Límites DEFINICIÓN Sea z f ( y) una función de dos variales. Si z se aproima a un valor fijo L cuando y se aproima a un punto fijo a entonces el límite de f ( y ) cuando y a es L y se escrie como: y a Esto es cierto si: Siempre que a y f y L f y L Esto significa que para todo eiste tal que para cualquier punto interior y dentro de un círculo de radio y con centro en a su imagen se encuentra en el intervalo L L. y z (a) (y) L L L TEOREMA Si f y g son funciones de dos variales entonces se cumple lo siguiente: 1. f g f g y a y a y a. f g f g y a y a y a. y a f g y a y a f g
CÁLCULO DE LÍMITES Como en el caso de una variale y apoyándonos del teorema anterior se puede demostrar que los límites de funciones de dos variales se calculan sustituyendo directamente los valores de y y en la función. Ejemplo 1: Otenga y y y1 Sustituyendo 1 y y en la función se otiene: y y 1 1 1 1 y 1 y 1 y 1 Ejemplo : Otenga ln ln y y y Sustituyendo y y en la función se otiene: y y 69 1 98 6 5. 595 5. 595 ln ln ln ln.. y y y y Ejercicios: Otenga los límites que se indican a continuación: 1. y 55. y ln y y 1. 1 y. y y sen cos. 66 1 y Para ciertas funciones no es posile sustituir los valores de y y ya que el resultado produce una indeterminación. En estos casos se puede aplicar la siguiente regla: * Si los límites de una función a lo largo de trayectorias distintas que van al punto a son iguales entonces el límite eiste y toma ese valor. En caso contrario se dice que el límite no eiste. Una trayectoria es una curva en el plano cartesiano definida por la relación y f y que pasa por el punto a.
Ejemplo : Otenga y y y Si sustituimos directamente los valores de y y en la función aparece una indeterminación por lo que proaremos con dos trayectorias diferentes. Eisten una infinidad de curvas que pasan por el punto por lo que deemos elegir aritrariamente a dos de ellas. Consideremos las trayectorias T1 y punto. T. Amas curvas pasan por el Deemos sustituir por separado las dos trayectorias y otener el límite que resulta en términos de una variale. Para T1 : y y 4 u 4 y y 5 Para T : y 4 y 1 v 4 y y 1 1 1 1 Como los valores de u y v son distintos entonces concluimos que el límite de la función no eiste cuando ésta se aproima al punto. 5 y y y Ejemplo 4: Otenga y y y 11 Consideremos las trayectorias T y T 1. Amas curvas pasan por el punto 11. Para T 1 :
y 1 u 1 1 1 1 y 1 y 1 1 1 1 1 4 4 Para : 1 1 T 4 y 1 v 1 1 1 y 1 y 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 Como los valores de u y v son iguales entonces concluimos que el límite de la función eiste y es igual a 4. y 4 y 11 y Ejercicios: Otenga los límites que se mencionan a continuación. y y 1. y 11 T T 1. 4 4 y T T 1 y y. y y y T T 1 4. y y y y y 1 1 6 T T 1
Continuidad Se dice que una función f de dos variales es continua en a si se cumple que: y a f a Ejemplo 5: Determine si la función f y y 1 es continua en 1 Otengamos en primer lugar la imagen de la función para el punto en cuestión: Posteriormente calculamos el límite: f y y 1 f 1 1 1 1 y 1 1 1 y 1 y 1 Como amos resultados coinciden concluimos que la función es continua en el punto 1.. Ejemplo 6: Determine si la función f y y y es continua en. Calculamos la imagen de la función para el punto en cuestión: y f y f y y y Como no eiste la imagen de la función en concluimos que no es continua en dicho punto.
UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # Fecha de entrega: Otenga los límites que se indican enseguida: 1. y y y 1. y y y y11. sen cos y y 4. y 5 y y y y T T 1 1 5. y y y 1 T T 1 1 6. 7. y y y y y y y 5y 4y T T 1 T T 1 8. y y y 4 4 T T 1 Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto que se indica: 9. f y y 1 y en p 1. f y y y y y en p