PRODUCTO ESCALAR Defncón de pdct escl de ectes. Se denmn pdct escl de ds ectes (, ) y (, ), l núme: cs α y l epesentms p En el pdct escl se mltplcn ds ectes, pe el esltd es n núme (escl). S ls ectes petenecen l espc ectl V n, el pdct escl sí defnd es n plccón de V n V n en R. f: V n V n R L pecón sí defnd es n ley de cmpscón exten, y qe ds ectes se les hce cespnde n núme el y n n ect. Intepetcón gemétc. Ppeddes gemétcs. OC cs α OC OB cs α pyeccón de OB se OA py w OB w w cs α py w 443 OC El l slt del pdct escl es gl l módl de n de ells mltplcd p l pyeccón del t se él. De está gldd se pede despe l pyeccón de n ect se t. py nlgmente py Ppeddes del pdct escl. I) El pdct escl es nl s l mens n de ls ectes es el ect nl, s ls ectes sn pependcles II) El pdct escl de ds ectes es cnmtt. III) Asct ente elements de V y elements de R. K ( ) ( K) ( K) IV) Dstt de pdct espect de l sm w Módl y nm de n ect. w El pdct escl de n ect p s msm es: n V : cs 0º : p cnsgente m: Pdct escl del ect p s msm, l qe es l msm, módl del ect l cdd. Módl: Ríz cdd pst del pdct escl de n ect p s msm.
Vectes nts. Se llmn ectes nts ls ectes cy módl es l ndd. P nmlz n ect st ddl p s módl. El pdct escl de ectes nts pede pesent tes css: ) S sn pependcles, s pdct escl seá nl. ) S sn plels, s pdct escl seá sí sn de gl sentd ó sí tene sentd pest ) S n sn pependcles n plels, s pdct escl seá gl l csen del ángl qe fmen. Bses. Bse de n espc ectl es n fml de ectes les en fncón de ls cles se peden expes tds ls demás ectes cm cmncón lnel de ells. Ls cndcnes qe dee en n scnnt B de ectes de V, p se n se de V sn: ) Dee se n sstem gened de V ) Ls ectes qe l fmn deen se lnelmente ndependentes. Ls se se peden clsfc en fncón del ángl ente ls ectes y del módl de ests. Tp de se Ángl Módl LIBRE Sn estccón Sn estccón ORMALIZADA Sn estccón ORTOGOAL 90º Sn estccón ORTOORMAL 90º L se tnml tmén ece el nme de se cnónc ó se métc. En V² est fmd p ls ectes (,0 ), ( 0,),0,0 0,,0 k 0,0,. En V 3 est fmd p ls ectes,, Expesón nlítc del pdct escl. Se {, } B n se le del espc ectl V. En dch se ns defnen ds ectes : tenend en cent ls ppeddes del pdct escl de ectes ( ) ( ) ( )( ) plcnd l defncón de pdct escl de ds ectes: cs 0 cs expesón de pdct escl en n se le. S l se B {, } ( ) cs( ) es nmd (módl ndd y ángl le) cs
3 l expesón del pdct escl se smplfc n pc cs S l se { }, B es tgnl, (módl le y ángl ente ectes 90º) 0 cs 90º cn l qe l expesón del pdct escl qed S el sstem efeenc está fmd p l se cnónc { }, B, l expesón nte se smplfc stnte y qe: 0 p se ectes nts y tgnles ente sí. Aplccnes de l expesón nlítc del pdct escl de ectes. I) Módl de n ect Bse le cs Bse md cs Bse Otgnl Bse cnónc II) Vectes nmlzds. Bse le cs Bse nmd cs
4 Bse tgnl Bse cnónc El ect nt se pede expes en fncón de ls csens dectes 3 3 cs cs β α III) Pyeccón de n ect se t Cm plccón de l ntepetcón gemétc del pdct escl de ectes py Bse le cs cs py Bse nmd cs cs py Bse tgnl py Bse cnónc py
IV) Ángl ente ectes De l expesón de defncón del pdct escl de ectes, se pede despe el csen del ángl qe fmn ls ectes, tenéndse: cs( ) cs ( ) Bse le Bse nmd cs cs ( ) cs( ) ( )cs( ) Bse tgnl cs cs ( ) cs( ) ( ) cs( ) Bse cnónc V) Alt de n tángl cs ( ) Alt de n tángl de étces ls pnts A(, ), B(, ), C(c, c ). Dstnc del pnt C l ect qe ps p A y B Cm se se en l fg, l lt del tángl cncde cn l pyeccón del ect A C se l tgnl de AB, denmnd AB ' h py AC AC VI) Áe de n tángl se lt Áe( ABC) S se tm cm se el ld AB, s lngtd es el módl de AB y l lt p tnt deeá se l lt cespndente l étce C. AC Áe t: El módl de n ect y el de s tgnl sn gles. ( ABC) AB py AC AB { AB } AC L expesón del áe del tángl es nálg s se tm cm se el ld AC el BC Áe( ABC) AB AC' BC BA' BA BC' 5
VII) Áe de n plelgm Áe se lt se AB Alt py AD Áe ( ABCD) AD RESUME DE APLICACIOES DEL PRODUCTO ESCALAR EXPRESIÓ GEERAL Módl de n ect Vect nt Pyeccón de n ect se t py Ángl ente ectes cs α EXPRESIÓ AALÍTICA (Bse cnónc), py cs α 6