TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios.. Frcciones lgebrics.. Resolución de ecuciones de grdo uno y dos. 7. Sistems de ecuciones. Los intervlos representn un conjunto de puntos de l rect rel. En este concepto debemos tener clro el infinito, tnto positivo como negtivo: + y. Hy diferentes notciones pr los conjuntos de números, pero l más importnte y más utilizd es l de los intervlos. Los corchetes se utilizn pr incluir el extremo en el conjunto de números y los préntesis, pr no incluirlo. Hy vrios tipos de intervlos: biertos, semibiertos o semicerrdos y cerrdos, demás de los intervlos infinitos: (,7 )intervlo bierto [,2 ] intervlo cerrdo (, 2] [, ) intervlos semibiertos o semicerrdos (, 4) (, 2] [,+ ) ( 2,+ )intervlos infinitos Otrnotción : {x R/x }= OBSERVACIÓN: El infinito nunc llev un corchete porque nunc podemos llegr tocrlo. Unión de intervlos: tommos todos los puntos que formn los dos intervlos: (, ) [2, )=(, ) Intersección de intervlos: tomos sólo los puntos comunes de los dos intervlos: (, ) [2, )= ACTIVIDAD : Represent en l rect rel cd uno de los siguientes conjuntos: ) [4,+ ) b) (-, ) [, ) c) (,2 ) [ 4,+ ) d) [ 4,+ ) {} e) { R/<, } f) {b R/b, b 7} 2. Propieddes de ls potencis. Sen x e y dos números reles culesquier y y b dos números enteros, x, y R,,b Z. Multiplicción de potencis con l mism bse. 2. División de potencis con l mism bse. x x b =x + b x : x b = x x b =x b ( 2) ( 2) =( 2) 4 : 2 = 4 2 =2. Multiplicción de potencis con el mismo exponente. 4. División de potencis con el mismo exponente. x y =(x y) ( 2) 7 ( 4) 7 = 7 x : y = x y = ( x y ) : = =. Potenci de un potenci. ( x ) b =x b (2 4 ) =2 2
. Potencis con exponente negtivo. x = ( x ) = x ( 2) = ( 2 ) = 2 7. L unidd elevd culquier número sigue siendo l unidd. = 2 =. Todo número elevdo cero es uno. x = ( 4.7) = 9. Todo número elevdo uno es él x =x 2 =2 mismo. OBSERVACIÓN: Los préntesis en ls potencis se utilizn pr englobr l bse, es decir, si queremos que l bse de un potenci se un número negtivo, debemos usr el préntesis. Por el contrrio, si sólo queremos que l potenci se negtiv, no lo usmos. Vemos un ejemplo de cd cso: ( ) 4 =( ) ( ) ( ) ( )=+ 4 = = ACTIVIDAD 2: Simplific cd un de ls expresiones lo máximo posible: 2b 49 : 4 7 (4 2 ) ( 7 ) 2 (( 7 ) ) ( 4 ) : (( 4 ) 2 ) c 7 ( 7 ) : 49 ( 7 ) 4 ( 49 ) 2 d [4 4 2 : (4 ) 4 2 ] :2 ( 4 ) e +( 2) [ 4 2 ]. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. Los rdicles son potencis con el exponente frccionrio de mner que el numerdor de l frcción ps potenci de l bse y el denomindor, índice del rdicl: x b = b x Vemos cuáles son ls propieddes que verificn los rdicles:. Multiplicción de rdicles con el mismo índice. 2. División de rdicles con el mismo índice. x y= x y x: y= x y = x y 2 = 4 : 2= 4 2 = 2. Potenci de un rdicl. b x b =( b x b ) = x b b ( 2 ) = 2 4. Ríz de un ríz. x= b b 4 x = Antes de psr ls operciones básics con los rdicles, es necesrio conocer l simplificción de rdicles que consiste básicmente en expresr el rdicndo como potencis y extrer todos los fctores posibles. Vemos lgunos ejemplos: 24= 2 = 2 =2 92= 2 = 2 = 2 2 = 2 2= 2 = 2 =2 4 = Además, pr simplificr, en un último pso, debemos tener en cuent que el índice y el exponente formn un frcción y ésts se pueden simplificr, es decir:
4 2 = Un vez que no podemos extrer más fctores de l ríz, vemos si se puede simplificr el índice y el exponente. Vemos hor cómo se pueden hcer ls operciones con los rdicles: Pr sumr o restr rdicles, estos deben ser exctmente el mismo rdicl. En cso contrrio, no se puede hcer dich operción. Tened en cuent que es posible que prentemente dos rdicles no sen igules pero que cundo se simplifiquen sí los son. Pr multiplicr y dividir rdicles, deben tener el mismo índice, y sí podemos plicr ls propieddes uno y dos nteriores. En cso que no tengn el mismo índice se hce el m.c.m. de ellos. Tened en cuent que un vez hymos hecho l operción que se, debemos simplificr el rdicl lo máximo posible. 2 + =(2+ ) =4 4 2 2 No se puede hcer. = 2 2 = 2 4 = 2= 2 =2 2 = 2 4 2 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 Los rdicndos se psn potencis. Y luego, clculmos el m.c.m. de los índices. Estos se dividen por cd índice y ese resultdo se multiplic por los respectivos exponentes. ACTIVIDAD : Simplific los siguientes rdicles: ) 24 7 b 9 b) 4 b c) 729 x y x y 7 ACTIVIDAD 4: Efectú ls siguientes operciones: 2+ b 2+4 2+ c 9+ 27+ 7 2+4 x 2 y 2 x d) ACTIVIDAD : Efectú ls siguientes operciones simplificndo todo lo posible los resultdos. ) c) ( 4 2 )2 ( 2)(+ 2) 7( 2 + 7 )2 +( 4 7) 2 (2 7)(2+ 7 ) (4 2 + ) 2 ( + 7 ) 2 d) b) ( + 2 )(2 + 2)+7 En los rdicles, el denomindor no puede tener ríces, pues eso simplific mucho l visión que podemos tener de l expresión en cuestión. Si culquier expresión tiene un ríz en el denomindor, tenemos que quitrlo y este procedimiento se conoce con el nombre de rcionlizción. Hy tres tipos: TIPO : Multiplicmos y dividimos por l ríz cudrd del denomindor y relizmos l operción: TIPO 2: Multiplicmos y dividimos por l ríz del denomindor pero cmbiándole el exponente del rdicndo l resultdo de 2 = 2 = 2 2 2 2 = 2 2 = 4 = 2
hcer el índice menos el exponente que tení: Tengmos en cuent que después de hcer l operción, se debe simplificr lo máximo posible. TIPO : Multiplicmos y dividimos por el conjugdo del denomindor. Debemos tener en cuent, demás de todo lo nterior, ls igulddes notbles: (+b ) 2 = 2 +b 2 +2 b ( b ) 2 = 2 +b 2 2 b (+b ) ( b)= 2 b 2 7 = = 2 2 + 2 2 2 = 2 ( 2) (+ 2 ) ( 2) 2)2 = 2 ( 2 ( 2 ) = 2 2 2 2 ACTIVIDAD : Rcionliz ls siguientes expresiones: 7 x 4 2 4 2 + 2 2 7 2 +2 7 2 +2 2 4 +4 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios. Un polinomio es un expresión lgebric formd por l sum o rest de monomios, que se llmn términos del polinomio. P (x )= 2 x x 2 x Vlor numérico de un polinomio: es el vlor que sign el polinomio pr un determindo vlor de l vrible. El vlor numéricode P ( x ) pr x= es: P ( )= 2 () () 2 ( ) = Ríz de un polinomio: es un vlor de l vrible pr el cul, su vlor numérico es cero. P ( )= 2 ( ) ( ) 2 ( ) = Por tnto, x= esríz de P (x) Fctor de un polinomio: es otro polinomio de menor grdo de mner que l dividirlos, obtenemos un división exct, es decir, resto cero. L expresión de un polinomio como producto de fctores de menor grdo posible se conoce con el nombre de fctorizción. OBSERVACIÓN: Si x= es ríz del polinomio P(x) entonces x- es un fctor de dicho polinomio y vicevers. L REGLA DE RUFFINI se utiliz pr obtener ls ríces de un polinomio y su fctorizción de l siguiente mner:
Obtener ls ríces del siguiente polinomio sí como su fctorizción: P (x )= 2 x 4 + x 2 Colocmos los coeficientes del polinomio, si lguno flt, se coloc un cero. Los cndidtos ríces de un polinomio son los divisores del término independiente y los válidos son quéllos cuyo resultdo es cero. - -2 - Un vez colocdos los coeficientes y decidido qué número elegimos psmos operr de l siguiente mner: el primer coeficiente se bj directmente y se multiplic por el número elegido, colocándose debjo del siguiente coeficiente con el cul tenemos que sumrlo. Este procedimiento se repite hst llegr l último número. Si el resultdo obtenido es cero, el número elegido es ríz del polinomio, si no sle cero debemos empezr con otro número de entre los cndidtos. Por tnto, obtenemos que ls ríces del polinomios son es l siguiente: P (x )= 2 (x+ ) (x ) ( x+2 ) ( x 2) - -2 2-2 2-2 2-2 -2 4-2 4-4 -2 - - - - -2,, 2, 2 y que su fctorizción OBSERVACIÓN: Tengmos en cuent que el coeficiente principl siempre tiene que precer en l fctorizción. En los polinomios es muy importnte sber scr fctor común y ls identiddes o igulddes notbles, pues nos simplificn mucho los cálculos: Fctor común: x 2 2 x=x ( x 2 ) x 4 x=x ( x 2 4 ) x x 4 +x = x (x x+2) Identiddes notbles: (+b ) 2 = 2 +b 2 +2 b ( b) 2 = 2 +b 2 2 b (+b ) ( b)= 2 b 2 Pr relizr l fctorizción de polinomios, debemos, en primer lugr, scr fctor común y después plicr Ruffini l polinomio que me h queddo. Veámoslo con un ejemplo: P (x )= x +4 x 2 4 x= x ( x 2 4 x+4)= x (x 2) 2 De est mner ls ríces tmbién cmbin, pues cd vez que se sque fctor común en x, se está ñdiendo l ríz x=. ACTIVIDAD 7: Ddo los siguientes polinomios, obtén sus ríces y fctorízlos: P (x )=x 2 7 x Q (x )=x 2 + x R ( x )=x +x 2 + x+4 S ( x)=x + x 2 + x T (x )= x x 2 9 x+9u ( x )= x 4 x x 2 4 x. Frcciones lgebrics. Ls frcciones lgebrics simplemente son frcciones de polinomios. Y l igul que ls frcciones de números, ls frcciones lgebrics se pueden simplificr, sumr, restr,
multiplicr, dividir Sólo hy que tener en cuent que pr todo ello es necesrio fctorizr los polinomios. Veámoslo con un ejemplo: Simplificción: x 2 +x x (x+ ) = x 2 x x ( x ) = x+ x x + x 2 +x+4 ( x+ ) (x+2)2 = = x+ x 2 +4 x+4 (x+2) 2 Sums y rests: pr hcer ests operciones es necesrio clculr el m.c.m. de los denomindores y plicr exctmente ls misms regls que se hcen con ls frcciones de números. Multiplicción y División: Multiplicmos los polinomios en prlelos y en cruz, respectivmente. x x 2 + x+9 x+ x 2 +x = x (x+ ) 2 x+ x ( x+ ) = x ( x+ ) x = x+ x (x+) = x (x+) 4 x 2 + x x 2 4 4 ( x+2)+x = = x+ x 2 4 x 2 4 ACTIVIDAD : Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: x2 + x+9 x 2 9 b x 4 x 2 +4 x 4 2x x 2 +2x c x2 +x x 2 x d x7 x e x4 2 x x 2 x 7 2 x +2 x ACTIVIDAD 9: Reliz ls siguientes operciones: x x 2 4 x+ x 2 +2 x + 2 x =b 2 ( x+ + x ) x : 2 x 2 x 2 x. Resolución de ecuciones de grdo uno y dos. Un ecución es un iguldd que sólo se verific pr unos vlores concretos de un vrible, generlmente llmd x. Resolver un ecución consiste en hllr los vlores de l vrible que hcen ciert l iguldd. L solución de un ecución es un vlor que verific l ecución, es decir, que l sustituir se verific l iguldd. Recuerd: - Si un elemento está sumndo en un miembro ps l otro restndo. Si está restndo ps sumdo. - Si un número multiplic todos los elementos de un miembro ps l otro dividiendo y si los divise ps multipllicndo. {. M.C. M encsoquehy frcciones } 2. Préntesis Es importnte recordr l jerrquí de operciones:. Potencis 4. Multiplicciones y Divisiones. Sums y Rests Vemos ejemplos de ecuciones de primer grdo: x+4 2 = x 2 2+ (2 x+) ( x+4 )= 2+ x+ x 2=
2 ( x+4 ) = ( x ) 2x+ = x 2x+ x= + x= x= =2 x x=+2+ 2 x=2 x= 2 Pr resolver ls ecuciones de segundo grdo es necesrio recurrir un fórmul que nos d ls soluciones de ests ecuciones: x 2 +bx+c= x= b± b2 4 c 2 Vemos cómo es l plicción de est fórmul en ejemplos: =2; b= 4 ;c= x= b ± b2 4 c = 2 4 ± 4 2 ( ) = 2 2 2x 2 4 x = 4± 4 = 4± 4 4 ={ 4 + 4 = 2 4 = }. 4 4 = 4 4 = Ls ecuciones bicudrds son ecuciones en ls que intervienen ls potencis pres dos y cutro. Pr resolverls seguiremos los siguientes psos: º Relizmos un cmbio de vrible pr obtener un ecución de segundo grdo. 2º Resolvemos l ecución de segundo grdo obtenid con vrible t. º Deshcemos el cmbio de vrible pr obtener ls soluciones en l vrible x. 2 x 4 + x 2 += Cmbio: x 2 =t por tnto, se tiene tmbién: x 4 =t 2 2 t 2 + t+= 2t 2 +t+= Tenemos dos soluciones : t =4 y t 2 = x 2 =t =4 x=± 4=± 2 x 2 =t 2 = x=± solución Obtenemos dos soluciones x =2 y x 2 = 2 ACTIVIDAD : Resuelve ls siguientes ecuciones: x 2 4 x+4= x=x 2 +4 4 x x 2 +x 2=4 x 2 ++ x x 2 x =x 2 + 2 x x +4 x 2 +x= x 4 + x 2 4= x 4 + x 2 += 7. Sistems de ecuciones. Existen tres métodos nlíticos de resolución de los sistems de ecuciones lineles: MÉTODO DE REDUCCIÓN, METODO DE SUSTITUCIÓN Y METODO DE IGUALACIÓN. Cd uno tiene su diferenci en l ejecución que veremos con un ejemplo: MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se multiplicn ls ecuciones lineles por esclres de mner que l sumr ls ecuciones un vrible desprezc, quedndo un vrible que se puede clculr fácilmente. Un vez conocido el vlor de un de ells, se sustituye en culquier de ls dos ecuciones pr obtener el vlor de l otr vrible. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: De culquier de ls dos ecuciones lineles se despej un vrible, cuy expresión se sustituye en l otr ecución linel. De est form se obtiene un ecución de primer grdo que se resuelve pr obtener el vlor de un de ls vribles. Un
vez conocido el vlor de un de ells, se sustituye en culquier de ls dos ecuciones pr obtener el vlor de l otr vrible. MÉTODO DE IGUALACIÓN: De ls dos ecuciones lineles se despej l mism vrible, igulándose ls expresiones de despeje. Se resuelve l ecución de primer grdo que obtenemos y un vez conocido el vlor de un de ells, se sustituye en culquier de ls dos ecuciones pr obtener el vlor de l otr vrible. ACTIVIDAD : Resuelve los siguientes sistems por el método que consideres más propido: { x y = 2 x+ y=9} b { x + y =2 x + y=} c x+2 { 2 x+4 y=4}