NÚMEROS NEGATIVOS + 0 NÚMEROS FRACCIONARIOS NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS IMAGINARIOS

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1 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Si lizos este título podeos decir que se deoi cojuto u colecció de ojetos, cd uo de estos ojetos recie el ore de eleeto del cojuto. L ctidd de eleetos que for el cojuto puede ser fiit o ifiit. Nosotros estudireos los cojutos cuyos eleetos so los úeros. A estos cojutos se los deoi uéricos. E teátic se defie vrios cojutos uéricos, cd uo de los cules tiee propieddes específics que perite efectur opercioes etre los úeros. E este cpítulo estudireos cd uo de estos cojutos co sus propieddes y ls opercioes e ellos defiids de cuerdo l siguiete digr coceptul: NÚMEROS NATURALES NÚMEROS NEGATIVOS + 0 NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS FRACCIONARIOS NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS REALES NÚMEROS IMAGINARIOS NÚMEROS COMPLEJOS NUMEROS NATURALES Los úeros turles surgiero de l ecesidd de cotr, éste cojuto está fordo por los eleetos: 1,, 3,..., y su cojuto se desig co el síolo N. Es decir, el cojuto N es quel e que cd eleeto uevo se otiee de sur u uidd l terior. De est for el cojuto de los úeros turles result ordedo. O se, ddos dos úeros turles y, distitos, es siepre uo eor que otro. Esto lo expresos diciedo que es eor que ó yor que y lo siolizos: < ó > Pági 1

2 Adeás el cojuto o tiee últio eleeto, por lo que decios que es ifiito. L for de represetr los úeros turles coo u cojuto es: N [1,, 3,..., ] Represetció Gráfic Los úeros se puede represetr gráficete, pr esto se us u rect sore l que se cosider u puto culquier coo el orige o y se utiliz u segeto ritrrio coo uidd. Este segeto se trsld prtir del orige hci l derech, rcdo divisioes sucesivs,, c,... luego se hce correspoder cd divisió, u úero turl. Represetció gráfic del cojuto N O c Figur 1 A cd puto rcdo e l rect se le ll gráfic del úero turl correspodiete. Mietrs que el úero sigdo cd puto se le ll coorded del iso. Por ejeplo e l figur 1 se h grficdo los úeros 1, y 3 y precisete estos so ls coordeds de los putos,, y c e este siste de uiddes. Si trzos u rect ifiitete lrg y se reliz ifiits divisioes e ell, etoces podeos sigr u coorded cd puto y estlecer sí u correspodeci etre ls divisioes de u rect y el cojuto N. Opercioes co Núeros Nturles (+ el úero 0 ) E el cojuto N se puede relizr ls siguietes opercioes. Operció Notció Siólic Eleetos Adició + c y se deoi sudos; c es el resultdo. Sustrcció - c Dee ser yor o igul que ; se doi iuedo y sustredo; c es el resultdo. Multiplicció. c y so los fctores; c es el producto. Divisió: : c ( 0) Dee ser últiplo de y 0; se deoi dividedo y divisor; c es el cociete. Pági

3 Potecició Rdicció deás: (si ) y o dee ser siultáeete ulos; se deoi se y el expoete; es l poteci se ll rdicdo y ríz; se deoi ídice. 0 Propieddes de los Núeros Nturles Ls propieddes de los úeros turles podeos verl e l siguiete tl: Couttiv Asocitiv (+)+c +(+c) (.).c.(.c) Existeci del eleeto eutro (eleeto que dej ivrite el úero l operr co él) Distriutiv ( ± ).c.c ±.c ( ± ).c.c ±.c (. ). ( : ) :.. : : Pr l dició, es el cero Pr l ultiplicció, es el uo L operció etre dos úeros turles d otro úero turl. Clusur * c / c ε N 0 L siologí se lee: l operció etre dos úeros turles, y, es igul c, tl que c perteece l cojuto N 0 Uifore L operció etre dos úeros turles tiee resultdo úico EJERCICIOS: 1) Relizr ls opercioes que pued resolverse e el cojuto de los úeros turles N 0. ) ) c) (5 3) 3 + (3 ) (3 ) d) e) ( ) f) ( ) g) (15 + 6) h) (3 + 8) 7 Pági 3

4 ) E ls siguietes proposicioes, explicr utilizdo ls propieddes vists teriorete, cules so válids y cules o. Por qué? ) ) c) (64 40) d) e) (0 4) 8 40 ( + 8) NUMEROS ENTEROS L prier restricció e el uso del cojuto N 0 l teeos e l rest, cudo el iuedo es eor que el sustredo. Co vists defiir est operció, se pli este cojuto credo el de los úeros eteros; el que se deot co el síolo Z. Este cojuto se defie teiedo e cut ls siguietes codicioes: 1) El cojuto Z dee coteer todos los eleetos de N. ) Al defiir ls opercioes e Z se coserv los resultdos y propieddes de N. 3) E l rest, cudo el iuedo es eor que el sustredo siepre tiee solució. Pr ello defiios el cojuto de los úeros egtivos, dode cd eleeto es el úero opuesto de cd turl ; y se lo deot -. Así por ejeplo, el opuesto de 5 es 5, que se lee eos cico ; el cero o tiee opuesto. Luego el cojuto de los egtivos uido l de los turles (que llreos positivos) for el cojuto Z. L for de represetr este es: Z [... 3, -, -1, 0, 1,, 3,...] Represetció Grfic Podeos represetr el cojuto Z plicdo l rect de úeros turles e divisioes sucesivs, prtir del orige y l izquierd. Luego sigdo coordeds ls uevs divisioes, otedreos l represetció uscd, tl coo se idic e l figur siguiete: Represetció gráfic del cojuto Z Figur. Oviete el cojuto Z tié result ifiito y ordedo. Co respecto l orde direos que ddos dos eteros y, result > si está uicdo l derech de. Ejeplo: 3 > 1 ; 1 > -1 ; -4 > -5 ; etc. Pági 4

5 Opercioes y Propieddes e Z Coo heos dicho, e Z dee coservrse ls propieddes y opercioes defiids e N; si ergo hy que teder l hecho de que l trjr co úeros egtivos, el sigo deerá cosiderrse e los resultdos. Co esto, el resultdo de l sustrcció dode < es el opuesto de l rest Así por ejeplo, l operció Que es el resultdo opuesto l operció: 5 3 Coo veos e l figur 3, el resultdo de l operció se sugiere e l represetció gráfic del cojuto Z, dode oservos que relizdo gráficete, y l operció ó, el resultdo es uéricete igul e os csos. Pero ls coordeds respectivs de os result opuests. 0 * * Figur 3 Pr el cso de l ultiplicció y divisió, hy que teder ls regls de l siguiete tl que os el sigo del resultdo depediedo del sigo de los fctores. Aclrreos tes que e cso de que u úero se egtivo, os referireos él coo eor que cero ( < 0); ietrs que si es positivo, direos que es yor que cero ( > 0). Fctores Operció > 0, > 0 > 0, < 0 < 0, > 0 < 0, < 0 Multiplicció. > 0. < 0. < 0. > 0 Divisió : > 0 : < 0 : < 0 : > 0 Pr l potecició y l rdicció se defie ls siguietes regls (dee teerse e cuet que e todos los csos el ídice es turl (+ cero 0 )): Pági 5

6 Operció Fctores > 0, pr > 0, ipr < 0, ipr < 0, pr Potecició > 0 > 0 < 0 > 0 Rdicció y (existe dos íces igules y opuests) > 0 < 0 No existe l ríz Vlor Asoluto Heos oservdo que e Z ls opercioes puede dr resultdos uéricete igules pero de sigo opuesto. Este hecho puede coplicr los álisis uéricos, y que cudo se efectú hrá que teer e cut tods ls posiiliddes de sigo que presete. U cocepto iportte e teátic es el de vlor soluto ; éste perite expresr e iterpretr cuestioes uérics prescidiedo de los sigos. Se ll vlor soluto de u úero, l iso úero si éste es positivo y l opuesto si es egtivo. El vlor soluto se sioliz cerrdo el úero co dos rrs. Esto es: si 0 - si < 0 Así por ejeplo: 4 4; 3 3; ; etc. Podeos socir el vlor soluto de u úero co el cocepto geoétrico de distci. E efecto, quel puede ser iterpretdo coo l distci l orige de u puto deterido ( ); o ie l distci que existe etre dos putos culesquier ( ) ( 1) Figur 4 Pági 6

7 EJERCICIOS: 1) Resolver ) 5-(-3+(8+4-(3-10)-5)+-1)+8 ) 18+(--(9-3+(-5-1))+11-6) c) (3-8-(4-3-(-5-+10)+(-4+5)-3)+4-8)+ d) 3+8-(-3)+4-(3-( )-+3.(-1))-9 e) 9/(-3)+(-).(-1).5-1/(-1+4)-(-3)/.(-4) f) 7/(18+(-).3)-(4.(-5)-9/3) g) (3-5/(-1)+0.(-3))/(4-.(-5)-10) h) ((7-4.3+(-).5)/(--1)).(-4)-(-3) i) (60/(3+7.(-3)-(-6)))-(-5).(-5) ) Deostrr que e el cojuto Z se cuple ls propieddes siguietes: ) + + ) c) d) / / 4 NUMEROS RACIONALES E el cojuto Z, ls divisioes e ls cules el dividedo o es últiplo del divisor o puede resolverse. Pr solucior este prole se cre u uevo cojuto, lldo úeros rcioles y deotdo Q. El cojuto Q dee costr de ttos eleetos coo pr coteer Z y peritir que se coserve ls propieddes y opercioes de éste; deás ls opercioes del tipo / dode y so eteros culesquier y 0, dee teer solució. Defios ls frccioes coo l relció ford etre dos eteros y culesquier. Los úeros 1/4; -3/; 17/7; so ejeplos de frccioes. El cojuto Q est fordo por tods ls frccioes y los eteros, o si se quiere, solete por ls frccioes, si supoeos que u etero puede escriirse coo u frcció l dividirse por uo. Ocurre geerlete que dos o ás frccioes distits puede represetr el iso úero. Esto es sí, por que u frcció puede ser l for siplificd de otr, e sus fctores prios coues. Pági 7

8 Por ejeplo., ls frccioes 4/5 y 8/10 represet el iso uero, y que 8/10 4./5. y se puede siplificr los fctores coues. Decios por tto, que si dos frccioes / y c/d so tles que.d.c etoces represet l iso uero. Esto puede coprorse e el ejeplo terior. Opercioes e Q A fi de que el resultdo de ls opercioes e Q se igul que e Z se ls defie de l siguiete er: 1) ) ± c d d ± c d c c ; d d (co, c 0) : c d c d 1 Expresioes Deciles U frcció puede escriirse coo u expresió decil, ést puede ser fiit o ifiit. Ejeplo: 1 0,5 Expresió decil fiit , Expresió decil ifiit 9 Ls expresioes deciles ifiits for períodos, esto se dee que si relzos l operció /, el resto del cociete, e u pso culquier puede tor u vlor etre 0, 1,, (-1). Si el resto, e lgú pso, to el vlor 0, l divisió teri y l expresió es fiit. Pero si o es 0, l divisió cotiu y lo suo, l co de psos, el resto dee repetir lgú vlor todo e u pso terior, prtir de llí tods ls cifrs se repite. L prte decil terior se ll prte o periódic ; l prte terior l co se ll prte eter. Ejeplo: , Prte periódic Prte o periódic Prte eter Pr represetr el período, utilizos el síolo sore el iso, sí por ejeplo, e el úero terior escriíos e lugr de Recíprocete, u expresió decil puede expresrse coo u frcció. Si l expresió es fiit, se puede oteer l frcció oservdo que: 1/9 0,111...; 1/99 0, ; 1/999 0, ; etc. Pági 8

9 Etoces, u expresió tl coo 0,55 ; deerá ser igul 5/9; o ie 0,5... será 5/99, etc. U expresió decil co prte o periódic tl coo , tié se puede expresr coo u frcció si oservos que: , ,58 + 0, Si l expresió es fiit, etoces l frcció se otiee dividiedo l prte decil por uo seguido de ceros coo cifrs teg quell. Ejeplo: 5 1 0, Por últio, si existe prte eter, l frcció se otiee sudo ést l frcció oteid si o huier prte eter. Ejeplo: ) 6 68, Represetció Gráfic de Q Los úeros rcioles se puede represetr costruyedo ls frccioes sore l rect Z. Esto se hce sudividiedo geoétricete cd u de ls divisioes de l rect coo idic l frcció y sigdo luego ls coordeds respectivs. Ejeplo: Costrucció de ls frccioes: 1/4-0,5 y /9,44-0,5-0, Podeos ver, e l costrucció geoétric terior, que ddos dos putos de l rect (represettivos de dos úeros rcioles) etre ellos se puede relizr ú ifiits divisioes. No iport que t cercos esté los dos putos iiciles, siepre es posile dividirlos e u deterido úero de prtes y cd u de ells volverls dividir y sí sucesivete. Esto es lo iso que decir que etre dos úeros rcioles siepre existe ifiitos rcioles ; cos que o ocurrirí e Z. Por gozr de est propiedd, se dice que Q es u cojuto deso. Podrí pesrse etoces que tod rect está cuiert, esto es, que cd puto de ell es gráfic de lgú úero rciol y vicevers. Si ergo esto o es sí, por lo que cotiució vereos. Pági 9

10 5 NÚMEROS IRRACIONALES Existe úeros tles coo, 1, ; 3 1, ; π 3,14159 ; etc. que tiee ifiits cifrs deciles y si ergo o for período. Tles úeros o puede represetrse edite l rzó de dos eteros y recie el ore de irrcioles. Estos puede represetrse gráficete e l rect de l is for que todos los teriores. Así teeos que pesr que los rcioles for u cojuto deso, o todos los putos de l rect so gráfic de lgú rciol. E efecto, etre ellos se itercl los irrcioles. Los rcioles y los irrcioles for los eleetos de u uevo cojuto lldo cojuto de los úeros reles. 6 NÚMEROS REALES Lo priero que direos respecto l cojuto de los úeros reles, deotdo R, es que existe u correspodeci coplet etre ellos y l rect. Es decir, que cd puto de l is es gráfic de lgú úero rel y cd úero rel es l coorded de lgú puto de l rect. Est correspodeci se deoi iuívoc y costituye l pricipio fudetl de l Geoetrí Alític e l cul los putos geoétricos so sustituidos por úeros y efectudo opercioes lgerics co ellos podeos iterpretr geoétricete los resultdos. El siguiete cudro uestr e for esqueátic l sucesiv plició que heos hecho e el cpo de los úeros: NATURALES (+ 0) ENTEROS NEGATIVOS FRACCIONARIOS RACIONALES IRRACIONALES REALES Opercioes e el Cojuto R E R se defie ls iss opercioes que e Q, co sus correspodietes propieddes. Nos iteres prticulrete l potecició y l rdicció. I Potecició co Expoete Rciol ) defiició de poteci cudo siedo se excluye el cso < 0 y pr Pági 10

11 ) defiició de poteci co expoete frcciorio se excluye el cso < 0 y pr c) propieddes de l potecició co expoete rciol 1) producto de potecis de igul se p q p + q ) cociete de potecis de igul se : p q p q 3) poteci de otr poteci p p q q ( ) 4) distriutividd de l poteci ( ) ; ( : ) : II - Rdicció ) Propieddes 1) Sí el ídice es ipr y el rdicdo positivo, l ríz es úic y positiv. Si el ídice es ipr y el rdicdo egtivo, l ríz es úic y egtiv. Si el ídice es pr y el rdicdo positivo, existe dos ríces de igul vlor soluto y distito sigo. ± Si el ídice es pr y el rdicdo egtivo, l operció o tiee solució rel. ) 3) 4) 5) p p Reducció de Rdicles Míio Coú Ídice Reducir vrios rdicles íio coú ídice, es ecotrr otros rdicles, que siedo respectivete igules los ddos, teg por ídice coú l íio coú últiplo de sus ídices. Pági 11

12 Ejeplo: Reducir íio coú ídice 3 5 ; 5 ; 7 El íio últiplo de los ídices es 30, ; ; Luego l solució es ; 30 1 ; Extrcció de Fctores Fuer de u Rdicl Itroducció de Fctores e u Rdicl Multiplicció de Rdicles El producto de vrios rdicles es el rdicl que tiee por coeficiete l producto de los coeficietes de los ddos y cuyo rdicdo está fordo por el producto de los rdicdos de esos rdicles reducidos coú ídice. Ejeplo: Divisió de Rdicles Íde que pr l ultiplicció. Rciolizció de Deoidores Dd u frcció e cuyo deoidor figur u rdicl, se etiede por rciolizr, ecotrr otr frcció igul l dd y e cuyo deoidor o figure rdicles. 1) Cso 1: cudo el deoidor es u rdicl úico. E este cso se extre del rdicl todos los fctores posiles y se ultiplic uerdor y deoidor por el rdicl del iso ídice que el deoidor y cuyo rdicdo tiee por expoete l difereci etre su ídice y su expoete. Ejeplo: 5 Rciolizr: 5 64 Pági 1

13 ) Cso : cudo el deoidor es u su o difereci de u úero rciol y otro irrciol cudrático o os so irrcioles cudráticos. E este cso se ultiplic el uerdor y deoidor por el cojuto del deoidor y se resuelve ls opercioes. El cojugdo de l expresió ± es l expresió Ejeplo: 3 Rciolizr: ( ) ( + 3) ( 3) ( 3) ( + 3) ( + 3) ( + 3) 3 7 NÚMEROS COMPLEJOS Este cojuto uérico, deotdo C, se cre co el ojeto de resolver l operció dode < 0 y es pr Los eleetos que lo costituye so, por u ldo los úeros reles, y por otro los igirios, que se cre co el fi de dr solució l operció eciod. No hreos quí (prte de eciorlos) igu cosiderció especil cerc de ellos, y que so ojeto de u exteso trtieto durte ls teris posteriores. Por lo tto, e todo lo que sigue solo trjreos co úeros reles; si e lgú cso se preset u operció tl coo l descript, direos que se trt de u operció si solució e el cpo de los úeros reles. Pági 13

14 Respuest de los ejercicios propuestos: Hoj Nº 3: 1) Relizr ls opercioes que pued resolverse e el cojuto de los úeros turles N. ) 1 ) No c) No d) No e) 8 f) No g) No h) No Hoj Nº 4: ) E ls siguietes proposicioes, explicr utilizdo ls propieddes vists teriorete, cules so válids y cules o. Por qué? ) No es válido, l propiedd couttiv se plic e l su, o e l rest. ) Válid. c) No es válid, el ídice de ls ríces o se correspode pr plicr l propiedd socitiv e el iero derecho de l iguldd. d) No es válido, l operció del iero derecho de l iguldd o est defiido e el cojuto N. e) Válid. Hoj Nº 7: 1) Resolver ) -9 ) -1 c) 7 d) 4 e) -3 f) 9 g) h) -17 i) -30 ) Deostrr que e el cojuto Z se cuple ls propieddes siguietes: Hojs Nº 13 l Nº 17: 1) Resolver ) 1/ ) 5/8 c) 5/3 d) 40/11 e) f) g) -35/36 h) -3 i) 1 ) Frccioes y expresioes deciles: ) Ecotrr l expresió decil i) 0,75 ii) 0,33 iii) 0, iv) 0,533 ) Covertir e frccioes: i) 371/100 ii) 114/500 iii) 59/475 iv) 7/3 v) 417/99 Pági 14

15 c) Efectur ls siguietes opercioes covirtiedo previete e deciles e frccioes: i) - 675/176 ii) /450 3) Resolver: Pági 15