1.3 Algebra tensorial en componentes

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1 1.3 Algebra tensorial en a) Bases diádicas y tensoriales en (2) 1. Teorema de las bases diádicas. 2. Definición y cálculo de de tensores de 2º orden. 3. Escritura matricial e interpretación de las columnas en los casos usuales. Ejemplos b) Relación entre las generales: fórmulas de subida y bajada de índices en (2) 1. A partir de las t i j y de las t i j obtener las restantes en cada caso 2. Ejercicio: lo mismo a partir de las t j i y t i j c) Bases triádicas y tensoriales en (3) y en (p) 1. Teorema de las bases triádicas. Generalización: bases p-íádicas en (p) 2. Definición y cálculo de las de tensores de orden 3. Ejemplos. 3. Escritura matricial e interpretación de los casos usuales. 4. Fórmulas de subida y bajada de índices. d) Operaciones con tensores mediante algoritmos matriciales 1. Suma y múltiplo escalar 2. Contracción tensorial. Estudio de casos habituales. e) Cambios de base generales. 1. Formas matriciales de transformación de homónimas para tensores de orden 1, 2 o Caso particular de bases canónicas: matrices ortogonales. 1.3 a) Bases diádicas y tensoriales en (2) Definición: Se llama forma diádica a toda combinación lineal de díadas del tipo 1 (a 1 b 1 ) + 2 (a 2 b 2 ) + + m (a m b m ) Î (2), con i Î, mî Teorema: Si {a i } y {b i } son bases de, entonces {a i b j } es base de (2) ; luego todo tensor de segundo orden es una forma diádica. demostración: bastará ver que las 9 díadas {a i b j } son lin. independientes: Bases usuales: {e i e j }: canónica; generales: {g i g j }: cova-contra; {g i g j }: contra-contra; {g i g j }: ;{g i g j }: Desarrollos diádicos: T = T ij e i e j = t i j g i g j = t ij g i g j = t ij g i g j = t i j g i g j. las se denominan: canónicas, mixtas contra-covas, cova-covas (o covas puras), contras puras y mixtas cova-contras (respectivamente). Cálculo de : i) canónicas: T ij = e i T e j = e i (T e j ); Ejemplos: 1) Si {i, j, k} {e i } es una base de, describir los tensores 1, a b como forma diádica con díadas e i e j., siendo a = 2i k, b = 3j + 2 k. Escritura matricial? ii) generales: t i j = g i (T g j ), t ij = g i (T g j ); t ij = g i T g j, t ij = g i T g j. Curso

2 Escritura matricial de las e interpretación 1º) Componentes canónicas: T ij = e i T e j = i-ésima compte. canónica de T e j. Luego, escritura matricial: [T ij ] i=fil,j=col = Ejemplos de comptes. ortonormales: escritura matricial de las canónicas de: díada a b, tensor axial a, tensor unidad 1, tensor proy. al eje e, tens. proy. al plano {e}. 2º) Componentes generales: t i j = g i T g j = i-ésima compte. contra de T g j ; t ij = g i T g j =... Luego: [t i j] i=fil, j=col = análogo: [t ij ] i=fil, j=col = Resto de generales: ejercicio análogo. Ejemplos: 1) Componentes generales de la díada: a b = a i b j g i g j = a i b j g i g j = a i b j g i g j = a i b j g i g j. Cálculo matricial en los 4 casos 2) Componentes generales del tensor unidad 1: porqué se llama también el tensor métrico. 1 = i jg i g j = ij g i g j = g ij g i g j = g ij g i g j, pq.: I i j = g i g j ; I ij = g i g j ; I ij = g i g j ; I ij = g i g j 3) tensor axial a ;4) proy.-vect. al eje e, tensor proy. al plano {e}, y su escritura matricial Ejemplo: Si {g i } = {a, b, a b} es una base de, con a b, calcular el tensor T := a b + b a + a + b como forma diádica con díadas g i g j y escribir su matriz cova-cova correspondiente. 1.3 b) Relación entre generales: fórmulas de subida y bajada de índices Se trata de deducir los tipos restantes de a partir de un tipo dado. Se trata de cambios de base entre una base y su recíproca. En (2) hay 4 casos: 1.- dadas las mixtas contra-covas de un tensor T, t i j, deducir las demás cova-covas: t ij = g ih t h j [t ij ] = G [t h j] bajada de pre-índice. (lectura: se baja un preíndice premultiplicando por la matriz de Gram, G = [g ij ]) motivo: T = t i j g i g j = t i j g hi g h g j := t hj g h g j t hj = g hi t i j t ij = g ih t h j contra-contras: t ij = t i hg hj [t ij ] = [t i h] G 1 subida de post-índice lectura práctica: se sube un post-índice post-multiplicando por G -1 = [g ij ] motivo: T = t i j g i g j = t i j g i g jh g h := t ih g i g h t ih = t i j g jh [t ih ] = [t i j ] G 1 cova-contras: t ij = g ih t h kg kj [t ij ] = G [t h k] G lectura práctica: forma mnemotécnica de proceder 2.- dadas las puras covariantes, t ij, deducir las otras tres. Ejercicio de teoría: Completar los dos casos, 3 y 4, de -dato que faltan. Ejemplo: Calcular las contra-covas de u siendo u = 2g 1 3g 2 + 2g 3, donde {g i } es una base general cuya matriz de Gram es [2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1] Curso

3 1.3c) Componentes tensoriales en (3) y (p) Definición: Se llama forma triádica a toda combinación lineal de tríadas de la forma 1 (a 1 b 1 c 1 ) + 2 (a 2 b 2 c 2 ) + + m (a m b m c m )Î (3), mî. Teorema.: si {a i }, {b i } y {c i } son bases de, entonces {a i b j c k } es base de (3). Así, todo tensor de tercer orden es una forma triádica. dem: análoga al caso de segundo orden: basta ver que las 3 3 = 27 (ó 2 3 = 8) tríadas son lin. Indep. Bases habituales: tríadas canónicas: {e i e j e k }; tríadas generales: {g i g j g k }, {g i g j g k }.., (8 tipos) Componentes tensoriales en (3) : si BÎ (3) hay 2 3 c. gen.: notación, cálculo e interpretación: b ijk = [(B g k ) g j ] g i, o también b i jk = [(B g k ) g j ] g i,etc Escritura matricial: Dos formas útiles: B ~ [[b ijk ] i=f, j=c, k=m ] ó [[b ijk ] i=m, j=f, k=c ], Relaciones de subida o bajada de índices: análogas en (3), como: a ij k = a ijh g hk ; o: a i j k = a ihk g hj.. Ejemplos: 1) Componentes generales del tensor permutación E cálculo: las c. puras son los símbolos de permutación tridimensionales: escrituras matricial: E ~[e ijk ] i=f, j=c, k=m = 2) Componentes de una tríada cálculo: a b c := B = b i jk g i g j g k b i jk =a i b j c k escr. matr.: [[t i jk] i=m, j=f, k=c ] = [a i [b j c k ] j=f, k=c ] i=m ; [t i jk] i=f, j=c, k=m = [c k [a i b j ] i=f,j=c ] k=m Caso numérico: Si a = i k, b = i + 2j k, c = 3i + 2j, escribir matricialmente a b c. 3) B = i (k j 2j k) + 3k (2i j j i). Escritura matr. [[B ijk ]] Generalización: Se habla de tétra-ídas y formas tetra-iádicas, p-íadas y formas p-iádicas. 1.3 d) Álgebra tensorial en d1) SUMA: Sólo pueden sumarse tensores del mismo orden tensorial y en la misma base poliádica. Se tiene: compntes. del tensor suma = suma de compntes. homólogas de los sumandos. Pq.: U := (1) S + T {e i e j } (2) U ij e i e j = S ij e i e j + T ij e i e j = (S ij + T ij )e i e j (3) U ij = S ij + T ij (i = fil., j = col.) (4) [U ij ] = [S ij ] + [T ij ]. El mismo razonamiento se aplica en base general si se suman del mismo tipo. obs. el sistema seguido: (1) U = valor nominal intríns. de la suma; (2) base y desarrollos cart., operando en not. indic.; (3) separar por la ec. indic. resultante (se aplica unicidad de desarrollo); (4) interpretar matricialmte. la ec. indicial con algoritmos conocidos (suma matricial, producto matricial con algoritmo fila columna, determinante, etc...) según proceda. d2) MÚLTIPLO ESCALAR y COMB. LINEALES: Para multipl. por un escalar un tensor de cualquier orden, basta multipl. todas las del tensor en cualquier base por dicho escalar. Del mismo modo pueden efectuarse comb. lineales con tens. del mismo orden tensorial. Pq.: P := S + T p i j g i g j = s i j g i g j + t i j g i g j = ( s i j+ t i j)g i g j p i j = s i j+ t i j [p i j] = [s i j] + [t i j]. Análogo con cualquier tipo de (las mismas en los dos sumandos) obs.: se ha seguido el mismo sistema y se sigue en el resto de operaciones con tensores. Curso

4 d3) CONTRACCIÓN tensorial en (1.3 d)) d3.1.- Con tensores de orden 2 (resultados conocidos) En base canónica {e i }: resto, análogos: T x = u U i e i = (T ij e i e j ) (X k e k ) = T ij X j e i U i = T ij X j [U i ] i=f = [T ih ] i=f,h=c [X h ] h=f x T = w... W j = X h T hj [W j ] j=c = [X h ] [T hj ] h=f,j=c. u T v =... = U i T ij V j = [U i ] i=c [T ij ] i=f,j=c [V j ] j=f S T = P... P ij = S ih T hj [P ij ] i=f,j=c = [S ih ] i=f,h=c [T hj ] h=f,j=c. En base general, {g i }, de recíproca {g i }: se obtienen formas parecidas: T x = u... u i = t i h x h = t ih x h u i = t ih x h = t ih x h ejerc : expr. matriciales. x T = w... w i = x h t h i = x h t hi w i = x h t hi = x h t h i u T v =... = u i t ij v j = u i t ij v j = u i t i j v j = u i t ij v j S T = P... p i j = s i ht h j = s ih t hj p ij = s ih t h j = s ih t hj... Ejercicio: Probar las ecuaciones indiciales anteriores ( predecir las dos expresiones posibles para obtener un tipo determinado de del resultado). d3.2 Contracción tensorial en en (3) ( 1.3 d)) Siendo T (3), x, U (2) : En base cartesiana {e i }: i) Contracción T x := W (2) [valor nominal y orden tens. 2º (= 3+1 2) del result.] W := T x = (T ijk e i e j e k ) (X h e h ) = = T ijk X k e i e j := W ij e i e j W ij = T ijk X k Si T está con {i=fil., j=col., k=matr.}: [es un algoritmo nuevo: algoritmo fila de cajas por vector columna combinación lineal de cajas] Alternativa: con i = matr, j = fil, k = col.: [W ij ] i=f,j=c = [ [T ijk ] [X k ] ] t : [alg. prod. de cada caja por vc. col.] Ejemplo: Obtener las canónicas de x utilizando el tensor permutación. Curso

5 ii) Contracción x T con tensores de tercer orden x T := V (2) V = = X i T ijk e j e k := V jk e j e k V jk = X i T ijk discusión 1ª) asignamos los papeles a los índices para el resultado: j = fil., k = col. (en este caso) para usar el algoritmo matricial comb. lin. de cajas: Si esto exige rescribir los T ijk en la disposición: i = matr., j = fil., k = col. supuesto que se tiene la disposición original i=f, j=c, k=m: (n=2) el algoritmo hace comb. lin. de las cajas de esta 2ª disposición. Como norma general: al expresar matricialmente una igualdad indicial (entre escalares) respetar el papel de los índices libres en los dos miembros. 2ª) otra alternativa: aprovechar la disposición previa de los T ijk, lo que exigirá rescribir el resultado una vez obtenidos los V jk : en dimensión n = 2, se tiene: N.: En dim. del contexto n = 3, todos los índices tomas un tercer valor (3 matrices, 3 fil., 3 col.) En bases generales se tienen resultados totalmente análogos, respetando la alternancia de posición en índices mudos o contraídos (criterio de corrección) Curso

6 iii) Tensor de orden 2 por (contracción) tensor de orden 3 En cartes.: rel. indicial: U := T B =...= T ih B hjk e i e j e k := U ijk e i e j e k T ih B hjk = U ijk escr.matr.: i = f, j = c, k = m [[U ijk ] i=f,j=c ] k=m = [ [T ih ] i=f,h=c [B hjk ] h=f,j=c ] k=m En generales: análogos ejercicio personal. Ejemplo: Componentes mixtas e i jk del tensor de permutación E, con la matriz de Gram ya usada: = [2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1]. Solución: e i jk = g ih e hjk [e i jk ] i=f,j=c,k=m = [[g ih ] [e hjk ]] = [ [e hj1 ] [e hj2 ] [e hj3 ]] = iv) Tensor de orden 3 por tensor de orden 2 Análogo al caso anterior... rel. indic.: V := B T =... = escr. matr.: Ejemplo(*): Componentes mixtas e ij k del tensor de permutación E en el caso de la base anterior. Componentes canónicas del tensor U := E (a b), supuestos a y b vectores conocidos en la base {e i } utilizada. (* se entrega resuekto para evaluación continua) 1.3 e) Cambios de base generales en esp. tens. ( ) 1) Relaciones entre las bases: (referencia fundamental) base { }, o antigua; base { }, o nueva matriz de cambio := C = [c i j] f,c, con la b. nueva por columnas en contras antiguas (dato estándar) Relaciones indiciales del cambio de base y su lectura matricial: 2) c. de comp. vec. contras : u = u i g i = u i j i c. de c. vec. covas: u = u i g i = u i c i j Curso

7 3) Relaciones de c. de b. entre las comptes. gen. de un tensor 1) Cambio patrón (de referencia): el de las comptes. mixtas contra-covas: 2) Cambio de los otros tres tipos de son análogos. NOTAS: 1) Los apodos contravar. y covar. aplicados a los índices se basan en estas fórmulas 2) Las antiguas pueden despejarse en función de las nuevas. 3) Las expr. del c. de b. se cumplen tb. de modo análogo para tens. de ord. sup. (PR1-27) 3)Caso partic. de c. de b.: c. entre b. ortonormales Si las bases original y nueva son ortonormales, sean {e i } y {ê j }, el c. de b. se simplifica pq. la matriz del cambio Q es ortogonal, o sea Q 1 = Q t porque: Las fórmulas matr. de c. de b. ortonormales son un caso particular de las generales cambiando C por Q y C 1 = Q t. N.: Si una base general {g i } es ortogonal, pero no ortonormal, la base normalizada asociada será ortonormal. Es caso frecuente y se llama base física asociada, que suele denotarse {ê i } (si ya hay una base canónica preexistente). Los c. de b. ortonormales más frecuentes: de b. ortonormal canónica previa, {e i }, a base física nueva, {ê i }. Curso

8 Ejercicio de c. de b.- Sean g 1 = e 1, g 2 = e 1 +e 2, g 3 = e 1 +e 2 +e 3. Se da T = 1+e 2 e 1. Se piden: t i j, por cambio de base y también t ij, por c. de base y bajando el pre-índice de las mixtas halladas. solución: Ejercicios: Con la base {g i } anterior calcular comp. contra-cova-contra de E Ejemplos: 1) Calcular las de los tensores axiales básicos g i en una base {g j } dada. solución: g 1 ~ Análogos los demás casos: g 2, g 3 (ejercicio *) 2) Se deducen las comp. covariantes puras del tensor axial a, de las contras del vector axial a : a = a i g i a = a i (g i ) ~ 3) Como ejercicio: las contravariantes puras de a Ejercicios de PR1 que pueden hacerse PR1.11, 12, 13 PR1.14: Agregar estos apartados nuevos para operar en (2) : Calcular las de los tensores que siguen en la base cartesiana: iv. (i ) ( j k k j) v. (i ) (i ) (i ) vi. (i ) (j ) (j ) (i ) vii. a (b ) a y en la base {a, b, a b} Ejercicio: Forma matricial de la subida y bajada de índices en (3) : Ej.: Obtener las cova-contra-cova del tensor E en dim. 3. sol: e i j k = e ihk g hj... [[e i j k]] i=f.,j=c.,k=m. = [[e ih1 ] G 1 [e ih2 ] G 1 [e ih3 ] G 1 ] #. Curso

9 Problemas de la Práctica 1 factibles con 1.2 y 1.3 Ejercicios y cuestiones: PR1.8 a PR1.14 (todas) Problemas: PR1.23 (errata en apartado iii: cambiar v por w), PR1.24, PR1.27, PR1.31 (cuestión, y apartados 1y 2), PR1.32 (apartados 1 y 2) Problemas complementarios: PR1.33 y PR1.34 NOTA: el resto de problemas y ejercicios de la Práctica 1, pueden hacerse con la materia de la sección siguiente, o sea 1.4. Curso