Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre INTCCIÓN D L SOLUCIÓN Y L PTIBILIDD N L INCTIDUMB COMBIND Wolfgag. Schmd Cetro Nacoal de Metrología Tel.: 44 554, e-mal: wschmd@ceam.m esme: Se aalza medate smlacoes mércas y apoyado por argmetos teórcos la fleca de la olcó de strmeto de medcó e la repetbldad de las lectras,,, obtedas co él. partclar, se aalza el proceso de la estmacó de la certdmbre de la meda de medcoes repetdas medate la desvacó estádar epermetal de la meda de estas lectras y la cotrbcó de la olcó a la certdmbre combada de esta medcó.. INTODUCCIÓN La mperfeccó atral de la realzacó de las medcoes hace mposble coocer co certeza absolta el valor verdadero de a magtd. Dos lmtacoes qe e calqer medcó está petes so la dspersó de lectras repetdas y la olcó lmtada del strmeto de medcó []. Metras la olcó, por ser la dfereca más peqeña etre las dcacoes de dspostvo dcador qe pede ser dstgda sgfcatvamete [] es a casa orgara qe lmta el coocmeto eacto del ltado de medcó, la dspersó o repetbldad de las lectras es más be efecto o a mafestacó de otras casas orgaras. Éstas pede ser flctacoes de parámetros de fleca como la temperatra ambetal o pó atmosférca, vbracoes mecácas o rdo electromagétco, para sólo mecoar algas. Srge la pregta s la olcó msma tee a fleca e la repetbldad de las lectras. La pesta es fácl para el caso etremo de a dspersó del mesrado my peqeña, debdo a qe pede ltar qe toda la dspersó ocrre detro del tervalo de olcó y todas las lectras so gales, o sea la dspersó de las lectras lta e cero, a pesar de qe el mesrado e realdad varía lgeramete []. Pero qe pasa s el tervalo de dspersó y de olcó so del msmo orde? este artíclo se aalza la teraccó etre la olcó de strmeto de medcó y la repetbldad de las lectras realzadas co él. Se aplca aálss sem-empírco, efocado e smlacoes co datos aleatoros y apoyado por argmetos teórcos. Cabe mecoar qe estos últmos o pretede ser rgrosos e todos los casos. Co úmeros aleatoros se smla datos del mesrado :. co el valor verdadero, dode es la esperaza y error aleatoro. este aálss se cosdera qe los erro aleatoros sea ormalmete dstrbdos co meda y desvacó estádar : ; ~ N. No se cosdera erro sstemátcos del mesrado qe daría cotrbcoes adcoales a la certdmbre de la medcó. l efecto de la olcó del strmeto se smla medate el redodeo a eteros de los datos geerados, o sea e todos los casos la olcó se cosdera como o. Las posbles cotrbcoes del strmeto al error aleatoro qe o sea debdas a la propa olcó se cosdera ya cldas e, ltado e lectras del strmeto: rd rd, 3 dode la fcó rd sgfca redodear a eteros. la seccó se aalza la fleca de la olcó e la dspersó de lectras dvdales y e la seccó 3 el mpacto de la olcó e la estmacó de la certdmbre de a meda de medcoes repetdas medate la desvacó estádar epermetal de la meda.
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre. INFLUNCI D L SOLUCIÓN N L DISPSIÓN D MDICIONS INDIVIDULS La dscretzacó por el redodeo de acerdo a la ecacó 3 teórcamete se pede cosderar como error aleatoro adcoal, qe a dfereca a o tee s orge e la dspersó propa del mesrado, so qe está geerado por el proceso, más be por el strmeto de medcó. cosececa, el modelo de medcó de la ecacó 3 pede ser escrto como. 4 a ormal ~ N ; rd. La dcacó rd es posble valor redodeado por el strmeto ver fgra a. S al cotraro está cerca del límte de olcó, o sea rd /, el efecto de es, corregr e la dcacó del strmeto por / hacía abao a rd o por / hacía arrba al sgete valor rd qe pede ser dcado por el strmeto ver fgra b. La dstrbcó de tede a a Beroll trasladada por -/: / ~ Be,5 y s desvacó estádar se aproma a s. a rd Fg. : Ilstracó gráfca de la ecacó 4. parece correlacoado a, debdo a qe los dos está relacoados medate la ecacó 4, e la cál los demás parámetros so costates, e el caso de, o sólo pede tomar valo dscretos, e el caso de. S dstrbcó o pede ser epada fáclmete y depede tato de como de, más be de la poscó del valor verdadero de detro del tervalo de olcó cetrado o a etremo. S es cosderablemete mas grade qe el tervalo de la olcó, pectvamete s certdmbre estádar asocada, la dspersó de los datos abarca varos tervalos de la olcó y se spoe qe la dstrbcó de se aproma a a forme ~ U-/; / co meda y varaza s. el otro etremo e dode es mcho más grade qe la dspersó hay qe dstgr dos stacoes. S está más o meos cetrado e el tervalo de olcó, la desvacó estádar de tede a cero y, debdo a qe rd es costate, la dstrbcó de rd se aproma a b -,5 rd rd,5 Fg. : Ilstracó gráfca de la ecacó 4 e el caso de a dspersó peqeña <. stas coclsoes sobre la dstrbcó de e las dferetes stacoes se verfcaro medate smlacoes mércas. hoas de cálclo de cel se geeraro se de datos aleatoros para el error por olcó, qe se obtee combado las ecacoes 3 y 4: rd, 5 dode es costate y los so datos aleatoros geerados a partr de a dstrbcó ormal ~ N ;. l redodeo a eteros se realza e cel co la fcó DOND...;. Las dstrbcoes de los se aalza medate s dstrbcó acmlada empírca F [3]. la
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre fgra 3 se observa qe tato para como para,5 la dstrbcó de es práctcamete forme cado cremeto leal de F etre -,5 y,5, lo cál se matee para > s mostrar e las gráfcas. Para <,89 se observa como la dstrbcó de se aproma a a ormal e el caso de y a a Beroll cado,5 co los datos acmlados cerca de ±, 5. F F a,,8,6,4,, -,5 -,4 -,3 -, -,,,,,3,4,5 b,5,,8,6,4,,,4,89,, N;, -,5 -,4 -,3 -, -,,,,,3,4,5,89 Fg 3: Dstrbcó acmlada empírca F obteda co smlacoes mércas para y,5 para dferetes valo de leyeda. a se mestra adcoalmete F de a dstrbcó ormal N;,... álss co dferetes valo de fos esta seccó se determa la desvacó estádar s de e fcó de y. De forma aalítca, la varaza s se calcla medate: [ ],,3, s, 6 el caso de qe sea mayor qe, debdo a qe y, la esperaza de y e cosececa s [ ] [ ]. 7 8 Medate smlacoes mércas se observó qe << s es mayor qe, metras es cosderablemete grade cado. sí falmete se obtee: s para >. 9 Se observa qe la dscretzacó de los datos cremeta s desvacó estádar e comparacó a la orgal. el legae de metrólogo se dría qe se comba las certdmb estádar por repetbldad y por olcó para obteer la certdmbre estádar combada de las lectras s. el otro etremo de << co cetrado e el tervalo de olcó, la dspersó de los valo de desaparece y s, metras para << co e etremo del tervalo de olcó rd ± / lta: s s. l aálss para las stacoes termedas se realza co smlacoes mércas, geerado se de datos aleatoros k para ~ rd[ N ; ] rd[ N; ] y calclado s desvacó estádar 3
Σε ρι ε Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre k s 3 k para dferetes valo de y, dode es la meda de los k. l ltado se mestra e la fgra 4. Se observa qe para > líea vertcal las desvacoes estádar s se aproma a, dcado por la líea cota, para todos los valo de, s embargo para < los valo dfere de este comportameto y se aproma a cero para cado, salvo e el caso de,5. qe se seleccoaro para valo etre y,5 se obtedría los msmos ltados ssttyedo por calqer úmero etero ±. s / s /,4,3,,, 5, 4, 3,,,, mplacó de la gráfca de abao,,3,4,5,3,5,7,9,,3, 5,,4,6,8,,3,4,5 Fg. 4: Comportameto de las desvacoes estádar s de los datos redodeados ~rd[n; ] e relacó a y la comparacó co el comportameto dado por la ecacó 9... álss varado Co el propósto de aalzar la fleca de la olcó e la repetbldad de los datos de a forma más geeral, s teer qe cosderar la fleca de la poscó de, e el sgete paso se trodce a varacó aleatora precsamete de. La varacó de reflea el problema qe la poscó de detro del tervalo de olcó e medcoes reales o es coocda y pede tomar calqer valor etre / y /. Pesado e eemplo práctco, esto pede descrbr la stacó qe tee sstema de medcó bao cotrol estadístco, o sea co fo, y se está realzado medcoes repetdas sempre de la msma magtd pero a lo meor de dferetes artefactos, ltado e dferetes valo de para cada medcó o sere de medcoes. Para cbrr todas las posbles stacoes pecto a la poscó de e el tervalo de olcó co la msma probabldad, se asga a a dstrbcó forme sobre tervalo de olcó cetrado e cero, lo cál o sgfca a trccó: ; ~ U. 4 Iterpretado la certdmbre de la medcó como la dspersó de los valo obtedos e las medcoes alrededor del valor verdadero del mesrado, la certdmbre por repetbldad de las lectras, evalada por método tpo [4] se obtee medate [ ] s. 5 Co la ecacó 4 lta e eqvaleca a la ecacó 8: [ ]. 6 eqvaleca a la seccó. co, y este últmo por lo meos para peqeño, se obtee:. 7 4
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre ste ltado se verfca medate a smlacó mérca smlar a las de la seccó.., pero ssttyedo la ecacó por ~ rd[ U ; N; ] 8 y calclado s co los datos de la smlacó. l ltado se mestra e la fgra 5. Se observa qe s sge e my bea apromacó, dcado por la líea. Nevamete este ltado mestra qe la dscretzacó de los datos e cosececa de la olcó cremeta s desvacó estádar de acerdo a la ecacó 9. s / 6, 5, 4, 3,,,, promacó ec. 8 Smlacó,3,6,9 Fg. 5: Comportameto de las desvacoes estádar s- de los datos redodeados de acerdo a la ecacó 8 e relacó a y la comparacó co el comportameto dado por la ecacó 9. 3. INTCCIÓN NT L SOLUCIÓN Y L DSVICIÓN STÁND D L MDI esta seccó se aalza el caso más comú de las medcoes: l mesrado se determa medate a sere de medcoes repetdas ; ;, tomado como s meor estmado la meda 9 y estmado s certdmbre por repetbldad co la desvacó estádar epermetal de la meda s. l ídce dca qe esta evalacó se repeta método tpo. eqvaleca a la seccó ateror, de a maera teórca la certdmbre de esta medcó pede ser cosderada como la dspersó de los ltados de medcó alrededor del valor verdadero, pero descoocdo, del mesrado, catfcada por: [ ]. se pede apromar por ver aeo:. Las ecacoes, y repeta t dferetes epoes de la certdmbre. pede ser terpretada como la certdmbre verdadera, epada e la ecacó de maera eacta medate a tegral sobre toda la poblacó de posbles ltados de medcó. La ecacó da a solcó aalítca, aqe e apromacó. dfereca, la ecacó repeta la estmacó de la certdmbre medate la dspersó de los datos de a sola medcó más be sere de medcoes repetdas. Las t epoes de la certdmbre se compara medate smlacoes mércas. hoas de cálclo de cel se geera co datos k aleatoros valo del mesrado, smlado de esta maera medcoes: k k, rd k k, dode:, 3 k ídce de meracó k..., k valor verdadero e la medcó k, por s descoocmeto se cosdera ~ U ;, k 5
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre desvacó estádar costate para las k medcoes error aleatoro del dato de la medcó k, k, k, ~ N ; Para cada medcó se estma la certdmbre de acerdo a la ecacó por repetbldad, k. Para teer valor úco, se promeda los, por el promedo de las varazas: k k, k.4 La certdmbre verdadera se calcla de acerdo a la ecacó por: k k. 5 k,5, 3,,9,9,6,3 - apro aaltco. - -a,6,3 - aaltco apro. - -a,,,3,6,9,,5,8,,3,6,9,,5,8,, 5,8,8,6,6,4, - aaltco apro. - -a,4, - aaltco apro. - -a,,,3,6,9,,5,8,,3,6,9,,5,8, Fg. 6: Comparacó de obtedo por smlacó mérca y e la apromacó aalítca de acerdo a para, 3, 5 y. la ecacó co la fgra 6 se mestra los ltados de y e fcó de. Se observa a bea cocdeca etre y para >, dode es la certdmbre estádar por olcó, 9. Para valo meo de, y es sgfcatvamete más peqeño qe y se aproma a cero para, metras tede a, 9. ste últmo se esperaba, debdo a qe la dspersó de los valo de tede a cero, así qe de acerdo a la ecacó 5 se obtee a partr de la dspersó de los k co a dstrbcó forme etre -,5 y,5. 6
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre També la apromacó de aalítca cocde sólo para >. por la epó prmera staca parece sorpredete qe la certdmbre verdadera peda tomar valo más peqeños qe la certdmbre por olcó, ltado qe las smlacoes mestra cado. Se ota e las gráfcas qe este valor mímo de dsmye cado se cremeta. ste detalle por sí parece razoable, debdo a qe mayor úmero de repetcoes proporcoa formacó más segra, o sea co meor certdmbre. S embargo, qeda la dda por qé pede ser meor a. Spógase qe el valor verdadero desvíe de valor etero rd qe pede dcar el strmeto por la catdad, o sea. esta medcó es. Cado cremeta, la probabldad de qe alga de las lectras repetdas da valor dferete a rd cremeta. S por eemplo es postvo, o sea < <,5, lo más probable es qe a o varas lectras da rd. cosececa el ltado de la medcó se ecotrará etre rd y rd,5 y co esto probablemete más cercao a qe el ltado rd qe o obtee co cero dspersó. sto sgfca qe la certdmbre e este caso de poca dspersó por eemplo es meor qe e el caso de cero rd Cado todas las lectras repetdas da rd y el error de esta medcó es, el cál pede ser formemete dstrbdo e el tervalo de olcó; e cosececa, la certdmbre de dspersó. Cado cremeta más, la certdmbre falmete está domada cada vez más por. Debdo a qe es a práctca frecete agregar a los balaces de certdmbre tato la certdmbre por repetbldad como la certdmbre por olcó, las msmas gráfcas peta adcoalmete estos valo obtedos por, k 6 k Se observa qe es más grade qe e todo el alcace de, o sea sobreestma los valo de certdmbre. sta sobreestmacó es más sgfcatva para valo mayo de. S, se aproma al embargo, para valor de,8,7,6,5,4,3,,,. 5,3,6,9,,5 -smlacó -repetbldad -epes -ISO 453 Fg. 7: La propesta de la ISO-453 líea e el eemplo de 5 medcoes repetdas. s evdete qe ga de las dos opcoes, a cosderar e el balace de certdmb eclsvamete la certdmbre por repetbldad o b combar co da a solcó satsfactora e todo el alcace de. ste problema es cosderado por eemplo e la orma ISO 453 [5], qe propoe cosderar de las dos posbles cotrbcoes o sólo la más grade. sta propesta aplcada al eemplo de 5 repetcoes se mestra e la fgra 7 líea cota. Se observa qe para valo grades de cado se cosdera, ésta da el valor sto de la certdmbre. Para valo peqeños de cado se cosdera, se obtee a sobreestmacó de la certdmbre, s embargo, ésta es decete y la apromacó al valor verdadero de la certdmbre es meor qe e calqera de los opcoes a o b. 4. CONCLUSIONS Se mostró medate smlacoes mércas la fleca de la olcó de strmeto de medcó e la dspersó de los ltados obtedos. Se observa qe, a cosececa del redodeo de los datos orgales por la olcó, la desvacó estádar s de las lectras pede 7
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre tato cremetarse como dsmrse e comparacó a la desvacó estádar de los datos orgales. Para >, s sempre cremeta de tal forma qe la certdmbre por olcó del strmeto se agrega a la certdmbre por repetbldad de los valo orgales del mesrado. cosececa, la práctca frecete de smar e los balaces de certdmb la certdmbre por repetbldad y la certdmbre por olcó lta e a sobreestmacó de la certdmbre combada. Para la stacó es más complcada. el caso partclar de qe el mesrado se estma medate la meda de medcoes repetdas, la certdmbre verdadera dsmye a valo abao de, pero cremeta para. La evamete a certdmbre estmada a partr de la repetbldad de las lectras sge la tedeca de hasta, pero tede a cero para y o repeta a estmacó apropada de la certdmbre para. cosececa es ecesaro cosderar la certdmbre por olcó e el balace de certdmb, lo cál se logra de la maera más apropada, evtado a sobreestmacó cosderable, ssttyedo por cado < e lgar de smar los dos. FNCIS [] I. Lra, W. Wöger, The evalato of stadard certaty the pece of lmted olto of dcatg devce, Meas. Sc. Techol. 8 997, 44-443 [] Iteratoal Vocablary of Basc ad Geeral Terms Metrology, BIOM, IC, IFCC, ISO, IUPC, IUPP, OIML 993 [3] Gde to the pso of Ucertaty Measremets. Spplemet : Nmercal methods for the propagato of dstrbtos draft, BIPM, IC, IFCC, ISO, IUPC, IUPP, OIML, 4 [4] Gde to the pso of Ucertaty Measremets, BIPM, IC, IFCC, ISO, IUPC, IUPP, OIML, 995 [5] Geometrcal prodct specfcatos GPS Ispecto by measremet of workpeces ad measrg eqpmet, Part, ISO/T 453-8
Smposo de Metrología 4 5 al 7 de Octbre 9 NO: Dervacó de la ecacó La ecacó defe la certdmbre de : [ ], dode la meda está dada por: Co esto lta: [ ] [ ] [ ],,, debdo a qe so las esperazas de dstrbcoes del prodcto de dos varables depedetes co eslta falmete: Para >> lta qe y falmete