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1 Nueva bae para el proceamiento de múica en el dominio de tiempo-frecuencia Autor: Juan Manuel Vuletich L.U.745/92 Directora: Dra. Ana M. C. Ruedin Año 2005 Departamento de Computación Facultad de Ciencia Exacta y Naturale Univeridad de Bueno Aire

2 ABSTRACT...3 RESUMEN...3 INTRODUCCIÓN...3 SEÑAL...3 ANÁLISIS...4 SÍNTESIS...4 ANÁLISIS / RESÍNTESIS...4 ESCALA MUSICAL...4 LOCALIZACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA...5 TESELADO DEL PLANO DE TIEMPO - FRECUENCIA...6 OBJETIVO DEL PRESENTE TRABAJO...6 HERRAMIENTAS UTILIZADAS...7 TÉCNICAS CONVENCIONALES PARA EL DOMINIO DE TIEMPO - FRECUENCIA...8 MANERAS DE REPRESENTAR SEÑALES...8 TRANSFORMADA DE FOURIER Y TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER...8 WIGNER - VILLE DISTRIBUTION...10 TRANSFORMADA DE FOURIER CON VENTANA O TRANSFORMADA DE GABOR...10 TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA Y SU DISCRETIZACIÓN...11 TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA DIÁDICA...11 WAVELETS M-ÁDICAS...13 BASES OPTIMIZADAS PARA CADA SEÑAL...14 MOSAICOS ARBITRARIOS DEL PLANO DE TIEMPO - FRECUENCIA USANDO BASES LOCALES (BERNARDINI / KOVACEVIC)...14 RESUMEN DE TÉCNICAS CONVENCIONALES...15 UNA NUEVA WAVELET DISCRETA PARA MÚSICA...16 MOSAICO DEL PLANO DE TIEMPO - FRECUENCIA...17 Decripción...17 Parámetro del moaico...18 Contrucción del moaico...18 FUNCIONES ELEMENTALES...20 Ajute de lo elemento de la bae al moaico del plano...20 Wavelet...20 Función de Ecala...22 Función de Ecala Epejada...23 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LAS BASES...25 Correlación entre lo elemento...25 Ortogonalización de lo elemento de ditinta banda...26 Ortogonalización de lo elemento de una mima banda...26 Ortogonalización contra deplazamiento a ditancia impare...27 Aproximación del moaico por racionale...28 Ortogonalización contra deplazamiento a ditancia pare...28 CONSTRUCCIÓN Y ORTOGONALIZACIÓN FINAL DE LA BASE...30 RESULTADOS OBTENIDOS...32 CONCLUSIONES...35 TRABAJOS FUTUROS...35 GLOSARIO...35 BIBLIOGRAFÍA

3 Abtract Conventional techniue for ignal analyi and proceing in the time-freuency domain are not well adapted to digital proceing of muic ignal. Thi retrict the feature and uality of application. A novel family of waveletlike bae allow a tiling of the time-freuency plane that i better adapted to the muical cale. Thi will allow performance enhancement in all kind of digital audio application, for example, pitch detector, ound identification, muical intrument and effect proceor. Reumen La técnica convencionale para análii y proceamiento de eñale en el dominio de tiempo - frecuencia no e adaptan bien al proceamiento digital de eñale de audio, en particular de múica. Eto limita la poibilidade y el deempeño de la aplicacione. Una novedoa familia de peudo wavelet permite un moaico del plano de tiempo - frecuencia mejor adaptado a la caracterítica de la ecala muical. Eto permitirá mejorar el deempeño de toda clae de aplicacione de audio, pudiendo aplicare por ejemplo a convertidore de audio a MIDI (pitch detector), identificadore de onido, contrucción de intrumento muicale y, proceadore para etudio de grabación. Introducción En el área del proceamiento de eñale dicreta e detaca el proceamiento de onido muicale, por tener la múica propiedade particulare, ditinta de la de otro tipo de eñale (p. ej. imágene). El proceamiento de múica tiene importante aplicacione práctica, ue van dede la producción muical (herramienta para múico e ingeniero de grabación), hata producto para conumidore (euipo de múica, oftware y aplicacione para ditribución y reproducción de múica en computadora peronale). Dentro del amplio campo del proceamiento de onido y múica, ete trabajo e centra en técnica para tranformar la eñale, expreándola en bae con cierta propiedade deeada. No interea repreentar eñale muicale de forma tal ue cada coeficiente expree el contenido energético de la eñal en un intervalo peueño de tiempo y de frecuencia. Eto permite modificar la eñal, por ejemplo realzando o reduciendo cierto componente (p. ej. nota muicale), en cierto intante. Comencemo definiendo alguno término, y u ignificado (en el contexto de ete trabajo). Señal Ete trabajo trata únicamente obre eñale unidimenionale dicreta ue correponden a egmento de múica digitalizada. Si la eñale a utilizar etán muetreada con frecuencia de muetreo f y no contienen energía en frecuencia uperiore a f 2, entonce el teorema de Nyuit (Nyuit 1928, Shannon 1949) garantiza entonce ue la eñale originale pueden er recontruida perfectamente. Como e verá má adelante, una eñal de duración finita no puede cumplir la hipótei del teorema. Aparece entonce un fenómeno llamado aliaing al recontruir, pero i f e uficientemente alta, el aliaing puede er ignorado. Eto ocurre en el compact dic y en todo lo formato de audio digital: la grabacione tienen duración finita. 3

4 Análii Analizar una eñal conite en aplicar un algoritmo ue extrae información en forma de parámetro, ue reultan útile para decribirla, o conocer algún apecto de ella. Por ejemplo, un vúmetro (ue muetra la intenidad de la eñal a lo largo del tiempo), o un analizador de epectro (ue muetra la evolución del contenido frecuencial a lo largo del tiempo). Síntei Sintetizar una eñal conite en generar una eñal a partir de cierto parámetro. Por ejemplo, un intetizador de múica genera onido en función de parámetro como la nota a tocar, intenidad, timbre, etc. Análii / Reíntei Análii / Reíntei, o Proceamiento en el Dominio Tranformado e aplicar una tranformada invertible, para extraer parámetro, operar obre ello y intetizar una nueva eñal relacionada con la original (pero probablemente no idéntica). Ejemplo de eto on la ecualización, el proceamiento de rango dinámico por banda (como el itema Dolby), la técnica uada por lo ingeniero de grabación para mezclar y hacer lo ajute finale para dico (materización), o la compreión de dato. Trabajar en el epacio tranformado permite elegir una bae de repreentación de la eñal en la ue puedan obtenere el efecto bucado manipulando ólo uno poco coeficiente; facilitándoe aber cuále on lo coeficiente relevante, y cómo modificarlo. Exprear la eñal en un epacio de ete tipo permite alguna de la iguiente aplicacione: Eliminar coeficiente, para eliminar ruido. Multiplicarlo por factore, o curva en el tiempo o en la frecuencia (para realzar o eliminar cierta componente). Modificar coeficiente (ue uizá eran cero) para enriuecer el timbre. Reagruparlo o decomponerlo (para eparar onido y procearlo por eparado). Cuantizar y/o eliminar coeficiente, para ahorrar epacio de almacenamiento (compreión de dato). Ecala muical La ecala muical cromática uada por toda la múica occidental e decendiente de la ecala pitagórica de lo antiguo griego. La contrucción de la ecala e baa en varia caracterítica del itema auditivo humano ue e dan al combinar onido de altura definida. La primera e la forma en ue nuetro oído interpreta la diferencia de altura entre do onido ecuchado uno a continuación del otro. Por ejemplo, la diferencia de altura ue percibimo entre un onido de 100Hz y uno de 200Hz e la mima ue la ue percibimo entre un onido de 400Hz y uno de 800Hz. (Hz e la abreviatura de Hertz, la unidad etándar de frecuencia. Un Hz euivale a un ciclo por egundo.) Eta relación e da entre do onido ue tengan uno el doble de frecuencia ue el otro, y e la llama octava. Por otra parte, i do (o má) onido uenan al uníono, decimo ue forman un acorde. Si la frecuencia de lo onido on próxima, o una e próxima a un múltiplo entero de la otra, aparecen lo llamado batido, aparente fluctuacione en la intenidad del onido percibido, ue e deben a un fenómeno de interferencia entre lo do onido originale. Eto ocurre cuando la diferencia de frecuencia etá entre 1 y 15Hz. Ete efecto lo aprovecha el 4

5 afinador de piano, ue afina cada cuerda baándoe en una recién afinada, bucando hacer deaparecer lo batido cuando uenan junta. Si la frecuencia de lo onido ue forman el acorde on próxima, pero no tanto (u diferencia e mayor a 20Hz), aparece la dionancia. La frecuencia de aparición de lo batido e la diferencia de frecuencia entre lo onido. Cuando eta diferencia e mayor a 20Hz, u frecuencia de aparición e audible, y lo batido e funden generando un nuevo timbre. Entonce ecuchamo una enación de apereza. E fácil entir la dionancia implemente preionando varia tecla vecina de un piano con el puño. Finalmente, cuando la razone entre la frecuencia de lo onido del acorde on fraccione con numerador y denominador peueño, ecuchamo una cononancia. La ocilacione de lo ditinto onido coinciden cada poco ciclo, formando una eñal periódica. Lo onido e funden en uno ólo, y el reultado e agradable al oído. Ejemplo de eto on lo intervalo má uado en la múica: la tercera mayor (5/4), la cuarta perfecta (4/3) y la uinta perfecta (3/2). El primer punto ante expueto no muetra ue la progreión de la frecuencia de la nota no e lineal ino logarítmica. Bucando frecuencia útile para generar cononancia, la ecala de entonación juta mayor tenía 7 nota por octava, contruida como fraccione imple de una nota fundamental (arbitraria) con la iguiente ecuencia: 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2. Eta ecala evolucionó poteriormente hata la ecala cromática temperada actual, difundida por J. S. Bach en el iglo XVII, y ue tiene 12 nota o emitono por octava, con la iguiente razone entre la frecuencia de cada nota y una nota bae arbitraria: 1, ( 12 2 ) 2, ( 12 2 ) 3, ( 12 2 ) 4, ( 12 2 ) 5, ( 12 2 ) 6, ( 12 2 ) 7, ( 12 2 ) 8, ( 12 2 ) 9, ( 12 2 ) 10, ( 12 2 ) 11, 2. Eta aproximacione irracionale de la fraccione imple generan batido, pero la aproximacione on uficientemente buena como para ue el oído medio no lo detecte. La razón para abandonar la entonación juta (fraccione imple) y reemplazarla por aproximacione irracionale fue poder contruir intrumento de afinación fija (por ejemplo de teclado, como el clave o el piano) ue pudieran tocar en ecala baada en cualuiera de la nota in neceidad de introducir nota con frecuencia ditinta para cada ecala. El afinador de piano euilibra lo batido en todo lo pare de nota, y de ea manera contruye la ecala temperada. (Para má detalle, e aconeja conultar [OLS/67], [NUÑ/92], o cualuier buen libro de Teoría Muical o Ingeniería de Sonido.) Localización de eñale en tiempo y en frecuencia La eñale pueden repreentare de divera manera, coniderándola vectore y utilizando ditinta bae de epacio vectoriale. La repreentación temporal uual ua la bae canónica. Otra repreentación fundamental e la frecuencial, obtenida por medio de la tranformada de Fourier, y ue utiliza una bae formada por eno y coeno de ditinta frecuencia. El principio de incertidumbre de Heienberg e un teorema obre cierto pare de operadore matemático. En mecánica cuántica e aplica a la poición y momento de cualuier partícula. En proceamiento de eñale e aplica a la repreentación temporal y frecuencial de cualuier eñal. Ambo on cao particulare de pare de operadore ue cumplen la hipótei del teorema. En mecánica cuántica, ignifica ue no e poible determinar imultáneamente la poición y velocidad (o poición y energía) de una partícula. En proceamiento de eñale, el principio de incertidumbre etablece una cota a la localización en el tiempo y en la frecuencia de cualuier eñal. Eto ignifica ue i e buca concentrar la mayor parte de la energía de la eñal en un intervalo lo má reducido poible de tiempo y en un intervalo lo má reducido poible de frecuencia, una mejora en un dominio implica una pérdida en el otro. Adicionalmente, tener oporte compacto en uno de lo dominio (tiempo o frecuencia) implica tener oporte infinito en el otro. O ea ue no e poible contruir una eñal ue ea ditinta de cero ólo en un intervalo de tiempo, y ue u contenido frecuencial ea ditinto de cero ólo en un intervalo de frecuencia. Eta propiedad e aplica tanto a eñale continua como dicreta. Para má detalle véae [STR/97a], p.67 y p

6 Teelado del plano de tiempo - frecuencia E uual trabajar con el plano de tiempo - frecuencia, ue exprea el tiempo en el eje horizontal y la frecuencia en el vertical. Como e trata con eñale digitalizada, el intervalo de frecuencia a coniderar e acotado. Normalmente e habla del plano de tiempo - frecuencia, aunue en realidad e trabaja con eñale muetrada y con un ubconjunto del plano (una banda horizontal ue abarca la frecuencia entre 0 y f 2 ). Se hace entonce una partición de ete plano en peueña porcione, toda de igual área, llamada teelado, embaldoado o moaico (en inglé tiling ). A cada teelado correponde una (o má) bae o forma de repreentar eñale. Y a cada baldoa correponde un coeficiente en ea repreentación de una eñal. En todo lo cao, para una cierta taa de muetreo, la cantidad de baldoa por unidad de tiempo e la mima. Eto permite mantener contante la cantidad de coeficiente a utilizar para repreentar la eñale, reuiito para la exitencia de bae. Cuando e exprea una eñal en una bae cuyo elemento e adaptan a un moaico del plano, e dice ue e la exprea en el dominio de tiempo - frecuencia. Mucha forma uuale de repreentar la eñale pueden vere como moaico del plano de tiempo - frecuencia. Alguna de éta on la repreentación temporal, la tranformada dicreta de Fourier, la tranformada de Fourier con ventana (o tranformada de Gabor) y la tranformada wavelet dicreta. En mucho cao, el plano ueda dividido en un conjunto de franja horizontale, cada una de una baldoa de ancho, y mucha baldoa de largo. Eta franja e denominan banda de análii. Como ya e dijo, e teóricamente impoible obtener una función con oporte compacto a la vez en el tiempo y en la frecuencia. Eto ignifica ue lo único moaico del plano, para lo cuale e poible obtener bae ue e ajuten exactamente a ello, on auello ue dividan al plano ólo en tiempo (como la repreentación temporal) o ólo en frecuencia (tranformada de Fourier y del coeno). En toda la repreentacione ue pretenden localización temporal y frecuencial, en realidad cada elemento de la bae ocupa mucha (de hecho, infinita) baldoa, y únicamente etán centrado en una baldoa en la cual concentran la mayor parte de u energía. Ademá, al mejorar la concentración de la energía en un dominio e la empeora en el otro. Eto ignifica ue podemo elegir repetar mejor la localización en un dominio, in modificar el moaico, pero afectando la localización en el otro dominio. Objetivo del preente trabajo En general, la técnica má moderna y exitoa para repreentar eñale en el dominio de tiempo - frecuencia utilizan wavelet. Por ejemplo, en Proceamiento de Imágene, la bae wavelet dicreta (diádica) han ido utilizada con gran éxito en análii (detección de borde y objeto, claificación de textura, etc.) y en proceamiento (por ejemplo en compreión, uperando a la DCT, o tranformada dicreta del coeno utilizada por el etándar JPEG). Sin embargo, en eñale muicale, y de onido; la bae contruida con wavelet dicreta no han tenido el mimo éxito. Para análii (donde e etudian caracterítica de la eñal, pero no e intenta recontruirla), la tranformada wavelet continua dicretizada da lo mejore reultado. Sin embargo, para el proceamiento, la wavelet dicreta no han reultado una mejora frente a técnica má antigua. Por ejemplo, la técnica má exitoa de compreión de audio (el formato MP3) utiliza la MDCT, o tranformada dicreta del coeno modificada; y la mayoría de la aplicacione de producción de múica uan variacione de la STFT. Lo intento por utilizar wavelet dicreta en lugar de ella no han rendido fruto. Se cree ue eto ocurre porue el ancho de cada banda de análii no puede ajutare apropiadamente a la caracterítica de la múica (v.g. la nota muicale). El objetivo de ete trabajo e preentar bae peudo wavelet del epacio de eñale muetreada l 2 (Z) ue reultan de utilidad para el tratamiento de onido muicale. Lo coeficiente para repreentar una eñal en eta bae etarán localizado en el tiempo y en la frecuencia. Eto ignifica ue i e recontruye la eñal, modificando previamente el valor de un coeficiente, entonce lo efecto de eta modificación etarán limitado a un intervalo 6

7 temporal corto, y ólo a un rango de frecuencia. Se preenta entonce una tranformada invertible al plano de tiempo - frecuencia, ue e adapta a un moaico del plano dieñado a partir de la ecala muical. Con relación a la retriccione de la wavelet dicreta diádica convencionale, en [TOR/99], pág. 22, Torreani dice: The connection between continuou and dicrete wavelet ytem i not completely undertood.... The multirreolution approach eem to be alo extremely contrained by algebraic argument, which hould be developed further. ( La conexión entre lo itema de wavelet dicreto y continuo no e comprendida totalmente.... El enfoue multirreolución parece ademá etar extremadamente retringido por lo argumento algebraico, ue deben er dearrollado aún má. ). Y en [DAU/92], pág. 16, Daubechie dice: Although the contructive method for orthonormal wavelet bae, called multirreolution analyi, can work only if a 0 i rational, it i an open uetion whether there exit orthonormal wavelet bae (necearily not aociated with a multirreolution analyi), with good time-freuency localization, and with irrational a 0. ( A pear de ue el método contructivo para bae wavelet ortonormale, llamado análii multirreolución, ólo puede funcionar i a 0 (la razón entre el ancho de 2 banda vecina) e racional, e una pregunta abierta i exiten bae wavelet ortonormale (neceariamente no aociada con un análii multirreolución), con buena localización temporal y frecuencial, y con a 0 irracional. ). Reulta aimimo notable ue en la portada de [STR/97a] aparece un pentagrama muical con varia nota, como metáfora de la wavelet diádica. Pero de la 12 nota poible, ólo aparece la nota Do en 5 octava ditinta. O ea, nota cuya frecuencia e 2 i f 0 para algún f 0 con i entero. Eto ólo ya ugiere la neceidad imperioa de generalizar la técnica para poder repreentar también la otra nota de la ecala! Etando de acuerdo con eto autore en la neceidad de nuevo enfoue má generale, ete trabajo no ua el método cláico para contruir wavelet dicreta (el llamado análii multirreolución, o MRA), ino ue e trabaja directamente con bae explícita repreentada como vectore columna en matrice, bucando nueva bae de l 2 (Z), con la caracterítica deeada (buena localización frecuencial, y a 0 = 12 2 ). El coto e un conumo mayor de memoria y proceador en la computadora (por almacenar la matriz completa, y reolver el itema de ecuacione lineale aociado), pero la ventaja e una mayor libertad para bucar la bae deeada. Como reultado e contruyen bae ue no on etrictamente wavelet (o ea ue no on tralacione y dilatacione de una única función báica). El reultado de ete trabajo e una nueva familia de peudo wavelet dicreta ue prometen er má apropiada para aplicacione muicale. Herramienta utilizada Para llevar a cabo ete trabajo, e utilizó el ambiente de programación Sueak Smalltalk ( ). E un ambiente orientado a objeto puro, extenible y de fuente abierto (open ource). Se implementó un conjunto de clae para tratamiento de matrice y bae de R N. También e implementó el oporte neceario para graficar funcione y vectore, y etudiar u propiedade. 7

8 Técnica convencionale para el dominio de tiempo - frecuencia Manera de repreentar eñale Como ya e dijo, la eñale a repreentar on uceione a con 2 a finito, y el epacio al cual pertenecen e denomina l 2 (Z). La diferente forma en ue e pueden repreentar la eñale on la ditinta bae ue el epacio l 2 (Z) admite. De la técnica convencionale para análii y proceamiento de eñale en el dominio de tiempo - frecuencia, auella ue on tranformada invertible correponden a bae de ete epacio, y proporcionan ditinto moaico o embaldoado del plano de tiempo - frecuencia. La primera bae a coniderar e la bae canónica. Lo elemento de eta bae on vectore de dimenión infinita con un único elemento ditinto de cero, ue tiene valor uno. La eñale muicale e exprean normalmente en eta bae, por ejemplo en un dico compacto de audio, o en formato de archivo de audio imple, como el wav y el aiff. La bae canónica puede vere como un poible moaico del plano: k k En eta figura (y la 3 iguiente) el eje X correponde al tiempo y el eje Y a la frecuencia. Conideremo una eñal de N = 128 muetra (reale). Se muetra un intervalo temporal de N muetra, y frecuencia dede cero hata la máxima repreentable (ue e f 2 donde f e la frecuencia de muetreo utilizada). El plano de tiempo - frecuencia e divide en franja verticale. Cada elemento de la bae abarca toda la frecuencia repreentable, y un intervalo temporal mínimo. La reolución temporal e máxima (y e de 1 / f ), la reolución frecuencial e nula. A continuación e decriben alguna de la técnica convencionale, motrando ue la ue reultan útile para el análii no on buena para el proceamiento, y la ue on aplicable al proceamiento preentan otro inconveniente. Se evitará una decripción exceivamente detallada de cada una, por haber ido toda ella decripta en la literatura en forma exhautiva. Tranformada de Fourier y tranformada dicreta de Fourier La tranformada de Fourier (FT) e la técnica de repreentación frecuencial má antigua, y tiene alguno problema importante, pero también tiene virtude ue alguna de la ue aparecieron poteriormente perdieron. 8

9 E una tranformada invertible. Su verión dicreta (DFT) conidera una eñal de duración finita muetreada. Eto implica ue la frecuencia etán dicretizada y ue el intervalo de frecuencia poible e acotado. La DFT genera una nueva repreentación de la eñal ue utiliza la mima cantidad de coeficiente ue la original, y e no redundante. Por lo tanto genera una bae del epacio de la eñale repreentada. Como epara la frecuencia, genera un moaico del plano de tiempo - frecuencia. Etá decripta, por ejemplo, en [ESP/02]. Ahora tenemo N / 2 = 64 franja horizontale, toda de igual ancho, y tan larga como la eñal. Eto ignifica ue tenemo reolución frecuencial máxima (2 f / N) igual en toda la banda, y reolución temporal nula. Repreentamo entonce la eñal con la mitad de lo coeficiente (N / 2), pero on coeficiente complejo, y la cantidad de información e la mima. E bien conocido ue el principal inconveniente de la tranformada de Fourier e la completa falta de localización temporal de la componente obtenida. La reolución frecuencial e la máxima poible, pero al uponere ue la eñal temporal e periódica, e conidera también ue toda la componente etán preente en todo momento. Sobre ete problema, J. Ville (uien propuo el uo de la Wigner Ville Ditribution como una denidad temporal - frecuencial ) dijo (ver [TOR/99], pág. 1):...the repreentation i mathematically correct becaue the phae of the tone cloe to A have managed to uppre it by interference phenomena before it i heard, and to enforce it, again by interference, when it i heard... However thi i a deformation of reality: when the A i not heard, it i imply becaue it ha not been played yet... ( La repreentación e matemáticamente correcta porue la fae de lo tono cercano a A (una nota ue uena en un determinado momento) tienen éxito en uprimirlo mediante fenómeno de interferencia ante de ue e lo ecuche, y reforzarlo, de nuevo por interferencia, cuando e lo ecucha... Si embargo, eto e una deformación de la realidad: Cuando la nota A no e ecucha, e implemente porue todavía no fue tocada....) Eto ignifica ue aparecen componente epúrea ue cancelan parcialmente a otra componente, pero en realidad ni ella ni la componente a cancelar deberían aparecer. Ete tipo de fenómeno entorpece el análii, porue ugiere la exitencia de caracterítica en la eñal ue en realidad no exiten. La aplicación de la DFT preenta en la práctica un inconveniente adicional, conecuencia de uponer ue la eñal e etacionaria (periódica), y ue el egmento tranformado correponde a una cantidad exacta (entera) de período de la mima. Si eta upoición e fala (en la práctica cai iempre lo e), el reultado obtenido e la tranformada de una eñal diferente: una eñal periódica obtenida concatenando una cantidad infinita de 9

10 repeticione del egmento tranformado. Ete problema aparece porue mucha implementacione de la FFT (tranformada rápida de Fourier, un algoritmo ue calcula la DFT) reuieren ue la eñal tenga tamaño 2 n para algún n entero, y lo ue e hace e recortar la eñal (tomando una cantidad no entera de período) o completarla con cero. También ocurre porue mucha aplicacione parten la eñal de entrada en egmento de un tamaño arbitrario (para procear lo egmento), in hacer ninguna conideración de la eñal en particular ue e etá proceando en cada momento. De cualuier manera, con elegir mejor el tamaño del egmento a tranformar no e uficiente: la eñal de entrada normalmente no e periódica. E en eto cao donde una repreentación puramente frecuencial no reulta apropiada. El contenido frecuencial de la eñal va cambiando con el tiempo. E precia una repreentación en tiempo frecuencia. Eto problema, mucha vece ignorado en la práctica, pueden llevar a obtener reultado completamente erróneo. Para má detalle, véae [BRI/88], p.98 a 107. Wigner - Ville ditribution La Wigner - Ville ditribution (WVD) data de 1948 y e hitóricamente e la primera técnica ue buca obtener información obre una eñal, coniguiendo imultáneamente localización temporal y frecuencial. Fue propueta por J. Ville como una denidad temporal frecuencial. Cuando e la aplica a ocilacione pura, proporciona una localización óptima. El buen comportamiento e mantiene también a eñale ue on cierta tranformacione imple de una única ocilación pura (p. ej. chirp lineale). Pero aparecen problema al analizar eñale má compleja, por ejemplo la uma de eñale imple. En éto cao el reultado no e la uma de la WVD de auella, ino ue aparecen término de interferencia. En definitiva, la WVD no e lineal. En [TOR/99] hay una decripción má detallada, y e muetran ejemplo donde la alinealidad ueda en evidencia. Exiten verione continua y dicretizacione (necearia para trabajar en una computadora) ue irven para el análii (con diferente particularidade en cada cao), pero no permiten la recontrucción de la eñal. En [NEW/97] e hace una comparación entre la WVD dicretizada, la STFT y la CWT dicretizada aplicándola al análii; concluyéndoe en la ventaja de la CWT obre lo otro método. Tranformada de Fourier con ventana o tranformada de Gabor La tranformada continua de Gabor o tranformada de Fourier con ventana (STFT), y u verión dicreta, on técnica para dotar de localización temporal a la tranformada de Fourier. Etán decrita en [TOR/99], [DAU/92] y [ESP/02]. La tranformada continua e una tranformada invertible entre L 2 (R) y L 2 (R 2 ). En la práctica e uan iempre verione dicretizada. Se ua una única ventana temporal para el análii en toda la banda. Eto ignifica ue la reolución temporal y la reolución frecuencial on contante, y no pueden ajutare para crear banda de ditinto ancho. El reultado de eto e un moaico del plano de tiempo - frecuencia con toda la baldoa rectangulare e idéntica, formando una epecie de cuadriculado. La STFT e una repreentación redundante, pero exiten repreentacione ue comparten mucha de u propiedade, y ue on bae. Una de la má uada e la MDCT o tranformada del coeno modificada, utilizada por el método de compreión de audio MP3. Eta repreentacione preentan otro inconveniente. Dentro de una ventana e dan problema imilare a lo de la DFT, porue e conidera ue (dentro de la ventana) la eñal e etacionaria (periódica). Eto ignifica ue i aparecen componente cuya frecuencia no e múltiplo del tamaño de la ventana, aparecen componente epúrea en el reultado. Ete problema e da mucha vece al uar la DFT y ya fue comentado. La ditinta alternativa para la ventana intentan paliar ete problema (con cierto éxito). También aparecen problema i en la búueda de una reolución frecuencial buena, apropiada para identificar frecuencia baja (onido grave), e toman ventana temporale grande. Al utilizare la mima ventana para la frecuencia alta, e poible ue onido muy corto no lleguen a identificare apropiadamente, agravándoe lo problema ue comparte con la tranformada de Fourier. 10

11 En [NEW/97] e hace una comparación entre la WVD dicretizada, la STFT y la CWT dicretizada aplicándola al análii; concluyéndoe en la ventaja de la CWT obre lo otro método. Tranformada wavelet continua y u dicretización La tranformada wavelet continua (CWT) fue propueta por Groman y Morlet como alternativa al a tranformada continua de Gabor, y etá decrita en [TOR/99]. E una tranformada continua al dominio de tiempo - frecuencia. Se toma una única función, llamada wavelet, ue contiene la mayor parte de u energía localizada en un intervalo temporal y en un intervalo frecuencial. La primera elección e la llamada wavelet Morlet, una gauiana modulada, por u óptima localización en el tiempo y en la frecuencia. En [DAU/92], p.76 hay una decripción, en el contexto de la dicretizacione redundante llamada frame (ue no forman bae) de la tranformada continua. Eta wavelet e traladada en el tiempo y imultáneamente dilatada (o ea traladada en la frecuencia). Cada ecala o dilatación modifica la frecuencia en la ue etá centrado el epectro, y entonce cada dilatación etá aociada a una frecuencia central. La tranformada mide para cada intante y cada frecuencia (y u dilatación correpondiente) la correlación entre la eñal original y la wavelet traladada y dilatada. En la implementacione para computadora, e dicretiza tiempo y ecala. Cuán fino debe er el muetreo en cada eje depende de la aplicación, pero también debe ajutare cuidadoamente a la caracterítica de localización temporal y frecuencial de la wavelet eleccionada. Se contruye aí un mapa de la ditribución de la energía de la eñal en el tiempo y en la frecuencia, con muy buena reolución, acercándoe al principio de incertidumbre de Heienberg. En [NEW/97] e decriben cierta wavelet dearrollada para el análii uando la CWT, llamada Wavelet Armónica (Harmonic Wavelet). Eligiendo adecuadamente la wavelet, e poible ajutar la repreentación a la ecala muical. De cualuier manera, eta técnica on útile para el análii pero no para el proceamiento, porue la dicretizacione entregan repreentacione muy redundante de la eñal. Si bien eto no impide la recontrucción, dificulta el proceamiento en el dominio de tiempo frecuencia, porue al haber redundancia, ditinto conjunto de coeficiente generarán la mima eñal, y no reultará fácil determinar ué manipulación de lo coeficiente e la ue hay ue hacer para obtener un reultado en particular. Por ejemplo, un muetreo exceivamente fino del plano de tiempo frecuencia ugiere ue ería poible recontruir una eñal afectando un intervalo temporal y frecuencial extremadamente peueño, menor ue el límite impueto por el principio de incertidumbre. E claro ue lo reultado decepcionarán al uuario: la magia no exite. Eta técnica etá decripta en [ESP/02] y [NEW/97]. En [NEW/97] e hace una comparación entre la WV dicretizada, la STFT y la CWT dicretizada aplicándola al análii; concluyéndoe en la ventaja de la CWT obre lo otro método. En [OLM/99] e detalla una aplicación al análii de múica y reconocimiento automático de melodía. En ete trabajo e introduce una familia de wavelet continua epecialmente adaptada al análii de múica llamada wavelet Log-Morlet. Tranformada wavelet dicreta diádica La tranformada wavelet dicreta uuale (DWT diádica, o DDWT) no on una dicretización de la CWT. Se utilizan do funcione fundamentale continua: la función de ecala Φ 0 y la wavelet Ψ 0. Como primer pao, e toma una cierta función de ecala Φ 0. La propiedad principal de eta función e ue deplazándola por múltiplo entero de cierto t forman una bae ortogonal de cierto ubepacio de L 2 (R). En particular, pueden repreentare funcione contante, lineale, y en alguno cao cuadrática y polinómica de grado mayore. Llamemo a ete epacio V 0. Conideremo ahora la función Φ 1, ue e Φ 0 dilatada por un factor 2: Φ 1 (x)= Φ 0 (x/2). Lo deplazamiento de Φ 1 forman una bae de un epacio llamado V -1. Ahora entra en ecena Ψ 1. Φ 1 I Ψ 1, y u deplazamiento por múltiplo entero de 2 t forman una bae de un epacio llamado V -1. Por la forma en ue e contruyen Φ 1 y Ψ 1 (para er utilizada junta) reulta ue V 0 = W -1 V

12 Eto puede repetire, obteniendo Φ 2 y Ψ 2 tale ue V -1 = W -2 V -2. O ea, V 0 = W -1 (V -2 W -2 ). Repitiendo eto k vece, tenemo V 0 = W -1 (... (V -k W -k )). El cálculo de la tranformada conite en partir de una ecuencia de coeficiente ue correponden a la función contínua original, pero expreada en la bae formada por deplazamiento de Φ 0. Entonce, por convolución con do filtro (aociado a Φ 0 y Ψ 0 ) y ubmuetreo, e exprea la eñal en la bae formada por Φ 1 y Ψ 1. Eto e repite para lo coeficiente de Φ 1, para exprear la eñal en la bae formada por Ψ 1, Ψ 2 y Φ 2. Eto e repite k vece, y la eñal ueda expreada en la bae formada por Ψ 1,... Ψ k y Φ k. La antitranformada e revertir todo lo pao uando do filtro apropiado, y obremuetreo intercalando cero. Para aplicar eta tranformada a eñale dicreta en vez de funcione continua, la ecuencia de coeficiente inicial e directamente la eñal a tranformar. Eto debe tenere en cuenta el elegir la wavelet a utilizar. Eta técnica evitan el coto de almacenar la bae de lo ditinto epacio; y on muy eficiente en el cálculo: i la cantidad de banda k e contante, tenemo O(n) con n el tamaño de la eñal. Si la propiedade de localización temporal y frecuencial de Φ 0 y Ψ0 on apropiada, el reultado e un moaico del plano como el ue e muetra en la figura, donde la banda de frecuencia má alta tienen mejor reolución temporal y auella correpondiente a la frecuencia má baja tienen mejor reolución frecuencial. Lo elemento de la bae y lo coeficiente on reale. Para repreentar una eñal de N muetra temporale e uan N coeficiente. Como ya dijimo, la repreentacione on no redundante y generan bae. Son entonce tranformada invertible. La localización temporal y frecuencial depende de la wavelet utilizada, pero en ningún cao erá mejor ue una octava. Eto ignifica ue cada banda abarca al meno 12 nota de la ecala. En eta figura e muetra el moaico correpondiente a una bae contruida con 6 banda o dilatacione de la wavelet, y la función de ecala. Tenemo de nuevo 64 baldoa de igual área. La reolución frecuencial e de una octava: cada banda l de frecuencia va dede cierta f inf ( l) hata f up ( l) = 2 finf ( l) y abarca un ancho ( bandwidth ) bw ( l) = finf ( l), la reolución temporal (y la longitud de cada baldoa) e long ( l) = 1 2bw( l), y 12

13 mantiene la cantidad de baldoa y la área iguale a la de la bae canónica. La reolución temporal mejora para frecuencia alta, y empeora para frecuencia baja. Eto reulta deeable para procear onido, pero el inconveniente e ue nuetro oído tiene una reolución frecuencial mucho mejor ue una octava (y una reolución temporal má pobre, porue nuetro oído también debe repetar el principio de incertidumbre de Heienberg). Adicionalmente debe tenere en cuenta ue cambiar la elección de la wavelet afecta la localización temporal y frecuencial de lo elemento, modificando la forma en ue e ajutan al moaico del plano; pero el moaico e iempre el mimo. Eto ocurre incluo con la wavelet dicreta de Daubechie, ue tienen oporte frecuencial muy amplio, y oporte temporal compacto pero iempre mayor ue una baldoa. En aplicacione en la ue interea epecialmente el teelado del plano e importante utilizar wavelet ue e ajuten a cada baldoa lo mejor poible. Eta técnica etá decripta en detalle en [DAU/92], [STR/97a], [STR/97b], [TOR/99] y [ESP/02]. Wavelet M-ádica La Wavelet M-ádica on una generalización de la DWT diádica, y permiten mayor flexibilidad en el balance entre reolución temporal y frecuencial. Generan moaico del plano. La wavelet M-ádica bucan incrementar la reolución frecuencial a cota de la reolución temporal. Eto e deeable, pero la manera en ue lo hacen e en cada iteración del algoritmo dividir el epectro diponible en m banda de igual ancho. Luego, e repite el procedimiento obre la banda inferior recién generada. Eto e repite uceivamente tanta vece como e deee (y permita la longitud de la eñal). La tralacione y ubmuetreo aplicado on iempre entero. Por eta razón no e poible obtener el balance entre reolución temporal y frecuencial neceario, por ejemplo, para analizar lo tono de una eñal muical. El ejemplo muetra el moaico correpondiente a m = 4, iterando el algoritmo 3 vece. Tenemo otra vez 64 baldoa de igual área ue en la canónica. Tenemo banda vecina de igual ancho, y también vemo banda vecina donde una tiene el un ancho m vece mayor ue la otra. Nuetro oído no funciona de eta manera. Al igual ue en la DWT diádica, la elección de la wavelet afecta la localización temporal y frecuencial de lo elemento de la bae, y u ajute al moaico, in modificar el moaico en í. 13

14 Bae optimizada para cada eñal Exiten divero trabajo publicado e invetigación en curo obre el problema de elegir una bae epecialmente adaptada a la eñal a repreentar. El objetivo bucado e elegir una bae ue permita minimizar la cantidad de coeficiente neceario para repreentar cierta eñal. La bae e arma eligiendo elemento de un diccionario de elemento. Entre la técnica de ete tipo podemo citar Matching Puruit (S. Mallat y Z. Zhang), Bet Bai (R. Coifman y V. Wickerhauer) y Bai Puruit (D. Donoho). Etán decripta omeramente en [STR/97a], pág. 85. Eta técnica generan bae. Son entonce tranformada invertible. Su principale aplicacione incluyen el análii de eñale, y la compreión; pero no el proceamiento en general. La razón de eto e ue la bae de ete tipo carecen de ecuanimidad y favorecen la recontrucción de cierta eñale (la ue e ajutan mejor a la bae). Entonce e condiciona el tipo de operacione ue reulta má fácil aplicar. Por ejemplo, de uare para contruir un ecualizador (ue permite ajutar el nivel del onido en banda de frecuencia), tendríamo un ecualizador cuya banda cambian egún la eñal y entonce permiten ditinto tipo de ecualización para ditinto tipo de eñale. Moaico arbitrario del plano de tiempo - frecuencia uando bae locale (Bernardini / Kovacevic) En el artículo con ete nombre ( Arbitrary Tiling of the Time-Freuency plane uing local bae ), ([BER/99]) Bernardini y Kovacevic dearrollan una intereante técnica para obtener bae ortogonale ue aproximan cualuier moaico del plano de tiempo - frecuencia. El reultado e realmente novedoo y prometedor. El problema atacado e imilar al de ete trabajo, pero e aún má general. En vez de retringire a moaico del plano donde cada banda tenga un ancho de banda relativo contante, como la ecala muical; permiten prácticamente cualuier moaico del plano. La manera de epecificar el moaico deeado e la iguiente: i tenemo una eñal de N muetra, abemo ue podemo repreentarla en una reolución máxima de N intante (repreentación temporal) o una reolución máxima de N/2 frecuencia (utilizando coeficiente complejo en el dominio de Fourier, abiendo ue la eñale on reale). Dividamo el plano (acotado en tiempo y frecuencia a la eñal y al muetreo) en N/2 franja horizontale y N franja verticale. Tenemo una grilla con N 2 /2 elemento, y abemo ue e impoible tener una repreentación con tanta reolución. Sabemo ue cualuier área rectangular formada por N/2 elemento de la grilla e ajutará al principio de incertidumbre (permitiendo utilizar bae y coeficiente reale). Eto e jutamente lo ue eta técnica no permite hacer. Podemo epecificar cualuier conjunto de N baldoa, cada una formada por N/2 elemento de la grilla, tale ue formen una partición del plano (ue no haya uperpoicione ni hueco), y la forma de cada baldoa reulte rectangular. Vemo entonce ue el ancho (intervalo temporal) de cada baldoa e múltiplo del intervalo de muetreo 1 / f, y ue la altura (intervalo frecuencial) de cada uno e múltiplo de 1/t, donde t e la longitud de la eñal en egundo. Con la técnica propueta e genera automáticamente una bae ortogonal ue repeta el moaico pedido en forma aproximada. El enfoue e completamente ditinto al de ete trabajo, in embargo, e válido comparar lo reultado obtenido. Véae lo gráfico de repueta en frecuencia de la página 23 de [BER/99], y compáree con lo incluido má adelante en ete trabajo. Poteriormente e incluye también un comentario obre la comparación. 14

15 Reumen de Técnica Convencionale El iguiente cuadro preenta en forma reumida la caracterítica má relevante de la técnica decripta. Proporciona bae Tranformación lineal Reponde bien a manipulación de coeficiente (*) Proporciona localización temporal Proporciona localización frecuencial Tranformada de Fourier y tranformada del coeno i i no (1) no i Wigner - Ville Ditribution no no (2) - i i Tranformada de Fourier con ventana y tranformada del coeno modificada i i i mala (3) mala (4) Tranformada wavelet continua no i - i (5) i (5) Tranformada wavelet dicreta diádica i i i (5) regular (6) regular (6) Tranformada wavelet M-ádica i i i (5) regular regular Bae ortonormale optimizada para cada eñal Moaico arbitrario del plano de tiempo - frecuencia uando bae locale i no (7) no (8) regular (9) regular (9) i i i buena regular(10) (*) Reponde bien a manipulación de coeficiente ignifica i e poible afectar la amplitud de la eñal en una baldoa modificando únicamente el coeficiente correpondiente a ella, afectando razonablemente poco a la otra baldoa, y dependiendo razonablemente poco de lo otro coeficiente. (1) No, por falta de localización temporal y por fenómeno de interferencia ue aparecen para compenarla. (2) No, aparecen Término de Interferencia (3) Mala, una única reolución temporal a toda la banda de análii (4) Mala, una única reolución frecuencial aboluta a toda la banda de análii (5) Si, i la wavelet e etá bien localizada en el tiempo y en la frecuencia (6) Regular, balance entre reolución temporal y frecuencial no ajutable (7) No, porue al umar do eñale e obtiene una eñal ue debe ecribire en una bae ue no e la bae de ninguna de la eñale iniciale. (8) No, porue al reducire la cantidad de coeficiente utilizada, e hace ue cada coeficiente repreente a má de una baldoa. Adicionalmente, al no haber una bae canónica, no e poible etablecer una emántica para lo coeficiente ue ea independiente de la eñal; y eto dificulta elegir el criterio para u manipulación. (9) Regular, limitado al diccionario utilizado (uualmente diádico) (10) Regular. Véane lo reultado obtenido por lo autore en [BER/99]. 15

16 Una nueva wavelet dicreta para múica Ante de ete trabajo, no e conocían bae con la caracterítica deeada. Por lo tanto, de exitir, era neceario encontrarla. La etrategia elegida no involucra encaje de ubepacio de aproximación, como e hace en wavelet diádica y M-ádica. Se upone una longitud de eñal N, y e contruye un moaico del plano de tiempo frecuencia de N baldoa. A continuación e contruye una bae de R N, ajutando u elemento a ete moaico. Lo elemento de eta bae on vectore de dimenión N, y e lo contruye a partir de una dicretización de la wavelet Morlet. La wavelet Morlet e una de la má utilizada en la CWT, por u óptimo balance entre localización temporal y frecuencial. (Ver [DAU/92], p.76. y [STR/97a], p.67.). La wavelet Morlet e una función compleja (R->C). Como ete trabajo trata únicamente obre eñale reale, e eligió como primera candidata a una verión real: ( b. π. t ) Ψ ( t) = b. π. e.co(2π. f. t). 2 El parámetro b controla el ancho de la gauiana, y wavelet etá centrada en tiempo t = 0. f e la frecuencia donde etá centrado el epectro. La Poteriormente e elimina la correlación entre lo elemento de la bae para hacerla ortogonal. Eto e hace en varia etapa, para mantener la buena propiedade de localización temporal y frecuencial de la wavelet. A continuación e decriben omeramente lo contenido de lo título ue componen eta ección del trabajo. Moaico del plano de tiempo frecuencia Auí e decriben la caracterítica del moaico contruido para reflejar la caracterítica de la ecala muical. También e detallan lo parámetro ue determinan un moaico en particular, y cómo e la contrucción del moaico a partir de eto parámetro. Funcione elementale En una tranformada wavelet, todo lo elemento de utilizado para repreentar eñale e contruyen mediante dilatación y tralación de do funcione elementale, llamada wavelet y función de ecala. En la bae propueta en ete trabajo, exiten tre funcione elementale. En ete punto e la decribe. Propiedade algebraica de la bae Se deea ue la bae contruida ean ortogonale, o ea ue la correlación entre cualuier par de elemento ea cero. Coneguir eto manteniendo la otra propiedade de la bae e un deafío. En eta ección e decribe la correlación entre ditinto pare de elemtno, y cómo e la ataca en cada cao. Contrucción y ortogonalización final de la bae En ete punto e decriben lo pao finale en la contrucción de una bae en particular. 16

17 Moaico del plano de tiempo - frecuencia Decripción Como ya fue expueto en la Introducción, el objetivo de ete trabajo e encontrar bae wavelet (o al meno peudo wavelet) cuyo moaico del plano de tiempo - frecuencia e ajute a la ecala muical. En ete moaico cada banda correponde a un emitono de la ecala muical, u ancho de banda ( bandwidth ) e 12 f l) 2 = f ( l) = f ( l 1, u ancho de banda relativo bw l) = f ( l) f ( l), y como ) ( up inf inf ( up inf + 12 bw r = bw( l) finf ( l) = 2-1. El ancho de banda relativo e el mimo en toda la banda (lo ingeniero uelen hablar de factor Q contante ), porue la ecala muical etá adaptada a nuetro oído, ue tiene una repueta logarítmica a la frecuencia. (Ver Introducción.) (Nota: Toda la frecuencia e exprean tomando como unidad a la frecuencia de muetreo f, y todo lo tiempo e exprean tomando como unidad al intervalo de muetreo 1 f. De eta manera, no e neceario conocer el valor de f para operar, ni utilizar unidade explícitamente.) Para cada banda l (determinada por u frecuencia central f c (l) ), determinemo la longitud temporal long(l) de u baldoa. En la repreentación temporal inicial, el ancho frecuencial de la baldoa e ½, y la longitud temporal e 1. El área de cada baldoa e ½. En el moaico a contruir, la cantidad de baldoa por unidad de tiempo debe er la mima, y entonce el área de la baldoa también erá de ½. Entonce, bw( l) long( l) = ½, y bw (l) = 1 1 =. 2 bw( l) 2 bw r f inf ( l) En proceamiento de audio normalmente no e de interé trabajar con la frecuencia ue reultan demaiado baja para reultar audible por í mima, y e la uele filtrar (eliminar). Debido a eto (y a emejanza de la DWT), en la bae preentada en ete trabajo exite un punto arbitrario por debajo del cual e deja de analizar, y toda la frecuencia inferiore e incluyen en una banda epecial cuya única función e completar el moaico, a la ue e aocia una función dicretizada epecial, imilar a una función de ecala. Como el moaico debe ajutare a la ecala muical, e neceario ue cada banda eté centrada obre la frecuencia verdadera de la nota ue le correponde. La afinación de lo intrumento muicale e uele hacer fijando la nota La de la octava central en 440Hz, y contruyendo toda la ecala a partir de allí. Pero i utilizamo el moaico decrito anteriormente, nuetra banda de menor dilatación (y mayor frecuencia) capturará la frecuencia 1 entre y 1 2. Si la taa de muetro f 12 e de Hz (como en el compact dic de audio), la frecuencia 2 2 uperior de la banda má alta e de Hz. Al contruir la banda, dividiendo eta frecuencia por bwr repetida vece, la banda ue reulta contener a 440Hz va dede aprox. 434Hz hata aprox. 460Hz, uedando centrada aproximadamente en 447Hz. Eto ignifica ue nuetro moaico no e ajuta a la verdadera frecuencia de la nota utilizada, y podría decire ue etá deafinado. Para corregir eto e agrega una banda uperior epecial, ue captura toda la frecuencia uperiore a la máxima banda de análii ue no interea. E de alguna manera análoga y complementaria de la función de ecala; porue ólo e incluida para completar el moaico y la bae, y e contruida epecialmente para éta función. De la mima manera ue la función de ecala abarca hata la frecuencia cero, éta otra debe abarcar hata la frecuencia máxima repreentable f 2. 17

18 Parámetro del moaico N: Longitud de la eñal a repreentar (cantidad de muetra) f 0 : Frecuencia mínima de análii. Debe er mayor ue cero y menor ue 1/2. L: Cantidad de banda de análii - 1. Debe er tal ue f ( L) ½. (Ver má abajo cómo e calcula f ( L).) up up bw r : Ancho de banda relativo de toda la banda de análii. Su valor e fijo, 12 = 2-1, donde l denota a cualuiera de la banda de análii. Contrucción del moaico bw r = f up ( l) f f inf ( l) inf ( l) El moaico etá epecificado por lo parámetro ya mencionado. Dentro de un moaico poible, identificamo a una baldoa (y al elemento de la bae aociado a ella) mediante: l : 0.. L E el número de banda. 0 e la banda de frecuencia má baja (ue comienza en f 0 ) y L e la banda de frecuencia má alta. k : 0.. N l E el número de baldoa dentro de la banda l. N l +1 e la cantidad de baldoa de la banda l. Adicionalmente definimo la contante a 0 : Factor de dilatación de la wavelet. a 0 = bwr + 1= fup ( l) 12 = 2. f ( l) inf Para cualuier banda l tenemo: l f inf ( l) = f 0 a 0 E la frecuencia inferior de la banda l. l+ 1 0 f up ( l) = f 0 a E la frecuencia uperior de la banda l. f inf ( l) + fup ( l) f cent ( l) = E la frecuencia central de la banda l. Se utiliza en la contrucción de lo 2 elemento de la bae. bw (l) = fup ( l) finf ( l) = bw r f inf ( l) = r erá un número irracional. bw f 0 l a 0 E el ancho de banda de la banda l. Normalmente 1 long (l) = E la longitud temporal de la baldoa de la banda l. Determina ue el área de toda la 2bw( l) baldoa del moaico erá igual al área de la baldoa del moaico de una repreentación temporal. Normalmente erá un número irracional. 18

19 N N (l) = redondeo 1 La cantidad de moaico de la banda l, meno 1. Serán tanto como long( l) uepan en la longitud de la eñal. El último moaico puede etar incompleto, pero debe caber al meno la mitad de él. Para cualuier baldoa k de una banda l tenemo: t inic ( l, k) = k long (l) El intante donde comienza la baldoa. t fin ( l, k) = ( k +1) long (l) El intante donde termina la baldoa. t cent ( l, k) = ( k +1/2) long (l) El intante central de la baldoa. Se utiliza en la contrucción de lo elemento de la bae. Adicionalmente, reulta conveniente definir un orden para lo elemento de la bae y la muetra. Ete orden e repetará al contruir la bae como una matriz con lo elemento como columna, y e repetará también al almacenar ecuencialmente lo coeficiente de la eñale tranformada. Se elije la convención de ordenar por t cent ( l, k) y i e repiteran valore, ordenar entre ello por l. A continuación e muetra e un ejemplo de moaico con banda uperior y función de ecala. Lo parámetro on: N = 256, f 0 = 1/5, L = 12-1 = 11. La banda uperior reultante captura la frecuencia uperiore a 2/5. 19

20 Funcione elementale Ajute de lo elemento de la bae al moaico del plano Una vez ue e etablece el moaico del plano ue e deea obtener, e neceario hallar una bae con localización temporal y frecuencial ue e ajute lo mejor poible a él. Se ha etudiado extenamente la contrucción de bae ortogonale y biortogonale para el cao diádico y M-ádico. Como ya e dijo, e impoible obtener una eñal con oporte compacto a la vez en el tiempo y en la frecuencia. Eto ignifica ue en realidad cada elemento de la bae ocupa mucha (de hecho, infinita) baldoa, y ue únicamente etá centrado en una baldoa en la cual concentra la mayor parte de u energía. Ademá, al mejorar la localización en el tiempo e la empeora en la frecuencia, y vicevera. Eto ignifica ue podemo elegir repetar mejor la localización en un dominio ue en el otro, in modificar el moaico, pero afectando la localización de lo elemento en cada dominio. Eta conideración reulta pertinente porue el oído humano e má enible a la falta de localización frecuencial ue temporal (contrariamente a la wavelet dicreta convencionale; ue privilegian el oporte temporal compacto por obre la localización frecuencial). Por lo tanto al contruir bae e privilegiará el ajute a la banda de frecuencia de cada baldoa, decuidando (en la medida de lo neceario) la localización temporal, y permitiendo ue la wavelet de baldoa vecina dentro de la mima banda e uperpongan en el tiempo de manera coniderable. Como conecuencia de la contrucción del moaico, el intervalo de muetreo de lo coeficiente de la ditinta banda en general no e múltiplo del intervalo de muetreo de la eñal temporal 1 f. Eto ignifica ue lo ditinto elemento de la bae correpondiente a una mima banda no pueden contruire deplazando en una cantidad entera de muetra un primer elemento ya muetreado, ino ue deben er muetreado independientemente de lo otro. Eto ugiere la conveniencia de trabajar almacenando la bae en matrice, donde cada columna contiene un elemento de la bae. Wavelet Para el análii de eñale mediante la CWT dicretizada, uele utilizare como wavelet una gauiana modulada, o wavelet Morlet. (Ver [DAU/92], p.76). Eta wavelet alcanza el límite teórico a la localización temporal y frecuencial determinado por el principio de incertidumbre de Heienberg. (Véae [STR/97a], p.67.) En una tranformada wavelet, todo lo elemento de la bae ue correponden a banda de análii on dilatacione y deplazamiento de un única wavelet fundamental. Eta wavelet e dilatada y deplazada para ubicarla obre cada baldoa del moaico. A la baldoa ue correponde a la wavelet fundamental la llamamo baldoa canónica. Como eta wavelet no correponde a ningún moaico en particular, la baldoa canónica no forma parte del moaico. La wavelet Morlet e una función compleja (R->C). Como ete trabajo trata únicamente obre eñale reale, e eligió como primera candidata a una verión real: ( b. π. t ) Ψ ( t) = b. π. e.co(2π. f. t). 2 El parámetro b controla el ancho de la gauiana, y f e la frecuencia donde etá centrado el epectro. La wavelet y u baldoa canónica (como e uual) etán centrada en tiempo t = 0. Por lo tanto el único parámetro relevante de la baldoa canónica e f. 20

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