Uversdad Técca Federco Sata María Capítulo 7 Estmacó de arámetros Estadístca Computacoal II Semestre 005 rof. Héctor Allede ága : www.f.utfsm.cl/~hallede e-mal : hallede@f.utfsm.cl Cosderacoes revas Coceptos Báscos Dstrbucoes usadas e Ifereca Teoremas relevates Estmacó utual Métodos de Evaluacó de Estmadores utuales Estmacó por Itervalos H. Allede, R. Salas Dstrbucoes usadas e Ifereca.- J-Cuadrado co grados de lbertad. Sea,,..., v.a. cotuas depedetes tal que ~ N (0,,, (..d. f ~ χ ( y y e ( y I ( y R Γ + 3 α y dode Γ α + y e dy OBS:. E [ ] ( [ ]. Var 3. χ ( Γ ; 4. ϕ ( t ( t 0 ( y f es la fucó gamma además, Γ ( α + α α, α > 0 E [ ] TABLA [ ] Var 4 y Dstrbucoes usadas e Ifereca OBS:.- t-studet Sea v.a.c. tal que ~ N (0, v.a.c. tal que ~ χ ( Sea T ~ t Studet( + + t Γ + ft ( t I R ( t πγ 5.. Var T 3. E[ T ] 0 [ ] ϕt ( t o exste f T (y t 6 rofesor: Hector Allede
Uversdad Técca Federco Sata María Dstrbucoes usadas e Ifereca 3.- F-de Fsher Sea v.a.c. tal que ~ χ ( v.a.c. tal que ~ χ (m depedetes Sea Z ~ F(, m m K z f Z ( z I ( z + m + R + z m 7 + m Γ dode la costate K m m Γ Γ OBS:. E[ Z], m > m. [ ] m ( + m V Z, > 4 m ( m 4 m 3. ϕ t o exste f Z (z Z ( E[ Z ] m 8 z Teoremas Límtes Covergeca e Dstrbucó (CD: Ua sucesó de v.a.,,, coverge e dstrbucó a ua v.a. s Notacó: lm F ( x F ( x D x dode (x F es cotua. Note que la covergeca se efectúa sobre las cdfs y o e las varables aleatoras, las cuales o requere ser..d., como e ua muestra. 9 Teoremas Límtes A partr de la CD ace uo de los teoremas más mportates e estadístca: Teorema Cetral de Límte (TCL: Sea,,, ua secueca de v.a...d., co E [ ] µ y V [ ] ftas. Sea (/. Sea Etoces, y R : D µ N (0, Es decr: y t lm F ( y e dt π 0 Teoremas Límtes El TCL es útl cualquera sea el modelo de probabldad a partr del cual se geeraro las v.a.. No obstate, s este modelo es semejate a la dstrbucó Normal, la aproxmacó será buea au para pequeñas muestras; metras que s el modelo de la poblacó es poco parecdo a ua Normal, la aproxmacó resultará adecuada sólo para muestras grades, es decr, > 30. La v.a. se emplea para hacer fereca sobre, µ cuado se cooce el valor de la varaza poblacoal. Como desvetaja, o exste forma de evaluar la caldad de la aproxmacó. Teoremas Límtes Ejemplo : Supoga que,,, es ua secueca de v.a...d. de ua dstrbucó Bomal Negatva(r,p. Etoces, Sabemos que y E[ ] r( p / p V [ ] r( p / p. El TCL declara que: ( r( p / p D N (0, r( p / p Se pde calcular (. Es mucho más fácl computar esta probabldad medate el TCL co N(0, que utlzar drectamete la fucó de probabldad de la dstrbucó Bomal Negatva. rofesor: Hector Allede
Uversdad Técca Federco Sata María Teoremas Límtes Cosdere r 0, p / y 30. Cálculo drecto: 30 ( 330 330 300 + x x 0 x.896 Usado el TCL: 30( 0 ( 0 (.47.8888 300 x 30( 0 0 Obs: es ua BN(r,p 3 Teoremas Límtes Ejemplo : Se tee ua muestra de 64 datos de certa v.a., se sabe que la desvacó estádar es gual a 6. Calcule la probabldad de que la meda muestral se ecuetre a o más de 4 udades del verdadero valor. ( µ 4 4 µ / / 4 µ 4 / / / ( > 30 F ( F (.9544 ~ N(0,. 4 Teoremas Límtes Covergeca e robabldad (C: Ua sucesó de v.a.,,, coverge e probabldad a ua v.a. s, ε > 0, Notacó: lm ( ε 0 ó lm < ε ( Note que las v.a. o requere ser..d. Además, D 5 Teoremas Límtes A partr de la C ace otro mportate resultado: Ley Débl de los Grades Números (LDGN: Sea,,, ua secueca de v.a...d., co E [ ] µ y V [ ] ftas. Sea (/. Etoces, ε > 0 : es decr: lm ( µ < ε µ 6 Teoremas Límtes ara demostrar el resultado ateror, debemos recurrr a otro teorema muy utlzado e estadístca: Desgualdad de Chebyshev (Tchebysheff: Sea ua v.a. co u fucó (desdad de probabldad f (x tal que E [ ] µ y V [ ] so ftas. Etoces ε > 0 : equvaletemete, s ε k : ( µ ε ε ( µ k k Etrega ua cota de la probabldad de que ua v.a. se aleje a lo más k desvacoes estádar de su meda. 7 Teoremas Límtes Demo LDGN: Se quere demostrar que: lm ( µ < ε a que es ua v.a. tal que y V / del Teo. Chebyshev se tee que ( µ ε ε como tee valor fto, tomado límte e esta expresó coforme, se tee que ó E [ ] µ [ ] lm ( µ ε 0 lm ( µ < ε 8 rofesor: Hector Allede 3
Uversdad Técca Federco Sata María Teoremas Límtes La LDGN es útl para estmar el tamaño ecesaro de ua muestra para asegurar co determar probabldad que la meda o se alejará más allá de ua catdad específca de la meda poblacoal. Ejemplo: Cosdere u proceso aleatoro de varaza coocda 0 y meda µ descoocda. Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que la meda se ecuetre detro de u tervalo gual a dos udades respecto de la meda poblacoal, co probabldad de al meos 0.9? 9 Teoremas Límtes Ejemplo : or Chebyshev teemos que ( µ ε ε 0 ( 0. 9 µ 0 4*0. 5 0 Teoremas Límtes Covergeca Cas Segura (CCS: També coocda como covergeca co probabldad. Es el tpo de covergeca más dura. Ua sucesó de v.a.,,, coverge cas seguramete a ua v.a. s, ε > 0, Notacó: ( lm ε 0 CS ó ( lm < ε Note que las v.a. o requere ser..d. Además, CS Teoremas Límtes A partr de la CCS ace otro mportate resultado: Ley Fuerte de los Grades Números (LFGN: Sea,,, ua secueca de v.a...d., co E [ ] µ y V [ ] ftas. Sea (/. Etoces, : > 0 es decr: ε ( lm µ < ε CS µ Estmacó de arámetros El objetvo de la estmacó de parámetros es proveer de métodos que permta determar co certa precsó, el vector de parámetros descoocdos ϑ, de u modelo estadístco f(x ; ϑ a partr de ua muestra aleatora de ua poblacó bajo estudo.. Método de estmacó utual. Método de estmacó por Itervalos 3 Estmacó de arámetros. Método de estmacó utual: Se busca u estmador ϑ que, co base e los datos muestrales, dé orge a ua estmacó uvaluada del valor del parámetro.. Método de estmacó por Itervalos: Se determa u tervalo aleatoro I(ϑ, dode co certa probabldad, se ecuetra el valor del parámetro ϑ. 4 rofesor: Hector Allede 4
Uversdad Técca Federco Sata María Estmacó utual La dea detrás de la estmacó putual es bastate smple. Cuado muestreamos desde ua poblacó descrta por su fucó de desdad o cuatía, f ( x θ coocer θ sgfca coocer la poblacó etera. or lo tato, es atural cotar co métodos para ecotrar bueos estmadores del parámetro θ. 5 Defcó de Estmador U estmador es ua regla que os dca cómo obteer u parámetro de u modelo, basádose e la formacó coteda e ua muestra ( M{ f ( x θ : θ Θ} modelo T : χ τ Θ x T (x T (,,..., T (x : Estmador de θ, varable aleatora, fucó de la muestra, que o depede del parámetro θ. (T (x es ua estadístca basada e la Iformacó χ χ{x : x es ua muestra aleatora} Espaco de Iformacó E lo que sgue T (,,..., estmador de θ. θˆ 6 Métodos de Estmacó utual Método de Mometos Método de Máxma Verosmltud Método de Estmacó de Bayes Método de Mometos Quzá este sea el método de estmacó putual más atguo (Karl earso, 800 s. Sea,,,, ua muestra desde ua poblacó co pdf o pmf f ( x θ, θ,..., θk. Los estmadores de los k parámetros se ecuetra gualado los prmeros k mometos muestrales co los correspodetes k mometos poblacoales. Resolvedo el sstema de ecuacoes ecotramos el vector de estmacó: θ ˆ ( θˆ, θˆ,..., θˆ k 7 8 Método de Mometos Mometos Observados m m m m k / / / mr µ r, r,..., k m k,,, Mometos Observados (cetrados e cero µ E[ ] µ E[ µ E[ y resolvemos el sstema de ecuacoes: k m k ] ] 9 Método de Mometos Ejemplo: Se tee ua muestra,,, d que se supoe sgue ua dstrbucó N( µ,. Ecuetre los parámetros de la Gaussaa. Solucó: Segú la otacó ateror, los parámetros de la dstrbucó so θ µ y θ. Teemos que m y m µ t+ t / La fgm de ua v.a. Gaussaa es φ ( t e, etoces µ µ y µ µ + 30 rofesor: Hector Allede 5
Uversdad Técca Federco Sata María Método de Mometos Método de Máxma Verosmltud...Ejemplo: resolvedo el sstema de ecuacoes: µ µ + Ecotramos que el estmador del verdadero valor ˆ ( ˆ, ˆ de θ ( θ, θ ( µ, es θ θ θ ( ˆ, µ ˆ tal que: µˆ ˆ ( 3 El método de MV es la técca más popular para dervar estmadores. Sea,,,, ua muestra desde ua poblacó co pdf o pmf f x θ, θ,..., θ. ( k La fucó de verosmltud se defe como: L( x θ L( x, x,..., x θ, θ,..., θk ara cada puto de la muestra, f ( x θ, θ,..., θk θ es el estmador de los parámetros e el cual L( x θ alcaza su valor máxmo como fucó del verdadero valor θ. 3 Método de Máxma Verosmltud S la fucó de verosmltud es dferecable (e, el estmador de máxma verosmltud (EMV θ θ del verdadero valor θ es aquel que resuelve: L( x θ 0,,..., k θ No obstate, habría que chequear que se cumple: L x θ θ ( θ θˆ, < 0,..., k 33 Método de Máxma Verosmltud Depededo de la pdf o pmf, puede resultar muy complcada la fucó de verosmltud, es por ello que es más fácl trabajar co la fucó de logverosmltud, defda como: ( x θ l L( x θ l f ( x θ, θ,..., θk Equvaletemete, el EMV θˆ es el valor de θ para el cual se cumple: ( x θ 0,,..., k θ 34 Método de Máxma Verosmltud Ejemplo: Se tee ua muestra,,, d que se supoe sgue ua dstrbucó N( µ,. Ecuetre los parámetros de la Gaussaa. Solucó: Segú la otacó ateror, los parámetros de la dstrbucó so: θ ( θ, θ ( µ,. ( x x θ µ ( l exp π l π l ( x µ 35 Método de Máxma Verosmltud...Ejemplo: resolvedo el sstema de ecuacoes: Ecotramos que el estmador del verdadero valor de es ˆ ˆ ˆ θ ( θ, θ ( µ, θ ( θ, θ ( ˆ, µ ˆ tal que: ( x θ 0 µ ( x θ 0 µˆ ˆ ( 36 rofesor: Hector Allede 6
Uversdad Técca Federco Sata María Método de Estmacó de Bayes Método de Estmacó de Bayes E los efoques prevos cosderamos al parámetro θ es cosderado como ua catdad descoocda, pero fja. Trabajábamos co ua muestra aleatora (m.a. proveete de ua poblacó caracterzada por θ y, basádoos e los valores observados de la muestra, obteíamos coocmeto sobre el valor de, es decr, computábamos ua catdad aproxmada θ θ. E el efoque bayesao θ es cosderado ua catdad cuya varacó puede ser descrta por ua dstrbucó de probabldad, llamada robabldad a ror. 37 La dstrbucó a pror es subjetva, basada sobre la opó del aalsta, y es formulada ates de que los datos sea vstos (de ahí su ombre. Etoces, se toma ua muestra desde ua poblacó caracterzada por θ, y la probabldad a pror es actualzada co la formacó muestral. La probabldad a pror actualzada se deoma robabldad a osteror, cuya actualzacó se realza a través de la regla de Bayes. Es la probabldad a posteror la que se utlza para hacer fereca sobre θ. 38 Método de Estmacó de Bayes S deotamos la dstrbucó a pror por π (θ y la dstrbucó de muestreo por f ( x θ, etoces la dstrbucó a posteror, que es la dstrbucó codcoal de θ dada la muestra x, está dada por: f ( x θ π ( θ π ( θ x ( f ( x θ π ( θ f ( x, θ m( x dode m(x es la dstrbucó margal de x, esto es: m ( x f ( x θ π ( θ dθ Método de Estmacó de Bayes Note que la dstrbucó a posteror es ua dstrbucó codcoal, codcoada sobre las observacoes de la muestra. Esta dstrbucó será utlzada para hacer fereca sobre θ, la cual se cosdera como ua catdad aleatora. or ejemplo, la meda de la dstrbucó a posteror puede ser usada como estmador putual de θ. 39 40 Método de Estmacó de Bayes Ejemplo: Cosdere la muestra,,, d Beroull(p. Etoces es ua Bomal(,p. Asumremos que la dstrbucó a pror de p es Beta( α, β Ecuetre la dstrbucó a posteror de p. La dstrbucó cojuta de y p es: f ( y, p f ( y p π ( p codcoal x margal 4 Método de Estmacó de Bayes...Ejemplo: y y α + β α f ( y, p p ( p p ( p y α β α + β y+ α y+ β p ( p y α β y la margal de es: β α + β y + α y + β f ( y f ( y, p dp y α β + α + 0 β 4 rofesor: Hector Allede 7
Uversdad Técca Federco Sata María Método de Estmacó de Bayes...Ejemplo: La margal de calculada prevamete se cooce co el ombre de Beta-Bomal. Luego, la dstrbucó a posteror de p dado y es: f ( y, p + α + β f ( p y p f ( y y + α y + β y+ α ( p y+ β que es ua dstrbucó Beta( y + α, y + β. Recuerde que p es la varable, metras que y es tratada como fja e la actualzacó. Método de Estmacó de Bayes...Ejemplo: Ua estmacó atural para el parámetro p es la meda de la dstrbucó codcoal, la cual os etregaría e estmador de Bayes de p: y + α pˆ B α + β + Esta catdad comba formacó proveete de la dstrbucó a pror, así como també de la muestra. 43 44 Método de Estmacó de Bayes...Ejemplo: E efecto, el estmador de Bayes pˆ B obtedo puede reescrbrse como combacó leal de la meda a pror y la meda muestral, co coefcetes determados por α, β y. pˆ B y α + β α + α + β + α + β + α + β meda muestral meda a pror 45 Métodos de Evaluacó de E.utual Los métodos dscutdos prevamete provee herrametas para ecotrar estmadores putuales de parámetros. Ua dfcultad se preseta, o obstate, cuado podemos aplcar varas de estas téccas a ua stuacó partcular, y os ecotramos co la tarea de escoger etre dversos estmadores. Es probable que dferetes téccas etregue el msmo resultado, pero frecuetemete esto o ocurre. A cotuacó examaremos alguos crteros que faclte la tarea de seleccoar u determado estmador. 46 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: El ECM de u estmador T θˆ del parámetro θ es la fucó de θ defda por E[ T θ ]. El ECM mde el promedo de las dferecas cuadradas etre el estmador y el verdadero valor del parámetro, ua medda razoable del desempeño de u estmador putual. Ua medda alteratva podría ser E[ T θ ]. No obstate, la medda cuadrátca que utlza ECM tee dos vetajas sobre otras meddas de dstaca: prmero que es bastate tratable aalítcamete, y segudo que tee la sguete terpretacó: 47 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: ECM( T E[ T θ ] E[ T Tθ + θ ] E[ T ] θe[ T ] + θ V[ T ] + ( E[ T ] θe[ T ] + θ V[ T ] + ( E[ T ] θ V[ T ] + ( Sesgo( T Dode se defe el Sesgo (Bas de u estmador putual como: Sesgo( T E[ T ] θ 48 rofesor: Hector Allede 8
Uversdad Técca Federco Sata María Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: El ECM corpora dos compoetes, ua que mde la varabldad del estmador (precsó y la otra que mde su sesgo (cercaía al verdadero valor. U estmador co bueas propedades de ECM tee varaza y sesgo pequeños. arece razoable etoces escoger como el mejor estmador de θ, la estadístca que tega el ECM más pequeño posble de etre todos los estmadores factbles de θ 49 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: No obstate, o exste gú estmador que mmce el ECM para todos los posbles valores de θ. Es decr, u estmador puede teer u ECM mímo para alguos valores de θ, metras que otro estmador tedrá la msma propedad, pero para otros valores de θ. Ejemplo: Cosdere la m.a.,,, de algua dstrbucó tal que E [ ] µ y V [ ]. Cosdere las estadístcas (estmadores: T y T + como posbles estmadores de µ. 50 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: Ejemplo: Obteer los ECM de T y T y demostrar que ECM(T < ECM(T para alguos valores de µ, metras que la proposcó versa es certa para otros valores de µ. Solucó: ara T : El sesgo de T es cero, dado que [ T ] E[ ] µ ECM ( T V [ T ] E 5 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: Solucó: ara T : + [ ] E E[ ] E T V + + µ + [ T ] V [ ] V µ ECM ( T + ( µ + + ( + + µ ( + ( + 5 Métodos de Evaluacó de E.utual Error Cuadrátco Medo (ECM: Solucó: S 0 y 00, etoces 000 + µ ECM ( T 0 y ECM ( T Al gualar ambas expresoes y resolvedo para µ, se tee que: ECM(T < ECM(T para µ < 0 ECM(T < ECM(T para µ > 0 E base a esto podemos afrmar que se debe examar certos crteros adcoales para la seleccó de los estmadores. 53 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Isesgados: Recordemos que e el ECM de u estmador se defó el Sesgo o Bas. Se dce que la estadístca T T(,,..., es u estmador sesgado de θ, s E[T ] θ para todos los valores posbles de θ. E otras palabras, es deseable que la meda del estmador sea gual al parámetro que se está estmado. De esta forma, para cualquer estmador sesgado de θ, la dstrbucó de muestreo de T se ecuetra cetrada alrededor de θ y ECM ( T V[ T ]. 54 rofesor: Hector Allede 9
Uversdad Técca Federco Sata María Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Isesgados: Ejemplo: Sea,, 3 y 4 ua m.a. de tamaño 4 proveete de ua poblacó expoecal de parámetro θ. Demuestre que T ( + / 6 + ( 3 + 4 / 3 y T ( + + 3 3 + 4 4 /5 so estmadores sesgado y sesgado, respectvamete, del parámetro θ. Solucó: Sabemos que E[ ] θ (expoecal E [ T ] ( E[ ] + E[ ] / 6 + ( E[ 3] + E[ 4] / 3 θ / 6 + θ / 3 θ sesgado E [ T ] ( E[ ] + E[ ] + 3E[ 3] + 4E[ 4] / 5 0 θ /5 θ sesgado 55 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Cosstetes: Es razoable esperar que u bue estmador de u parámetro θ sea cada vez mejor coforme crece el tamaño de la muestra. Esto es, coforme la formacó de ua v.a. se vuelve más completa, la dstrbucó de muestreo de u bue estmador se ecuetra cada vez más cetrada alrededor del parámetro θ. 56 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Cosstetes: Sea T el estmador del parámetro θ, y sea T, T,..., T ua secueca de estmadores que represeta a T co base e muestras de tamaño,,,, respectvamete. Se dce que T es u estmador cosstete para θ s lm T para todo valor de θ y ε > 0. ( θ ε Obs.: Esta defcó provee del cocepto de Covergeca e robabldad. Como ejemplo, aterormete demostramos que la meda muestral es u estmador cosstete de la meda poblacoal µ. 57 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Isesgados de Varaza Míma: Como ya vmos, es dfícl determar u estmador co mímo ECM para todo valor de θ. S embargo, podemos efectuar esta búsqueda detro de la clase de estmadores sesgados. S u estmador T se ecuetra detro de esta clase, se tee que: E[T ] θ y ECM ( T V[ T ] Etoces, detro de la clase de estmadores sesgados, podemos comparar éstos segú su varaza. 58 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Isesgados de Varaza Míma: Sea,,, ua m.a. de ua dstrbucó cuya desdad tee la forma f ( x θ. Sea T T(,,..., u estmador de θ tal que E[T ] θ y V[T ] es meor que la varaza de cualquer otro estmador sesgado de θ para todos los valores posbles de θ. Se dce etoces que T es u estmador sesgado de varaza míma de θ. Cómo ecotrar, s exste, u estmador de varaza míma? Sería luso calcular todos los estmadores posbles para certo parámetro θ y escoger aquel de varaza más pequeña. ara evtar dcha operatora, recurrmos a u resultado que recbe el ombre de cota feror de Cramér-Rao. 59 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Isesgados de Varaza Míma: Sea,,, ua m.a. de ua dstrbucó cuya desdad tee la forma f ( x θ. S T es u estmador sesgado de θ, etoces la varaza de T debe satsfacer la sguete desgualdad: l f ( θ V[ T ] E θ Esta desgualdad establece u límte feror para la varaza de u estmador de θ (cota feror de Cramér-Rao. 60 rofesor: Hector Allede 0
Uversdad Técca Federco Sata María Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Efcetes: S T es cualquer estmador sesgado del parámetro θ, se dce que T es u estmador efcete s se cumple que: l f ( θ V[ T ] E θ or lo tato, el estmador efcete de θ es el estmador de míma varaza, cuyo valor correspode a la cota feror de Cramér-Rao. El estmador efcete de θ, s se puede ecotrar, es el mejor estmador sesgado de θ e el cotexto de la fereca estadístca. 6 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Efcetes: Ejemplo: Sea,,, ua m.a. de ua dstrbucó osso de parámetro λ. Ecuetre el estmador efcete de λ. Solucó: Sabemos que la pmf de ua dstrbucó osso λ x está dada por p( x λ e λ / x!, y su esperaza y varaza está dadas por E[ ] µ λ y V[ ] λ. Luego: l p( x λ x l( λ λ l( x! l p( x λ x x λ λ λ λ 6 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Efcetes:...Ejemplo: Etoces: l p( x λ x λ E E λ λ V[ ] E[ x λ] λ λ por la defcó de efceca, el estmador efcete T de λ debe ser tal que se cumpla: λ V[ T ] / λ De aquí fermos que el estmador efcete de λ es la meda muestral: T. 63 λ Métodos de Evaluacó de E.utual Efceca Relatva: Se defe la efceca relatva del estmador T respecto del estmador T como: ECM ( T ef ( T, T ECM ( T La varaza de u estmador sesgado es la catdad más mportate para decdr qué ta bueo es. S T y T so dos cualesquera estmadores sesgados de θ : V[ T ] ef ( T, T V[ T ] Se dce que T es más efcete que T s V T ] V[ ]. [ T 64 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: Ua estadístca sufcete para u parámetro θ es aquella que utlza toda la formacó coteda e la muestra aleatora co respecto a θ. or ejemplo, supoga que la m.a.,,, 50 de 50 observacoes provee de ua fucó de desdad caracterzada por el parámetro θ. Co ua estadístca sufcete para θ, lo que se tee es ua maera de resumr todas las medcoes de los datos de la muestra e u valor e el que toda la formacó de la muestra co respecto a θ se ecuetre coteda e este valor. Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: or ejemplo, el estmador T ( + 3 + + 49 /5 cotee toda la formacó pertete co respecto a θ? A pesar que el estmador proporcoa u solo valor, o es posble que éste cotega toda la formacó muestral co respecto a θ, dado que se ha excludo la mtad de los datos. Qué se puede decr acerca de la meda muestral? Que cotee todos los datos, pero sgfca esto que toda formacó muestral co respecto a θ se extrae cosderado 65 66 rofesor: Hector Allede
Uversdad Técca Federco Sata María Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: Se dce que u estmador T T(,,, es sufcete para u parámetro θ s la dstrbucó cojuta de,,, dado T, se ecuetra lbre de θ ; es decr, s se afrma T, etoces,,, o tee ada más que decr co respecto a θ. La mportaca de este cocepto radca e el hecho de que s exste u estmador efcete de θ, se ecotrará que éste es ua estadístca sufcete. Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: Sea,,, ua m.a. de ua dstrbucó co desdad de probabldad f ( x θ. Se dce que la estadístca T T(,,, es sufcete para θ sí y sólo s la fucó de verosmltud puede factorzarse de la sguete forma: L( x θ L( x, x,..., x θ h( t θ g( x,..., x para cualquer valor t T(x,x,,x de T (realzacó y e dode g x,..., x o cotee al parámetro θ. ( 67 68 Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: Ejemplo: Sea,,, ua m.a. de ua dstrbucó λ x osso co pdf p( x λ e λ /. x! Demostrar que el estmador efcete de λ es a su vez sufcete. Solucó: L x, x,..., x λ p( x λ p( x λ p( x ( λ e λ x λ λ / x! e x e λ / λ / x! e λ x x! λ / x! λ x Métodos de Evaluacó de E.utual Estmadores Sufcetes: Solucó: co ( x λ g( x, x,..., x L( x, x,..., x λ h h x x λ λ e ( λ Etoces x es ua estadístca sufcete para λ. Dado que el estmador efcete es ua fucó uo a uo de esta estadístca, també es sufcete para λ. 69 70 ropedades de los Estmadores Máxmo Verosímles Los estmadores máxmo verosímles so: Astótcamete sesgados Astótcamete ormales Astótcamete efcetes Ivarates bajo trasformacoes buívocas S estmador sufcete, es sufcete θˆmv Estmacó por Itervalos E la práctca, teresa o sólo dar ua estmacó de u parámetro, so que además, u tervalo que permta precsar la certdumbre exstete e la estmacó. Defcó: Sea x m.a. f ( x, θ. Sea θ T (x, θ T (x dos estadístcas de θ : T T x χ ; [θ θ θ ] - α γ Etoces el I [θ ; θ ] se llama tervalo aleatoro de cofaza del 00 γ % para θ ( 0 < α <. 7 7 rofesor: Hector Allede
Uversdad Técca Federco Sata María Estmacó por Itervalos Fjado α, el problema de determar θ y θ puede resolverse ecotrado ua varable aleatora Q(x,θ cuya dstrbucó esté totalmete defda, que sea depedete de θ. La varable Q(x,θ se deoma Catdad votal. La costruccó del tervalo de cofaza se efectúa co base e el mejor estmador del parámetro descoocdo θ. 73 Método de la Catdad votal. Ecotrar ua catdad Q.. [q Q q ] - α γ 3. Ivertr [θ θ θ ] γ, obteedo así u tervalo I[θ ; θ ] de cofaza para θ de vel 00 γ %. Observacó: ara muestras grades la v.a. Q sempre exste, ya que s, etoces θ θ MV θˆmv Z tee dstrbucó ormal estádar. ( ˆ θˆ MV [ θˆ ± z ( θˆ ] El tervalo para θ estaría dado por: I MV α dode el cuatl z / puede obteerse de la tabla de la dstrbucó Normal estádar. 74 MV I.Cofaza para µ cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co varaza coocda: Cosderado como estmador de la meda poblacoal µ como la meda muestral, deseamos costrur u tervalo de cofaza tal que: dode Estmacó por Itervalos g ( µ g ( µ < < ( µ ] [ g g ( µ f ( x; µ d x α / y f ( x; µ d x α / f ( x; µ es la fucó de desdad de la dstrbucó de muestreo de, y g ( µ y g ( µ so fucoes de µ, las cuales o cotee a gú otro parámetro descoocdo. 75 Estmacó por Itervalos I.Cofaza para µ cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co varaza coocda: uesto que ~ N( µ,, la v.a. Z ( µ /( / ~ N (0,, etoces: g( µ µ g( µ µ [ g( µ < < g( µ ] < Z < / / g( µ µ g( µ µ cosderado zα / / y z / /, además de z z se tee: z α / / < µ < + z / / 76 Estmacó por Itervalos I.Cofaza para µ cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co varaza coocda: Luego, el tervalo de cofaza del 00( % para la meda poblacoal es: I x z + ± /, x z / x z / dode el cuatl z / puede obteerse de la tabla de la dstrbucó Normal estádar. 77 Estmacó por Itervalos I.Cofaza para µ cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co varaza descoocda: Es sabdo que cuado se muestrea ua v.a. ~ N ( µ,, dode tato µ como so descoocdos, la v.a. µ sgue ua dstrbucó t-studet co (- gl., T S / dode S es la desvacó estádar y es el tamaño de la muestra. or lo tato, es posble determar el valor del cuatl t α /, de T, para el cual: [ t < T < t ] /, /, 78 rofesor: Hector Allede 3
Uversdad Técca Federco Sata María Estmacó por Itervalos I.Cofaza para µ cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co varaza descoocda: Etoces: S S t /, < µ < + t /, Luego, el tervalo de cofaza del 00( % para la meda poblacoal es: s s s I x t + ± /,, x t /, x t /, t α dode el cuatl /, puede obteerse de la tabla de la dstrbucó t-studet co (- grados de lbertad. 79 Estmacó por Itervalos 3 I.Cofaza para la dfereca de medas cuado se muestrea dos dstrbucoes ormales depedetes: Sea,,, x y,,, y dos m.a. de dos dstrbucoes ormales depedetes, co medas y varazas y, respectvamete. Se desea costrur u tervalo de cofaza para la dfereca µ µ, co el supuesto que se cooce las varazas. ( µ µ Es sabdo que la v.a. Z ~ N(0, + µ y µ 80 Estmacó por Itervalos 3 I.Cofaza para la dfereca de medas cuado se muestrea dos dstrbucoes ormales depedetes: or lo tato, es posble determar el valor del cuatl z para el cual [ z < Z < ] / Etoces: / z / z / + < µ µ < + z / + El tervalo está dado por: I x y ± z / + dode el cuatl z / puede obteerse de la tabla de la dstrbucó Normal estádar. 8 Estmacó por Itervalos 3 I.Cofaza para la dfereca de medas cuado se muestrea dos dstrbucoes ormales depedetes: S las varazas se descooce, pero so guales, etoces la v.a. ( µ µ Z ~ t Studet( k k + gl S p + El tervalo está dado por: I x y ± t /, ksp + dode el estmado combado de la varaza comú es: ( s + ( s sp k 8 Estmacó por Itervalos 4 I.Cofaza para cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co meda descoocda: Es sabdo que cuado se muestrea ua v.a. ~ N ( µ,, dode tato µ como so descoocdos, la v.a. ( S sgue ua dstrbucó J-cuadrada co (- gl., χ dode S es la desvacó estádar y es el tamaño de la muestra. or lo tato, es posble determar el valor de los cuatles χ α /, y χ /, tales que [ χ α /, < χ < χ /, ] 83 Estmacó por Itervalos 4 I.Cofaza para cuado se muestrea ua dstrbucó ormal co meda descoocda: Luego, el tervalo de cofaza del 00( % para la varaza, co base e los datos de ua muestra de tamaño es: ( s ( s I, χ /, χ α /, χ dode los cuatles α /, y χ /, se obtee de la tabla de la dstrbucó J-Cuadrada co (- gl. 84 rofesor: Hector Allede 4
Uversdad Técca Federco Sata María Estmacó por Itervalos 5 I.Cofaza para el cuocete de dos varazas cuado se muestrea dos dstrbucoes ormales depedetes: Sea,,, x y,,, y dos m.a. de dos dstrbucoes ormales depedetes, co medas y varazas y, respectvamete. Se desea costrur u tervalo de cofaza para el cuocete. / Es sabdo que la v.a. F S S / ~ F(, µ y µ 85 Estmacó por Itervalos 5 I.Cofaza para el cuocete de dos varazas cuado se muestrea dos dstrbucoes ormales depedetes: or lo tato, es posble determar los cuatles a y b tales que: [ F < F < ] dode a F b Fa f y F b /,, f /,, El tervalo está dado por: s s I Fa, F b s s dode los cuatles F a y F b puede obteerse de la tabla de la dstrbucó F co ( - y ( - grados de lbertad. 86 rofesor: Hector Allede 5