UNIDAD 0. Repso (prte II). INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llm desiguldd tod relción entre epresiones numérics o lgebrics unids por uno de los cutro signos de desiguldd, <, >,, Por ejemplo: 4 6 < 0 Fls 4 < 8 Verdder ( ) ( ) 0 Tenemos que ver que vlores de l incógnit l hcen verdder. A esto se le llm inecución Definición: Se llm inecución quells desigulddes en ls que se encuentr presente en uno culquier de los miembros, o en mbos, un o más vribles, o incógnits. Ejemplos: Ls siguientes desigulddes son inecuciones 4 4 6 < 0 Un inecución se verific sólo pr lgunos vlores de ls vribles. Los vlores numéricos pr los cules se verific l desiguldd son ls soluciones de l mism. Resolver un inecución consiste en hllr los vlores numéricos pr los cules l desiguldd es verdder. Definición: Inecuciones equivlentes son quells que tienen ls misms soluciones. Pr hllr inecuciones equivlentes debemos plicr los Principios de Equivlenci: Si summos o restmos los miembros de un inecución un mism cntidd o epresión lgebric, l inecución que result es equivlente l dd. Es decir, podemos psr términos de un miembro otro simplemente cmbiándole el signo, igul que en ls ecuciones Ejemplo: Si multiplicmos o dividimos los dos miembros de un inecución por un mism cntidd positiv no nul, l inecución que result es equivlente l dd. Es decir, si tenemos un fctor positivo en un miembro lo podemos psr dividiendo o multiplicndo l otro miembro de form ná ls ecuciones 7 7 Ejemplo: 7 Si multiplicmos o dividimos los dos miembros de un inecución por un mism cntidd negtiv, l inecución que result es de sentido contrrio l dd. Anáo l nterior pero l ser negtivo el fctor hemos de cmbir de sentido l desiguldd. 7 Ejemplo: 6 6 7 7 7 Definición: Un inecución de primer grdo con un incógnit es un inecución que se puede trnsformr en otr equivlente de un de ls siguientes forms: b b < b > b Pr resolverls hemos de seguir los psos similres ls ecuciones, obteniendo inecuciones equivlentes teniendo mu en cuent que l multiplicr o dividir por un nº negtivo hemos de cmbir el signo de l desiguldd. UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ls soluciones de un inecución suelen ser intervlos de números reles. Vemos con ejemplos cómo resolverls: Ejemplo: Resolver l inecución (Trsponemos ls un miembro lo demás otro) 4 (Psmos el 4 dividiendo, como es positivo no ps nd en l desiguldd) (Simplificmos) Ls soluciones de l inecución son 4 todos los números reles menores o igules que, eso lo ponemos sí usndo intervlos: Solución, gráficmente serí: 4 0 0 Ejemplo: Resolver l inecución > (Ponemos común denomindor) > 0 0 0 0 (Eliminmos el denomindor) 4 0 > 0 (Trsponemos) 4 0 > 0 6 > (Como dividimos por (6) cmbimos el sentido l desiguldd) < (Ponemos el signo en el lugr decudo 6 tenemos l solución) < 6 Solución, gráficmente: 6. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Vmos limitrnos sistems de dos inecuciones con un sol incógnit, que quedn reducidos epresiones de l form: < b < b Vemos con ejemplos como se resuelven, que serán quellos vlores que verificn simultánemente tods ls inecuciones: < Ejemplo: Resolver Lo primero es poner común denomindor pr eliminr denomindores > 4 4 ( ) ( ) < 6 6 0 < 4 < 4 (quí cmbimos de sentido ls 4 ( ) ( ) 9 > 4 8 6 9 > 9 > 8 UNIDAD 0: Repso (prte II)
( ) ( ) >, desigulddes pues en mbs dividimos por un nº negtivo). Nos slen dos intervlos l solución es < 4,4 l intersección de mbos, lo vemos gráficmente: (, ) (,4) L solución es el intervlo común: Solución (,4) > > Ejemplo: Resolver 4 9, los intervlos de solución son (, ) pr l primer (,9] pr l segund. Luego l solución común mbs está en l intersección de mbos, es decir, en (,9], gráficmente tl vez se ve mejor. ( ) ( ) > Ejemplo: Resolver el sistem (opermos) ( ) ( ) ( ) ( 6) 4 4 > 6 9 9 0 0 > <, Se puede observr fácilmente que no tienen ningún nº rel en común, no h [, ) números reles mores o igules que menores que / Diremos que no tiene solución el sistem. Ejemplo: Resolver < 6 < 4 En este cso tenemos un doble desiguldd que se trnsform en un sistem de dos inecuciones con dos incógnits < 6 < 6 < 6 (ojo con los menos) 6 < 4 < 6 > (,6) (, ) UNIDAD 0: Repso (prte II)
L solución es: Solución (, 6). INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA DE GRADO SUPERIOR A UNO Son inecuciones donde l incógnit tiene grdo mor. Pr resolverls se clculn primero los vlores que nuln l epresión lgebric (polinomio) estos vlores dividen l rect rel en intervlos donde se mntiene constnte el signo. Vemos con ejemplos como se resuelven: Ejemplo: Resolver l inecución 6 8. Lo primero es dejr l inecución con uno de los miembros 0, sí nos qued: 6 8 0. Consideremos el polinomio P ( ) 6 8 vemos donde se nul: (,), ( ) P ( ) 6 8 0 Ests dos soluciones nos dividen l rect rel en tres intervlos, sber: 4,4 4,. Nos fijmos que los intervlos siempre hemos de tomrlos biertos, veremos más delnte ( ) que ps con los etremos, en este cso el el 4 Ahor hemos de construir un tbl de signos, pues se cumple que en esos intervlos el signo del polinomio P ( ) 6 8 se mntiene constnte, es decir, siempre es positivo o siempre es negtivo. Por ello bst elegir un nº rel que pertenezc dichos intervlos sustituir en el polinomio el signo que obtengmos se mntiene en todo ese intervlo. (,) (,4) ( 4, ) P ( ) 6 8 Clculmos el vlor pr 0 que es de este intervlo result P ( 0) 8 que es positivo. Aquí tods l vn dr positivo Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result P ( ) 9 8 8 que es negtivo. Aquí tods l vn dr negtivo Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result () 0 8 P que es positivo. Aquí tods l vn dr positivo No se pueden usr el el 4 pues l sustituir d 0 este no tiene signo como sbemos. L inecución que tenímos er 6 8 0, es decir, ls soluciones son quells que lo hcen positivo ó 0, luego son los intervlos (,) ( 4, ) demás hemos de incluir el el 4 que lo hcen vler 0, por eso serán intervlos cerrdos en el en el 4. Por tnto concluimos que l solución es: 4 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Solución (, ] [ 4, ) NOTA: En muchos libros muchos profesores usn l descomposición en fctores del polinomio pr hcer l tbl de signos, que en este cso es ( ) 6 8 ( )( 4) P l tbl qued de l siguiente mner: (,) (,4) ( 4, ) Clculmos pr 0 sle que es negtivo Clculmos pr sle que es positivo Clculmos pr sle que es positivo 4 Clculmos pr 0 sle 4 que es negtivo Clculmos pr sle que es negtivo Clculmos pr sle que es positivo ( )( 4) P ( ) () () () () () () En l últim fil multiplicmos los signos correspondientes cd fctor sle como vemos el mismo resultdo. Ejemplo: Resolver 9 > 0 Vemos donde se nul el polinomio P( ) 9 0. Nos vuelven slir intervlos hcemos l tbl de signos: (, ) (,) (, ) P( ) 9 Clculmos el vlor pr 4 que es de este intervlo result P ( 4) 7 que es negtivo. Aquí tods l vn dr negtivo Clculmos el vlor pr 0 que es de este intervlo result P ( ) 9 que es positivo. Aquí tods l vn dr positivo Clculmos el vlor pr 4 que es de este intervlo result P ( 0) 7 que es negtivo. Aquí tods l vn dr negtivo En est inecución el signo de desiguldd es mor estricto ( 9 > 0), por tnto los etremos, el el no son soluciones pues son los que hcen que vlg 0. Concluimos que ls soluciones son: Solución (,) Ejemplo: Resolver Opermos pr dejr un miembro 0 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Vemos donde se nul el polinomio socido P( ) 0 ( ) 0 0 0 En este cso l tener soluciones en l ecución nos precen 4 intervlos, que son (, ), (,0), ( 0,) (, ) Psmos construir l tbl de signos: (, ) (,0) ( 0,) (, ). P( ) Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result P ( ) 8 que es negtivo. Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result P ( ) 0,6 que 8 es positivo. Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result P ( ) que es negtivo Clculmos el vlor pr que es de este intervlo result P ( ) que es positivo L inecución er 0, por tnto ls soluciones son donde sle negtivo e incluendo los etremos pues se, 0, trt de un menor o igul, sí: Solución ( ] [ ] En este ejemplo, quizás hubiese sido mejor plicr l descomposición en fctores pues no tenemos que operr con potencis cúbics ni cudrds nos limitmos l finl un producto de signos. Al descomponer en fctores el polinomio nos qued l inecución ( ) ( ) 0 (, ) (,0) ( 0,) (, ) Producto Ejemplo: Resolver 8 0 ± 7 En este cso intentmos resolver l ecución socid 8 0 que como observmos no tiene solución. Entonces no tenemos intervlos donde ver el signo. El signo se mntiene constnte en tod l rect rel, l tbl qued: IR (, ) 8 Probndo con 0 result 8 que es positivo 6 UNIDAD 0: Repso (prte II)
L solución es tod l rect rel: Solución R Ejemplo: Resolver 8 0 Este ejemplo es similr l nterior pero quí no tiene solución como se puede ver fácilmente con el hecho en el ejemplo nterior, pues quí ls soluciones serín los negtivos. 4. INECUACIONES RACIONALES Son inecuciones donde prece lgun frcción lgebric Son del tipo b 0 c d o con los otros signos de desiguldd, <, >. Pueden ser tmbién el numerdor el denomindor de grdo mor. Método de resolución: Descomponer fctorilmente los polinomios numerdor denomindor conociendo sus ríces. Posteriormente se procede como con ls inecuciones de grdo mor que uno, que se trt en el fondo de verigur el signo finl que v tener un cociente de polinomios. Vemos ejemplos resueltos: Ejemplo: Resolver 0 0 Vemos donde se nuln el numerdor el denomindor 0 Nos slen dos vlores luego tenemos intervlos: En l tbl de signos podemos hcerlo todo junto o bien seprr los signos del numerdor el denomindor después dividirlos. Vmos hcerlo sí hor: (,0) ( 0,) (, ) Por último nos qued ver si los etremos entrn o no. 0 En 0 l ser del numerdor, hce que l frcción vlg 0que tiene sentido l ser l desiguldd menor o igul. 0 Luego 0 es solución En l ser del denomindor, hce que l frcción vlg 0. Luego no es solución Con ello, deducimos que: Solución [ 0,) 0 que no tiene sentido pues no se puede dividir por 7 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ejemplo: Resolver l inecución > 0 Vemos donde se nuln numerdor denomindor: 0 ( ) Tenemos entonces 4 intervlos de posibles soluciones: 0 0 0 (, ) (,0) ( 0,) (, ) Con sle Con sle Con 0, Con Con sle Con sle Con 0, Con Por último, los números que nuln el denomindor, el 0 el, no son soluciones puesto que no se puede dividir por 0. Los números que nuln el numerdor, en este cso el, puede ser solución, pero no lo es pues es un desiguldd estrict (mor estricto). Por tnto ls soluciones son: Solución (,0) (, ). INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Un inecución de primer grdo con dos incógnits es un inecución que en form reducid se puede epresr de l siguiente form: b > c ó b < c ó b c ó b c Pr resolver este tipo de inecuciones debemos sber representr rects en el plno hciendo un pequeñ tbl de vlores. El proceso es el siguiente: Representmos gráficmente l función linel o fín b c cu gráfic es un rect. Lo hbitul es hcer un tbl de vlores. L rect nterior divide l plno en dos semiplnos. Uno de esos semiplnos es el conjunto solución, pr sber cuál es se tom un punto de uno de ellos se comprueb si verific l inecución. Si l verific, el semiplno que contiene ese punto es solución, si no l verific, el otro semiplno es solución. 8 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Por último qued ver si l fronter de seprción entre los dos semiplnos es prte de l solución o no. En ls inecuciones con desiguldd estrict (< ó >), l fronter no es solución. En los csos ó l fronter si es prte de l solución. Aquí l solución se tiene que dr de form gráfic. Vemos con ejemplo como plicr lo dicho. Ejemplo: Resolver l inecución < Representmos l rect hciendo un tbl de vlores: 0 En el dibujo se observn los semiplnos l fronter (que es l rect en sí): Pr ver que semiplno es solución, vmos por ejemplo tomr el punto P(,0) que es un punto del semiplno B sustituimos en l inecución por e por 0 pr comprobr si l verific o no. 0 < 0 < Lo que es obvimente flso, por tnto el semiplno solución es el A demás no entr l fronter pues es un menor estricto. 9 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ejemplo: Resolver 0 Os dejo l solución, tened en cuent que en este cso l fronter entr. 6. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Un sistem de inecuciones de primer grdo con dos incógnits es un conjunto de inecuciones de l form: b c b > c... n bn < c n (los signos de desiguldd pueden vrir) El conjunto solución está formdo por todos quellos vlores que verificn simultánemente tods ls inecuciones. Suele ser un región del plno que se denomin región fctible Pr resolverlo procedemos de l siguiente mner: Resolvemos cd inecución como hemos visto en el punto ), sombremos o rmos el semiplno que NO es solución. Un vez hecho lo nterior con tods ls inecuciones, nos qued en blnco l región fctible. Muchs veces h que clculr o nos piden que clculemos los vértices de l región fctible, que lo hremos intersectndo ls rects que lo determinn Vemos con ejemplos como se procede. < Ejemplo: Resuelve el sistem de inecuciones siguiente Empezmos con l primer inecución. Dibujmos l rect hciendo un tbl de vlores 0 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Probmos con el O(0,0) en l inecución pr ver el semiplno solución 0 0 < Lo cul es cierto, por tnto tenemos en est primer inecución l siguiente región solución demás como es menor estricto l fronter, es decir, l rect no entr. Sobre l mism gráfic vmos resolver l segund inecución: Dibujmos l rect hciendo l tbl de vlores 0 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Probmos tmbién con el punto O(0,0) por ser el más cómodo en l inecución: 0 0 0 lo cul es cierto luego el semiplno solución es donde se encuentr el punto O(0,0) rmos el otro. Además quí entr el borde o fronter l ser menor o igul. L región fctible o solución es l región blnc del dibujo siguiente: A veces es necesrio clculr los vértices de l región, pr ello se resuelve el sistem de ecuciones ddo por ls dos rects que lo determin. En este ejemplo sólo h un vértice se clcul resolviendo, que como se ve en el dibujo nterior tiene que slir 0 que nos d el punto A(0,) Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem de inecuciones: 0 0 6 0 8 Procedemos igul que ntes: Dibujmos 0 con su tbl de vlores. Si nos fijmos, es el eje OY o de ordends (el verticl) 0 0 Probmos con el (,) lo verific, por tnto nos qued UNIDAD 0: Repso (prte II)
Dibujmos 0 con su tbl de vlores. Si nos fijmos, es el eje OX o de bsciss (el horizontl) 0 Probmos con el (,) lo verific, por tnto nos qued 0 0 Dibujmos 6 0 con su tbl de vlores. 0 0 6 Probmos con el (0,0) lo verific, por tnto nos qued Dibujmos 8 con su tbl de vlores. 0 8 4 0 Probmos con el (0,0) lo verific, por tnto nos qued UNIDAD 0: Repso (prte II)
Donde se observ l región fctible de este sistem. Y como no hbí ningun desiguldd estrict, todos los bordes entrn. 7. LOGARITMO DE UN NÚMERO Consideremos l ecución: 8. Como vemos l incógnit está en el eponente, lo que l hce diferente todos los tipos vistos hst hor. es el eponente l que tenemos que elevr pr que de cómo resultdo 8. En mtemátics diremos que es el ritmo en bse de 8 En este ejemplo es fácil ver que pues 8 Definición: Llmmos ritmo en bse un nº rel (positivo distinto de ) de un nº rel b (positivo) como el eponente l que tenemos que elevr pr que de cómo resultdo b. Mtemáticmente se represent sí: b z z b Vemos ejemplos pr entenderlo mejor: Ejemplos: ) b) c) z z 4 6 6 Por tnto concluimos que 6 4 z z 4 z z 4 z 4 z Por tnto concluimos que 4 z z 000 z 0 00 0 0 z Por tnto concluimos que 0 00 4 z z z d) z Por tnto concluimos que z z e) z 9 9 z Por tnto concluimos que 9 z z 0 f) z 7 z 0 7 7 Por tnto concluimos que 7 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Propieddes inmedits de los ritmos: El ritmo en culquier bse del nº es 0 0 pues 0 El ritmo en culquier bse de l bse es pues El ritmo en culquier bse de un nº que se un potenci de l bse es el eponente de dich potenci p que result evidente p Sólo tienen ritmos los números positivos, pues como sbemos el resultdo de un potenci siempre es positivo. No tiene sentido, por ejemplo, ( 4), no eiste Logritmos decimles Se llmn ritmos decimles quellos cu bse es 0. Tmbién se les conoce como vulgres en su representción no se pone l bse 0, por tnto se notn Ejemplos: ) 00 b) 4 c) 0 000 0 4 6 4 4 000000 0 6 4 Estos ritmos se pueden obtener con l clculdor, usndo l tecl LOG que prece en ell Ejemplos: ) 0 4777... b) 4 4048.... d) (00) Error c) 80 4897... Logritmos neperinos números negtivos El nº irrcionl e 7888 se us mu menudo como bse de ritmos. No eistes ritmos de Se llmn ritmos neperinos quellos cu bse es e. Tmbién se les conoce como nturles su representción es l n ó L Hbitulmente hbrá que obtenerlos medinte l clculdor usndo l tecl correspondiente ln ó L según el modelo de clculdor. Ejemplos: ) ln 0986... b) c) ln 79 8 88948... L e L e UNIDAD 0: Repso (prte II)
8. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ) El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores ( m n) m n Ejemplo: Obtener sin clculdor ( 4 9) 6 4 69 6 6 6 Ejemplo: Sbiendo que 4 obtener sin clculdor Como 4 4 4 b) El ritmo de un cociente es igul l diferenci entre el ritmo del dividendo del divisor m n Ejemplo: Obtener sin clculdor m 6 6 48 48 8 n c) El ritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el ritmo de l bse m n n m Ejemplo: Clculr e e ln ln ln ln e e e e ln e Ejemplo: Clculr d) El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz n m m n 6 0 7986... 6 6 UNIDAD 0: Repso (prte II)
e) Relción entre ritmos de distints bses El ritmo en bse de un número se puede trnsformr en el ritmo de otr bse b culquier medinte l epresión: m b b m Ejemplo: Obtén con l clculdor de dos forms distints 9 : 9 46... 04... Psndo ritmo deciml: 9 4047... ln 9 ln 67... 978... Psndo ritmo neperino: 9 4047... 9. ECUACIONES EXPONENCIALES Un ecución es eponencil cundo l incógnit prece en el eponente de un potenci Como ejemplos son ecuciones eponenciles ls siguientes. ; No h un procedimiento generl pr resolver este tipo de ecuciones, sólo con l práctic prenderemos resolverls. Ejemplo: Resuelve 4 6 6 4 9 (igulmos eponentes) Ejemplo: Resuelve bse de Si nos fijmos es el eponente l cul tenemos que elevr pr que de, es decir, es el ritmo en 496 Hcemos un cmbio bse deciml pr poder usr l clculdor NOTA: De form generl, si tenemos un ecución eponencil del tipo definición de ritmo. 7 m m por l propi UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ejemplo: Resuelve Trnsformmos l ecución pr que prezc sólo 9 Con lo cul sustituendo en l ecución nos qued otr más fácil de resolver 9z z z 9 7 9 Ahor hcemos lo que se llm un cmbio de vrible denomindor opermos z 7 z 9 z z z 9 z Hcemos común Por último deshcemos el cmbio resolvemos: z 9 Ejemplo: Resuelve 4 Trnsformmos l ecución pr que prezc sólo, nos qued: ( ) ( ) Hcemos el cmbio z sustituendo nos qued: z z 4 z 4z 0 solución 4 ± z 8 z 4 z Deshcemos los cmbios pr cd Si z 8 8 es un solución de l ecución eponencil Si z 4 4 ( 4), que como sbemos no eiste pues no h ritmos de números negtivos o cero 0. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Un sistem de ecuciones es eponencil si l menos un de sus ecuciones es eponencil. No eisten métodos fijos de resolución, l práctic nos portrá l eperienci pr resolverlos. Ejemplo: Resuelve 6 resuelve por el método que quermos l solución es 4 (igulmos eponentes) 4 Se 8 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ejemplo: Resuelve 6 807 6 9 Opermos pr dejr preprdo el sistem sólo con 6 6 incógnits: Guss (E E ) resolvemos: 6 807 6 807 9 6 9 6 6 807 6 9 Hcemos hor un cmbio de vribles o z z t 807 sustituimos, quedándonos el sistem como 6 t z t 9 z t 807 z t 807 z t 468 t 6 t 6 6 z t 6. ECUACIONES LOGARÍTMICAS 6 Resolvemos por Por último deshcemos el cmbio Un ecución es rítmic cundo l incógnit prece fectd por un ritmo. Pr resolverls tmpoco h un método fijo, pero principlmente usremos: z L definición de ritmo: m z m Iguldd de ritmos: m p m p Propieddes de los ritmos Ejemplo: Resuelve ( 6) Aplicndo ls propieddes de los ritmos, ( 6) l definición de ritmo 6 00 ± 60 80 0 0 00( 6) 6 00 600 0 Aplicmos 9 UNIDAD 0: Repso (prte II)
Ejemplo: Resuelve de ritmos, cmpo rel. ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln 7 ± 7 0 0 Por l iguldd NOTA: L solución no es válid pues l sustituir slen ritmos negtivos que no eisten en el. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Un sistem de ecuciones es rítmico si, por lo menos, un de ls ecuciones es rítmic. Ejemplo: Resuelve En l segund ecución, plicmos ls propieddes de los ritmos su definición 0 0 0 Y resolvemos por sutitución Ejemplo: Resuelve ( ) ( ) [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) Lo resolvemos por sustitución: ( ) 4 7 4 Ejemplo: Resuelve 7 Vmos resolverlo de dos mners distints: 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)
ª Form: Hciendo un cmbio de vribles resolviendo el sistem linel de dos ecuciones resultnte después deshciendo el cmbio. Hcemos z t z t 7 z t E E t z t t z Deshcemos el cmbio: z t 0 0 00 0 ª Form: Convirtiendo cd ecución rítmic en un ecución lgebric 7 7 ( ) 7 0 0 7 0 0 7 0 Sustituimos nos qued 0 0 7 0 0 7 0 0 0 0 0 00 Y por tnto: 0 0 0 UNIDAD 0: Repso (prte II)