IES CASTELAR ADAJOZ A Mengiano PRUEA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTARIA JUNIO - 9 (RESUELTOS por Antonio Mengiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máimo: horas y mintos - Debe escogerse na sola de las opciones - Debe eponerse con claridad el planteamiento de la respesta o el método tilizado para s resolción Todas las respestas deben ser razonadas - No se permite el so de calcladoras gráicas ni programables LOQUE º) Jstiica si cada na de las sigientes airmaciones es erdadera o alsa En caso de qe consideres qe la airmación es alsa pon n ejemplo ilstratio Si A y son dos matrices cadradas calesqiera, entonces A A b ) Si es na matriz cadrada, entonces ( ) I I c ) La sma de matrices reglares (inersibles) es na matriz reglar (inersible) En general, es also Sin embargo, eisten matrices qe cmplen la propiedad conmtatia Ejemplo: Las matrices A y cmplen qe A A A A A A 9 5 8 9 5 8 8 En particlar se cmple siempre qe A A - A - A I
b ) Es erdadera ( I ) ( I ) ( I ) I I I I I c ) En general, es also Por ejemplo, la matriz identidad y s opesta son inersibles y s sma, qe es la matriz nla, no es inersible
º) De n sistema de ecaciones lineales con tres incógnitas se sabe qe tiene n parámetro m R tal qe: -- Si se mltiplica por la primera incógnita se obtiene el resltado de restar al número la sma de las otras dos incógnitas -- Si se mltiplica por la segnda incógnita se obtiene el resltado de restar al parámetro m la sma de las otras dos incógnitas -- Si se mltiplica por la tercera incógnita se obtiene el resltado de restar al cadrado de m la sma de las otras dos incógnitas Formla el sistema de ecaciones lineales descrito b ) Determina para qé alores de m el sistema es compatible determinado c ) Determina para qé alores de m el sistema es compatible indeterminado y calcla todas las solciones El sistema reslta: m y z my m z mz m y eqialente a m y z my z m y mz m b ) Para qe el sistema sea compatible determinado es necesario qe la matriz de coeicientes tenga rango tres, o sea, qe s determinante sea distinto de cero La matriz de coeicientes es M m m m M m m m m m m m m m Resoliendo por Rini: - - - - -
Las raíces dierentes son m y m - m Para Rango m M nº incóg Compatible det er min ado c ) Para m la matriz ampliada es, en cyo caso la matriz de coeicientes y la matriz ampliada tienen rango M ' Para m Rango M Rango M ' < nº incóg Compatible (con dos grados de libertad) indet er min ado El sistema se transorma en la ecación y z, cyas solciones son: Solción : λ µ y λ, z µ λ, µ R Para m es M ', cyo rango es por ser: 9 9 Para m Rango M ;; Rango M ' Incompatible
LOQUE º) Considera la nción : R R deinida por ( ) si < si < si Determina si la nción es contina en los pntos - y b ) En el interalo (-, ) estdia si crece o decrece, s cratra y si tiene asíntotas c ) Razona si la nción es deriable en - y dibja s gráica para [, ] La nción () es contina para todo R, ecepto para los alores - y, qe es ddosa s continidad Para qe la nción sea contina para - tiene qe cmplirse qe los ites por la izqierda y por la derecha sean igales, e igales al alor de la nción en ese pnto: Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La nción es contina para - Para qe la nción sea contina para tiene qe cmplirse qe los ites por la izqierda y por la derecha sean igales, e igales al alor de la nción en ese pnto: Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La nción no es contina para
b ) En el interalo (-, ) la nción es ( ) '( ) >, (, ) La nción () es monótona creciente en (-, ) ''( ) >, (, ) La nción es conea (U) en s dominio ( ) La recta (eje Y) es asíntota ertical de la nción c ) Para qe la nción () sea deriable en - es necesario qe sea contina para -, cosa qe hemos comprobado en el apartado Y Para qe la nción sea deriable para tiene qe ser deriable por la izqierda y por la derecha y ser ambas deriadas igales () ' si < ( ) si si < '( ) si - - O X La gráica de () para [, ] La nción () es deriable en - es la qe aparece en el dibjo adjnto
º) Considera la nción g ( ) p q Determina las constantes p y q sabiendo qe, en, g alcanza n alor mínimo: b ) Halla na nción por el pnto A(, ) : R R qe sea na primitia de ( ) y qe s gráica pase c ) Jstiica si en erdadera o alsa la airmación sigiente: Una nción polinómica de segndo grado no tiene pntos de inleión Si la consideras alsa pon n ejemplo ilstratio g' ( ) p g' ( ) p ;; p ;; p p g ( ) q ;; 8 q ;; q q b ) Una primitia de ( ) es F ( ) d C F( ) Teniendo en centa qe ( ) F C ;; C La nción pedida es ( ) ( ) F c ) Es cierto Para qe na nción tenga n pnto de inleión es necesario qe s segnda deriada sea cero y s tercera deriada sea distinta de cero Si la nción polinómica es de segndo grado, la tercera deriada es siempre cero, por lo cal no pede tener pntos de inleión
LOQUE º) Sean y dos ectores tales qe ( ) ( ) 7 Calcla el módlo del ector y 9 b ) Considera los ectores a (,, ) y b (,, m) con m R Hallar el alor de m para qe a y b sean ortogonales Para m calcla el área del paralelogramo qe tiene por lados los ectores a y b ( ) ( ) 7 ;; cos cos α cos ( α ) cos cos α cos α 7 ;; 9 7 ;; 87 ;; 8 b ) Dos ectores son ortogonales (perpendiclares) cando s prodcto escalar es a (,, ) (,, m) b ;; m ;; m m Para m es (,, ) b El área de n paralelogramo es el módlo del prodcto ectorial de los ectores qe lo determinan: i j k S a b k j j k ( ) 5 S
º) Considera los planos π y z, la recta y z r y el pnto A(,, -) Halla na ecación general del plano qe pasa por el pnto A, es perpendiclar a π y además es paralelo a la recta r b ) Se desea constrir n cadrado qe tenga n értice en el pnto A y n lado sobre la recta s Determina la longitd de n lado del cadrado y las coordenadas del értice qe está en la recta r y es consectio al értice A Un ector director de r pede ser calqiera qe sea linealmente dependiente del prodcto ectorial de los ectores normales de los planos qe la determinan, qe son los sigientes: n (,, ) y n (,, ) i j k ' i j r r (,, ) El ector normal de π y z es (,, ) n La ecación general del plano pedido es la sigiente: π ( A; r, n ) ;; ( ) ( z ) ( z ) y ;; y z ( ) ( z ) y ;; z y π y z 5 b ) El haz de planos γ perpendiclares a la recta r tiene por ecación general la sigiente: γ y D De los ininitos planos del haz γ, el qe contiene al pnto A(,, -) es el qe satisace s ecación: γ y D A(,, ) D ;; D β y El pnto intersección de la recta r con el plano β es el értice bscado:
,, ;; ;; ;; y y z y z y r β La longitd del lado del cadrado el la longitd del segmento A : ( ) A nid A