Los métodos de resíduos poderados Ua ecuació diferecial: - d dx yhxlm+qhxlyhxl-fhxlã0 es equivalete a: Ÿ a I- d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlmwhxl xã0 para cualquier whxl; dx dode whxl es cualquier fució para la cual la itegral tiee setido. A ua aproximació FHxL se le impodrá cumplir co ua versió meos exigete, es decir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para ciertas w k HxL; dode 8w k HxL< k=1 es u cojuto de fucioes coocido como pesos o poderacioes. A su vez la solució aproximada FHxL será ua comiació lieal de ciertas fucioes liealmete idepedietes, llamadas fucioes ase: FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Como ejemplo Se va a calcular ua solució aproximada a ua ecuació diferecial ordiaria, lieal e ihomogéea, - d yhxlm+qhxlyhxl=fhxl, co las dx codicioes de frotera yhal=y a, yhl=y, como se muestra a cotiuació:
2 MEF00075poderados. I[1]:= Clear@x, y, p, q, f, a, D; p@x_d := 1+x; q@x_d := 0; f@x_d := x; a = 0.0; = 5.0; y a = ; y = +; Prit@TraditioalForm@ x Hp@xD x y@xdl+q@xd y@xd f@xddd; Prit@TraditioalForm@y@aD y a DD; Prit@TraditioalForm@y@D y DD; Hx+1Ly HxL y HxL x yh0.l 1. yh5.l 1.
MEF00075poderados. 3 La solució aproximada FHxL será ua comiació lieal de ciertas fucioes liealmete idepedietes, llamadas fucioes ase: FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Cada fució ase f j HxL cumple co las codicioes de frotera f j HaL=0, f j HL=0, excepto f 0 HxL, que cumple las codicioes de frotera del prolema f 0 HaL=y a, f 0 HL=y. I[12]:= Clear@, φ, x, jd; = 3; φ 0 @x_d := y a + y y a a Hx al; φ 1 @x_d := x φ 2 @x_d := x a Hx al; a φ 3 @x_d := x a 2 Hx al; 3 Hx al; fucioes = TaleAφ j @xd, 8j, 0, <E; PlotAfucioes, 8x, a, <, PlotLael "Fucioes ase φ j ", PlotRage AllE Fucioes asef j Out[19]= -
4 MEF00075poderados. La solució aproximada tedrá la forma FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. El ojetivo será ecotrar los coeficietes c j que de la mejor aproximació a la solució de la ecuació diferecial: I[20]:= Clear@Φ, cd; Φ@x_D := φ 0 @xd+ c j φ j @xd; j=1 Prit@"Forma de la aproximació a la solució:"d Prit@"Φ@xD=", TraditioalForm@Φ@xDDD Forma de la aproximació a la solució: Φ@xD=0.008c 3 Hx+0.L H5. xl 3 +0.04c 2 Hx+0.L H5. xl 2 +0.2c 1 Hx+0.L H5. xl+0.4 Hx+0.L 1. La ecuació diferecial puede escriirse de la forma: - d dx yhxlm+qhxlyhxl-fhxl=0 Si reemplazamos la solució aproximada FHxL e lugar de la solució exacta yhxl e el lado izquierdo de la ecuació aterior, el resultado ya o será exactamete cero. E su lugar otedremos ua fució coocida como residuo, rhxl: - d IpHxL d FHxLM+qHxLFHxL-fHxL=rHxL dx dx Aajo se puede ver la expresió para el residuo e este ejemplo: I[24]:= r@x_d := x Hp@xD x Φ@xDL+q@xD Φ@xD f@xd; Prit@"Residuo de la aproximació:"d; Prit@"r@xD=", TraditioalForm@r@xDDD Residuo de la aproximació: r@xd= 0.008c 3 H5. xl 3 0.04c 2 H5. xl 2 + 0.024c 3 Hx+0.L H5. xl 2 0.2c 1 H5. xl+0.08c 2 Hx+0.L H5. xl Hx+1L I 0.048c 3 H5. xl 2 0.16c 2 H5. xl+0.048c 3 Hx+0.L H5. xl+0.08c 2 Hx+0.L 0.4c 1 M+ 0.2c 1 Hx+0.L x 0.4 La ecuació diferecial: - d IpHxL d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlã0 dx dx es equivalete a: Ÿ a I- d IpHxL d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlmwhxl xã0 para cualquier whxl; dx dx
MEF00075poderados. 5 dode whxl es cualquier fució para la cual la itegral tiee setido. A la aproximació FHxL se le impodrá cumplir co ua versió meos exigete, es decir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para ciertas w k HxL; dode 8w k HxL< k=1 es u cojuto de fucioes coocido como pesos o poderacioes. Aajo se puede ver las poderacioes que usaremos e este ejemplo. Fuero escogidas de forma aritraria: I[27]:= Clear@ω, x, jd; ω 1 @x_d := Cos@xD; ω 2 @x_d := Si@xD; ω 3 @x_d := Exp@ xd; pesos = TaleAω j @xd, 8j, 1, <E; PlotApesos, 8x, a, <, PlotLael "Poderacioes ω j ", PlotRage AllE Poderacioes w j Out[32]= -
6 MEF00075poderados. A la aproximació FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL se le impodrá cumplir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para las 8w k HxL< k=1 pero el itegrado es el producto del resíduo por la k-ésima poderació: Ÿ rhxlwk a HxL xã0 para las 8w k HxL< k=1 al evaluar cada ua de las itegrales, se otiee ua ecuació cuyas icogitas so los parámetros c k que queremos oteer: I[33]:= ecuacioes = TaleB ω j @xd r@xd x 0, 8j, 1, <F; a Out[35]//TraditioalForm= Prit@"Resíduos poderados"d; TraditioalForm@TaleForm@ecuacioesDD Resíduos poderados -3.83341 c 1-0.38441 c 2 + 7373 c 3 + 5.89453 0-2.33159 c 1 + 3.14454 c 2 + 2.05462 c 3 + 2.0907 0 0.171701 c 1 + 0.476115 c 2 + 0.652509 c 3-1.35688 0 A cotiuació se muestra el sistema de ecuacioes e forma matricial: I[36]:= parametros = TaleAc j, 8j, 1, <E; 8v, m< = N@ CoefficietArrays@ecuacioes, parametrosd D; Prit@MatrixForm@mD, ".", MatrixForm@parametrosD, "==", MatrixForm@ vd D 3.83341 0.38441 7373 2.33159 3.14454 2.05462 0.171701 0.476115 0.652509. c 1 c 2 c 3 == 5.89453 2.0907 1.35688 Como ya teemos la matriz y el vector del sistema lieal, podemos oteer la solució usado el comado LiearSolve de Mathematica: I[39]:= LiearSolve@m, vd Out[39]= 82.05437, 0.281153, 1.74404< Si emargo el comado NSolve proporcioa la misma respuesta e u formato
MEF00075poderados. 7 más útil para ser usado después e este documeto: I[40]:= solucioes = NSolve@ecuacioes, parametrosd Out[40]= 88c 1 2.05437, c 2 0.281153, c 3 1.74404<< La solució aproximada se otiee reemplazado los coeficietes c j e la expresió FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Aajo se le llama ghxl a la solució aproximada que se otiee por este procedimieto: I[41]:= g@x_d := ReplaceAll@Φ@xD, solucioes@@1dd D; Prit@"Solució aproximada por el método de resíduos poderados: "D; Prit@"g@xD=", g@xdd Solució aproximada por el método de resíduos poderados: g@xd= 1.+0.4 H0. +xl+0.410873 H5. xl H0. +xl 0.0112461 H5. xl 2 H0. +xl+0.0139523 H5. xl 3 H0. +xl Ésta es la gráfica de la solució aproximada co el método de resíduos poderados: I[44]:= Plot@g@xD, 8x, a, <, PlotLael "Solució aproximada por resíduos poderados"d 3 Solució aproximada por resíduos poderados 2 Out[44]= 1-1
8 MEF00075poderados. A cotiuació se muestra la gráfica de la solució aalítica exacta, oteida co el comado DSolve: I[45]:= solexacta = DSolve@8 x Hp@xD x y@xdl+q@xd y@xd f@xd, y@ad y a, y@d y <, y@xd, xd; exacta@x_d := Evaluate@Expad@ReplaceAll@y@xD, solexacta@@1dd DD D; Plot@exacta@xD, 8x, a, <, PlotLael exacta@xdd 2.5-0.25 x 2 + x+3.20914 logh2hx+1ll-3.2244 2.0 1.5 Out[47]= - A cotiuació se muestra jutas la aproximació y la solució exacta e este ejemplo: I[48]:= Plot@8exacta@xD, g@xd<, 8x, a, <, PlotLael "Exacta y aproximada"d 3 Exacta y aproximada 2 Out[48]= 1-1
MEF00075poderados. 9 A cotiuació se muestra la gráfica del error de la aproximació e este ejemplo: I[49]:= Plot@exacta@xD g@xd, 8x, a, <, PlotLael "Error = Aalítica Aproximada"D Error = Aalítica-Aproximada -0.05-0.10 Out[49]= -0.15-0.20-0.25-0.30 Ejercicios 1. MÉTODO DE COLOCACIÓN Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos fucioes Delta de Dirac: ω 1 @x_d:=diracdelta@x 1D; ω 2 @x_d:=diracdelta@x 3D; ω 3 @x_d:=diracdelta@x 4D; Como cada ua de estas fucioes vale cero para casi todos los valores de x, o es posile apreciarlas e la gráfica de poderacioes. Si emargo, al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE COLOCACIÓN Error = Aalítica-Aproximada 2.5 2.0 1.5 0.04 0.02-0.02 - -0.04-0.06 2. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
10 MEF00075poderados. Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos las siguietes expresioes, que depede de las fucioes ase: ω 1 @x_d:=d@p@xd D@φ 1 @xd, xd, xd; ω 2 @x_d:=d@p@xd D@φ 2 @xd, xd, xd; ω 3 @x_d:=d@p@xd D@φ 3 @xd, xd, xd; Es decir, w k HxL= d dx f km Al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 2.5 2.0 1.5-0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 Error = Aalítica-Aproximada
MEF00075poderados. 11 3. MÉTODO DE GALERKIN Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos las mismas fucioes ase: ω 1 @x_d:= φ 1 @xd; ω 2 @x_d:= φ 2 @xd; ω 3 @x_d:= φ 3 @xd; Es decir, w k HxL=f k HxL Al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE GALERKIN Error = Aalítica-Aproximada 2.5 0.04 2.0 1.5 0.03 0.02 0.01 - -0.01-0.02 Referecias Adaptado por José Luis Gómez Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez Basado e el traajo de Joh H. Mathews http://math.fullerto.edu/mathews/2003/galerkimod.html Autor José Luis Gómez Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez I[50]:= Out[50]= $Versio 9.0 for Microsoft Widows H64 itl HJauary 25, 2013L I[51]:= Out[51]= DateStrig@D Wed 2 Apr 2014 16:53:56