Procesamiento Digital de Señal

Transcripción

1 Proceamiento Digital de Señal Tema 5: Muetreo y recontrucción Teorema de muetreo: Shannon-Nyquit. Recontrucción Diezmado e Interpolación Cuantización Muetreo El muetreo digital de una eñal analógica trae conigo una dicretización tanto en el dominio temporal como en el de la amplitud. Hay varia forma de decribir matemáticamente el proceo de dicretización temporal de una eñal continua en el tiempo. Un muetreador ideal, conite en una función que toma lo valore de la eñal x (t en lo intante muetreado y el valor cero para el reto de punto

2 Proceo de muetreo: dominio de tiempo x(t Muetrear una eñal continua x(t equivale a multiplicarla por un tren de funcione delta p(t, iendo p(t T t p( t δ( t nt n x (t t n x ( t x S ( t x( t n x( t p( t n x ( nt δ δ ( t nt ( t nt x[ n] P(w Proceo de muetreo: dominio de frecuencia X(w -2w -w X p (w -w B 2π T T w B w 2w -2w w -w w 2w Una multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el de frecuencia X p ( ω [ X( ω P( ω ] con 2 π w 2 π P ( ω δ( ω kω T k 2 π ω T w X p ( ω 2π k 2π 2 π X ( u T X( ω kω X p ( ω T X ( u P( ω u du k k δ( ω kω u du X( ω kω

3 Proceo de muetreo: dominio de frecuencia El epectro reultante e periódico y e preentan lo iguiente cao A.- La frecuencia de muetreo w e mayor que 2w B X p (w T -2w w -w -w B w B w 2w 2w B B.- Se diminuye a frecuencia de muetreo w hata que ea igual a 2w B X p (w T -2w w -w -w B w B w 2w 2w B Proceo de muetreo: dominio de frecuencia C.- Se diminuye a frecuencia de muetreo w hata que ea inferior a 2w B X p (w T Solapamiento de banda laterale w -2w -w -w B w B w 2w 2w B Cuando w < 2w B ocurre un olapamiento en frecuencia de la banda laterale y e produce el fenómeno de aliaing en frecuencia. Para una eñal x(t continua de banda limitada, X(w0 para < w w B, que e muetrea con una frecuencia de muetreo w. La muetra x(nt, n0, ±, ±2,..., determinen unívocamente la eñal x(t i e cumple que w 2w B, Se define la frecuencia límite w 2w B con el nombre de frecuencia de Nyquit, con 2 π ω T

4 Muetreo Una eñal continua puede repreentare y recontruire partiendo del conocimiento de u muetra. Eto e deriva de un reultado báico llamado teorema de muetreo. Ete teorema funciona como un puente entre la eñale continua y la dicreta y no garantiza que no e pierde información. Nótee que todo muetreo trae conigo una aparente pérdida de información en la eñal continua x(t. El Teorema del Muetreo etablece en que condicione e garantiza que al muetrear no hay pérdida de información. Muetreo TEOREMA de Shannon. Frecuencia de Nyquit Teorema de muetreo : Una eñal x (t con un epectro limitado a la frecuencia f B ( f < f B puede er muetreada in pérdida de información i la frecuencia de muetreo f S upera la cantidad 2f B, e decir f S 2f B. Si no e muetrea como mínimo a ea frecuencia tiene lugar el fenómeno denominado aliaing. Si e muetrea de acuerdo al teorema exite un proceo de recontrucción que garantiza la reproducción exacta de la eñal continua x(t a partir de u muetra x[n].

5 Periodo de muetreo Problema a reolver: Una eñal dicreta puede correponder a varia eñale continua. Multiple alia de una eñal Periodo de muetreo Problema a reolver: Qué frecuencia de muetreo no garantiza que recuperamo la eñal y no perdemo información? Elección del periodo de muetro: el valor óptimo erá el mayor in perdida de información.

6 Recontrucción El proceo de recontrucción e evidente en el dominio de frecuencia Para recuperar la eñal original a partir de la muetreada no hay má que aplicar un filtro pao-bajo con una frecuencia de corte entre w c w B, y w c < w -w B y una amplificación AT X p (w T X ( ω H ( ω X ( ω p -2w w -w -w B w B w 2w 2w B H(w A T X(w -w B w B w -w c w c w w c w B Recontrucción El proceo de recontrucción en el dominio de tiempo x ( t x ( t* h ( t A ω < ω c H r ( ω 0 reto r ( ω t / π A en c Aωc hr ( t inc ct π t π r ( ω / π H(w Sinc(tin(πt/(πt X p (w -w c w w T c x (t -2w w -w w 2w x S ( t x ( nt δ n ( t nt x[ n] t

7 x ( t x ( t * h( t r n n n Recontrucción ( t τ dτ Aωc t τ x( nt δ ( τ nt inc( dτ π π x( nt x ( τ h Aωc ωc ( t τ δ ( τ nt inc( dτ π π Aωc ωc ( t nt x( nt inc( π π n Aωc ωc ( t nt x[ n] inc( π π Salida del filtro de recontrucción con A T y w c w B w /2π/T x ( t r x [] n inc[ ( t nt / T ] x[ n] en n n π [ π ( t nt / T ] ( t nt / T x(tco(2πft con f 2Hz Muetreo y Recontrucción En la recontrucción para cada muetra de la ecuencia x[n] : e uma la función inc ponderada por el valor de la muetra y deplazada al intante nt x[5] h r (t-5t x[7] h r (t-7t x r (t

8 Muetreo y Recontrucción El filtro paa bajo ideal interpola entre lo impulo x (t para recontruir una eñal en tiempo continuo x r (t El hecho de que h r (nt0 para n±, ±2,..., permite el control de la inteferencia entre lo ditinto pulo, interferencia interímbolo ( ISI. La interferencia iempre exite, pero erá cero, y por tanto controlable, en lo intante de muetreo Ete tipo de recontrucción de la eñal original preenta vario problema: El dominio de la función inc( t e infinito. Requiere muetreo paado y futuro. Exite la poibilidad de truncar la función inc( t, pero da lugar al efecto Gibb y iempre e requieren mucho punto. Se pueden utilizar otra aproximacione como función de interpolación; pulo rectangulare, triangulare, La elección debe hacere en función de u etabilidad y de u realización fíica. Proceado en Tiempo Dicreto En una aplicación real la eñal de entrada e analógica, e paa a una eñal dicreta que e procea con un itema lineal dicreto y la alida del itema e tranforma a una eñal continua El itema en conjunto tiene la iguiente Etructura: Converor C/D Sitema en tiempo dicreto Converor D/C x c (t C/D x[n] Sitema en Tiempo Dicreto y[n] D/C y r (t T T Tanto la frecuencia de muetreo aí como la etructura del itema dicreto pueden eleccionare egún e quiera El itema completo e equivalente a un itema continuo ya que e tranforma la eñal de entrada en tiempo continuo x c (t en una eñal de alida en tiempo continuo y r (t Fig. 4.

9 Recontrucción Converor ideal de tiempo dicreto a tiempo continuo (D/C: y ( t Y ( ω H r r r [] n en y n π ( ω Y ( ω [ π ( t nt / T ] ( t nt / T T Y ( ω ω < π / T 0 reto Converor ideal de tiempo continuo a tiempo dicreto (C/D: x X ( ω T [ n ] ( k x c nt X c 2πk ω T Diezmado e Interpolación

10 Diezmado o ubmuetreo Diezmado en tiempo dicreto (N3 x[n] T x[n] N y[n]x[nn] p[n] n Nuevo muetreo cada N muetra: v[n] n [] ] p n δ[ n + mn m Se anula N- valore cada N muetra y[n] T NT n v [] n x[ n] n 0, ± N, ± 2N,... x[ n] p[ n] 0 otro cao n Eliminando la muetra con valor 0 y Teniendo en cuenta el nuevo periodo de muetreo y[n]x[nn] Diezmado o ubmuetreo Análii del diezmado en el dominio de frecuencia x[n] y[n]x[nn] N x[n] T X(ŵ p[n] n P(ŵ 0 w B π 2π /N v[n] n V(ŵ 0 2π/N 2 2π/N 2π /N y[n] N3 T NT n n ŵ N ŵ Tranformada de y[n] v[nn] ω ω 2π /N j N ω ( ( j k j N N N Y e V e X ( e N k 0 Expanión en frecuencia (xn y replica cada 2π/N 0 2π/N 2 2π/N 2π 0 Nw B 2π

11 [] n v V( e p[ n] x[ n] p[ n] l p[n] N N 2π j kn N k 0 Tranformada de v[n] jω Diezmado o ubmuetreo δ( n ln y u erie de Fourier dicreta e e jωn v[] n e x[] n n 2π N N j ω k n N j N x[ n] e X ( e N k 0 n N k 0 Replicaepectrale de X(wcada 2π/N Y ( e n Tranformada de y[n] v[nn] jω jωn y[] n e v[ Nn] e n ωm n ω e k jωn 2π j kn N 2π ω k N e ω 2π jωn j j N j k N N N N v[ m] e Y ( e X ( e m N k 0 Expanión en frecuencia (xn y replica cada 2π/N X(ŵ P(ŵ V(ŵ Y(ŵ x[n] N y[n]x[nn] 0 w B π 2π /N /N /N 0 2π/N 2 2π/N 2π 0 2π/N 2 2π/N 2π 0 Nw B 2π Diezmado: Filtro antialia previo x [n] x[n] N y[n]x[nn] X (ŵ w B > π/n w c π/n Si el ancho de banda de x[n] e mayor que π/n al diezmar e produce aliaing X (ŵ 0 π 2π 0 π/n π 2π E neceario un filtro paa baja con frecuencia de corte w c π/n ante de realizar el diezmado. Y(ŵ /N /N π/n 2π/N 0 π 4π/N 2π 0 π 2π

12 Diezmado e Interpolación Diezmado e Interpolación

13 Reumen: Diezmado e Interpolación Converión A/D- Diezmado Converion D/A x(t A/D x[n] N y[n]x[nn] D/A y(t f c f m /2 f c f m /2 f m f m f m /N -f o f o f -f o f o f -f o /f m f o /f m -Nf o /f m Nf o /f m Si Nf o /f m </2

14 Cuantización Cuantización Para procear eñale digitalmente no ólo e neceario muetrear la eñal analógica ino también cuantizar la amplitud de ea eñale a un número finito de nivele. El tipo má uual e la cuantización uniforme, en el que lo nivele on todo iguale. La mayoría uan un número de nivele que e una potencia de 2. Si L 2 B, cada uno de lo nivele e codificado a un número binario de B bit. La cuantización (o el truncamiento en operacione mátematica en un microproceador puede producir problema erio en el dieño de filtro digitale, hata el punto (en cao grave de convertir filtro etable en inetable.

15 Cuantificación en imágene La mima imagen cuantificada con 7 bit (28 nivele de grie y con 3 bit (8 nivele de grie. Efecto de Cuantización Cada forma tienen u ventaja e inconveniente en el momento de realizar el filtro. Uno de lo problema má importante que debe tener en cuenta una realización on lo efecto de cuantización. Lo efecto de cuantización e producen al tener obligatoriamente que truncar (o cuantizar lo coeficiente del filtro y la eñale de entrada y alida. Eta cuantización puede dar lugar a que la caracterítica del filtro realizado difieran de la epecificacione del filtro dieñado. Lo efecto de cuantización deben er tenido muy en cuenta cuando el dieño e realiza en microproceadore con aritmética de punto fijo (por ejemplo, DSP. En cao de utilizar micro de 32 bit con aritmética en punto flotante, lo efecto de cuantización pueden er depreciado. Dividiremo lo efecto de cuantización en do parte: lo debido a la cuantización de la eñale (de entrada x[n] o de alida y[n] y lo debido a la cuantización de lo coeficiente.

16 Cuantización de la eñal Ruido de Cuantización: Llamaremo x S [n] a la eñal dicreta y x Q [n] a la eñal dicreta cuantizada. El error e : ε[n] x S [n] - x Q [n] Se define la relación eñal a ruido de cuantización ( SNR Q como la relación entre la potencia P S de la eñal y la potencia P N del error ε[n], medido en decibelio. Cuantización Para una eñal x( t cuyo fondo de ecala D etá dado por x max -x min. Si cuantizamo x( t con L nivele, la ditancia entre do nivele conecutivo o reolución e define como D/ L. Se denomina rangodinámicodr, a la relación entre el fondo de ecala D y la reolución DR D/, de forma que DR 2 B. En decibelio, La ecuación ugiere que por cada bit que añadimo al cuantizador, la relación eñal a ruido de cuantización mejora en 6 db.

17 Cuantización ecalar Señale muetreada unidimenionale: x(t x(nt x[n] x[n] x^[n] Cuantización intantánea: Uniforme Compreión intantánea Cuantización adaptable: Hacia adelante Hacia atrá Cuantización diferencial Cuantización uniforme 00 Todo lo cuanto on iguale: B bit > 2 B nivele en [ X max,x max ] X max 2 B- x ^ x Cuantizador de media contrahuella Cuantizador de media huella x^ x x^ x

18 Cuantización uniforme Ruido de cuantización Relación eñal ruido Etimación de la SNR (eñal / ditribución Cálculo del ruido de cuantización (ejemplo Saturación: Relación eñal ruido:

19 Cálculo del ruido de cuantización (ejemplo B 8 bit > SNR 40.8 db B 2 bit > SNR 64.8 db B 6 bit > SNR 88.8 db En proceamiento de audio: 80 db... HiFi 60 db... Equipo múica gama media 40 db... Ruido e aprecia 20 db... Teléfono <0 db... Moleta / dificultade para entender voz Cuantización v. Saturación Si X max >> 4 σ x : Poco ruido de aturación Mucho ruido de cuantización p(x -X max X max Si X max << 4 σ x : Mucho ruido de aturación Poco ruido de cuantización p(x Ajute de nivel de entrada crítico (ganancia de entrada -X max X max

20 Cuantización no uniforme: Compreión intantánea Problema de Q-uniforme: Hay que preocupare del nivel de la eñal Objetivo compreión intantánea: SNR independiente de nivel de eñal Cuanto diferente: /x cte y^ x Compreión logarítmica x y y^ y^ x ^ log Q log gn gn(x Codif. Decod. gn(x Se cuantiza uniformemente el logaritmo de la eñal de entrada ^x

21 Otra leye de compreión: ley µ ley A x y y^ y^ x ^ F Q F - gn gn(x Codif. Decod. gn(x ^x µ µ20 µ5 0.5 µ

22 A87.6 A20 A5 0.5 A Cuantización adaptable Interea grande para evitar aturación Interea pequeña para reducir e q Señale no etacionaria: σ x2 varía con el tiempo Solución: Adaptar G ó a la varianza de la eñal

23 Efecto de Cuantización Cuantización de eñale : El efecto de cuantizar la eñal puede etudiare como el efecto de añadir un error o una eñal de ruido e[n] a la alida ideal del filtro digital. Ete ruido e conidera como el efecto conjunto de vario errore producido en el proceamiento: Error de cuantización en el convertidor A/D a la entrada del filtro. Errore de redondeo o truncamiento en la operacione (multiplicacione, uma. Error en la cuantización de la alida en el convertidor D/A (meno bit en la alida que en la operacione. Errore de Truncamiento: Cuando e implementa un filtro en hardware (DSP o ASIC uele er habitual trabajar en un punto fijo ya que e coniderablemente má barato en término de área de ilicio y complejidad en el dieño. Por ejemplo, la variable del filtro (entrada, alida y coeficiente pueden etar cuantizada en 6 bit. Al hacer una multiplicación neceitaremo 32 bit, que e poteriormente truncado de nuevo a 6 bit. Ete tipo de error puede er analizado mejor dede un punto de vita etadítico. Efecto de Cuantización a - a -2 a -b a -β a - a -2 a -b Supongamo que truncamo un número de (β+ bit a (b+ bit, tal y como indica la figura. El error producido al truncar x e: ε t Q(x-x. El error e cero i todo lo bit rechazado on cero, y erá máximo i todo lo bit rechazado on. El error máximo e por tanto, β i b β a i i b+ El error de truncamiento erá iempre negativo para número en complemento de 2, y u valor e -(2 -b -2 -β ε t 0. Si uponemo que β>>b, 2 b ε t 0 A la hora de analizar lo errore producido por el truncamiento e recurre al análii etadítico. Suponiendo una ditribución uniforme de lo errore en el rango (-2 -b,0, la media del error e -2 -(b+ y u varianza e 2 -b /2. Eto valore on cierto en cao de utilizar complemento de 2, lo cual e batante habitual.

24 Efecto de Cuantización El análii e hace umando una eñal de ruido a la eñal in truncar. Ea eñal de error tiene la media y varianza calculada previamente. u[n] α v[n] Q v[n] u[n] v[n] v[n] e α [n] Lo tipo de realizacione etudiada (en paralelo y cacada tienen un impacto parecido en lo errore de truncamiento. Utilizando forma en cacada podemo mejorar la varianza del ruido de truncamiento puede diminuire emparejando polo y cero de acuerdo a cierto criterio y modificando el orden al cual e realizan la operacione en cacada. Una conecuencia de la operacione aritmética e el overflow, e decir cuando el reultado de una operación rebaa el máximo número admitido por una cierta repreentación digital. En tal cao la eñal debe mantenere en ee nivel máximo, lo que produce fuerte ditorione en la eñale. Efecto de Cuantización Una ventaja de la aritmética de complemento de 2 e la motrada en el iguiente ejemplo. Se quiere hacer la uma con un código digital de 5 bit en complemento de 2. La uma de lo do primero operando da overflow. Sin embargo, i eliminamo el bit de igno y continuamo umando el reultado erá correcto: Eliminamo el bit de igno porque hay overflow Lo que equivale a , el reultado correcto. Una forma de evitar el overflow e multiplicar la operacione por un factor que evite el overflow. Ete factor debe er lógicamente menor que, lo que empeora relación eñal ruido del filtro. La relación eñal-ruido en una eñal cuantizada e,p e la potencia de la eñal de entrada, D e el fondo de ecala y b e el número de bit. P e proporcional a la varianza de la eñal, σ x2. SNRQ 0 logp logD+ 6b Si multiplicamo la eñal por un factor A, la potencia de la eñal erá A 2 σ x2. Sutituyendo en la ecuación vemo que i A>, mejora la SNR Q, pero e corre el peligro de producir overflow. Por el contrario, un valor de A<, evita el overflow pero empeora la SNR Q.

25 Efecto de Cuantización Cuantización de coeficiente : Se trata de invetigar el impacto de la cuantización de lo coeficiente del filtro en la función de Tranferencia del mimo. Supongamo una función de Tranferencia H(z/(+a z - +a 2 z -2, cuyo polo complejo on p y p * cumpliéndoe que a -2 Re(p y a 2 p 2. Por tanto, cuantizar a ignifica cuantizar la parte real del polo, mientra que cuantizar a 2 ignifica cuantizar el radio del polo. Eto e muetra en la figura. Im(z 0 El polo etará definido por la interección de la línea verticale y lo círculo. Se pueden acar do concluione: En la vecindad de z ±, lo poible polo etán má eparado entre í. Se dice que eto polo on muy enible a la cuantización Re(z