Ejercicio. 1. Cuántas banderas tricolores se pueden fabricar si tenemos telas de 7 colores? m= n=

Transcripción

1 TEMA : COMBINATORIA COMBINATORIA L Coitori estudi ls ordecioes o grupcioes de u deterido úero de eleetos. E todo prole coitorio hy vrios coceptos clves que deeos distiguir: Polció. Es el cojuto de eleetos que estos estudido. Deoireos co l úero de eleetos de este cojuto. Muestr. Es u sucojuto de l polció. Deoireos co l úero de eleetos que copoe l uestr. Los diferetes tipos de uestr viee deteridos por dos spectos: Orde. Es decir, si es iportte que los eleetos de l uestr prezc ordedos o o. Repetició. L posiilidd de repetició o o de los eleetos. Fctoril de u úero turl. Es el producto de los fctores cosecutivos desde hst. El fctoril de u úero se deot por!.! =. (-). (-) != 7!= = 040 ARIACIONES ricioes ordiris. Se ll vricioes ordiris de eleetos todos de e ( ) los distitos grupos fordos por eleetos de for que: No etr todos los eleetos. Sí iport el orde. No se repite los eleetos. Su fórul es, Ejercicio.. Cuáts ders tricolores se puede fricr si teeos tels de 7 colores? = = Iport el orde? Hy repetició? ricioes co repetició. Se ll vricioes co repetició de eleetos todos de e los distitos grupos fordos por eleetos de er que: No etr todos los eleetos si >. Sí puede etrr todos los eleetos si Sí iport el orde. Sí se repite los eleetos. R Su fórul es, Ejercicios.. Cuátos úeros de 4 cifrs se puede forr co los úeros,, 3, 4, y 6? = = Iport el orde? Hy repetició? 3. Cuáts quiiels heos d reller pr certr los resultdos? = = Iport el orde? Hy repetició?

2 PERMUTACIONES Ls perutcioes de eleetos so vricioes e ls que toos todos los eleetos ( = ) y so ls diferetes grupcioes de esos eleetos de for que: Sí etr todos los eleetos. Sí iport el orde. No se repite los eleetos. Su fórul es P! Ejercicios. 4. E u crrer prticip 8 corredores, de cuáts ers puede quedr l clsificció? = = Iport el orde? Hy repetició?. De cuáts ers puede setrse 6 persos e u co de 6 plzs? = = Iport el orde? Hy repetició? COMBINACIONES Ls coicioes de eleetos todos de e ( ) so tods ls grupcioes posiles que puede hcerse co los eleetos de for que: No etr todos los eleetos. No iport el orde. No se repite los eleetos. Su fórul es C, P,!! ( )! Ejercicio. 6. U pitor dispoe de 7 colores, cuáts ezcls de tres colores diferetes puede hcer? = = Iport el orde? Hy repetició? 7. Cico puelos se quiere uir edite cios que vy de cd puelo todos los deás. Cuátos cios heos de trzr? = = Iport el orde? Hy repetició?

3 NÚMEROS COMBINATORIOS Los úeros coitorios es u for de epresr ls coicioes de eleetos todos de e y se represet sí:!!! Propieddes 0 Ejercicios. 8. Clculr los siguietes úeros coitorios ) 3 8 ) 0 9. Deuestr l propiedd 0. Deuestr que. Resuelve ls siguietes ecucioes coitoris )!! ),,3 6

4 c),, 4 d) 7,, R e) P P P f) 4, 6, 7 C C BINOMIO DE NEWTON L fórul geerl del ioio de Newto es l siguiete: k k k 0 Est fórul os perite elevr u ioio culquier poteci. eos lguos ejeplos. 3 4

5 Ejercicios. y. Desrroll el ioio 3 y 3. Clculr el décio tério del desrrollo de 3 4. Clculr que cotiee 3 e el desrrollo de Qué lugr ocup? y. Clculr el tério que cotiee 3 e el desrrollo de y 0

6 EJERCICIOS. Luis, Crlos, Gozlo, Pco y Jorge h queddo e l puert del cie co sus igs, Cre, Ele, Cristi y Ge. Al ecotrrse cd chico slud tods ls chics, cuátos sludos se hce e totl? Sol: 40 sludos.. De cuátos prtidos cost u liguill ford por cutro equipos? Sol:. 3. De cuáts fors puede colocrse los jugdores de u equipo de fútol teiedo e cuet que el portero o puede ocupr otr posició distit de l porterí? Sol: Cuátos resultdos posiles se puede oteer l lzr u ddo y dos oeds distits?. Sol: 4 resultdos. De cuáts fors diferetes se puede curir los puestos de presidete, vicepresidete y tesorero de u clu de fútol siedo que hy posiles cdidtos? Sol: U socició se dispoe h etregr los preios Hoj de oro y Hoj de plt. Pr ello se h selecciodo 0 liros. De cuáts ers puede reprtirse los dos preios? Sol: 90 fors. 7. E u ul hy 6 vets que puede estr ierts (A) o cerrds (C), idistitete. Est ñ su posició er est ACAACA, es decir, est ierts l ª, 3ª, 4ª y 6ª, y cerrds, l ª y ª. Cuáts posicioes distits puede teer ls vets? Sol: E el lfeto Morse se utiliz dos síolos: el puto y l ry, pr represetr letrs y úeros. Cuáts tirs de tres síolos de estos se puede forr? Sol: 8 tirs. 9. Cuátos cpicús de tres cifrs eiste? Sol: 90 úeros cpicús. 0. Pedro y Mrí jueg u toreo de teis que grá el que cosig dos sets seguidos o tres lteros. De cuáts fors puede desrrollrse el toreo? Sol: 0 fors.. icete quiere reglr su igo Pedro 3 discos, y los quiere elegir etre los 0 que ás le gust. De cuáts fors puede hcerlo? Sol: 0 fors.. Los luos y lus de 4º ESO quiere elegir u coisió ford por tres de ellos. Cuáts coisioes distits se puede forr co los 30 de l clse? Sol: coisioes. 3. De cuáts fors puede elegirse dos crts de u rj espñol de 40 crts? Sol: 780 fors. 4. Dispoeos de seis clses de fruts y quereos hcer tidos de tres sores diferetes. Cuátos tidos diferetes se puede hcer? Sol: 0 tidos.. Cuáts posiles ezcls de dos colores, e idétics ctiddes, se puede hcer co ocho trros de pitur de diferetes colores? Cuáts ezcls de tres colores? Y de cutro colores? Sol: 8, 6 y De cuáts fors puede reprtirse tres etrds pr u cocierto de rock etre seis igos y igs si que iguo pued llevrse ás de uo? Sol: 0 fors. 7. Pr forr u equipo de locesto hce cico jugdores y el etredor dispoe de 0. ) Cuátos equipos distitos puede forr? Sol: ) Si elige dos jugdores y los tiee fijos, cuátos equipos distitos podrá hcer co los ocho resttes? Sol: Cuátos úeros de cico cifrs distits se puede forr co ls cifrs ipres? Cuátos de ellos so yores de ? Sol: 0 y 48 so yores que Co ls cifrs, y 3, cuátos úeros de cico cifrs puede forrse? Cuátos so pres? Sol: 43 y 8 será pres. 0. Se v celerr eleccioes e l APIMA y hy que elegir l presidete, l secretrio y l tesorero. De cuáts ers se podrá elegir estos crgos si se preset ocho cdidtos? Sol: 336 fors.. Se v reprtir tres reglos etre seis persos. Clcul de cuáts fors se puede reprtir e cd uo de los siguietes csos: ) Los reglos so distitos (u ici, u ordedor y u óvil) y o puede tocrle ás de u reglo l is perso. ) Los reglos so igules y o puede tocrle ás de u reglo l is perso. c) Los reglos so distitos y puede tocrle ás de uo l is perso. Sol: ) 0 ) 0 c) 6.. U grupo, copuesto por cico hores y siete ujeres, for u coité de hores y 3 ujeres. De cuáts fors puede forrse, si: ) Puede perteecer él culquier hore o ujer. ) U ujer deterid dee perteecer l coité. c) Dos hores deteridos o puede estr e el coité. Sol: ) 30 ) 0 c) Los prticiptes de u cocurso tiee que order ciegs seis trjets e ls que está escrit cd u de ls letrs de l plr PREMIO. ) Cuáts ordecioes distits puede slir? ) Les ofrece fijr l P e el lugr que le correspode y reducir el preio l itd. Cuáts ordecioes posiles se puede oteer de est for? Sol: ) 70 ) 0 4. De cuáts fors puede setrse tres persos e u co de cico sietos? Y si el co es de tres sietos? Sol: 60 y 6

7 . Estos hciedo l let pr ir de vccioes y quereos elegir cutro ciss de ls ocho que teeos. De cuáts fors ls podeos elegir? Sol: 70 fors 6. El leguje de u ordedor se trduce secuecis de dígitos fordos por ceros y uos. U yte es u de ests secuecis y está fordo por 8 dígitos. Cuátos ytes diferetes se puede forr? Sol: 6 ytes. 7. Ls 8 fichs de u doió se reprte etre cutro jugdores. Cuátos juegos distitos podrá teer cd jugdor? Sol: ) De cuáts fors se puede order ls letrs de l plr PALOTE? ) Cuáts epiez por P? c) E cuáts de ells ocup ls cosotes los lugres ipres y ls vocles los pres? (Por ejeplo: PATELO). d) E cuáts está lterds vocles y cosotes? Sol: ) 70 ) 70 c) 36 d) Seis igos, 3 chicos y 3 chics, v l cie. De cuáts fors puede setrse si quiere estr lterdos? Sol: Señl 8 putos e u circufereci. Trz ls cuerds que ue cd puto co todos los deás. ) Cuáts cuerds tedrás que diujr? ) Cuáts digoles tiee u octógoo? Sol: ) 8 ) Hll el úero de cpicús de ocho cifrs. Cuátos cpicús hy de ueve cifrs? Sol: 9000 y E uos lcees eple el siguiete código pr rcr los rtículos: L prier cifr idic l secció correspodiete y es u úero etre el y el 9. Después, hy tres cifrs, cd u de ells del 0 l 9, que correspode l úero del proveedor. Cuáts rcs distits se puede hcer? Sol: Cutro liros distitos de teátics, seis diferetes de físic y dos diferetes de quíic se coloc e u estte. De cuáts fors distits es posile orderlos si: ) Los liros de cd sigtur dee estr todos jutos. ) Solete los liros de teátics dee estr jutos. Sol: ) ) Pr triculrte e u curso, tiees que elegir dos sigturs etre ls siguietes: Músic Tecologí Tetro Diujo Iforátic Periodiso ) De cuáts fors puedes hcer l elecció? ) Si e secretrí te dvierte de que ls seis sigturs ls escris por orde de prefereci, de cuáts fors ls puedes escriir? Sol: ) ) El profesor de Mteátics os h propuesto diez proles de los que teeos que resolver cico. ) Cuáts fors hy de selecciorlos? ) De los 0 proles propuestos hy de los que o tiees i ide. Se reduce ucho ls posiiliddes de selecció? Sol: ) ) 6. Se reduce ucho l selecció, proidete e u 77,8%. 36. Cuátos grupos de 4 crts distits se puede hcer co u rj espñol? Cuátos de ellos está fordos por 4 FIGURAS? E cuátos será OROS ls 4 crts? Sol: 9390 grupos. 80 grupos está fordos solo por figurs. 0 grupos será solo de oros. 37. Coo ses, u quiiel cost de 4 prtidos, e cd uo de los cules se puede poer, X o. Cuáts quiiels distits se puede reller? Sol: quiiels distits. 38. Ls trículs de los utoóviles de cierto pís llev cutro úeros y tres letrs. Pr ello, se utiliz los dígitos del 0 l 9 y 6 letrs de uestro lfeto. Cuáts trículs puede hcerse de est for? Sol: trículs. 39. Me v reglr 3 liros y discos por i cupleños. He hecho u list co los que e gustrí teer, y e ell oté liros y 8 discos. De cuáts fors distits puede elegir i reglo? Sol: 80 fors. 40. Dos igos se efret e u toreo de teis, e el que será vecedor el priero que logre gr tres sets. De cuáts fors posiles puede desrrollrse el ecuetro? Sol: 0 ers distits. 4. E u ur hy dos ols lcs, u egr y u roj. Etreos sucesivete u ol cd vez y pros cudo tegos ls dos lcs. Cuáles so los posiles resultdos? Sol: posiles resultdos. 4. El úero 7 77 está fordo por dos cicos y tres sietes. Cuáles so los úeros que podeos forr co dos cicos y tres sietes? Sol: E totl hy 0 úeros. 43. Co ls letrs de l plr CASA, cuáts ordecioes, co o si setido, podeos forr? Sol:. 44. Teeos pess de g, g, 4 g, 8 g y 6 g. Cuáts pesds diferetes se puede hcer todo dos de ells? Y co tres? Clcul cuáts pesds se puede hcer, e totl, todo,, 3, 4 o ls pess. Sol: Todo pess = 0 pesds. Todo 3 pess = 0 pesds. E totl se podrá hcer 3 pesds. 4. E u pizzerí prepr pizzs co, l eos, 4 igredietes. Si dispoe de 6 tipos de igredietes, cuátos tipos de pizz se puede preprr? (Te e cuet que ls puede hcer de 4, ó 6 igredietes). Sol: tipos de pizzs.

8 46. U secretrio h escrito cico crts distits dirigids cico persos. Tié escrie los cico sores correspodietes y ete l zr cd crt e u sore. ) De cuáts fors posiles se puede eter ls crts e los sores? ) E cuátos csos l crt del señor Pérez estrá detro de su sore? Sol: ) 0 ) Clcul cuátos productos de tres fctores distitos podeos forr co ests cifrs:,, 3, 4,, 6 y 7 Sol: Resuelve ls siguietes ecucioes: ) 3 ) 6, 3, c),4 0, d), 4, 4 Sol: ) =7 ) =6 c) =7 d) =7 49. Siplific ls epresioes si clculdor:! 9! 7! 8! 7! 6! ) ) c) d)! 0!! 7 6!! Sol: ) ) (+8) c) 88 d) Resuelve ls siguietes ecucioes: 9! 0!! e)!! 3! ) R,, 7 ) P 3 P c) P P P Sol: ) =7 ) = c) = d) =8. Resuelve:! ) 36 )! Sol: ) = ) =4 y =-3. Desrroll los siguietes ioios: ) 3 y 6 c) 3 4 d) ) 3. Desrroll los siguietes ioios: ) ) 3 c) ) 4 3 d d) Del desrrollo de ( - 3) 6 sólo os iteres el tério quito. Cuál es? Sol: 8. Escrie el tério de grdo 8 e el desrrollo de 3 Sol: Averigu si hy lgú tério del desrrollo de que se de grdo. Si lo hy, escríelo. Sol: Escrie el tério de grdo 8 e el desrrollo de Sol: Clcul el quito tério de l epresió: 4009 Sol: 6 9. Averigu el lugr que ocup el tério de grdo 3 e el desrrollo de l poteci (3- ) 8. Sol: 6º lugr. 60. Averigu el lugr que ocup el tério de grdo e el desrrollo de 3 y escríelo. Sol: Ocup el 7º lugr y es Deteríese el coeficiete de 9 y 3 e: ) ( + y), ) ( + y), c) ( + 3y). Sol: ) 0 ) 760 c) , 6. Escrie el tério idepediete e el desrrollo: 0, Sol: No tiee. 63. Hll el tério que ocup el lugr 0 e el desrrollo de

9 3 c 06 Sol: c 008 AUTOEALUACIÓN. ) E u toreo de loo hy 8 equipos prticiptes y solo 3 trofeos, de cuáts ers distits se puede reprtir los preios º, º y 3º? ) E cuáts qued º el equipo B?. Los uicipios de u ciudd está uidos los deás por distits líes de tre. Cuáts líes hrá e totl? 3. De cuáts fors se puede reprtir 4 ocdillos distitos etre 4 igos, si cd uo dee reciir solo uo? 4. ) Cuátos úeros de cutro cifrs distits podeos forr co los dígitos, 4, 6, 8 y 9? ) Cuátos de ellos será yores que 6000?. ) Cuáts plrs, co o si setido, puede hcerse co ls letrs de l plr PINCEL? ) Cuáts de ells epiez y teri e vocl? 6. ) De cuáts ers podeos poeros 3 illos e los dedos de u o si o puede her ás de u illo e cd dedo? ) Y si podeos poeros ás de u illo e cd dedo? 7. U grupo europeo está fordo por píses. Se quiere crer u coisió de seguiieto ford por cutro píses. ) Cuáts coisioes diferetes se puede hcer? ) E cuáts de ells estrá Espñ? 8. Co los úeros,, 3, 4,, 6, 7, 8 y 9 ) Cuátos productos de dos úeros distitos puedo hcer? ) Y cuáts rests de dos úeros distitos? 9. U equipo de locesto tiee 3 ses, leros y 4 pivots. ) Cuátos equipos puede hcerse si e cd equipo tiee que her se, leros y pivots? ) Cuátos se podrá hcer e el cso de que de los leros se titulr idiscutile? 0. A Pedro le presetro yer u chic que le gustó. Ell le dio su úero de teléfoo, pero o lo putó y sólo recuerd que epez por 38 y que ls otrs 4 cifrs er distits etre sí y eores que. ) Cuáts llds tedrá que hcer pr certr? ) Hciedo u esfuerzo de eori recuerd que el úero teri e 3. Cuáts llds ecesitrí hcer hor?. ) A u fiest cude 6 prejs. Cd perso slud co u rzo l resto, eos su copñero/. Cuátos rzos se h ddo e totl e l fiest? ) U crero descs dos dís l se, de er que estos dos dís v vrido cd se. cuáts ses psrá tes de repetirse los dos dís de descso?!. Siplific l epresió: 3! 6! Resuelve l ecució: 4! 4. Desrroll: Clcul el tério de grdo y el lugr que ocup e el desrrollo de: 4 6. Hll el tério que ocup el lugr 87 e el desrrollo de: 00