Derivación de Funciones en una Variable

Transcripción

1 Derivación e Funciones en una Variable Maritza Aleanra Pinta, Enrry Castillo Pacheco Universia Técnica e Machala

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3 Derivación e Funciones en una Variable

4 Ing. César Quezaa Aba, MBA Rector Ing. Amarilis Borja Herrera, Mg. Sc. Vicerrectora Acaémica Soc. Ramiro Oróñez Morejón, Mg. Sc. Vicerrector Aministrativo COORDINACIÓN EDITORIAL VICERRECTORADO ACADÉMICO Tomás Fontaines-Ruiz, PhD. Investigaor Becario Prometeo-Utmach Asesor Del Programa De Reingeniería Ing. Karina Lozano Zambrano Coorinaora Eitorial Ing. Jorge Maza Córova, Ms. Ing. Cyni Aguilar Equipo e Publicaciones

5 Derivacion e Funciones en una Variable Maritza Aleanra Pinta Enrry Patricio Castillo UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA 015

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7 Deicatoria Con amor para mi esposo, Eguipto, y, mi hijo, Juan José Maritza Aleanra Pinta Con amor para la compañera e toa mi via, Mireya, y mis hijos, Jean y Anahi Enrry Patricio Castillo

8 Primera eición 015 ISBN: D.R. 015, universia técnica e machala Eiciones utmach Km. 5 1/ Vía Machala Pasaje Este teto ha sio sometio a un proceso e evaluación por pares eternos con base en la normativa eitorial e la utmach. Portaa: Concepto eitorial: Jorge Maza Córova Samanta Cabezas (est. Comunicación Social) Fotografía: Dir. e Comunicación UTMACH Diseño, montaje y proucción eitorial: UTMACH Impreso y hecho en Ecuaor Printe an mae in Ecuaor Avertencia: Se prohíbe la reproucción, el registro o la transmisión parcial o total e esta obra por cualquier sistema e recuperación e información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, eistente o por eistir, sin el permiso previo por escrito el titular e los erechos corresponientes.

9 Ínice Prefacio Unia 1: Introucción Notas históricas Repaso e efiniciones importantes La Derivaa Definiciones Nomenclatura Utilia en las ingenierías Unia : Derivación e funciones algebraicas Reglas e erivación Derivación e la función constante Derivación e la función ientia Derivación el proucto e una constante por una función Derivación e la potencia e una función Operaciones e la erivaa Derivaa e una suma algebraica e funciones Derivaa e un proucto e funciones Derivaa e un cociente e funciones..... Miscelánea e ejercicios resueltos Miscelánea e ejercicios propuestos Ejercicios prácticos e aplicación Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos... 40

10 Unia : Derivación e funciones eponenciales y logarítmicas Repaso e efiniciones importantes Reglas e erivación Miscelánea e ejercicios resueltos Miscelánea e ejercicios propuestos Unia 4: Derivación e funciones trigonométricas Repaso e efiniciones importantes Reglas e erivación Derivaa el seno e una función Derivaa el coseno e una función Derivaa e la tangente e una función Derivaa e la cotangente e una función Derivaa e la secante e una función Derivaa e la cosecante e una función Miscelánea e ejercicios resueltos Miscelánea e ejercicios propuestos... 6 Unia 5: Derivación implícita y erivaas sucesivas Repaso e efiniciones importantes Derivación implícita Derivaa e la composición e os funciones Derivaas sucesivas Miscelánea e ejercicios resueltos Miscelánea e ejercicios propuestos Aneos: Cuaros resumen e las reglas básicas e integración Bibliografia... 8

11 Prefacio Nunca consieres el estuio como una obligación, sino como una oportunia para penetrar en el bello y maravilloso muno el saber. Albert Einstein Este libro nace e la necesia e ofrecer al estuiante e cálculo iferencial, e los primeros años e las carreras e Ingeniería, una guía práctica para aprener a erivar, y, el mismo es fruto e 0 años e eperiencia como ocente e Matemáticas e la Universia técnica e Machala. Para la comprensión e este teto, es necesario el manejo e contenios matemáticos básicos e algebra, aritmética, trigonometría y geometría analítica; aemás e funciones e una variable, límites y continuia. Los principales problemas que posee el estuiante en el aprenizaje e la erivaa, están relacionaos con eficiencias cognitivas en contenios e algebra, aritmética y trigonometría, contemplaos en el currículo el nivel e eucación meia y el preuniversitario. Estas eficiencias, han sio comunes y manifiestas, urante la eperiencia ocente a lo largo e estos últimos años, en la Universia Técnica e Machala. Como profesor e esta institución he consierao la importancia e elaborar un teto, cuyo contenio esté referio a teorías principales propias e la erivación e funciones en una variable, ejemplos iácticos y miscelánea e ejercicios resueltos, que epliquen al estuiante un mecanismo sencillo y práctico para erivar. Así mismo, que contenga [11]

12 1 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo una serie e ejercicios propuestos a través e los cuales el estuiante puea practicar y afianzar el conocimiento que va aquirieno. Espero que la presente obra sea e gran ayua para los estuiantes e ingeniería, ya que la erivación le será útil para su aplicación en problemas prácticos propios e su especialia, y, para el posterior estuio el cálculo integral.

13 Unia 1: Introucción 1.1. Notas Historicas: La historia es una puerta hacia el pasao que nos permite comprener el presente y vislumbrar el futuro, y en el caso e las matemáticas, éstas se han io construyeno a manera e pirámie. Y es que, caa escubrimiento matemático se ha elaborao en base a los preeistentes, ya lo ijo Newton en su famosa frase Si consigo ver más lejos es porque he conseguio apoyarme en hombros e gigantes. Así vemos que, traicionalmente se ha atribuio el nacimiento el cálculo a Newton ( ) y a Leibniz ( ), pero lo que en realia ellos hicieron es perfeccionar los proceimientos infinitesimales e Barrow ( ) y Fermat ( ), quienes a su vez se apoyaron en los trabajos e Torriceli ( ), Cavalieri ( ), Galileo ( ), Kepler ( ), Valerio ( ) y Stevin ( ). Estos últimos en cambio se funamentaron en los aportes e Oresme (10-18), Arquímees (87a.C.-1a.C.) y Euoo (90a.C.-7a.C.); inspiraos en problemas matemáticos y filosóficos planteaos por Aristóteles (84a.C.-a.C.), Platón (47a.C.-47a.C.), Zenón (490ª.C.-40ª.C.) y Pitágoras (570a.C.- 495a.C.) ( (Villalba, 00). Por otro lao, un resumen claro e la historia e la erivaa, nos a la historiaora matemática Juith V. Grabiner (Perez, 015) en su frase: Primero, la erivaa fue usaa, espués escubierta, eploraa y esarrollaa y, finalmente, efinia. La cual se eplica en el hecho e que Fermat ( ) utilizó la erivaa e manera implícita, años más tare Newton ( ) y Leibniz ( ) [1]

14 14 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo la escubrieron; luego Taylor ( ), Maclaurin ( ), y Euler ( ), entre otros, la esarrollaron, Lagrange ( ) la nombró y la caracterizó, y por ultimo Bolzano ( ) fue el primero en efinir a la erivaa como un límite, mientras que Cauchy ( ) y Weierstrass ( ) la efinieron sistemáticamente (Ponce, 015). 1.. Repaso e Definiciones Importantes Antes e comenzar a aprener a erivar, es importante tener claras las siguientes efiniciones: Función Algebraica: Según Stewart (01), una función f se llama función algebraica si puee construirse utilizano operaciones algebraicas e suma, resta, multiplicación, ivisión y raicación. Sieno las principales: Función Constante: Es una función cuya variable epeniente tiene siempre el mismo valor para cualquier valor e la variable inepeniente. Por lo general se la representa por f() c, aunque la constante (c) puee ser sustituia por cualquiera e las primeras letras el alfabeto. Ejemplos: y 5, y a, y a, y Función Ientia: Es aquella función en la que el valor e la variable epeniente e siempre igual al e la variable inepeniente, tenieno la forma f(), por lo que su gráfica es una recta que pasa por el origen con una inclinación a 45 graos. Funciones polinómicas o polinomiales: Son e la forma: f () a n n + a n 1 n a + a a 0 Y como vemos están formaas por operaciones e suma algebraica y multiplicación e funciones constantes y potencias e la función ientia. El grao e la función polinómica será el que correspone al mayor eponente presente en la misma, así tenemos por ejemplo:

15 De función lineal (grao 1): y 8 De función cuarática (grao ): y + 5 De función cubica (grao ): y + 7 De función e quinto grao: y Introucción 15 Función Racional: Es una función algebraica que puee epresarse como la razón entre os polinomios. Ejemplos e funciones racionales son: y y Cuano el grao el polinomio el numeraor es menor que el el enominaor, es una función racional propia; y, cuano el grao el polinomio el numeraor es mayor o igual que el el enominaor, es una función racional impropia. Función Irracional: Es aquella función que tiene una epresión raical. Ejemplos e funciones irracionales son: y y + Incremento: Si es una variable con un primer valor 1 y un seguno valor. Entonces el cambio en el valor e, que es 1, se enomina incremento e y se enota por Δ. Razón e cambio: Es la razón entre el incremento e una variable con respecto al incremento e otra, así por ejemplo, para inicar la razón e cambio e y con respecto a, tenríamos: y y y 1 1 Tangente a una curva: Es la recta que toca a la curva en un solo punto llamao punto e tangencia. Límite: Si en la meia que se acerca caa vez más a a, por la izquiera y la erecha, una función f () se aproima caa vez más a L, entonces L es el límite f () cuano tiene a a. Epresánose como: L lim f( ) a

16 16 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 1.. La Derivaa Definiciones La erivaa es una función matemática, cuyo concepto ha io evolucionano a partir el concepto e funciones y límites, movio principalmente por la necesia e encontrar un métoo general para el cálculo e áreas y e resolver problemas e carácter inámico (Roriguez el Río, 004). A continuación hare referencia a los conceptos más importantes e la erivaa: Definición geométrica e la Derivaa: Daa la gráfica e una función f(), geométricamente la erivaa en cualquier punto e icha función se efine como la peniente e la tangente a la función en ese punto. Para comprener mejor este concepto, se analizará la siguiente gráfica: Gráfico 1 Yl/(,J ~ Xo 6 Xz --- ' ' X 1 X La curva aa representa la gráfica e la función yf(), la recta A es una secante e esta, cuya peniente (m) es igual a la tangente e su ángulo e inclinación, o sea: m A Tag a Δy Δ y y 0 α 0

17 Introucción 17 Se observa que, en la meia que X se acerca caa vez más a Xo, Δ isminuye, tenieno al valor 0, y, la secante A pasa a convertirse en la tangente D en el punto P e la curva. Por lo que la peniente e la tangente D puee epresarse como: md Lím 0 y f () Obteniénose e esta forma la erivaa f () Definición e la erivaa como una razón e cambio: Según la efinición geométrica e la erivaa, se vio que: f () Lím y 0 one se eviencia que la erivaa resulta e llevar al límite cero a la razón entre un incremento en Y, y, un incremento en X. Por ello, a la erivaa se la conceptualiza como una razón e cambio, como el incremento e una magnitu con respecto a otra. Lo cual se puee traucir como la velocia e crecimiento o variación; por ejemplo, la erivaa e la posición e un vehículo con respecto al tiempo, sería la velocia que tiene el mismo en un instante ao, o sea, la velocia instantánea con la cual el vehículo se está movieno. Se efine entonces a la erivaa f (a) como la razón instantánea e cambio e y f() con respecto a cuano a (Stewart, 008) fa ( + h) fa () f'( a) lim h 0 h Definición formal e erivaa: Formalmente se efine a la erivaa e una f () como: f ( + ) f () f'( ) lim o Siempre y cuano el límite eista (Larson & Ewars, 010). Derivación: Proceso e cálculo e la erivaa e una función. Función erivable: Una función f() es erivable en, en un intervalo ao, cuano su erivaa en eiste en caa uno e los puntos e ese intervalo.

18 18 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 1... Nomenclatura Si y f() es una función aa e, la erivaa e y con respecto a, se puee enotar por cualquiera e las nomenclaturas escritas en el cuaro 1: Cuaro 1 Notación Se lee Matemático y f y' f '() La erivaa e y con respecto a La erivaa e la función con respecto a y prima f prima Gottfrie Leibniz Joseph-Louis Lagrange D y D f La erivaa e y con respecto a La erivaa e la función con respecto a Leonhar Paul Euler 1.4. Utilia en las Ingenierías Hoy en ía, las erivaas se utilizan en la mayoría e los cálculos científicos y estuios importantes como la relativia, la mecánica cuántica, los sistemas inámicos, la computación, entre otros, y por supuesto, en las iferentes ramas e la ingeniería. Dentro e las ingenierías, las erivaas nos an información concreta, irecta y científica sobre los fenómenos que nos roean, y que están relacionaos con incrementos en las variables, cálculo e áreas y volúmenes, optimización, velociaes, resistencias, fuerzas istribuias, y emás

19 Unia : Derivación e Funciones Algebraicas.1. Reglas e Derivación Estas son las reglas básicas e erivación e las funciones algebraicas:.1.1. Derivaa e la función constante: La erivaa e una función constante es igual a cero. c () Sieno c una constante, tenemos que: 0 Ejemplos: (8) 0, (π p ) ( ln ), 0 0 ya que 8, y ln son constantes..1.. Derivaa e la función ientia: La erivaa e una variable con respecto a ella misma es igual a 1. Sieno la variable, entonces tenemos que: 1 y Ejemplos: 1 y, z z Derivaa el proucto e una constante por una función: La erivaa el proucto e una constante por una función es igual a la constante multiplicaa por la erivaa e la función. Sieno c una constante y u una función e, tenemos que: u ( cu) c. [19]

20 0 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Ejemplos: 1) ) ( 6 ) 6 6(1) 6 y ( p ) p p(1) p y ya que es constante ), en este caso si consieramos c 1/5, tenemos: (1) Derivaa e la potencia e una función: La erivaa e la potencia e una función sieno el eponente un número real, es igual al proucto el eponente por la función elevaa al eponente isminuio en una unia, y por la erivaa e la función. Sí, u f() y n R, tenemos que: n ( u ) nu. n 1 u Ejemplos: 1) ) ( ) 5 ( a) tenemos, one u y 5 R ()5 5() 5 1 () 5()4 () 15(81 4 ) 115 4,epresánolo en forma eponencial, ( a ) 1/ 1/ 1/ 1 ( a) ( a) ( a) 1/ ( ), one u a y ½ R (. a a ) ( a.1) a a a

21 Derivación e funciones algebraicas 1 5 ) ( 1 ),epresánolo en forma eponencial, 1/5 tenemos (1 ), one u 1- y 1/5 R 1 5 1/5 1/5 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 4/5 (1) (1 ) ( ( )) 5 1 (1 ) 4/5 (0 ) 5 1 (1 ) 4/5 (0 (1)) 5 4/5 (1 ) 5 5(1 ).. Operaciones e la Derivaa 4/5..1. Derivaa e una suma algebraica e funciones: La erivaa e una suma algebraica e funciones es igual a la suma algebraica e las erivaas e las mismas. Si u y v son funciones e, tenemos que: Ejemplos: ( u± v) u ± v 1) ) (9) (9 ) (4+ ) (4 ) + () (1) 4... Derivaa e un proucto e funciones: La erivaa el proucto e os funciones, es igual a la primera función multiplicaa por la erivaa e la seguna función, más, la seguna función multiplicaa por la erivaa e la primera función.

22 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Sí, uf() y v f() tenemos que: (.) uv u. v + v. u Ejemplos: 1) + (5 )(1 6 ) one u 5- y v (5 )(1 6 ) (5 ) (1 6 ) (1 6 ) (5 ) (5 ) (1) (6 ) (1 6 ) (5 ) () (5 )(0 1 ) (1 6 )(5 0) Derivaa e un cociente e funciones: La erivaa el cociente e os funciones es igual a la función el enominaor por la erivaa e la función el numeraor, menos la función el numeraor por la erivaa e la función el enominaor, too esto sobre el cuarao e la función el enominaor. Sí, uf() y v f() tenemos que: Ejemplos: u v v. u. ( u/ v) v 1) + 4, one u + 4 y v -

23 Derivación e funciones algebraicas + 4 ( ) ( + 4) ( + 4) ( ) ( ) ( ) + (4) y ( + 4) () ( ) ( ) ( )(1+0) ( + 4)(0 6) ( ) ( )(1) ( + 4)( 6) ( ) ( ) +4 + ( ) 1 ), one u - 1 y v 1/ 1 1 1/ 1/ ( 1) ( 1) 1/ 1/ 1/ ( 1/ ) ( ) (1) ( 1) 1/ ( 1/ ) 0 ( 1) 1 1/ 1 /

24 4 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Pacheco 1/ ( ) ( 1) 1 1/ 1 / 7/ ( ) 1 / + 1 / / / 7/ 7/ / 8 7/ + 1 / / ( 8 5/ + 1 4/ ) / / 8 5/ 1-4/ 8 5/ Miscelanea e Ejercicios Resueltos 4/ Calcular las siguientes erivaas: 1) ( ) Utilizano la regla e la erivaa e la potencia e una función y e la suma algebraica e funciones: ( ) () 5(9) 4() () ()

25 Derivación e funciones algebraicas 5 ) (a - 1 +π+e) Empezamos utilizano la regla e la erivaa e una suma algebraica e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, proucto e una constante por una función, función ientia y función constante. 1 ( a - + p + e) ( a )- ( ) + ( p ) + ( e) a - ( ) + p + 0 a ð - + ) ( +4-5 ) Empezamos utilizano la regla e la erivaa e una suma algebraica e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, potencia e la función ientia, función ientia y función constante. 5 5 ( + 4- ) ( + 4)- ( ) 1 5 ( 4) ( 4) 1/ 1 5/ ( 4) ( 4) 1/ / / 5 / 1 5 / ( + 4) (1 + 0) 1/ ( + 4) /

26 6 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 4) 5 ( +1+ ) +1 Empezamos utilizano la regla e la erivaa e una suma algebraica e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, función ientia y función constante. 5 5 ( ) ( + 1) + ( ) ( 1) 5 ( 1) 1/ 1/ ( 1) 1/ 1 ( 1) 5( 1 / )( 1) 1/ 1 ( 1) / 1 5 1/ 1 ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) 1 1/ 5 / ( + 1) (1+ 0) ( + 1) (1+ 0) ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) 1/ / + + 1/ / ( +1) 5) 4 ( 5 + ) Este ejercicio se puee resolver e os formas: a. Desarrollano primero el cubo el binomio:

27 Derivación e funciones algebraicas 7 4 ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 5 )( ) ( ) / (5 ) (5 )( ) ( 5 )( ) ( ) / (5 ) Multiplicano, simplificano y epresano en forma eponencial: (5 ) + 1(5 ) + 48(5 ) + 64(5 ) / 1/ 1/ / Derivano, aplicano primero la regla e la erivaa e una suma algebraica e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, e una constante por una función y e la función ientia. / 1/ 1/ / (5 ) + 1 (5 ) + 48 (5 ) + 64 (5 ) / 1 1 1/ 1 (5 ) (5 ) + 1( )(5 ) (5 ) / 1 / 1 48( )(5 ) (5 ) 64( )(5 ) (5 ) 1/ (5 ) 5 ( ) 6(5 ) 1/ 5 ( ) 4(5 ) / 5 ( ) + + 5/ 96(5 ) 5 ( ) (5 ) 1/ 5(1) 6(5 ) 1/ 5(1) 4(5 ) / 5(1) 96(5 ) 5/ 5(1) + Una vez que se ha erivao trabajamos la epresión algebraica para simplificarla: 15 (5 ) 1/ 0(5 ) 1/ 10(5 ) / 480(5 ) 5/ +

28 8 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Pacheco 15 ( 5 ) 1/ + 0( 5) 1/ (5) (5) 480 / (5) (5) 5/ 5 b. Aplicano irectamente la regla e la erivaa e la potencia e una función, luego las que corresponen a la erivaa e una constante por una función y e la función ientia. 4 5 ( 5 + ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) / ( 5 ) (5 ) ( ) 4 ( 5 ) (5 ) 4(5 ) 5 1/ 1/ / 1 1/ 1 ( 5 ) (5 ) (5 ) 4( )(5 ) (5 ) / / ( 5 ) (5 ) 5 ( ) (5 ) 5 ( ) / / ( 5 ) (5 ) 5 ( ) (5 ) 5 ( ) / / ( 5 ) (5 ) 5(1) (5 ) 5(1)

29 Una vez que se ha erivao trabajamos la epresión algebraica para simplificarla: 4 5 ( 5 ) (5 ) 10(5 ) 5 1/ / + 1/ 4 5 1/ / (5 ) + (5 ) 10(5 ) 1/ (5 ) 1/ / / 5 (5 ) ( ) (5 ) 10(5 ) 1/ 1/ (5 ) (5 ) (5 ) 10(5 ) 5 1/ / + + 5(5 ) ( 0(5 ) 40(5 ) 10(5 ) 1/ 1/ / 1/ + + / 5/ 80(5 ) 160(5 ) ) Derivación e funciones algebraicas 9 5(5 ) ( 10(5 ) 40(5 ) 160(5 ) 1/ 1/ / 5/ + 15 (5 ) + 0(5 ) -10(5 ) - 480(5 ) 1/ -1/ -/ -5/ (5) (5) 5 Que es el mismo resultao obtenio con el primer métoo(a) 6) ( /4 + /4 ) 4/ Empezamos utilizano la regla e la erivaa e la potencia e una función y luego las que corresponen a la erivaa e suma algebraica e funciones y función constante.

30 0 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo /4 /4 4/ /4 /4 4/ 1 /4 /4 ( ) ( ) ( ) 4 /4 /4 1/ ( ) ( /4 ) ( /4 ) /4 /4 1/ /4 1 /4 /4 1/ 1/4 ( ) (0 ) ( ) ( ) Una vez erivao, simplificamos: /4 /4 1/ 4 1/4 /4 /4 1/ ( ) ( )( + ) + 1/ /4 /4 /4 7) ( 4 - ) Empezamos utilizano la regla e la erivaa e un proucto e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: la potencia e una función, suma algebraica e funciones y función constante. ( 4- ) / 1 1 1/ (4 ) ( 4 ) + 4- () (4 ) (0 1) ) ( ( - )( +1) ) Esto se puee resolver e os maneras: a) Realizamos primero el proucto inicao en el raicano:

31 Derivación e funciones algebraicas 1 ( ( - )( + 1) ) ( - ) Epresamos en forma eponencial y resolvemos utilizano primero la regla e la erivaa e la potencia e una función, suma algebraica e funciones, potencia e la función ientia, función ientia y función constante. 1 1/ 1/ 1 ( - ) ( - ) ( - ) 1 ( - ) / ( - ) 1 ( - ) / ( -1 0) -1 / ( - - ) b) Epresamos en forma eponencial 1/ 1/ ( ( - )( 1) ) ( ) ( 1) + + Resolvemos utilizano primero la regla e la erivaa e un proucto e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: la potencia e una función, suma algebraica e funciones y función constante. 1/ 1/ ( ) ( 1) + ( ) ( 1) ( 1) ( ) / 1/ 1/ 1/ / 1/ 1 1/ 1/ 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) / / 1/ / ( ) ( 1) (1 0) ( 1) ( ) (1 0)

32 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Simplificano: 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1/ / 1/ / ( ) ( + 1) ( ) + ( + 1) + ( + 1) ( ) ( + 1) ( ) 1/ 1/ / / / / / / (( + 1)( )) / -1 ( - - ) / Que es el mismo resultao obtenio con el primer métoo(a). 9) ( ) En este caso se trata e una función racional propia y poemos resolverla irectamente, aplicano primero la regla e la erivaa e un cociente e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e suma algebraica e funciones. 1 ( ) ( - 1) ( 1) ( 1) ( - 1) Simplificano: ( - + 1) 4 ( - + 1)(6 ) ( 1)(4 ) ( - + 1) ( - + 1) ( - +1)

33 Derivación e funciones algebraicas 10) En este caso se trata e una función racional impropia, one el grao el numeraor es mayor que el grao el enominaor, es conveniente primero iviir el numeraor para el enominaor, queano la epresión: ( ) +1 ( - - ) +1 La cual erivamos aplicano primero la regla e la erivaa e una suma algebraica e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, función ientia y función constante. ( - - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+ 1) ( 1) ( ) (+ 1) ( + 0) 4-+ ( +1) 11 ( ) (1) ( 1)( 1) ( 1) 11) + 1 ( ) 1- Epresamos en forma eponencial y luego erivamos, utilizano primero la regla e la erivaa e un cociente e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, función ientia y función constante.

34 4 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo + 1 (+ 1) 1- (1 ) 1/ ( ) 1/ (1 ) (+ 1) (+ 1) (1 ) / (1 ) 1/ 1/ 1/ 1/ / (1 ) 1/ 1/ 1 1/ 1/ 1 (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) (1 ) 1 1 / (1 ) 1/ 1/ 1/ / (1 ) (+ 1) ( + 1) (+ 1) (1 ) ( 1 ) / (1 ) 1/ 1/ 1/ / (1 ) ( 1) ( 0) ( 1) (1 ) (0 ) Simplificano: / (1 ) 1/ 1/ 1/ / (1 ) ( 1) () ( 1) (1 ) ( ) (1 ) (+ 1) + (+ 1) (1 ) / (1 ) 1/ 1/ 1/ / (1 ) (+ 1) (1 ) + (+ 1) + 1/ / 1/ / (+ 1) (1 ) ( + 1) (1 ) / / (1 ) (1 ) 1/ 1/ / / (1 ) + (+ 1) 1/ / ( + 1) (1 ) / 1/ 4/ (1 ) ( + 1) (1 ) 5-1/ 4/ ( +1) (1- )

35 .4. Miscelanea e Ejercicios Propuestos Derivación e funciones algebraicas 5 Calcular las siguientes erivaas: 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ( ) 5 4 ( a) 4 ( + 1) 4 4 ( + ) 4 4 ( ) 4 6 ( + ) ( c + ) 1/5 1/5 5 ( ) 5/6 5/6 6/5 4 ( 1) 1 ( ) 10) 1 11) (1 ) 1 +

36 6 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 1) ( (7-4 )( + 5)) 1) 14) 15) 5 ( ( ) ) 1-5 ( ) ( ) ) 17) 18) 19) 0) 1) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 ( ) ( ) 4 1 /5 (+ 5) ( ) / (1 )

37 Derivación e funciones algebraicas 7.5. Ejercicios Practicos e Aplicación.5.1. Ejercicios resueltos: 1. Aplicano la efinición geométrica e la erivaa, hallar la peniente e la recta tangente a la curva y / /, en el punto (1, ). Aplicano la efinición geométrica e la erivaa vista en el numeral 1., la peniente e la recta tangente solicitaa será igual a la erivaa e la curva en el punto (1,). Por lo cual se procee a hallar primero la erivaa e la función f() / / Epresano f() -/ Entonces f () (-/) -/ / Como en el punto e tangencia 1, se procee a hallar f (1): f (1) -(1) -5/ - Sieno por tanto la peniente solicitaa igual a -. Aplicano la efinición geométrica e la erivaa, hallar la ecuación e la recta tangente a la parábola y + 5 7, en el punto (, 7). Si tenemos un punto e una recta, para hallar su ecuación necesitamos otro punto o su peniente. Y en este caso, aplicano la efinición geométrica e la erivaa vista en el numeral 1., la peniente e la recta tangente solicitaa será igual a la erivaa e la parábola en el punto (,7). Por lo cual se procee a hallar primero la erivaa e la función f() Sieno f () + 5 Como en el punto e tangencia, se procee a hallar f (): f () () Sieno entonces la peniente m 9

38 8 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Finalmente calculamos la ecuación e la recta que pasa por (,7) y m9: y 7 9 ( ) y y Aplicano la efinición e la erivaa como una razón e cambio resolver los siguientes problemas prácticos:.1 Un estuiante e ingeniería se encuentra rinieno una prueba e velocia para poer clasificar al equipo e atletismo e su universia, y el espacio () que recorre por unia e tiempo (t), está ao por la función t - 4t + 5. Según la reglamentación, el estuiante ebe a los 5 segunos, espués e su partia, tener una velocia instantánea e por lo menos 7 metros por seguno. En este caso, clasifica el estuiante para el equipo? Aplicano la efinición e la erivaa como razón e cambio, vista en el numeral 1.4, según la cual se efina a la erivaa f (a) como la razón instantánea e cambio e y f() con respecto a cuano a. Por lo que, para este problema, se ebe en primer lugar hallar f (t): t - 4t + 5 f () t - 4, que será la función que representa a la velocia instantánea. Como se quiere eterminar la velocia en el instante t5 segunos, se etermina f (5): f (5) (5) Que representa una velocia instantánea e 6 metros por seguno, la cual es menor que la requeria, por lo tanto el estuiante no clasifica.. Se ha presentao un epiemia e engue en un pequeño poblao e la selva ecuatoriana y la función que relaciona las personas enfermas en un tiempo t, meio en ías, está aa por: f(t) 15t t. Cuál sería la razón e propagación instantánea e la epiemia?

39 Derivación e funciones algebraicas 9 Aplicano la efinición e la erivaa como razón e cambio, citaa en el ejercicio anterior, la función aa f(t) 15t t, representa la razón e propagación, por lo que, al erivarla, se obtenrá la función que etermina la razón e propagación instantánea: f (t) 0t t.. En la entraa e Machala se encuentran os móviles A y B, luego el móvil A se esplaza hacia el Norte con una velocia e 50 km por hora, mientras que B se irige al este con una velocia e 40 Km por hora. A qué velocia se alejan los móviles espués e 0 minutos? Para la resolución e este ejercicio, en el que no es aa función alguna, ebemos en primer lugar hacer una gráfica el problema, one E representa el punto e entraa a Machala. Consierano aemás, que si A se mueve con una velocia e 50 km/h y B con una velocia e 40 km/h, entonces la istancia X que recorre caa uno en un tiempo t, está aa respectivamente por X A 50t, y, X B 40t. Gráfico A X X A 50t E X B 40t

40 40 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Según la gráfica, la istancia X entre los os móviles está aa por: Reemplazano: X X + X A B X (50 t) + (40 t) t t t 41 Sieno por tanto la función e la istancia entre los os móviles: X 10t 41 Y al erivarla vamos a eterminar la velocia instantánea con que se alejan los móviles: X ,0km / h En este caso el resultao nos a un valor constante, lo que quiere ecir que espués e 0 minutos y en cualquier instante t, los móviles se están separano a una velocia e 64,0 Km/h..5.. Ejercicios propuestos: 1. Aplicano la efinición geométrica e la erivaa, hallar la ecuación e la recta tangente a caa una e las siguientes curvas en el punto ao: 1.1. y , en el punto (-1, -5) 1.. y (1-)/(+1), en el punto (, -1) 1.. y 8/(-4) /, en el punto (4, ). Aplicano la efinición e la erivaa como una razón e cambio resolver los siguientes problemas prácticos:.1. Un taista sale en su vehículo que recorre una istancia en Km en un tiempo t en horas, sieno la función que etermina su movimiento: t - t +. Cuál es la velocia con la que circula al cabo e 1,5 horas? Habrá eceio el límite e velocia permitio entro e la ciua e 50 km/h?.. La proucción e camarón en una camaronera está regia por la siguiente función que relaciona la proucción en un tiempo t, meio en meses: f(t) t + t 8t. Cuál será la razón e proucción instantánea el camarón?

41 Derivación e funciones algebraicas 41.. Dos estuiantes A y B salen el mismo punto el parqueaero e la universia y se irigen a casa en sus respectivos vehículos. El estuiante A se esplaza hacia el Sur con una velocia e 65 km por hora, mientras que B se irige al oeste con una velocia e 70 Km por hora. A qué velocia se alejan los os estuiantes espués e 18 minutos?

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43 Unia : Derivación e Funciones Eponenciales y Logarítmicas.1. Repaso e Definiciones Importantes.1.1. Función eponencial: La función eponencial por lo general se efine como una constante elevaa a una potencia (Larson & Ewars, 010) y tiene la forma f () a.1..función eponencial natural: Es la función eponencial en la que la base es la constante e, y tiene la forma. f () e.1..función logarítmica: Las funciones logarítmicas son las inversas e las funciones eponenciales y son e la forma f () log a (Stewart, 008)..1.4.Función logaritmo natural: Es la inversa e la función eponencial natural f () e y es e la forma. f () ln.1.5.propieaes logarítmicas: Si, y, z R, > 0, y > 0, se cumplen las siguientes propieaes: a) log y log + log y b) log (/y) log log y c) log z z log.. Reglas e Derivacion..1. Derivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera: La erivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera, es igual al proucto e la misma función por el logaritmo natural e la base constante y por la erivaa el eponente. [4]

44 44 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Sieno a una constante y u una función e, tenemos que: Ejemplos: u u u ( a ) a ln a 1) ( ) ln ( ) ln ( ) ln y ) / / / / / 1 ( a ) ( a ) a ln a ( ) a ln a( ) y y / 1/ a ln a... Derivaa e la función eponencial natural: Esta regla es una erivación e la anterior y nos ice que: La erivaa e la función eponencial e base e, es igual a la misma función multiplicaa por la erivaa el eponente. u u u Sieno u una función e, tenemos que: ( e ) e Ejemplos: 1) ) ( e ) e ( ) e (4 ) 4e y / 5/ 5/ 5/ 5 5/ 1 ( e ) ( e ) e ( ) e ( ) y y y 5 5/ / e... Derivaa e la función eponencial cuya base y eponente son funciones: La erivaa e una función eponencial cuya base y eponente son funciones, es igual al proucto el eponente por la base elevaa al eponente isminuio en una unia, y por la erivaa e la base, más, el proucto e la función eponencial por el logaritmo natural e la base y por la erivaa el eponente. Sieno u y v funciones e, tenemos que: v v 1 u v v ( u ) vu + u ln u

45 Derivación e funciones eponenciales y logarítmicas 45 Ejemplos: 1) 1 1 ( ) + ln ( ) (1) + ln ( ) ln (1 + ln ) ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) + ( 1) ln( 1) ( ) ( 1) () + ( 1) ln( 1)( ) ( 1) ( 1) + ln( 1)..4. Derivaa el logaritmo ecimal e una función: La erivaa el logaritmo ecimal e una función es igual al logaritmo ecimal e e multiplicao por la erivaa e la función y iviio para la función. Sieno u una función e, tenemos que. log e u (log u) u Ejemplos: 1) / log e / log e / 1 (log ) ( ) ( ) / / log e 1/ ( ) log / e

46 46 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo log e ) 1/ 1/ log 1 log(1 ) (1 ) 1 log e 1 1/ 1 log e 1 1/ (1 ) (1 ) (1 ) ( ) 1 1 log e (1 )..5. Derivaa el logaritmo natural e una función: La erivaa el logaritmo natural e una función es igual a la erivaa e la función iviia para la función. Sieno u una función e, tenemos que. Ejemplos: u (ln u) u 1) ) ( ) ( ) (ln ) 1 ( ) 1 (ln ). Miscelánea e Ejercicios Resueltos Calcular las siguientes erivaas: 1) (4 ) En este caso, aplicamos primero la regla e la erivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera y luego la erivaa e la potencia e una función.

47 Derivación e funciones eponenciales y logarítmicas ln4 (4 ) 4 ln 4 4 ln 4( ) ) 7 1 (e ) En este caso, aplicamos primero la regla e la erivaa e la función eponencial natural ( e 7 1 ) e 7 1 ( 7 1) e 7 1 (7 1) 1/ e e 7 e 7 1 (7 1) 1/ 1/ 1 1/ (7 1) (7 1) (7 1) (7) 7e ) ln( + 5-6) Utilizano la regla e la erivaa e la función logaritmo natural y luego la e la suma algebraica e funciones. ( + 5 6) ln( + 5 6) ( ) ( + 5 ) ( + ) + -

48 48 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 4) log( ) Utilizano la regla e la erivaa e la función logaritmo ecimal y luego la e la suma algebraica e funciones: 5 4 log e 5 4 log(1 7 + ) (1 7 + ) 5 4 (1 7 + ) log e 5 4 (1 7 + ) (8-5)loge ( ) 4 ( 5 8 ) 5) ln( - 4 ) En este caso conviene aplicar primero la propiea logarítmica Ln Ln, queano entonces: Derivamos, aplicano primero la regla e la erivaa e una constante por una función y luego las que corresponen a la erivaa e: logaritmo natural e una función, e la suma e funciones, potencia e una función y función constante. ( - 4) ln( - 4) ln( - 4) ln( - 4) ln( - 4)

49 Derivación e funciones eponenciales y logarítmicas 49 6) ln ( + ) En este caso epresamos la función en forma eponencial y aplicamos la propiea logarítmica Ln Ln, queano entonces: / ln ( + ) ln( + ) ln( + ) Derivamos, aplicano primero la regla e la erivaa e una constante por una función y luego las que corresponen a la erivaa e: logaritmo natural e una función, e la suma e funciones, potencia e una función y e la función constante. ( + ) ln( + ) ln( + ) ( ) + + 7) ln( ) + 9 En este caso, poemos aplicar primero la propiea logarítmica: log (/y) log log y + 9 ln( ) (ln ln( + 9)) Derivamos, aplicano primero la regla e la suma algebraica e funciones, luego las que corresponen a la erivaa e: logaritmo natural e una función, potencia e una función y e la función constante.

50 50 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo (ln ln( + 9)) ln ln( + 9) 1 ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8) 4 (5 - + ) -1 En este caso aplicamos primero la regla e la erivaa e la función eponencial cuya base y eponente son funciones, luego las que corresponen a la erivaa e la suma algebraica e funciones: 4-1 (5 - + ) ( 1)(5 - + ) (5 - + ) + (5 - + ) ln(5 - + ) ( 1) ( 1)(5 - + ) (15 - ) + (5 - + ) ln(5 - + )(4 ) ( )(5 - + ) + 4 (5 - + ) ln(5 - + ) (5 - + ) ( + 4 ln(5 - + )) a 9) (a + ) En este caso aplicamos primero la regla e la erivaa e la potencia e una función, luego las que corresponen a la erivaa e: función

51 Derivación e funciones eponenciales y logarítmicas 51 eponencial que tiene como base una constante cualquiera, suma algebraica e funciones y e una constante por una función. a + a + a + a a 1 a ( ) ( ) ( ) a + a a + a a 1 a 1 ( ) ( ln ) a a-1 (a + )(a lna + a ) 10) ln (e 5 ) En este caso, también aplicamos primero la regla e la erivaa e la potencia e una función, luego las que corresponen a la erivaa e: función logaritmo natural, función eponencial natural, una constante por una función y e la función ientia ln ( e ) ln( e ) ( e ) ln( e )( e ) (5 ) 5 5 ln e ( e )(5) 10e 5 lne 5.4 Miscelanea e Ejercicios Propuestos 1) ) ) 4) 4 ln( ) 6 log(7 + 5) ln(5 ) + 5 ln (1 4 5 )

52 5 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 5) 6) 7) 8) 1+ 5 ln( ) ln( ) + log( ) 1 4 (6 ) 9) 10) 11) 1 ( a + ) + (10 ) ( ) 1) ln (1 + e )

53 Unia 4: Derivación De Funciones Trigonométricas 4.1. Repaso De Definiciones Importantes Función trigonométrica: La función trigonométricas (Cabrera, 009), es aquella que se efine por la aplicación e una razón trigonométrica a istintos valores e la variable inepeniente, epresaa en raianes. Así tenemos que, ao el siguiente triángulo rectángulo: Grafico Cateto Opuesto Hipotenusa Cateto ayacente La función Seno el ángulo A es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. La función Coseno el ángulo A es la relación entre el cateto ayacente y la hipotenusa. La función Tangente el ángulo A es la relación entre el cateto opuesto y el cateto ayacente. La función Cotangente el ángulo A es la relación entre el cateto ayacente y el opuesto. [5]

54 54 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo La función Secante el ángulo A es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto. La función Cosecante el ángulo A es la relación entre la hipotenusa y el cateto ayacente. 4.. Reglas e Derivación Derivaa el seno e una función: La erivaa el Seno e una función es igual al coseno e la función por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: Ejemplos: u (Sen u) Cosu 1) ) ( Sen ) ( Sen ) Cos / / / Cos Cos Cos / / 1 / 1/ / Sen ( + 6) Cos( + 6) ( + 6) Cos( + 6)( + 6 ) ( + ) Cos( + 6) 4... Derivaa el Coseno e una función: La erivaa el Coseno e una función es igual a menos el Seno e la función por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: u (Cos u) Senu Ejemplos: 1) Cos(5 + 7 ) Sen(5 + 7 ) (5 + 7 ) Sen + Sen + (5 7 )(14 ) 14 (5 7 )

55 Derivación e funciones trigonométricas 55 ) (Cos ) Sen 4... Derivaa e la Tangente e una función: La erivaa e la Tangente e una función es igual a la Secante al cuarao e la función por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: Ejemplos: 1) ) 1 Sen Sen u (Tag u) Sec u Tag + a + a + a Derivaa e la Cotangente e una función: La erivaa e la Cotangente e una función es igual a menos la Cosecante al cuarao e la función por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: u (Ctg u) Csc u Ejemplos: 1) ) ( ) Sec ( ) ( ) Sec ( a)( 0) Sec ( a) 1 Tag(ln ) Sec (ln ) (ln ) Sec (ln )( ) 1 Sec (ln ) ( )Sec (ln ) (Ctg9 ) Csc 9 (9 ) 9Csc 9 Ctg( 6) Csc ( 6) ( 6) Csc ( 6)( ) Csc ( 6)

56 56 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Derivaa e la Secante e una función: La erivaa e la Secante e una función es igual al proucto e la Tangente por la Secante e la función, y por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: u (Sec u) Tag u.secu Ejemplos: 1) ) Sec(1 + a) Tag(1 + a) Sec(1 + a) (1 + a) Tag(1 + a) Sec(1 + a)( a) atag(1 + a) Sec(1 + a) Sec e Tag e Sec e e ( ) ( ) ( ) ( ) Tag e Sec e e e Tag e Sec e ( ) ( )( ) ( ) ( ) Derivaa e la Cosecante e una función: La erivaa e la Cosecante e una función es igual a menos el proucto e la Cotangente por la Cosecante e la función, y por la erivaa e la misma. Sieno u una función e, tenemos que: u (Csc u) Ctg u.cscu Ejemplos: Csc Ctg Csc 7 Ctg Csc 1) ) Csc Ctg Csc Ctg Csc Ctg Csc

57 4.. Miscelánea e Ejercicios Resueltos Derivación e funciones trigonométricas 57 1) Sen( ) Primero, epresamos la función en forma eponencial Sen Sen / ( + 5 ) ( + (5 ) ) Luego, aplicamos la regla para erivar el seno e una función y luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, una constante por una función, y, función constante. Cos / 5 1/ ( (5 ) ) ( (5 ) ) 1 Cos / 4 1/ 1 ( (5 ) )(5 (5 ) 5 ) 1 5 1/ 4 1/ Cos( + (5 ) )(5 + (5 ) 5) ( + )Cos( + 5) 5 ) ( Cos ) Aplicamos la regla para erivar el Coseno e una función luego las que corresponen a la erivaa e la función eponencial cuya base y eponente son funciones. ( Cos ) Sen ( ) Sen ( 1 + ln ) - Sen (1 + ln)

58 58 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo ) (Ctg 1- ) Primero, epresamos la función en forma eponencial 1/ ( Ctg 1 ) Ctg(1 ) Luego, aplicamos la regla para erivar la cotangente e una función luego las que corresponen a la erivaa e: potencia e una función, una constante por una función, función ientia y función constante. Csc (1 ) (1 ) 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1 Csc (1 ) (1 ) (1 ) 1 Csc (1 ) (1 ) ( ) 1/ / Csc (1- ) / (1- ) 1/ 4) Tag( + ) Aplicamos la regla para erivar la Tangente e una función luego las que corresponen a la erivaa e la potencia e la función ientia y e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera. Tag ( ) Sec( ) ( ) Sec ( )( ln ) ( ln )Sec ( )

59 Derivación e funciones trigonométricas 59 5) Ctg(log) Aplicamos la regla para erivar la cotangente e una función luego las que corresponen a la erivaa e logaritmo ecimal e una función y e la función ientia. Ctg Csc (log ) (log ) (log ) log e Csc (log ) (log ) Csc (log ) logecsc (log) - 6) (Sec10 +1 ) Aplicamos la regla para erivar la secante e una función luego las que corresponen a la erivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera, e la función ientia y e la función constante ( Sec10 ) Tag10 Sec10 (10 ) Tag Sec + Tag (10 ln10 ( 1)) Sec (10 + ln10(1)) 10 ln10tag10 Sec

60 60 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 7) 1- Csc( ) - 6 Aplicamos la regla para erivar la cosecante e una función luego las que corresponen a la erivaa el cociente e una función, e la potencia e una función, e la función constante y e la función ientia Csc( ) Ctg( ) Csc( ) ( ) ( 6 ) (1- ) (1- ) ( 6 ) 1-1- Ctg( ) Csc( ) -6-6 (-6 ) -6-6 (-6 ) 1-1- ( 6 )( ) (1- )( 6) Ctg( ) Csc( ) (-6 ) Ctg( ) Csc( ) (-6 ) Ctg( ) Csc( ) 1-1- ( - ) - + Ctg Csc (1- ) Ctg Csc (1- ) ) ( Sen( - 6)Cos( + 6) ) Aplicamos primero la regla para erivar el proucto e os funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: Seno e una función,

61 Sen Cos ( ( - 6) ( 6)) Derivación e funciones trigonométricas 61 Coseno e una función, potencia e una función y e la función constante. + Sen Cos + + Cos + Sen ( - 6) ( 6) ( 6) ( - 6) Sen Sen Cos + Cos ( - 6)( ( 6) ( 6)) ( 6) ( - 6) ( - 6) Sen Sen + + Cos + Cos ( - 6) ( 6)( ) ( 6) ( - 6)( ) (Cos( + 6)Cos( - 6) - Sen( - 6)Sen( + 6)) 9) Tag ( ) Sec Aplicamos primero la regla para erivar el cociente e funciones y luego las que corresponen a la erivaa e: Tangente e una función, Secante e una función y potencia e una función. Sec ( Tag ) Tag ( Sec ) Tag ( ) Sec Sec Sec Sec Tag Sec Tag Sec ( ) ( ) Sec Sec Tag Sec Tag Sec (4 ) (9 ) Sec Sec Tag Tag Sec (4 9 ) (4Sec - 9Tag Tag ) Sec

62 6 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 10) ln(tag ) Aplicamos primero la regla para erivar la función logaritmo natural y luego las que corresponen a la erivaa e: Tangente e una función y potencia e una función. 1 ln( tag ). ( tag ) tag 1 / Sec ( 1/ Sec ) tag tag Sec tag 4.4. Miscelánea e Ejercicios Propuestos 1) ) ) 4) 5) 6) Cos Sen + (4 ) 1/6 ( 6) Sen ( ) + 9 Tag( ) 10 5 ( Ctg 1- ) ( / 4) Sec

63 Derivación e funciones trigonométricas 6 7) 8) 9) 10) 11) 1) 1) 14) 15) Csc ( 1) ( Sen ) ( e sen ) ( a Sec ) ( Tag (1 ) Ctg (1 )) ln( Sen5 ) Sen ( Ln 5 ) Csc e ( e + ) Sen ( )

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65 Unia 5: Derivación Implícita y Derivaas Sucesivas 5.1. Repaso e Definiciones Importantes Función Eplicita: Una función esta enunciaa e forma eplícita, cuano la variable epeniente está escrita eplícitamente como función e la variable epeniente. Ejemplos: y + 6 Función Implícita: Una función esta enunciaa e forma implícita, cuano la variable epeniente no está escrita eplícitamente como función e la variable epeniente, sino que esta puee ser epresaa como una ecuación igualaa a cero (Larson & Ewars, 010). Ejemplos: + y 10 0 y + 4 Composición e funciones: Daa la composición e g seguia e f, enotaa por f g, en one a cualquier elemento e que pertenece al ominio e f g, le correspone f [g()]. La función f gse enomina también como g compuesta con f (Espinoza, 009). 5.. Derivación Implícita Cuano tenemos que erivar funciones en las cuales la variable epeniente esta epresaa implícitamente y no es fácil su espeje, ebemos aplicar la siguiente regla: [65]

66 66 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 1. Derivar ambos miembros e la ecuación con respecto a la variable epeniente.. Despejar la erivaa e la variable inepeniente con respecto a la epeniente. : Ejemplos: Sea la función + y 10 0, hallar Proceemos a erivar caa miembro e la ecuación con respecto a y y y Luego, espejamos y 6y 6 y 6 6y y y y 5.. Derivaa e la Composición e Dos Funciones Si y f(u) y ug(), sieno g erivable en, f erivable en u, entonces, la función compuesta ( fog)()f(g()), es erivable en y (PurcellL, Varberg, & Rigon, 007). Lo que se epresa como: ( f og) ()f (g()) y y u. u La erivaa e y con respecto a es igual al proucto e la erivaa e y con respecto a u, multiplicao por la erivaa e u con respecto a. Ejemplos: Sea, y u, u 9 +,hallar y

67 Derivación implícita y erivaas sucesivas 67 Para aplicar la regla antes anotaa, hallamos primero y u y u u y u Ahora hallamos u u 9 + (9 + ) 1/ (9 + ) u ( ) u 9 + Ahora aplicamos la regla y. u 9 + y y u. u Reemplazano u 9 + tenemos: y 9+ y Derivaas Sucesivas Hasta ahora hemos obtenio la primera erivaa e una función pero, cuano el resultao e la erivación es otra función también erivable, la poemos erivar y obtenemos la seguna erivaa e la función original, y así sucesivamente.

68 68 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Sieno por tanto, las erivaas sucesivas toas aquellas erivaas que se obtienen a partir e la seguna erivaa, las mismas que he sintetizao en el siguiente cuaro: Cuaro y y ( ) y y ( ) 4 y y ( ) 4 Notación y y y f,,y, f (), Dy, f f Df,,y, f (), D y,d f,,y, f (), D y, D f 4 4 y, f, y lv, f lv (), 4 4 D 4 y, D 4 f Se lee La primera erivaa e y con respecto a La seguna erivaa e y con respecto a La tercera erivaa e y con respecto a La cuarta erivaa e y con respecto a n n 1 y y ( ) n n 1 n n y f,, y n, f n (), n n D n y, D n f La enésima erivaa e y con respecto a Ejemplos: Encontrar la seguna erivaa e la función Hallamos la primera erivaa: y y + 4 Luego erivamos este resultao para hallar la seguna erivaa y ( + 4)

69 Derivación implícita y erivaas sucesivas y y ( + 4) / 5.5. Miscelánea e Ejercicios Resueltos 1. Daa la función y + 4 y,hallar Aplicano la regla, primero erivamos caa miembro e la ecuación con respecto a : 1 y 1/ 1 (1) y 1 y 1/ y Luego, espejamos 1 y y 1/ 1 y y 1/ 1/ y y 4(1 ) y 4(1 ) 1/ y y y 4(1- ) y /. Daa la función 4 y + 0,hallar y

70 70 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Aplicano la regla, primero erivamos caa miembro e la ecuación con respecto a : / y Luego, espejamos 1/ y y y / y y (8 +1) y y. Daa la función ln y+ 5 8,hallar y y y 1/ 8 y Aplicano la regla, primero erivamos caa miembro e la ecuación con respecto a : 1 y y Luego, espejamos y 15 1 y y y -15 y

71 Derivación implícita y erivaas sucesivas 71 7y 4. Daa la función e + ln 5,hallar y Aplicano la regla, primero erivamos caa miembro e la ecuación con respecto a : 7e y y 1 Luego, espejamos 7e 10 7 y y y 7e y y e 7y y 5. Daa la función ( + y) y+ 1,hallar Aplicano la regla, primero erivamos caa miembro e la ecuación con respecto a : y y ( + y)(1 + ) y Luego, espejamos y y ( + y) + ( + y) 1 ( ) y y + y ( + y) 1 ( ) ( 1) y y + + y y 1- ( + y) ( + y -1) y

72 7 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 6. Sea,,hallar y y Sen u u 1 Para aplicar la regla e la erivaa e la composición e os funciones, y hallamos primero u y Sen u y SenuCosu u Ahora hallamos u 1 u u y y u Ahora aplicamos la regla. u y SenuCosu. Reemplazano u 1 tenemos: y Sen( 1) Cos( 1) y 6 Sen( -1)Cos( -1) tagu 5 7. Sea y e, u,hallar y Para aplicar la regla e la erivaa e la composición e os funciones, hallamos primero y u y e tagu y e u y tagu ( tagu) u tagu u e Sec u

73 Ahora hallamos u 5 u u 4 5 y y u Ahora aplicamos la regla. u y tagu 5 e Sec u 4 Derivación implícita y erivaas sucesivas 7 Reemplazano u 5 tenemos: y 5 5 tag 5 4 e Sec 5 y 5 4 e tag Sec 5 8. Sea,,hallar y y ln u u + Para aplicar la regla e la erivaa e la composición e os funciones, hallamos primero y u y ln u y ln u u Ahora hallamos u + u u y y u Ahora aplicamos la regla. u y ln u( )

74 74 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Reemplazano u + tenemos: y ( - )ln( + - ) 9. Hallar la quinta erivaa e y Encontramos la primera erivaa: y' Derivamos este resultao y obtenemos la seguna erivaa: y '' Derivamos este resultao y obtenemos la tercera erivaa: y''' Derivamos este resultao y obtenemos la cuarta erivaa: IV 6 4 y Derivamos este resultao y obtenemos la quinta erivaa: V 5 y Hallar la tercera erivaa e la función ysen (7-) Hallamos la primera erivaa: y Sen(7 )Cos(7 ) (7 ) y Sen(7 )Cos(7 )( 1) Sen(7 )Cos(7 )

75 Derivación implícita y erivaas sucesivas 75 Ahora erivamos este resultao y hallamos la seguna erivaa: A continuación erivamos este resultao y encontramos la tercera erivaa solicitaa: 5.6. Miscelánea e Ejercicios Propuestos Hallar y Sen(7 )Sen(7 )( 1) + Cos(7 )Cos(7 )( 1) y Sen(7 )Sen(7 )( 1)+Cos(7 )Cos(7 )( 1) y Sen(7 )Sen(7 ) Cos(7 )Cos(7 ) y Sen (7 ) Cos (7 ) y Sen (7 ) Cos (7 ) y Sen(7 )Cos(7 )( 1) Cos(7 )( Sen(7 )( 1)) y ) Cos(7 )(7 ) Sen(7 )Cos(7 ) Cos(7 )Sen(7 ) y 4Sen (7 )Cos(7 )+ 4Cos(7 )Sen(7 ) y en las siguientes funciones: 1) ) ) 4) 5) y 1 y y 5 5/ /5 5y + 0 ( y ) 1/ 4 log y ) 6

76 76 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo 7) 8) 9) 10) 11) 1) 1) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 0) ( + 1) + e 1+ y + y 1 y / 9 ln( y) y a y 7 / Sea, y u, u (9 + ),hallar Sea, y Cos u, u + 1,hallar Sea, ln u y e, u Ctg,hallar u a Sea, y a, u,hallar 4 Sea, y log u, u ,hallar Hallar la cuarta erivaa e la función y y y y y y Hallar la quinta erivaa e la función ye 6 Hallar la quinta erivaa e la función y Ln Hallar la quinta erivaa e la función ytag(-1)

77 Aneos Cuaros Resumen e las Reglas Básicas e Integración Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Regla De Derivacion Derivaa e la función constante. La erivaa e una constante es igual a cero. Sea c constante. (c) 0 Ejemplos 1) Sea y 5 (5) 0 ) Sea y ln4 ) Sea y ln4 (ln4) 0 (a ) 0 Ya que si 4 es constante ln4 también es constante. Ya que si a representa una constante también es constante. [77]

78 78 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Derivaa e la función ientia. Enunciao La erivaa e una variable con respecto a ella misma es igual a 1. Regla De Derivacion () 1 Ejemplos 1) y ( y) 1 ) z (z) 1 Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Derivaa e una suma algebraica e funciones. La erivaa e una suma algebraica e funciones es igual a la suma algebraica e las erivaas e las mismas. Regla De Derivacion Sea u f() v f() (u± v) (u)± (v) Ejemplos 1) z ( +) ()± () ) (7+) (7) () 0 () - +(1) (1)

79 Aneos 79 Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Derivaa el proucto e una constante por una función. La erivaa el proucto e una constante por una función es igual a la constante multiplicaa por la erivaa e la función. Regla De Derivacion Si c constante y u f() (c.u) c. (u) Ejemplos 1) (5) 5 () 5(1) 5 ) π( +1) π ( +1) π ()+ (1) π(1+0) π Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Derivaa e la potencia e una función. La erivaa e la potencia e una función sieno el eponente una constante, es igual al proucto el eponente por la función elevaa al eponente isminuio en una unia, y por la erivaa e la función. Regla De Derivacion Si c constante y u f() Ejemplos (un ) nu n 1 (u) 1) ( 5)4 Sieno n4; u - 5 ( 5)4 4( 5) 4 1 ( 5) 4( 5) () (5) 4( 5) ( 0) 1( 5)

80 80 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Derivaa e un proucto e funciones. Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao La erivaa el proucto e os funciones, es igual a la primera función multiplicaa por la erivaa e la seguna función, más, la seguna función multiplicaa por la erivaa e la primera función. Regla De Derivacion Sea u f() v f() u v u v. u. v v Ejemplos 1) ( +1) ( ) +1 ( )+( ) ( +1) +1 + ( ) ( ) ( 1 ) Derivaa e un cociente e funciones. Regla De Derivacion Sea u f() v f() Ejemplos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0)+( ) ( ) + ( ) / La erivaa el cociente e os funciones es igual a la función el enominaor por la erivaa e la función el numeraor, menos la función el numeraor por la erivaa e la función el enominaor, too esto sobre el cuarao e la función el enominaor. y u v. v u.u v 1) +5 ( +5) ( +5) ( ) ( )+ (5) ( +5) 1 ( +0) ( ) 5 ( 5)

81 Aneos 81 Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Regla De Derivacion Ejemplos Derivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera. La erivaa e la función eponencial que tiene como base una constante cualquiera, es igual al proucto e la misma función por el logaritmo natural e la base constante y por la erivaa el eponente. (au ) a u lna u 1) (5 ) 5 ln5 ( ) 5 ln5( ) 5 ln5 Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas ) (a ) a lna ( ) 1 a lna a lna Nombre Derivaa e la función eponencial e base e. Enunciao Regla De Derivacion Ejemplos La erivaa e la función eponencial e base e, es igual a la misma función multiplicaa por la erivaa el eponente. u (eu ) e u 1) (e ) e ( ) e () e ) / (e ) e / e /. 1/ / ( ) e/

82 8 Maritza Aleanra Pinta / Enrry Patricio Castillo Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Regla De Derivacion Ejemplos Derivaa el logaritmo ecimal e una función La erivaa el logaritmo ecimal e una función es igual al logaritmo ecimal e e multiplicao por la erivaa e la función y iviio por la función 1) logu loge u u (log ) loge ( ) u loge (6 ) loge ) log(/ +1) loge / +1 (/ +1) u / +1 loge / +1 (/ )+ (1) loge / +1 1/ loge ( / +1) Reglas e Derivacion e Funciones Algebraicas Nombre Enunciao Regla De Derivacion Sea u f() v f() inu 1 u lnu u Ejemplos Derivaa el logaritmo natural e una función. La erivaa el logaritmo natural e una función es igual al reciproco e la función multiplicao por la erivaa e la función. 1) (ln ) 1 ( ) u 1 () ) (ln u ) 1 ( ) 1 1 1

83 Bibliografía Cabrera, M.. (4 e Noviembre e 009). Las funciones trigonometricas: Aplicaciones y usos e herramientas TIC. Obtenio e Innovacion y eperiencias eucativas: moules/mo_ense/revista/pf/numero_4/maria%0del%0 CARMEN_%0CABRERA%0MARTIN_.pf Espinoza, E. (009). Calculo iferencial e integral I. Meico: Reverté. Larson, R., & Ewars, B. (010). Calculo 1 e una variable. Méico: Mc Graw-Hill. Perez, J. (015). Orígenes el cálculo. Obtenio e Universia e Granaa: Origenes_el_Calculo.pf Ponce, J. (015). Breve historia el concepto e erivaa. Obtenio e researchgate: Ponce-Campuzano/publication/ _Breve_historia_el_ concepto_e_erivaa/links/55769c08ae0a4171e7 PurcellL, E., Varberg, D., & Rigon, S. (007). Calculo iferencial e integral. Méico: Pearson Eucación. Roriguez el Río, R. (004). De la aritmética al análisis: Historia y esarrollo recientes en matemáticas. Obtenio e Ministerio e Eucacion y ciencia e España: publiventa/pfservlet?pfvp11679.pf&area Stewart, J. (008). Calculo e una variable. Thomson Eitores. Villalba, M. (00). El nacimiento el cálculo. Apuntes e historia e las Matemáticas, [8]

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85 Biografía Maritza Aleanra Pinta Último Título universitario e tercer nivel alcanzao: ingeniero civil, octor en ciencias e la eucación Título e cuarto nivel alcanzao: iploma superior en ocencia universitaria, magister en esarrollo e la inteligencia y eucación Línea e investigación: Perfeccionamiento e la Eucación Superior, Investigación formativa Ascripción universitaria. Docente Titular e la Unia Acaémica e ingenieria civil e la universia técnica e machala Enrry Patricio Castillo Pacheco Último Título universitario e tercer nivel alcanzao: ingeniero naval Título e cuarto nivel alcanzao: magister en impactos ambientales Línea e investigación: Perfeccionamiento e la Eucación Superior, Investigación formativa Ascripción universitaria. Docente e la Unia Acaémica e ciencias sociales e la universia técnica e machala [85]

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87 Derivación e Funciones en una Variable Se terminó e imprimir en marzo e 016 en la imprenta e la UTMACH, calle Loja y 5 e Junio (campus Machala) Esta eición consta e 00 ejemplares.

88 ISBN: