Tema 7: ANÁLISIS FACTORIAL Y ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

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1 Tema 7: ANÁLISIS FACTORIAL Y ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES. Intoducción al Análisis Multivaiante.. Distibuciones multivaiantes.. Estimación untual en distibuciones multivaiantes..3 Ejemlos en distibuciones multivaiantes.. Análisis factoial.. Definición del modelo factoial.. Estimación del modelo factoial otogonal..3 Rotaciones factoiales..4 Puntuaciones factoiales..5 Tests de hiótesis en modelos factoiales..6 Fases de un análisis factoial. 3. Análisis de comonentes inciales. 3. Definición de las comonentes inciales. 3. Estimación del análisis de comonentes inciales. 3.3 Estuctua factoial y untuaciones de las comonentes inciales. 3.4 Elección del númeo de comonenetes a considea. 3.5 Fases de un análisis de comonentes inciales. 4. Pácticas con SPSS 4. Análisis multivaiante mediante SPSS. 4. Análisis factoial mediante SPSS. 4.3 Pácticas de Análisis multivaiante 4.4 Pácticas de Análisis factoial con SPSS 4.5 Pácticas de Análisis de comonentes inciales con SPSS Maía José del Moal Ávila

2 Intoducción al Análisis Multivaiante El Análisis Multivaiante engloba divesos métodos oientados a la síntesis de gandes cantidades de datos de foma que, eliminando la infomación edundante contenida en ellos, conseven la máima infomación de inteés aa los objetivos del estudio.. Distibuciones multivaiantes Distibución multivaiante es la distibución de un vecto aleatoio -dimensional ' ( ) ( ) de elementos vaiables aleatoias univaiantes con función de distibución F i ( i ). Función de distibución de F ( ) P[,,, ], (,,, )' Si i es vaiable aleatoia disceta, seá un vecto aleatoio disceto con función de masa de obabilidad [ ] P[,,, ] Si F ( ) es continua en,,, con < i <, i, y eiste una función no negativa f ( ) tal que ( ) ( ), (,,, )' y y F f dy dy dy y y y seá un vecto aleatoio continuo de función de densidad f ( ). Si las comonentes,,, son indeendientes F ( ) F ( ) i i i o, equivalentemente, f ( ) f ( ), ( ) ( ) i i i i i i Maía José del Moal Ávila

3 Distibuciones maginales Dada f ( ), la función de densidad de,,, q ( q< ) se obtiene integando f ( ) sobe el dominio de las vaiables que no están es el subconjunto consideado: F (,,, ) f( ) d d d,, q q q+ q+ Dada ( ), la función de masa de obabilidad de,,, q ( q< ) se obtiene sumando ( ) sobe el dominio de las vaiables q+, q+,, : (,,, ) ( ),, q q ( q+, q+,, ) ℵ Distibuciones condicionadas Dada f ( ), la función de densidad condicionada de,,, q al subconjunto de comonentes q+, q+,, donde q+ q+, q+ q+,, viene dada o: f( ) f,,,,,, (,,,,,, ) q q q q q q f (,,, ) q+, q+,, q+ q+ sieme que f,,, (,,, ) q q q q >0. Dada ( ), la función de masa de obabilidad condicionada de,,, q al subconjunto de comonentes q+, q+,, donde q+ q+, q+ q+,, viene dada o: ( ),,,,,, (,,,,,, ) q q q q q q (,,, ) q+, q+,, q+ q+ 3 Maía José del Moal Ávila

4 Eseanza matemática de matices y vectoes aleatoios Dada una matiz aleatoia q q q de dimensión q (las comonentes ij son vaiables aleatoias) la eseanza matemática de se define E [ ] E [ ] E [ ] E [ ] E [ ] E [ ] E[ ] E [ q] E [ q] E [ q] su eseanza matemática viene dada o Dado el vecto aleatoio ( ) ' ( ) ' E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] Se sigue que aa matices cualesquiea A, B y C de constantes eales y aa cualquie matiz aleatoia E[ AB + C] AE[ ] B + C Covaianza de un vecto aleatoio Dado el vecto aleatoio con eseanza E [ ] µ se denomina matiz de covaianza de a la matiz E[( µ ) ] E[( µ )( µ )] E[( µ )( µ )] E[( )( )] E[( ) ] E[( )( )] Cov[ ] E[( )( )'] µ µ µ µ µ -µ -µ E[( µ )( µ )] E[( µ )( µ )] E[( µ ) ] que se denota Σ ( ). Una matiz es la covaianza de un vecto aleatoio sii es definida no negativa. σ ij 4 Maía José del Moal Ávila

5 Coeficiente de coelación de Peason Sea un vecto aleatoio con covaianza Σ(σ ij ). Entonces σ ij ρij σσ i j se denomina coeficiente de coelación de Peason ente las i-ésima y j-ésima comonentes del vecto. Función caacteística de un vecto aleatoio Paa cualquie vecto t ( t, t,, t )' eal la función caacteística de un vecto aleatoio se define como it ' ( t ) [ ] φ Ee donde i(-) /. Puesto que it ' E[ e ], () t sieme eiste. φ. Estimación untual en distibuciones multivaiantes En esta sección analizamos el oblema de la estimación untual de la media µ y la covaianza Σ de un vecto aleatoio y de algunas funciones suyas en base a la infomación contenida en una muesta aleatoia. Sea,,, N una muesta aleatoia de tamaño N de un vecto (,,,, ) con distibución F (). La matiz de datos se obtiene disoniendo en foma de tabla los datos de cada individuo de la muesta: Vaiable Vaiable Vaiable Vaiable Individuo Individuo N N N3 N Individuo N ij : Valo que toma la vaiable j-ésima del vecto, j, aa el individuo i-ésimo de la muesta aleatoia, i. 5 Maía José del Moal Ávila

6 Vecto de medias Estimado untual del vecto µ, vecto de comonentes la media muestal coesondiente a los valoes de cada vaiable del vecto aleatoio : N N N N,,,,,,,, N N n N ' ' ( ) 3 3 Matiz de vaianzas-covaianzas La disesión de cada vaiable se estima a ati de la vaianza suministada o sus N datos: s j N ( ) j j N Paa la covaianza ente las vaiables i-ésima y j-ésima se utiliza la eesión s ij N ( )( ) i i j j N Estas medidas se ueden euni en la conocida como matiz de vaianzas-covaianzas s s s3 s s s s3 s s s s s3 s El signo de cada s ij indica el sentido de la vaiación conjunta de las vaiables i-ésima y j-ésima. Si la covaianza es ositiva, ambas vaiables vaían en el mismo sentido y si es negativa en sentido contaio. Matiz de coelaciones Paa cada a de vaiables se uede estima el coeficiente de coelación de Peason mediante ij sij ss i j cuyo valo final está comendido ente (elación negativa efecta) y (elación ositiva efecta) y es adimensional. Un valo 0 indica que no eiste elación lineal. 6 Maía José del Moal Ávila

7 La matiz de coelaciones seá Datos tiificados Un dato se tiifica cuando se le esta la media de la vaiable y se divide o su desviación tíica: z ij ij s jj j Es fecuente tabaja con datos tiificados (estandaizados) cuando las vaiables se egistan en unidades difeentes o cuando unas vaiables son mucho más disesas que otas. La tiificación ondá las vaiables en una escala común simlificando así su manejo. Nube de untos aa aes de vaiables Reesentación gáfica de una vaiable fente a ota aa cada a de vaiables. Pemite decidi si enta cada a de vaibles eiste elación lineal o no..3 Ejemlos en distibuciones multivaiantes. EJEMPLO Se considean las vaiables Mat, Fis, Qui, Fil, Ing, Bio y Leng coesondientes a las calificaciones en las mateias Matemáticas, Física, Química, Filosofía, Inglés, Biología y Lengua, esectivamente. Se disone de una muesta aleatoia de individuos. Detemínese el vecto de medias, la matiz de vaianzas y covaianzas y la matiz de coelaciones. 7 Maía José del Moal Ávila

8 Maía José del Moal Ávila DATOS Individuo Individuo Individuo 3 Individuo 4 Individuo 5 Individuo 6 Individuo 7 Individuo RESOLUCIÓN El vecto de medias es un vecto aleatoio de dimensión 7 de comonetes las medias muestales aa cada vaiable: Po ejemlo, Mat Fis Qui Fil Ing Bio Leng

9 La matiz de vaianzas y covaianzas viene dada o ( i i )( j j ) s ( sij ) Po ejemlo, s ( )( ) ( ) s ( ) s La matiz de coelaciones es s ij ( ij ) ss i j Po ejemlo, s ss Maía José del Moal Ávila

10 EJEMPLO Se considean 3 vaiables aleatoias, Y y Z de las que se disone de una muesta de tamaño 5. Detemínese la matiz de covaianzas e inteétese el esultado. Detemínese la matiz de coelaciones, deduciendo de ella el gado de deendencia ente las vaiables. DATOS RESOLUCIÓN Y Z A la vista de los esultados de la matiz de vaianzas y covaianzas se uede deci que, uesto que todas las covaianzas son ositivas, todos los aes osibles de vaiables vaían en el mismo sentido alededo de sus medias ( i i )( j j ) s ( sij ) En cuanto a las coelaciones, s ij ( ij ) ss i j Se obseva que el coeficiente de coelación ente las vaiables e Y es 0.990, el coeficiente de coelación ente las vaiables y Z es 0.90 y el coeficiente de coelación ente las vaiables Y y Z es 0.93, lo que indica la fuete deendencia lineal ente cada a de vaiables. 0 Maía José del Moal Ávila