Unidad 11 rivadas
SOLUCIONES 1. La solución n cada caso s:. Las drivadas son: f ( ) f () a) [ f () f () lím f (6 ) f (6) 9 b) f (6) lím lím 5
f (0 ) f (0) c) [ f (0) f (0) lím. En cada caso: a) f() no s drivabl n 0, pus las drivadas latrals son distintas. f (0 ) f (0) 11 b) f (0 ) lím lim 0 f (0 ) f (0 ) f (0) lím lim 11 f (0 ) f (0) sn 0 c) f (0 ) lím lim 1 f ( 0 ) f (0 ) f (0) lím lim 6
. El studio quda: a) Al sr la función continua n (0, ) s cumpl: La función s drivabl n (0, ), por tanto: La solución dl sistma: b 9 ; c 19 b) para qu sa continua la función db cumplirs: La solución dl sistma: a 1; b La función s drivabl n cualquir punto salvo n 0. En st punto las drivadas latrals no coincidn al sr: En la función s drivabl pusto qu 7
5. La solución s: f ( ) Rcta tangnt: y f ( 0) f (0) ( 0) 1 Rcta normal: y f ( 0) ( 0) f (0) 6. La solución quda: La pndint d la rcta y 6 5 val 6; por tanto, la pndint d la rcta tangnt, al sr paralla a la antrior, también val 6. Hmos d ncontrar l punto, f( )) n l cual f ( 0 ) 6. ( 0 0 Los puntos son: (, - 8) y (-, 57). 7. La solución s: rivando obtnmos y yy 5y 0 6 1m 5m 0 m 6 7 Rcta tangnt: 6 7y 78 0 8
8. La rcta scant qu pasa por los puntos (1, 0) y (, ) s y 1. Su pndint val 1, lugo la pndint d la tangnt val 1 al sr rctas parallas f ( 0 ) 1. 9. La solución: La grafica d la curva dada pasa por l punto P (,0) 0 9 a b. 10. Quda: La cuación d la rcta tangnt a la curva f ( ) n a s: Si sta rcta pasa por l punto P(1, 0) s cumpl: 11. La solución n cada caso quda: 9
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1 SOLUCIONES 1. Las drivadas qudan: a) [ b) / 1/ ) ( ) [( c) ln ln ln [ d) 7 6 6 ) ( ) 6 1( ) ( [ ) ( ) 1) ( f) [sn cos g) 6 7 7 [ [ ) ln [ i) ) ( 8 ) [( j) 5 ) 5 ( 5 5 1 k) 1 ) (1 l) [sn [(sn ) sn cos m) 5 ) ( 10 ) [( n) 1 1)[5 ( 1) ( 1) [( ñ) ) ln( [ ) [ln( o) ) ( ) [(
p) q) [ a a ln a a lna [sn cos 1. Las drivadas son: a) b) c) d) ) f) 1
g) ) i) j) k) l) m) 1
n) ñ) o) p) q) r) s) t) u) 15
v) w) 1. Qudan: Aparc un grupo d cuatro funcions drivadas difrnts, dspués s rpitn. 15. En cada caso: a) f( ) ln( 1) 16
b) ( ) 1 ( 1) ( 1) f f ( ) f ( ) ( ) n 1 n ( 1) f f ( )! 1 ( 1) ( 1) n n c) d) g ( ) ; ( ) ln g ; g ( ) (ln) ; g ( ) (ln) ; n n n g ( ) ( 1) (ln ) ) π f) ( ) cos ; ( ) sn cos ; ( ) cos cos( π ) ; π π ( ) sn cos ; iv ( ) cos cos ; nπ n ( ) cos. 17
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SOLUCIONES 16. Las pndints d las rctas tangnts a sta curva vrifican la rlación: Está pndint toma l mnor valor posibl n l vértic d sta función y cuadrática, s dcir n 0. Lugo la mnor pndint d la rcta tangnt sta n (0, ) y val. 17. Las solucions n cada caso son: a) Estudimos su drivabilidad n 0 y para llo buscamos las drivadas latrals. La función f() s drivabl n 0. Lugo s drivabl R. b) allamos f () a través d las drivadas latrals. 19
La función f () no ist n 0 para todos los dmás valors. 18. La solución s: a) prsión analítica d y f (). Es una rcta qu pasa por los puntos (0, 0) (, ), lugo su cuación s y. b) como f ( ) f ( ) a d sr una función poli nómica d º grado, por lo cual la grafica (C) quda dscartada. La grafica (A) corrspond a una función poli nómica d º grado, lugo su función drivada sria ngativa. Por tanto, la solución s la función (B). 19. Los casos qudan: a) para qu la función f() sa continua db cumplirs: 0
b) n l caso a 0 la función s f() 1 1 si 0 si > 0 Y su grafica s: En l caso a la función s f() Y su grafica s: 1 si si > c) n l caso a 0 las drivadas latrals d la función n 0 son: Y, por tanto, la función no s drivabl. En l caso a las drivadas latrals d la función n son: Y la función s drivabl n. En st caso s drivabl n cualquir punto d su dominio. 1
0. Quda: La rcta scant pasara por los puntos P(1, 1), Q(, 1/) y su cuación s: La pndint d sta rcta s pndint 1 1 m lugo las rctas tangnts parallas a sta tndrán por Las rctas tangnts d pndint 1 pasaran por los puntos Y sus cuacions son: 1. Quda: La rcta tangnt a la curva n l punto P(1, 0) tin por pndint: La rcta prpndicular tndrá por pndint (-1), por tanto:
. La solución s: La rcta tangnt n l punto n l cual 1 pasa por l punto (1, -) y su pndint val (- ). Por tanto:. Quda: Las curvas s cortan n los puntos qu obtnmos al rsolvr l sistma: Basta con allar l ángulo qu forman las rctas tangnts a las curvas n P, n Q s igual. Hallamos α1qu s l ángulo qu forma la rcta tangnt a la curva y 1n l punto P con l j d abscisas: Hallamos α qu s l ángulo qu forma la rcta tangnt a la curva y 1 n l punto P con l j d abscisas.
. Quda: Lugo no ist ninguna función poli nómica d trcr grado qu vrifiqu stas condicions, cpto l polinomio nulo. 5. El ára d un cuadrado n función dl lado l s A l. La variación dl ára pud vnir prsada n la forma: