Módulos al En los jrcicios a 8 s dan las funcions f y F. Comprub, usando drivación, qu F( ) s la primiiva más gnral d f ( ). Qué fórmula d ingración pud dducirs n cada caso?. f ( ) = ; ( ) = ln ( ). F C. f ( ) ln ; F( ) ln C.. f ( ) ln ; F C 6 ( ) ln.. f ( ) arcan ; F( ) arcan ln C. 5. f ( ) ; 6. ( ) ; f F C 8 ( ) ln ( ). ( ) ( ). F C 7. 8. f ( ) sn ; ( ) ( ) ; f F( ) sn C. 8 F C 9 ( ) ( 0). En los jrcicios 9 a ncunr la primiiva más gnral para la función dada. 9. f ( ) 5. 0. f ( ).. g( ).. h( ). ( ). f ( ) ( ). Capíulo : Ingral indfinida Elmnos básicos d cálculo ingral y sris
. Calcul las siguins ingrals indfinidas: a. 5 d. b. c. d. d. d ( ). ( ) d.. d. f. d. g. i. k. m. 5 w w dw. 8 d. j. ( ) d. l. 6 cos (cos ) sn d. n. o. sn ( ) d. p. q. d cos an. r. ( r ) r dr. ( ) ( 8). d sn d. sn ( 0). d cos d. d sn sn cos. s. sn d.. 8 9 d ( 5) cos [( 5) ]. u. w. cos ( ) sn ( ) d. v. d. cos (ln ) d.. cos ( ) d. [sn ( )] 5. Encunr la solución gnral d las siguins cuacions difrncials. a. dy 5. d b. dy d ( ). dy c. y. d d. dy d y. En los jrcicios 6 a 9 hall la solución paricular d las cuacions difrncials dadas nindo n cuna las condicions inicials. 6. dy d y, si cuando 0. Ejrcicios d los módulos al
7. dy d, si y cuando. y 8. d y ( ), si y y y cuando. d 9. d y, si y y y cuando. d dy 0. Pud isir una curva qu saisfac las siguins condicions: cuando 0, noncs y 0 y y d d y 0 d para odo?. Encunr la cuación d la curva qu pasa por l puno (, ) y cuya pndin n l puno (,y) s.. Encunr la cuación d la curva qu pasa por los punos (0, ) y (, 5) y saisfac la cuación difrncial d y. d. Una ploa s lanza vricalmn hacia arriba dsd l sulo con una vlocidad d 0 m/s. Cuáno impo l omará llgar al sulo y con qué vlocidad cará? Duran cuáno impo sará subindo y qué an alo llgará? (uilic como gravdad g 0 m / s ).. Un hombr n un globo dja car un zapao cuando s ncunra a 00 m d alura y sá subindo a razón d 0 m/s. Cuáno impo ardará l zapao n llgar al sulo y con qué rapidz llgará? Cuál s la disancia rcorrida por l zapao ans d car? 5. Si los frnos d un carro pudn darl una aclración ngaiva consan d 0 m/s, cuál s la vlocidad máima a la qu pud ir si s ncsario parar l carro dnro d 90 m dspués d aplicados los frnos? En los jrcicios 6 a 9 hall la cuación d una parícula qu s muv n lína rca y n dond aclración, vlocidad, spacio y impo, rspcivamn. 6. a, s y v cuando 0. a, v, s y son la 7. a 00, s y v cuando 0. 8. a s y v cuando s. 9. a v s, y cuando. Capíulo : Ingral indfinida
Módulos 5 al I. Ingración por susiución. En los jrcicios a-i scriba la ingral a la qu s ransforma la ingral dada dspués dl cambio d variabl sugrido (f s una función coninua dada). a. f ( ) d, hacindo u. b. f ( ) d, hacindo. c. f ( ) d, hacindo. d. f d ( ), hacindo.. f ( ) d, hacindo. f. ( ), f d hacindo u. g. f ( ) d, hacindo u. i. f ( ) d, hacindo sn. ( + f ) d, hacindo snh.. En los jrcicios a-d calcul la ingral dada ralizando la susiución indicada. a. d, b. c. hacindo u. d, hacindo. d, hacindo. d. d, ( ) hacindo u. II. Ingración d poncias d funcions rigonoméricas. En los jrcicios a-j calcul la ingral indicada. a. c. sn cos d. b. sn cos d. d. d sn cos. d sn cos. Capíulo : Méodos d ingración Elmnos básicos d cálculo ingral y sris 09
. g. i. cos d. f. w w dw cos sn. csc ydy. j. d 5 sn. co. d sc 7. d III. Susiucions rigonoméricas. En los jrcicios a-p us la susiución rigonomérica apropiada para calcular las ingrals indicadas. a. d. b. d. c. d. d. d.. ( ) d. f. d. g. d. ( ) d. i. d ( ). j. d. k. 7 9 d. l. d 5. m. d. n. d. 6 6 o. du u u d cos sn cos sn p.. Encunr l valor d la ingral d mdian las susiucions 9 u 9, u 9, udu d.. Encunr d mdian: a. La susiución u. b. Una susiución rigonomérica. Compar dspués las rspusas. Ejrcicios d los módulos 5 al
IV. Ingración por pars. Us ingración por pars para calcular las ingrals indicadas n los jrcicios a-. a. c.. g. i. k. ( 7 ) d. b. d. d. d ( 5 ). d ( ) d. f. ( ) cos d. cos 6 d. sn d. cos d. j. ln d. (ln ) d. l. m. sn d. n.. cos d. cos d. o. a a sn bd. p. cos. q. sn d. r. cos d. s. sc 5 d... Dduzca la fórmula d rducción: ( ) arcan d. n n cos sn n n cos d cos d. n n. Una función g( ) saisfac las siguins condicions: i. g( ) sá dfinida n odo. ii. g( ) s coninua. iii. g(0) g(). iv. g(). Dmusr qu 0 g( ) d 6.. Dduzca las fórmulas d rducción d las prgunas básicas. Capíulo : Méodos d ingración
V. Ingración d funcions racionals. En los jrcicios a-o us dscomposición n fraccions simpls ans d fcuar la ingral indicada. 0 7 8 a. d. b.. 6 8 d +5 d. d. c. 6 5 d.. 5 6 5 d. f. ( ) d. ( + ) + + d. g. ( 9) d. i. k. 5 8 d. j. (8 ) d. l. ( ) ( ) d. ( ) ( ) d. sn m.. cos cos d d n.. + o.. d VI. Divrsas susiucions En las ingrals a-l fcú una susiución apropiada para convrir l ingrando n una función racional y d sa manra podr calcular más fácilmn la ingral: a. 6 d 6 7 5 b. d c. d d. d. 6 d f. 6 d g. d d 5 cos i. d 5 sn d d j.. k.. sn l. sn cos d. cos Ejrcicios d los módulos 5 al
VII. Ingración d los binomios difrncials En los jrcicios a-j calcul la ingral d los binomios difrncials dados: a. d. b. d ( ). d c.. ( ) d. d ( ).. d. f. d. g d. d. 5 d. j. i. d. Capíulo : Méodos d ingración Elmnos básicos d cálculo ingral y sris
Tallr cálculo ingral: Ingral Indfinida. Profsor Jaim Andrés Jaramillo. jaimaj@concpocompuadors.com. UdA. 08- Manipulación dl ingrando para obnr ingrals qu coincidan con las fórmulas básicas. Calcul la ingral manipulando l ingrando para obnr una forma qu corrsponda con las fórmulas básicas a) 5 + 6 d b) c) + d (an + ) d sn d) d 5 sn + d cos f) d sn ) ( )( ) + d h) sc z (an z sc z) dz g) ( ) + + d j) sc co d i) ( )( ) k) d 5 l) + d m) 5 d + n) 5 6 d 6 + + o) 5 d p) ( an cos ) d q) [ π ( 6 ) / ] d an + cos + sn r) d sn s) + 5 d ) + 6 d 8 u) 5 6 + + + 5 d v) + 5 d. Calcul la ingral manipulando l ingrando para obnr una forma qu corrsponda con las fórmulas básicas a. 6 5 d 9 b. d c. + 9 / / 5 d d
d. csc d co +. d + 7 f. sn an ( snsc ) d + 6 g. d + 9 9 + 50 75 + 5 d + 5. Encunr f ' = f = a) f ( ), ( ) 0 b) f ''( ) = 5 f '() = + 7, f ( ) = 5, c) f ( ) = +, f ( ) = ' d) f '( ) = 6 5cos ; f () = ) f '( ) = sc +, f ( 0) = f) f ''( ) = f ( π ) = 0 + cos, f ( 0) = 0, f ''( ) = 5 cos + ; f '( 0) = 5 f ( 0) =9 y Aplicacions d la ingral indfinida. Un vivro d planas vrds sul vndr ciro arbuso dspués d 6 años d crcimino y cuidado. La vlocidad d crcimino duran sos 6 años s, dh aproimadamn, =,5 + 5, dond s l impo n años y h s la alura n d cnímros. Las planas d smillro midn cnímros d alura cuando s planan (=0) a) Drminar la alura dspués d años. b) Qu alura inn los arbusos cuando s vndn? 5. La asa d crcimino dp/d d una población d bacrias s proporcional a la raiz cuadrada d, dond P s l amaño d la población y s l impo n días (0 0) dp so s, = k. El amaño inicial d la población s igual a 500. Dspués d un día la d población ha crcido hasa 700.Esimar l amaño d la población dspués d 7 días. d
6. Al salir un pan dl horno, su mpraura s d 0 C, si la mpraura dl ambin s C, la mpraura T dl pasl saisfac la cuación: dt d = k( T ) Dond rprsna l impo n minuos. Encunr una prsión para la mpraura T dl pan como función d, si s sab qu la mpraura dl pan a los 5 minuos d habrs sacado dl horno s d 60 C. Aplicacions d la ingral indfinida: Movimino Uniformmn Aclrado (MUA) 7. Un conducor implicado n un accidn afirma qu circulaba solamn a 50 km/ Cuando la policía rvisa su auo, drmina qu si los frnos s aplicaban a 50 km/h, l auo rcorrría solamn 5m ans d dnrs. Las marcas d drrap dl auo n la scna dl accidn midn 7m. Suponga qu la dsaclración s consan y calcul la vlocidad con la qu viajaba ans dl accidn. 8. Los frnos d un auomóvil s accionan cuando és s muv a 60 millas/hora (acamn 88 pis/sgundo). Los frnos proporcionan una dsaclración consan d 0 pis/sgundo. Qué disancia rcorr l auo ans d dnrs? Movimino Uniformmn Aclrado (MUA): Caída Libr 9. La vlocidad, n m / s, d un objo qu s ha djado car dsd la par más ala d un dificio pud prsars por: v = 9, 8. Dond son los sgundos ranscurridos a parir dl momno n qu s dja car. Drminar: a) La función qu rprsna la posición s nindo n cuna qu s( 0 ) = 55, 5 alura dl dificio. b) Vlocidad y posición dl objo a los,5s d habrs djado car. c) Timpo qu arda n llgar al sulo. d) Vlocidad qu nía al llgar al sulo. m s la 0. Cuando s arroja una pidra hacia arriba, dsd l sulo, con una cauchra, la pidra alcanza una alura máima d 00 pis. Cuál ra la vlocidad inicial d la pidra? (Aclración d la gravdad: g=pis/sgundo). S arroja una ploa d béisbol hacia arriba, dsd la par suprior d un dificio alo. La vlocidad inicial d la ploa s 5 pis/sgundo y golpa l sulo con una vlocidad d 5 pis/sgundo. Qué alura in l dificio? d
Susiución o cambio d variabl. Calcul la ingral usando susiución 5 a) ( + ln y) dy y / b) d c) cos( + ) d d) ( ) d ) + d f) co csc d g) sn d h) π sn d i) + d j) + ( 5) d d k) ( + ) l) + d m) 6 d n) 6 6 5 d 9 o) + 68 + 8 d 8 + 7 p) + d sn( ) q) d Ingración por pars. Calcul la ingral usando ingración por pars a) d b) cos d c) snd d) cos d ) an d f) sn d g) csc d h) j) ) snd ( + ) ( k) ( ln ) + m) ( 5 ) ln d d d n) 5 cos() d i) d l) d + 5 ln o) d p) ( ln ) d q) ( ) sn ln d r) an d d
. Calcul la ingral usando ingración d poncias d funcions rigonoméricas a) an sc d sn θ b) d θ cosθ c) an sc d co d) d csc an ) θ d θ f) cos5sn 5d scθ g) csc θdθ h) sn cos d 5. Calcul la ingral usando susiución rigonomérica a) 6 5 d d b) 6 c) d d d) ( ) / ) 9 8 d f) d 6 g) + d h) + d i) j) k) l) m) d ( 9 ) / n) 5 d + ( 9 ) / o) d + ( 9 ) / d p) + + 0 q) an ( + ) / d 6. Calcul la ingral usando fraccions parcials a. ansc d (an + ) 5 b. d 7 c. + d 5 + d. d +. d + f. an d g. 8 ( ) ( + ) d d + 5 d
+ + i. d + j. k. l. + 0 + ( + 5) ( ) 89 5 d 7. Cuando dos producos químicos A y B s combinan, s forma un compuso C. La racción d sgundo ordn rsulan nr los dos producos químicos s modlada por la cuación difrncial: dx d = k( 50 X )(0 X ) dond X() dnoa l númro d gramos dl compuso C prsn n l insan. a) Drmin X() si s sab qu X(0) = 0 g y X(0) = 0 g. b) Qué canidad dl compuso C hay a los 5 minuos? (Zill & Wrigh, 0) 8. Calcul la ingral: + 0 a. d 6 co b. θ d θ csc θ d c. + d. d 9 6 cos d. sn + sn f. 6 d g. d + d an i. θ d θ j. + cosθ dθ scθ sn k. d + cos l. d m. d ( + ) n. d + + 8 o. + d p. + 9 + d 6 d
q. (5 ) / d 5 y r. dy y + y + 5 s. sn ydy. ( + ) d u. ln( z + + z) dz v. ( + ) d co w. z dz. csc z (sc y ) dy 9. Calcul la ingral: a. d + d b. 9 + 6 + 5 d c. + 6 + 8 d. d cos r. dr cos r (ln ) f. 5 d g. + d i. sc d, > 5 + j. d + + dθ k. cos θ ( snθ cosθ ) l. d + + m. d n. + d o. 6 d + 5 p. d 7 + 0 q. + d r. + + ( + ) d 0. Encunr f a) f '( ) = ( 6 + 5), f ( ) = 0 b) f ''( ) = f '() = + + 0, f ( ) = 5, c) f '( ) = ln sn, f ( ) = 7 d
d) f '( ) = cos, f ( ) = 0 f f) ) '( ) =, f ( 7) = f ''( ) = f ( π ) = 0 + cos, f ( 0) = 0, f + g) '( ) =, f ( 0) = h) f i) f ''( ) = sn, f '( 0) =, f ( 0) = 6 '( ) = cos + sc π π < <,, π f =. Una parícula qu s muv n un sisma d rfrncia rcilíno, in una vlocidad. qu sá dada como función dl impo, n unidads dl SI como: v ( ) =. + La posición inicial d la parícula s s ( 0 ) =. Drminar: a. Función posición d la parícula b. Disancia nr la posición d la parícula para =7 y para = ( ). Una parícula qu s muv n un sisma d rfrncia rcilíno, in una vlocidad v = cos sn. qu sá dada como función dl impo, n unidads dl SI como: ( ) ( ) La posición inicial d la parícula s s ( 0 ) = 9. Drminar: a. Función posición d la parícula b. Disancia nr la posición d la parícula para =8 y para =. Un auomóvil viaja por una carrra rca muy larga. Su aclración s: m 0. m a) a ( ) = b) a( ) s s m s 0. = c) a( ) = 5 cos( 0,0 ) Dond s mid n sgundos y = 0 v s 0m / s y su posición s 0 m I. Drmin la función vlocidad v dl auomovil II. Drmin una función para la posición dl auomóvil = 0 III. Aclración, vlocidad y posición dl auomóvil para s s l insan n l qu inicia su rcorrido cuando su vlocidad 8 d
. Una parícula nra a un campo magnéico como s musra n la figura con una v m s vlocidad horizonal = /. El campo magnéico afca su movimino, proporcionándol una vlocidad vrical v y = cos (n m/s); s l impo n sgundos. Drmin a qu disancia dl bord infrior dl campo magnéico sal la parícula. 5. Una parícula n un primno, in aclración a drminar la vlocidad d la parícula como función d. = ; ( 0 < < ). Si v ( ) = 0 ( rprsna l impo, odas las canidads sán n unidads dl SI) 6. En ciro primno, una parícula ubicada n un ubo d 5m s muv d forma v = sn,( n sgundos) duran horizonal, mannindo una vlocidad n m/s: ( ) sgundos. Si la parícula al iniciar l primno s ncunra a m dl rmo izquirdo. Drmin la posición d la parícula un sgundo dspués. 9 d
7. La aclración d un objo qu s muv n drminado sisma d rfrncia, usando las unidads dl sisma inrnacional, sá dada por: a( ) 0 5 = +, para +. Considrando qu su posición para =s s l orign (S()=0), y su vlocidad v 0 = 0m / s drminar: para =0s s ( ) a) función vlocidad b) función posición c) aclración, vlocidad y posición para =5s. 8. La aclración d un objo qu s muv a lo largo d una rca, n unidads dl SI sá dada como función dl impo por: a =. Si la vlocidad inicial dl objo s + ( ) m v( 0 ) y la posición inicial dl objo s 0 ( s ( 0 ) = 0) s = s m a) Función vlocidad dl objo b) Función posición dl objo c) Aclración, vlocidad y posición a los sgundos., Drminar: 0 d
Rfrncias Bibliográficas Zill, D., & Wrigh, W. (0). Cálculo d una variabl. Trascndns mpranas (IV). Méico: McGraw-Hill. d
ALGUNAS RESPUESTAS. b. + d = 5 / / 6 + c 5 5 c. (an + ) d = an + c 9. b. d = + ln + c / / 0. b. d = + c sn( + ) c. cos( + ) d = + c.. an d = an ln( + 6 ) + c 8 sn θ. b. d = (cosθ ) 5 / (cosθ ) / + c cosθ 5 f. sn d = sn + + c c. an sc d = sc sc + c. b. d 6 = + c 6 6 / c. d = ( ) + c o. d + 9 = + c / 8 + 9 ( 9 + ) p. d = ln + + + + + c + + 0 0 5 7. b. d = ln + ln + c c. d = + + c + ln ln 5 + +. d = ln( + ) c + + d = ln + ln + c + + θ co 6 b. dθ = sn θ + c csc θ g. d = [ sn + ] d c. = ln + c f. d = sn + c + + 6 j. + cosθ d θ = cosθ + c l. + 0 + 89 5 5 5 d = + ln + ln + 5 + c + 5 ( + 5) ( ) sn k. d = cos + ln + cos + c + cos n. d = + + + + + + + 8 ln 8 + c o. d = + + c + + 8 + v. d = + c ( + ) ( + ) co z w. dz = ln csc z co z + cos z + c csc z d
d + d + 5. b. = an + c c. c 9 + 6 + 5 6 = ln + + 6 + 8 + (ln ) (ln ) f. d = + c i. d = + + c 9 5 sc sc ln 5 / g. + d = ( + ) ( + ) 5 / + c 5 + j. d = ln + + ln( + ) an + c + 6. b. 59 f ( ) = + + 5 +. f ( ) = f ( ) = sn + an + 9. r. + + ( + ) d = + + + c d