Polinomios Mtemátic º Año Cód. 0-8 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t R o s i t o Dpto. de Mtemátic
POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrible, tod epresión de l form: n 0... n tl que: 0 R; R; R;... ; n R n 0 siendo n N0 En tl epresión, l letr represent un número rel culquier l denominmos vrible o rgumento del polinomio. Los números 0; ; ;...; n se denominn coeficientes. A los polinomios sí definidos, los notremos con un letr múscul, por ejemplo: T(); P(); R() En nuestro cso result: P( ) = 0 n... n Ejemplos de polinomios en l vrible : A()= polinomio de segundo grdo en, cuos coeficientes son: 0 ; ; 5 B()= π polinomio de quinto grdo en, cuos coeficientes son: ; ; 0 ; 0 ; π ; Observciones 0 5 Todo número rel distinto de cero es un polinomio de grdo cero. Ejemplo: P()= n Sí en l epresión: 0... n todos los coeficientes 0... n 0, tl epresión l denominmos, por convenio, polinomio nulo lo indicremos con el símbolo: 0 Por lo tnto el polinomio nulo es el número cero crece de grdo Al conjunto de todos los polinomios posibles, incluido el polinomio nulo, lo notremos con l letr P. De ls observciones nteriores result: R P donde números reles R P = polinomios P O L I T E C N I C O
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic Un polinomio se llm ordendo con respecto ls potencis decrecientes (o crecientes) de l vrible, cundo ést figur en cd término elevd un eponente menor (o mor) que en el término nterior. Ejemplos: D() creciente 7 π polinomio de séptimo grdo en ordendo en form C() π polinomio de tercer grdo en ordendo en form decreciente Un polinomio se llm completo con respecto su vrible cundo figurn tods ls potencis de l mism, menores que l de más lto grdo eistente en el polinomio. Ejemplos: D() 7 polinomio de curto grdo en, completo 5 E() 5 según ls potencis crecientes de l vrible 5 polinomio de tercer grdo en, completo ordendo Cd uno de los términos de l sum que define el polinomio se denomin monomio, el grdo de cd monomio es el eponente con el que figur, en él, l vrible. De l definición de monomio, deducimos que puede epresrse como un cso prticulr de polinomio con un único término. Ejemplos: - π es un monomio de tercer grdo es un monomio de segundo grdo es un monomio de grdo cero Dos monomios en l mism vrible se llmn semejntes si son del mismo grdo, o se que solo pueden diferencirse en el coeficiente. P O L I T E C N I C O
Ejemplo: 5 ; ; son monomios semejntes 5 Todo polinomio de dos términos se denomin binomio, el de tres términos, trinomio; el de cutro términos, cutrinomio ; de llí en más polinomio de cinco, seis, siete términos,etc. Ejemplo A() es un binomio de curto grdo en no completo ordendo en form creciente. El polinomio A() completo ordendo en form decreciente es: A() 0 0 0 Polinomios en vris vribles Lo considerdo hst el presente, se etiende l cso en que los polinomios se definn en vris vribles o rgumentos, en cuo cso resultn epresiones del tipo: A ; 5 z z B ;;z El desrrollo más detlldo de estos polinomios en vris vribles no se efecturá en el presente curso. Vlor numérico de un polinomio El vlor numérico de un polinomio, es el número que result de reemplzr l vrible por un número rel culquier. De modo que, ddo el polinomio P() = 7 + 5 + 0 Su vlor numérico pr = 0 que notremos P(0) es: Los vlores numéricos pr: = ; = P(0) = 0 0 7.0 + 5.0 + 0 = 0 5 ; = - son: P() = 8 ; P( 5 ) = 0 ; P(-) = 0 P O L I T E C N I C O
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic OBSERVACIÓN: Ejemplo: P Todo número rel b, pr el cul se verifique que P(b) = 0, recibe el nombre de cero o ríz del polinomio 5 son ceros del polinomio P() = 7 + 5 + 0 porque P 5 0 0 PRÁCTICA ) Indic cuáles de ls siguientes epresiones son polinomios, en tl cso dr su grdo ) 5 c) ( ) ( ) b ) - d) 5 e ) 6 ) En centvos por km, el costo de conducir un utomóvil un velocidd v se proim por medio de l función polinómic: C(v) 0,00 v 0, v 5 Cuánto cuest conducir un utomóvil 50 km/h? 80 km/h? ) Indic los ceros o ríces de cd polinomio (Recuerd condición de nulción del producto) ) R() 9 b) Q() - 8 f) Iguldd de polinomios Ddos dos polinomios de igul grdo, en l mism vrible, diremos que son igules si los coeficientes de los términos del mismo grdo resultn igules. Simbólicmente: P( ) = Q( ) = b n 0... n n 0 b b... bn Diremos que P( ) = Q( ) i bi i 0; ; ;,..., n P O L I T E C N I C O
Operciones con polinomios Notemos que se hn relizdo en otrs ocsiones operciones entre epresiones lgebrics, tles como: I. ( 5 ) + (- + 5 ) II. ( +5 +) ( + ) III. ( 5 ).( + ) Ahor, sólo nos rest efecturls medinte el empleo de un disposición práctic Sum de polinomios Definición: Ddos dos polinomios P( ) = Q( ) = m... m 0 b 0 b b... n b n Definimos como sum de esos dos polinomios e indicmos P()+Q() otro r polinomio S() = c c c... c r 0 siendo ci i bi i ;;;... ; r r el grdo del polinomio sum, siempre cundo S 0. Observción: El grdo del polinomio sum es menor o igul que el grdo de los polinomios sumndos o crece de grdo. Ejemplo P() = 5 + Q() = 5 S() = 5 5 6 El polinomio S(), sum entre P() Q() es S() = 5 5 6 P O L I T E C N I C O 5
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic Rest de polinomios Definición: Ddos los polinomios P() Q(): Ejemplo P() Q() P() [ Q()] + P() = 5 + + - Q() = - + D() = - + 5 + Luego result P() Q() = D() Multiplicción de polinomios Definición: Ddos dos polinomios P() Q ( ) llmmos polinomio producto e indicmos M(), l polinomio que es l sum de todos los productos posibles de cd monomio de P() por cd monomio de Q(). Ejemplo: P() = 5 Q() = + 9 6 5 6 0 M() = 6 + 5 6 0 5 Luego result P(). Q() = M() Observción: El grdo del polinomio producto es igul l sum de los grdos de cd polinomio o crece de grdo si uno o mbos de los polinomios son el polinomio nulo 6 P O L I T E C N I C O
Propieddes de l sum multiplicción de polinomios P(); Q() ;R() P pueden demostrrse ls siguientes propieddes de l sum el producto de polinomios en bse ls propieddes de l sum producto de números reles. SUMA L sum de polinomios cumple con l le de cierre MULTIPLICACIÓN L multiplicción de polinomios cumple con l le de cierre Conmuttiv P() Q() Q() P() Asocitiv P() Q() R() P() Q() R() Conmuttiv P().Q() Q().P() Asocitiv P() Q() R() P() Q() R() Eistenci de elemento neutro 0 P / P() P; P() 0 P() Eistenci de elemento neutro P / P() P; P(). P() Eistenci de elemento simétrico (OPUESTO) R() P Q() P /R() Q() se simboliz : Q() R() 0 PRÁCTICA ) El polinomio A() es de curto grdo el polinomio B() es de segundo grdo ) Cuál es el grdo de A() + B()? b) Cuál es el grdo de A(). B()? 5) Ddos los polinomios A() = + + ; B() = C() = resuelve: ) A() + C() d) C().[A() + B()] b) A() - B() + C() e) [C()] [B()] c) A().B() f) - A() B() C() P O L I T E C N I C O 7
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic 6) Clcul los vlores de, b c, en cd cso ) ( b) ( c ) 5 7 5 b b) c b 5 8c c) 6 c División de polinomios Como conclusión de los estudios precedentes sobre polinomios, podemos firmr que eiste un nlogí entre ls operciones con números enteros ls operciones con polinomios. Continundo con tl prlelismo, diremos que dividir dos polinomios P() Q() (grdo de P() grdo de Q() ), es encontrr dos polinomios C() R() (este último de grdo menor Q() o crente de grdo) tles que verificn l siguiente identidd: P() = C(). Q() + R() donde grdo de C() = grdo de P() grdo de Q() Result demás: P() divisible por Q() R() = 0 Un esquem mu fmilir dividendo P() Q() divisor R() C() cociente resto Pr obtener los polinomios cociente C() resto R() se relizn los siguientes psos.. Se coloc el polinomio dividendo completo ordendo en form decreciente el polinomio divisor ordendo de l mism form.. Pr clculr el primer término del cociente, dividimos el monomio de mor grdo del dividendo por el monomio de mor grdo del divisor. El monomio obtenido en., se multiplic por el divisor, se coloc bjo el dividendo se rest, obteniéndose el primer resto. A prtir de quí se repiten los prtdos., hst que el polinomio resto teng grdo menor que el del polinomio divisor o se obteng el polinomio nulo. 8 P O L I T E C N I C O
Ejemplo: Dividmos P() = + 5 + entre Q() = + _ + 5 + 0 + + 9 + 6 + + 6 / 6 + _ +8 / 6 0 + _ 6 08 +7 / 78 69 C() cociente R() resto PRÁCTICA 7) En un división de polinomios, el dividendo es de grdo siete el divisor de grdo cutro. Cuál es el grdo del cociente?. Y el grdo del resto? 8) Clcul el cociente el resto de: ) ( 8 ) : ( ) b) ( 5 6 5) : ( + ) 9) Determin si l siguiente proposición es V(verdder) o F(fls).Justific. 5 7 es el resto de l división (6 5 +9 7 + 7 8 +5) :( ) 0) Anliz si el resultdo de es un polinomio. Justific. P O L I T E C N I C O 9
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic División de un polinomio de grdo mor o igul por otro de primer grdo Un cso que se present con much frecuenci, es l división de un polinomio P() de grdo n por un binomio de l form + h ( hr), en este cso C() result de grdo n R() es de grdo 0 o crece de grdo; es decir el resto resultrá un número rel (R), que será cero si P() es divisible por + h. Sbemos que si P() es el dividendo; + h el divisor R el resto, deberá verificrse: Teorem del resto P() = C().( + h) + R El resto R de un división de un polinomio en por un binomio +h ( donde h es un número rel culquier ), es el vlor numérico del polinomio dividendo cundo l vrible sume el vlor (-h) Demostrción: P() +h R C() P(-h) = R Sbemos que P() = C() (+h) + R P(-h) = C(-h).(-h+h) +R siendo P(-h) el vlor numérico del polinomio P() cundo = -h P(-h) = C(-h).0 +R que (-h + h) = 0 por propiedd de l sum de números opuestos P(-h) = 0 +R por definición de multiplicción Entonces, por elemento neutro de l sum, result: De donde deducimos que: P(-h)=R El resto R de un división de un polinomio en por un binomio + h (donde h es un número rel culquier), es el vlor numérico del polinomio dividendo cundo l vrible sume el vlor (-h). NOTA: Result en consecuenci que: P() es divisible por (+h) P(-h)=0 0 P O L I T E C N I C O
Regl de Ruffini Pr el cálculo efectivo del cociente C(), en el cso de división de polinomios que estmos estudindo, result útil cómodo, utilizr el esquem que completrás como ejemplo con l ud de tu profesor 5 + + 0 + + -5 0 5 8 + 6 - / -8 +8 +6 / 6-6 / - + + 6 ti 5 0 - -............ 5............ / 6 PRACTICA ) Clcul los cocientes indicdos (P() : Q()) en cd enuncido por plicción de l regl de Ruffini verific el resto obtenido, plicndo el teorem del resto ) ( ) :( + ) b) ( 5 ):(- + ) c) ( ) : ( - ) d) ( + ):( + ) e) ( 5 ) : ( ) f) ( 6) : ( + ) ) Ddo P()= ( ) ( ) ) Clcul de modo que el resto : P se 8 b) Determin, por Ruffini, el cociente de l división signándole el vlor hlldo en el prtdo nterior. P O L I T E C N I C O
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic ) En cd uno de los siguientes cocientes, determin de modo que l división pose el resto indicdo en cd cso ) (5 ) ( ) : ( ), el resto se (-) b) 5 : ( ), el resto se (-5), el resto se 5 5 c) ( ) 5 : ( ) 5 d) ( ) : ( ),el resto se 8 ) En cd un de ls siguientes divisiones, determin m de modo que l división resulte ect. ) ( + m ): ( ) b) (5 m ) : ( - ) 5 c) ( m + m ) : (+) 5 d) ( + m) : ( ) 5) Complet el cudro. A() + 0 ( ) A() es divisible por (-)? A() es divisible por (+)? ( ) P O L I T E C N I C O
Ceros de un polinomio su descomposición en fctores Si todos los coeficientes de un polinomio pertenecen l conjunto de los números enteros (Z), medinte el teorem de Guss se pueden encontrr sus ríces rcionles. Teorem de Guss Si un polinomio de grdo n con coeficientes enteros término independiente no nulo posee ríces rcionles de l form independiente q es divisor del coeficiente principl. (frcción irreducible), se cumple que p es divisor del término Ejemplo : Se: P() 5 entonces: Los posibles vlores de p: ; ; 7 ; Los posibles vlores de q : ; 7 Los posibles vlores de : ; ; ; 7 ; ; 7 7 Puede verificrse que: P() 0 ; P( ) 0 P 0 entonces ; - son ríces 7 de P() por lo tnto P() es divisible por L epresión fctored result: P () ;.. 7 En generl: Si un número "" es ríz de un polinomio P (), entonces () Entonces si: ; ; ;...; n son ls ríces de un polinomio de grdo " n", dicho polinomio puede fctorerse : P()....... P es divisible por n P O L I T E C N I C O
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic Ejemplo : Se A() puedes verificr según el teorem de Guss que son ceros de A() en consecuenci A() es divisible por Pr poder fctorer l polinomio A() recurrimos l lgoritmo de l división: A()... ti - 0 - - - - - - - 0 0 PRÁCTICA 6) ) Determin el vlor del coeficiente de P() pr que el resto de l división entre P() ( - ) se cero, siendo P()= + 8 luego fctorélo pr ese vlor de. b) Encuentr otro cero de P() pr ese vlor de c) Complet l siguiente epresión fctored de P(). P()................. 7) Fctore todo lo posible hll todos los ceros de cd uno de los siguientes polinomios: P() = + 5 + 6 Q() = R() = + A() = + + 0 B() = + 7 8 + C() = + 5 6 D() = + P O L I T E C N I C O
8) Dds ls siguientes epresiones de l form n h n determin los divisores de l form h de modo que l división resulte ect en ese cso escribir n h n como el producto del divisor por el cociente, o se fctoredo: ) 5 + e) + 6 b) 8 f) b 7 c) 5 + g) + 5 d) + 6 h) 8 9) Clcul el vlor de sbiendo que es un cero del polinomio P() = 5 + 0) Clcul b de modo tl que resulte P()=Q(), siendo P()= + Q()=( ).( + ).( + b) Epresiones lgebrics rcionles. Simplificción. Operciones Ddos dos polinomios P() Q() / Q() 0 culquier se l epresión P() T() l denominmos epresión lgebric rcionl donde Q() P() T() Q() numerdor denomindo r El vlor numérico de est epresión dependerá del vlor que signemos l vrible pr el cul l mism quede definid, es decir: P() T(), R con Q() 0 Q() NOTA: En lo sucesivo considerremos que ls epresiones lgebrics rcionles P() se encuentrn definids pr todos quellos vlores de pr los cules Q() 0 Q() P O L I T E C N I C O 5
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic Observciones R / Q() 0 result: P() ) Si Q()= P() Q() P() Q() b) Si Q()=P() Q() Q() P() 0 c) Si P()= 0 0 Q() Q() Simplificción de epresiones lgebrics A() P()R() Dd l epresión. Si es posible trnsformrl en result B() Q()R() A() P()R() P() R() P() = =. =. = P() ; / R() 0 B() Q()R() Q() R() Q() Q() que h un mismo fctor en el numerdor en el denomindor, tl operción l denominmos simplificción Ejemplo ( ) ( ) ). ( ) ) 7 7( ) 7 7. 9 6 PRÁCTICA ) Estblece pr que vlores de l vrible están definids ls siguientes epresiones lgebrics rcionles. ) 9 b) 5 c) 5 6 P O L I T E C N I C O
) Une con flechs ls epresiones equivlentes. Justific. ) b) ( ) 0 c) d) e) f) 0 8 ( ) ( ) Operciones con epresiones lgebrics Ls operciones con epresiones lgebrics rcionles tienen ls misms propieddes que ls operciones con números rcionles. Sum L sum de epresiones lgebrics rcionles puede presentr: I) denomindores igules, en este cso: P() Q() Ejemplo: R() Q() P() R(X) Q() II) denomindores distintos, es decir P() Q() R() S() P().S() Q().S() R().Q() S().Q() P().S() R().Q() Q().S() P O L I T E C N I C O 7
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic Not: Un recurso útil será descomponer los denomindores en fctores primos luego determinr el múltiplo común menor de los denomindores como el mecnismo empledo en l determinción del mcm de números enteros. Ejemplo: ( ).( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) ( )( ) Rest Dds dos epresiones lgebrics rcionles culesquier llmmos diferenci de ells l epresión lgebric rcionl que se obtiene sumndo l primer l opuest de l segund. Ejemplo: ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicción Dds dos epresiones lgebrics rcionles culesquier definimos l multiplicción de ls misms del siguiente modo: P() Q() Ejemplo: R() D() P() R(X) Q() D() R / Q() 0 D() 0. ( ( )( ) ( )( ) )( ) ( ) ( )( ) 8 P O L I T E C N I C O
División Dds dos epresiones lgebrics rcionles culesquier llmmos cociente entre ells l epresión rcionl que se obtiene de multiplicr l primer por el recíproco de l segund. Ejemplo: b b ( b) : b b b b. ( b) ( b) PRÁCTICA ) Demuestr ls siguientes identiddes: ) ( ) 9 9 b) ( ) ( )( ) 8 b b c) b b b d) e) ( ) f) g) ( ) 8 h) 6 i) b b ( ) k). b m) ( b)( ) b b. b b b b j) 6( l) n) b ) 6 6b. 6 6 b 9 6 : 9 8 : 8 P O L I T E C N I C O 9
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic o) b b b. b b b p) b b : b b b b q) 6 9. b b b 6 ( b) r) 6 : 8 5bc 5bc s) : b t) : b b b u). ( ) v). : b b RESPUESTAS ) Son polinomios los prtdos, c, d e los grdos son:,,5 6 respectivmente. ) 9,5 centvos; centvos. ) ) Los ceros de R() son -;. b) De Q() es ) ) grdo [A() + B()] = b) grdo [A().B()] = 6 5) ) A() + C() = + + b) A() - B() + C() = + + d) C()[A()+B()] = 5 + - - e) A () B () = 6 + + c) A().B() = f) A() - B() C() = - + - 6) ) = -7 ; b = ; c = 5 b) = 7 6 ; b = - 7 5 ; c = - 9 c) = ; c = 7) grdo del cociente = grdo del resto < ó crece de grdo. 8) ) C() = + R() = - b) C() = + 9 R() = 9) verddero 0) verddero 0 P O L I T E C N I C O
) - C() = R() = = P(-) b- C() = R() = - = P() c- C() = 6 R() = = P() d- C() = 8 + R() = -8/ = P(-) e- C() = + + 9 + 7 + 8 R() = 0 = P() f- C() = + 8 R() = 0 = P(-) ) ) = -6 b) C() = 9 + 9 9 ) ) = 0 b) = c) = 5 d) = ) ) m = - b) m= c) m = 7 5 d) m= -7 5) A() A() es divisible por (-)? A() es divisible por (+)? + 0 Si Si ( ) Si NO ( ) NO NO 6) = P() = ( ).( + + ) 7) P().. Q ().. R(). A() D().. 6 5 B(). C().... 8) - ( )( + 8 + 6) b- ( )( + + ) c- ( + )( + +) d- no es posible e- ( + )( + 6) f- (b /)(b + /b + /9) g- no es posible h- ( )( + )( + 9) 9) = 0) ( = b = -) ( = - b = ) P O L I T E C N I C O
Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgebrics rcionles Mtemátic ) ) ; - b) -/9 c) -5 ) ) 0 b) c) d) e) f) ( ) 0 8 ( ) ( ) BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICA ACTIVA ALGEBRA.Mscó-Cttneo-Hinrichsen. Editoril Universitri Cultur Argentin MATEMÁTICA. Bogni Estévez Ohrriz. Editoril Plus Ultr. ALGEBRA Y TRIGONOMETRÌA. Smith Chrles Dosse Keed Bittinger Editoril Addison Wesle Longmn APUNTE DE POLINOMIOS de IPS ño 00 P O L I T E C N I C O