PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
3 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES 3. Itroduió E este pítulo se verá lguos priipios básios del proesmieto digitl de señles, eesrios pr eteder l mer e ómo oper los overtidores A/D lógio/digitl), y D/A digitl/lógio) de u sistem digitl tl omo lo es u DSP, sí omo el feómeo de lisig, e el ul debe osiderrse tto l freuei de muestreo de los overtidores del proesdor omo l freuei de l señl que se requiere proesr o objeto de o usr distorsió sobre ell. Tmbié se iluye l defiiió de l trsformd Z, herrmiet idispesble pr el diseño e implemetió de filtros digitles, sí omo los filtros FIR e IIR. Filmete se expli el proedimieto de diseño de u filtro Butterworth utilido l trsformió bilier, y que es el método usdo e el softwre de diseño de los filtros del demoduldor de AM. 3. Muestreo de u señl lógi Auque ls señles provists por l turle so lógis, gr prte del proesmieto de señles es heho digitlmete. Los sistems digitles so usdos pr proesmieto porque so de bjo osto, preisos, y puede ser implemetdos rápidmete. Pr poder llevr bo esto, debemos proveer dispositivos pr l dquisiió y oversió de dtos que sirv omo iterf etre el mudo de ls señles lógis y el mudo del proesmieto digitl de señles []. Ates de que ulquier proesmieto pued ser relido, l señl lógi es muestred y ls represetioes digitles de d muestr so desrrollds []. 7
Muestreo o smplig es el proeso de overtir u señl lógi otiu, e pulsos de mplitudes disrets itervlos espeífios de muestreo señl disret). Estos pulsos de mplitudes disrets so utifidos e vlores digitles bsdos e l logitud de plbr usd. U overtidor lógio-digitl A/D), muestre y utifi u señl de etrd otiu []. U señl disret puede ser obteid por el muestreo de u señl lógi e los tiempos t k, k 0,,,.... Este proeso es ilustrdo e l Figur 3-, dode se h tomdo t k kt, lo ul sigifi que ls muestrs so espids uiformemete. A esto se le llm smplig o muestreo, dode T es el periodo de muestreo. L freuei de muestreo est dd por []: f s H T Figur 3- Muestreo de u señl lógi Si f t) es l etrd lógi l sistem de muestreo, etoes l señl de slid muestred f * t) será el produto: f * t) s t) f t) 8
Lo ul d orige u señl moduld. L señl modulte S t) es u tre de fuioes impulso espids uiformemete dd por: S t ) δ t T ) Dode δ t) es l fuió impulso lógio defiido por: δ δ t τ ) 0 t τ t τ ) f ) t dt f ) t dt f τ ) Dode f ) t es otiu e t τ. El proeso de muestreo isttáeo es álogo l proeso de modulió por impulso: f * t f t ) ) δ f f t)δ T )δ t T ) t T ) t T ) De l últim formul se dedue que l señl muestred puede ser represetd omo u tre de impulsos o mplitudes f T ), vlor de l eésim muestr de t) f []. 9
3.3 Reostruió de u señl lógi E muhos sos es eesrio overtir u señl muestred de regreso u señl lógi bsd e l desripió provist por los vlores muestredos. L extrpolió puede ser usd o eptble extitud si l fuió muestred o posee mbios rápidos. De otr mer, errores grdes e impredeibles puede ourrir etre ls muestrs. E oseuei l freuei de muestreo es u ftor importte e l tidd de error que pree e l reostruió de dtos []. Los dispositivos que reostruye dtos otiuos de u seuei de muestrs o úmeros so geerlmete llmdos dt holds, extrpoldores, filtros de demuestreo, o filtros de reostruió. Pr ostruir u dt hold, es eesrio sumir u form prtiulr pr l fuió que será reostruid prtir de sus muestrs. U form omúmete usd e el sistem de otrol es u poliomio e tiempo. Si el poliomio extrpoldor es u ostte, u poliomio de grdo ero, etoes el extrpoldor es u hold de orde ero []. El resultdo de plir u señl muestred u iruito hold de orde ero es mostrdo e l Figur 3-. El efeto de psr u señl lógi omo l de l Figur 3- trvés de u sistem de muestreo y u iruito hold de orde ero equivletemete, u smple d hold) es mostrdo e l Figur 3-3 []. 0
Figur 3- Señl l slid de u iruito hold de orde ero. Figur 3-3 Señl l slid de u iruito smple-d-hold. 3.4 Proesmieto digitl de u señl lógi L ilustrió que muestr omo puede ser utilido el proesmieto digitl de señles es l Figur 3-4. L señl lógi xt) es psd trvés de u overtidor A/D, resultdo l señl digitl x kt). Est señl digitl es después proesd por u proesdor digitl de señles uy slid es ỹkt). L señl digitl proesd es después overtid señl lógi yt) por u overtidor D/A [].
Figur 3-4 Proesmieto de u señl lógi utilido u proesdor digitl de señles. 3.5 Alisig E el proeso de muestreo de u señl lógi se debe tomr e uet que l freuei de muestro de los overtidores debe teer omo míimo el doble de freuei de l señl ser muestred o objeto evitr el feómeo de lisig, el ul provo que l señl origil de iformió se distorsiod, tl y omo se verá otiuió. Primero osideremos el so udo Xt) es limitdo e bd o l freuei más lt Ω meor o igul π/t. Como ilustrió osidérese l fuió XjΩ) mostrd e l Figur 3-5). Pr est señl, ls fuioes XjΩ + jπk/t) o se trslp y X e jωt ) es mostrd e l Figur 3-5b). L importi de este so rdi e que desde que o hy trslpe, el espetro XjΩ) puede ser reuperdo de X e ps-bj que bloquee tods ls freueis por rrib de π/t []. jωt ) medite u filtro El segudo so de iterés se d udo Xt) otiee u freuei myor que π/t. E este so, ls fuioes XjΩ + jπk/t) se trslp y o se puede reuperr XjΩ) de X e jωt ). Este so es ilustrdo e l Figur 3-6. Ls freueis lts de XjΩ) so reflejds detro de ls freueis bjs de X e jωt ), resultdo e el feómeo llmdo lisig [].
jωt Figur 3-5 ) Gráfi de XjΩ) y b) gráfi de X e ), l ul orrespode l señl muestred. jωt Figur 3-6 ) Grfi de XjΩ) y b) gráfi orrespodiete X e ) udo existe el lisig. 3.6 L trsformd Z Aplido l trsformd Z u euió liel e ivrite e el tiempo omo l Euió 3.) dode ls osttes y b o 0, trsform l euió de k m 0 3
diferei e u euió lgebri e ls trsformds de y) y x). Cooiedo x) y su trsformd Z os permite resolver l euió lgebri pr l trsformd Z de y) y sí eotrr y). E muhos sos, o se ooe x) pero se puede obteer iformió importte del omportmieto del sistem desde ls trsformds Z de y) y x) []. 3.) M m m N k k m x b k y 0 0 ) ) 3.7 Defiiió de l trsformd Z Dd u seuei x), se defie l trsformd Z por: x X x Z ) ) )} { Dode se sume que Z es u vrible omplej. Si x) es u seuei usl, x)0 pr <0, etoes su trsformd Z es []: 0 ) ) )} { x X x Z 3.8 Reliió de sistems digitles Si plimos l trsformd Z u sistem omo el de l Euió 3.), obteemos []: M m m m N k k k X b Y 0 0 ) ) L ul puede ser expresd omo fuió de trsferei: 4
H ) Y ) X ) M m 0 N k 0 b m k m k 3.9 Estruturs reursivs y o reursivs Los métodos pr l reliió de sistems digitles puede ser dividido e dos lses, reursivs y o reursivs. L relió etre l etrd y l slid pr u reliió reursiv tiee l form []: y) F[ y - ), y - ),..., x), x - ),...] Pr el sistem desrito por l Euió 3.), l reliió reursiv tiee l form: N M k bm y ) y k) + x m) 3.) k 0 m 0 0 L muestr de slid tul y) es fuió sólo de slids psds y de ls muestrs de etrd presete y psds. L relió etrd-slid pr u reliió o reursiv tiee l form []: y ) F[ x ), x ),...] Pr u sistem liel e ivrite e el tiempo, est relió será: M bm y ) x m) 3.3) m 0 0 Se debe her otr que l Euió 3. orrespode u sistem IIR y l Euió 3.3 orrespode u sistem FIR. 5
3.9. Ejemplo de u sistem FIR de segudo orde Cosideremos u sistem FIR de segudo orde desrito por l Euió 3.4) []. y ) b x ) + b x ) + b x ) 3.4) 0 Este sistem FIR es represetdo por l Figur 3-7 []. Figur 3-7 Digrm bloques pr el sistem de l Euió 3.4). Cd retrso de l señl es represetdo por, lo ul quiere deir que l señl después del retrso tiee el vlor terior l existete tulmete tes del retrso. E el digrm podemos observr omo l slid depede del vlor presete y vlores psdos de l etrd. 3.9. Ejemplo de u sistem IIR de segudo orde Este sistem es de espeil iterés pr l presete tesis debido fuero utilidos filtros IIR de segudo orde pr el diseño e implemetió e l trjet del demoduldor de AM, ls roes por ls ules se eligió este tipo de filtro será expuests más delte e el Cpítulo 5. 6
L Euió 3.5) muestr u seillo ejemplo de u sistem IIR de segudo orde, e el que omo podemos observr, l slid depede diretmete tto de l etrd presete, omo de los vlores psdos e l slid []. y ) x ) y ) y ) 3.5) L Figur 3-8) muestr el digrm bloques orrespodiete este sistem Figur 3-8 Digrm bloques pr el sistem de l Euió 3.5). Co yud del digrm podemos ver que se tiee dos mlls o u elemeto de retrso e d u de ells. Ls slids de d sumdor so: [ y ) y )] y x ) + [ y ) y )] 7
3.0 Itroduió los tipos de filtros U filtro es u dispositivo que se erg de permitir el pso de señles uys freueis se euetre detro de su bd de pso y rehr quells uys freueis ig detro de l bd de reho. Se u señl psd trvés del filtro o o, está determid por l fuió del sistem []: jw jw H e ) H e ) φ ω) Pr freueis e l bd de pso, l mgitud o mplitud H e jw ) es reltivmete grde e idelmete ostte. L bd de reho está rterid por l mgitud H e jw ), l ul es reltivmete pequeñ e idelmete es ero. L respuest e mgitud de u filtro ps-bjs idel es ilustrdo e l Figur 3-9 ). Ls freueis e l bd de pso, 0< ω < ω, so filtrds, mietrs que ls freueis más lts e l bd de reho, ω < freuei de orte []. ω, so bloqueds. L freuei ω etre ls dos bds es l Figur 3-9 ) Mgitudes idel y práti de u filtro ps-bjs. b) U espeifiió de mgitud típi de u filtro ps-bjs y u respuest típi Butterworth. 8
Como sbemos, e l práti es imposible de obteer l respuest idel. U problem etrl e el diseño de filtros es obteer u respuest práti que se u proximió l respuest idel. U proximió rel, es l respuest represetd por l líe remrd de l Figur 3-9 ). E l Figur 3-9 b), l bd de pso es l bd de freueis, 0< ω < ω, dode A jω H e ) A. L bd de reho es l bd, ω > ω, dode 0 H e j ω ) A. L bd de freueis, ω < ω < ω, etre l bd de pso y l de reho se le ooe omo bd de trsiió. Geerlmete A u es meor que A /. L freuei de orteω es usulmete ω, l freuei de l bd jω de pso, o ω, l freuei l ul H e ) A / []. 3dB Hy muhos tipos de filtros. Los más populres so el Butterworth, Chebyshev, Chebyshev iverso, y el elíptio. Ls mgitudes típis de respuest de estos filtros so mostrds e l Figur 3.9 b) pr u filtro Butterworth y e l Figur 3.0 pr Chebyshev, Chebyshev iverso, y filtro elíptio. L freuei de orte pr los filtros Butterworth y Chebyshev iverso es ω ω 3dB, y pr los filtros Chebyshev y elíptioω ω []. Los otros tipos omues de filtros so el ps-lts el ul dej psr lts freueis y reh ls bjs), ps bds el ul dej psr u bd de freueis y reh otrs), y reh-bd el ul bloque u bd de freueis y permite el pso de otrs). Ls respuests e mgitud ideles de estos tipos de filtros se muestr e l Figur 3- []. 9
Figur 3-0 ) Respuest de u Chebyshev de sexto orde. b) Respuest de u Chebyshev iverso de sexto orde. ) Respuest de u elíptio de sexto orde. 30
Figur 3- Respuests prátis e ideles ) ps-lts, b) ps-bd, y ) reh-bd. 3. Ejemplo de diseño de u filtro Butterworth utilido l proximió Bilier A otiuió se mostrrá l mer e omo u filtro de este tipo puede ser diseñdo. Este tipo de filtro es de espeil iterés pr el presete trbjo debido que fue utilido pr l implemetió de los filtros digitles del demoduldor de AM, esto o l yud de softwre pr el diseño de filtros digitles []. Ls odiioes del filtro diseñr so ls siguietes: jω 0.8 H e ) 0 ω 0. π 3.6) H e jω ) 0. 0.6π ω π 3
Comprdo ests odiioes o ls odiioes de mgitud que debe stisfer u filtro ps-bjs digitl y que so: jω A H e ) 0 ω ω H e j ω ) A ω ω π Nos dmos uet que: ω 0. π ω 0. 6π A 0.8 A 0. E el proeso del diseño del filtro, se debe obteer ls odiioes lógis de mgitud orrespodietes: A H jω) 0 Ω Ω H jω ) A Ω Ω Los vlores de y Ω depede del método de diseño usdo. Si se us l Ω trsformió bilier etoes ls freueis estrá reliods por: ω Ω t T Pr determir los prámetros del filtro lógio se requiere oietes de freueis lógis tles omo Ω / Ω. Pr l trsformió bilier se obtiee: Ω Ω / T ) t ω / ) / T ) t ω / ) t ω / ) t ω / ) 3
Sustituyedo los vlores teriormete obteidos pr ω y ω e l últim euió vemos que el oiete pr ls freueis lógis es: Ω Ω t ω / ) t ω / ).376 0.349 4.35 Y l fórmul pr obteer el orde que deberá teer este iruito está dd por: N log[/ A ) ]/[/ A ) log Ω / Ω ) ] log/ 0.04 ) // 0.64 ) log 4.35.3 Por lo que el orde del filtro que se requiere es N. Y l freuei de orte lógi será: Ω / T ) t ω / ) / N [/ A ) ] T 0.349 ) / 0.64 / 4 T 0.375) L fuió del filtro lógio puede ser hor obteid tomdo N. Pr gi uitri, tommos B : H s) s + b Ω Ω s + Ω 33
e dode b se π / 4). 44. Cudo es plid l trsformd bilier est fuió, l fuió digitl de trsferei, que se obtiee es: H A + 0 ) + + ) 0.084 + ).08 + 0.365 Ddo que: A 0 Ω T / ) [ Ω T / ) + Ω T / ) b + ] 0.375) [0.375) + 0.375).44) + ] 0.375) 0.5983) 0.084 [ Ω T / ) ][ Ω T / ) + Ω T / ) b + ].08 [ Ω T / ) Ω T / ) b + ][ Ω T / ) + Ω T / ) b + ] 0.365 Ls gráfis tto de fse omo de mgitud so mostrds e l Figur 3-34
Figur 3- ) Respuest e mgitud y b) respuest e fse de ls odiioes de l Euió 3.6 usdo l trsformió bilier. 35