Módulo III Introducción al Mercado de Opciones y Swaps Sesión 1: Opciones

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1 Matemáticas Aplicadas Módul III Intrducción al Mercad de Opcines y Swaps Sesión 1: Opcines Dieg Jara Instruments t Financiers i Derivads Estandarizads d y OTC BANCO AGRARIO Octubre 2011 Universidad Nacinal de Clmbia

2 Mapa del Módul 1. MERCADO DE OPCIONES Opcines PlainVanilla ill Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Vl Valración y Riesg Opcines Exóticas 2. MERCADO DE SWAPS Swaps PlainVanilla Opcines sbre Swaps Swaps extinguibles Riesg de Cntraparte en Cntrats Derivads Valración y Análisis de Riesg

3 Referencias Bdie, Z., Kane, A., and A. Marcus (2002). INVESTMENTS. McGraw Hill, 5 th Ed. Capinski, M. and T. Zastawniak (2003). MATHEMATICS FOR FINANCE. Springer Cruhy, M., Dan, G.,,y Mark, R., The Essentials f Risk Management. McGraw Hill. Duffie, D., Singletn, K. J., Credit Risk. Princetn University Press. Hull, J. (2006). OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVES. Prentice Hall, 6 th Ed. Shreve, S., Stchastic Calculus fr Finance I. Springer Verlag. Shreve, S., Stchastic Calculus fr Finance II. Springer Verlag. Tuckman, B. (2002). FIXED INCOME SECURITIES. Wiley, 2 nd ed.

4 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

5 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

6 Mercads Financiers Básics Accines Bns Mnedas (?) Fnds de Inversión Mercad Mnetari Activs Físics Bienes de Cnsum (Cmmdities)

7 Mercads Financiers Básics Mercads (centrs de transacción) OTC Blsas Existencia i de precis para cada instrument básic (n es trivial est) Derivads: Instruments (cntrats) cuys flujs de caja están definids pr precis de instruments básics

8 Descripción de Mercads Teórics Trabajarems en un mercad fictici, cn las siguientes supsicines: Existen instrument financiers, cn precis S bien definids. Ests precis varían en el tiemp S(t) Existe cmpradres yvendedres, y un mercad transaccinal rganizad Existe un mercad mnetari: se puede prestar pedir prestada plata a cualquier términ T, a una tasa r = r(t) (la tmams cmpuesta cntinuamente)

9 Descripción de Mercads Teórics Se supne l siguiente 1. S(t) 0 para td activ y td t 2. N hay friccines a. N hay csts de transacción b. Infinita Divisibilidad c. Infinita Liquidez 3. N hay restriccines de venta en crt 4. Admisibilidad (n se puede apstar cn dble nada infinitamente) 5. N existen prtunidades de arbitraje (n hay almuerzs gratis )

10 Descripción de Mercads Reales Tdas las supsicines anterires fallan (en mayr menr medida) en mercads reales Detalles significativs: Capacidad idd de pedir prestada plata en cualquier mment, y pr cualquier mnt Csts de transacción Liquidez Capacidad de vender en crt

11 Derivads Plain Vanilla FORWARD Un cntrat bilateral (mercad OTC) Obliga a una parte a cmprar (psición larga) y a tra a vender (psición crta) en un mment dad (ExpiraciónT) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K, Preci Frward F(0,T)). Típicamente el cntrat n requiere pag inicial i i Nta: preci frward preci del frward

12 Derivads Plain Vanilla FUTURO Diferencia i cn frward: se transa en un mercad rganizad (blsa) Se elimina el riesg de cntraparte mediante una cámara de cmpensación Est se lgra mediante cuentas de margen Margen Inicial i Marcar a Mercad Margen de Mantenimient Llamad de Margen Base: diferencia entre futur y preci spt

13 Derivads Plain Vanilla OPCIÓN CALL Un cntrat bilateral (mercad OTC) estandarizad (blsa) Le da el DERECHO a su tenedr (psición larga) de cmprar a la tra parte (psición crta) en un mment dad (ExpiraciónT) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K). Se requiere un pag iiil inicial (Pi (Prima) pr parte del cmpradr de la pción.

14 Derivads Plain Vanilla OPCIÓN CALL El dueñ de la pción sl debe ejercer si el subyacente tiene un preci superir al Strike Pag final de una call: [S(T) K] + = max (0, S(T) K) Ej. Un agente cmpra pcines call sbre una acción: Fecha cmpra: ctubre 21 Subyacente: Acción de XYZ; S(0) = $80 Ncinal: 1000 accines Prima inicial pr pción: $8 Strike (preci de ejercici): $85 Expiración: tres meses (ener 21, 2012) En expiración, si S(T) = $100, el agente ve valr en cmprar la acción pr $85, pr l cual usaría la pción En expiración, si S(T) = $75, el agente preferiría cmpra la acción en el mercad

15 Derivads Plain Vanilla Opción Call PyG final de psición larga. Usems K=100, T=0.5, prima=5, r=5% PyG = Pag final valr (futur) de la prima Py yg Final e 5% 0.5 PyG Call, Psición Larga Pendiente = S(T)

16 Derivads Plain Vanilla Opción Call PyG final de psición crta. Usems K=100, T=0.5, prima=5, r=5% PyG = valr (futur) de la prima - Pag final 5 PyG ygca Call, Psición scó Cta Crta PyG Final e 5% 0.5 Pendiente = S(T)

17 Derivads Plain Vanilla OPCIÓN PUT Un cntrat bilateral (mercad OTC) estandarizad (blsa) Le da el DERECHO a su tenedr (psición larga) de vender a la tra parte (psición crta) en un mment dad (ExpiraciónT) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K). Se requiere un pag iiil inicial (Pi (Prima) pr parte del cmpradr de la pción.

18 Derivads Plain Vanilla OPCIÓN PUT El dueñ de la pción sl debe ejercer si el subyacente tiene un preci inferir al Strike Pag final de una put: [K S(T)] + = max (0, K S(T)) Ej. Un agente cmpra pcines put sbre una acción: Fecha cmpra: ctubre 21 Subyacente: Acción de ABC; S(0) = $60 Ncinal: 500 accines Prima inicial pr pción: $10 Strike (preci de ejercici): $65 Expiración: seis meses (abril 21, 2012) En expiración, si S(T) = $50, el agente ve valr en vender la acción pr $65, pr l cual usaría la pción En expiración, si S(T) = $75, el agente preferiría vender la acción en el mercad

19 Derivads Plain Vanilla Opción Put Eurpea PyG final Psición Larga. Usems K=100, T=0.5, prima=5, r=5% PyG = Pag final valr (futur) de la prima PyG Put, Psición Larga Py yg Final Pendiente = e 5% S(T)

20 Derivads Plain Vanilla Opción Put Eurpea PyG final Psición Crta. Usems K=100, T=0.5, prima=5, r=5% PyG = valr (futur) de la prima Pag final 5 PyG Put, Psición Crta Py yg Final Pendiente = 1 5 e 5% S(T)

21 Derivads Plain Vanilla Si el dueñ de la pción hace us de su derech, se dice que ejerce la pción Eurpea: sl se puede ejercer en T Americana: se puede ejercer en cualquier mment, hasta T In-the-mney Out-f-the-mney At-the-mney: S(0) K Call: S(0) > K Put: S(0) < K Call: S(0) < K Put: S(0) > K Valr Intrínsec: valr si se ejerciera hy Call: S(0) K Put: K S(0)

22 Derivads Plain Vanilla Subyacentes típics: Accines individuales Índices accinaris Tasas de cambi Futurs (típicamente cn subyacente de cmmdities) Csts de Transacción Cmisines a la blsa yplatafrmas de transacción Márgenes (bid-ffer) a creadres de mercad

23 Derivads Plain Vanilla En el mercad OTC, se tiene en general riesg de cntraparte: t Riesg de que el vendedr de la pción n cumpla cn el pag pactad Psible mitigación cn prvisines de garantías En la blsa, las pcines se marcan a mercad (y la cuenta de margen se ajusta según la variación): Psición ió larga: paga prima inicial. i i En adelante, en su cuenta tiene un activ (la pción) Psición crta: recibe prima inicial. Debe pner margen adicinal. En adelante la psición se marca diariamente. Ganancias se depsitan a su cuenta, y pérdidas se debitan (sufriend psibles llamadas de margen)

24 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

25 Principi de N Arbitraje Recrdems la existencia del mercad mnetari Llamems B(t,T) el factr de descuent de madurez T, tal cm se bserva en t Este es el preci de un bn cer cupón a T (llamems ésts T-bns) B(t,T) = e -r(t,t)(t-t) = e -r(t-t) En l que sigue, n se necesita que r sea cnstante, t ni que sea determinística (puede variar aleatriamente en el tiemp) Invertir es cmprar T-bns. Pedir prestad es vender (emitir) T-bns. Precis de Opcines: C E, C A, P E, P A.

26 Principi de N Arbitraje Paridad Put-Call Eurpea. Para pcines eurpeas call y put cn iguales Strikes y expiracines, se tiene C E P E = S(0) KB(0,T) Larg Call Si está larg call, y crt put, en Expiración: Crt Put + = Larg Acción, "Crt" Strike 80 S(T) 80 Si S>K, se ejerce la call, y n la put: se cmpra la acción pr K. Si S<K, se ejerce la put, y n la call: se cmpra la acción pr K. En td cas, en expiración siempre se cmpra la acción pr K. S(T) 80 S(T)

27 Principi de N Arbitraje El valr actual de estar larg la call y crt la put es C E P E El valr actual de cmprar una acción pr K es S(0) KB(0,T) Las ds cantidades deben ser iguales. En cas cntrari existiría un arbitraje Nta: Si se tiene el preci de una pción call, se puede calcular el preci de una pción put a partir de la ecuación de la paridad

28 Principi de N Arbitraje Ctas Selectas a. C E C A, P E P A b. S(0) KB(0,T) C E S(0) c. KB(0,T) S(0) P E KB(0,T) d. K S(0) P A K

29 Principi de N Arbitraje Terema. Para una acción sin dividends C E = C A Dem./ Supngams C E C A, y que la pción americana se ejerce en T (si n es así, se da un arbitraje trivial) t=0: - Cmprar una call eurpea pr $ C E -Vender una call americana pr $ C A - Cnsumir la diferencia (psitiva) t=t: - cntraparte ejerce call americana: -1 acción, +$K - Cmprar K/B(,T) T-bns: -$K t=t: - call eurpea: si S(T) K, n se ejerce y el pag del T-bn alcanza a cubrir el preci del crt de la acción (y sbra) si S(T) K, se ejerce, se cancela el crt de la acción, y se paga cn el bn (y sbra) En cualquier cas, se gana plata, y nunca se pierde ARBITRAJE! Supsición falsa.

30 Principi de N Arbitraje Paridad Put-Call Americana S(0) KB(0,T) C A P A S(0) K i. S(0) KB(0,T) C A P A. [Se sigue de C E = C A y C E P E = S(0) KB(0,T)] ii. C A P A S(0) K. Si se está larg una call americana, y crt una eurpea, se tiene un valr intrínsec de S(0) K (exactamente una de las ds pcines se pdría ejercer)

31 Valración N Arbitraje Inicialmente ntams que precis de pcines dependen de K, T y S(0) Dependencia de K: C decreciente en K; P creciente en K K<K C E (K) - C E (K ) < (K -K) B(0,T) P E (K ) - P E (K) < (K -K) B(0,T) C y P sn cnvexas en K

32 Valración N Arbitraje Dependencia de x = S(0): C creciente en x; P decreciente en x x<x C E (x ) - C E (x) < x - x P E (x) - P E (x ) < x - x C y P sn cnvexas en x C(0) 0 x >> K C(x) S(0) KB(0,T) Cnsecuencia de paridad Put-Call

33 Valración N Arbitraje C E Valr del Tiemp Valr Intrínsec S(0)

34 Valración N Arbitraje Dependencia de T T<T C A (T) C A (T ) Recrdems Valr Intrínsec: Valr de la pción si se ejerciera hy. Para una call, VI = max(0, S(t) K) Valr del tiemp = Preci pción VI Valr del tiemp es máxim en S(0) = K En x K, el valr del tiemp es creciente En x K, se tiene C E (x) - C E (K) x - K

35 Valración N Arbitraje Máxim se da cuand S(0) = Strike (en valr presente) Valr del Tiemp S(0)

36 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

37 Estrategias usand Opcines + 1 call Mtivacines Participar sl de ganancias Actar Pérdidas Apalancar ganancias K Pr ejempl: S(0) = 100, K = 100, prima = 10, T = 1 Cn $100 se puede cmprar una acción, 10 pcines. PyG \ S(T) Acción Opcines

38 Estrategias usand Opcines + 1 put Mtivacines Participar sl de bajas en el preci Actar Pérdidas Apalancar ganancias de una psición crta K

39 Estrategias usand Opcines + 1 acción, -1 call Call cubiert Ganar una prima, sacrificand ganancias S(0) K

40 Estrategias usand Opcines + 1 acción, + 1 put Prtegerse cntra pérdidas S(0) K

41 Estrategias usand Opcines + 1 call, Strike K1, - 1 call, Strike K2 > K1 + 1 Call Spread + 1 Bull Spread Mtivación K1 K2

42 Estrategias usand Opcines + 1 put, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1 + 1 Put Spread + 1 Bear Spread Mtivación K2 K1

43 Estrategias usand Opcines + 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1 Mtivación K2 K1

44 Estrategias usand Opcines - 2 calls, Strike K1, + 1 call, Strike K2 < K1 Mtivación K2 K1

45 Estrategias usand Opcines + 1 call, Strike K1, + 1 put, Strike K1 + 1 straddle Mtivación K1

46 Estrategias usand Opcines - 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1-1 strangle Mtivación K2 K1

47 Estrategias usand Opcines + 1 call, Strike K1, - 2 calls, Strike K2 > K1, + 1 call, Strike K3 > K2 +1 Butterfly Spread Mtivación K1 K2 K3

48 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

49 Un Perid Objetiv: encntrar C E, P E, C A, P A Debems supner características del preci del subyacente MODELOS Deben representar fielmente el mvimient de ls precis (su naturaleza estcástica) Deben incrprar características imprtantes de ls mercads Deben ser sencills (de implementar y de usar)

50 Un Perid Tenems la siguiente pción call eurpea: Preci Acción: S(0) = 80 Strike: K = 100 Expiración: T = 1 Tasás cer cupón cmpuestas cntinuamente (las supnems cnstantes): r = 10% Planteems el siguiente mdel para S(T): 80 S(T) 90% 120?? C E (t=t) 90% C E 10% 60 10% 0 t=0 t=t t=0 t=t 20

51 Un Perid Intent natural:?? C C E C E (t=t) 90% 10% Encntrar valr esperad de preci final Descntar ese prmedi a valr presente 20 Resultad de este intent: C E =? e -rt (90% % 0) =

52 Un Perid Idea: cnstruir un prtafli (cn accines y bns cer cupón) que replique ls flujs de caja de la acción (sl hay flujs en t=t) Pag pción = valr prtafli en estad arriba Pag pción = valr prtafli en estad abaj Si se lgra est, se debe tener C E = preci (hy) del prtafli replicante de l cntrari habría arbitraje P. ej., si C E < preci prtafli, se cmpra la pción y se vende el prtafli Hy, t=0: ganancia igual a la diferencia En t=t: ingres pción = egres prtafli Net, hy ganams plata sin riesg arbitraje

53 Un Perid x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( abaj ) 60x + 100y = 0 x = y = Valr prtafli: 80x + 100e -rt y = 8.57 C E = 8.57

54 Un Perid En general, el mdel del preci de la acción es S(T) p S 0 S 0 eut d < r < u Para evitar arbitraje 1-p S0e dt t=0 t=t El pag final de un derivad depende del preci final de la acción: D u =D u (S u ) y D d =D d (S d ) p D 0 D(T) D u 1-p D d

55 Un Perid x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) S 0 e ut x + 100y = D u ( abaj ) S 0 e dt x + 100y = D d x = (D u -D d ) / S 0 (e ut -e dt ) y = (D ut dt ut dt d e - D u e ) / 100(e -e ) Valr prtafli: e -rt [q* D u + (1-q*) D d ], dnde q* = (e rt - e dt ) / (e ut - e dt )

56 Un Perid Lueg g el preci del derivad se btiene Encntrand valr esperad* de preci final Descntand ese prmedi a valr presente El valr esperad se encuentra cn q* p pn afecta el preci del derivad q* prbabilidad de neutralidad al riesg Este fue el aprte de Black, Schles y Mertn,,que les mereció el premi Nóbel

57 Un Perid Resumen: Nta: D 0 = E*[e -rt D final ] E*[e -rt S(T)] = e -rt [q* S u + (1-q*) S d ] = e -rt S(0)[e ut (e rt -e dt )+e dt (e ut -e rt )] / (e ut -e dt ) = S(0) S0!! De ahí el nmbre de neutralidad al riesg : es la prbabilidad bilid d que me prnstica igual rendimient i de la acción (riesgsa) que del bn (sin riesg)

58 Múltiples Perids Extensión Dividir T en más de N perids t i =T i/n i Δt=T/N Pdrían ser distints T S 0 P. ej., N = 2 S u =S 0 e u1δt Sd=S0e d1δt S uu =S 0 e (u1+u2)δt S ud =S 0 e (u1+d2)δt S du =S 0 e (d1+u2)δt S dd =S 0 e (d1+d2)δt

59 Múltiples Perids Si el estad UD cincide cn DU, el árbl es recmbinante Aplicación: pción put americana, S(0)=50, K=58, r=3%, u1=u2=u=40%, d1=d2=d=-20%, d d T=1 Prces Estcástic de S(t) t=0: S 0 = 50 t=0.5: S(U) = 61.07, S(D) = t=1: S(UU) = 74.59, S(UD) = S(DU) = 55.26, S(DD) = 40.94

60 Múltiples Perids q* q = 34.8% Prces del valr de P A (t) t=1: P A (UU) = 0, P A (UD) = P A (DU) = 2.74, P A (DD) = t=0.5: P A (U) = max {(K-S(U)) ( +, e -rδt [q* P A (UU) + (1-q*) P A (UD)]} = 1.76 P A (D) = max {(K-S(D)) +, e -rδt [q* P A (DU) + (1-q*) P A (DD)]} = t=0: P A = max{(k-s 0 ) +, e -rδt [q* P A (U) + (1-q*) P A (D)]} = Universidad de ls Andes - Especialización en Ecnmía del Riesg y la Infrmación 2009 Valración de Instruments Derivads Módul I

61 Múltiples Perids Extensión a N perids, recmbinante Δt=T/N, u, d, r cnst j=#veces arriba - - S=S 0 e (ju+(n-j)d)t/n # camins que llegan ahí: N j q* prbabilidad de neutralidad al riesg Prbabilidad bilid d de llegar ahí: N ( q *) j j (1 q *) N j

62 E Múltiples Perids Ntar: N ( ju ( N j) d ) t N j *[ S( T )] S0 e ( q*) (1 q*) j0 j S S N N ut j dt N j 0 ( q * e ) ([1 q*] e ) j 0 j 0 q ut * e (1 rtn S0e S0 e rt q*) e dt Baj la prbabilidad q*, S crece a un ritm r N N j

63 Múltiples Perids Ntar (usand salts independientes, idénticamente distribuids): ib id VAR*[ln{ S( T ) / S(0)}] VAR*[ N Nt 2 T N q *( u 2 ( u ( u r) 2 r)( r r)( r t 2 d) d) N j1 (1 q*)( r lns( jt) / S(( j 1) t) ] d) Se calibra el mdel a la vlatilidad d del mercad. Pr ejempl, cn u-r = r-d, y vlatilidad anual de ln(s(t)/s(0)), btenems u = r + σ/ Δt, d = σ/ Δt - r 2 t 2

64 Múltiples Perids Preci de un derivad estil eurpe cn pag final V(T,S(T)), cuy preci depende del preci final de la acción, S(T): V(0) = E*[e -rt V(T)] N N rt e V ( T, S j0 j Para derivads en general, el preci inicial se btiene devlviéndse en el árbl, en efect repitiend la slución del mdel de un tiemp. ( ju ( N j ) d ) t j N 0 e ) ( q *) (1 q *) j

65 Múltiples Perids Histgrama S(T), N=25

66 Múltiples Perids Histgrama de Ln(S(T)/S(0)), N=100

67 Tiemp Cntinu Cuand N es grande, est es muy similar a una distribución nrmal! Mdel en el límite: S(T) = S(0) exp{(r -½σ 2 )T + σ T Z}, } dnde Z ~ N(0,1) (baj la prbabilidad q*). El términ (r - ½σ 2 )T hace que E*[S(T)] = e rt S(0) La valración de derivads se preserva: V(0) = E*[e -rt V(T)] Pr ejempl, si V(T) = (S(T)-K) +, se btiene la fórmula de Black & Schles para el preci de una pción call eurpea

68 Mvimient Tiemp Cntinu Brwnian Mvimient Brwnian W( ) es un prces estcástic cntinu W(0) = 0 W(t+Δt) W(t) es independiente de W(t) W(t+Δt) W(t) ~ N (0, Δt) Cn est, el mdel de la acción se escribe S(t) = S(0) exp{(r - ½σ 2 )t + σw(t)}, Mvimient Brwnian Gemétric ds(t) = rs(t)dt + σs(t)dw(t)

69 Tiemp Cntinu Fórmula de Black y Schles: C E = E*[e -rt (S(T)-K) + ] = E*[ {S(0) exp(-½σ 2 T + σ T Z) - e -rt K} + ] (integrar) = S(0) N(d + ) - e -rt K N(d - ), dnde d + = [ ln(s(0)/k) + (r + ½σ 2 )T ] / σ T d - = d + - σ T Fórmula de Black y Schles para puts eurpeas: P E = e -rt K N(-d - ) - S(0) N(-d + )

70 Tiemp Cntinu Vlatilidad Implícita Una vez más, qué era σ? Es la vlatilidad usada para valrar la pción Representa la vlatilidad que se espera (a futur, durante la vida de la pción) del subyacente Relacinada cn la vlatilidad realizada, per pueden ser bastante distintas Dad que ls demás insums de las pcines se bservan, esta es la cantidad que ctizan, y transan, ls traders de pcines

71 Tiemp Cntinu Las primas de las pcines crecen cn σ Dads S(0), K, T, r y la prima, se puede despejar σ de las fórmulas de BS Esta es la vlatilidad implícita (está implícita en la prima) se bserva en el mercad de pcines Nrmalmente varía cn el Strike (snrisas)

72 Tiemp Cntinu Para la mayría de derivads distints de pcines put y call eurpeas, n hay accesibles fórmulas cerradas de valración Técnicas de valración Árbles (binmial, trinmial, n recmbinante, ) Valración pr inducción ió en reversa (trabajar del final al principi) i i Puede valrar derivads bastante generales Puede ser muy demandante cmputacinalmente Simulación l ió de Mnte Carl Más sencill cmputacinalmente Mens general (pr ejempl, muy difícil de valrar pcines cn terminación ió acelerada)

73 Tiemp Cntinu Resumen Mdel prbabilístic del preci del subyacente Se pretende capturar ciertas características del mvimient. la vlatilidad del subyacente, pr ejempl Baj la prbabilidad de valración, ls activs crecen a un ritm r Valr teóric: prmedi (baj esta prbabilidad de valración) de VPN de pags finales Implementación l t de esta distribución ib ió (árbles, simulación) Incrprar psibles terminacines tempranas

74 Mdels de Valración Es imprtante diferenciar entre Mdels de Valración Métds de Valración Mdels Establecen una dinámica de mvimient del (ls) subyacente(s) Enmarcan la dinámica en un espaci de prbabilidad Simplifican el entrn ecnómic y financier en mdels matemátics Exhiben fórmulas de valración y análisis (n necesariamente simplificadas) Métds Establecen herramientas numéricas y cmputacinales para realizar ls cálculs requerids según el mdel Simplifican numéricamente ls cálculs

75 Mdels de Valración Marc Teóric El Valr de n arbitraje de un derivad d cnsiste en: Valr presente (descntad) del pag final Valr esperad de este valr presente El valr esperad se debe hacer baj una medida de prbabilidad muy particular Prbabilidad de Neutralidad al Riesg Baj esta prbabilidad, el valr esperad del retrn de (tds) ls activs mdelads es igual a la tasa libre de riesg Et Esta fórmula es un terema; hay una platafrma matemática detrás que permite llegar a est Cncept usad: el valr de un derivad debe ser igual al valr de un prtafli de instruments básics que repliquen ls flujs de caja del derivad d Esta prbabilidad de neutralidad al riesg ( este prtafli replicante) siempre existe? Es única?

76 Mdels de Valración Marc Teóric PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si n hay arbitraje SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una única prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si el mercad mdelad es cmplet (hay frma de replicar tds ls flujs de caja derivads de ls instruments básics)

77 Mdels de Valración Mdels Buscads Deben representar fielmente el mvimient de ls precis (su naturaleza estcástica) Deben incrprar características imprtantes de ls mercads Deben ser sencills (de implementar y de usar) Variables Mdeladas Precis de subyacentes Tasas de Interés Otras variables: clima, energía, catástrfes Las distribucines usadas típicamente giran alrededr de distribucines nrmales Se busca la distribución baj la prbabilidad de neutralidad al riesg

78 Mdels de Valración Calibración del mdel Escger parámetrs de tal frma que el mdel valre cercanamente instruments bservads en el mercad Parámetrs n bservables pueden acercarse a cmprtamient históric, se puede usar precis de instruments similares Métds para calibrar ests parámetrs: Mínims Cuadrads, máxim-versimilitud,

79 Mdels de Valración Valración y Análisis de Riesg Un mdel es tan buen cm la estrategia de cbertura de riesgs que frezca Matemáticamente, se busca: Métds Evaluar una integral (un valr esperad) Slucinar una ecuación diferencial parcial Simulación (Mnte Carl) Árbles (Mdel Binmial y extensines) Análisis numéric para slucines de Ecuacines Diferenciales Parciales

80 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

81 Mtivación La crpración NN es cliente del banc A NN quiere cmprar una pción (pr alguna razón que cmunica a A) NN pne a A en cmpetencia y le pide fertas a ls bancs A, B y C A frece el mejr preci y le vende la pción a NN N es un riesg que buscara A qué puede hacer? Nada, y esperar que el destin le juegue bnit Vender la misma pción en el mercad raramente se puede Cubrir b i el riesg de la pción cn instruments t líquids A

82 Objetiv Cóm cambia el preci de una pción ( en general un derivad) cuand cambian las variables de mercad? Preci subyacente Tasas de interés Vlatilidades Tiemp Una frma de averiguarl: valrar nuevamente la pción cuand estas variables se mueven un pc Griegas! (sensibilidades)

83 Delta (δ) Cambi del preci de una pción ( un derivad en general) cn respect a cambis en el preci del subyacente precip S Si se tiene un mdel de valración, se mueve S(t) en una unidad, y se bserva el cambi en el preci de la pción Ejempl: cntrat frward Su valr en el tiemp t es V(t) = (F(t,T) F(0,T)) P(t,T) = S(t) S(0) P(t,T) / P(0,T). Así, su delta es 1

84 Delta (δ) En el cas de una pción call eurpea, se puede encntrar directamente de la fórmula de BS: E C ( call ) N ( d ) S d 2 x 2 e dx 2 Ntar que este delta está entre 0 y 1 Qué significa? Si una pción call tiene delta = 0.4, entnces el cambi en el preci de la pción cuand el subyacente aumenta $1 es aprximadamente +$0.4 Es decir, ΔC E δ ΔS

85 Delta (δ) Así, si estams largs una pción, y vendems 0.4 accines, el PyG dl del prtafli fl cuand el subyacente aumenta $1 es aprximadamente +$0.0: Δπ = ΔC E - δ ΔS 0 Para cubrir el delta de una pción put (psición larga en la pción), se deben cmprar accines El delta representa cuántas accines se tienen mediante el derivad; la cbertura es tmar la psición cntraria en el subyacente

86 Gamma (Γ) Cambi del delta cn respect a cambis en el preci del subyacente: 2 preci 2 S S Si se tiene un mdel de valración, se mueve S(t) en una unidad, y se bserva el cambi en delta Similar, per más precisamente, se bserva el cambi en el preci del derivad cuand S(0) S(0) + ΔS (δ1) y cuand S(0) - ΔS S(0) (δ2), y se determina el cambi en ls cambis. Ejempl: cntrat frward Su valr en el tiemp t es V(t) = (F(t,T) F(0,T)) P(t,T) = S(t) S(0) P(t,T) / P(0,T). Así, su gamma es 0

87 Gamma (Γ) Para una pción call, cuand el preci de la acción sube, qué pasa cn el delta? Sube Es decir, su gamma es psitiv Para una pción put, cuand el preci de la acción sube, qué pasa cn el delta? Sube (es mens negativ) Es decir, ests precis sn funcines cnvexas en S(0) (prque su segunda derivada es psitiva) Cm se interpreta financieramente esta cnvexidad?

88 Gamma (Γ) Ejempl: + 1 pción call eurpea, K = 100 Permanentemente cubrims su delta t=t 0 =0: S(0) = 100, δ = 0.5, Γ = 0.04 debems vender 0.5 accines (en $100) t=t 1 : S(t 1 ) = 102, δ = 0.58 debems estar crts 0.58 accines vender 0.08 accines extra (en $102) t=t 2 : S(t 2 ) = 97, δ = 0.38 debems estar crts 0.38 accines cmprar 0.2 accines de vuelta (en $97) t=t 3 : S(t 3 ) = 100, δ = 0.5 debems estar crts 0.5 accines vender 0.12 accines extra (en $100) El prtafli final es igual al inicial: {+1 pción call, accines}

89 Gamma (Γ) Per en el camin vendims 0.08 accines en 102, 0.12 en 100, y cmprams 0.2 accines en 97 Est da un PyG de $0.64 Mientras más se mueva la acción, más pdrems repetir este prces de vender car ycmprar barat Este es el valr de gamma. Pr est al estar largs la pción (y en efect estar largs gamma), preferims tener altas vlatilidades N viene gratis si n se mueve el subyacente, perdems valr de la pción cn el pas del tiemp, valr que se incluyó en el pag de la prima Muy aprximadamente, si la vlatilidad realizada de la acción es mayr que la implícita (la usada para valrar la pción inicialmente), se gana plata cubriend el delta De l cntrari, aprximadamente se pierde plata Oj cn ls csts de transacción al cubrir el delta.

90 Preci Call Eurpea Preci Call S(0)

91 Delta Call Eurpea Delta Call S(0)

92 Gamma Call Eurpea Gamma Call S(0)

93 Theta (Θ) Cambi del preci cn respect al cambi del tiemp: preci T El tiemp es la única variable cuy futur cncems El pas del tiemp es certer y n se ve bien en las pcines Decaimient: cuand pasa el tiemp, la pción pierde valr (pierde su valr del tiemp) Oj cn ls signs: cuand ns adelantams en el tiemp, T decrece (el tiemp hasta la expiración de la pción) Pr est el sign negativ

94 Theta Call Eurpea Theta Call S(0)

95 Vega Cambi del preci cn respect a cambis en la vlatilidad implícita: vega preci Al cnstruir el mdel para llegar a la fórmula de BS, se supnía σ cnstante t. entnces cóm se justifica esta cantidad? En la práctica, la vlatilidad que usan ls bancs para transar y valrar pcines sí cambia (en principi, cambian cn las expectativas de la vlatilidad a futur)

96 Vega Call Eurpea Vega Call S(0)

97 Rh (ρ) Cambi del preci cn respect a cambis en la tasa de interés: preci r Al cnstruir el mdel para llegar a la fórmula de BS, se supnía r cnstante. entnces cóm se justifica esta cantidad? d? En la práctica, las tasas cambian Veams un ejempl numéric

98 Prtaflis Cuand se tienen prtaflis de derivads y activs básics, las griegas se pueden agregar linealmente; p.ej., el delta de un prtafli es la suma de ls deltas de sus cmpnentes El análisis de riesg de un prtafli y la explicación de su PyG están íntimamente ligads

99 Prtaflis Supngams p g que en un prtafli sl se encuentran una acción, y pcines y frwards sbre esta acción Lueg g las variables que pueden mver el valr del prtafli sn S, T, σ, r π = π (S, T, σ, r) Expansión de Taylr:

100 Expansión de Taylr delta Expansión de Taylr ) ( 1 ) ( 2 2 S S S S gamma ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( T T T T S S S S S S theta ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( T T T T T T vega ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( r r r r rh ) )( ( ) )( ( ) ( 2 ) ( S S T T S S r r r r r r ) )( ( ) )( ( S S S T T S S T S

101 Expansión de Taylr Se aprxima td cn el primer rden Cn la variable S, tca ir hasta el segund rden (gamma) la razón es técnica el Mvimient Brwnian tiene variación cuadrática mayr que 0???? 1 S S 2 T 2 vega r

102 Prtaflis Ejercici

103 Opcines Opcines PlainVanilla Principi de n Arbitraje Estrategias cn Opcines Valración Riesg (Griegas) Opcines Exóticas

104 Opcines Exóticas Variación en: Tiemps de ejercici Cndicines para pder ejercer Strikes variable Preci del subyacente (el pag final puede depender de una función de la evlución del preci) Fórmula de ejercici de la pción Subyacente Opcines cmpuestas Cmbinacines de las anterires

105 Opcines Exóticas Tiemps de ejercici Opcines Eurpeas: sl en el mment de expiración Opcines Americanas: en cualquier mment antes de la expiración Opcines estil Bermuda: en cierts tiemps especificads en el derivad (pr ejempl, cada tres meses)

106 Opcines Exóticas Cndicines para pder ejercer Barreras: Up-and-In, Up-and-Out, Dwn-and-In, Dwn-and-Out, y variacines Barrera Up-and-Out: 190 Opción muere cuand el subyacente tca la barrera Cóm se vería el delta de esta pción? ió? Preci Accin Barrera

107 Opcines Exóticas Cndicines para pder ejercer Extensión: Parisinas 190 Opción muere cuand el subyacente haya pasad la barrera pr algún tiemp preestablecid Preci Accin Barrera

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