. Encuentre l ecución de l circunferenci de rdio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de ls rects 3 y 4 0 y 7y 9 0. 8. L ecución de un circunferenci es ( ) ( y 3) 5. Encuentre l ecución de l tngente l circunferenci que ps por el punto (3,3). Dos soluciones. 61
9. Demuestre que ls circunferencis 4 4 y 16 1y 13 0 y 1 1y 48 36 y 55 0 son concéntrics. 10. Demuestre que ls circunferencis y y 4 6 3 0 y y y 8 10 5 0 son tngentes. 11. Encuentre l ecución de l fmili de circunferencis que tienen su centro en C(, k ) y son tngentes l eje. 1. Encuentre l ecución de l circunferenci cuyo centro está en el origen de coordends que se tngente l rect 8 15y 1 0. 13. Encuentre l ecución de ls circunferencis tngentes ls rects y 4 0 y y 8 0 y que psn por el punto A(4, 1). 14. Encuentre ls ecuciones de ls rects que tienen pendiente 5 y son tngentes l circunferenci y y 8 9 0. 15. Encuentre l ecución de l circunferenci tngente l rect 3 4 y 17 0, que se concéntric con l circunferenci y y 4 6 11 0. 16. Encuentre l ecución de l rect que contiene l cuerd común de ls circunferencis y y 8 6 0 y y y 14 6 38 0. Hlle l longitud de dich cuerd. 17. Hlle l ecución de l circunferenci que tiene su centro sobre l rect y 6 y ps por los puntos (1,4) y (,3). 18. Encuentre l ecución de l circunferenci que ps por el punto (,) y por los puntos de intersección de ls circunferencis y y 3 4 0 y y y 4 6 0. 6