SERIE DE ÁLULO INTEGRAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA ) alcule la suma ) Determine n tal que ) Determine n tal que i i ( ) ( ) 0 i= i+ i n i = 9 n=6 i= n i = 78 n=7 i= ) Determine el valor del siguiente límite n i i lim + 5 n i = n n n 5) Determine el valor del siguiente límite n i i lim + + n i = n n n 6) alcule el límite lim n i i i 5 i n i n + + + + = n n n n 5 7) alcule la suma 0 ( i ) 5 i= 8) Si se divide el intervalo [ ] 0, en subintervalos mediante la partición P y el conjunto de puntos de partición es: i n 0 = 0, =, 5 =, = 5,..., i =,..., n = n n n n n uál es la longitud de cada subintervalo? 5 5 5 5 5
5i 0i + 0i 5i+ Δ i =. 5 n n * 9) Evaluar el límite lim ( i ) el intervalo [ 0, ]. f Δi para la función ( ) n i = Sugerencia: Utilice el conjunto de puntos de partición 8 7 i n 0 = 0, =, =, =,..., i =,..., n =. n n n n n Por punto muestra tome el etremo derecho de cada subintervalo * i i = i =. n 0) Mediante sumas de Riemann evalúe ( ) 5 0 f = en d ) Mediante sumas de Riemann evalúe 6 + d ) Por medio de sumas de Riemann, calcule ( ) 5 0 G, si ( ) = ( + ) ( + ) ) Encuentre '( ) G t t dt d
) Encuentre ( ) f si f () t dt = f ( ) = 5) Utilizando la derivación implícita, encuentre dy d de + cos y+ ( t) dt + y+ 00 = 0 cos y dy d = 6) alcule la segunda derivada de la función t ( ) = ( + ) 0 f f ''( ) = u du dt + 7) alcule la segunda derivada de la función sent g ( ) = ududt 0 g''( ) = cos t sen( t ) dt e dt d Obtenga () t dt d t t sen( t ) dt e dt sen( t ) dt e + e dt sen
8) Sea la gráfica de f que aparece en la siguiente figura.,0. Determine su valor medio en el intervalo [ ] 7 + 6π f() c = 9) Determine la abscisa media de la función,. intervalo [ ] π c =± 6 f ( ) = en el EFETUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES 0) ( + ) ) ) d + sen d cos d
) d + ) d + 5) send 6) tan d cos 7) d sen 8) 6 d ( + ) 9) d + 0) + tan d 5 ) + 5 d 5 + ) d + + 6 ( ) d 9 cos sen ( ) d ) ) ( ) 5) ( sec + tan ) sec ( tan + sec ) d 5 6) sen ( cos + ) d
7) cos ( 6 + ) sen d 8) csc( 5cos ) cot( 5cos ) 9) 0) 6 + + 6 d ( + ) ) ( + ) 0 sen + 0 sen + 0 d d ) d ) 6 9 d ) 5) d + angsen 6) d ( + ) ( + ) send d 6 SOLUIONES A LAS INTEGRALES 0-6 5 0) + + + 5 ) ln sec + tan + ln sec + ) angsen + ) ln + +
) + ln + + 5) + sen + 6) tan + 7) csc + 8) sec( ) ang + 9) ln( ) 6ang tan + + + + 0) ln sec + ) ) + + + 6 5 + ( ) ) angsen + ) ( ( )) sen + 5) sec + tan + 6) cos + 7) sen ang tan + 8) csc ( 5cos ) + 5 9) + tan ( ) ang + 0) 0 sen + + 7
) ( ) ( + ) + + ) + ang sec + ) + ang sen + 5 ) ang sec + 5) tan( ) ang + 8 6) ( angsen) + 7) alcular 8) alcular π tan sec d 0 d 5 0 9) alcular ( ) d Utilice el teorema de simetría para evaluar la integral que se da. 50) ( + ) sen d 0 5 5) cos( ) π π d 0
5) d 9 6 5 5) En una cierta zona del sur de la ciudad de Méico, el número de imecas entre las : 00 y las 5: 00 horas, se puede modelar con la función f( ) = 0( 5), en donde f ( ) es el número de imecas a las horas después del mediodía con( 0 ). Determine el número promedio de imecas que hay en esta zona de la ciudad, entre las : 00 y las 5: 00 horas. A que hora se alcanza este número promedio de imecas? 60 imecas; : 00 y 5: 00 horas. 5) La temperatura de un caldo de pollo que se saca del refrigerador (a 5 grados centígrados) y se pone al fuego, durante los primeros minutos, puede modelarse por la función T() t = 5+ 0.5t( t+ ), en donde T( t ) es la temperatura (en grados centígrados) del caldo a los t minutos de haberse puesto a la lumbre. alcule la temperatura promedio que tuvo el caldo de pollo durante los minutos en que se calentó. En que momento de los primeros minutos de calentamiento, el caldo tuvo la temperatura promedio? o, 6.86min. 55) A diferentes alturas en la atmósfera de la Tierra, el sonido viaja a diferentes velocidades. La velocidad del sonido s() (en metros por segundo) puede modelarse mediante
( ) s +, 0 <.5 95,.5 < + 78.5, < = + 5.5, < 50 + 0.5, 50 80 0 donde es la altura en kilómetros uál es la velocidad media del sonido sobre el intervalo [ 0,80 ]? Velocidad promedio = 08 metros por segundo.
TEMA 56) Determine el dominio y el recorrido de la función f = ln. ( ) ( ) D= (, ), R= { R } 57) Determine el dominio y el recorrido de la función f = ln. ( ) ( ) D= { R }, R= { R } Determine los siguientes límites. 58) lim ln ( csc ) + 0 59) lim ln ( cot ) π 60) lim ln ( cos ) 0 = + = = 0 6) lim ln π = + sec π 0 6) lim ln = ang cot π 6) lim ln ang tan = + 6) lim ln = π csc lim ln cot = + 65) ( ) + 0 66) lim ln ( tan ) 67) π lim ln + = = + +
68) lim ln ( sec ) π = + 69) Determine el dominio y el recorrido de la función f ( ) = D= R, R=, { } ( ) 70) Determine el dominio y el recorrido de la función f ( ) D = { R }, R = (0,]. Determine los siguientes límites. π + 7) lim = + e e 0 7) lim = + π lim 0.9 = 0 7) ( ) + lim 5 = 7) + csc 0 + e 75) lim ( e ) cot 76) lim = + 0 cot 77) 78) 0 = ang lim = tan lim = π 0 + 0 0 =
79) Despeje y determine su valor 5e =. e 5 ln = + ln 80) Determine el valor o valores de de 0, ln, ln e 6e + e 6= 0. 8) Despeje y calcule su valor. 5( ) log 6 =. 8) Determine y ' para e log 5 8) d + y log 5 = ln( + ) +. e 8) Derive y = ( log 0 ) 5 ln0 ln5 e y' = e ( log 0 ) 5 sen y para y= ( tan ) y ' = ( tan) sen sec+ cosln( tan) 85) Encuentre '
86) Encuentre ' y para y= ( angtan ) ang sec y ' = ( ang tan) ang sec ( + ) + ( tan ) ang sec ln ang ang tan 5 + ln0 ln log5 d ln 5 0 log5 + 0 87) Efectúe ( ) ( ) ( ) 88) Efectúe ( + ) ( + ) 5 d ( + ) 5 ln5 +. 89) Efectúe e 7 e e e d + ln 90) Efectúe ln 6 d ln 6 + ln 6 9) Resuelva la siguiente integral e d 5 7 n+ + + + + = 0 n! n= 0 ( n+ )
9) Resuelva la siguiente integral n e +. nn n=! 9) Derive y = ln ( tanh ) y ' = csch( ) 9) Derive y = ang tan( coth ) csc y ' = + coth h 95) Derive y = angsen( sech) e e d 5 sech tanh y ' = sech cos 96) Derive y= senh( e ) cos cos y' = e sencosh( e ) 97) Derive y = ln( cosh ) y ' = tanh( ) 98) Obtenga una ecuación para la recta tangente a la gráfica de y = senh en = 0. ( ) y =. Efectuar las siguientes integrales. 99) senh( 8 ) d
0) sec ( ) 00) cosh ( 5 ) 0) 0) 0) d h d csc h coth d ( ) cosh senhd csch d sech tanh d 05) ( ) ( ) 06) ( ) cosh( ) senh( 5) 07) d 7+ cosh( 5) 08) coth ( ) d cosh 09) e tanh e 0) d cosh ) ( ) ) tanh sec ) cosh ( ) + senh d senhd cosh cosh d h d e e d tanh d cosh coth ln senh d ) 5) ( ) ( ) 6 SOLUIONES A LAS INTEGRALES 99-5 cosh 8 8 99) ( ) +
00) h5 ( ) 5 sen + 0) tanh ( ) + 0) csch + 0) cosh + 0) coth + 05) sec h( ) + 06) ( ) + senh + 07) ln ( 7 + cosh5 ) + 5 08) ln senh( ) + cosh 09) e + tanh 0) e + 7 ) h 7 sen + ) tanh + senh e + ) ( ) ) angsec( cosh ) + ln + 5) ( senh ) 6) alcular, de ser posible, lim ln. 7
e 7) alcular, de ser posible, lim 5 8 ln 8) alcular, de ser posible, lim 0 9) alcular, de ser posible, 6 lim 0 6+ 6 + 6 e sen 0) alcular, de ser posible, lim ( sen) 0 0 ) alcular, de ser posible, lim ( + sen) csc e + 0 ) alcular, de ser posible, ( ) lim e + e 0 e ) alcular, de ser posible, d + e π converge y su valor es + + tdt ) alcular, de ser posible, 0 6 d
converge y su valor es π 9 5) alcular, de ser posible, 0 converge y su valor es 5 6) alcular, de ser posible, 5 d La integral diverge. 7) Si a b c b < <, entonces f ( ) ) ( ) ( ) a b c b c a d. ln5 c d es equivalente a.. f d f d ) f ( ) d+ f ( ) d f d f d ) f ( ) d f ( ) d ) ( ) + ( ) a b 8) Sea f una función continua en [ ab, ] y sea F ( ) ( ) diferenciable [ a, b] c a c a = f t dt a. Entonces se cumple que. ) F '( ) = f ( ) ) F '( ) = f ( ) f ( a) ) F '( ) = F( ) ) F '( ) = F( ) F( a) 9) La igualdad ( ) ln a+ b = ln a+ lnb, con a > 0 y b > 0 es. ) verdadera. ) falsa. ) verdadera si a > y b > ) verdadera si 0 a y 0 b b a b a
0) La función f ( ) = ln se define como ) ln = dt, t > 0 ) ln =, t dt t 0 0 > 0 ) ln = dt, t > 0 ) ln = dt, t t > 0 0 ) Si f es una función definida en el intervalo [ ab,, ] entonces la integral definida de a a b se denota por n * i Δ i ) lím ( )( ) Δ i = f i Δi n i = 0 n * * lím f i Δi lím i i n 0 i = f Δ Δ i = 0 * ) lím f ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) Los siguientes ejercicios son del primer eamen parcial colegiado del semestre 00- ) Mediante el límite de Sumas de Riemann, calcular ( + ) d 5 ) Sea la función f ( ) = Obtener: a) El valor promedio de f en el intervalo [,]. b) El valor o los valores de c [,] cuya eistencia garantiza el Teorema del Valor Medio del álculo Integral. 7 f c = b) c = 0 0 a) ( )
) Determinar d a) + b) sen d sen si < c) f ( ) d, donde f ( ) = ( ) si a) ln( + ) + b) sec + c) 8 8 5) Obtener df d de las siguientes funciones 5 a) F ( ) = t + dt b) F( ) = c) F( ) = tanh a) F '( ) = 5 + F' = sech c) ( ) b) '( ) + e log e F = ( e ) 6) Determinar, si eiste lím ( e ) e + e ln 7) Evaluar la siguiente integral y determinar si converge o diverge d. La integral impropia converge y su valor es e
TEMA Efectúe las siguientes integrales. Ajuste de integrandos a las reglas básicas. 8) ( e ) + d + e + e + e ln 9) d ( + e ) + + e e e ln 0) d ( + e ) + + e ) d + + ln + d senh cosh + ) cosh + senh ) d ang sec( ) + ln ) d ln + 5) d angsen + 6) cosh d cosh+ + Integración por partes 7) e sen( e ) d cos( ) ( ) e e sen e + 8) ang cos d ang cos + 9) cos( ln ) d cos( ln ) + sen( ln ) +
50) ln d 5) csc d ln + csc cot + ln csc cot + ln ln + + 5) ( ln ) d ( ) 5) ( + + 9 + ) senhd + + 0 + 7 + cosh + + 0 + 7 senh + ( ) ( ) d 5) ( ) 9 7 5 6 8 + + 5 5 5 ( ) ( ) ( ) 55) Emplee integración por partes para determinar la fórmula de n n n reducción de cos ( cos n d = ) sen + cos d n n. 56) Emplee integración por partes para obtener la fórmula de n n n reducción de ed= e n ed Integrales de epresiones trigonométricas 57) 58) 59) sen 5 sen sen d cosd cos d + 5 5 sen + 6 6 sen cos + + cos
5 60) cos d 5 sen sen + sen + 5 6) sen cos d 5 sen sen + 5 6) sen cos d 6 sen sen + 6 6 cos + cos + 6 6) cos cosd sen + sen7 + 6) sencosd cos cos6+ 65) sencos5d cos cos8+ 6 66) cos cosd sen + sen + 8 6 67) tan d 5 tan tan + tan + 5 68) sec d tan + tan + 5 69) tan d cot + cot + ln sen + 5 70) sec tan d 8 6 sec sec + sec + 8 6 8 tan + tan + 6 8 csc tan cot + 7) d cot cot+
tan 5 7) 5 d sec 5 sen + 5 7) sec d sec tan + sec tan + ln sec + tan + 8 8 5 7) csc d csc cot csc cot + ln csc cot + 8 8 75) sec d sec sec + cot 5 76) sec tan d 5 sec sec sec + 5 5 Sustitución trigonométrica. 77) 78) 79) 80) d 6 + 6 d ( 5 ) 8 6 + angsen + + 6 + ln + 6 d 6 6 8ln + 6 d 5 5 +
8) d + + 8 6 + + 8 ln + + 8+ + + 8) 8) 8) 85) 86) + d ( ) d ( + ) + + ang tan + + ( ) d 6 angsen + + + 50 d ln + + 50 + + + d angsen( ) ( + ) + Integración por descomposición en fracciones racionales. 87) 88) 89) 90) 9) d + ln + + + + 5ln 5 + d 5 ( + )( + ) d ln ln + + ln + + 0 d 9 6 ( )( + ) ln + ln + + + 5 5 5( + ) + + d + 5 + ang tan ln ( ) ang tan + + +
9) + d ln ( + ) 9) d 9) 95) 96) + d e 5 + + + + ln ln + + ang tan 6 + 6 e d e ang tan e + + e + + ln + ln + + ang tan + ( ) ( e + ) ( )( + ) d Sustituciones diversas. ln + ln + + 97) d ln + + + 98) d + + ln + + 99) ed e e + ln + + e d 00) e + ln + e + e + + 0) e d e e + 7 ( )
7 0) cot d 6 cot + cot cot + ln csc + 6 9 0) cot d 8 6 tan tan + tan tan + ln sec + 8 6 0) d + + sen + tan 05) sen + tan d ln tan tan + Miscelánea de integrales. 06) d + + ln ln ( ln ) ( ln ) + e e + e + 07) d 08) + d 0 7 8 6 ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + 5 7 d 09) + ln ln + ln + ln + ( ) ( ) 8
0) d (Sugerencia: multiplique y divida entre e, y e + haga la sustitución u = e ). ln( e + ) ln e e + + ) ( ) d (Sugerencia: multiplique y divida entre, y haga la sustitución u = ). ln ln + ) sen cos d sen + ) ( sec + tan ) d tan + sec + ) d + sen tan + ang tan + 5) d ang tan + 9 Aplicaciones 6) Sea la región del plano y, limitada por las curvas y =, = 0, y= 6. alcular b R, tal que la recta y = b divida a R en dos regiones con áreas iguales. (EP/B/00-) ( ) b =.
7) alcular el área de la región limitada por las gráficas de ecuaciones y = y y =. (EP/A/005-) 5 A = unidades de área. 0 8) alcular el área de la región indicada en la figura (EF/A/00-) A = unidades de área. 5 9) alcular el área de la región limitada por las curvas dadas por y =, y=. (EF/A/00-) 9 A = unidades de área. 0) alcule el área de la región limitada por las gráficas de las curvas y =, y = + 6, y y =. A = unidades de área. 6 ) alcular el área de la región limitada por la curva r = + senθ. A = π unidades de área.
) alcular la longitud de la curva y = 00 cosh 00 en el intervalo [ 50,50]. (EP/A/00-) s= 00 e e unidades de longitud. ) alcular la longitud del arco de la curva dada por r = senθ π para θ π. (EP/A/005-) 5 s = π unidades de longitud. ) Determinar la longitud de la curva de ecuación r = e θ en el intervalo 0 θ π. (EF/A/005-) s= e π unidades de longitud. ( ) 5) alcular la longitud de la curva polar r = 9cosθ. (EF/00-). A = 9π unidades de longitud. 6) alcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje X, de la región plana limitada por y = sen, [ 0, π ]. (EP/A/00-). V = π unidades de volumen. 7) alcular el volumen del sólido que se obtiene al girar, alrededor del eje X, la región limitada por y=, y =. V = π unidades de volumen. 6
8) alcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar la región limitada por las gráficas de y = +, y = 0, = 0 y = alrededor del eje X. (EF/A/00-) 8 V = π unidades de volumen. 5 Ejercicios del segundo eamen parcial del semestre 006- d 9) Al realizar, se obtiene... ) ln + ) ln + ) ln + ) ln + 0) El área de la región limitada por las gráficas de ecuaciones y y+ = 0 y y y = 0, es. ) 8 u ) u ) u ) 8 u ) Al efectuar ( w)( ln ) ) ) w ln w + w ln w + w dw, se obtiene. ) w ln w+ + ) w ln w+ + ) Al realizar ( + )( ) d, se obtiene..
) ln ( + ) 5 6 + ) ( + ) 6 + ln + 5 ) + ln + ( + ) 5 6 ) + ln + 8 7 5 5 ( + ) ( ) ) El volumen que se obtiene al hacer girar la región limitada por la gráfica de ecuación y = y los ejes coordenados, alrededor del eje de las ordenadas es ) π u ) 8 π u π 5 ) u ) π u 5 ) La longitud de la curva de ecuación y ln( cos ) intervalo ) ln ( )[ u] = en el π 0,, es. ) ln( )[ u] )( + )[ u] ) ln( + )[ u] 5) Al efectuar ) ) angsen + angsen + d + +, se obtiene ) ) angsen + angsen +
TEMA Indique si es falso o verdadero. 6) ( ) {, ; 0; 0;, } S = y + y > y y R es un conjunto cerrado. Falso f y, = y su dominio esta representado por 7) Sea ( ) el conjunto ( ) {, ;, } S = y + y y R Verdadero 8) Determine el dominio de la función f (, y) ( ) {, ;, } S = y y > y R = + y. 9) Obtenga el dominio de la función f ( y, ) = + y. S = (, y) y 0; y;, y R. { } 0) Obtenga el dominio de la función f ( y, ) = ln yln( + + y) S = S S donde S = {(, y) y> 0; y> ;, y R } S = (, y) y< 0; ( + ) < y< ;, y R { } ) Determinar el dominio y el recorrido de la función f y, = y. ( ) ( )( ) S = S S S
S {(, y) ; y ;, y } S = {(, y) ; y ;, y R } S = {(, y) ; y ;, y R } Su recorrido R = [ 0, ). = R, 5 ) Sea la función y + z =, z 0; obtenga su dominio y recorrido., S y y ;, y R = 0,. { } = ( ) R, [ ) ) Determinar el dominio y recorrido de la función f y, = y. ( ) S = (, y) + y ;, y R, [ 0,] { } ) Para la función f (, y) ln( y ) R =. = +, determinar el dominio y el recorrido. S =, y + y > ;, y R, R = R. ( ) { } y 5) Sea la función z = e, determine la curva de nivel para a) z =, b) z = e. a) y =, b) y = +. 6) Para la función f ( y, ) = y, obtenga sus curvas de nivel para z = 0,. z = 0, y = ; z =, y =. 7) Sea la función ( ) f, y = y +, encuentre sus curvas de nivel para z = y z =. z =, dos rectas: y =, y =
z =, la hipérbola y =. 6 8) Determinar el dominio de (,, ) f yz ze (EF/A/005-) S =, y, z z 0;, y, z R ( ) { } y =. 9) Sea la función y + z =, z 0. Obtenga la ecuación de la curva de nivel para z =. y =. ( ) 50) Sea la función z = y +. Determinar la ecuación de sus curvas de nivel para: a) z = 0 b) z = Si z = 0, y = Si z =, y = 5) Identificar las curvas de nivel de la superficie 9 + y z = 9; z 0 correspondientes a los valores a) z = 0 b) z = Si z = 0, la elipse 9 + y = 9. Si z =, la elipse 9 + y = 5. y y + 5) Obtenga el límite lím ( y, ) (, ) y + y + a) a través de y= b) a lo largo de y = +
a) b). 7 y 5) Determine el valor del límite, si este eiste, lím ( y, ) ( 0,0 ) y + No eiste. y 5) Obtenga el límite, si este eiste, lím ( y, ) ( 0,0 ) 8 y + No eiste. y 55) Determine, si eiste el límite, lím ( y, ) ( 0,0 ) y + No eiste.. + y + y 56) Determinar, si eiste, lím ( y, ) ( 0,0 ) + y (EP/B/005-) No eiste. y 57) alcule el límite lím sen ( y, ) (, π ) 8. 58) Para la función f ( y, ) 9 y de la recta tangente en (,, ) en el plano =. m =. =, determine la pendiente kt 59) Sea P =, donde k es una constante, determine V P k =. T V P T.
60) Sea (, ) f y π f y y =, determine y. f y = ( ln ) y + ( ln ) π π π π y. 8 6) Sea f ( yz,, ) cosh( yz) f yz =, obtenga y z. = senh( yz) + yz cosh ( yz) f. 6) Sea (, ) = ( ) y f y t dt, obtenga f =. f 6) Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal a y π la superficie f ( y, ) = 8e sen en el punto,0,. π Plano tangente: y z + = 0 6 8 π Recta normal: y z = = 6 8 6) Sea ω = y+ z a su vez Encuentre ω θ π ρ =, θ = π, φ = = = ρsenφcosθ y = ρsenφs enθ z = ρcosφ
ω = 8. θ 9 65) Sea la función compuesta z f y, = + y z f f = + u y v 66) Sea ( ) ( ) ( ) u, y = f + y + g + y + 5 u obtenga u = f ' + y + g' + y ( ) ( ) 67) Sea (,, ) f yz y f zy z =, obtenga z = y [ zln y+ ] f zy.. obtenga z. 68) Los lados de un triángulo equilátero crecen a razón de cm min, calcular con qué rapidez crece el área del triángulo en el instante en el que los lados miden 00cm. (EF/A005-) da cm = 50 dt min. 69) Sea ( yz) y ( z) z ( y) ln ln + ln = 0, determine ( ln ( ) + ) ln ( ) z z y z z = y y y+ z y ( ) z y.
u v y= 0 70) Sean u v + y= u v =. 8uv 0 determine u. 0 7) Sea z = u v a su vez + y+ u v= 0 + y + u + v= 0 determine z. ( + ) + ( ) z uv u v 8u = + u. 7) alcule la derivada direccional de la función π f ( y, ) = seny en el punto A0, y en la dirección del vector que forma un ángulo de 0 con la dirección positiva del eje. df = +. ds u, A 0 7) alcular la derivada direccional de la función f (, y) = ( + ) + ( y+ ) en el punto P ( 0,) y en la dirección de vector v = (,). (EP/B/005-) df = ds up, 7) La superficie de una montaña se describe mediante la ( y ) h, y = e +. El eje X positivo apunta hacia el ecuación ( ) este y el eje Y positivo apunta hacia el norte. Una montañista está directamente sobre el punto (,, ). Si la montañista se
mueve hacia el norte Ascenderá o descenderá y con qué pendiente? (EF/A/005-) dh = e por lo que la montañista desciende ds u con una pendiente de e. 75) La temperatura en una caja rectangular es aproimada por T, y, z = yz y z ; 0, 0 y, ( ) ( )( )( ) 0 z. Si un mosquito se localiza en,,, en que dirección debe volar para enfriarse lo más rápidamente posible? El mosquito debe volar en la dirección ˆ k para que su temperatura disminuya más rápidamente. 76) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie definida por y + z = en (,, ). + y+ z 8 = 0. 77) Determine el gradiente para la curva de nivel de la función f ( y, ) = + y con k = 5 en el punto (, ). f = iˆ+ 6ˆj. 78) Para la función (,, ) y f y z = senhz obtenga su gradiente. y ˆ y ln ˆ y f = y senhzi + senhzj + cosh zkˆ.