( ) 2 2. Problemas de derivadas y Máximos y Mínimos. = 4

Transcripción

1 1 Problemas de derivadas Máimos Mínimos. Ejemplo 1. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f() en el punto (, 4) Solución. La recta cua pendiente buscamos se muestra en la figura. Es claro que tiene una pendiente positiva grande. f ( + h) f ( ) mtan lim 4 h (,4) lim ( ) + h h 4+ 4h + h 4 lim h h( 4+ h) lim h 4 ² Problemas de Derivadas. Ejemplo. Encuentre la pendiente de la tangente a la curva f() - ++ en los puntos con coordenada de 1, 1, Solución. En vez de hacer cuatro cálculos separados, parece acertado calcular la pendiente de abscisa c obtener después las cuatro respuestas deseadas, por sustitución. f ( c+ h) f ( ) mtan lim h m 1 ( c h) ( c h) ( c c ) lim h h ( c h + ) lim h c + m ² Las cuatro pendientes deseadas (obtenidas al hacer 1, 1, ) son 4, 1, - 4. Estas respuestas parecen concordar con la gráfica de la figura. Ejemplo. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva 1/ en (, ½ ). Véase figura. Solución. Sea f() 1/.. f ( + h) f ( ) mtan lim h 1 1 lim h + h + h ( + h) ( + h) lim h m - m -4

2 ( + ) ( + hh ) h lim h lim hh ( + ) 1 1 lim h 4 ( + ) Conociendo la pendiente de la recta (m 1 ) el punto (, ) de la misma, podemos 4 escribir con facilidad su ecuación utilizando la forma punto pendiente - 0 m(- 0 ). El resultado es 1 1 ( ). 4 Ejemplo 4. Encuentre la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo, en los instantes t.8 t 5.4 segundos. Solución. Calculemos la velocidad instantánea para t c segundos. Dado que f(t)16t, f( c+ h) f( c) ν lim h ( ) + 16 c h 16c lim h 16c + ch + 16h 16c lim h ( ) lim c + 16h) c Así, la velocidad instantánea a los.8 segundos es (.8) 11.6 pies por segundo; a los 5.4 segundos es (5.4) 17.8 pies por segundo. Ejemplo 5. Cuánto tardará el cuerpo que cae en el ejemplo 4 en alcanzar una velocidad instantánea de 11 pies por segundo. Solución. Aprendimos en el ejemplo 4 que la velocidad instantánea después de c segundos es c. Entonces, podemos resolver la ecuación c 11. La solución es c 11.5 segundos. Ejemplo 6. Una partícula se mueve a lo largo del eje coordenado s, su distancia en s f t 5t + 1. Encuentre centímetros desde el origen al concluir t seg, está dada por ( ) la velocidad instantánea de la partícula al final de segundos. Solución. 1

3 ν lim lim lim ( + ) ( ) f h f h ( ) 5 + h + 1 5() h 4 h Para evaluar este límite, racionalicemos el numerador (multiplicando numerador h + 4 denominador por ). Obtenemos h h h + 4 ν lim + + h 16 5h 4 h h 16 lim h lim h Concluimos que la velocidad instantánea a los tres segundos es 5 8 de centímetro por segundo. Ejemplo 1. Sea f() 1 6. Encuentre f (4). Solución. f ( 4+ h) f ( 4) 1( 4 + h) 1( 4) 6 f ' ( 4) lim lim h 1h lim lim 1 1 h Ejemplo. Si f() + 7, encuentre f (c). Solución. f (c+ h) f(c) f '( c ) lim h ( ) ( ) c+ h + 7 c+ h + c 7c lim h c h + ch + h 7h lim h lim (c + ch + h + 7 c + 7

4 4 Ejemplo. Si f() 1/, encuentre f () Solución. Observe un ligero cambio en la forma en que está planteado este ejemplo. Hasta aquí hemos usado la letra c para designar un número fijo en el cual se va a evaluar la derivada. De acuerdo con ello, hemos calculado f(c) Para calcular f () basta con pensar en como un número fijo, pero arbitrario, proceder como en lo anterior. 1 1 f ( + h) f ( ) f ' ( ) lim lim + h h h ( + h) f ( ) h 1 lim lim ( h) + ( + h) h 1 1 lim ( + h ) Por lo tanto, f es la función dada por f () -1/. Su dominio es todos los números reales con la ecepción de 0. Ejemplo 4. Encuentre la derivada de F si F(), > 0. Solución. F( + h) F( ) F' ( ) lim h + h lim h

5 5 Seguramente a habrá notado que encontrar una derivada implica una derivada implica siempre tomar el límite de un cociente en el que tanto el numerador como el denominador tienden a cero. Nuestro trabajo consiste en simplificar ese cociente, de modo que podamos cancelar un factor h en el numerador el denominador, permitiendo con ello evaluar el límite. En el ejemplo actual, esto se puede realizar racionalizando el numerador. + h + h + F' ( ) lim h + h + h + h lim h + h + h lim h + h + 1 lim + h lim + Por lo tanto, F (la derivada de F) está dada por 1 F'(). Ejemplo 5. Use el resultado del recuadro anterior para encontrar g (c) si g() (+). Solución. g( ) g( c ) g' ( c) lim lim + c+ c c c c ( + ) ( + ) ( )( ) c 1 lim c + c+ c lim c + c + c+ ( )( ) ( ) Hemos manipulado el cociente hasta que pudimos cancelar el factor c del numerador del denominador. Entonces pudimos evaluar el límite.

6 6 Ejemplo 6. Cada una de las siguientes epresiones es una derivada, pero de qué función en qué punto? ( 4+ h) f ( ) a) lim b) lim h Solución. a) Ésta es la derivada de f() para 4. b) Ésta es la derivada de f() / para. Ejemplo 1. Encuentre las derivadas de Solución. d D (5 d + 7 6) D (5 d + 7) - D (6) (Teorema F) d d d d D (5 d d )+ D (7) D (6) (Teorema E) d d d d 5 D ( d d ) + 7 D () - D (6) (Teorema D) d d d (Teorema C, B, A) Para encontrar la siguiente derivada, observe que los teoremas sobre sumas diferencias se etienden a cualquier número finito de términos. Entonces, d D ( ) d d d d d d D (4 6 ) - D ( 5 ) - D (10 ) + D (5) + D (16) d d d d d d d d d d 4 D ( 6 ) - D ( 5 ) - 10 D ( ) + 5 D () + D (16) d d d d d 4(6 5 ) (5 4 ) 10() + 5(1) Ejemplo. Use la regla del producto para encontrar la derivada de ( -5)( 4 -). Solución. d D [( 5)]( d 5) D ( 4 - ) +( 4 d ) D ( 5) d d d ( 5)(8 1) + 4 )(6) Para comprobar, multiplicamos primero derivamos después. ( 5)( 4 )

7 7 Entonces, d D [( 5)( 4 d )] D (6 6 d ) - D ( d ) + D (5) d d d d Ejemplo. Encuentre la derivada de ( 5 ) Solución. ( + 7). d d ( + 7) D ( 5) ( 5) D ( + 7) ( ) d 5 D d d d ( + 7)( ) ( 5)( ) ( + 7) ( + 7) d Ejemplo 4. Encuentre D si +. d Solución. d d d D D D 4 + d d + 1 d 4 d d 4 d d ( + 1D ) ( ) D ( + 1) D D d d + d d ( + 1) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 5.- Demuestre que la regla de potencias se cumple para eponentes enteros negativos; es decir, d D ( -n ) - n -n-1 d Solución. n n 1 n 1 d n d n n n 1 D ( ) D n n n n d d

8 8 Ejemplo 1.- Si 1/( 4+1) 60, encuentre d D d Solución. Consideremos esto como: u 60 u Emtonces, d d d D Du D u d du d (60u 59 )(4 4) 60( 4 + 1) 59 (4 4) Ejemplo.- Si 1/( 5 7) d, encuentre D d Solución. Considérelo en esta forma: 1 5 u u 7 u Entonces, d d d D Du D u d du d (-u -4 )(10 4 ) u ( ) 4 Ejemplo 4.- Encuentre d t t + 1 Dt dt t 4 + d Solución. Considérelo como encontrar Dt, donde dt u 1 t + 1 u 4 t + Entonces, la regla de la cadena seguida por la regla del cociente nos da:

9 9 d d Dt Du Dt d u dt du dt 1u 1 4 ( t + )( t ) ( t t+ 1)( 4t ) 4 ( t + ) t 1 + t + 6t 4t + 9t t + t + 4 ( ) Ejemplo 1. Sea f(). Encuentre D cuando cambia de 0.4 a 1. (Ver figura). Solución. f(1.) f(0.4)[-(1.) ] [ (0.4) ] ² 1 } } Ejemplo.- Encuentre d/d si + 7. Solución d d + 7 d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d + 7 d d d - () + 7(1) 6 + 7

10 10 Ejemplo 4.- Encuentre d/d si ( ) 1. Solución.- Considere a como u. Entonces, u 1 d d du d du d (1 11 )( ) 1( ) 11 ( ) Si f(u), u g(ν) ν h(), entonces d d du dυ d du dυ d Ejemplo 4.- Suponga que se arroja una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies por segundo. a) Cuándo alcanza la altura máima? b) Cuál es la altura máima? c) Cuándo llega al piso? d) Con qué velocidad llega al piso? e) Cuál es su aceleración al momento t? Solución.- Sea t 0 que corresponde al instante cuando la pelota es arrojada. Entonces s ν 0 64, por lo que s 16t + 64t ds s t + 64 dt dυ a dt a) La bola alcanza su altura máima en el momento en que su velocidad es 0; esto es, cuando t , o sea t segundos. b) Cuando t, s -16() + 64() pies. c) La pelota golpea el piso cuando s 0; es decir cuando -16t + 64t Si dividimos entre 16 usamos la fórmula cuadrática, obtenemos t 4t ± ± 14 t ± 14 Solo la respuesta positiva tiene sentido. Por lo tanto, la pelota llega al suelo a los t segundos t + 14, Entonces, la pelota llega al d) Cuando ν ( ) suelo con una velocidad de pies por segundo. e) La aceleración es siempre de pies por segundo. Ésta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar. Zill 1

11 11 Ejemplo 4.- Encontrar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en (1, 1). Solución. Por el ejemplo, la pendiente de la tangente en (1, 1) es m tan. La forma punto-pendiente de una recta da 1 ( 1) o bien 1. Ejemplo 6.- Puede demostrarse que la gráfica de 1/ posee una recta tangente vertical en el origen, aunque no se proseguirá por el momento con los detalles. En la figura se observa que el eje es tangente a la gráfica en (0, 0) 1/ Ejemplo 7.- (a) (b) muestran las gráficas de dos funciones que son discontinuas, aunque definidas, en a. Ninguna de las dos gráficas tiene tangente en (a, f(a)). En la Figura (c) se esperaría poder tener una tangente a la gráfica de f en todos los puntos, ecepto en a. f() f() f() a (a) a (b) a (c) Ejemplo 8.- La figura (a) muestra la gráfica de una función en la que la recta tangente no eiste en dos puntos en los que se tienen esquinas. En la figura (b) no eiste recta tangente en la punta formada. Sin embargo, en la figura (c) la gráfica tiene una punta en la que eiste una tangente vertical.

12 1 f() f() no ha tangente no ha tangente (a) (b) (c) Ejemplo 9.- Demostrar que la gráfica de f() no tiene tangente en (0, 0). Solución.- El eamen de la gráfica de f en la Figura revela una esquina o punta en el origen. Para demostrar que la tangente no eiste, ha que eaminar lim ( 0 + ) ( ) f f lim lim. 0 (, ) Ahora bien, para > 0, 1, mientras que para < 0, 1. Como lim 0 + / 1 lim 0 - / -1, concluimos que el límite (, ) no eiste. Así es que la gráfica no posee tangente en (0, 0). Ejemplo 1.- Encontrar la derivada de f(). Solución.- Como anteriormente, el procedimiento consta de cuatro pasos: (i) f( + ) ( + ) + + ( ) (ii) f( + ) f() [ + + ( ) ] [ + ] [ + ] (iii) + (iv) f '( ) lim lim [ + ]. 0 0

13 1 Ejemplo.- Para f(), encontrar f (-), f (0), f (!) f (). Interpretar. ² m 6 Solución.- Del ejemplo 1, se sabe que f (). Por tanto, f (-) -4, f (0) 1 f () 6. Como puede observase en la figura, estos valores representan las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de en (-, 4), (0, 0), (!, #) (, 9), respectivamente. m -4 m 1 m 0 Ejemplo.- Encontrar la derivada de f() Solución.- En este caso el lector debe poder demostrar que: Por lo tanto, f( + ) f() [ ]. f ( ) lim lim 0 0 [ 4] + 0 [ ] lim Ejemplo 4.- Encontrar la derivada de f() -. Solución.- Para determinar f( + ), se usa el teorema del binomio. (i) f( + ) ( + ) + + ( ) + ( ). (ii) f( + ) f() [ + + ( ) + ( ) ] (iii) [ + + (4) ] ( ) f ' lim lim (iv) ( ) ( ) Ejemplo 5.- Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en!. Solución.- Puesto que hemos visto que f(), se deduce que la pendiente de la tangente en! es ( )

14 14 f La ordenada del punto de tangencia 1 1 es f 1. Así que la recta tangente en 8 1 1, está dada por obien La gráfica de la función la recta tangente se presenta en la figura. ³ 1 1, Ejemplo 7 (a) La función f() 1/(-1) es discontinua en 1/. Por lo tanto, f no es diferenciable en este valor. (b) La gráfica de f() posee una punta o esquina en el origen. Se vio que lim 0 / no eiste en 0, así que f no es diferenciable ahí. (c) Ya se vio que la gráfica de f() 1/ posee una tangente vertical en el origen. Por lo cual, la función f no es diferenciable en 0. Ejemplo 8.- La función f(), -1 f'-() 4 es diferenciable en [-1, ] puesto que f() para todo número en (-1, ) f'+(-1) - f () 4 f +(-1) -. Véase la figura.

15 15 Ejemplo 11.- Demostrar que si<1 f ( ) + 1 si 1 no es diferenciable en 1. Solución.- La figura muestra que la gráfica de f tiene una esquina en (1, ). Ahora bien, f() ( 1 ) ( 1) ( ) f + f f ' + () 1 lim lim 1, mientras que ( ) ( ) f 1+ f 1 f ' () 1 lim lim Como f + (1) f - (1), f no es diferenciable en 1. Consecuentemente, f no es diferenciable en los intervalos que contengan a 1. Ejemplo 1.- Demostrar que f() es diferenciable en (0, ). La gráfica de f en la figura, proporciona alguna idea de por qué f + (0) no eiste? Ejemplo 1.- Diferenciar 6. Solución.- Por la regla de la potencia (.11) que d 6 6 d Ejemplo.- Diferenciar Solución.- Identificando n 1, se tiene por (.11) que d d Ejemplo.- Se tiene por (.1) d a) 5 0, d b) d 0. d π Ejemplo 4.- Diferenciar 5.

16 16 Solución.- Por (.11) (.1), d d 5 5( ) 15. d d Ejemplo 5.- Diferenciar 5 +. Solución.- Por (.11) (.14) se tiene que d d 5 d d d d Ejemplo 6.- Diferenciar Solución.- En vista de (.11), (.1) (.14), puede escribirse d d 7 d d d d Ejemplo 7.- Diferenciar Solución d d d + 9 d + 10 d 1 d + d 6. d d d d d d d Ejemplo 8.- Encontrar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en -1. Solución.- La ordenada del punto que corresponde a -1 es f(-1) 8. Ahora bien, f () así que f (-1) -1. La forma punto-pendiente proporciona una ecuación de la recta tangente en (-1, 8): 8-1( + 1) o bien tangente Ejemplo 9.- Encontrar una ecuación de la recta normal a la gráfica de en 1. ² (1, 1) normal Solución.- Como d/d, se sabe que m tan en (1, 1). Así que la pendiente de la recta normal mostrada en la figura es m -!. Su ecuación es 1 1 ( 1) o bien 1 +

17 17 Observación En los diferentes contetos de la ciencia, la ingeniería la administración, las funciones se epresan a menudo en términos de variables distintas de de. Correspondientemente, debe adaptarse la notación de la derivada a nuevos símbolos; por ejemplo, dv vt () t, v' () t dt Zill. Ejemplo 1 Diferenciar ( o derivar) ( + 4)(8 + 5). SOLUCIÓN Por la regla del producto (.15), primera derivada de la segunda segunda derivada de la primera d + d d + d d d ( 4) ( 8 5) ( 8 5) ( 4) ( 4)( 16 5) ( 8 5)( 4 ) Ejemplo Diferenciar (4 + 1)( - )( + 8). SOLUCIÓN Se identifican los dos primeros factores como la primera función d d d d d d ( 4 1)( ) ( 8) ( 8) ( 4 1)( ) Para encontrar la derivada de la primera función, debe aplicarse la regla del producto por segunda ocasión. Así que, d ( 4+ 1)( ) ( 8) + ( 8 ). d ( 4 1)( 4 1) ( ) ( 4 + 1)( )( 8) + ( 16 1)( 8) + 4( + )( 8)

18 18 Ejemplo Diferenciar o derivar SOLUCIÓN Por la regla del cociente (.17) d d d d d d ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 6 ( 1) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 4 Obtener una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 6 f ( ) en SOLUCIÓN Se utiliza la regla del cociente para encontrar la derivada, ( ) f' d ( + 1) 6 6 ( + 1) d d ( + 1) ( + 1) 18 6 ( ) 18 ( + 1) ( + 1) d Cuando 1, la pendiente de la recta tangente es 18 9 f '() 1. 4 El punto de tangencia es (1, f(1)) o bien (1, ). Por lo tanto, una ecuación de la recta tangente es 9 9 ( 1 ) o bien.

19 19 Ejemplo 5 Diferenciar ( )( ( + 1) ) SOLUCIÓN Se comienza con la regla del cociente luego utilizamos la regla del producto al diferencial el numerador: d d d d d d ( + 1) ( 1)( 1) + + ( + 1)( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( 1) 4 ( 1) ( + 1)( + 1) 6 ( + 1) ( + 1) Ejemplo 6 Diferenciar -. SOLUCION Como se muestra en (.18), el procedimiento para diferenciar o derivar una potencia con eponente entero negativo es el mismo de antes: se coloca el eponente como factor se reduce en 1 el valor del eponente. Se tiene pues, que Ejemplo 7 Diferenciar 5 1/ 4. d d 1. SOLUCIÓN Primero se escribe la función dada como 5-4. De este modo d d ( )

20 0 Ejemplo 1 Diferenciar (4) SOLUCIÓN. Primero se ilustra un error común: d 100( 4) 99 d El resultado es incorrecto porque no se multiplicó la epresión por la derivada de la función que está entre paréntesis. El procedimiento correcto es: d 99 d ( 4) 4 100( 4) 4 400( 4). d d Ejemplo Diferenciar ( ) 4.. SOLUCIÓN. Se identifica g() n 4. De (.41) se deduce que d ( d ) ( ) d d ( ) ( )

21 1 Ejemplo Diferenciar ( 1) ( 5 + 1) 8. SOLUCIÓN. Primero se aplica la regla del cociente. d d d d d d luego la regla de la potencia para funciones, d d 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 + 1) 8 7 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( 5 + 1) ( 1) ( ) ( 5 + 1) 16. Ejemplo 5 Diferenciar 1 ( ) 10 SOLUCIÓN. Se escribe la función dada como ( ) -10. Se identifica n -10 se usa la regla de la potencia (.41): Zill ( d 10 7 ) ( ) d 4 10( 5 4 ) ( 7 + ) d + +. d

22 Ejemplo Obtener la segunda derivada de ( + 1) 4. SOLUCIÓN. Se encuentra la primera derivada mediante la regla de la potencia para funciones: d d 4( + 1) 1 ( + 1). d d Para encontrar la segunda derivada, se usará las reglas del producto de la potencia: ( ) ( ) d d d d d d ( 1) 4( 1) ( 1) ( 1 4 4) Ejemplo 4 Obtener las primeras cinco derivadas de f() SOLUCIÓN. Se tiene que f () f () f () f (4) () 4 8 f (5) () 0. Ejemplo 5 Obtener la tercera derivada de 1 SOLUCIÓN. Escribiendo -, se tiene que Por lo tanto, d 4. d d 5 5 ( )( 4) 1, d 6 60 ( 1)( 5) 6 d d

23 Ejemplo 1 Encuentre d/d si + 4. SOLUCIÓN. Al diferenciar ambos miembros de la ecuación utilizar luego (.45), se tiene: d d d + 4 d d d + d 0. d Despejando la derivada, resulta que d (.46) d Ejemplo Hallar la pendiente de la tangente a la gráfica de + 4 en 1. SOLUCIÓN. Puesto que 1 implica que o bien ±, se observa en la figura que ha rectas tangentes en (1, ) (1, ). Usando (.46) del ejemplo 1, las pendientes de estas rectas tangentes están dadas por ( 1, ) + 4 ( 1, ) d d d d ( 1, ) ( 1, ) 1 1 1

24 4 Ejemplo Obtener d/d si SOLUCIÓN. En este caso se usa (.45) la regla del producto d d d d + d 1 d d d d d d 4 d d + d 4 d ( 5 ) 4 d d 4 d 4 5 Ejemplo 4 Obtener d /d si SOLUCIÓN. Por el ejemplo 1, se sabe que la primera derivada es d. d De aquí que, por la regla del cociente d 1 d d d d d + En vista de que + 4, puede escribirse la segunda derivada como d 4. d

25 5 Ejemplo 1 Diferenciar SOLUCIÓN. Primero se escribe la función dada como 1/ luego se utiliza (.51): d d 1 ( 1/ ) 1 1 1/ 1. Ejemplo Diferenciar o derivar 1 SOLUCIÓN. Puesto que -1/, de (.51) resulta que d d 1 ( 1/ ) 1 1 /. Ejemplo 4 Diferenciar SOLUCIÓN. Empleando eponentes racionales, la función dada puede epresarse como 9k 1/ + 4 /. Así que, d ( ) ( 1 / ) ( ) ( / / / ) + 1. d -/ + 6 1/. Ejemplo 5 Diferenciar ( 4 1 ) 1/ +. SOLUCIÓN Por.5, d d 1 ( ) ( 1 ) / d + ( 4+ 1) ( 4+ 1) /. d

26 6 Ejemplo 6 1+ Diferenciar. 1 SOLUCIÓN. Se utiliza (.5) en seguida la regla del cociente, 1/ d 1 1+ d 1+ d 1. d 1 1/ ( 1 ) 1 ( 1 )( ( ) ( 1 ) 1/ ) Ejemplo 7 Diferenciar SOLUCIÓN La regla de la potencia para funciones (.5) da lugar a 4 d d d d ( ) / Ejemplo Siempre que se mueven cargas eléctricas se origina una corriente eléctrica. La Figura muestra una porción de conductor algunos electrones que se mueven a través de una superficie plana sombreada. Si Q es la carga eléctrica neta que pasa a través de esta superficie durante un período de tiempo t, entonces la corriente media durante dicho intervalo de tiempo se define como Q Q Q1 corriente media t t t 1 Si tomamos el límite de esta corriente media sobre intervalos de tiempo cada vez más pequeños, obtenemos lo que se define como la Corriente I en un instante dado t 1 : Q dq I lim t 0 t dt De esta manera, la corriente es la intensidad a la cual flue la carga a través de una superficie. Ejemplo 4 Una reacción química da por resultado la formación de una o más sustancias

27 7 (llamadas productos) a partir de uno o más materiales iniciales (llamado reactivos). Por ejemplo, la ecuación H + O H O indica que dos moléculas de hidrógeno una molécula de oígeno forman dos moléculas de agua. Consideremos la ecuación A + B C en donde A B son los reactivos C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles ( moléculas) por litro se denota por [A]. La concentración varía durante una reacción, de modo que [A], [B] [C] son funciones del tiempo (t). La velocidad media de reacción del producto C en un intervalo de tiempo t 1 t t es [ C] [ C]( t) [ C]( t1) t t t1 Pero a los químicos les interesa más la velocidad (o rapidez) instantánea de reacción, que se obtiene tomando el límite de la velocidad media de reacción cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero: [ C] d[ C] velocidad de reacción lim t 0 t dt Puesto que la concentración del producto aumenta cuando la reacción avanza, la derivada d[c]/dt será positiva. (Intuitivamente podemos ver que la pendiente de la tangente a la gráfica de una función creciente es positiva). Así que, la velocidad de reacción de C es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuen durante la reacción; por consiguiente, para hacer que las velocidades de reacción de A B sean números positivos se agrega el signo menos a las derivadas d[a]/dt d[b]/dt. Puesto que [A] [B] disminuen a la misma velocidad que [C] aumenta, tenemos d[ C] d[ A] d[ B] velocidad de reacción dt dt dt De manera más general, resulta que para una reacción de la forma aa + bb cc + dd tenemos 1 d[ A] 1 d[ B] 1d[ C] 1 d[ D] + a dt b dt c dt d dt La velocidad de reacción se puede determinar por métodos gráficos (Ejercicio 0). En algunos casos se puede utilizar la velocidad de reacción para encontrar fórmulas eplícitas de las concentraciones en función del tiempo (Ejercicio 7 de la Sección 6.7 el Ejercicio 7 de la Sección 8.1).

28 8 Ejemplo 5 Una de las características cuantificables que son de interés en la termodinámica es la compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a temperatura constante, entonces su volumen V depende de su presión P. Se puede considerar la razón de cambio del volumen con respecto a la presión es decir, la derivada dv/dp. cuando P aumenta, V disminue, así que dv/dp < 0. La compresibilidad se define introduciendo un signo menos dividiendo esta derivada entre el volumen V: 1dV Compresibilidad isotérmica β VdP De esta manera, β mide con qué rapidez, por unidad de volumen, disminue el volumen de una sustancia cuando la presión sobre ella aumenta a temperatura constante. Por ejemplo, se encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una muestra de aire a 5 C estaba relacionado con la presión P (en kilopascals) por la ecuación 5. V P La razón de cambio V con respecto a P cuando P 50 kpa es dv 5. p 50 dp p p m / kpa 500 La compresibilidad a esta temperatura es dV β 5. p ( m / kpa )/ m VdP 50 Ejemplo 6 Sea n f(t) el número de individuos de una población animal o vegetal en el tiempo t El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t t 1 t t es n f(t ) f(t 1 ), entonces la tasa media de crecimiento durante el período de tiempo t 1 t t es n f ( t) f ( t1) tasa media de crecimiento lim t 0 t t t 1 La tasa de crecimiento instantánea se obtiene de esta tasa media de crecimiento haciendo que el período de tiempo t tienda a cero: n dn Tasa de crecimiento lim t 0 t dt Si queremos ser estrictos, diremos que esto no es mu preciso a que la gráfica real de una función población n f(t) sería una función escalonada que es discontinua siempre que ocurra un nacimiento una defunción, por lo tanto no sería diferenciable. Sin embargo, para una población animal o vegetal grande, se puede reemplazar la gráfica con una curva de aproimación suave, como en la Figura

29 9 n Figura.11 curva de aproimación alisada a una función crecimiento 0 t Para ser más específicos, consideremos una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Supóngase que mediante la realización de muestreos de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si la población inicial es n 0 el tiempo t se mide en horas, entonces f(1) n 0 f() f(1) n 0 f() f() n 0, en general, f(t) t n 0 La función población es n n 0 t Este es un ejemplo de función eponencial. En el Capítulo 6 estudiaremos las funciones eponenciales en general calcularemos sus derivadas, con lo cual determinamos la tasa de crecimiento de la población de bacterias. Ejemplo 7 Cuando se considera el flujo de la sangre a través de un vaso sanguíneo, tal como una vena o arteria, se puede suponer que la forma del vaso sanguíneo es la de un tubo cilíndrico con radio R longitud l, como se ilustra en la Figura Flujo de sangre en una arteria R r t Debido a la fricción presente en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es maor a lo largo del eje central del tubo disminue cuando la distancia r con respecto al eje aumenta hasta que v se vuelve cero en la pared. La relación entre v r está dada por la le del flujo laminar descubierta por el físico francés Poiseuille en Esta le establece que p ν ( R r ) 4ηl en donde η es la viscosidad de la sangre P es la diferencia de presión entre los etremos del tubo. Si P l son constantes, entonces v es una función de r con dominio

30 0 [O,R]. [Para una información más detallada véase D.A. McDonald, Blood Flow in Arteries (London: Arnold, 1960)]. La razón de cambio media de la velocidad de r r 1 a r r es ν ν r ν r ( ) ( ) 1 r r r 1 si hacemos r 0, se obtiene la razón de cambio instantánea de la velocidad con respecto a r: ν dν gradiente de velocidad lim r 0 r dr Utilizando la Ecuación.18, se obtiene dv P ( 0 r) Pr dr 4ηl ηl En una arteria humana normal podemos considerar η 0.07, R cm, l cm P 4000 din/cm, lo que da lugar a 4000 ν r ) ( ) ( ) 4 5 ( ) r En r 0.00 cm la sangre flue a la velocidad de ( 0.00) ( ) ν 1.11 cm/s el gradiente de velocidad en dicho punto es dν 4000( 0.00) r ( cm / s )/ cm dr Máimos Mínimos ( ) Ejemplo 1 Encontrar los números críticos de la función f definida por f() 4/ + 4 1/. SOLUCION 4 1/ 4 / f '( ) + 4 / ( 1) + 4( + 1) / f () 0 cuando -1, f () no eiste cuando 0. Tanto 1 como 0 están en el dominio de f; por lo tanto, los números críticos de f son 1 0.

31 1 Ejemplo 4 Supongamos que f es la función definida por f() La gráfica de f en [1, 4) se muestra en la Figura. La función f tiene un valor mínimo absoluto de en [1, 4). No eiste un valor máimo absoluto de f en [1, 4) a que lim f 8, pero f() es siempre menor 4 ( ) que 8 en el intervalo dado Ejemplo 5 Consideremos la función f definida por f()- - 0 La gráfica de f en (-, ] se muestra en la Figura, donde la función f tiene un valor máimo absoluto de 0 en (-, ]. No eiste valor mínimo absoluto de f en (-, ] a que lim f 9, pero f() es siempre ( ) menor que -9 en el intervalo dado Ejemplo 6 1 La función f definida por f ( ) no tiene valor máimo absoluto ni valor mínimo absoluto en (-1, 1). En la Figura se muestra la gráfica de f en (-1, 1). Observemos que lim f lim f + ( ) ( )

32 Ejemplo 7 Sea f la función definida por (1, ) f ( ) + 1 si < si1 La gráfica de f en [-5, 4] se tiene en la Figura. El valor máimo absoluto de f en [-5, 4] se encuentra en 1, f(1) ; el valor mínimo absoluto de f en [-5, 4] se encuentra en 5 f(-5) -4. Notemos que f tiene un valor máimo relativo en 1 un (-5, -4) (4, -1) (, -) valor mínimo relativo en. Notemos también que 1 es un número crítico de f, a que f no eiste en 1 que es un número crítico de f, a que f () 0. Ejemplo 8 La función f definida por 1 f ( ) no tiene valor máimo absoluto ni valor mínimo absoluto en [1, 5]. Véase en la Figura la gráfica de f; lim f, así ( ) f() puede hacerse menor que cualquier número negativo al tomar > 0 menor que una δ positiva adecuada. lim f + ; así, f() puede hacerse maor que cualquier número positivo También ( ) al tomar > 0 menor que una δ positiva adecuada! 0 -! 5 Ejemplo 9 La gráfica de la función f definida por f() Es una parábola ésta se encuentra en la Figura. El vértice de la parábola se halla en el punto (, 4) la parábola se abre hacia arriba. La función tiene un valor mínimo absoluto de 4 en. No eiste valor máimo absoluto de f. 0 (, 4)

33 Ejemplo Dada f() + + 1, encontrar los etremos absolutos de f en [-, ½]. SOLUCION Como f es continua en [-, ½], el teorema del valor etremo se puede aplicar. Para encontrar los números críticos de f, primero determinamos f : - (-1, ) 0 1 1, 7 f () + 1 f () eiste para todos los números reales, así los únicos números críticos de f serán los valores de para los cuales f () 0. Haciendo f () 0, tenemos f() ( 1)( + 1) 0 Entonces ½ -1 Los números críticos de f son 1 1 /, cada uno de estos números se encuentra en el intervalo cerrado [-, ½]. En la tabla 1 tenemos los valores de la función en los números críticos en los etremos del intervalo. El valor máimo absoluto de f en [-, ½] es, por lo tanto, el cual ocurre en 1, el valor mínimo absoluto de f en[-, ½] es 1, el cual ocurre en el etremo izquierdo. El dibujo de la gráfica de esta función en [-, ½] se muestra en la Figura. Ejemplo 4 Dada f() ( ) /, hallar los etremos absolutos de f en [1, 5]. SOLUCION Ya que f es continua en [1, 5], se puede aplicar el teorema del valor etremo. f '( ) ( ) 1/ No eiste valor alguno de para el cual f () 0. Sin embargo, como f () no eiste en, concluimos que es un número crítico de f; así los etremos absolutos ocurren a sean en o en uno de los etremos del intervalo. En la Tabla se dan los valores de la función en estos números. De la tabla concluimos que el valor mínimo absoluto de f en [1, 5] es 0 ocurre en ; el valor máimo absoluto de f en [1, 5] es 9, ocurre en 5. La gráfica de esta función en [1, 5] se muestra en la Figura. 1 5 f() 1 0 9

34 4 M M leithold Ejemplo Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de la orilla de un río; no se requiere cerca alguna del lado de la corriente. Si el material de la cerca cuesta $8 por pie lineal para los dos etremos $1 por pie lineal para el lado paralelo al río, determinar las dimensiones del campo de maor área posible que puede ser cercado con un costo de $ 600 para la cerca. SOLUCION Sea la longitud de pies de un etremo del campo; la longitud en Río pies del lado paralelo al río A, el área en pies cuadrados del campo. Véase la Figura. pie pie pie

35 5 En consecuencia, A () Puesto que el costo del material para cada etremo es de $8 por pie lineal la longitud de un etremo es de 8 dólares. Análogamente, el costo total de la cerca para el tercer lado es de 1 dólares. Entonces, () Para epresar A en términos de una sola variable, resolvemos la ecuación () para en términos de sustituimos este valor en (), quedando A como una función de, 4 A( ) 00 (4) A partir de (), si 0, 5; si 0, 00. Como ambas deben ser no negativas, el valor de que hará de A un máimo absoluto está en el intervalo cerrado [0, 5]. Ya que A es continua en el intervalo cerrado [0, 5], concluimos del teorema del valor etremo que A tiene un valor máimo absoluto en este intervalo. De la ecuación (4), tenemos 4 A( ) 00 Por tanto, 8 A' ( ) 00 Como A () eiste para toda, los números críticos de A se encontrarán haciendo A ()0, lo cual da 11½. El único número crítico de A es 11½, el cual se halla en el intervalo cerrado [0, 5]. Por lo tanto, el valor máimo absoluto de A debe ocurrir en 0, 11½, o 5. Como A(0) 0 A(5)0, mientras que A(11½)16875, concluimos que el valor máimo absoluto de A en [0,5] es ocurre cuando 11½ 150 (obtenido de la ecuación () al sustituir por 11½). Por lo tanto, la maor área posible que puede ser cercada por $ 600 es de pies esto se obtiene cuando el lado paralelo al río sea de 150 pies de largo los etremos cada uno de 11½ pies de largo. Ejemplo 4 Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máimo que pueda ser inscrito en un cono circular recto con un radio de 5 cm una altura de 1 cm. SOLUCION Sea r el radio del cilindro en centímetros; h la altura del cilindro en centímetros; V el volumen del cilindro en centímetros cúbicos. La Figura 5 ilustra el cilindro inscrito en el cono la Figura 6 ilustra una sección plana que pasa por el eje del cono.

36 6 1 cm h cm (1 - h) cm r cm 5 cm Figura 5 Figura 6 Si r 0 h 1, tenemos un cilindro degenerado, el cual es el eje del cono. Si r 5 h 0, también tenemos un cilindro degenerado, el cual es un diámetro de la base del cono. Concluimos que r está en el intervalo cerrado [0, 5] h está en el intervalo cerrado [0, 1]. La siguiente fórmula epresa V en términos de r h: V π r h (5) Para epresar V en términos de una sola variable necesitamos otra ecuación que inclua a r h. De la Figura 6, usando triángulos semejantes tenemos 1 h 1 r r h 5

37 7 Sustituendo de (6) en la fórmula (5), obtenemos V como una función de r escribimos 1 V( r) π ( 5r r ) con r en [0, 5] 5 Como V es continua en el intervalo cerrado [0, 5], del teorema del valor etremo resulta que V tiene un valor máimo absoluto en este intervalo. Los valores de r h que dan este valor máimo absoluto para V son los números que deseamos encontrar 1 V' ( r) π ( 10r r ) 5 Para encontrar los números críticos de V, hacemos V (r) 0 despejamos r; r(10 r) 0 de donde obtenemos 10 r 0 r Como V (r) eiste para todos los valores de r, los únicos números críticos de V son 0 10, ambos están en el intervalo cerrado [0, 5]. El valor máimo absoluto de V en [0, 5] debe ocurrir en 0, 10, o 5. De la ecuación (7) obtenemos V( 0) 0 V π V( 5) 0 9 Por lo tanto concluimos que el valor máimo absoluto de V es 400 π, esto ocurre cuando r. Cuando r, encontramos con la ecuación (6) que h 4. Así, el volumen máimo de un cilindro inscrito en el cono dado es π cm, lo cual ocurre cuando el radio es 10 cm la altura es 4 cm.

38 8 Ejemplo 1 Dada f() , encontrar los etremos relativos de f aplicando el criterio de la primera derivada. Determinar los valores de en los cuales ocurren los etremos relativos, así como los intervalos en los cuales f es creciente los intervalos en los cuales f es decreciente. Trazar la gráfica SOLUCION f f () eiste para todos los valores de. Haciendo f () 0, tenemos ( )( 1) 0 lo cual nos da 1 Por tanto, los números críticos de f son 1. Para determinar si f tiene un etremo relativo en alguno de esos números, aplicamos el criterio de la primera derivada. Los resultados se resumen en la Tabla 1. TABLA 1 f() f () Conclusión < 1 + f crece f tiene un máimo relativo 1 < < - f decrece 1 0 f tiene un mínimo relativo < + f crece De acuerdo con esta tabla, 5 es un valor máimo relativo de f que se presenta en 1, 1 es un valor mínimo relativo de f situado en. En la Figura se muestra un trazo de la gráfica. 0

39 9 Ejemplo Dada f ( ) si < 4 8 si hallar los etremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada. Determinar los valores de en los cuales ocurren los etremos relativos, así como los intervalos en los cuales f es creciente aquéllos en los cuales es decreciente. Trazar la gráfica. SOLUCION Si <, f (). Si >, f () -1. Como f -() 6 f + () -1, f () no eiste. Por lo tanto, es un número crítico de f. Como f () 0 cuando 0, tenemos que 0 es un número crítico de f. Aplicando el criterio de la primera derivada, resumimos los resultados en la Tabla la gráfica se muestra en la figura. Tabla 0 f() f () Conclusión < 0 - f decrece f tiene un mínimo relativo 0 < < + f crece 5 no eiste f tiene un máimo relativo < - f decrece

40 40 Ejemplo Dada f() 4/ + 4 1/, obtener los etremos relativos de f, determinar los valores de en los cuales ocurren los etremos relativos asimismo determinar los intervalos en los cuales f es creciente los intervalos donde f es decreciente. Trazar la gráfica. SOLUCION f() 4/ + 4 1/ f () 1/ + -/ -/ ( + 1). Como f () no eiste cuando 0, f () 0 cuando - 1, los números críticos de f son 1 0. aplicamos la prueba de la primera derivada resumimos los resultados de la Tabla. La gráfica se muestra en la Figura 0 Tabla f() f () Conclusión < -1 - f decrece -1-0 f tiene un mínimo relativo -1 < < 0 + f crece 0 0 no eiste f no tiene un etremo en 0 0 < + f crece Ejemplo 4 Supongamos que se calcula que t horas después de comenzar a trabajar a las 7 A.M. un obrero que labora en el departamento de ensamble ha realizado una tarea determinada de f(t) unidades f(t) 1t + 9t t 0t 5. En la tabla 1 aparecen algunos valores de la función para valores enteros de t de 1 a 5, en la Figura 1 se muestra la gráfica f en el intervalo [0, 5] f (t) t t f (t) 18 6t 6( t)

41 41 Tabla t f(t) Observemos que f (t) > 0 si 0 < t < f (t) < 0 si < t < 5. De la Definición (ii) sabemos que la gráfica de f tiene un punto de infleión en t. Del Teorema 4.4., como f (t) > 0 cuando 0 < t <, f (t) es creciente en [0, ], como f (t) < 0 cuando < t < 5, f (t) es decreciente en [, 5]. Por lo tanto, como f (t) es la tasa de variación de f(t) respecto a t, concluimos que en las tres primeras horas (de 7 A.M. a 10 A.M.) el obrero realiza su labor a una razón creciente la realiza a una tasa decreciente. En en las dos horas restantes (de 10 A.M. a 1 A.M.) t (10 A.M.) la producción del obrero es más eficiente cuando < t < 5 (después de las 10 A.M.) ha una reducción en el nivel de producción del obrero. El punto en el cual su producción es más eficiente recibe el nombre de punto de rendimiento decreciente; se trata de un punto de infleión de la gráfica de f. Ejemplo 5 Consideramos la función f definida por f() 4. f () 4 f () 1. La gráfica de f se muestra en la Figura 7. Además, f (0)0; pero como f () > 0 si < 0 f () > 0 si < 0, la gráfica es cóncava hacia arriba en los puntos de la gráfica situados inmediatamente a la izquierda de (0, 0) en los puntos inmediatamente a la derecha de (0,0). Por consiguiente (0, 0) no es un punto de infleión. 0

42 4 Ejemplo 1 La función del Ejemplo 1 de la Sección 4.4 se define como f() Determinar el punto de infleión de la gráfica de f dónde la gráfica es cóncava hacia arriba, dónde lo es hacia abajo. Trazar la gráfica correspondiente mostrar un segmento de la tangente de infleión. SOLUCION f () f () 6 1 f () eiste para todos los valores de ; así el único punto posible de infleión es aquél donde f () 0, lo cual sucede cuando. Para determinar si eiste un punto de infleión en, debemos verificar si f () cambia de signo; al mismo tiempo determinamos la concavidad de la gráfica para los intervalos correspondientes. los resultados se resumen tn la Tabla En el Ejemplo 1 de la Sección 4.4 mostramos que f tiene un valor máimo relativo en 1 un valor mínimo relativo en. La gráfica que muestra un segmento de la tangente de infleión se encuentra en la Figura. 0 Tabla f() f () f () Conclusión < - La gráfica es cóncava hacia abajo - 0 La gráfica tiene un punto de infleión < + La gráfica es cóncava hacia arriba Ejemplo Dada f() 1/, hallar los puntos de infleión de la gráfica de f determinar dónde la gráfica es cóncava hacia arriba dónde es cóncava hacia abajo. Traza la gráfica de f.

43 4 SOLUCION 1 ( ) / f ' f ''( ) 5/ 9 Ni f (0) ni f (0) eisten. En el Ejemplo ilustrativo de la Sección. se mostró que el eje es la recta tangente a la gráfica de esta ecuación en (0, 0). Además, f () > 0 si < 0 f () < 0 si > 0 0 Por lo tanto, de la Definición 4.5(ii), f tiene un punto de infleión en (0, 0). La concavidad de la gráfica se determina a partir del signo de f (). Los resultados se resumen en la Tabla. La gráfica de f se presentan en la Figura. Tabla f() f () f () Conclusión < + - f crece; la gráfica es cóncava hacia arriba 0 no eiste no eiste La gráfica tiene un punto de infleión 0 < + - f crece; la gráfica es cóncava hacia abajo Ejemplo Si f() (1 ), obtener los puntos de infleión de la gráfica de f determinar dónde la gráfica es cóncava hacia arriba dónde es cóncava hacia abajo. Trazar la gráfica de f. SOLUCION f () -6(1 ) f () 4(1-) Tabla 4 f() f () f () Conclusión < ½ + La gráfica es cóncava hacia arriba ½ La gráfica tiene un punto de infleión ½ < - La gráfica es cóncava hacia abajo 0! 1 Ya que f eiste para todos los valores de, el único punto posible de infleión es aquél donde f () 0, es decir, en ½. A partir de los resultados resumidos en la Tabla 4, vemos que f () cambia signo de + a en ½ ; así pues, la gráfica tiene un punto de infleión ahí. Notemos también que debido a que f (½) 0, la gráfica tiene una recta tangente horizontal en el punto de infleión. La gráfica se muestra en la Figura. M M Leithold

44 44 Ejemplo Dada f ( ) + 4, obtener los máimos mínimos relativos de f aplicando el criterio de la segunda derivada. Trazar la gráfica de f. SOLUCION Se calculan la primera segunda derivadas de f. f () f () Sea f () 0. 4( + )( 1) Así los números críticos de f son, 0 1. Determinamos si eiste o no un etremo relativo en cualquiera de estos números críticos obteniendo el signo que la segunda derivada tenga ahí. Los resultados se resumen en la Tabla Tabla 1 f() f () f () Conclusión f tiene un valor mínimo relativo f tiene un valor máimo relativo f tiene un valor mínimo relativo De la información que aparece en la tabla trasladando a los ejes coordenados unos cuantos puntos más obtenemos la gráfica de f que se muestra en la Figura

45 45 Ejemplo Dada f() / 1/ determinar los etremos relativos de f mediante la aplicación del criterio de la segunda derivada cuando sea posible. Utilizar la segunda derivada para obtener cualesquiera puntos de infleión de la gráfica de f determinar dónde la gráfica es cóncava hacia arriba dónde lo es hacia abajo. Trazar la gráfica correspondiente. SOLUCION f '( ) / / f ''( ) / + / 9 9 Como f (0) no eiste, 0 es un número crítico de f. Otros números críticos se obtienen estableciendo que f ( ) / / 1/ 0 1/ De este modo, 1 es también número crítico. Podemos determinar si ha un etremo relativo en 1 aplicando el criterio de la segunda derivada. No podemos utilizar la prueba de la segunda derivada en el número crítico 0, a que f (0) no eiste. Aplicamos el criterio de la primera derivada en 0. La tabla muestra los resultados de estas pruebas. Ya que f (0) no eiste (0, 0) es un posible punto de infleión. Para determinar otros posibles puntos de infleión hacemos f () / 9 / - 1/ / 8 Para determinar si ha puntos de infleión donde es 0 8, se verifica si f () cambia de signo; al mismo tiempo aprendemos acerca de la concavidad de la gráfica en los intervalos respectivos. En un punto de infleión se necesita que la gráfica tenga una recta tangente ahí. En el origen ha una recta tangente vertical a que 1/ lím f '( ) lím 0 0 / La tabla resume los resultados con los cuales se obtiene la gráfica de la Figura 7. Tabla f() f () f () Conclusión

46 46 < f decrece; la gráfica es cóncava hacia abajo 0 0 no eiste no eiste f no tiene un etremo relativo; la gráfica tiene un punto de infleión. < 0 < f decrece; la gráfica es cóncava hacia arriba f tiene un valor mínimo relativo; la gráfica es cóncava hacia arriba. 1 < < f crece; la gráfica es cóncava hacia arriba /6 0 f crece; la gráfica tiene un punto de infleión. 8 < + - f crece; la gráfica es cóncava hacia abajo.

47 47 Ejemplo Dada f ( ) 4 Trazar la gráfica de f siguiendo las instrucciones del Ejemplo. Obtener asimismo las asíntotas horizontales verticales. SOLUCION El dominio de f es el conjunto de todos los números reales ecepto ±. El único punto donde la gráfica corta a un eje es en el origen. Ya que f (-) f(), la gráfica es simétrica con respecto al eje. f ' ( ) ( ) ( ) ( 4) 4 8 f '' ( ) ( 4 ) ( 4) ( ) ( )( ) 4 ( 4) Hagamos f () 0 para obtener 0; f () nunca es cero. Para la Tabla consideramos los puntos en los cuales 0 ± porque no están en el dominio de f. También para la tabla considérense los intervalos que ecluen estos valores de : < - - < < 0 0 < < < Como se ecluen del dominio de f, calculamos los siguientes límites: lim lim lim lim Por lo tanto, - son asíntotas verticales de la gráfica 1 1 lim lim lim lim Por tanto, 1 es una asíntota horizontal de la gráfica. Con los datos de la Tabla, las asíntotas como guía el trazo de algunos puntos, obtenemos la gráfica de f que se muestra en la Figura

48 48 Tabla f() f () f () Conclusión < f crece; la gráfica es cóncava hacia arriba. - no eiste no eiste no eiste f crece; la gráfica es cóncava hacia abajo f tiene un máimo relativo f decrece; la gráfica es cóncava hacia arriba. 0 < < - - f decrece; la gráfica es cóncava hacia abajo. no eiste no eiste no eiste < - + f decrece; la gráfica es cóncava hacia arriba. Ejemplo 4 Dada f 5 / 5/ ( ) Trazar la gráfica de f siguiendo las instrucciones del Ejemplo. SOLUCION El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. La intercepción es 0. Al hacer f() 0 obtenemos / (5 ) En consecuencia, las intercepciones son f ' / / 4/ 1/ ( ) f '( ) 5 1/ 10 4/ ( ) ( 1 ) 9 + Cuando 0, ni f () ni f () eisten. Hagamos f () 0 para obtener 0. Por lo tanto los números críticos de f son 0. A partir de f () 0, obtenemos -1. Al elaborar la tabla, considérense los puntos en los cuales es 1, 0, los siguientes intervalos: < -1-1 < < 0 0 < < <

49 49 El dibujo de la gráfica construida a partir de la información de la Tabla con el trazo de algunos puntos, se muestra en la Figura. (-1,6) (, 4 ) 0 Tabla f() f () f () Conclusión < f decrece; la gráfica es cóncava hacia arriba f decrece; la gráfica tiene un punto de infleión. -1 < < f decrece; la gráfica es cóncava hacia abajo. 0 0 no eiste no eiste f tiene un máimo relativo 0 < < + - f crece; la gráfica es cóncava hacia abajo f tiene un máimo relativo; la gráfica es cóncava hacia abajo. < - - f decrece; la gráfica es cóncava hacia abajo. Ejemplo Dada f() , hallar los etremos absolutos de f en (-, + ), si los ha. SOLUCION f () f () f () eiste para todos los valores de. Hacemos f () 0 obtenemos 1( + 1) 0 Ya que la ecuación sólo tiene raíces imaginarias, la única solución real es 1. Por lo tanto, f (1) 0. Para determinar si f(1) es un etremo relativo, aplicamos la prueba de la segunda derivada; los resultados de esta prueba se resumen en la Tabla. f() f () f () Conclusión f tiene un valor mínimo relativo l función de f es continua en (-, + ), el único etremo relativo de f en (-, + ) está en 1. Por lo tanto, del Teorema 4.8 (ii) concluimos que, el valor mínimo relativo de f, es el valor mínimo absoluto de f.

50 50 Ejemplo 1. Encontrar los intervalos en los que la función ( ) 4 f es creciente en los que es decreciente. Solución: ( ) f ( )(+ 1) (-1, 0) (0, 5) Figura.18 (, -7) Para utilizar el teorema.19 se debe saber en donde f' ( ) > 0 en donde f' ( ) < 0. Esto depende de los signos de los factores de f' ( ) -es decir, 1, +1. Dividimos la recta real en intervalos cuos etremos sean los números críticos- 1, 0 elaboramos una tabla. Un signo más indica que la epresión dada es positiva un signo menos indica que la epresión dada es negativa. La última columna de la tabla proporciona la conclusión con base en el Teorema.19. A partir de esta información de los valores de f en los números críticos, trazamos la gráfica de f en la Figura.18 Intervalo f () f X < decreciente en (-, 1] -1 < < Creciente en [-1, 0] 0 < < Decreciente en (0, ] X > Creciente en [, ) Ejemplo. /5 Encontrar los etremos locales de f () (1 ) trazar su gráfica. Solución: Primeramente se encuentran los números críticos de f. ( ) /5 /5 f' (1 ) + ( 1 ) ( 1) 5 5( 1 ) 5 7 /5 /5 5( 1 ) 5( 1 ) 5 La derivada f' ( ) 0, cuando 5 7 0, esto es. Además, f' ( ) no eiste cuando 7 1, de modo que los números críticos son Al igual que se hizo en el Ejemplo 1, a continuación elaboramos una tabla, dividiendo la recta real en intervalos con los números críticos como etremos. Intervalo 5-7 (1-) /5 f () f

51 51 5 < < < creciente en decreciente en 5,7 5,1 7 > creciente en [1, ) De la tabla podemos ver que 1 0 Figura.0 (1 - ) /5 1 cambia de positiva a negativa en valor máimo local es 5 5 f /5 ( ) f' 5 7 el Puesto que f' ( ) cambia de negativa a positiva en 1, f(1) 0 es un mínimo local. Estos valores máimo mínimo la información de la tabla se utilizan para trazar la gráfica de la Figura.0. Obsérvese que la curva no es suave en (1, 0), sino que tienen una esquina en ese punto (llamado vértice). Esto es debido a que ( ) f' 1 no eiste. Ejemplo. Encontrar los valores etremos locales absolutos de la función ( ) f ( ), 1. Trazar su gráfica. Solución: Utilizando la Regla del Producto, se tiene f' ( ) ( ) + ( ) ( )( 5 6). Para encontrar los números críticos hacemos f' ( ) 0 se obtiene determinar si dan lugar a valores etremos se elabora la tabla siguiente: 6 0,,. Para Intervalo f () f -1 < creciente en [-1, 0] 0 < < creciente en 0, 6 < decreciente en, < creciente en [, ]

52 (-1, -9) 0 (- ) Figura.1 (, 7) Obsérvese que f' ( ) no cambia de signo en 0, así que por la parte (c) del criterio de la primera derivada, f no tiene máimo ni mínimo en 0. [El único significado de f' ( 0) 0 es que la tangente es horizontal en ese punto]. Puesto que f' cambia de positiva a negativa en, 6 6 f, f ( 1.) ( 0.8) es un máimo local. puesto que f cambia de negativa a positiva en, f ( ) 0 es un mínimo local. Para encontrar los valores etremos absolutos calculamos f en los etremos del intervalo: f ( 1) 9 f ( ) 7 Utilizando el procedimiento descrito en (.8) se comparan estos valores con los valores 6 de f en, 5 mínimo absoluto es f(-1) -9. La gráfica de f se muestra en la figura.1. obtenemos que el valor máimo absoluto es f ( ) 7 el valor Ejemplo 4. Probar que la desigualdad (1+) n > 1 + n es verdadera, siempre que > 0 n > 1. Solución: Considérese la diferencia f() (1+) n -(1+n) Entonces f () m(1+) n-1 -n n[(1+) n-1 1] Puesto que > 0 n 1 > 0, se tiene (1 + ) n-1 > 1, así que f () > 0. Por lo tanto, f es creciente en [0, ). En particular, f(0) < f() cuando 0 >. Pero f(0) 0, así que 0 > (1+) n - (1+n) por lo tanto (1+) n > 1 + n cuando > 0. Ejemplo 1. Determinar en dónde la curva + 1 es cóncava hacia arriba en dónde es cóncava hacia abajo. Encontrar los puntos de infleión trazar la gráfica de la curva. Solución: Si f() + 1, entonces f () ( 1) Puesto que f () 0, cuando 1, los números críticos son ± 1. Además