Elementos de una TEORIA RELATIVISTA DE LA GRAVITACION

Elementos de una TEORIA RELATIVISTA DE LA GRAVITACION po Rodolfo CARABIO. CONCEPTO DE INTERACCION GRAVITATORIA En este tabajo se mostaa ómo es posible establee una teoía de la gavitaión a pati de los postulados y esultados de la elatividad espeial. Paa haelo se pate del heho que la elaión masa-enegía es el esultado mas elevado que se despende del fomalismo matemátio (euaiones funionales) que establee la elatividad espeial (Véase Deduión de la Dinámia Relativista on Euaiones Funionales), po tanto esta elaión sive de base a la teoía de la gavitaión subseuente, esto puede vese al dedui la elaión masa-enegía. Sin embago a fin de establee la teoía elativista de la gavitaión es neesaio además defini omo es la inteaión gavitatoia. El onepto de inteaión es mas amplio que el de fueza, inluyendo el inteambio de enegía ente los uepos onsideados. Paa el aso de la inteaión gavitatoia, si postulamos a la misma omo la inteaión mas básia podemos establee el siguiente: Pinipio De Inteaión Gavitaional Si dos o mas uepos se desplazan bajo la fueza gavitaional existente ente ellos, la masa de los mismos pemaneeá onstante medida en el luga donde se enuenten en el instante dado Este enuniado obliga a eplanteanos su validez si obsevamos que no umple on el Pinipio de Consevaión de la Enegía. En efeto, de auedo a lo ya visto en la elaión masa-enegía, paa que un sistema aislado de uepos se ponga en movimiento es neesaio que pate de su masa se onvieta en la enegía inétia del sistema. A fin de que el pinipio de inteaión gavitatoia no ente en ontadiión on los pinipios y esultados de la Dinámia Relativista, es neesaio eonsidea el signifiado del espaio tiempo en el ampo gavitatoio on espeto a un mao de efeenia alejado de manea simila a lo heho en la Cinemátia Relativista paa maos de efeenia on movimiento elativo unifome. En pime luga si onsideamos que el tiempo tansue on mayo lentitud dento del ampo gavitatoio on espeto a un mao de efeenia alejado, de auedo a la físia uántia, Si la feuenia de un pa de fotones emitidos po la desintegaión de un uepo de masa (m) en un punto situado lejos del ampo

gavitatoio es (v), la enegía total (Et) medida en este mao alejado efeenia es: de Et m. 2h.v Si en ambio el uepo ae dento del ampo gavitatoio y se desintega en algún luga ualquiea del mismo, de auedo al Pinipio de Inteaión Gavitaional adquiee deteminada enegía inétia, que se suma a su enegía de masa que pemanee invaiable. La enegía total ahoa es: Et m. + E 2h.v / Podemos gafia ambos suesos en el esquema que sigue: Al esapa del ampo gavitatoio los dos fotones de feuenia iniial v según el luga en el ual se podujo la desintegaión a pati de una masa (m), deben vaia su feuenia y po onsiguiente su enegía a la misma magnitud que tienen los dos fotones emitidos po la misma masa situada fuea del ampo, a fin que se umpla el Pinipio de Consevaión de La Enegía. El pa de fotones de feuenia v medida dento del ampo gavitatoio, tendá la feuenia v<v medida en un punto alejado si el tiempo tansue mas ápido on espeto al luga dento del ampo en la elaión: v / / v T / T / Podemos esibi la elaión ente v y v a pati de la elaión ente Et y Et 2h.v 2h.v + E 2h.v 2h.v U v v U /2h De auedo a la elaión masa enegía, y la fomula de la enegía del fotón, según el esquema se umple: h.v m. 2

v m. / 2h v v ( U /2h.v) v v ( U /m.) T / T /( U Como U es negativo en este aso T / < T /m) Si la desintegaión se podue estando el uepo en eposo dento del ampo gavitatoio esto no ambia el alulo de la elaión de enegías de los paes de fotones medidos dento y fuea del mismo.teniendo en uenta la elaión masaenegía, podemos dei que si la masa de un uepo en eposo medida en un punto situado dento del ampo gavitatoio es m, paa un obsevado ubiado en un punto alejado la masa de tal uepo seá peibida omo m< m m hv/ ; m h.v / m (v/v ).m m m /( U /m) m - U / m m m.(+ U /m ) () De auedo a la ley de gavitaión lásia, la vaiaión U de la enegía potenial de un uepo de masa m, medida ésta en la supefiie de un objeto de masa M y adio R al pasa al adio está dada po la fomula: U G.M.m [ /R / ] Siendo el valo U el valo igual on signo ontaio a U Intoduiendo este valo de U U ; U en la elaión () ente m y m : m m [ (G.M/)( /R / ) ] Sin embago paa detemina de foma exata la funión U de la enegía potenial es neesaio tene en uenta la elaión masa-enegía, y el Pinipio de Consevaión de la Enegía en el esquema que sigue 3

Sea un uepo de pueba de masa despeiable (m) en el ampo gavitatoio poduido po el uepo masivo M. Al esta (m) en eposo en pimea apoximaión apliamos la ley de gavitaión lásia paa halla la enegía potenial, tal apliaión debe se numéiamente oeta paa el aso de ampos débiles poduidos po la fuente M U - G.M.m / (2) Si el uepo de pueba po medio de su popia enegía de masa se desintega en dos pates iguales m on veloidades v ada una, esta sueso no puede ambia la enegía potenial total de ambos uepos. Esto es que paa llevalos desde su posiión iniial desde la desintegaión hasta el infinito sin vaia la veloidad de los mismos debe haese el mismo tabajo que paa lleva el uepo iniial m hasta el infinito en eposo. Siendo un sistema aislado, la elaión ente m y m es: m 2m / v² / (3) Reemplazando m dado po (3) po su equivalente en la fomula (2) de gavitaión lásia U 2GM. m. v² / De modo genéio paa un solo uepo: G. M. m U -. v² / (4) En funión de la enegía total: U - G.M.Et /. La enegía total dento del ampo gavitatoio la podemos esibi omo la suma de la enegía total en el infinito Et y la enegía potenial en el punto dado Et Et - U 4

Intoduiendo este valo en la expesión del potenial en funión de la enegía total: U - (G.M/.)(Et - U) U - G.M.Et /. + G.M.U /. U G.M.U /. - G.M.Et /. U (- G.M /.) - G.M.Et /. U - G.M.Et /( G.M/) (5) Podemos onsidea (5) omo exata paa gandes veloidades en ampos débiles. Paa ampos gavitatoios fuetes y gandes veloidades se puede edui el poblema a ampos débiles y gandes veloidades en el esquema que sigue: Se epesentan dos uepos de masa pequeña m 2 y ampo gavitatoio débil on gan veloidad v 2 al enuento uno del oto, y un tee uepo de masa m y veloidad abitaia v. En esta situaión físia se puede alula exatamente [De auedo a (4)] la enegía potenial del uepo m on espeto a los dos uepos m 2. Al hoa estos, se fusionan en un solo uepo masivo M, que po la gan enegía inétia en elaión a sus enegías de masa en eposo esulta M >>2m 2, de manea que se ea un fuete ampo gavitatoio. Este sueso no puede ambia la enegía potenial del uepo m ahoa on espeto al uepo M en vez de los dos uepos m 2. 5

Paa antes y después del hoque la enegía potenial la esibimos de auedo a la ya sabido. Se tiene la veloidad elativa V ente m y m 2, la enegía potenial en funión de V se esibe, de auedo a (4): U 2. G. m. m 2 / V / Paa halla V, se puede aplia la ley de omposiión de veloidades elativista sin estiiones, ya que en esta situaión físia iniial no hay ampos gavitatoios intensos Fatoizando y opeando esulta: V v2 ² + v ²( v ² / ) V v ² + v ² v ². v ² / ² ² 2 ² 2 2 2 V / ( v ² / ).( v ² / ) 2G. m. m2 U. v ² /. v ² / De auedo al esquema de hoque el uepo esultante M queda en eposo, teniendo en uenta la expesión de la enegía total elativista podemos esibi la fomula anteio en la foma: U - G.Et.Et 2 / 4. 2 Teniendo en uenta que M queda en eposo Et M., podemos esibi U en la foma U - G.M.Et /. Que es la misma a la deduida paa ampos débiles y gandes veloidades, la fomaión del uepo masivo M podue una vaiaión elativa del deuso del tiempo en su entono, peo no modifia la validez de la expesión obtenida. De manea que de auedo a los esquemas utilizados basándose en la Relatividad Espeial y el Pinipio de Inteaión Gavitatoia es posible establee una teoía de la gavitaión valida en ampos fuetes y gandes veloidades demostando la validez de la fomula (5): G. M. Et U ( G. M / ) Ahoa podemos halla la elaión ente los intevalos de tiempo t y t medidos ente los obsevadoes situados dento y fuea del ampo gavitatoio. De auedo al pinipio de Inteaión Gavitaional se había obtenido una elaión exata ente T y T en la expesión: T T /(- U/m) T (- U/m)T 6

T [+ G.M.Et /( G.M/)m ] Llegados a este punto, queda indefinida la elaión ente T y T, debido al valo abitaio que puede tene Et,esto se debe a que al establee la elaión T T/( U/m), se supuso que Et m, entones poniendo este valo en la expesión anteio esulta: Que es la elaión exata T T /( G.M/) 2. CAMPO GRAVITATORIO PARA CUERPOS MASIVOS La inteaión gavitatoia paa uepos masivos equiee paa su alulo el empleo de la fomula mas geneal U - G.Et.Et 2 / 4 El uso de esa expesión es neesaio ya que son los dos uepos masivos M y M 2 los que se mueven Paa simplifia onsideamos el aso en el ual M M 2 Et Et 2 G U - (Et - U/2)² 4. G U - (Et ² - Et.U + U²/4) 4. U - G.Et ²/ 4 + G.Et.U / 4 G.U² /4 4 U G.Et.U / 4 + G.U² /4 4 - G.Et ² / 4 G.U² /4 4 + ( G.Et / 4 ).U + G.Et ² / 4 0 U² + 4.( 4 /G - Et ).U + 4.Et ² 0 Resolviendo la euaión de 2º gado paa U U - 2.( 4 /G - Et ) + 4( 4 / G Et )² 4Et ² 7

U 2( 4 Et ² /G - Et ).[ 4 ( / G Et ²)² ] La enegía potenial mínima Umin, es uando la distania ente los entos de M; 2G. Et 4 ; Umin - 2Et Veloidad de salida Paa alula la veloidad de esape en elatividad, tenemos en uenta que la enegía inétia debe se de igual magnitud que la enegía potenial E - U E G.M.Et /. Et - m G.M.Et /. Et G.M.Et/. m Et.( G.M /. ) m m Vs² / m G. M / Vs² / ( G. M /. )² Opeando, esulta paa la veloidad de salida Vs. ( G. M /. )² Coeión elativista de las obitas Basándonos en los oneptos de la elatividad espeial se obtiene la euaión de la tayetoia en un ampo ental simétio tal omo sigue: Et p² + m² 4 Componiendo el impulso p en funión de la omponente adial p y tangenial pt Et ² ( pt² + p) + m² 4 Et² m² 4 p pt² Et. V Teniendo en uenta las elaiones Et² m² 4 L² 8

V d/dt dt. d φ / Vt V d. Vt. dφ Vt pt. /Et Vt L. /.Et Et. d L. Et² m². 4 L²... dφ. Et d Et² m² 4 L² L.. dφ dφ L. d. Et² m² 4 L². Reemplazando Et po su equivalente, se tiene la integal de la tayetoia Et E - U + m φ L. d 2m( E U ) + ( E U )² / L² /. Asignando a la enegía potenial el valo lásio mas la ª oeión elativista al desaolla en seie U - G.M.Et /(- GM /) La enegía total en el infinito es la suma de la enegía de masa mas la inétia en el infinito; Et m+e, la enegía inétia en el infinito a su vez es la enegía Eonstante del uepo en el sistema. La división teniendo en uenta el segundo oden de pequeñez se esibe U - G.M(m+E ) / G².M²(m+E )/ 4 U - G.M.m / G.M.E /. - G².M².m /. Dado que E <<m, es una aateístia fija del uepo, la expesión de la enegía potenial se puede esibi en la foma: Paa simplifia la notaión haemos: U - G.M.m / G².M².m /. α G. M. m α α ² U (6) m 9

Es de emaa que la apliaión de la elatividad espeial mas la oeión elativista del potenial tiene una apliaión limitada poque no se tiene en uenta la modifiaión del deuso del tiempo y sus efetos (que se veán mas adelante) en el entono del uepo masivo. Intoduiendo en la integal de la tayetoia el potenial (6), queda φ L. d E² 2mα E α ² 2m + ( + ) + (3 L²). m Denominando los téminos La integaión ondue al esultado A 2m.E²/ a 2mα (+ E/ m²) b 3α ²/ - L² L 2b + a φ.os ¹ ] 2 L 3α ² / a² 4Ab. Los semiejes mayo y meno de la obita [ ; 2 ], limites de la integal se obtienen de la ondiión de que en esos puntos de meno y mayo distania a la fuente del ampo gavitatoio toda la enegía inétia es tangenial Po oto lado vamos a onsidea estos álulos solo paa pequeñas exentiidades de la obita onsideada Entones paa halla y 2 teniendo en uentas lo diho omenzamos esibiendo la expesión paa la enegía total Et p² + m² 4 L² ( E U + m)². + m² 4 L² ( E U )² + 2m( E U ). Teniendo en uenta la foma de U, podemos esibi: Opeando esulta E U α α ² E + + m. 2Eα 2Eα ² α ² α 2α ² L² E ² + + + + 2m. E + 2m +. m. 0

Se desataon en este desaollo los téminos supeioes a /, po su pequeñez. También puede supimise el témino: 2E.α ²/m<< α / ². Odenando los téminos po potenias de (/) se obtiene: 2mα ( 3α ² / L²) + ( + E / m) + 2mE + E² / 0 Resolviendo la euaión paa (/) a ± a² 4A. b 2b Intoduiendo este valo de (/) en funión ao oseno de la tayetoia ² os ¹[ 2b a ± ( a² 4Ab a² 4Ab ) + 2b a ] a² 4Ab os ¹() os ¹( ) π Queda paa el ánguloφ φ π. L L² 3α ² / 3 << De auedo a que α ² / ² 3α ² φ π ( + ) 2 L² Este esultado difiee ligeamente la media vuelta paa φ. Po vuelta ompleta la peesión del eje de la obita epesentada po φ Paa obitas asi iulaes: φ 3πα ² L² v² G.M/ L² m².(gm/). GM φ 3π.

Fueza De Gavedad En Relatividad Utilizamos el esquema de desintegaión empleado paa halla el valo de la enegía potenial a la deteminaión de la fueza gavitatoia. En pimea apoximaión apliamos la Ley de Gavitaión de Newton F - G.M.m / La desintegaión del uepo (m) en dos pates iguales de masa m¹, no puede vaia la fueza total ejeida sobe el sistema. De auedo a la elaión masaenegía m 2m¹ v² / F M.2m¹ G. v² /. De modo genéio paa un solo uepo: F - G.M.Et /. Si ompaamos esta expesión on la que se deiva paa la enegía potenial: U - G.M.Et / F du d GM det Et. ² d Como se ve, existe una difeenia ente la expesión paa la fueza deivada de la enegía potenial y la obtenida dietamente a pati del mismo esquema. Es el témino: GM.. Paa explia esto, debemos tene en uenta que al establee la fomula paa la enegía potenial el valo de la masa de la fuente M ea una onstante, una ondiión iniial fija. En ambio paa detemina el valo de la fueza debemos onsidea que la masa de la fuente peibida po el objeto de pueba ya no es onstante, sino que vaia a lo lago del adio veto ), es funión de la distania a esta M M() Esto ya fue visto paa la masa de un uepo que si medida o peibida dento del ampo gavitatoio es m, fuea de este seá peibida omo m<m. Si la masa de la fuente que se peibe esta epesentada po la funión M(),a medida que se ingesa al ampo gavitatoio m M() De auedo a lo ya estableido: det d m m.(v / v) m m /(-GM/) 2

El uepo m es una poión pequeña de la masa total M. Si extendemos esta elaión a toda la masa de la fuente del ampo gavitatoio: Paa la enegía potenial: M() M /( GM/.) M ( ). Et du G.. d. du G M. Et. d ( GM / ). det Et du - det GM d GM. / ln Et ] ] GM / Et Et ln Et ln Et ln GM / Et GM / Et Et Et GM / Po definiión la enegía total en un punto deteminado la podemos esibi paa este aso en la foma que sigue Et Et - U Intoduiendo este valo paa Et en la fomula anteio: Et U Et GM / U Et Et GM / U Et [ ] GM / U - (G.M/)[ Et /( GM/) ] Esta expesión es idéntia a la obtenida anteiomente paa la enegía potenial. De esta manea se explia la apaente ontadiión ente los esultados hallados paa la fueza y el potenial en el esquema utilizado. 3

Queda paa la fueza gavitatoia paa un uepo en eposo en elatividad: F G.M.m /( GM/). Siendo M la masa peibida según un sistema de efeenia infinitamente alejado al uepo M Tayetoia Tempoal Mínima La tayetoia tempoal mínima ente dos puntos (geodésia) en el ampo gavitatoio se define omo aquella en la ual un ayo de luz o un uepo a veloidad dada tada el mínimo de tiempo en i y veni ente estos puntos medido según los obsevadoes situados en los mismos puntos onsideados. Es la tayetoia que seguiía un uepo en foma ineial sin onta la fueza de gavedad (Pinipio de Mínima Aión). Paa gafia epesentamos a ontinuaión dos puntos [S¹ ; S²], situados en el entono de un uepo masivo M Al tansui el tiempo de manea unifome en ausenia del ampo gavitatoio, la tayetoia tempoal mínima ente los puntos S¹ y S² esta epesentada po la línea eta L que los une.en pesenia del uepo masivo M el tiempo tansue en foma más lenta en los niveles mas pofundos hasta llega al punto S². En este aso paa llega desde S² a S¹ en el meno tiempo medido en S¹ onviene en pate sali lo mas ápidamente posible de la egión donde el tiempo tansue mas lento, lo ual se onsigue tomando al omienzo una dieión algo mas pependiula a los íulos onéntios equipoteniales a la fuente M de lo que lo hae la línea eta L. Si el punto S¹ se onsidea infinitamente alejado de la fuente M, mediá un intevalo de tiempo popio que tendá elaión on el intevalo de tiempo tansuido en eoe la luz un segmento infinitesimal dl de la tayetoia que une los puntos [S¹;S²], medido este tiempo en el punto donde se enuenta dl De auedo a lo ya estableido, la elaión esta dada po: dts¹ dt /( GM/ ) 4

El intevalo dt es el que emplea la luz en eoe el segmento dl dt dl / Y el tiempo total en llega de S² a S¹, medido en S¹: 2 ts ¹. dl GM / Siendo L funión de, debe existi una funión Lg tal que haga mínima la integal, tal funión epesenta la llamada línea geodésia que une los puntos S¹ y S² Deteminaión de la linea geodesia Paa halla la funión que epesenta la geodésia ente dos puntos S¹, S² situados en el ampo gavitatoio, euimos al gafio que sigue: Un obsevado que se halla en el punto S² puede eoe la distania que lo sepaa al punto S¹ omenzando po el segmento infinitesimal dr peteneiente a la línea eta L, o po el segmento dr de la línea geodésia Lg que une S² on S¹. Si el obsevado toma el segmento peteneiente a la geodésia, el tiempo que empleaa luego en i desde el punto 3 al punto po la línea eta indiada on tazos, debe se meno que el tiempo que tadaía en i desde el punto 2 al po la eta L, y debe se el meno tiempo que paa ualquie ota pendiente del segmento dr on espeto a la eta L. De auedo a lo ya estableido, el tiempo empleado en i ente los dos puntos ; 2 po un ayo de luz esta dado po la integal: 5

ts dl b / 2 Siendo b GM/ Paa la línea eta indiamos dl en base a la elaión pitagóia a² + L² L dl a². d a² Siendo a el paámeto popio de la eta, la meno distania a la que esta pasa del ento del uepo M. Podemos esibi ahoa: ts. 2 d. a² ( b / ) Al ambia la eta elegida paa i de 2 a po la eta que pasa po (3;), vaia tanto el limite iniial: 2 3, omo el paámeto de la eta: a a.paa halla la difeenia en los tiempos empleados en i hasta el punto S¹ po ambas etas deivamos la integal on espeto a la vaiable () y al paámeto a,y sumamos paa obtene el difeenial total. Paa valoes pequeños de b puede esibise: ts. ( + 2 a². d. + 2 a² ts b ). d b. d ² a² De auedo al gafio, on a te,al aumenta en d, ts deee po lo ual oesponde el signo menos(-) al difeenia on espeto a. Queda paa el difeenial total la expesión: dts. d a. da.. d b. d b. a. da. d. + + ( ² ²)³ / ² a² a ( ² ²)³ / ² 2 a² a 2 Los téminos sin el fato elativista (b) epesentan la vaiaión de la distania (dl) al ambia la eta que ondue a S¹. Efetuando la integal de la deeha se obtiene: 6

dts. dl b. d a² b. a a² a² 2. da Paa el aso de la mínima distania del ento al infinito: 2 a da d dts. dl b. d a² b. da + a b. da a² b dts. dl. da a En el gafio la vaiaión de la distania al ambia la eta que ondue al punto s¹, esta dada po: dl dr - osϕ.dr dl dr.( - osϕ ) El paámeto a :(si la distania al ento es la meno: Podemos esibi paa dts da senϕ. dr a 2 ) b dts dr.( osϕ ). senϕ. dr a Paa halla el ángulo que hae máxima la difeenia dts, deivamos on espeto a ϕ e igualamos a eo d dr b ( dts ). senϕ.osϕ 0 dϕ a Paa que esta igualdad a eo se umpla, el ánguloϕ debe se: tg ϕ max b / a Dado que tabajamos on valoes pequeños de b y ϕ ϕ GM max a (7) 7

Este es el ángulo que foma el segmento dr peteneiente a la geodésia en el punto mas eano al ento del uepo M on espeto a la eta que pasa po diho punto pependiulamente al segmento a. Es evidente que po simetía la vaiaión total de ángulo al atavesa la geodésia el ampo gavitatoio debe se el doble a ϕ max ϕ tot 2GM. Deflexión de la luz en el ampo gavitatoio Consideamos que la desviaión de la luz on espeto a la geodésia en un segmento dado, debe oesponde en el limite a la desviaión de una patíula ultaelativista: uando v. De auedo al gafio y paa pequeñas desviaiones puede esibise: dp t F. dt. senα dl dt MEt F G.. Paa el fotón: Et p. GM p dl dp t... senα 8

G. M. p dl dp t.. senα L a. tgϕ dl a.se ² ϕ. dϕ a.seϕ. dϕ G. M. p a.seϕ. dϕ dp t.. senα. a a².se ² ϕ sen α osϕ GM. P dp t.osϕ. dϕ. a p t GM. p. a π / 2 π / 2 osϕ. dϕ p t GM p. a 2.. π 0 / 2 [ senϕ] p 2. GM. p t ². a El ángulo de desviaiónγ que podue la fueza: γ p t / γ p 2GM. a La suma de la desviaión poduida po la fueza y po la tayetoia geodésia es la desviaión total de la luz al atavesa el ampo gavitatoio γ ϕ + γ tot tot γ tot 4. GM. a Es el esultado obsevado expeimentalmente De auedo a la expesión (7), en elatividad suge una fueza tansvesal a la dieión del movimiento de un uepo sin análogo lásio, esta fueza ambia la dieión del modulo de la veloidad de una patíula en el ampo gavitatoio, peo no su magnitud. Tal efeto es onseuenia de la apliaión del pinipio de mínima aión Esta fueza no es ental, po lo tanto no onseva el momento de impulso de una patíula en el ampo gavitatoio, de manea que se neesita desaolla la teoía del movimiento oespondiente, lo ual es ompliado, sin embago paa pequeñas masas de la fuente del ampo, su influenia es aun meno que la 9

pimea oeión elativista que se uso paa alula la peesión del peihelio de las obitas, paa afimalo basta alula no el valo exato sino solo su oden de magnitud omo se hae a ontinuaión. De auedo a la expesión (7),la desviaión desde el infinito hasta una distania º del ento del uepo masivo M Hasta una distania ¹ º + La difeenia ß ente ambas desviaiones La fueza F asoiada a esta desviaión øº GM/º ø¹ GM/¹ ß (GM/). F p.ß/t Utilizando la expesión lásia paa el impulso p mv, valida paa bajas veloidades obitales. El tiempo [t] en que el ángulo øº vaia a ø¹ es el oiente ente el ao A. θ y la veloidad tangenial (v) del uepo que obita t. θ /v Entones queda paa esta fueza el valo de oden de magnitud: F (m.v)(gm/) /( θ /v) F m(v²/) (GM /.³ )( / θ ) Teniendo en uenta que la veloidad obital paa una tayetoia on poa exentiidad es del oden de: Queda paa la fueza v² GM/ F m (G²M²/) ( / θ ) De auedo a la fomula, se ve que uando meno sea la exentiidad de la elipse ( /), meno seá la fueza no ental asoiada y po tanto es valida la apliaión de la pimea oeión de la fomula elativista de la enegía potenial en el alulo del los peihelios. Rodolfo Heto CARABIO odolfohetoaabio@yahoo.om.a 20