Energía potencial de un cuerpo extenso

Transcripción

1 Energía potencial de un cuerpo extenso Seauncuerpo(rígido)extensocondensidad(demasa)renunpotencialexternovr,de modoquelaenergíapotencialdeundiferencialdemasa rd 3 res urd 3 r vrrd 3 r Porejemploenuncampogravitatoriouniforme,urd 3 r gzrd 3 rvr gz; enuncampocentralgravitatorioproducidoporunamasam,urd 3 r MG r rd 3 rdemodo quevr MG r ;etc.laenergíapotencialtotaldelcuerposeráentonces U V urd 3 r V vrrd 3 r V vr r d 3 r dondeenlaúltimaexpresiónpasamosaintegrarenelsistemafijoalcuerpo,queesmás conveniente para lo que sigue. Vamosasuponerqueelcuerpoes"pequeño",enelsentidodequeelpotencialvaríapoco sobrelaextensióndelcuerpo,oseadentrodelvolumenv.ecordemosquecentramosel sistemafijoalcuerpoenlaposicióndelcentrodemasa,ydesarrollemosvr enserie alrededordeesepunto,esdecirder 0 : Substituyendo en U tendremos U v0 V vr v0 v r i 0 r i 1 2 r d 3 r v r 0 r i V i r d 3 r v r i r j 0 r i r j 2 v r i r 0 r j V i r j r d 3 r Elprimertérminoessimplementeelpotencialexternoevaluadoenelcentrodemasa(0 ) multiplicado por la masa total V r d 3 r esdecir,eslaenergíapotencialdelcuerpoextensoconsideradocomounamasapuntual en. El segundo término es el gradiente del potencial(es decir el campo, cambiado de signo) multiplicadoporlaposicióndelcmenelsistemafijoalcuerpo,quepordefiniciónescero (hecho que se suele enunciar como"no existe dipolo gravitatorio"). El tercer término es el gradiente del campo en el centro de masa, multiplicado por el tensor Q ij r V i r j r d 3 r queseconocecomoelmomentocuadrupolar(demasaogravitatorio),ylaprimaindicaqueestá calculadoenelsistemafijoalcuerpo.notemosqueeltensordeinerciaseescribe I ij ijr V r r i r j r d 3 r ij r V r r d 3 r r V i r j r d 3 r ij V r r r d 3 r Q ij Q ij ij r V r r d 3 r I ij

2 Supongamos ahora que el sistema fijo al cuerpo es de ejes principales. La fórmula precedente es una relación entre tensores, por lo tanto es válida en cualquier sistema de coordenadas. Pero enunsistemadeejesprincipalesi ij esdiagonal,y ij esdiagonalentodosistema(laintegralque lamultiplicaesunescalar),q ij tambiénesdiagonal: Ahora, recordando vemos que Q Q Q 3 V r r r d 3 r I 1 V r 2 r 2 r 3 r 3 r d 3 r I 2 V r 1 r 1 r 3 r 3 r d 3 r I 3 V r 1 r 1 r 2 r 2 r d 3 r I 1 I 2 I 3 2 r V r r d 3 r Q I 2 I 3 I 1 Q I 3 I 1 I 2 Q I 1 I 2 I 3 I I I 3 Es decir, si conocemos los momentos principales de inercia es inmediato construir el momento cuadrupolar, y viceversa. Volviendo ahora a la energía potencial, para un cuerpo"pequeño" tendremos la aproximación U v 1 2 Q 2 v ij r i r v 1 j 2 Q 2 v ij r i r j dondeenelúltimopasohemosusadoquelaexpresiónq 2 v ij r i r esunescalar,yportantodebe j ser la misma en cualquier sistema de coordenadas, para escribir todo en el sistema"de laboratorio", donde en general la expresión del gradiente de campo es mas sencilla(y a menudo independiente del tiempo). El problema con esta última expresión es que, si el cuerpo está rotando,q ij dependerádeltiempo,yaqueeseltensordeinerciaenelsistemadelaboratorio,no en el sistema fijo al cuerpo. Podemos escribir una forma más satisfactoria como sigue: sean las matrices A 1 cos sin 0 sin cos 0, A cos sin 0 sin cos, A 3 cos sin 0 sin cos 0 donde, ysonlosángulosdeeuler.entonceslamatriz

3 A,, A 3 A 2 A 1 eslaquelleva(rota)labase(cartesiana)delsistema"delaboratorio"alabasedelsistemafijoal cuerpo. Supongamos por un momento que este último es de ejes principales, y recordemos que la matrizquetransformacomponenteseslainversadelaquetransformalabase;entoncesa 1 esla matriz que diagonaliza al tensor de inercia y al tensor cuadrupolar, es decir Q AQA 1, Q A 1 Q A dondeqyq sonlasmatricesqueexpresaneltensordeinerciaenlossistemas"delaboratorio" yfijoalcuerpo,respectivamente.notandoquelasmatricesa i sonortogonales,esinmediatoque A 1 A 1 1 A 2 1 A 3 1 A 1 T A 2 T A 3 T A T Q ij A T Q A ij A T ip Q pq A qj A pi Q pq A qj conq pq eltensordeinerciaenelsistemafijoalcuerpo,dondeengeneralesindependientedel tiempo(a menos que el cuerpo cambie de forma). Tendremos entonces U,,, v 1 2 A ip T,,Q pq A qj,, 2 v r i r j donde toda la dependencia del tiempo debida a la rotación del cuerpo ahora está implícita a travésdeladependenciadelosángulos.sielsistemafijoalcuerpoesdeejesprincipales tendremos además ylaexpresióndelaenergíapotencialsereducea Q pq Q p pq U,,, v 1 2 A ip T,,Q p A pj,, 2 v r i r j Notemos que esta energía potencial depende de seis variables: las tres componentes de la posicióndelcentrodemasa,ylostresángulosdeeuler, y,quedanlaorientacióndel cuerpo. Estos son justamente los seis grados de libertad del cuerpo rígido que ya conocemos. Ejemplo 1: Campo uniforme Supongamos que el campo esuniforme,esdecirfr cte.enesecaso yporlotanto Entonces la energía potencial es simplemente fr vr r vr r i f i r cte. 2 vr r i r j 0

4 U,,, v independientedelaorientación;essencillamentelaenergíapotencialdeunamasa enla posicióndelcm. Ejemplo 2: Campo central Consideremos un elipsoide de revolución oblado y homogéneo(p.ej., una aproximación a la Tierra)enelcampocentralgeneradoporunamasaMfijaenelorigen(p.ej.,elSol).Tomaremos I 1 I 2 I 3,siendo I I 1 I ma2, I mb2 dondeaeselradiopolar,belradioecuatorialymlamasadelatierra.enestecaso Q I 2 I 3 I I mb2 Q I 3 I 1 I I mb2 Q I 1 I 2 I I I ma2 Tomemoselsistema"delaboratorio"conorigenenelSol(puntual),elejeznormalala eclíptica terrestre, el x en dirección al punto vernal, y el y completando una terna derecha (coordenadas heliocéntricas). Suponiendo una órbita circular de radio, el CM de la tierra se hallará entonces en cosx sinŷ0z donde eslaanomalíaverdadera.elpotencialgravitatoriosolarserá y vr GM r vr r i GM r 3 r i 2 vr 3 GM r r i r j r 5 i r j GM r 3 ij GM r 3 ij 3 r ir j r 2 El primer término de la energía potencial será simplemente como era de esperar. Para el segundo tendremos v GMm 2 v GM r i r j 3 ij 3 i j 2 GM cos 2 cossin 0 sincos sin 2 0

5 y 0 0 A T ip,,q p A pj,, 1 5 mat 0 0 A 0 0 a mb a2 A T A Esfácilverque A 3 T A 3 A 2 T A 2 0 sin 2 sincos 0 sincos cos 2 A 1 T 0 sin 2 sincos 0 sincos cos 2 A 1 sin 2 sin 2 sincossin 2 sinsincos sincossin 2 cos 2 sin 2 cossincos sinsincos cossincos cos 2 A T ip,,q p A pj,, 1 5 mb Entonces 1 a2 sin 2 sin 2 sincossin 2 sinsincos sincossin 2 cos 2 sin 2 cossincos sinsincos cossincos cos 2 Q ij 2 v r i r j 1 5 mb2 ij 1 a2 ij GM 3 ij 3 ij con ij ij sin 2 sin 2 sincossin 2 sinsincos sincossin 2 cos 2 sin 2 cossincos sinsincos cossincos cos 2 cos 2 cossin 0 sincos sin 2 0 Tendremos así

6 con Q ij 2 v 1 r i r j 5 GMm 1 5 GMm 2 ij ij 3 ij ij 1 a2 ij ij 3 ij ij ii 1 a2 ii 3 ij ij ii Tr ij 1 ii Tr ij 1 ij ij sin 2 sin 2 es decir Q ij 2 v r i r 1 j 5 GMm Finalmente la energía potencial queda U,,, GMm 2 1 a2 1 3sin 2 sin b2 2 1 a2 1 3sin 2 sin 2 Notemos varias cosas: 1. Unodependede,loqueesconsistenteconlasimetríaderotacióndelcuerpoalrededorde suejex Udependesólode,esdecir,delaorientaciónrelativaentrelalineadelosnodos (intersección del plano ecuatorial terrestre con la eclíptica solar) y el radio-vector al Sol. 3. sin 2 sin 2 essemidefinidapositiva;ceropara 0(inclinaciónnuladeleje terrestre)opara n(interseccióndelplanoecuatorialterrestreconlaeclípticasolar paralelo al radio-vector Tierra-Sol). 4. Hay una contribución a U independiente de la orientación, que es debida simplemente a la forma achatada. 5. Conb 6378kmya 6357km,1 a :lacontribucióncuadrupolares pequeña. 6. Suponiendoque varíamuchomaslentamenteconeltiempoque,tendremos 1 2 sin 2 2 d yelpromediosobrelaórbitasolarqueda U, GMm GMm b2 1 a b2 a sin2 1 3cos2 2 queadadoesmínimaparainclinación 0o,loquesignificaquehayuntorque (medio)que"tratadeenderezar"elejederotaciónterrestre,yporlotantolohaceprecesar. 7. SilaTierrafueraesférica(b a),nohayefectodebidoalainhomogeneidaddelcampo solar. Ejemplo 3: satélite elongado Consideremos un satélite(pequeño) en órbita alrededor de la Tierra. Por simplicidad consideraremos una Tierra esférica, de modo que su campo gravitatorio es el de una masa puntual M. Consideraremos además una órbita circular, y haremos coincidir el plano xy con el de laórbita.paraelsatélitesupondremosunaformamasomenossimétrica,

7 I 1 I 2 II 3. Notemos que este es el mismo problema del ejemplo precedente, con la Tierra donde antes estaba el Sol, y el satélite donde antes estaba la Tierra. Antes teníamos ytambién U,,, GMm b2 2 1 a2 1 3sin 2 sin 2 de donde podemos deducir que I I 1 I ma2, I mb2 a I I 3 m, b2 5 2 I 3 m Luego U,,, GMm I 3 I m 2 1 3sin2 sin 2 SiahoraelsatéliteeselongadotendremosI I 3,yeltérminodependientedelaorientación tendrá un coeficiente negativo. En ese caso la energía potencial será mínima cuando sin 2 sin 2 seamáximo.estocorrespondeaambosargumentosigualesa/2;ahora, /2correspondealejedesimetríadelsatélitayaciendoenelplanodelaórbita;y /2correspondealainterseccióndel"planoecuatorial"delsatéliteaángulorectocon elradio-vectoralcentrodelatierra.esdecir,laenergíapotencialesmínimacuandoel"eje largo" del satélite se orienta radialmente.