(c) Abel Martín CAPÍTULO II

Transcripción

1 CAPÍTULO II ESTUDIIO GENERAL DE UNA FUNCIIÓN Este es un tema en el que muchos profesores encuentran en la calculadora gráfica una herramienta de consulta y de confirmación de resultados, pero no la tienen en absoluto en cuenta para "hacer Matemáticas". En ella ven un artilugio que es capaz de representarnos rápidamente funciones, generarnos tablas e incluso, las más modernas, nos buscan máximos, mínimos, puntos de corte, raíces etc. Para qué he estado tantas horas aprendiendo algoritmos de cálculo matemático? Se preguntan algunos si ahora una simple máquina nos lo hace TODO!. Pero si reflexionásemos acerca de nuestra labor diaria veríamos que la forma de abordar el tema de las funciones es muy rica, variada y adopta muy diferentes puntos de vista: Una FUNCIÓN puede MATERIALIZARSE como expresión entre variables a través de una FÓRMULA, una TABLA, una REPRESENTACIÓN GRÁFICA o una DESCRIPCIÓN VERBAL, con todas las relaciones que se nos pueden ocurrir entre ellas. Por todo ello se ha querido realizar un pequeño resumen en el que podremos observar desde qué puntos de vista se puede proceder a efectuar estos estudios, presentando algún ejemplo de problemas típicos que ilustren los casos y que, con más o menos profundidad, trabajamos en el aula. Si nos fijamos detenidamente, la calculadora gráfica puede realizar, directamente, sólo algunas de estas actividades, acelerando lo farragoso, lo mecánico y lo tedioso, permitiendo dedicar más tiempo a pensar, diseñar, razonar y buscar estrategias; pero en la mayoría de los casos es la persona y no la máquina la que cobra totalmente el protagonismo para hacer matemáticas a lo largo de los 16 casos que se presentan a continuación. Ejemplos: FÓRMULA FÓRMULA GRÁFICA TABLA DESCRIPCIÓN VERBAL Dada la recta 3x 2y + 5 = 0, escríbela en forma de ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación general en forma explícita y ecuación segmentaria. Dada las siguiente gráfica, averigua la ecuación de la recta en forma explícita. La siguiente tabla recoge las puntuaciones obtenidas en un test sobre visión espacial (List1) y las calificaciones en la asignatura de Dibujo (List2). AJUSTA la nube de puntos a una fórmula matemática. El Instituto ha elaborado una gigantesca tarta; la única condición que se les pone a los comensales es que el trozo que se parta sea un rectángulo con 20 cm perímetro. Observa cómo se comporta la superficie de los trozos según se modifiquen las longitudes de los lados. Qué dimensiones tendrá el mayor trozo?. GRÁFICA Dada la función x y = x 2 16 Represéntala gráficamente. Si la función señalada es y = x 2 Cuáles podrían ser las otras 5 que aparecen dibujadas? y = x 2 También podemos reelaborar una gráfica, cambiar de escala... Representa la siguiente tabla en un sistema de ejes cartesianos. Cómo se llama dicha representación? Dibuja la gráfica de las siguientes rectas: La recta "a" tiene de ordenada en el origen ( 7) y de pendiente ( 2). La recta "b" tiene de pendiente 4 y pasa por el punto ( 1, 3). La recta "c" pasa por los puntos (2, 3) y (2, 5). División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 39 40

2 TABLA DESCRIPCIÓN VERBAL Representa la función y = x 3 + 2x - 1 Se suelen permitir tablas de valores en niveles bajos pero luego no se considera elegante ni apropiado Estima los valores de las variables en puntos notables de la gráfica y forma una tabla de valores en el lugar indicado para ello: Se han medido las temperaturas que adquiría cierto líquido a medida que se calentaba durante unos minutos obteniéndose la siguiente tabla: Min ºC Si una mancha nos impide observar la anotación, podrías averiguar cuál fue la temperatura al cabo de 3 minutos Las notas obtenidas por un alumno en Matemáticas a lo largo del curso fueron las siguientes: 3, 6, 4, 5, 4, 5, 9, 4, 5, 4, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 4, 8, 8, 6, 3, 4, 3, 4, 5, 5, y 5 a) Agrupa los datos en una tabla. b) Diseña una tabla donde aparezcan las frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Dada la función y = 3x 2. Sabes cómo se llaman este tipo de funciones?. Dónde se encuentra el vértice? Es un máximo o un mínimo?. En qué puntos cortan al eje de ordenadas y de abscisas. Las ramas o brazos de la parábola, van hacia arriba o hacia abajo?. Cuántos faisanes deben de criarse para obtener el mayor beneficio en una granja si el beneficio está relacionado con el número de aves mediante esta gráfica?: El franqueo de una carta en España se rige por la siguiente tabla: Peso PTAS PTAS PTAS PTAS PTAS PTAS Cuánto cuesta enviar una carta que pesa 40 gr? y 100 gr? y 200gr? DISCUSIÓN, REFLEXIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS FÓRMULA GRÁFICA TABLA DESCRIPCIÓN VERBAL ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN INTRODUCCIÓN Iniciamos la actividad tomando como base un problema propuesto en Madrid, en junio de 1998, en las Pruebas de Acceso a la Universidad, para la modalidad del Bachillerato de Ciencias Sociales: EJERCICIO Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: S(x) = 2x 3 15x x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. A) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios. B) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indíquese, razonadamente, si esta remodelación tuvo éxito o no. Presentamos a continuación el trabajo que recibió el premio durante las IX JAEM, en el CONCURSO DE ACTIVIDADES INNOVADORAS CON CALCULADORAS en la categoría de Actividades para la ESO. Lugo, septiembre 1999 A continuación, exponemos la resolución que han propuesto los alumnos más brillantes de un grupo de 2º de Bachillerato, modalidad Ciencias Sociales, donde se ha seguido un curriculum en el que la calculadora gráfica no se utiliza como herramienta habitual, y que observamos coincide totalmente con los autores del cuadernillo publicado anualmente por la Editorial ANAYA acerca de pruebas de Selectividad y PAU: RESOLUCIÓN a) Hallamos las dos primeras derivadas de la función S(x) para poder calcular el valor de x que la hace máxima: S (x) = 6x 2 30x + 24 S (x) = 12x 30 División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 41 42

3 Ponemos la condición necesaria para que exista un valor extremo: S (x) = 0 6x 2 30x + 24 = 0 cuyas soluciones son x = 1 y x = 4 S (1) = = 18 < 0 (Máximo) SOLUCIÓN: Al pasar un año después de la última remodelación alcanzó el número máximo de socios. S (4) = = 18 > 0 (Mínimo) b) Como ya hemos visto, después de la última remodelación la función nos dice que hubo un número mínimo de socios, por lo que en un momento posterior el número de socios será mayor, con lo que se puede afirmar que la remodelación sí tuvo éxito. CONSIDERACIONES PREVIAS Sin embargo, estos problemas, genuinamente típicos de la optimización de funciones a partir de análisis de derivadas, los hemos podido afrontar con total garantía desde 4º de ESO, opción B, aprovechando las posibilidades didácticas que nos ofrece la calculadora gráfica, lo que ha motivado que esté siendo autorizada en las pruebas de selectividad de numerosos países, incluidas nuestras Comunidades Autónomas, por lo que hasta sus mayores detractores están empezando a incluirla en sus programaciones, conscientes del agravio comparativo que puede suponer para sus alumnos: Permite una mayor y mejor utilización del tiempo en contenidos genuinamente matemáticos. Facilita la resolución de problemas, haciendo posible que el alumno dedique su atención al análisis de la información inicial disponible, a la toma de decisiones sobre las acciones a realizar y a la verificación. Proporciona métodos alternativos a los comunes para la resolución de problemas, basados en la realidad del cálculo y análisis crítico de los resultados. Da la oportunidad de poder acceder a temas matemáticos que sobrepasan en complejidad un determinado nivel de estudios Su uso estimula la investigación matemática en los alumnos. El obtener y comprobar resultados de forma inmediata permite que el alumnado trabaje con menor dependencia del profesor, facilitando que elabore y compruebe sus propias conjeturas y tome decisiones. Pues bien, a lo largo del curso hemos estado utilizando la calculadora gráfica como herramienta habitual en los grupos de 4º de ESO, opción B, (en nuestro caso la CFX 9850 GB PLUS de CASIO). En el caso concreto del problema inicial, hemos podido observar que las conclusiones eran incluso DIFERENTES a las propuestas anteriormente puesto que, como podremos ver, la máquina es capaz de darnos resultados de forma inmediata, con total exactitud, dando una idea mucho más global e integradora del ejercicio y permitiendo un mayor grado de análisis y comprensión de los resultados. Lo curioso es que a dichas conclusiones no sólo llegaban los más avispados sino la práctica totalidad del aula, quizás debido a la utilización de una metodología mucho más intuitiva y simple o quizás debido a la magia de los botones y la tecnología, tan interiorizada en los jóvenes de hoy. El objetivo es entrar en un mundo diferente, con una nueva forma de enfocar el análisis de funciones, mucho más participativa, viva y dinámica, donde la reflexión prevalezca sobre la irreflexión, donde haya que meditar en todo momento QUÉ ES lo que se está PREGUNTANDO realmente, qué tecla o teclas de la calculadora me lo resuelven y, finalmente, analizar cada resultado para saber lo que realmente significa. Presento de esta forma la propuesta de resolución aportada por mis alumnos, y propongo nuevas cuestiones que estimulen todos estos puntos que he ido mencionando (la economía de tiempo y el fácil manejo de las máquinas me lo permite) generando actividades innovadoras y significativas, aprovechando la oferta amplia y variada que nos presenta el G SOLVE de la calculadora gráfica. EJERCICIO MODIFICADO Y AMPLIADO. Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: S(x) = 2x 3 15x x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. a) Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos, buscando la ventana adecuada para su visualización y colocando el valor de las unidades de escala. Vamos a resolver este problema de forma gráfica, dejando la forma analítica para hacerla con LAPIZ Y PAPEL en cursos posteriores. Así pues, estudiaremos el comportamiento gráfico de la función: y = 2x 3 15x x + 26 Con los cursores seleccionamos en el MENÚ INICIAL el modo GRAPH y ejecutamos EXE Borramos las funciones que haya en el editor colocando la selección sobre cada una de ellas presionando luego DEL YES F2 F1 Introducimos la función problema! Si dibujamos la función obtenemos una "horribilis gráfica" que habrá que mejorar. División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 43 44

4 Para determinar los parámetros de la escala tanteamos, a priori, algún valor para detectar el Dominio de la función, concepto en el que profundizamos con los alumnos, ayudándonos con la creación de una tabla: MENU 7 Fíjate bien que la x se introduce presionando la tecla x,θ,τ y no la tecla de multiplicación x RANG A continuación establecemos el RANGO del rastreo Start (Valor inicial): ( ) 2 EXE End (Valor final): 9 EXE Pitch (Incrementos - pasos): 1 EXE TABL EXE F6 Observamos que el Recorrido de la función (Y1) es bastante amplio, por lo que, el hecho de fijar unos parámetros de escala adecuados, presenta dificultades. No obstante, tras el análisis de las tablas, y una vez determinados unos posibles dominios y recorridos, decidimos tomar los siguientes parámetros, para una mejor visualización de los ejes de coordenadas: SHIFT V-Window F3 Coloca los valores indicados al margen DRAW EXE MENU 5 F6 En el eje X figurará el número de años desde la última remodelación y en el eje Y el número de socios (expresado en miles). b) Qué significado tiene el punto (2.4, ) de la gráfica?. Este apartado lo hemos añadido al comprobar que, de forma generalizada, los alumnos tenían grandes dificultades para entender el significado de cada uno de los puntos de la gráfica, concepto sin el cuál se hacía dificultoso poder abordar todos los apartados posteriores. Nos pregunta el valor de x para luego darnos automáticamente su imagen: 2 4 EXE Enseguida el cursor marcianito comienza a buscar ese punto, señalando en la parte inferior de la pantalla sus coordenadas: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Transcurridos 2.4 años después de la última remodelación se espera que el club cuente con socios. División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 45 46

5 c) * Cuántos socios tenía el club en la última remodelación?. Responder a este apartado supone buscar cuánto vale la función al principio, cuando el tiempo es cero, es decir para x = 0. Para ello volvemos a utilizar el G- SOLVE. Buscamos el punto de corte con el eje Y: Y ICPT F4 El marcianito vuelve a buscar ese punto, señalando en la parte inferior de la pantalla sus coordenadas: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Cuando se hizo la última remodelación el club tenía socios. d) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios?. Para contestar a este apartado, todos los alumnos, sin excepción, han buscado el máximo absoluto, ya que la idea que nos da la representación gráfica sobre la evolución del número de socios así lo parece indicar, prescindiendo del máximo relativo propuesto por los alumnos de 2º de bachillerato, y que se obtiene a través del cálculo analítico con el estudio de las derivadas. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: No alcanza un máximo absoluto teórico preciso, sólo aquel que determinarían las limitaciones físicas, de espacio o logísticas del club, hecho que no viene reflejado en la fórmula matemática propuesta. e) Observas algún momento en el que exista un máximo relativo en la evolución del número de socios?. Cuántos socios tenía en dicho instante?. Justifica la respuesta. Buscamos un máximo relativo de la función mediante el G-SOLVE: MAX F2 Para justificar la respuesta, una vez determinado dicho valor máximo, analizamos el concepto de MÁXIMO. Investigamos el valor de la función inmediatamente a su izquierda e inmediatamente a su derecha, y vemos que son menores los 2. Así VISUALIZAMOS la definición de máximo de una función que dice que ésta alcanza un máximo en un punto si existe un entorno de este punto, en nuestro caso para x = 1, en el cual las imágenes tanto a su izquierda como a su derecha son MENORES EXE El marcianito comienza a buscar ese punto, señalando en la parte inferior de la pantalla sus coordenadas: EXE El marcianito busca ese punto ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Alcanza un máximo relativo al transcurrir 1 año después de la última remodelación, momento en el que tiene socios. f) A la vista de la gráfica, cuándo parece haberse fundado el club? No puede haber un número negativo de socios, por lo que podría pensarse que se funda en el instante en el que la sociedad tiene su primer socio, es decir, cuando y = X CAL F6 F2 1 EXE El marcianito busca ese punto NOTA: Este apartado es muy interesante ya que se trata de un ERROR HABITUAL del alumno, por lo que tendremos que insistir en la importancia de traducir correctamente el valor de la escala de los ejes. Para buscar la cifra de 1 socio habrá que preguntarle por el valor x = (miles de socios) y no x = 1, que realmente significa socios. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: El club se habría fundado 0.7 años antes de afrontar la última remodelación. g) Para cuántos años tendría validez la función que determina la evolución del número de miembros; así pues, cuál se podría considerar el dominio?. El número de socios ha de ser positivo, por lo que la función existirá, teóricamente, mientras ocurra esto. Por lo que, para averiguarlo, calcularemos previamente los puntos de corte con el eje OX, es decir, cuando y = 0, para poder interpretarla: División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 47 48

6 ROOT F1 [Puntos de corte con el eje OX (Raíces)] El marcianito comienza a moverse buscando ese punto de corte hasta que lo encuentra, señalando en la parte inferior de la pantalla sus coordenadas. Dom (S) = ( 0.72, + ) ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Se puede considerar que el dominio de la función va desde la fundación del club en adelante, acotado quizás por limitaciones físicas, de espacio o logísticas, de dicho club, hecho éste que no viene reflejado en la fórmula matemática propuesta. h) Representa un esbozo de la función sólo en su auténtico dominio. Escribimos de nuevo la función, pero teniendo en cuenta su dominio, para lo cual escribiremos, al final de dicha función, un intervalo que señale este dominio; al no poder escribir infinito, señalamos como límite superior un número suficientemente grande con respecto a la gráfica: Dom (S) = ( 0.72, 1000) Escribimos en Y2 la función, poniendo el intervalo al final: [ EXIT SHIFT + ( ) ] SHIFT Recuerda que tienes que desactivar Y1: SEL EXE F1 EXE Sólo se ve el final de la función pues no cabe en pantalla i)* En qué año se alcanza el mínimo número de socios después de la última remodelación señalada?. Justifica la respuesta. Buscamos un valor mínimo en pantalla mediante el G-SOLVE Recuerda que tienes que volver a seleccionar Y1 y desactivar Y2 SEL SEL EXIT F1 F1 EXE MIN F3 Para justificar la respuesta, una vez determinado dicho valor, analizamos el concepto de MÍNIMO. Buscamos el valor de la función inmediatamente a su izquierda e inmediatamente a su derecha, y vemos que los 2 son MAYORES que él. Así VISUALIZAMOS la definición de mínimo de una función que dice que ésta alcanza un mínimo relativo en un punto si existe un entorno de este punto, en nuestro caso x = 4, en el cual las imágenes, tanto a su izquierda como a su derecha, son mayores EXE El marcianito busca ese punto EXE El punto parpadeante comienza a buscarlo y señala sus coordenadas: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: El número mínimo de socios, después de la última remodelación, se alcanza transcurridos 4 años después de dicha reestructuración. j)* Cuál será esa cantidad mínima de socios que tendrá el club después de la última remodelación?. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: El número de socios que tiene a los 4 años, después de la última remodelación, es de k) Cuántos socios tendrá al cabo de 3 años, después de la última remodelación?. 3 EXE ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: El nº de socios que tiene a los 3 años de la última remodelación es de División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 49 50

7 l) Y al cabo de 2 años y 8 meses?. Este es un buen momento para repasar la importancia del número mixto, transformando rápidamente la expresión 2 años y 8 meses a forma decimal: 2 a b /c 8 a b /c 1 2 EXE ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Se estima que el número de socios que tiene a los 2 años y 8 meses, después de la última remodelación, será de ll) El cuarto año se remodeló de nuevo (remodelación B). Indíquese, razonadamente, si esta remodelación tuvo éxito o no. Buscaremos un valor mínimo que alcance la función en pantalla: MIN F3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Como se puede ver, en ese momento alcanza un mínimo relativo, a partir del cual la función pasa a ser estrictamente creciente, por lo que existe un aumento constante del número de socios que confirma el ÉXITO de esta nueva remodelación. m) Cuánto tardará en alcanzar los socios?. X CAL F6 F EXE Pero en este caso el marcianito... 2 años y 8 meses Qué ocurre? por qué no encuentra la solución??? Hay que recordar que se trata de un ERROR HABITUAL del alumno, que nos permite volver a insistir en la importancia, como ya hemos dicho, de traducir correctamente el valor de la escala de los ejes. Para buscar la cifra de habrá que preguntarle por el valor x = (miles de socios) y no x = , que realmente significa socios. X CAL F6 F EXE ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Se alcanza una cantidad de socios transcurridos 5.55 años después de la remodelación a la que se refiere el enunciado inicial. n) Si la cuota de cada miembro es de euros al mes, cuántos euros se ingresarán a comienzos del 5º año? y cuántas pesetas?. Recuerda que 1 euro equivale a PTAS. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Con los socios previstos al principio del 5º año se ingresarán euros, equivalentes a PTAS. ñ)* A los 6 años después de la primera remodelación señalada, el número de socios, estará aumentando?. Justifica la respuesta. Una función es creciente en un punto si existe un entorno de este punto, en nuestro caso para x = 6, en el cual las imágenes a su izquierda son menores y mayores a su derecha. Representamos de nuevo la función: Trace F1... Nos colocamos con el cursor en x = 6 y observamos el valor de la imagen Después nos movemos con el cursor un lugar inmediatamente a su izquierda y posteriormente un lugar inmediatamente a su derecha, observando que el primero es menor y el segundo es mayor, por lo que concluimos que es una función creciente en dicho punto. División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 51 52

8 Disminuye el valor Aumenta el valor ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: A los 6 años después de la remodelación señalada en el enunciado, el número de socios estará creciendo. NOTA: También podríamos apoyarnos en el concepto de derivada, que estudiaremos más adelante. o) En qué intervalo de tiempo el número de socios es creciente? Es interesante para comprobar visualmente el concepto de crecimiento de una función: a medida que aumenta el valor de x aumenta el valor de la función. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Una vez observado todo el ejercicio y calculados los puntos notables de la gráfica comprobamos que el número de socios es creciente desde que se fundó hasta l año después de la remodelación y desde los 4 años (remodelación B) en adelante. p) En qué intervalo de tiempo el número de socios es decreciente? También es interesante para comprobar visualmente el concepto de decrecimiento de una función: a medida que aumenta el valor de x disminuye el valor de la función. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Una vez observado todo el ejercicio y calculados los puntos notables de la gráfica comprobamos que el número de socios es decreciente desde 1 año después de la última remodelación hasta los 4 años (remodelación B). q) En el momento de registrarse la denominada última remodelación se inaugura en un lugar próximo un nuevo club, cuyo número de socios viene dado (en miles) por la función: y = x 5 Habrá algún momento en el que ambos clubes tengan el mismo número de socios? Ingresamos la nueva función: EXIT ( x,θ,τ ) 5 EXE EXE Veamos a continuación cuáles son los puntos de corte de ambas funciones: ISCT ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: Ambos clubes coincidirán en el número de socios 3 veces: A los 0.72 años ( socios) A los años ( socios) A los 4.72 años ( socios) A continuación, con el propósito de iniciar al profesorado en este tipo de problemas, con un enunciado que acerque al alumno al mundo real, a funciones que reflejen directamente situaciones, presentamos una batería de ejercicios bajo la denominación de PROBLEMAS PROPUESTOS, aprovechando las posibilidades que nos ofrecen las nuevas tecnologías, sin renunciar a nada, sino intentando atraer al alumno con un mundo que, no nos olvidemos, rodea e impregna a nuestros estudiantes en cada momento, en cuanto salen del colegio o instituto. División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 53 54

9 PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Una bola de acero es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio de altura h metros con dependencia funcional, al cabo de x segundos, que viene dado por la fórmula: h = x 16 x 2 Se pide: a) * Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor de las unidades de escala. b) Qué significado tiene el punto (0.8, ) en la gráfica? c) * Halla la altura del edificio. d) * En qué instante la bola alcanza su máxima altura? e) Cuál es la máxima altura que alcanza la bola desde el suelo? f) Cuánto subió la bola hasta que alcanza la máxima altura?. g) Cuánto tarda la bola en caer al suelo?. h) Cuánto tiempo tarda la bola en estar de nuevo a la misma altura desde la que fue arrojada? i) A qué altura está la pelota a los 4 segundos y medio?. j) A qué altura está la pelota a los 10 segundos? k) Al cabo de 2 segundos la pelota... está subiendo o bajando?. Explícalo razonadamente, aplicando conceptos teóricos. l) * Cuál es el dominio de la función h = x 16x 2?. ll) Si lo hubieses hecho experimentalmente y fueses anotando la altura con respecto al tiempo, cuál sería verdaderamente la gráfica que obtendrías entre x = 2 y x = 15?. Dibújala. m) Cuál sería el dominio de esa función h(x) realizada experimentalmente entre x = 2 y x = 15?. n) A qué velocidad va la pelota cuando alcanza la máxima altura y va a empezar a caer?. ñ) Halla la velocidad media de la bola en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 4. o) ** Cómo podrías representar la velocidad que lleva la pelota en cada momento?. 2) 1968 es el año de la fundación de una agrupación pacifista. Después de un estudio del número de sus miembros asociados [N(x)] con respecto a los años transcurridos x, se aprecia que se ajusta a la fórmula: N(x) = 50 ( 2x 3 15x x + 2) a) * Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor de las unidades de escala. b) Qué significado tiene el punto (0.6, 888.4)? c) Para cuántos años tendría validez la función que determina la evolución del número de miembros; así pues, cuál se podría considerar el dominio?. d) * Cuántos fueron los socios fundadores?. e) Representa la función sólo en su dominio. f)* En qué año se alcanza el máximo número de socios?. g)* En qué año se alcanza el mínimo número de socios?. h)* Cuál será el mayor número de socios que tendrá la agrupación?. i)* Cuál será el menor número de socios que tendrá la agrupación?. j) Cuántos socios tendrá al cabo de 1 año y seis meses?. k) Y al cabo de un año y 8 meses?. l) Cuánto tardará en alcanzar los 651 socios?. ll) Comenta, razonadamente, si el número de socios está aumentando o disminuyendo al cabo de 3 meses. m) Cuánto tiempo estimas que tardará en desaparecer dicha agrupación? n) Si la agrupación pacifista llega a desaparecer, según el modelo funcional sugerido, volverá a resurgir?. ñ) Si la cuota de cada miembro es de 9 euros, cuántos euros se recolectarán en el séptimo mes?. Y cuántas pesetas?. 3) La producción total de cierta hortaliza en un invernadero, Q(x) en Kg, depende de la temperatura, x en ºC, según la expresión: Q(x) = (x + 1) 2 (32 x) a) * Dibuja la gráfica de la función, señalando en los ejes lo que indica cada uno de ellos y colocando el valor de las unidades de escala. b) Qué significado tiene el punto (5, 972) de la gráfica?. c)* Calcula, razonadamente, cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. d)* Qué producción de hortaliza se obtendría en ese momento?. e) Qué temperatura se puede considerar mortal para esa variedad de hortaliza?. f) Se mueren las plantas a partir de 0 ºC, al aplicarles más frío?. g) Cuándo tiene sentido esta función? Cuál es su dominio?. h) Comenta, razonadamente, si a 12 ºC la producción de hortalizas es creciente o decreciente. i) En qué momentos la producción es creciente? j) En qué intervalo la producción es decreciente? k) Si le aplico frío, a partir de 0 ºC, hay algún momento en el que no existe producción?. l) Cuándo hay una producción de kilogramos? ll) Qué producción hay a 20 ºC?. Y a 0 ºC?. División Didáctica Calculadoras Científicas CASIO 55 56