162 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN (i) Efectuado el roducto, teemos z 1 z 2 = jz 1 jjz 2 j (cos ' 1 + i se ' 1 )(cos ' 2 + i se ' 2 ) = jz 1 jjz 2 j [(cos ' 1 cos ' 2 se ' 1 se ' 2 )+(se ' 1 cos ' 2 + cos ' 1 se ' 2 ) i] = jz 1 jjz 2 j [cos (' 1 + ' 2 )+i se (' 1 + ' 2 )] : (ii) De forma semejete, si z 2 6= 0, teemos z 1 jz 1j (cos ' 1 + i se ' 1 ) = z 2 jz 2 j (cos ' 2 + i se ' 2 ) = jz 1j jz 2 j (cos ' 1 + i se ' 1 )(cos ' 2 i se ' 2 ) = jz 1j jz 2 j [cos (' 1 ' 2 )+i se (' 1 ' 2 )] : La coclusió es imediata. Λ Juto co las formas vectorial, biómica y olar de u úmero comlejo coviee cosiderar ua cuarta forma que resulta útil ara calcular otecias yraíces de úmeros comlejos. La motivació hay que buscarla e los desarrollos e serie de ciertas fucioes bie coocidas. E aálisis matemático sedemuestra(aartirdelafórmula de Taylor e el orige, tambié llamada fórmula de McLauri) que e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + ; cos x = 1 x2 2! + x4 4! y se x = x x3 3! + x5 5! ; cualquiera que sea x 2 R. Si sustituimos formalmete x or el imagiario uro i' se obtiee, mediate maiulacioes o meos formales, la llamada Fórmula de Euler: e i' = 1 + i' + (i')2 2! + (i')3 3! = 1 + i' '2 2! i' 3 + '4 3! = cos ' + i se ': + (i')4 4! 4! + i' 5 5! + (i')5 5! + '6 6! Este argumeto o es, desde luego, ua rueba. Si embargo, co esa motivació defiimos
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 163 e i' := cos ' + i se '; ara ' 2 R, de tal forma que odemos escribir, ara todo comlejo z = jzj (cos ' + i se ') ; z = jzj e i' ; que es la forma exoecial de u úmero comlejo: De la fórmula de Euler se sigue que e ß i + 1 = 0 ; curiosa idetidad que relacioa los cico úmeros más imortates e matemáticas: 0, 1; i;ß y e: Como e el caso de los úmeros reales, s 2 C es ua raíz -ésima de z 2 C si s = z. Veremos que todo úmero comlejo o ulo tiee exactamete raíces distitas, or lo que evitaremos escribir z (salvo que z sea u úmero real o egativo). El siguiete resultado roorcioa, además, la deseada iterretació geométrica de otecias y raíces de úmeros comlejos. Proosició 6.3. Sea z = jzj e i' u comlejo dado y 2 N. Se cumle: (i) z = jzj e i' : (ii) Si z 6= 0, etoces z tiee exactamete raíces -ésimas, que so jzje i '+2kß ; k = 0, 1;::: ; 1: Demostració. (i) Por la Proosició 6.2 (i), z 2 = jzj 2 (cos 2' + i se 2') =jzj 2 e i2' : La rueba se comleta or iducció sobre : (ii) Emezaremos viedo que tales úmeros comlejos so raíces -ésimas de z. E efecto, de acuerdo co (i) setiee " # jzje i '+2kß h = jzj i i e '+2kß = jzj e i('+2kß) = jzj e i' = z: Para ver que esas raíces de z so distitas dos a dos efectuaremos su cociete de acuerdo co la Proosició 6.2 (ii). Dados 0» k 1 < k 2» 1, jzje i jzje i '+2k 1 ß '+2k 2 ß uesto que (k 1 k 2 ) = =2 Z. 2 (k1 k 2 ) ß 2 (k1 k 2 ) ß = cos + i se 6= 1
164 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN Termiaremos robado que cualquier otra raíz -ésima de z erteece al cojuto cosiderado e (ii). E efecto, si s = jsj e iff es raíz -ésima de z; se deberá cumlirs = z, es decir, jsj = jzj y e iff = e i' : Etoces, cos ff = cos ' y seff = se '; lo que imlica (ff ') =2ß 2 Z. Suogamos que (ff ') =2ß es cogruete co k (módulo ) araciertok 2f0, 1;::: ; 1g (recuérdese el Ejercicio 4.2 de la Secció 4.1). E ese caso, odemos escribir co 2 Z, es decir, (ff ') =2ß = k + ; ff = ' + 2kß + 2ß: Etoces, s = jsj e iff = jzje i '+2kß ; que es uo de los úmeros comlejos eumerados e (ii). Λ Los afijos de las otecias sucesivas de z = jzj e i' está situados sobre lao curva del lao formada or los afijos de los úmeros comlejos jzj t e it' j t 1 (esiral de Arquímedes). Si jzj > 1 dicha curva se aleja del orige (véase Figura 6.5) y si jzj < 1 la curva se aroxima al orige si alcazarlo (véase Figura 6.6). Figura 6.5. Las esiras de la cocha del ammoites aumeta su achura de acuerdo co u factor costate, segú observó Leoardo da Vici. Este factor vale jzj2ß > 1 cuado jzj > 1.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 165 Figura 6.6. Cuado jzj < 1, la esiral de Arquímedes se cotrae co factor jzj2ß < 1. Como cosecuecia de la Proosició 6.3, auque el cuero C ha sido defiido como ua extesió de R e la cual -1 tiee raíces cuadradas, ahora sabemos que cualquier otro elemeto de C tiee raíces -ésimas e el roio C ( cuáles so las raíces -ésimas de 0?). Ejemlo 6.1. La uidad tiee raíces -ésimas, cuyos afijos so los vértices del olígoo regular de lados iscrito e la circuferecia uidad. La osició de dicho olígoo queda determiada or el hecho de que el roio 1 es ua de esas raíces. Las Figuras 6.7 y 6.8 muestra las raíces cúbicas y las raíces cuartas de la uidad, resectivamete. Figura 6.7. Raíces cúbicas de 1.
166 ÁLGEBRA Y FUNDAMENTOS: UNA INTRODUCCIÓN Figura 6.8. Raíces cuartas de 1. 6.3. Ecuacioes algebraicas co coeficietes comlejos Suogamos que (x) es u oliomio co coeficietes comlejos, es decir, (x) 2 C [x]. Decimos que z 2 C es ua raíz (o u cero) de (x) cuado z es ua solució de la ecuació algebraica (x) = 0, es decir, al evaluar el oliomio (x) e x = z se obtiee el úmero comlejo (z) = 0. Esto es equivalete a afirmar que (x) es u múltilo de x z, segú muestra el siguiete resultado. Teorema 6.2. (del resto) Sea (x) u oliomio y z 2 C. Etoces,zesraíz de (x) si, y sólo si, (x z) divide a (x) : Demostració. Emezaremos suoiedo que z es ua raíz de (x) : Usado el algoritmo de la divisió (Teorema 4.1) existe oliomios (úicos) cociete yresto,q (x) y r (x) ; tales que (x) =(x z) q (x) +r (x) ; dode deg r (x) < deg (x z) =1obier (x) es el oliomio 0, lo que imlica que el oliomio r (x) es ua costate, r (x) =r 2 C. E la ecuació aterior, evaluado ara x = z, obteemos (z) =(z z) q (z) +r; es decir, r = 0: Por lo tato (x) =(x z) q (x), comosequería. El recíroco es imediato. Si (x) =(x z) q (x), etoces y z es ua raíz de (x). Λ (z) =(z z) q (z) =0