MÓDULO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN AULAS RURALES MULTIGRADO. Geometría I COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE CUERPOS Y FIGURAS PLANAS

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1 MÓDULO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN AULAS RURALES MULTIGRADO Geometría I COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE CUERPOS Y FIGURAS PLANAS GUÍA DIDÁC TICA DEL PROFESOR

2 Guía Didáctica del Profesor, Matemática, Módulo Cuerpo y Figuras Planas, Geometría 1 Programa de Educación Rural División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile Autores Equipo Matemática - Nivel de Educación Básica MINEDUC Profesionales externas: Gladys González Cornejo Berta Aycinena Fuentes Patricia López Cepeda Edición Nivel de Educación Básica MINEDUC Con colaboración de: Secretaría Regional Ministerial de Educación Araucanía. Microcentro Municipales de Villarrica. Diseño y Diagramación Rafael Sáenz Herrera Ilustración portada Miguel Marfán Marzo 2012

3 M AT R I Z D E A P R E N D I Z A J E S D E L A S B A S E S C U R R I C U L A R E S CURSO Objetivos de Aprendizaje Objetivos de Aprendizaje del módulo de Matemática (MDM) 1 2 Identificar en el entorno figuras de tres y dos dimensiones y relacionarlas, usando material concreto. Identificar y dibujar líneas rectas y curvas. Describir, comparar y construir figuras de dos dimensiones (triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos) con material concreto. Describir, comparar y construir figuras de tres dimensiones (incluyendo cubos, paralelepípedos, esferas y conos) con diversos materiales. Determinar la longitud de objetos, usando unidades de medidas no estandarizadas y unidades estandarizadas (centímetros y metros), en el contexto de resolución de problemas. - Asociar formas geométricas de una, dos y tres dimensiones con objetos presentes en el entorno. Nombrarlas y reconocer en ellas elementos curvos, rectos o planos que las conforman. - Armar figuras geométricas planas por yuxtaposición de cuadrados, rectángulos y/o triángulos. - Transformar cuadrados y rectángulos en otras figuras planas. - Construir formas tridimensionales con características dadas, a partir de las formas estudiadas. - Identificar formas geométricas en objetos del entorno. - Describir cubos y prismas rectos, considerando las formas de sus caras. - Construir cuerpos que se obtienen por yuxtaposición de otros. - Describir cuadrados, rectángulos y triángulos, considerando número, medida de los lados y presencia de ángulos rectos. - Anticipar la forma de figuras planas que se generan a partir de la descomposición y/o transformación de cuadrados, rectángulos y triángulos. - Desplegar cajas de cartulina o cartón con forma de cubos y de otros prismas, generando plantillas para su reconstrucción. - Formular y verificar conjeturas acerca de la posibilidad de construir cajas con forma de cubos y otros prismas, con plantillas dadas. - Construir formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 1

4 CURSO 3 4 Objetivos de Aprendizaje Demostrar que comprende la relación que existe entre las figuras de tres dimensiones y las figuras de dos dimensiones: construyendo una figura de tres dimensiones a partir de una red (plantilla). desplegando la figura de tres dimensiones. Describir cubos, paralelepípedos, esferas, conos, cilindros y pirámides, de acuerdo a la forma de sus caras, el número de aristas y la cantidad de vértices. Determinar las vistas de figuras de tres dimensiones, desde el frente, desde el lado y desde arriba. Demostrar que comprenden lo que es una línea de simetría: identificando figuras simétricas de dos dimensiones. creando figuras simétricas de dos dimensiones. dibujando una o más líneas de simetría en figuras de dos dimensiones. usando software geométrico. Construir ángulos con el transportador y compararlos. Objetivos de Aprendizaje del módulo de Matemática (MDM) - Reconocer formas geométricas en objetos del entorno. - Describir cubos, otros prismas rectos y pirámides, de acuerdo a la forma de sus caras, el número de aristas y de vértices. - Formar y anticipar los cuerpos que se obtienen por yuxtaposición de otros. - Desplegar las redes de figuras con tres dimensiones. - Formular y verificar conjeturas acerca de la posibilidad de construir cuerpos con forma de cubos, otros prismas y pirámides con redes dadas. - Componer figuras geométricas planas por yuxtaposición de cuadrados, rectángulos y/o triángulos. - Descomponer figuras planas en figuras congruentes por medio de plegados rectos. - Construir formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. - Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizarlas a partir de sus elementos y las medidas de estos. - Describir cubos, otros prismas rectos y pirámides, de acuerdo con la forma de sus caras, el número de aristas y la cantidad de vértices. - Construir redes de paralelepípedos, pirámides y conos. - Reconocer y dibujar ejes de simetría de figuras geométricas planas. - Componer figuras geométricas planas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. - Construir cuerpos con cubos pequeños conociendo sus vistas. 2

5 CURSO Objetivos de Aprendizaje Objetivos de Aprendizaje del módulo de Matemática (MDM) 5 6 Describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras de tres dimensiones, y lados de figuras de dos dimensiones: que son paralelos. que se intersectan. que son perpendiculares. Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y/o sus ángulos con instrumentos geométricas o procesadores geométricos. Construir ángulos recto, agudo, obtuso, extendido y completo con instrumentos geométricos o procesadores geométricos. - Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. - Describir cubos, otros prismas rectos y pirámides, de acuerdo con la forma de sus caras, el número de aristas y la cantidad de vértices. - Caracterizar cuadriláteros considerando la presencia o no de ángulos rectos, paralelismo y longitud de sus lados. - Construir redes de pirámides, cilindros y conos de dimensiones dadas. - Armar figuras geométricas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. - Transformar figuras geométricas planas. - Construir formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. - Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. - Construir redes de prismas, pirámides con forma, dimensiones dadas y redes de conos. - Armar figuras geométricas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. - Descomponer y/o transformar paralelogramos en otras figuras geométricas. - Anticipar la forma y construir cuerpos que se obtienen por yuxtaposición de otros. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 3

6 E S Q U E M A D E V I S I Ó N D I A C R Ó N I C A Y S I N C R Ó N I C A D E L O S O B J E T I V O S D E A P R E N D I Z A J E CLASE 1 CLASE 2 CLASE 3 CLASE 4 1 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas, usando un lenguaje geométrico básico. Distinguir las formas de las caras de los cuerpos geométricos, según sean curvas o planas. Identificar y comparar forma y/o tamaño de las caras de un cubo y de otros prismas. Armar figuras geométricas planas por yuxtaposición de cuadrados, rectángulos y/o triángulos. 2 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Construir figuras cuadradas, rectangulares y triangulares. Desplegar cajas de cartulina o cartón con forma de cubos y de otros prismas, generando plantillas para su reconstrucción. Armar cuadrados, rectángulos y triángulos por yuxtaposición de figuras similares. 3 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Identificar elementos de figuras de tres dimensiones: caras, aristas y vértices. Desplegar redes de figuras de tres dimensiones como: paralelepípedos, pirámides, cilindros y conos. Formular y verificar conjeturas acerca de la posibilidad de construir cubos, prismas y pirámides con redes dadas. Armar figuras geométricas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadrados, rectángulos y/o triángulos. 4 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizarlas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Construir redes de figuras de tres dimensiones como: paralelepípedos, pirámides y cilindros. Formular y verificar conjeturas acerca de la posibilidad de construir cilindros y conos con redes dadas. Armar figuras geométricas planas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. 4

7 5 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizarlas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Caracterizar cuadriláteros considerando la presencia o no de ángulos rectos, paralelismo y longitud de sus lados. Diseñar y construir redes de pirámides, cilindros y conos. Armar figuras geométricas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. 6 Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Caracterizar triángulos considerando longitudes de sus lados y medidas de sus ángulos. Construir redes de prismas, pirámides de formas, dimensiones dadas y redes de conos. Armar figuras geométricas de acuerdo con características dadas, por yuxtaposición de cuadriláteros y/o triángulos. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 5

8 CLASE 5 CLASE 6 CLASE 7 CLASE 8 1 Transformar cuadrados y rectángulos en otras figuras planas. Construir cuerpos geométricos yuxtaponiendo cubos. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. 2 Anticipar figuras planas que se generan a partir de la descomposición y/o transformación de cuadrados, rectángulos y triángulos. Construir y/o transformar prismas rectos. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. 3 4 Descomponer figuras planas en dos congruentes, haciendo uso de plegados. Determinar ejes de simetría en figuras planas. Completar figuras simétricas. Construir cuerpos geométricos por yuxtaposición de otros. Construir cuerpos geométricos por yuxtaposición de otros. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. EVALUACIÓN 5 Decomponer y/o transformar paralelogramos en otras figuras geométricas. Construir cuerpos geométricos por yuxtaposición de otros. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. 6 Decomponer y/o transformar paralelogramos en otras figuras geométricas. Construir cuerpos geométricos por yuxtaposición de otros. Construir cuerpos geométricos compuestos por formas geométricas estudiadas. 6

9 TA R E A S M AT E M ÁT I C A S, C O N D I C I O N E S D E R E A L I Z A C I Ó N Y T É C N I C A S Q U E S E I N T E N C I O N A R Á N P O R C L A S E E N C A D A C U R S O Curso: Primer Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas Distinguen en el entorno objetos de formas similares a las de los cuerpos geométricos. Distinguen las formas de las caras de los cuerpos geométricos. Clasifican los cuerpos geométricos estudiados, según la forma de sus caras. Copian las caras de prismas. Comparan las caras de un prisma según forma y tamaño. Los cuerpos geométricos usados como referentes están disponibles para su manipulación. Los objetos del entorno son concretos, físicamente disponibles para su manipulación. Los objetos del entorno se presentan gráficamente en una escena familiar. Los cuerpos geométricos son manipulables. Los cuerpos geométricos son manipulables. Los cuerpos geométricos son manipulables. Seleccionan objetos por sus características similares a las de los cuerpos. Prueban si los cuerpos geométricos se deslizan o ruedan. Copian caras marcando sus contornos sobre un papel y las comparan superponiéndolas. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 7

10 Completan cuadros pictóricos con espacios de formas geométricas planas. Las láminas para completar el cuadro están disponibles. Seleccionan las láminas de un repertorio disponible considerando formas, tamaños y/o aspectos pictóricos. 4 Arman figuras cuadradas y rectangulares con piezas cuadradas más pequeñas. Las piezas cuadradas son congruentes y manipulables. Seleccionan las piezas considerando intuitivamente las dimensiones de la figura resultante. 5 Transforman una figura rectangular constituida por piezas cuadradas, rectangulares y triangulares en otra de su creación. Las piezas son recortables y manipulables. Se deben ocupar todas las piezas para construir la nueva figura. Por ensayo y error forman la nueva figura. 6 Construyen cuerpos geométricos con características dadas utilizando cubos. Los cubos tienen el mismo tamaño. Las características de los cuerpos geométricos están dadas en forma verbal y/o gráfica. Por ensayo y error arman la nueva forma geométrica. 7 Construyen cuerpos geométricos con características dadas utilizando cuerpos geométricos conocidos. Los cuerpos que construirán están representados en forma pictórica plana o en el imaginario. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 8

11 Curso: Segundo Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas Distinguen en el entorno objetos de formas similares a las de los cuerpos geométricos y explican sus conclusiones. Identifican la forma de las caras de paralelepípedos. Construyen cuadrados, rectángulos y triángulos. Construyen cuadrados, rectángulos y triángulos. Desarman objetos con forma de paralelepípedo determinando sus plantillas. Conjeturan la factibilidad de construir un objeto con forma de paralelepípedo con plantillas dadas. Verifican sus conjeturas. Construyen figuras rectangulares y cuadradas con figuras más pequeñas. Los cuerpos geométricos son manipulables. Las características métricas de las figuras no están especificadas numéricamente. De acuerdo con las características métricas dadas. Los objetos son cajas de cartón u otro material flexible y recortable. Las plantillas están dibujadas en miniatura. Las figuras pequeñas están disponibles. Miden lados, con una regla graduada en centímetros, y verifican con una escuadra la existencia de ángulos rectos en las caras de los objetos tridimensionales. Uso de papel cuadriculado para la construcción. Utilizan una regla graduada y una escuadra para la construcción de las figuras. Despegan las cajas y recortan las pestañas. Consideran las propiedades de los cuerpos (cantidad, forma de las caras y adyacencia de estas). Proceden libremente por ensayo y error. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 4 Reconstruyen figuras rectangulares y cuadradas descompuestas en piezas cuadradas, rectangulares y triangulares. Las piezas están disponibles y dispersas. Ensamblan las piezas considerando las formas, tamaños o aspectos pictóricos. 9

12 5 Anticipan formas que se generan al descomponer, con cortes rectos, cuadrados y rectángulos. Transforman figuras cuadradas, rectangulares y triangulares en otras figuras planas. Las figuras están presentadas en forma gráfica. Las figuras están disponibles como material recortable. Efectúan imaginariamente los cortes, sin realizar trazados con lápiz sobre la figura. Yuxtaponen las piezas por ensayo y error. 6 Construyen prismas rectos con otros prismas. Los prismas que utilizarán como piezas en la construcción, están disponibles. Proceden libremente por ensayo y error. 7 Construyen formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. Las formas que construirán están representadas en forma gráfica plana. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 10

13 Curso: Tercer Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas Distinguen en el entorno objetos con formas similares a las de los cuerpos geométricos y explican sus conclusiones. Identifican la forma de las caras de cubos y de otros prismas. Despliegan cuerpos geométricos generando sus redes. Construyen cubos y prismas con redes dadas. Conjeturan la factibilidad de construir cubos, prismas y pirámides con redes dadas. Verifican sus conjeturas. Construyen figuras rectangulares y cuadradas con figuras más pequeñas. Los cuerpos geométricos que se utilizan como referentes no son manipulables y se ubican en el imaginario del estudiante. Los cuerpos geométricos están representados gráficamente. Los cuerpos están representados con cartón u otro material flexible y recortable. Las redes están disponibles. Las redes están disponibles. Las figuras pequeñas están disponibles. Miden lados con una regla graduada en centímetros, y verifican con una escuadra la existencia de ángulos rectos en las caras de los objetos tridimensionales. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos con una escuadra. Anticipan el trazado de los cortes y realizan la experiencia. Doblan las redes formando las caras y arman los cuerpos geométricos, atendiendo a sus propiedades. Consideran las propiedades de los cuerpos (cantidad, forma de las caras y adyacencia de estas). Proceden libremente por ensayo y error. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 4 Reconstruyen figuras rectangulares y cuadradas descompuestas en piezas cuadradas, rectangulares y/o triangulares. Las piezas están disponibles y dispersas. Ensamblan las piezas considerando las formas, tamaños o aspectos pictóricos. 11

14 5 Descomponen figuras planas en dos congruentes por medio de dobleces. Las figuras están representadas en láminas de papel o en papel cuadriculado recortable. Exploran la posición de los dobleces, por ensayo y error. Construyen prismas rectos con otros prismas. Los prismas que utilizarán, como piezas en la construcción, están disponibles. Proceden libremente por ensayo y error. 6 Descomponen prismas y con los fragmentos arman otros cuerpos. Los prismas están disponibles en material fácilmente divisible. Anticipan una estrategia para descomponer el prisma dado; ejecutan la descomposición y luego arman otros cuerpos, libremente, por ensayo y error. 7 Construyen formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. Las formas que construirán están representadas en forma gráfica plana. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 12

15 Curso: Cuarto Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas Distinguen en el entorno objetos de formas similares a las de cuerpos geométricos y explican sus conclusiones. Identifican forma de las caras de cubos, de otros prismas, pirámides, cilindros y conos. Construyen redes de cuerpos geométricos. Construyen cilindros y conos con redes dadas. Conjeturan la factibilidad de construir cilindros y conos con redes dadas. Verifican sus conjeturas. Los cuerpos geométricos que se utilizan como referentes no son manipulables y se ubican en el imaginario del estudiante. Los cuerpos geométricos están representados gráficamente en distintas posiciones. Disponen de un modelo construido con material macizo. Las redes están disponibles. Las redes están disponibles. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en las caras de los objetos tridimensionales. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en el caso de prismas y pirámides. En los otros casos, se basan en la percepción visual. Anticipan la forma de la red haciendo un bosquejo basado en la forma de las caras y su adyacencia; y luego la dibujan usando instrumentos geométricos. Arman los cuerpos atendiendo a sus propiedades. Consideran las propiedades de los cuerpos (forma de las caras y adyacencia de estas). Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 13

16 Construyen cuadriláteros con figuras de triángulos, cuadrados y/o rectángulos. Las piezas están disponibles y son manipulables o están representadas en un cuadriculado. Ensamblan piezas explorando las formas resultantes. Arman figuras cuadradas y rectangulares con piezas cuadradas congruentes más pequeñas. Las piezas cuadradas pequeñas están disponibles y son manipulables. Ensamblan piezas explorando las formas resultantes. 4 Formulan conjeturas que relacionen la cantidad de cuadrados pequeños congruentes que recubren una figura rectangular con las dimensiones de esta. Las piezas cuadradas pequeñas están disponibles y son manipulables. La figura rectangular presentada gráficamente en papel cuadriculado. Relacionan las dimensiones del rectángulo, en términos de longitud del lado del cuadrado más pequeño, con la cantidad de columnas, de filas o cantidad total de cuadrados pequeños del recubrimiento. Determinan ejes de simetría en cuadriláteros y triángulos. Las figuras están representadas en láminas de papel. Exploran la posición de los ejes de simetría por medio de dobleces. 5 Dibujan figuras geométricas planas simétricas. La mitad de la figura y el respectivo eje de simetría están representados en una hoja cuadriculada. Se guían por los cuadrados de la hoja cuadriculada para completar la parte faltante de la figura. Construyen objetos tridimensionales por yuxtaposición de prismas. Las piezas que se utilizarán en las construcciones están disponibles. Proceden eligiendo piezas de un repertorio. 6 Descomponen prismas y con los fragmentos arman otros cuerpos geométricos. Los prismas están disponibles en material fácilmente divisible. Anticipan una estrategia para descomponer el prisma dado, ejecutan la descomposición y luego arman otros cuerpos, libremente, por ensayo y error. 7 Construyen formas geométricas tridimensionales con características dadas, utilizando formas geométricas estudiadas. Las formas que se construirán están representadas en forma gráfica plana. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 14

17 Curso: Quinto Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas 1 2 Distinguen en el entorno objetos de formas similares a las de los cuerpos geométricos y explican sus conclusiones. Identifican forma de las caras de cubos, de otros prismas, pirámides, cilindros y conos. Clasifican cuadriláteros según la cantidad de ángulos interiores rectos. Clasifican cuadriláteros según las medidas de sus lados. Clasifican cuadriláteros según paralelismo de sus lados. Representan cuadriláteros a partir de las características dadas. Los cuerpos geométricos que se utilizan como referentes no son manipulables y se ubican en el imaginario del estudiante. Los cuerpos geométricos están representados gráficamente en distintas posiciones. Los cuadriláteros se presentan gráficamente, de distintos tamaños y en distintas posiciones. Los cuadriláteros se presentan gráficamente, con distintos tamaños y posiciones. Los cuadriláteros se presentan gráficamente, con distintos tamaños y posiciones. Las características de los cuadriláteros se entregan verbalmente. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en las caras de los objetos tridimensionales. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en el caso de prismas y pirámides. En los otros casos, se basan en la percepción visual. Usan una escuadra para identificar ángulos rectos. Con una regla graduada miden los lados de los cuadriláteros. Verifican paralelismo por medio de traslación paralela con regla y escuadra. Trazan y miden lados usando una regla; emplean una escuadra para el trazado de ángulos y ambos instrumentos para el trazado de rectas paralelas. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 15

18 3 Descomponen pirámides, cilindros y conos para generar sus redes. Diseñan y construyen redes con pirámides y cilindros. Disponen de cajas con forma de pirámides, cilindros y conos. Disponen de los cuerpos en forma física. Realizan cortes en las cajas para obtener sus redes. Reproducen gráficamente las caras de los cuerpos. 4 Construyen paralelogramos por yuxtaposición de figuras más pequeñas, bajo condiciones dadas. Disponen de figuras triangulares con diversas formas según sus ángulos y están disponibles de manera concreta. Eligen las figuras triangulares sin limitaciones de acuerdo con la cantidad que se usará. Las figuras son triangulares y/o rectangulares. Están disponibles en formas concretas o representadas en papel cuadriculado. Limita la cantidad de figuras triangulares que se usarán. Proceden por ensayo y error y verifican resultados constatando paralelismo. Seleccionan las figuras triangulares de modo que sean congruentes en pares. 16

19 Descomponen cuadriláteros en otras figuras planas. Los cuadriláteros se pueden descomponer en triángulos congruentes. Copian los cuadriláteros, los recortan y ensayan las descomposiciones con dobleces. 5 6 Transforman paralelogramos en rectángulos. Transforman triángulos isósceles (o equiláteros) en rectángulos. Construyen objetos tridimensionales por yuxtaposición de otros con formas geométricas estudiadas (prismas, cilindros, conos y pirámides). Descomponen prismas y con los fragmentos arman otros cuerpos. El paralelogramo está dibujado con sus vértices en intersecciones de líneas en un papel cuadriculado, de modo que un par de lados se ubica en líneas paralelas. El triángulo está dibujado con los vértices en intersecciones de líneas en un papel cuadriculado, de modo que la base se ubique sobre una línea. Las piezas que utilizarán en las construcciones están disponibles. Los prismas están disponibles en material fácilmente divisible. Recortan el paralelogramo y lo descomponen en un triángulo rectángulo y un trapecio con dos ángulos rectos. Luego, con esas piezas arman el rectángulo. Recortan el triángulo y lo descomponen, usando su eje de simetría, en dos triángulos rectángulos congruentes. Luego, con esas piezas arman el rectángulo. Proceden eligiendo piezas de un repertorio amplio de formas tridimensionales. Anticipan una estrategia para descomponer el prisma dado; ejecutan la descomposición y luego arman otros cuerpos, libremente, por ensayo y error. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 7 Construyen formas tridimensionales con características dadas, utilizando las formas estudiadas. Las formas que construirán están representadas en forma gráfica plana. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 17

20 Curso: Sexto Año Clase Tarea matemática Condiciones Técnicas Distinguen en el entorno objetos con formas similares a las de los cuerpos geométricos y explican sus conclusiones. Los cuerpos geométricos que utilizan como referentes no son manipulables y se ubican en el imaginario del estudiante. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en las caras de los objetos tridimensionales. 1 Identifican la forma de las caras de los cubos, de otros prismas, pirámides, cilindros y conos. Los cuerpos geométricos están representados gráficamente en distintas posiciones. Miden lados y verifican la existencia de ángulos rectos en el caso de prismas y pirámides. En los otros casos, se basan en la percepción visual. Clasifican triángulos según la medida de sus ángulos. Los triángulos son presentados gráficamente, con distintos tamaños y posiciones. Usan la escuadra o transportador para identificar ángulos rectos, agudos y obtusos. 2 Clasifican triángulos en relación con las medidas de los lados. Los triángulos son presentados gráficamente con distintos tamaños y posiciones. Con una regla graduada miden los lados de los triángulos. Representan triángulos a partir de características dadas. Las características de los triángulos son entregados oralmente. Trazan y miden lados usando una regla y emplean una escuadra o transportador para el trazado de ángulos. 3 Diseñan y construyen redes de prismas, pirámides y conos. Las formas o dimensiones de prismas y pirámides son entregadas oralmente. Utilizan instrumentos geométricos para construir las redes. 18

21 4 5 Construyen figuras poligonales por yuxtaposición de figuras geométricas más pequeñas, bajo condiciones dadas. Transforman paralelogramos en rectángulos. Transforman triángulos isósceles (o equiláteros) en rectángulos. Las figuras triangulares tienen diversas formas según sus ángulos y están disponibles de manera concreta. Eligen las figuras triangulares sin limitaciones de la cantidad que van a usar. Las figuras tienen diversas formas según sus ángulos y están representadas en papel cuadriculado. Se limita la cantidad de figuras triangulares que usarán. El paralelogramo está dibujado con sus vértices en las intersecciones de las líneas de un papel cuadriculado, de modo que un par de lados se ubica en líneas paralelas. El paralelogramo está dibujado en un papel sin líneas. El triángulo está dibujado con sus vértices en las intersecciones de las líneas de un papel cuadriculado, de modo que la base se ubica sobre una línea. Proceden por ensayo y error. Seleccionan las figuras triangulares de modo que sean congruentes. Recortan el paralelogramo y lo descomponen en un triángulo rectángulo y en un trapecio con dos ángulos rectos. Luego, con esas piezas arman el rectángulo. Recortan el triángulo y lo descomponen, usando el eje de simetría, en dos triángulos rectángulos congruentes. Luego, con esas piezas arman el rectángulo. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 El triángulo está dibujado en un papel en blanco. 19

22 Construyen objetos tridimensionales por yuxtaposición de otros con formas geométricas estudiadas (prismas, cilindros, conos y pirámides). Las piezas que utilizarán en las construcciones están disponibles. Proceden eligiendo piezas de un repertorio amplio con formas tridimensionales. 6 Descomponen prismas y con los fragmentos arman otros cuerpos. Los prismas están disponibles en material fácilmente divisible. Anticipan una estrategia para descomponer el prisma dado, ejecutan la descomposición y luego arman otros cuerpos, libremente, por ensayo y error. 7 Construyen formas tridimensionales con características dadas, utilizando formas estudiadas. Las formas que construirán están representadas en forma gráfica plana. Seleccionan las formas de un repertorio disponible y las yuxtaponen siguiendo el modelo. 20

23 O r i e n ta c i o n e s d i d á c t i c o m at e m át i c a pa r a l a g e s t i ó n d e c l a s e s e n e l a u l a m u lt i g r a d o Uno de los principios fundamentales, rescatado de la didáctica Matemática, es que el estudiante accede a nuevos conocimientos y saberes matemáticos enfrentándose con problemáticas desafiantes que aborda generando sus procedimientos, los que comparte y evalúa con otros estudiantes. Ello se traduce en que la y el profesor debe incentivar tanto el trabajo personal como el colaborativo, de pequeños grupos o de todo el curso, en el que cada uno de las y los estudiantes tenga igualdad de oportunidades para plantear y explicar sus producciones y opinar con fundamentos sobre las de los demás. En la clase se debe crear un ambiente estimulante para que las y los estudiantes se involucren activamente en las tareas matemáticas y por lo tanto, no se puede centrar solo en los que exhiben mayores habilidades, sino que consensuar reglas sociales de modo que puedan intervenir solo si la o el profesor otorga la palabra y que, cuando lo hagan, acompañen sus resultados con una explicación del procedimiento. Dadas las características heterogéneas del grupo, en el caso de las escuelas multigrado, se recomienda el trabajo en grupos, organizados por curso o multicurso, en los que se espera propiciar el trabajo autónomo de las y los estudiantes y, en función de los productos, realicen los aportes al trabajo grupal. Es importante emular el trabajo científico en el que todos los integrantes del grupo aportan, discuten eficiencia y eficacia de procedimientos, evalúan resultados, etc. Es así como se desarrolla el razonamiento matemático, mencionado en las Bases Curriculares. En ocasiones será necesario un trabajo individual con estudiantes de un determinado curso ya sea porque requiere construir y/o consolidar alguna técnica o porque es necesario tratar algún contenido específico, considerado en los Programas de Matemática oficiales y que no tiene conexión con otros cursos. Sin embargo, en un aula multigrado es necesario desarrollar las clases, considerando un hilo conductor que articule aprendizajes de los diferentes cursos, como puede ser un tema contextual común o el desarrollo de alguna habilidad. La o el profesor de aula multigrado necesita de la habilidad de gestión simultánea con varios grupos de trabajo, de la misma manera como un jugador de ajedrez controla juegos con varios competidores. Es por esto que es conveniente que las y los estudiantes dispongan de Cuadernos de Trabajo autónomo y que la o el profesor cuente con orientaciones para la gestión de esos trabajos. La o el profesor debe supervisar permanentemente el trabajo de sus estudiantes, formular preguntas que reorienten el trabajo de algún grupo, pero sin descuidar a los demás grupos, salvo en ocasiones en que se requiera acompañamiento. Los trabajos grupales de todos los integrantes que participan, consideran instancias de coevaluación, las que deben realizarse con respeto y sin descalificaciones. En el aprendizaje de la Geometría es importante que las y los estudiantes manipulen los objetos y no se queden en la simple observación de dibujos; se espera que, mediante la manipulación de cuerpos geométricos, descubran que los mismos pueden ser caracterizados e identificados independientemente de su tamaño, color o posición. Para lograrlo se espera, Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 21

24 22 entre otras habilidades, que utilicen el sentido del tacto para descubrir las propiedades básicas de un cuerpo y el sentido de la vista para identificarlos desde diferentes ángulos. Por ejemplo, ellas o ellos deben generalizar el concepto de cilindro (al que quizás llamen tarro) sea este pequeño o grande, ubicado en forma vertical u horizontal, de cualquier color. Por lo anterior es importante que los cuerpos sean observados desde diferentes ángulos, con diferentes tamaños y colores. La idea es que aún y cuando esas características varíen, las o los alumnos identifiquen el cuerpo. La mayoría de los objetos que existen alrededor de las o los estudiantes se asemejan a cuerpos geométricos. Las o los estudiantes vivirán la experiencia de descubrir que esos cuerpos están formados por figuras geométricas planas. Para esto copiarán caras de los cuerpos y observarán que son figuras planas. Este conocimiento servirá en otros cursos para profundizar en el conocimiento de las figuras y los cuerpos geométricos.

25 PLAN DE CLASES 23

26 P l a n d e C l a s e 1 1 e r A ñ o INICIO Prepare la sala de clases (como un escenario) donde puedan observar elementos semejantes a las formas de los cuerpos geométricos: cubo, prismas con bases de diversas formas, pirámides, conos, cilindros y esferas. Para ello use objetos de diferentes formas, como tarros, gorros de cumpleaños cónicos, pelotas u otros. Explique a sus estudiantes que identificar las distintas formas les permitirá distinguir los diferentes objetos del entorno y que la Geometría es de gran ayuda para ello. Indique que en esta clase estudiarán algunos objetos que se encuentran en la sala de clases, observando sus formas y tamaños. Entregue a cada alumno o grupo de este curso, un set de cuerpos geométrico y pídales que con los ojos cerrados los palpen; luego, pregúnteles qué pueden decir de ellos, sin abrir los ojos. Se espera que digan, por ejemplo que unos son suaves, redondeados completamente o en algunas partes; que otros tienen bordes, u otras características. Proponga realizar en grupo la Actividad 1, ayúdelos en la lectura de la consigna. DESARROLLO Actividad 1: cada estudiante debe aportar a los hallazgos de su grupo. Vele para que registren los nombres de cada objeto en el Cuaderno de Trabajo del alumno. Monitoree en forma individual, cómo preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen; entre otros, como por ejemplo, que el dado tiene la forma de un cubo, porque es liso y tiene bordes (a partir de la percepción visual y táctil). También podrían reconocer la forma de un cubo en una caja, aunque no sea así, dado que desde el punto de vista perceptivo visual sí se parecen. No rechace esa respuesta, pues son las mediciones las que permiten discriminar con más precisión. Con el fin de consolidar conocimientos, pida a las y los estudiantes de este curso que realicen individualmente la Actividad 2 y que luego la revisen con su grupo. CIERRE En la puesta en común, dé la palabra a un estudiante del curso, el que podrá ser asistido por otro(s) miembros de su grupo si lo requiere. Pida que se refiera a los objetos que se parecen al cubo, a los prismas que tiene en el repertorio de cuerpos geométricos y a la esfera. En el caso de que la forma de una caja, con aspecto de prisma rectangular y de dimensiones muy próximas, sea reconocida como un cubo, acote que al parecer es cubo, y pregunte a otro(a) estudiante de segundo qué piensa al respecto. Con el fin de consolidar conocimientos, pida a las y los estudiantes de este curso que ejecuten individualmente la tarea de la Actividad 2 y que luego la revisen con su grupo. 24

27 P l a n d e C l a s e 1 2 A ñ o INICIO Prepare la sala de clases tal como se indica en el Plan de clases de 1 er año. Forme grupos de trabajo por curso. El objetivo de esta clase es Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Explique a las y los estudiantes la importancia de identificar las formas, a través del diálogo propuesto en el Plan de clases nº1 de Primero Básico. Proponga realizar en grupo la Actividad 1, en la que las y los estudiantes constatarán y registrarán las formas de los objetos del entorno. DESARROLLO En la Actividad 1 las y los estudiantes disponen de un set de cuerpos geométricos. Esta actividad será una instancia en la que cada estudiante hará un aporte a los hallazgos del grupo. Cautele que registren los nombres de los objetos en el Cuaderno de Trabajo. Dé 15 minutos (máximo), a las y los estudiantes de este curso para ejecutar la actividad. Monitoree individualmente cómo preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen. Por ejemplo, que el dado tiene la forma de un cubo, porque todas sus caras son cuadradas, a partir del reconocimiento de ángulos rectos y a las mediciones de las longitudes. Un(a) estudiante de este curso no puede responder solo desde la percepción visual, sino que debería recurrir a datos más objetivos, como son las mediciones con huincha de medir o una regla. Se exceptúa para los objetos de forma esférica, cónica o cilíndrica. Actividades 2 y 3: el propósito de estas actividades es que las y los estudiantes observen y caractericen las caras de un paralelepípedo. Se espera que las describan; por ejemplo, con forma de rectángulos en la Actividad 2; de rectángulos y cuadrados en la Actividad 3. Esté atento(a) para ayudar a los y las estudiantes que presentan problemas en el proceso de escritura. CIERRE En la puesta en común, dé la palabra a un(a) estudiante de este curso, después de la intervención de los de 1 Básico, para que entreguen su aporte, a partir de los conocimientos geométricos más avanzados, ratificando o refutando la afirmación hecha por los(as) estudiantes de 1 acerca del objeto con apariencia de cubo. Pida que se refieran a otros objetos con distintas formas geométricas que hayan identificado. Solicite que justifiquen las afirmaciones hechas, apelando a las medidas de lados y ángulos, cuando identifiquen los prismas. Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 25

28 P l a n d e C l a s e 1 3 e r A ñ o INICIO Prepare la sala de clases tal como se indica en el Plan de clases de 1 er año. Forme grupos de trabajo por curso. Explique a las y los estudiantes la importancia de identificar formas, a través del diálogo propuesto en el Plan de clases de 1 Básico. Proponga realizar la Actividad 1, en grupo, en la que las y los estudiantes constatan y registran las formas de los objetos de su entorno. DESARROLLO En la Actividad 1 las y los estudiantes no dispondrán del set de cuerpos geométricos, puesto que se les pide que evoquen las formas en su imaginario. Esta actividad será una instancia para que cada estudiante aporte a los hallazgos de su grupo. Dé 15 minutos (máximo) a las y los estudiantes de este curso para ejecutar la actividad. Monitoree individualmente cómo preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen. Por ejemplo, que el dado tiene la forma de cubo porque todas sus caras son cuadradas, basados en la identificación de ángulos rectos y en las mediciones de longitudes. Las y los estudiantes de este curso no deben responder solo desde la percepción visual, sino que recurrir a datos más objetivos como son las mediciones con una huincha de medir o una regla. Se exceptúa su uso en los objetos de forma esférica, cónica o cilíndrica. Separe el (o los) grupo(s) de este curso en parejas o tríos; a unos pida que realicen la Actividad 2 y a los otros, la Actividad 3. Procure que dispongan de una barra de plasticina, de 10 bombillas enteras de 10cm y 10 cortadas de 5cm (para evitar que sus estudiantes no inviertan tiempo en medir y cortar). Algunos de los que arman el esqueleto (en 3D) del prisma rectangular, con ayuda de la representación dada en el Cuaderno de Trabajo, seleccionarán 4 bombillas de distinto tamaño. Otros pensarán que el prisma tiene un par de caras cuadradas, así que seleccionarán 8 bombillas de un tamaño y 4 de otro, y unirán cada vértice con bolitas de plasticina. Pida que después de realizada la construcción la exhiban y expliquen cómo la realizaron. Enseguida solicite a todo el grupo que aborde la Actividad 4 y observe el número de bombillas que seleccionan por tamaño para la construcción del esqueleto de la pirámide pentagonal; si es necesario muestre un pentágono regular (polígono de 5 lados). A continuación pida que completen el cuadro de la Actividad 5. La Actividad 6 la puede dar de tarea. Respuesta: paralelepípedo. CIERRE En la puesta en común dé la palabra a un(a) estudiante de este curso, después de la intervención de los de 2 Año. Pregúnteles qué tienen que agregar a lo expuesto sobre los prismas. Acuerde con las y los estudiantes los nombres que reciben los elementos de los cuerpos que representaron con las bombillas (las aristas), unidas con bolitas de plasticina (los vértices). 26

29 P l a n d e C l a s e 1 4 A ñ o INICIO Prepare la sala de clases tal como se indica en el Plan de clases de 1 er año. Forme grupos de trabajo por curso. El objetivo de esta clase es Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Explique a las y los estudiantes la importancia de identificar formas. Proponga realizar en grupo la Actividad 1, en la que constatarán y registrarán las formas de los objetos de su entorno. DESARROLLO En la Actividad 1 las y los estudiantes no dispondrán de los cuerpos geométricos, deben evocar las formas en su imaginario. Esta actividad será una instancia para que cada estudiante aporte a los hallazgos de su grupo. Dé 15 minutos (máximo) a las y los estudiantes del curso para ejecutar la actividad. Monitoree en forma individual, cómo preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen, entre otras. Por ejemplo, que el dado tiene la forma de un cubo, porque todas sus caras son cuadradas, basándose en la identificación de ángulos rectos y en las mediciones de longitudes. Los estudiantes de este curso no debe responder solo a partir de la percepción visual, sino que deben recurrir a datos más objetivos, como son las mediciones con una huincha de medir o una regla. Se exceptúan los objetos de forma esférica, cónica o cilíndrica. Proponga la Actividad 2 para trabajar en parejas. Procure que dispongan de una barra de plasticina y de 15 bombillas enteras de 10cm (se trata de que no inviertan tiempo en medir y cortar las bombillas). Algunos arman el esqueleto (en 3D) del cubo, con ayuda de la representación dada en el Cuaderno de Trabajo, seleccionarán 12 bombillas del tamaño elegido, uniendo los vértices con bolitas de plasticina. Pida que después de realizada la construcción la exhiban y expliquen cómo la hicieron. Enseguida solicite a las y los estudiantes del curso que aborden la Actividad 3. El propósito de esta actividad es que observen que para construir un cubo, este debe tener 6 caras cuadradas congruentes. CIERRE Realice una puesta en común dando la palabra a un(a) estudiante de este curso, después de la intervención de los de 3 er Año. Pregúnteles qué tienen que agregar a lo expuesto. Acuerde con ellos(as) los nombres de los elementos de los cuerpos que representaron con bombillas (las aristas), unidas con bolitas de plasticina (los vértices). Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 27

30 P l a n d e C l a s e 1 5 A ñ o INICIO Forme grupos de trabajo por curso y pida a sus integrantes que pongan un nombre a su grupo. El objetivo de esta clase es Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Explique la importancia de reconocer las formas, a través del diálogo propuesto en el Plan de clases de 1 er año. Proponga realizar, en grupo, la Actividad 1, en la que las y los estudiantes constatan y registran las formas de los objetos de su entorno. DESARROLLO En la Actividad 1 las y los estudiantes NO dispondrán de los cuerpos geométricos; evocarán las formas en su imaginario. Esta actividad será una instancia para que cada estudiante aporte a los hallazgos de su grupo. Dé 15 minutos (máximo) para ejecutar la actividad. Monitoree individualmente, cómo preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen, como por ejemplo, que el dado tiene la forma de cubo, porque todas sus caras son cuadradas, basándose en la identificación de los ángulos rectos y en las mediciones de longitudes. Un(a) estudiante de este curso no debe responder solo a partir de la percepción visual, sino que recurrir a datos más objetivos, como son las mediciones con una huincha de medir o una regla. Se exceptúan los objetos con forma esférica, cónica o cilíndrica. Proponga la Actividad 2 para trabajar en pareja. Procure que disponga de una barra de plasticina, 10 bombillas enteras de 10cm y 10 cortadas de 5cm (se trata de que no inviertan tiempo en medir y cortar bombillas). Algunos(as) de los(as) que arman el esqueleto (en 3D) de la pirámide, con ayuda de la representación dada en el Cuaderno de Trabajo, seleccionarán 8 bombillas del tamaño adecuado. Pida que después de realizada la construcción la exhiban a todo el grupo y expliquen cómo la hicieron. Enseguida solicite a las y los estudiantes de este curso que aborden la Actividad 3. El propósito de esta actividad es que observen que para construir un prisma necesitan hacerlo con 2 caras congruentes, para las bases; y cuatro caras congruentes para las caras laterales. CIERRE Realice una puesta en común dando la palabra a un(a) estudiante de este curso, después de la intervención de los de 4 Año. Pregunte qué tienen que agregar a lo expuesto. Acuerde con las y los estudiantes los nombres de los elementos de los cuerpos que representaron con bombillas (las aristas) unidas con bolitas de plasticina (los vértices). 28

31 P l a n d e C l a s e 1 6 A ñ o INICIO Forme grupos de trabajo por curso y pídales que busquen un nombre para su grupo. El objetivo de esta clase es Reconocer formas geométricas en objetos del entorno y caracterizar dichas formas a partir de sus elementos y las medidas de estos. Explique la importancia de reconocer las formas, a través del diálogo propuesto en el Plan de clases de 1 er año. Proponga realizar en grupo la Actividad 1, en la que las y los estudiantes constatan y registran en una tabla las formas de los objetos del entorno. DESARROLLO En la Actividad 1 las y los estudiantes NO dispondrán de cuerpos geométricos, pues evocarán las formas en su imaginario. Esta actividad será una instancia para que cada estudiante aporte a los hallazgos de su grupo. Dé 15 minutos (máximo), para ejecutar la actividad. Monitoree individualmente, cómo las y los estudiantes preparan la intervención ante el curso, qué dicen para justificar la similitud de un objeto con un cuerpo, cómo lo dicen (uso de lenguaje geométrico). Por ejemplo, que el dado tiene la forma de cubo porque todas sus caras son cuadradas, a partir de la identificación de los ángulos rectos y las mediciones de longitudes. Un(a) estudiante de este nivel no debe responder solo desde la percepción visual, sino que recurrir a datos más objetivos, como son las mediciones con una huincha de medir o una regla. Se exceptúan, los objetos de forma esférica, cónica o cilíndrica. Proponga la Actividad 2 para trabajar en pareja. Procure que dispongan de una barra de plasticina, de 10 bombillas enteras de 10cm y 10 cortadas de 5cm (se trata de que las y los estudiantes no inviertan tiempo en medir y cortar bombillas). Los(as) que arman el esqueleto (en 3D) de la pirámide, con ayuda de la representación dada en el Cuaderno de Trabajo, seleccionarán 8 bombillas del tamaño necesario. Pida que después de realizada la construcción la exhiban a todo el grupo y expliquen paso a paso cómo la realizaron. Enseguida solicite a las y los estudiantes de este curso que aborden la Actividad 3. El propósito es que observen la forma de las caras de una pirámide, la copien en una cartulina y posteriormente, la construyan pegando las aristas con cinta adhesiva. CIERRE Realice una puesta en común dando la palabra a un estudiante de 6 Básico, después de la intervención de los de 5 Año. Pregunte a estos qué tienen que agregar a lo expuesto. Acuerde con las y los estudiantes los nombres de los elementos de los cuerpos que representaron con las bombillas (las aristas), unidas con bolitas de plasticina (los vértices). Guía Didáctica del Profesor - Geometría 1 29