APUNTES DE TRABAJO Y ENERGÍA

Transcripción

1 APUNES DE ABAJO Y ENEGÍA UNIVESIDAD AUÓNOMA CHAPINGO DPO. DE PEPAAOIA AGÍCOLA ÁEA DE FÍSICA Guillero Becerra Córdoa E-ail: llrbecerra@yaoo.co

2 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa ABAJO Y ENEGÍA Los cabios en el estado de un cuerpo están relacionados con las fuerzas y con el tiepo durante el cual se ejercen. Sin ebaro, se pueden aplicar arias fuerzas a un cuerpo sin que experiente un cabio de estado, aunque se apliquen por un tiepo prolonado. En este caso las fuerzas que influyen sobre el cuerpo están equilibradas. Sin ebaro, cuando las fuerzas que actúen sobre un cuerpo no estén equilibradas, se produce un cabio en su estado, odificando su elocidad. El cabio de elocidad de un cuerpo es debido a que se a oido ya sea traslacional y/o rotacionalente. Cuando el cuerpo se uee en fora traslacional se a desplazado una cierta distancia. El producto de la distancia por la coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento del cuerpo se le conoce coo rabajo. En todos los casos en los que se realiza un trabajo interienen dos factores: la distancia que se desplaza y la coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento del cuerpo. Considereos el caso del oiiento de un cuerpo en línea recta orizontal y que es accionado por una fuerza que es constante, forando un ánulo con respecto a la dirección del desplazaiento del cuerpo. La fiura 4. uestra esta situación. F F F cos( ) F cos( ) d Fiura 4. Coo se uestra en la fiura, el cuerpo se a desplazado una distancia d por edio de la coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento del cuerpo. En consecuencia, el trabajo realizado por la coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento del cuerpo, es iual a: W F d cos 4. La coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento del cuerpo es iual a F cos. Para calcular el trabajo realizado por esta fuerza es necesario conocer su coponente en la dirección en la que se uee el cuerpo, ya que es la que prooca su oiiento. En consecuencia, ninuna fuerza que sea perpendicular al desplazaiento del cuerpo produce un trabajo. Así, la coponente de la fuerza en la dirección ertical ( F sen ) no realiza ninún trabajo debido a que es perpendicular al oiiento del cuerpo. Considereos el sistea de fuerzas que actúan sobre el cuerpo ostrado en la fiura 4.. F F F F F F d Fiura 4.

3 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa El trabajo total que se realiza sobre el cuerpo es iual a la sua de los trabajos realizados por cada una de las coponentes de las fuerzas en la dirección del oiiento del cuerpo. Así, ateáticaente este enunciado se puede representar por edio de la siuiente ecuación: W W i W i W W W F d cos F d cos F F d cos F d co F d cos F d cos F cos F cos d W d Cos Note que el seundo térino de la ecuación es iual a cero, ya que la fuerza es perpendicular al desplazaiento del cuerpo. De iual fora, obsere que el tercer térino iene antecedido por un sino enos, el cual nos indica que la fuerza es contraria a la dirección del desplazaiento del cuerpo. En este caso el trabajo producido por esta fuerza es neatio. Así, el trabajo total es iual a la sua de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Para este ejeplo, eos considerado que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el ánulo que foran con la trayectoria de desplazaiento, son constantes. Generalente esta situación no se cuple, es decir, las anitudes y las direcciones de las fuerzas cabian con el tiepo. Esta situación no se abordará ya que no es el propósito de estos apuntes. Por la seunda ley de Newton, eos que la fuerza total con la que se uee un objeto es iual a: F a En consecuencia, el trabajo realizado sobre un cuerpo es iual a: Donde: a d Entonces el trabajo realizado por la fuerza W F d a d F es iual a: W 4. Al térino / se le conoce coo enería cinética. La enería cinética es la enería que tiene un cuerpo debido a su oiiento. La enería cinética de un cuerpo depende directaente de su asa. A ayor asa, ayor enería cinética. abién la enería cinética de un cuerpo depende directaente del cuadrado de su elocidad. Esto quiere decir que si un objeto auenta al doble la elocidad con la que se uee, entonces su enería cinética auentará cuatro eces. Si auenta tres eces la elocidad, su enería cinética auentará nuee eces. De esta fora: El trabajo que se realice sobre un cuerpo es iual al cabio de su enería cinética Este resultado indica que cualquiera que sea la fuerza y la trayectoria seuida por el cuerpo, el alor del trabajo efectuado por la fuerza es iual a la diferencia entre las anitudes de la enería cinética ealuadas al final y al coienzo del oiiento. En el caso del bloque del ejeplo anterior, al recorrer la distancia d, la elocidad del cuerpo será y su enería cinética, /. El cabio de enería cinética depende del trabajo realizado. A ayor trabajo, ayor cabio de enería cinética. Es por ello que se utiliza ayor trabajo para detener un caión que

4 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa un auto si abos llean la isa elocidad y la asa del auto es enor que la del caión. Es la clase de trabajo que se requiere para auentar o disinuir la elocidad de un cuerpo. Las unidades del trabajo y, a su ez de la enería cinética, son consecuencia de la cobinación del producto de las unidades de fuerza por las unidades de distancia. Para el sistea internacional es el producto del Newton por etro, que da coo consecuencia N. A esta unidad se le conoce con el nobre de Joule. Se ace un Joule de trabajo cuando se ejerce una fuerza de N a lo laro de una distancia de. En resuen, el trabajo que se realiza sobre un cuerpo iene acopañado de un cabio de enería. Así, al ablar de trabajo estaos ablando de enería. La enería es la capacidad que tiene un objeto para realizar un trabajo. El trabajo es enería y la enería es trabajo. Abos son equialentes. abién se puede realizar trabajo en contra de otra fuerza. Cuando se leanta un objeto, se está realizando un trabajo en contra del peso del cuerpo. Cuando se coprie un resorte se está realizando un trabajo en contra de la fuerza que iprie el resorte. Cuando arrastraos un cuerpo sobre una superficie con fricción, se está realizando un trabajo en contra de la fuerza de fricción. abién se está realizando un trabajo sobre una lia al estirarla ya que la fuerza que se aplique a en contra de la fuerza que ipria la lia. En todos estos casos la enería queda alacenada en el cuerpo en espera de ser utilizada y no existe un cabio de enería cinética. El cabio de enería cinética a a aparecer cuando sea liberada esa enería alacenada. La enería alacenada en espera de ser liberada se llaa enería potencial, porque en ese estado tiene el potencial para realizar un trabajo. Un resorte copriido o estirado tiene el potencial para acer trabajo. La lia estirada tiene el potencial para realizar un trabajo. Hay enería potencial en las baterías caradas, en los alientos, en la adera, etc. La enería que tienen los cuerpos debido a que se encuentran por arriba de la superficie terrestre se llaa enería potencial raitacional. La superficie de aua que se encuentra en una presa tiene alacenada enería potencial raitacional la cual puede ser liberada al caer. Esa enería sire para oer las aspas del enerador para producir electricidad. Al subir de un piso a otro dentro de un edificio, estaos acuulando enería potencial raitacional. El peso que tiene un cuerpo es el producto de la asa por la aceleración de la raedad. Así, el trabajo que se realiza para que un cuerpo lo eleeos desde una altura asta una altura, es iual a: W ) 4. ( Este trabajo es iual al peso que ay que encer, ultiplicado por la distancia que se tiene que elear. Se tiene que acer la aclaración de que esta fuerza que se necesita para elear al cuerpo, es la fuerza ínia. La sua de las dos fuerzas, la del peso y la que se utiliza para leantarlo, es iual a cero. De esta fora el cuerpo se oerá con elocidad constante, por lo que la aceleración del cuerpo será iual a cero. Sobre el cuerpo no se realiza trabajo aluno ya que la fuerza que utilizaos para elearlo es la isa que su peso. La que realiza trabajo es la fuerza que se utiliza para leantar al cuerpo. De iual fora, el peso tabién realiza un trabajo pero neatio de tal fora que la sua de abos trabajos es iual a cero. Cuando dejeos libre al cuerpo, el cuerpo caerá liberando la enería alacenada. Si utilizáraos una fuerza ayor que el peso para elearlo, obseraríaos que el cuerpo sufriría una aceleración ya que la fuerza total que influye sobre el cuerpo es diferente de cero. La fuerza total es iual a la resta de la fuerza con la que sube enos la fuerza del peso. La siuiente fiura uestra esta situación: Este caso sucede en una áquina de Atwood. La tensión en la cuerda que se ejerce en el cuerpo que se uee acia arriba es ayor que el peso, proocando que el cuerpo suba con una aceleración diferente de cero. Entonces, el trabajo eco por una fuerza ejercida sobre un cuerpo puede auentar su enería potencial o su enería cinética o abas. 4

5 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa F F F P a P Fiura 4. Es por esta razón que el cabio de la enería potencial de un cuerpo al leantarlo, es iual al trabajo necesario para efectuar ese desplazaiento a elocidad constante. Si no es así, el trabajo se repartirá entre auentar la enería potencial y auentar la enería cinética del cuerpo, coo sucede con los bloques de en una áquina de Atwood. Si aceos una ráfica de la fuerza ínia que se necesita para leantar un objeto y las alturas de las cuales parte y llea, obtendríaos una ráfica coo la ostrada en la fiura 4.4. F P Fiura 4.4 Obsere que el trabajo que se realiza para subir un cuerpo de asa desde una altura asta una altura es iual al área bajo la cura que se uestra en la ráfica. De esta fora, eneralizando, se puede afirar que: El trabajo realizado por una fuerza es iual al área bajo la cura de la ráfica de la fuerza en función de la distancia en la que se aplica la fuerza Suponaos aora que quereos leantar un objeto asta una cierta altura. Supona tabién que se quiere leantar a traés de una rapa. Para conocer el trabajo que se necesita para leantarlo, debeos conocer la fuerza con la que aos a oer el bloque a elocidad constante y la distancia que tiene que recorrer a traés de la rapa. La fiura 4.5 uestra esta situación. Seún la fiura, el trabajo que realice la fuerza F para que el bloque se leante asta una altura siuiendo la trayectoria de la rapa, es iual a la fuerza ultiplicada por la distancia que tiene la rapa. Coo resultado del análisis que se izo para conocer la fuerza con la que bajaría el bloque a traés de la rapa deslizándose libreente, se llea a que esa fuerza es iual a: F sen. Esta fuerza es la isa para poder oer el bloque acia arriba siuiendo la trayectoria del plano con una elocidad constante. La distancia que debe recorrer el bloque a traés del plano es iual a d / sen, coo se uestra en la isa fiura. Altura 5

6 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa F sen d sen Fiura 4.5 El producto de la fuerza por la distancia es iual al trabajo efectuado por la fuerza F ultiplicada por la distancia d, es decir: W F d sen Que es iual al trabajo que se realiza para leantar el bloque asta una altura utilizando una fuerza necesaria para encer el peso del cuerpo a elocidad constante erticalente. Este resultado no depende de la inclinación que tena el plano, ya que alebraicaente se eliina el ánulo en la ecuación que calcula el trabajo que se ace para subir al bloque a traés de la rapa o el plano. Cualquiera que sea la inclinación que tena el plano, el trabajo que se requiera para subir al bloque asta una altura es el iso. De todo esto podeos concluir: sen El trabajo que se realiza para subir un cuerpo asta una altura deterinada y a elocidad constante, no depende de la trayectoria que sia el bloque, sólo depende de la altura a la que lleue De esta fora, si subiéseos al bloque a traés de una trayectoria coo la ostrada en la fiura 4.6 y asta la isa altura, entonces, seún este resultado, el trabajo que se efectúa para subirlo es el iso que el trabajo se ubiese eco a traés del plano o erticalente. Analiceos esta situación Fiura 4.6 Por la ecuación 4., que es la que calcula el trabajo, podeos concluir que en las trayectorias por las que el bloque se uee orizontalente, el trabajo que se efectúa en esa dirección es iual a cero ya que la fuerza que se utilice para oerlo es perpendicular a la trayectoria seuida por el bloque. Sólo se ace trabajo cuando el cuerpo es subido para pasar de un 6

7 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa escalón a otro. El trabajo que se realice para subir el bloque es iual a la sua de los trabajos que se realizan para subir cada escalón, es decir: W W W W W W W W W ) ( Este trabajo es iual al trabajo que se realiza para elear o leantar el bloque asta una altura. Por consiuiente, no iporta la trayectoria que se sia para subir un cuerpo asta una altura deterinada; el trabajo es el iso. De todo esto reiteraos que no iporta el caino por el que se desplace un cuerpo de un punto a otro, sólo depende de la altura a la que lleue el cuerpo con respecto a un niel deterinado, por ejeplo el piso. abién podeos afirar que no iporta cuál sea la fuerza que se utilice para oer al bloque orizontalente. Esta fuerza, al enos, no auenta la enería potencial del bloque, por eso no realiza un trabajo erticalente. Podrá realizar un trabajo orizontalente pero no ace que auente su enería potencial. Eso es un caso diferente. abién debeos aclarar que, por conención, la enería potencial que tiene un cuerpo a niel del suelo es iual a cero. Sin ebaro esto no es necesariaente cierto, le podeos asinar un deterinado alor. Lo que iporta es la diferencia de alturas a la que se encuentre el cuerpo ya que solo depende del punto inicial y final en el que se encuentre. Por siplicidad se a asinado cero a la enería potencial que tena un cuerpo a niel del suelo. Suponaos que aora el bloque lo quereos elear a la isa altura pero siuiendo una trayectoria circular coo la que se uestra en la fiura 4.7. W 7 7 W 6 6 W 5 5 W 4 4 W W W Fiura 4.7 Si seuios la trayectoria que siue el cuerpo en escalones coo se uestra en la fiura, el trabajo total que realiza la fuerza para llear al cuerpo a una altura, es iual a: W W W W W W W W

8 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa W ) ( En este caso las alturas en cada escalón son diferentes, pero la sua de ellas es iual a. Si iciéraos los escalones un poco ás pequeños, la trayectoria seuida por el bloque sería uy parecida a la trayectoria circular. En consecuencia, se realiza el iso trabajo para elear el cuerpo asta una altura independienteente de la trayectoria que sia. Incluso si el cuerpo pasa por una altura ayor pero su punto final es la altura, el trabajo realizado siue siendo el iso. La fiura 4.8 uestra esta situación. Fiura 4.8 El trabajo eco sobre el bloque siue siendo W aunque antes de llear a esa altura llease a una altura ayor. Finalente, el trabajo que se realiza sobre un cuerpo para elearlo a una cierta altura, sólo depende del punto del que parte y al que llea. Cuando el trabajo que se realiza sobre un cuerpo sólo depende del punto donde parte y del punto a donde llea, se le llaa fuerzas conseratias. Por consecuencia, el trabajo efectuado por las fuerzas conseratias es independiente de la trayectoria seuida por el cuerpo. En particular, si la trayectoria es cerrada, de odo que el punto final coincide con el inicial, entonces el trabajo realizado en esa trayectoria cerrada es cero. Lo que sinifica que en parte de la trayectoria el trabajo es positio y en otra, neatio pero de iual en anitud, dando un resultado neto nulo. La siuiente fiura uestra que el trabajo realizado por la fuerza para que el bloque pase por los diferentes puntos de la trayectoria (ABCDEA), es iual a cero. C D B E A Fiura 4.9 8

9 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Coo eos dico, cuando subios un cuerpo de una altura a una altura por edio de una fuerza F constante ertical, el trabajo que se realiza es iual a: W ( De esta fora, el cuerpo a alacenado enería potencial. Si se dejara soltar, el cuerpo caería liberando esa enería. Esa enería se irá conirtiendo en enería cinética ya que confore aya cayendo su elocidad auentaría. De esta fora, el cuerpo experientaría un cabio de enería potencial en enería cinética. Así, la enería no se crea ni se destruye, sólo se transfora. Utilizando este principio podeos afirar que confore una enería disinuye la otra auenta. Suponiendo esto y adeás suponiendo que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo es iual al cabio en la enería cinética, podeos afirar que: W ( ) ( ) 4.4 El sino neatio nos indica que cuando una cantidad disinuye, la otra auenta. eordenando térinos, se tiene: A la cantidad o ) 4.5 se le conoce coo enería total del cuerpo. Esto es, la enería total de una partícula en caída libre, es iual a la sua de la enería cinética ás la potencial. En consecuencia: Cuando las fuerzas son conseratias, la enería total de un cuerpo peranece constante En otras palabras, la enería total de un cuerpo en caída libre, se consera. Debeos acer notar que esta ecuación no está restrinida al oiiento ertical; es álida para el oiiento de un proyectil sin que sea afectado por la fricción con el aire u otros factores que influyan en su oiiento. Debe notarse que, para una enería total dada, la anitud de la elocidad en un punto dado está deterinada por la ecuación 4.5. Coo ejeplo, considereos un cuerpo que se encuentra a de altura sobre el piso y que se deja soltar. Calculeos la elocidad con la que se oerá al encontrarse a 5 sobre el piso y justo antes de llear a él. Utilizando la ecuación 4.5 nos encontraos que: y 5. No es, necesario conocer la asa del cuerpo ya que no se utiliza porque no estaos calculando su enería. De iual fora, la elocidad inicial del cuerpo es iual a cero porque se deja caer. En consecuencia: Despejando, se tiene: (9.8 / s )( ) ( ) (9.8 / s ) (5 ) (9.8 / s ) (5 ) 9.9 / s Para cuando lleue al suelo, su elocidad sería de: Despejando, se tiene: (9.8 / s )( ) ( ) (9.8 / s ) ( ) (9.8 / s ) ( ) 4. / s 9

10 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Considereos aora que el cuerpo, que se encuentra a de altura sobre el piso, se lanza acia arriba con una elocidad de 5 / s. Calculeos de nueo la elocidad con la que se oerá al encontrarse a 5 sobre el piso y justo antes de llear a él. Utilizando la ecuación 4.5 nos encontraos que:, 5 / s y 5. Coo anteriorente se dijo, no es necesario conocer la asa del cuerpo ya que no se utiliza porque no estaos calculando su enería. En consecuencia: (9.8 / s )( ) (5 / s ) (9.8 / s ) (5 ) Coo el cuerpo es lanzado para arriba, la elocidad inicial es iual a 5 / s. Esta elocidad es positia por lanzarse acia arriba. Despejando, se tiene: (9.8 / s ) (5 ) (5 / s ).9 / s que es la elocidad que llea el cuerpo a la altura de 5 etros. De iual fora, la elocidad que llea el cuerpo al llear al piso es de: (9.8 / s ) ( ) (5 / s ) 4.87 / s Si en ez de lanzar el cuerpo acia arriba, se lanzara acia abajo, con qué elocidad llearía al suelo o a la altura de 5 etros? Coo siuiente ejeplo, suponaos que k de asa es soltada desde un aión que uela orizontalente a 75 / s. Si el aión está a de altura, calcular a).- la enería cinética inicial de la boba, b).- su enería potencial inicial, c).- su enería total, d).- su elocidad al llear al suelo y e).- su enería potencial y cinética después de seundos de aber sido soltada. La enería cinética inicial de la boba es iual a: E c ( k )( 75 / s ) 8 5 La enería potencial de la boba en el oento de ser soltada es iual a: E p ( k )( 9.8 / s )( ) 9 8 En consecuencia, la enería total de la boba es iual a: E E E 8 5 J 9 8 J 7 95 c p La elocidad de la boba al oento de llear al suelo, se calcula suponiendo que la enería potencial del proyectil en ese punto es iual a cero y que la enería total se consera, es decir: En consecuencia, se tiene: E E E E 7 95 c p (7 95 J ) 87.9 / s k La elocidad del cuerpo a los dos seundos de iniciado el oiiento, se calcula utilizando la ecuación de caída libre. t (9.8 / s )( s ) 9.6 / s y y En consecuencia, la rapidez que llea la boba a los dos seundos es iual a: (75 / s ) (9.6 / s ) 77.5 / s De esta fora, la enería cinética que llea el cuerpo a los dos seundos es: J J J J

11 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa E c ( k )( 77.5 / s ) 9. En consecuencia, La enería potencial del proyectil es iual a la resta de la enería total enos la enería cinética, es decir: E E E 7 95 J J p c Por lo tanto, la altura a la que se encuentra el proyectil después de dos seundos de iniciado el oiiento, es iual a: J (9.8 / s )( k ) Ejeplo siuiente: suponaos que se lanza un proyectil con una rapidez inicial de / s, forando un ánulo de. Calculeos la rapidez del proyectil a una altura de etros. Utilizando la ecuación 4.5 correspondiente a la conseración de la enería, encontraos que: ( 9.8 / s )( ) (9.8 / s )( ) ( / s ) Despejando, obteneos: ( / s ) (9.8 / s )( ) 98. / s Es coneniente coentar que este resultado no nos indica la dirección en la que se uee el proyectil. Sólo nos indica la rapidez, es decir, la anitud de la elocidad del proyectil. Para conocer la dirección con la que se uee el proyectil a la altura de etros, utiliceos la ecuación 4.5. Coo (cos sen ) y (cos sen ), sustituios en la ecuación 4.5. (cos sen ) (cos J J sen Coo cos cos ya que en la dirección orizontal la elocidad es la isa independienteente de su posición, concluios que: Despejando, teneos: sen sen ( ) sen 4.6 Sustituyendo los alores para este problea, teneos: sen ( / s ) sen ( ( sen ) (9.8 / s / s ) ) ( ) Es iportante coentar que para cada dirección inicial, se tiene diferente dirección final. )

12 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Suponaos que se lanza un proyectil con una rapidez inicial de / s, forando un ánulo de 5. Calculeos la rapidez del proyectil a una altura de etros. Utilizando la ecuación 4.5, obteneos la rapidez del cuerpo para esta altura: ( / s ) (9.8 / s )( ) 98. / s Veos que la rapidez que llea el proyectil es siepre la isa, ya que se encuentra a una altura de etros y es lanzado con la isa rapidez inicial, independienteente del ánulo con el cual se lance. Para conocer el ánulo con el cual pasa a la altura de etros, utilizaos la ecuación 4.6. sen ( / s ) sen (5 (98. ) (9.8 / s ) / s ) ( ) 49. Coo se puede er, la dirección con la que pasa el proyectil a la altura de etros es diferente cuando es lanzado con una dirección de 5 a cuando es lanzado con una dirección de. Ejeplo siuiente. deterinar la altura ínia desde la cual una bola debiera epezar a caer de anera que pueda copletar el oiiento circular ostrado en la fiura 4.BCN. Suponer que el bloque resbala sin rodar y sin ninuna fricción. abién calcule las enerías potencial, cinética y total de la bola en los puntos A, B y C. C B A Fiura 4. Si la bola es soltada desde una altura, su enería potencial es iual a: E p Y su enería cinética es iual a cero, por lo que la enería total del bloque es iual a su enería potencial. La enería cinética del bloque en el punto A es iual a la enería total de la bola ya que su enería potencial en ese punto es cero, es decir: E E C A A p Por lo tanto, la elocidad del bloque en el punto A es iual a: A En el punto B la enería potencial del bloque es iual a: E p B

13 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Por lo que su enería cinética en el punto B es iual a la resta de la enería total enos la enería potencial. E E E C B p B En el punto C, la enería potencial del bloque es iual a: E PC En consecuencia, la enería cinética del bloque es iual a la resta de la enería total enos la enería potencial en ese punto. E E E C C P C Por lo tanto, la elocidad del bloque es iual a: C 4 Para que el bloque alcance el punto C, es necesario que la fuerza centrípeta sea iual al peso de la bola. Es decir: Despejando teneos: Iualando abas elocidades se tiene: De aquí concluios que es iual a: C 4 Que es la altura ínia a la que se debe soltar el bloque para que alcance el punto C. Ejeplo siuiente: deuestre que para que el cuerpo de asa aarrado a una cuerda, coo el ostrado en la fiura, ire en un círculo ertical de radio, es necesario que la tensión en la cuerda en el punto b sea b 6 y que la elocidad en ese punto sea b 5 5 donde es la raedad de la tierra. C a a b b Fiura 4. La tensión en la cuerda en el punto B es iual a la sua de la fuerza centrípeta ás el peso del cuerpo, es decir: b b

14 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Para que la bola pase por el punto A es necesario que la fuerza centrípeta sea iual al peso de la bola, es decir: Por consecuencia, la elocidad de la bola en el punto A es iual a: a Por lo que la enería total de la bola en este punto es iual a: E a Que es iual a la enería total de la bola en el punto B, es decir: Despejando, se tiene: b E a b b 5 Por lo que la tensión en la cuerda en el punto B es iual a: a 5 b 6 b Que es resultado que se quería deostrar. Este alor es seis eces ás rande que el peso del cuerpo. Ejeplo siuiente: Se dispara acia arriba un bloque de.5 k sobre un plano inclinado con una rapidez inicial de / s, coo se uestra en la fiura 4.. Qué tan arriba lleará el bloque sobre el plano inclinado? / s d Fiura 4. La aceleración que experienta el bloque acia abajo a lo laro del plano es iual a: a sen Por lo que la distancia que recorrerá el bloque a lo laro del plano es iual a: ( / s ) d. 4 a ( 9.8 / s )( sen ) La altura a la que llea el bloque se calcula por edio de la siuiente expresión: d sen.4 * sen. 4 Que es siilar a lanzar el objeto erticalente con una elocidad inicial de / s. 4

15 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Ejeplo siuiente: Una Máquina de Atwood coo la ostrada en la fiura, tiene asas de 5 k y k. Si el sistea inicialente está en reposo, cuál es la rapidez de las asas después de que se an oido. 5? A. 5 B Fiura 4. La enería potencial del bloque de asa es E y la enería potencial del bloque P de asa es cero, al iual que sus enerías cinéticas. Después que se desplazaron una distancia, el bloque tiene una enería potencial iual a cero y el bloque de asa tiene una enería potencial iual a. La enería cinética de los bloques en el punto B es iual a: E P E y C Por conseración de la enería se tiene que: E C Por lo que la elocidad de los bloques después de que se an desplazado una distancia es iual a: ( ) (5 k k )( 9.8 / s (5 k k ) )(.5 ) Ejeplo siuiente: Calcule el trabajo realizado por una boba que elea dentro de un tanque que se encuentra a.7 / s 6 litros de asolina etros por encia de la boba. La densidad de la asolina es de 8 k /. La asa de la asolina es iual a su oluen ultiplicado por su densidad, es decir: V (8 k / )( 6 l ) (8 k / )(.6 ) 49 En consecuencia, el trabajo realizado por la boba para elear una altura de etros, es iual a: W ( 49 k )( 9.8 / s )( ) 96 4 k 6 litros de asolina asta Ejeplo siuiente: Un sistea coo el ostrado en la fiura, tiene asas de 5 k y k. Si el sistea inicialente está en reposo, cuál es la rapidez de las asas después de que se an oido. 5? J 5

16 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa La enería total del sistea antes de que caia el bloque de asa es iual a: E La enería cinética del sistea antes de que caia el bloque de asa es cero ya que se encuentran en reposo los bloques. 5 k k P. 5 Fiura 4.4 La enería total del sistea justo antes de que lleue el bloque de asa al piso, es iual a: E ( ) Iualando abas enerías y despejando la elocidad, se tiene: ( k ) (9.8 / s ) (.5 ) 8.9 / s (5 k k ) Esta es la elocidad de los bloques justo antes de que el bloque de asa lleue al suelo. Ejeplo siuiente: Un cuerpo de 4 k de asa se uee acia arriba en un plano inclinado de con respecto a la orizontal. Sobre el cuerpo actúan las siuientes fuerzas: una fuerza orizontal de 8 N, una fuerza paralela al plano de N y una fuerza constante de N en contra del oiiento. Obsere la fiura 4.5. El bloque se traslada a lo laro del plano. Calcular el trabajo total efectuado por el sistea de fuerzas sobre al cuerpo, así coo el trabajo de cada fuerza. F N F 8 N P Cos F N P P Sen Fiura 4.5 6

17 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa El trabajo que realizan las fuerzas para subir el cuerpo es iual al producto de las coponentes de las fuerzas en la dirección del plano, ultiplicadas por la distancia que recorra el bloque. W F d C os ( 8 N )( ) Cos ( N )( ) Cos (4 k )( 9.8 / s )( ) Sen Cos 8 ( N )( ) Cos 8 W 5.5 J J 68.4 J J 5. 6 J La enería cinética del bloque es iual al trabajo total desarrollado sobre el bloque. En consecuencia, su elocidad al oento de recorrer los etros a lo laro del plano es iual a: ( 5.6 J ) 8.95 / s 4 k Coo el trabajo es positio, porque las fuerzas que suben son ayores que las fuerzas que bajan, el bloque subirá a traés del plano. La enería potencial que adquiere el bloque es iual a: E p l Sen (4 k )( 9.8 / s )( )( Sen ) En consecuencia, la enería total del cuerpo después de recorrer etros a lo laro del plano, es iual a la sua del trabajo eco sobre el cuerpo ás la enería potencial, es decir: E 5.6 J 68.4 J. 5 J Si en ese oento dejaran de actuar las fuerzas que actúan sobre el bloque, Qué distancia recorrerá el bloque a traés del plano antes de que se detena? Cuál es su enería potencial y total a la altura áxia? Con qué elocidad lleará al suelo? La elocidad inicial del bloque en el oento de que se dejan de ejercer las fuerzas es iual a 8.95 / s y la aceleración a la que está sujeta es a Sen ( 9.8 / s ) Sen.5 / s. La distancia que recorrerá el bloque antes de que se detena, es iual a. (8.95 ) d a (.5 / s ) La posición final del bloque sobre el plano es iual a la distancia que recorrió oriinalente ás la distancia que recorrió después de que se dejaran de ejercer las fuerzas sobre él. x La altura a la que se encontrará el bloque en este punto es: x Sen ( ) Sen En consecuencia, la enería potencial del bloque a la altura áxia es iual a: E p (4 k )(9.8 / s )(84.9 ) 4. Coo la enería cinética del bloque en este punto es cero, ya que no continúa subiendo, es iual a la enería total. Esa enería total es iual a la enería que tendría el bloque en el oento de llear al suelo. Así, la elocidad con la que llearía al suelo sería iual: (4. J ) 4.64 / s 4 k J J Ejeplo siuiente: Calcule el trabajo que se necesita realizar para leantar asta una altura un bloque de k de asa por edio de un sistea de poleas coo el ostrado en la fiura. 7

18 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa F P Fiura 4.6 El trabajo que se realizaría para leantar el bloque asta una altura sin poleas es iual a: W Utilizando el sistea de poleas, eos que la fuerza que se necesita para leantar el bloque es iual a: F Ya que el peso está diido entre dos cuerdas. Para conocer el trabajo que se requiere para leantarlo asta una altura, es necesario ultiplicarlo por la distancia en la que se aplica la fuerza. Esa distancia es iual al doble de la distancia a la que se elea el bloque. Así, el trabajo que realiza la fuerza F es iual a: W F d ( ) Que es iual al trabajo que se realiza para elear el bloque sin el sistea de poleas. En este caso la fuerza que se aplica por edio del sistea de poleas es iual a la itad del peso del bloque, pero esa fuerza se tiene que aplicar a una ayor distancia. Ejeplo siuiente: Cuál será la distancia en la que tiene que aplicarse la fuerza para leantar un bloque asta una altura a traés del sistea de poleas ostrado en la fiura 4.7? F P Fiura 4.7 8

19 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa En la fiura se uestran cuatro poleas, una fija y tres óiles. Dos de las poleas óiles están sujetas por una cuerda en la cual uno de sus extreos se encuentra fijo a la superficie orizontal y el otro extreo pasa por otra polea óil. Uno de los extreos de la cuerda de la tercera polea óil está fijo a la superficie orizontal y el otro extreo pasa por la polea fija. La cuerda en la priera polea óil diide el peso del bloque en dos. La tensión en el extreo de la priera polea es diidida por las dos cuerdas de la seunda polea óil. Finalente, la cuerda que pasa por la tercera polea diide la tensión de la cuerda que pasa por la seunda polea. En consecuencia, se tiene que: Por lo que: F 8 Al iual que en el problea anterior, la distancia que se uee cada una de las poleas es la itad de la que se uee la anterior. Así, la distancia en la que se aplica la fuerza F es oco eces ayor que la distancia que recorre el bloque. Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F, es iual a: W F d (8 ) 8 Que es siilar a que si se ubiese subido el bloque asta una altura aplicando una fuerza iual a su peso. Las poleas siren para ainorar la fuerza que se debe aplicar para leantar un objeto. Sin ebaro, la distancia en que se aplica la fuerza es ás rande, de tal anera que el trabajo que se ace sobre el objeto sea siepre el iso. Con estas erraientas es posible leantar objetos uy pesados. Ejeplo siuiente: Calcule el trabajo que debe realizar el bloque de asa para que elee asta una altura al bloque de asa. P P Fiura 4.8 Para que abos bloques se equilibren, es necesario que la presión que se ejerza en abas superficies donde se encuentran colocados los bloques deba ser la isa. La presión que se ejerce en abas superficies es iual al peso de los bloques, diidida entre su respectia superficie. Mateáticaente se tiene: 9

20 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Por lo que el peso del bloque de asa debe ser iual a: A P P A A Para que se desplace el bloque de asa una distancia es necesario que el bloque de asa se desplace una distancia. Para conocer la relación entre abas distancias debeos obserar que el oluen que se desplaza el líquido es el iso para abos lados del recipiente. De esta fora: Despejando A, obteneos: Sustituyendo en la ecuación para A A, se tiene: A A A A Para elear el bloque de asa asta una altura, el trabajo que tiene que realizar el bloque de asa, es iual a: Se ultiplica por ya que es la distancia que tiene que recorrer el bloque de asa, la cual es la que ace elear al bloque de asa. Se requiere enos fuerza pero se necesita recorrer ayor distancia. Se está cabiando fuerza por distancia. Se debe aclarar que es el peso que debe tener el bloque de asa para que pueda subir el bloque de asa con una elocidad constante. abién obsere que el trabajo que se requiere para elear al bloque de asa por edio de este instruento, es iual al trabajo que se necesitaría para subirlo directaente. Estos ejeplos que eos presentado, representan una situación ideal ya que no se a toado en cuenta la fricción o aluna otra fuerza que pueda detener el oiiento a pesar de que se esté realizando un trabajo sobre un objeto. Cuando aparezca una fuerza que detena al oiiento de un cuerpo, la enería total debe disinuir. La resta de la enería total final enos la enería total inicial debe ser iual al neatio del producto de la fuerza que se utiliza para frenar al objeto, ultiplicada por la distancia en la que actúa esa fuerza. Mateáticaente, esta afiración la podeos expresar de la siuiente anera: A F El producto de la fuerza que frena al oiiento, por la distancia en la que se aplica esta fuerza, debe ser neatio ya que se disinuye la enería total del cuerpo. Para er cóo se utiliza esta ecuación, eaos alunos ejeplos: d

21 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Ejeplo siuiente: Se lanza acia arriba un bloque sobre un plano inclinado con una rapidez inicial de c / s, coo se uestra en la fiura 4.9. Calcule la altura a la que lleará el bloque, si el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es de. 5. c / s d 5 Fiura 4.9 La enería potencial del bloque es cero ya que se encuentra en el piso. De iual fora, la enería cinética del bloque en el punto ás alto es iual a cero ya que no siue oiéndose. En consecuencia, la diferencia de enerías es iual a: Despejando, teneos: Sustituyendo: F d Cos ( ) d Cos ( ) Sen ( ) / an ( ) / an ( ) ( / s ). 544 (9.8 / s ) (.5 ) / an (5 ) Por lo tanto, la distancia recorrida por el bloque sobre el plano es:.544 d. 65 Sen ( ) Sen ( 5 ) an ( ) Debeos encionar que para obtener el resultado no fue necesario conocer la asa del bloque, por lo que no depende de su asa. Ejeplo siuiente: Un bloque resbala sobre un plano inclinado de, coo se uestra en la fiura 4.. Cuando la rapidez del bloque es de / s, coienza a frenar asta detenerse. Cuál es el alor de la fuerza de fricción que debe aplicarse si el bloque se a a detener cuando aya recorrido? Suponaos que el bloque se detiene justo cuando llea al piso, por lo que su enería potencial sería iual a cero. De iual anera su enería cinética sería iual a cero porque se detiene el bloque. La enería potencial del bloque cuando llee una elocidad de / s es iual a. Aplicando la ecuación 4., se tiene:

22 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa / s d Fiura 4. F d Despejando F, se tiene: F d d Sen ( ) F d / d Sen ( ) ( k )( / s ) / ( k )( 9.8 / s )( )( Sen ( )) ( k )( / s ) / ( k )( 9.8 / s )( )( Sen ( )) F N Ejeplo siuiente: Un bloque de k resbala con una elocidad de / s 5 sobre un plano orizontal, coo se uestra en la fiura 4.. Si después de oerse el bloque se detiene, calcule la fuerza de fricción proedio que se necesitó para detener al bloque. 5 / s Fiura 4. El cabio de enería cinética es iual a enos el trabajo realizado por la fuerza de fricción proedio ultiplicada por la distancia en que actúa la fuerza, es decir: Por lo tanto: d F ( ) ( k )((5 / s ) ( )) F d ( ) d N

23 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Ejeplo siuiente: Un autoóil que iaja a detenerse. Si la distancia que recorrió el autoóil es de / s coca contra un ontículo de arena asta 5 asta detenerse, cuál es la fuerza proedio que se utilizó para que se detuiera el autoóil si su asa es de k? El cabio de enería cinética es iual a enos el trabajo realizado por la fuerza de fricción proedio ultiplicada por la distancia en que actúa la fuerza, es decir: Por lo tanto: F ( ) ( k )(( / s ) ( )) F 8 d (5 ) Ejeplo siuiente: Un objeto atado a un ilo se deja soltar desde el punto A ostrado en la fiura 4.. Cuando el objeto llea al punto B, el ilo coca contra un obstáculo obliando a que el objeto describa una circunferencia enor. Calcule la elocidad del objeto en los puntos B y C. d A kn C A C / B Fiura 4. La enería total del objeto en el punto A es iual a la sua de la enería cinética ás la enería potencial, es decir: E A La enería cinética en el punto A es cero ya que el objeto se deja caer. Coo la enería se consera, debe ser iual a la enería que tiene el objeto en el punto B. Al iualar abas enerías, teneos: B A B A La enería potencial del objeto en B es cero, por lo que despejando la elocidad se encuentra que: B Coo la enería se consera, debe ser iual a la enería que tiene el objeto en el punto C. Al iualar abas enerías, teneos: B

24 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa C C Despejando la elocidad del cuerpo en el punto C, teneos: C Estos resultados no dependen de la asa del cuerpo. Ejeplo siuiente: Una caja de C k es subida por una rapa de de lonitud que fora un ánulo de con la orizontal. Obsere la fiura 4.. Si una fuerza paralela al plano de N es aplicada a la caja y el coeficiente de fricción es iual a., allar la fuerza total que se aplica a la caja, y la enería potencial y cinética de la caja al inicio y al final del oiiento. F d f r P P Cos P Sen Fiura 4. Las fuerzas que actúan sobre la caja en la dirección al plano son: la coponente del peso, la fricción y la fuerza que ace oer a la caja. En consecuencia, la fuerza total que actúa sobre la caja es: Es decir: F F F f Sen r N Cos F f Sen N (.)( k )( 9.8 / s ) Cos ( k )( 9.8 / s ) Sen r El trabajo realizado por esta fuerza es iual a: W F F d ( 77.7 N )( ) 777. La enería potencial de la caja al final del oiiento es iual a: E P d Sen ( k )( 9.8 / s )( )( Sen ) La enería cinética de la caja al final del oiiento es iual a la resta del trabajo realizado por la fuerza total enos la enería potencial de la caja, es decir: N J Sen J Por lo que la elocidad de la caja es iual a: W E 777. J 67.5 J p * 6.74 J.7 / s k J 4

25 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa En todos los ejeplos que eos isto, eos supuesto que la fuerza que actúa sobre un cuerpo, es constante. Mientras que existen ucos casos coo estos, ay nuerosos casos en que la fuerza está lejos de ser constante. Uno de estos casos son los resortes. Para cada deforación del resorte se le aplica diferente fuerza. Este coportaiento está reflejado por la Ley de Hooke, que se establece ateáticaente de la siuiente fora: F k Donde: F es la fuerza que se le aplica al resorte, x es la deforación del resorte y k es la constante del resorte. La fuerza depende de la deforación del resorte; a ayor deforación, ayor fuerza. abién obsere que la fuerza que se le aplica al resorte es neatia porque a en contra del oiiento. Si aceos una ráfica de la fuerza aplicada al resorte y la deforación que experienta, obtendreos la ráfica ostrada en la fiura 4.4. x F F k x W k x Fiura 4.4 El trabajo efectuado por la fuerza aplicada al resorte es iual al área bajo la ráfica. Si en este caso se tiene que la base del rectánulo es x y su altura es F, entonces el área del rectánulo forado por estos lados es iual a A k x. Pero debido a que sólo se requiere el área del triánulo inferior de la ráfica, entonces el trabajo realizado por la fuerza que se actúa sobre el resorte es iual a: W k x De esta fora, esta ecuación puede ser utilizada para calcular la enería que se necesita para copriir o estirar un resorte. Ejeplo siuiente: Supona que un bloque se encuentra sujeto a un resorte coo se uestra en la fiura 4.5. Supona tabién que el resorte se estira de tal anera que su deforación es iual a x. Si se suelta el bloque, calcule la elocidad con la que pasará justo cuando el resorte no se encuentra defore. El cabio en la enería cinética del bloque es iual a enos el trabajo que se realiza para que se copria el resorte. Es decir: k x k x k ( x En el oento de soltar el bloque, su elocidad es iual a cero, por lo que la elocidad del bloque para cualquier deforación enor que x es iual a: x x ) k ( x x ) 5

26 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Obsere que la elocidad del bloque depende de la raíz cuadrada de la constante del resorte ultiplicada por la diferencia de los cuadrados de la áxia deforación y una deforación particular, diida entre la asa del bloque. x x Fiura 4.5 Si la elocidad del bloque es diferente de cero cuando la deforación del resorte es entonces la ecuación para la enería es iual a: k x k x Despejando, teneos que la elocidad del bloque justo en el oento de pasar por el punto donde el resorte no está deforado, es iual a: k ( x x ) Se debe aclarar que es la elocidad que tiene el bloque cuando la deforación del resorte es x. De iual fora, el bloque oscilará entre la posición de equilibro indefinidaente si no existen fuerzas de fricción que lo detenan. Ejeplo siuiente: Supona aora que un bloque está sujeto a un resorte que se encuentra erticalente, coo se uestra en la fiura 4.6. Supona que el resorte no está deforado y que el bloque se encuentra en reposo en ese punto. Calcule las posiciones en las que la elocidad del bloque es iual a cero y la elocidad del iso a la itad de la trayectoria entre abos extreos. x, k x x k x k Fiura 4.6 6

27 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa La enería total del bloque es iual a enos el trabajo realizado por el resorte, es decir: ( x ) k x k x Donde es la altura a la cual el resorte no se encuentra deforado; x es el desplazaiento del bloque; x es la deforación inicial del resorte; y es la elocidad final e inicial del bloque y k es la constante elástica del resorte. Coo el resorte no está deforado y la elocidad del bloque en el oento de soltarlo es iual a cero, entonces x y, por lo que la ecuación anterior se siplifica a: x k x Para conocer las posiciones para las cuales la elocidad del bloque es iual a cero, debeos acer, por lo que la ecuación anterior se conierte en: k x x Así, los alores para los cuales la elocidad del bloque es iual a cero, son: x y Para x k x. k, que es un alor interedio entre los dos extreos, la elocidad del bloque se obtiene sustituyendo esta posición en la ecuación para la elocidad, es decir: Despejando la elocidad, obtiene: k k k k Que es la áxia elocidad que adquiere el bloque. Si la elocidad del bloque es diferente de cero cuando no está deforado el resorte, entonces la ecuación para la enería es iual a: x k x Para conocer las posiciones para las cuales la elocidad del bloque es iual a cero, debeos acer, por lo que la ecuación anterior se conierte en: k x x esoliendo para x se obsera que es una ecuación de seundo rado, cuyas raíces son: x 4 4 k y k x 4 k 4 k Veos que la deforación del resorte es ayor cuando la elocidad del bloque es iual a cero. La elocidad del bloque para el punto interedio entre estos dos puntos, se obtiene sustituyendo este punto en la ecuación para la enería: 7

28 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa Donde k k k k x que es el punto interedio. De esta fora, la elocidad del bloque para este punto es iual a: k Veos que la áxia elocidad que adquiere el bloque es ayor en coparación con la elocidad del bloque del caso anterior porque llea añadida la elocidad inicial. POBLEMAS. Calcule el trabajo que realiza una fuerza iual a F N cuando se aplica a un cuerpo que se uee una distancia de W J. d.. Calcule la fuerza F aplicada a un cuerpo, si realiza un trabajo de W 5 J y se desplaza una distancia de F 5 N. d.. Calcule la distancia d que se desplaza un cuerpo, si se realiza un trabajo de W J y se aplica una fuerza de F 4 N. d Calcule el cabio de enería cinética y el trabajo total que se realiza sobre el bloque ostrado en la fiura 4., si F 5 N, F N, F N y,, 9, 4 la asa del bloque es de k. De iual fora, calcule la elocidad del bloque. 5. Calcule el alor de la fuerza F para que el cabio de enería cinética del bloque que se uestra en la fiura 4., sea iual a 9, F N, 5 E C 4 J, suponiendo que y la asa del bloque es de k. 6. Calcule la asa del bloque ostrado en la fiura 4., si F N F N, 9, F 5 N, 4, F N,,, 5 E C 5. y el cabio de enería cinética es de J 7. Calcule el alor de la fuerza F para que el cabio de enería cinética del bloque que se uestra en la fiura 4., sea iual a F N, 9, 5 E C 6 J, suponiendo que F N, 5, y la asa del bloque es de 5 k. 8. Calcule el trabajo que se realiza sobre un cuerpo de 7 k de asa para subirlo asta una altura de 5. W 4 J. 9. Calcule la altura a la que se eleará un cuerpo de k de asa cuando se realiza un trabajo de W 5 J. 8

29 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa 5... Calcule la asa que debe tener un cuerpo para que al realizarse un trabajo sobre él de W para que se suba asta una altura de 45 J. 68. k.. Calcule el trabajo que se realiza sobre un cuerpo que se quiere subir asta una altura 5 a traés de una rapa coo la ostrada en la fiura 4.5, si el ánulo de inclinación de la rapa es de 45 y la asa del bloque es de 5 k. De iual fora, calcule la fuerza con la que se sube el bloque y la distancia que recorre a traés de la rapa. W 75 J. El trabajo no depende del ánulo de inclinación de la rapa. F N. Esta fuerza es enor que la fuerza que se debe eplear para subir al cuerpo erticalente. d.. Esta distancia es ayor que la distancia que recorrería el cuerpo si se subiera erticalente.. Calcule la fuerza con la que se debe subir un cuerpo asta una altura de a traés de una rapa, si el ánulo de inclinación de la rapa es de y la asa del bloque es de 4 k. De iual fora, calcule el trabajo con el que se sube el bloque y la distancia que recorre a traés de la rapa. F 96 N. Esta fuerza es enor que la fuerza que se debe eplear para subir el cuerpo erticalente. W 7 84 J. El trabajo no depende del ánulo de inclinación de la rapa. d 4. Esta distancia es ayor que la distancia que recorrería el cuerpo si se subiera erticalente.. Calcule la altura a la que sube un cuerpo de k de asa a traés de una rapa, si el ánulo de inclinación de la rapa es de 4 y se aplica un trabajo sobre el bloque de W 6 J. De iual fora, calcule la fuerza con la que sube el bloque y la distancia que recorre a traés de la rapa.. 4. Esta distancia es ayor que la distancia que recorrería el cuerpo si se subiera erticalente. F N. Esta fuerza es enor que la fuerza que se debe eplear para subir el cuerpo erticalente. d. 74. Esta distancia es ayor que la distancia que recorrería el cuerpo si se subiera erticalente. 4. Desde un edificio de 5 de altura se deja caer un objeto de k de asa. Calcule la enería potencial, la enería cinética, la enería total y la elocidad del cuerpo al oento de soltarlo y de llear al suelo. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a de altura. E P 49 J, E, E J C 49,, E, E J P C 49,. / s, E P 96 J, E J C 94 y 4.4 / s 5. Desde un edificio de 5 de altura se aienta acia arriba, con una elocidad de 5 / s, un objeto de k de asa. Calcule la enería potencial, la enería cinética, la enería total y la elocidad del cuerpo al oento de aentarlo y de llear al suelo. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a de altura. Calcule la altura áxia que alcanza el objeto. J, E C. 5 J, E 6. 5 J 5 / s E, E C 6. 5 J, E P 49, P 4.7 / s, E 96 J, E J P C y 8.5 / s, ax 9

30 Apuntes de rabajo y Enería Guillero Becerra Córdoa 6. Desde un edificio de 5 de altura se aienta acia abajo, con una elocidad de 5 / s, un objeto de k de asa. Calcule la enería potencial, la enería cinética, la enería total y la elocidad del cuerpo al oento de aentarlo y de llear al suelo. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a de altura. E P 49 J, E, E J C 49, 5 / s, E P, E C 49 J,. / s, E 96 J, E J P C 94 y 4.4 / s. 7. Desde un edificio se deja caer un objeto de k de asa. Si se obsera que la elocidad con la que llea al suelo es de / s. Calcule la enería potencial, la enería cinética, la enería total y la altura a la que se deja soltar. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a de altura. E P 4 J, E, E J C 4, E P, E C 4 J, / s, E 96 J, E J P C 4 y 4.8 / s. 8. Desde un edificio se aienta acia arriba, con una elocidad de / s, un objeto de k de asa. Si se obsera que la elocidad con la que llea al suelo es de / s. Calcule la enería potencial, la enería cinética, la enería total y la altura a la que se aienta el cuerpo. Calcule la altura áxia que alcanza. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a 5 de altura. E P 5 J, E J C 4, E 9 J, 5. 5 E P, E C 9 J, / s, 45. 9, E J ax P 94, E C 66 J y 4.6 / s. 9. Desde un edificio se aienta acia abajo, con una elocidad de / s, un objeto de 4 k 4 / s de asa. Si se obsera que la elocidad con la que llea al suelo es de. Calcule la enería potencial, la enería cinética y la enería total. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a de altura. E P J, E C J, E J, 76. 5, E, E J P C, 4 / s, E 784 J, E J P C 46 y 4.75 / s.. Desde un edificio de 5 se aienta acia arriba un objeto de k de asa. Si se obsera que la elocidad con la que llea al suelo es de 5 / s. Calcule la elocidad con la que fue lanzado el objeto, la enería potencial, la enería cinética y la enería total. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a 4 de altura. Calcule la altura áxia alcanzada. J, 5.65 / s E C. 5, E 6. 5 J, E, E C 6. 5 J,, E P 49, J E P 9 J, E J C 46,. / s y 6. 5 ax. Desde un edificio de 5 se aienta acia abajo un objeto de. 5 k de asa. Si se obsera que la elocidad con la que llea al suelo es de 5 / s. Calcule la elocidad con la que fue lanzado el objeto, la enería potencial, la enería cinética y la enería total. Calcule lo iso cuando el objeto se encuentra a 4 de altura. E P 45 J, 8.44 / s. 5 J, E J C 56. 5, E P, E C J, E P 9 J, E J C 46 y. / s. P