DERIBATUAK KALKULATZEN HASI. ERABILERAK

Transcripción

1 DERIBATUAK KALKULATZEN HASI. ERABILERAK 0. orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Martan dagoen autobusa artu Honako grafiko onetan, lerro gorriak geltokitik abiatu den eta apurka-apurka gero eta abiadura geiago artzen duen autobusaren igidura adierazten du. eta berandu iritsi eta martan doan autobusa artzeko korrika ari diren pertsonak dira. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) bidaztia bizikletan eraman dute autobuseraino. Deskribatu orren igidura, eta kalkulatu zenbateko abiaduran doan. b) Zenbateko abiadura darama guti gorabeera autobusak bidaztiak arrapatzen duenean? Bidazti ori ere astiro igotzen da autobusera? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 0 m más allá. Corrió, por tanto, a m/s. Es decir: 8,6 8,8 km/ b) En el instante s está a 5 m de la parada. En el instante 6 s está a 50 m de la parada. 5 m Velocidad media 7,5 m/s 7 km/ s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

2 Hobe da itarotea ala autobusaren atzetik joatea? eta bidaztiak, autobusa irten den unean, geltokitik 00 m-ra daude. bidaztiak bertan itaron eta autobusa andik igarotzen denean artzea erabaki du. bidaztiak era bitian jokatu du. Era bitian? 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Deskribatu bidaztiaren igidura. b) Azaldu zergatik den bidaztiaren jokabidea autobusera igotzea benetan zaila izango duen -rena baino zentzuzkoagoa. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Errelebo-lasterketa Honako grafiko onek bi atletak errelebo-lasterketa batean nola jokatu duten erakusten digu: a) Zergatik asten dira korrikalariak arrapaladan Ò 00 m-ko errelebo-lasterketetan, laguna eldu baino leen? b) Zer gertatuko litzateke laguna iritsi arte geldi itarongo balute? c) Zentzuzkoa da orien igiduren grafikoak ukitzaileak izatea? Nolakoak dira orien abiadurak lekukoa emateko unean?.º relevista. er relevista a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproimadamente.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

3 UNITATEA 0. orrialdea. Kalkulatu y 8 + funtzioaren B.A.T. onako tarte auetan: [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8] f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7. Kalkulatu y 8 + funtzioaren B.A.T. [, + ] tarte aldakorrean. -ri balio egokiak emanez, egiaztatu aurreko ariketako emaitzak lortzen dituzula. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. 05. orrialdea. Kalkulatu y 5 funtzioaren deribatua eta 5 abzisa-puntuetan. f ( + ) f () f'() 5 ( + ) ( + ) ( ) ( ) f (5 + ) f (5) f'(5) 5 (5 + ) (5 + ) (5 + ) (5 5 ) ( 5 ) unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

4 . Kalkulatu y funtzioaren deribatua, eta 5 abzisa-puntuetan. f ( + ) f () [/( + )] ( ) f'() [/( )] ( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) [/( )] + + ( ) f (5 + ) f (5) [/(5 + )] f'(5) [/( + )] ( + ) +. Kalkulatu y funtzioaren deribatua,, eta abzisa-puntuetan. f ( + ) f ( ) [/( + )] ( /) f'( ) /( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) /( ) f ( + ) f () [/( + )] f'() ( ) ( + ) f ( + ) f () [/( + )] (/) f'() ( )/ ( + ) ( + ) unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

5 UNITATEA. Kalkulatu y funtzioaren deribatua,, 0,,, eta abzisa-puntuetan. f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( 6) f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( ) 8 0 f (0 + ) f (0) ( ) f'(0) 0 f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) + f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + 6) orrialdea. Kalkulatu f () 5 funtzioaren deribatua, eta, deribatu ori abiapuntutzat artuta, egiaztatu aurreko orrialdeko. ariketa ebatzian eta proposatutako. probleman lortutako balio zeatzak lor daitezkeela. f ( + ) f () f'() 5( + ) ( + ) (5 ) 8 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

6 ( + 5) ( + 5) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'(0) 5 f'() f'() f'(5) 5. Kalkulatu f ( ) funtzioaren deribatua. f ( + ) f () f'() ( + ) ( + + ). Kalkulatu f ( ) funtzioaren deribatua, eta egiaztatu bertatik abiatuta eta egiaztatu bertatik abiatuta aurreko orrialdeko. ariketa ebatzian eta proposatutako. probleman kalkulaturiko balio zeatzak lor daitezkeela. f ( + ) f () /( + ) /( ) f'() 8 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8 0 ( ) ( + ) ( ) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'() f'( ) f'(5). Kalkulatu y + funtzioaren deribatua. f ( + ) f () ( + ) f'() + ( + ) ( + ) ( ) ( ) unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

7 UNITATEA 08. orrialdea Kalkulatu onako funtzio auen funtzio deribatua:. f () f'() 6 6. f () + f'() +. f () + 5 f'() f () f () / 8 f '() 5/ 5 5. f () sin cos f'() cos sen 6. f () tg f'() + tg cos 7. f () e f'() e + e e ( + ) 8. f () f'() + ln ( + ln ) 9. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln 0. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( ). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 7

8 . f () ( f'() + 6 5) ( ) + +. f () log f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln orrialdea Aurkitu onako funtzio auen funtzio deribatua:. f () sin ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7). f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / f () sin ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )] 6. f () log log f () 8 f'() ( ln 0 log ) ln 0 7. f () cos ( π) f'() sen 8. f () + f'() + 9. f () e + f'() e + + e + e + ( + ) 8. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

9 UNITATEA sin ( 0. f () + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) 0. orrialdea. Kalkulatu f () + funtzioaren deribatua, eta aurkitu: a) Zuzen ukitzaileen maldak, eta abzisetan. b) Zuzen ukitzaile orien ekuazioak. c) Egon daitezkeen maimo eta minimo erlatiboen abzisak. d) f () gorakorra ala beerakorra da puntuan? f'() 8 a) f'( ), f'() 5, f'() b) y ( + ) ; y 5 ( ) ; y ( ) 8 c) f'() , 8/ d) f'() < 0 8 decreciente. orrialdea MATEMATIKAKO HIZKERA. Kurba batek puntu jakin batean duen zuzen ukitzailearen ekuazioa zein den jakiteko balio duen formula onetan, y f (a) + f'(a) ( a) esan zein den ageri den letra bakoitzaren zeregina. aldagai askea da, baina zer funtziorena? f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se traza la tangente; f(a) es la ordenada de ese punto, y f'(a) es la pendiente de la recta tangente, pues f' es el nombre de la función derivada. Las variables e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un punto cualquiera) de la recta tangente. es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangente a f en el punto de abscisa a.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 9

10 Página. Adierazi funtzio auek: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() , Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90) c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f () ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) orrialdea. Adierazi onako funtzio arrazional auek aurreko orrialdeko urratsei jarraituz: a) y + + b) y + c) y d) y e) y + f ) y + 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

11 UNITATEA ( + ) ( + ) ( a) f'() + + ) ( + ) ( + ) , ( + ) Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( + ) ( + ) ( b) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( c) f'() + ) + ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f'() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

12 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 8 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: Asíntota orizontal: 0 es asíntota vertical y ; y es asíntota orizontal Cuando y < ; y cuando 8 +@, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f'() ( ) + f'()? 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f'() < 0 si < 0; y que f'() > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en 0) y es creciente en (0, +@). Corta al eje en (, 0) y (, 0). Gráfica: y 6. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

13 UNITATEA 0. orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Batez besteko aldakuntza-tasa Kalkulatu funtzio onen batez besteko aldakuntza-tasa onako tarte auetan: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Kalkulatu onako funtzio auen batez besteko aldakuntza-tasa [, ] tartean, eta adierazi funtzio oriek gorakorrak ala beerakorrak diren tarte orretan: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () B.A.T. positiboa bada, funtzioa gorakorra da. f () f () T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] 8 Decrece b) T.V.M. [, ] 8 Decrece 7 c) T.V.M. [, ] 8 Crece 8 d) T.V.M. [, ] 8 Crece. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

14 f (), funtzioa emanda, kalkulatu batez besteko aldakuntza-tasa [, + ] tartean. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Egiaztatu f () + 5 funtzioaren B.A.T. [, + ] tartean + dela. Kalkulatu fun-tzio orren B.A.T. [, ], [;,5] tarteetan, aurreko adierazpen ori erabiliz. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 + 5 Konparatu f () eta g () funtzioen B.A.T. [, ] eta [, ] tarteetan, eta esan bietako zein azten den geiago tarteetako bakoitzean. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). Puntu bateko deribatuaren definizioa 6 Deribatuaren definizioa erabiliz, kalkulatu f' ( ) eta f' (), kontuan artuta f () ( + ) 7 + f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'() unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

15 UNITATEA 7 Kalkulatu onako funtzio auen deribatua puntuan, deribatuaren definizioa erabiliz: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f ( + ) f () a) f'() ( + ) ( + + ) ( + 6) 6 f ( + ) f () b) f'() ( ( + ) + ) 9 ( + ) 9 ( + ) f ( + ) f () /( + ) c) f'() ( + ) f ( + ) f () + + d) f'() 8 0 ( + ) 9 8 Kalkulatu f () ( ) funtzioaren azkundeak zenbat balio duen eta puntuetan, deribatuaren definizioa erabiliz. f ( + ) f () ( + ) f'() ( ) 8 0 f ( + ) f () ( + ) 0 f'() Kalkulatu y 5 + kurbarekiko ukitzailearen malda abzisapuntuan, deribatuaren definizioa erabiliz. f ( + ) f ( ) ( + ) 5( + ) + 5 f'( ) 8 0 ( 9) unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

16 0 Kalkulatu y kurbarekiko ukitzailearen malda abzisa-puntuan, deribatuaren definizioa erabiliz. f ( + ) f () ( + ) ( + ) f'() ( ) Egiaztatu, deribatuaren definizioa erabiliz kasu auetako bakoitzean: a) f () 5 8 f'() 5 b) f () 7 8 f'() c) f () + 8 f'() + d) f () 8 f'() f ( + ) f () 5( + ) a) f'() 5 5 f ( + ) f () b) f'() 7( + ) 7 7( + + ) (7 + ) f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) + f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) 6. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

17 UNITATEA Kalkulatu f', 0 eta abzisa-puntuetan Kalkulatu puntu orietan marrazturiko zuzen ukitzaileen maldak. 6 f f'( ), f'(0), f'() Adierazi, aurreko ariketako grafikoan, zer puntutan den deribatua zero. puntuan, positiboa ala negatiboa da deribatua? Eta puntuan? f'() 0 en (, ) y en (, 7). En la derivada es positiva. En es negativa. Badago deribatua negatiboa duen punturik funtzio onetan? Ordenatu tikienetik andienera f'( ), f'() eta f'(0)-ren balioak. No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() Deribazio-erregelak Kalkulatu onako funtzio auen funtzio deribatua, eta kalkulatu orien balioa adierazitako puntuetan: 5 f () + 6; f'() 6 + 6; f'() 6 f () cos ( + π); 0 f'() sen ( + π); f'(0) 0 7 f () + ; 7 f'() ; f' ( ) 8 f () ; f'() 7 ; f'(0) 7 (7 + ). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 7

18 9 f () sin + cos ; π f'() ( cos sen ) ; f'(π) 0 f () ; ( + ) f'() ( + ) 8 f'() 6( + ) 6 f'( ) ( + ) f () + ; f'() + ; f'(). orrialdea f () ; 8 f'() ; f'(8) ( ) f () sin (π ); f'() sen (π ) + cos (π ) ( ) sen (π ) cos(π ) π f' ( ) f () (5 ) ; f'() 5 (5 ) ; f' ( ) f () ; π f'() 0 ; f'() 5 ( 5) 6 8. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

19 UNITATEA Kalkulatu funtzio auen funtzio deribatua: 6 a) f () e + e b) f () ( ) a) f'() e + e b) f'() 6 ( ) 7 a) f () b) f () + a) f'() (si? 0) b) f'() + 8 a) f () ( + 6) b) f () sin a) f'() b) f'() ( + 6) cos sen 9 a) f () b) f () 7 + e a) f'() ( ) / ; f'() ( ) / ( ) ( ) b) f'() 7 + ln 7 e e ( ) 7 + e (ln 7 ) 0 a) f () + b) f () ln + e a) f'() + b) f'() + e + a) f () b) f () e tg a) f'() ( ) b) f'() e tg + e ( + tg ) e ( tg + + tg ) e ( + tg ) a) f () b) f () cos + e sen ( ) a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) b) f'() cos ( sen ) + e sen cos cos ( sen + e sen ) e ( ) ( + ). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 9

20 a) f () b) f () e a) f () ( ) / 8 f'() ( ) / ( ) / b) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) e + ( ) e ( ) e e 8 ( ) ( ) ( ) 8 e ( ) 8 ( ) e 8 a) f () sin π b) f () log a) f'() 0 b) f () log log ( ) log log ( ) f'() + ln 0 ( ) ln 0 5 a) f () tg b) f () ln a) f'() tg ( + tg ) 6 tg ( + tg ) b) f'() ln 6 a) f () arc sin b) f () arc tg ( + ) / a) f'() ( /) /9 9 b) f'() + ( + ) + ( + ) 7 a) f () arc cos b) f () arc tg a) f'() / (/) / b) f'() + ( /) ( + (/)) ( + ) 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

21 UNITATEA 8 a) f () arc tg b) f () arc cos e a) f'() arc tg ( + ) ( + ) arc tg b) f'() e ( ) e 9 a) f () + b) f () arc tg a) f'() ( + ) ( ) e e ( ) ( + ) + + b) f'() ( + ) ( ) + [( )/( + )] ( + ) + + [( ) /( + ) ] ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + Deribatuak k balio duen puntuak 0 Kalkulatu zer puntutan den deribatua 0 onako funtzio auetan: a) y + b) y a) f'() Punto (, ) b) f'() 0 8,. Puntos (, ) y (, ) Lortu zer puntutan den f'() onako kasu auetan: a) f () + b) f () a) f'() ; 8 ; f() 0 8 P(, 0). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

22 b) f'() ; 8 ( +5) ( +5) 8 ( +5) ; f( ) 8 P(, ) 7; f( 7) 8 Q( 7, ) Kalkulatu zer puntutan den onako funtzio auetako bakoitzaren deribatua : a) y b) y c) y + d) y ln ( ) a) f'() 8 8 ; f() 0 8 P(, 0) b) f'() 8 8 ( +) ( +) 8 ( +) + ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) c) f'() ; f( ) 8 P(, ) d) f'() 8 8 ; f ln 8 P, ln ( ) ( ) Kalkulatu zer puntutan den onako kasu auetako bakoitzaren deribatua 0: a) y b) y + 5 c) y d) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) b) f'() ; f 8 P, c) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f( ) 8 Q(, ) ; f( ) 8 R(, ) d) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ( +) ( +) ( ) ( 5 ). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

23 UNITATEA Zuzen ukitzailea Idatzi y kurbak abzisa-puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa. f'() 5; m f'(), f() 0 La recta es y ( ). 5 Idatzi y kurbak abzisa-puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa. f'() + ; m f'( ), f( ) La recta es y ( + ) Idatzi y + + kurbarekiko ukitzailea den eta malda koa duen zuzenaren ekuazioa. f'() + 8 ; f( ) La recta es y ( + ). 7 Idatzi 0 puntuan y + kurbarekiko ukitzailea den zuzenaren ekuazioa. f'() ; m f'(0), f(0) + La recta es y +. Puntu singularrak 8 Lortu onako funtzio auen puntu singularrak: a) y + 5 b) y + c) y d) y a) f'() ; f 8 P, b) f'() ( ) ) 0; f(0) 8 P(0, ) ; f() 0 8 Q(, 0) ( c) f'() 8 0 d) f'() 8 0 0; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f() 7 8 Q(, 7) ; f() 6 8 P(, 6) ; f( ) 6 8 Q(, 6). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

24 9 Lortu onako funtzio auen puntu singularrak: a) y + b) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) b) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ( +) ( +). orrialdea 50 Egiaztatu onako funtzio auek ez dutela puntu singularrik: a) y + b) y c) y d) y ln a) f'() no tiene solución. b) f'() 8 0 no tiene solución. c) f'() 8 0 no tiene solución. d) f'() 8 0 no tiene solución. Hazkundea eta tikiagotzea 5 Aztertu 5. ariketatik 5.enera lortutako emai-tzak, eta adierazi emandako funtzioetako bakoi-tza gorakorra ala beerakora den adierazitako puntu orretan. 5) Creciente. 6) Ni crece ni decrece. 7) Creciente. 8) Decreciente. 9) Decreciente. 0) Decreciente. ) Creciente. ) Decreciente. ) Creciente. ) Creciente. 5) Decreciente. 5 Lortu onako funtzio auen azkunde- eta tikiagotze-tarteak: + a) y b) y 5 c) y + d) y e) y f) y. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

25 UNITATEA a) f'() 8 Creciente en +@). b) f'() 8 Decreciente en +@) c) f'() 8 Crece en, +@. Decrece ( d) f'() 8 Crece en ). Decrece en (, +@). e) f'() 8 Creciente en +@). f) f'() 8 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). ) ( ) 5 Adierazi onako funtzio auetako bakoitzean -ren zer baliorekin den f' positiboa eta zeinekin den f' negatiboa. Aztertu azkundea eta tikiagotzea. Leenengoa azi egiten da < bada. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si ) «(, +@) f' < 0 si é(, ) 5 f () , funtzioa emanda, lortu orren funtzio deribatua, eta aztertu zeinua. Zein dira f-ren tarte gorakorrak eta beerakorrak? Badu f-k maimo edo minimorik? f'() f' > 0 f' < 0 f' > 0 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). Máimo en. Mínimo en.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

26 Funtzio polinomikoen eta arrazionalen grafikoak 55 Adierazi y f () funtzio bat, onako au jakinda: Jarraitua da. f () +@; f 8 +@ Ukitzaile orizontala du (, ) eta (, 5) puntuetan. Adierazi ukitzaile orizontaleko puntuak maimoak ala minimoak diren. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 56 Funtzio polinomiko bati buruz onako au dakigu: f () +@; f () +@ 8 +@ Horren deribatua 0 da (, ) eta (, ) puntuetan. Ardatzak ebakitzen ditu (0, 0) eta (, 0) puntuetan. Adierazi grafiko batean. 6. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

27 UNITATEA 57 Adierazi y f () funtzio jarraitua, onako au jakinda (, ) eta (, ) puntuetan ukitzaile orizontala da. Adar infinituak onelakoak dira. 58 Egiaztatu y ( ) funtzioa (0, ), (, 0) eta (, ) puntuetatik igarotzen dela. Horren deribatua (, 0) puntuan anulatzen da. Puntu ori maimo bat edo minimo bat izan daiteke. f'() ( ) : f(0) 8 pasa por (0, ) f'() 0 f() 0 8 pasa por (, 0) f() 8 pasa por (, ) El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 59 Egiaztatu y + funtzioak ukitzaile orizontaleko bi puntu dituela, (, ) eta (, ); asintotak 0 eta y dira, eta kurbak asintoten arabera ar-tzen duen posizioa eskuineko irudian ageri dena da. Adierazi. f() + f'() 0 8, Puntos (, ) y (, ) f () +@; 8 0 Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y f unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 7

28 60 Egiaztatu y funtzioak: + Deribatu nulua duela (0, 0) puntuan. y zuzena asintota orizontal bat dela. Kurbak asintotaren arabera duen posizioa au dela: Si y < Si 8 +@, y < Adierazi. ( f' () + ) ( ) ( + ) f'(0) 0; f (0) 0 ( + ) 8 ±@ + 6 Osatu funtzio baten grafikoa, iru puntu singular auek dituela jakinda: ( 5 5,, (0, 0) y (, ) ) Eta orren adar infinituak adierazitako oriek direla. 8. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

29 UNITATEA. orrialdea EBAZTEKO 6 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Automobilak, erosi eta bereala balioa galtzen asten dira: % 0 urtean, guti gorabeera. Grafiko onek automobil baten prezioa erakusten du, erosi zenetik urtera arte. Kalkulatu zenbateko balioa galdu zuen leenengo bi urteetan,. eta 6. urteen artean, eta 8. eta 0. urteen artean. Konstantea da galtzea? Depreciación: [0, ] [, 6] [8, 0] La depreciación no es constante. 6 Idatzi y kurbarekiko ukitzaileak diren eta 6 y zuzenarekiko paraleloak diren zuzenen ekuazioak. Zuzenaren malda y bakanduta dagoenean -k artzen duen koefizientea da. f'() 6 8,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 6 Idatzi y funtzioak abzisa-ardatzekin dituen ebaki-puntuetan dituen zuzen ukitzaileen ekuazioak Puntos de corte con el eje de abscisas: 0 8, Puntos: (, 0) y (, 0) f'(), f'(), f'( ) Las rectas son: En, y + 8 En, y + 8. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 9

30 65 a) Zein da y + 8 zuzenaren deribatua edozein puntutan? b) Zein izan bear da -ren balioa y funtzioaren balioa izateko? c) Zer puntutan da y funtzioarekiko zuzen ukitzailea y + 8 zuzenaren paralelo? a) f'() b) f'() 6 8 c) En el punto (, ). 66 Zer puntutan du y kurbarekiko zuzen ukitzaileak malda 8koa? f'() 8 8, Puntos (, 0) y (, 0). 67 Idatzi y kurbarekiko ukitzaileak diren eta + y 0 zuzenarekiko paraleloak diren zuzenen ekuazioak. f'() ( ) 8 ( ) 8 0, ( ) ( ) En (0, 0), y En (, ), y ( ) Aurkitu y 9 funtzioaren uki-tzaile orizontaleko puntuak. f'() ,. Puntos (, ) y (, 8). 69 y / zuzenaren zer puntutan da zuzen uki-tzailea bigarren koadranteko erdikariaren paraleloa? Badago ukitzaile orizontaleko punturik funtzio orretan? f'() 8,. Puntos (, ) y (, ). 0 no tiene solu- No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues f'() ción. 70 f () zuzen batek abzisa-puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa y + 0 da. Zein da f'()-ren balioa? Eta f ()-rena? Kalkulatu zuzen orren malda,eta kontuan artu deribatuarekin zer erlazio duen. + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

31 UNITATEA 7 Erabili logaritmoaren propietateak, onako fun-tzio auek deribatzeko: a) f () ln + b) f () ln c) f () + ln e d) f () log ( 5) e) f () log (tg ) f ) f () ln a) f() ln ( + ) ln ( ) f'() + b) f() [ln ln ( + )] f'() [ ] [ ] + c) f() ln + ln e ln f'() d) f() log ( 5) log 5 ln 0 f'() [ ] ln 0 ( 5) ln 0 ln ln 0 ( 5) 9 5 e) f() log (tg ) + tg f'() tg ln 0 ( + tg ) tg ln 0 f) f() ln f'() ln + ln + 7 Honako funtzio auetako bakoitzean, aurkitu puntu singularrak, eta, adar infinituen laguntzaz, erabaki maimoak ala minimoak diren. Adierazi: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 +. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

32 a) f'() 6 f'() 0 ï f (0) 0 8 (0, 0) 8 f () 8 (, ) ( ( ) +@ 8 +@ y b) f'() f'() 0 ï ± f () 0 8 (, 0) f ( ) 8 (, ) ( + ( + ) +@ 8 +@ 6 y c) f'() + f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) 8 f ( ) 7 8 (, 7) ( + ) ( + ) +@ 8 +@ 0 y unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

33 UNITATEA d) f'() 8 + ; f'() 0 ï 6 ± 6 6 ± ï f () 8 (, ) f () 0 8 (, 0) ( 9 + ( 9 + 0) +@ 8 +@ y e) f'() ; f'() 0 ï ± f () 6 8 (, 6) f ( ) 6 8 (, 6) ( ) +@ ( 8 +@ y f) f'() + ; f'() 0 ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) ï ( ) 8 f 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( + g) f'() 5 8 8; f'() 0 ï ( + 8 +@ y y + ï 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( ( ) +@ @ unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

34 ) f'() 6; f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 8 (0, ) 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( 8 + ) +@ 8 +@ y ( Adierazi onako funtzio auek, puntu singularrak aurkituta eta orien adar infinituak aztertuta: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + a) f'() + 0 8, Puntos de tangente orizontal: (, 7 ), (, 0) ( + ) +@ 8 +@ ( + y + b) f'() + ( ) 0 8 0,, Puntos de tangente orizontal: y (, ), (0, 0) y (, ) + ( + 8 +@ ( + unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

35 UNITATEA c) f'() ( + 5) + 0 8, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) 8 +@ y d) f'() ( ) 0 8 ( + ) Puntos de tangente orizontal: 8 +@ (, ) y + (, ) 5 ( + 5) e) f'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) Puntos de tangente orizontal: ( 5, 0 ) 8 +@ ( + 5) ( + 5) y ( + 5). unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

36 ( + ) f) f'() + 8 ( + ) 0 8 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: 8 ±@ (, 6), (0, 0) (asíntota oblicua) y orrialdea 7 Egiaztatu onako funtzio auek ez dutela uki-tzaile orizontaleko punturik. Adierazi, euren adar infinituak eta ardatzekin dituzten ebaki-puntuak aztertuta: a) y b) y c) y + d) y + a) f'() 5? 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ), (, 0) ( ) y unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

37 UNITATEA b) f'() +? 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y c) f'() +? 0 El punto de corte es: (0, 0) y d) f'()? 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) 75 Aztertu, eta adierazi onako funtzio auek: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + ( ) i) y + j) y unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 7

38 a) f'() 6 ( 6) Asíntotas verticales:, Y y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 6 X 6 Y b) f'() + ( ) Asíntotas verticales:, y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. X c) f'() + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,58; 0,05), (,58;,97) Y,5 + y ,5 6 0,5 6 X,5 8. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

39 UNITATEA d) f'() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y Y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y X e) f'() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 Y No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 6 X ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 Y 6 y 6 X. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 9

40 g) f'() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, y + Y 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) X ) f'() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) y ( ) 6 Y 6 6 X i) f'() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y Y 6 6 X 6 j) f'() ( ) Asíntotas verticales: Y 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6 X 0. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

41 UNITATEA 76 Aurkitu bigarren mailako funtzio bat, kontuan artuta (0, ) puntutik igarotzen dela, eta zuzen ukitzailearen malda (, ) puntuan 0 dela. Esan f () a + b + c funtzioari, eta kontuan artu f (0), f () eta f' () 0 direla. f () a + b + c f'() a + b f (0) 8 c f () 8 a + b + c f'() a + b La función es f () Aurkitu y parabolaren erpina, kontuan artuta puntu orretan ukitzailea orizontala dela. f'() Punto (, ). 78 Zeaztu A(, ) puntuan y zuzenarekiko ukitzailea den eta B(5, ) puntutik igarotzen den y a + b + c parabola. f () a + b + c f'() a + b f () 8 a + b + c f'() 8 a + b f (5) 8 5a + 5b + c La función es f () Kalkulatu zenbatekoa izan bear duen -ren balioak, y + 5 eta y + 6 kurbekiko ukitzaile orizontalak paraleloak izan daitezen, eta idatzi ukitzaile orien ekuazioak. f() f'() 6 g() g'() + 6 Para f () + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + 8 y 0 7 Para g() + 6 la tangente en es: y 0 ( ) y 0 80 Kalkulatu zenbatekoa izan bear duen a, b eta c-ren balioak, f () + a + b + c funtzioan, f-ren grafikoak ukitzaile orizontala izan dezan eta 0 puntuetan eta (, )-tik igaro dadin. f () + a + b + c f'() + a + b a / b c a b 6 c 7. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

42 f'( ) a + b 0 f'(0) 0 8 b 0 f () 8 + a + b + c La función es f () a 6 b 0 c 6 8 Kalkulatu k-ren balioa, y 5 + k fun-tzioak puntuan duen ukitzailea ordenatuen jatorritik igaro dadin. Pendiente de la recta tangente: f'() 5 8 f'() Punto de tangencia: ; y 5 + k 8 (, + k) Ecuación de la recta tangente: y + k ( ) Para que pase por (0, 0), debe verificarse: 0 + k + 8 k GALDERA TEORIKOAK 8 Kalkulatu f () funtzioaren B.A.T. [, ], [, ] eta [, ] tarteetan. Justifikatu zergatik lortzen duzun beti emaitza bera. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos. La función es una recta de pendiente. 8 Adierazi funtzio bat, eta puntuetan deribatu nulua duena, [, ] tartean deribatu negatiboa eta positiboa -ren gainerako balio guztiekin.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

43 UNITATEA 8 Eman f'() deribatua duen f funtzio baten adibideak. Zenbat daude? Eisten infinitas. f () + k, donde es cualquier número. 85 Hona emen y funtzioaren grafikoa. Zergatik ziurta dezakegu abzisa-ardatza kurba orrekiko ukitzailea dela (0, 0) puntuan? Ecuación de la tangente en (0, 0): f'() 8 f'(0) 0 8 y 0 + 0( 9) 8 y 0 es el eje de abscisas. 86 Y f Zer erlazio dago f eta g-ren artean? Eta f' eta g'-ren artean? g X 0 f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 87 Badago y funtzioan punturen batean ukitzaileren bat (0, 0) eta (, ) puntuetatik igarotzen den zuzenaren paraleloa dena? Horrela bada, aurkitu. f'() Pendiente de la recta 5 Punto (, ) 8 88 Egiaztatu, deribatua erabiliz, y a + b + c parabolaren erpineko abzisa b a dela. f'() a + b 0 8 b a. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

44 89 f'() 0 bada, onako baieztapen auetako zein da zuzena? a) f funtzioak maimo bat du puntuan. b) puntuko zuzen ukitzailea orizontala da. c) Funtzioa (, 0) puntutik igarotzen da. La correcta es la b). 90 Y Hona emen f'-ren, f-ren funtzio deribatuaren grafikoa, f' X a) Badu f-k ukitzaile orizontaleko punturik? b) f gorakorra ala beerakorra da? a) Sí, en, puesto que f'() 0 b) Si < es creciente, pues f' > 0; y si > es decreciente, pues f' > orrialdea SAKONTZEKO 9 Kalkulatu f () funtzioaren deribatua abzisa-puntuan, definizioa erabiliz. f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + + ) ( + + ( ) 8 0 ) Idatzi y ln kurbarekiko ukitzailea den eta y zuzenarekiko paraleloa den zuzenaren ekuazioa. f'() 8 ; f ( ) La recta es y ( ) ln ln ln ln. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

45 UNITATEA 9 Zein dira y sin eta y cos funtzioen puntu singularrak [0, π] tartean? f() sen 8 f'() cos 0 8 π, π π Máimo en (, ) y mínimo en (, ). g() cos 8 g'() sen 0 8 0, π Máimo en (0, ) y mínimo en (π, ). π 9 Badu ukitzaile orizontaleko punturik y tg funtzioak? No, puesto que f'()? 0 para todo. cos 95 Aztertu eta adierazi onako funtzio auek: a) y b) y + c) y d) y ( + ) a) f'() +? 0 Y No ay puntos de tangente orizontal. Puntos de corte con los ejes: (, 0), (, 0) Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 X Asíntota oblicua: y b) f'() ( + ) ( + ) 9( + ) 9( + ) ( + ) ( + ) 0 8 0, ( + ),5 Y Mínimo en (,5;,5). Punto de infleión en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0). X Dominio Á { } Asíntota vertical:. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

46 ( ( c) f'() ) ( + ) ) ( + ) Y Mínimo en (, 5). 8 Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y 6 X ( d) f'() ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( + + ] + ) ( ) ( ) Mínimo en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0), (, 0), (, 0) Dominio Á {, } X Asíntotas verticales:, Y 96 Gai jakin baten q unitate egiteak guztira balio duena (dolarretan) au da: C (q) q + 5q Unitate bakoitzeko batez besteko kostua au da: C (q) M (q). q a) Zenbat unitate egin bear dira unitate bakoi-tzeko batez bestekoa minimoa izateko? b) Kalkulatu C (q) eta M (q) a) atalean kalkulatu duzun q-ren baliorako. a) M(q) q + 5q + 75 q (6q + 5)q (q 6q M' (q) + 5q + 75) + 5q q 5q 75 q q 5 8 q 5 unidades q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q q 6. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

47 UNITATEA 97 f () 60 funtzioak enpresa batek martan asi zenetik lortu dituen + 9 irabaziak adierazten ditu ( f () milaka eurotan, urtetan). a) Adierazi grafikoa. b) Zenbatgarren urtean lortuko du enpresak irabazi maimoa? Zenbatekoa da irabazi ori? c) Galduko du enpresak dirua uneren batean? 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 8 La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0.. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 7

48 5. orrialdea AUTOEBALUAZIOA. Aztertu y f () funtzioaren grafikoa, eta eran-tzun. Y X a) Zein da B.A.T. [0, ] eta [, ] tarteetan? b) Badu ukitzaile orizontaleko punturik? c) -ren zer baliorekin da f'() > 0? d) Badakigu ukitzailea 0 abzisa-puntuan bigarren koadranteko erdikariaren paraleloa dela. Zenbat balio du f'(0)-k. f () f (0) / a) T.V.M. [0, ] 0 f ( ) f ( ) 0 T.V.M. [, ] ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f'() > 0. d) La recta y (bisectriz del.º cuadrante) tiene pendiente igual a. Por tanto, f'(0).. f () emanda, egiaztatu f'( ) 7 dela, deribatuaren definizioa erabiliz. f ( + ) f ( ) f'( ) f( ) ( ) ( ) f ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f ( ) 7 f ( + ) f ( ) Por tanto, f'( ) unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

49 UNITATEA. Kalkulatu onako funtzio auen deribatuak: a) y + b) y e c) y cos π d) y ( ) a) f'() b) f'() e + ( )e e c) f'() π cos π ( sen π) π cos π sen π ( ) ( ) ( ) d) f'() D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Idatzi y ln kurbak abzisa-puntuan duen ukitzailearen ekuazioa. Punto de tangencia:, y ln 0 8 P(, 0) Pendiente de la recta tangente: f'() 8 f'() Ecuación: y 0 + ( ) 8 y 5. Kalkulatu y + ( ) funtzioaren puntu singularrak Badu funtzio orrek maimo edo minimo erlatiborik? f() + ( ) 8 f'() ( ) ( ) ( ) f'() 0 8 ( ) f() + ( ) Punto singular: (, ) Como f'() ( ) es menor que 0 para cualquier valor de?, f es decreciente en todo su dominio y, por tanto, el punto singular no es máimo ni mínimo Zeaztu: y funtzioaren puntu singularrak, kontuan artuta bere asintotak eta kurbak asintotekiko artzen duen posizioa. Adierazi. Y X. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 9

50 f() ( )( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) f'() ( ) ( ) + + ( ) + f'() ( ) f (0) ; f () 6 0 Los puntos singulares son (0, ) y (, 6). El primero es un mínimo y el segundo, un máimo. Y X 7. Adierazi y + 6 funtzioa. y + 6 es una función polinómica, por ello es continua en Á. Ramas infinitas: 8 +@ ( + 6) +@ ( + Puntos singulares: f'() f'() f () (, 0) f ( ) ( ) ( ) (, ) Los puntos singulares son (, 0) y (, ). 50. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak

51 UNITATEA Esta es su gráfica: Y X 8. Aztertu eta adierazi y. f () Dominio de definición: Á {0} Asíntota vertical: 0. Posición Asíntota orizontal: 8@ ; y. Posición 8 0, f () 8 0 +, f () 8 +@, f () < f () < Puntos singulares: ( ) f'() ( ) f'() 0 8 No tiene puntos singulares. Esta es su gráfica: 0. No tiene solución. Y X. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak 5

52 9. Zeaztu f () funtzioaren tarte gorakor eta beerakorrak. f() 8 f'() Buscamos los valores de para los que f'() > 0 8 > 0 f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 Intervalos de crecimiento de f: ) «(, +@) Intervalo de decrecimiento de f: (, ) La función tiene un máimo en y un mínimo en. 5. unitatea. Deribatuak kalkulatzen asi. Erabilerak