RELACIONES y FUNCIONES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II Hábitos de estudio necesarios para tener éxito: 1. Mantenga una actitud positiva. Usted puede aprender. 2. Asista a clase y participe. Pregunte cuándo no entienda, pida aclaraciones. 3. Haga los ejercicios asignados diariamente y pregunte lo que no entienda. 4. Aprenda cómo y cuándo usar la calculadora 5. Busque ayuda: su maestro, estudiantes-tutores, libros, tutorías en internet, etc. 6. Prepárese para los exámenes y repase los ejercicios, volviendo a hacerlos. RELACIONES y FUNCIONES En matemáticas, una asociación entre variables que cambian juntas (como el tiempo y la altura) se llama relación. Una relación asocia los elemento de un conjunto A con elementos de un conjunto B. Las relaciones pueden representarse de diferentes maneras: (1) Como un conjunto de pares ordenados (2) Por medio de una tabla de valores (3) Por medio de un mapeo (4) Por medio de una gráfica (5) Por medio de una fórmula o descripción de cómo se relacionan las dos variables. X Y a 5 a 3 b 7 d 4 e 6 El conjunto formado por todas las primeras componentes en la relación se llama Dominio de la relación. Dominio = {a, b, d, e} El conjunto formado por todas las segundas componentes en la relación se llama Rango de la relación. Rango = {3, 4, 5, 6, 7} Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del rango. En un conjunto de pares ordenado o en una tabla de valores, las primeras componentes no se repiten de un par a otro. En un diagrama de mapeo, no sale más de una flecha de cada valor de la primera burbuja. En una gráfica, no hay más de un punto sobre ningun valor en el eje horizontal. 1

2 Cuando la gráfica de la función tiene muchos puntos suele aplicarse la prueba de la recta vertical, que consiste en barrer el plano de la gráfica con una línea vertical (como un scanner). La linea no debería tocar la gráfica en más de un punto en cualquier parte del plano. Si lo hace, la relación no es una función. Ejemplos: La gráfica A representa una función. La gráfica B no representa una función porque la línea vertical toca dos puntos donde se muestra. Los conceptos de Dominio y Rango de una función son los mismos que en una relación, ya que una función es solo un tipo especial de relación. Ejemplo: F = {(-2, 1), (0, 4), (1, -3), (2, 0), (5, 1)} es una función porque ninguna de las primeras componentes de los pares ordenados se repite. Dominio = {-2, 0, 1, 2, 5} Rango = {1, 4, -3, 0} Si se nos dá una función en formato de fórmula, a menos que se especifique lo contrario, se considerará el dominio como el conjunto de todos los números reales para los cuales pueden realizarse las operaciones indicadas en la fórmula. Ejemplos: a. y = 3x + 4 Como las operaciones indicadas (producto y suma) pueden realizarse con todos los números, el dominio de la función serán todos los números reales. Dom f = R b. y = 1/x Como el único problema posible sería tratar de dividir entre cero, el dominio de la función serán todos los números reales excepto el cero. Dom f = R {0} c. y = x Como en los números reales no se pueden sacar raices cuadradas a números negativos, exigiremos que x sea mayor o igual que cero. Dom f = [0, + [ d. y = 1/ x Debido a la raiz cuadarada, x no puede ser negativo, pero como tambien esta en el denominador, tampoco puede ser cero. El dominio de la función serán solo los números positivos. Dom f = ] 0, + [ A la variable que representa los elementos del dominio de la función se le denomina variable independiente. A la variable que representa los elementos del rango de la función se le denomina variable 2

3 dependiente, porque sus valores se calculan a partir de los valores de primera, dependen de ella. La notación de función, en la que y = f(x) es una manera de escribir funciónes en la que se da el nombre de la función (f), la variable independiente (x), la variable dependiente (y) y la fórmula para calcular el valor de ésta. f(x) = 2x 5 tiene la ventaja sobre la notación y = 2x -5, de que cuando se quiere indicar que hay que evaluar la función calcular el valor de y para un determinado valor de x, basta sustituir ese valor en el paréntesis donde originalmente estaba la x. Asi, f(3) es lo mismo que decir el valor de y cuando x = 3 Para éste ejemplo en particular, f(3) = 2(3) 5 = 6 5 = 1 FUNCIONES LINEALES Una función de primer grado se denomina función lineal porque su gráfica es siempre una línea recta. Sabiendo esto y que dos puntos determinan una recta solo necesitamos dos puntos y una regla para poder graficar la función. Existen tres tipos de formato para funciónes lineales: Forma General: Ax + By C = 0 o Ax + By = C Forma pendiente-intercepto: y = mx + b Forma pendiente-punto: y- y o = m(x x o) La Forma General se usa generalmente para describir una relación lineal entre dos variables en las que ninguna de las dos depende con más fuerza de la otra o cuando se quiere tener versatilidad en cuanto a cuál se usara como variable independiente. Ejemplo: Se venden ramilletes de flores en presentaciones de 3 o 5 flores y hay 72 flores disponibles. Si x es el número de ramilletes de 3 flores y y es el número de ramilletes de 5 flores, la ecuación 3x + 5y = 72 des-cribe la relación entre ambas variables. Algunas ecuaciones de oferta o demanda se presentan a veces en este formato. Los valores de A, B y C no representan nada en particular en la grafica de la funcion. La forma pendiente-intercepto o pendiente-ordenada en el origen se usa muy frecuentemente. En estas, b generalmente representa un valor inicial o un valor fijo y m representa la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Ejemplo: en una ecuación de costos C(x) = 75x + 12,000, el intercepto, b, (12,000) representa los costos fijos y la pendiente (75) representa el costo variable por unidad producida. Funciones de costos, ingresos y utilidad se presentan en este formato. En la gráfica, b es el valor donde la recta cruza el eje y; m indica la dirección e inclinación de la recta. Más adelante se darán más detalles al respecto. La forma pendiente-punto suele utilizarse como una forma de transición para colocar los datos de un problema en la relación apropiada para después convertir la ecuación a una de las formás anteriores. Sin embargo, es un formato aceptable en sí mismo. Ejemplo: Por el pago Lps 500 de membresía de un sitio se tiene derecho a 10 visitas sin cargo al mes y se 3

4 pagan Lps 35 por cada visita adicional. Si x es el número de visitas y y la cantidad pagada, la ecuación, y 500 = 35(x 10) representa la situación para x 10. En la gráfica, la recta pasa por el punto (x o, y o); m tiene el mismo significado que en la forma anterior. Todos los formatos pueden convertirse a la Forma General y a la forma pendiente-intercepto por medio de manipulaciones algebraicas. De la Forma General a la forma pendiente-intercepto: 3x + 5y = 12 5y = -3x + 12 y = -3/5 x + 12/5 y = -0.6 x De la forma pendiente-punto a la forma pendiente-intercepto: y 500 = 35(x 10) y 500 = 35x 350 y = 35x y = 35x De la forma pendiente-intercepto a la Forma General: y = 75x + 12,000 y - 75x = 12,000-75x + y = 12,000 De la forma pendiente-punto a la Forma General: y 500 = 35(x 10) y 500 = 35x 350 y 35x = x + y = 150 No suele convertirse de los otros formatos a la forma pendiente-punto. La Pendiente de una Recta La pendiente de una recta describe el grado de inclinación de la misma. Si la pendiente es positiva, la recta va hacia arriba y si la pendiente es negativa, la recta va hacia abajo, cuando nos movemos de izquierda a derecha. Rectas horizontales tienen pendiente cero. m > 0 m = 0 m < 0 Las rectas verticales, en realidad no son funciones, y su pendiente no está definida. 4

5 Si no se presta atención al signo, rectas con pendientes mayores seran más empinadas y rectas con pendientes menores seran más tendidas : m = 2 m = 1 m = 1/6 Para rectas que con pendiente positiva m = -2 m = -1 m = -1/6 Para rectas que con pendiente negativa Cálculo de la pendiente de una recta dados dos puntos. Si la recta está ubicada en el plano cartesiano es posible determinar la pendiente de la recta a través de cualesquiera dos puntos distintos de la recta, P 1 (x 1,y 1) y P 2 (x 2,y 2). Podemos expresar la pendiente en términos de las coordenadas de los puntos, Obsérvese que la pendiente de rectas verticales no esta definida el denominador sería cero. 5

6 Ejemplos: 1) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 8) y (4,-2) = = = 2 ( ) 2) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 16) = = =3 ( ) 3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 4) y (2, 4) = = =0 la recta es horizontal ( ) 4) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (2, 7) = = indefinida la recta es vertical Encontrar la Ecuación de una Recta 1) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 5 e intercepto en y, -2. m = 5, b = -2 = 5 2 2) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente -3 y que pasa por (0, 7). Note que el punto (0, 7) es el intercepto en y, asi que m = -3, b= 7 = ) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 2 y que pasa por (3, 10) y 10 = 2 (x 3) y 10 = 2x 6 y = 2x = ) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente -5 y que pasa por (2, 0) Note que (2,0) no es el intercepto en y, sino en x. Se trabaja como otro punto cualquiera. y 0 = -5 (x 2) = ) Encontrar la ecuación de la recta horizontal que pasa por (2,7) y = 7 6) Encontrar la ecuación de la recta vertical que pasa por (2,7) x = 2 7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 8) y (4,-2) = = = 2 ( ) Ya que tenemos la pendiente, usamos uno cualquiera de los puntos que nos dieron para encontrar la ecuación. Da lo mismo cual. Solo use uno, da lo mismo cual. Aquí mostramos el trabajo con cada uno solo para mostrar que el resultado final es el mismo. 6

7 y 8 = -2(x-(-1)) y -(-2) = -2(x 4) y 8 = -2(x + 1) = -2x 2 y + 2 = -2x + 8 y = -2x = = EJERCICIOS de PRÁCTICA: Encuentre la ecuación de la recta con las siguientes características. 1. Pasa por los puntos (3,-7) (1,0) 2. Pasa por los puntos(3,2) (-1,-2) 3. Pasa por los puntos(-4,-1) (1,-1) 4. Pasa por los puntos(-4,5) (-4,8) 5. Pasa por (3,5) con pendiente 3 6. Pasa por (-3,1) con pendiente 1/4 7. Pasa por (4,-3) con pendiente 0 8. Pasa por (0,5) con pendiente indefinida GRAFICAR FUNCIONES LINEALES Por medio de tabla de valores Si la ecuación de la recta esta en forma pendiente-intercepto, resulta fácil crear una tabla de valores de tres entradas para graficar la linea. En realidad solo necesitamos dos puntos para graficar una linea recta, pero se calcula el tercero para poder detectar si cometimos algún error en los cálculos --si los tres puntos resultan no estar alineados, hay que revisar los cálculos. Incluya siempre (0, b) porque no añade cálculos. Ejemplo: Grafique = 3 2 usando una tabla de valores Hacemos los cálculos para tres valores de x. Estos valores son arbitrarios (usted los escoge a su gusto). Aqui usaremos 0, 2 y 4 x = 0 y = -2 x = 2 y = 3 (2) 2 = 6 2 = 4 x = 4 y = 3 (4) 2 = 12 2 = 10 x y Si la ecuación de la recta está en otro formato, deberá convertirla a la forma pendiente-intercepto antes de usar este método. Si la pendiente es una fracción, se recomienda utilizar como valores de x múltiplos del denominador de la misma. 7

8 Ejemplo: Grafique = 1 usando una tabla de valores Utilizamos múltiplos de 5 (el demominador) como valores de x: -5, 0 y 5 x = -5 y = ( 5) 1= 1= 2 1= 3 x = 0 y = (0) 1= 0 1= 1 x = 5 y = (5) 1= 1= 2 1=1 x y EJERCICIOS: Grafique utilizando una tabla de valores de tres lineas. 1. = = = = 1 5. = + 6 Utilizando el concepto de pendiente Este es un procedimiento muy ágil para graficar cuando la ecuación de la recta está en forma pendienteintercepto o en forma pendiente-punto. Recuerde que la pendiente representa la tasa de cambio en y con respecto al cambio en x. = Si tenemos una recta con pendiente 2, la reescribimos como 2/1 y tenemos que el valor de y sube dos unidades por cada unidad que avanza el valor de x, o como -2/(-1) y tenemos que el valor de y baja dos unidades por cada unidad que retrocede el valor de x. Si la recta tiene pendiente -2, la reescribimos como -2/1 y tenemos que el valor de y baja dos unidades por cada unidad que avanza el valor de x, o como 2/(-1= y tenemos que el valor de y sube dos unidades por cada unidad que retrocede el valor de x. 8

9 Pero ya sea para subir o bajar en y, avanzar o retroceder en x, necesitamos un punto de partida, y ese es el intercepto en y cuando la función está en forma pendiente-intercepto. 2 unidades 1 unidad 2 unidades 1 unidad y= 2x + 3 y= -2x + 5 Si la pendiente fuera una fraccion, como 2/3, no necesitamos reescribirla. El valor de y sube dos unidades por cada tres unidades que avanza el valor de x, o como -2/-3 y tenemos que el valor de y baja dos unidades por cada tres unidades que retrocede el valor de x. 2 unidades 3 unidades y = 2/3 x + 3 Para más ayuda, puede ver el tutorial Si la ecuación de la recta estuviera en forma pendiente-punto, el procedimiento es el mismo, pero en lugar de arrancar del intercepto en y, se arranca desde el punto (x o, y o). Ejemplo: y + 1 = 3 (x 2) punto: (2, -1) pendiente: 3 = 3/1 (el punto negro) 1 unidad 3 unidades 9

10 Este método resulta muy ágil para graficar la mayor parte de las ecuaciones que se encuentran en los textos de álgebra, donde los coeficientes (pendiente e intercepto en y) son valores de magnitudes similares. En problemas de aplicación, sin embargo, los coeficientes toman valores difíciles de manejar en la misma escala y el método que sigue resulta más práctico. EJERCICIOS: Grafique directamente sobre papel cuadriculado 1. = = = = 4 5. = = 3( 1) 7. 3 = 2 ( 4) = 5( + 1) = 2 ( 3) = 4 ( + 3) Por medio de interceptos en los ejes Los interceptos en los ejes son los puntos donde la linea cruza los ejes x e y. Se encuentran calculando el valor de y cuando x = 0, y el valor de x cuando y = 0 Ambos se obtienen muy fácilmente a partir de ecuaciones en Forma General y con un poco más de trabajo en los otros formatos. Ecuación de la recta: 3x + 5y = 12 si x= 0 3 (0) + 5y = 12 5y = 12 y = 12/5 = 2.4 x y si y= 0 3x + 5(0) = 12 3x = 12 x = 12/3 = 4 Ecuación de la recta: y 10 = 3 (x 2) si x=0 y 10 = 3 (0 2) y 10 = 3 (-2) y 10 = -6 y = = 4 si y = = 3(x 2) -10 = 3x 6 3x 6 = -10 3x = x = -4 x = -4/3 = x y

11 Ecuación de la recta: y = 3x + 2 si x= 0 y = 3 (0) + 2 y = 2 si y = 0 0 = 3x + 2 3x + 2 = 0 3x = -2 x = -2/3 = x y Cuando al calcular el primer intercepto este resulta ser (0,0), no se puede graficar con solo los interceptos, porque los dos resultan ser el mismo punto. Habrá que conseguir algun otro punto, sustituyendo x por el valor que querramos, que no sea cero. Ecuación de la recta: 3x 5y = 0 Si x = 0 3(0) 5y = 0 5y = 0 y = 0 Si x = 5 3(5) 5y = y = 0-5y = -15 y = -15/(-5) y = 3 x y Ecuación de la recta: y = -2x Si x = 0 y = -2(0) = 0 Si x = 3 y = -2(3) = -6 x y EJERCICIOS: Grafique utilizando interceptos = = = = = = = = = = = 3( 1) = 2 ( 4) = 5( + 1) = 2 ( 3) = 4 ( + 3) 11

12 EJERCICIOS de PRÁCTICA: Grafique las siguientes funciónes lineales, usando el método que más le convenga en cada caso = = = = = 0 6. = = = 0 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES A continuación se presentan ejemplos de ejercicios de aplicación de ecuaciones lineales en ciencias economicas. 1) Un departamento de policía estima que el costo total C de tener y operar de una patrulla se puede describir con la ecuación lineal C = 0.40 x + 18,000 donde C es el costo total, en dolares, y x es el número de millas conducidas. a) Trace la gráfica del costo contra el números de millas conducidas. x y 0 18,000 10,000 22,000 x = 10,000 y = 0.40 (10,000) + 18,000 = 4, ,000 = 22,000 b) Calcule el costo total de recorrer 12,000 millas C = 0.40 (12,000) + 18,000 = 4, ,000 = 22,800 El costo total de recorrer 12,000 millas es de $22,800 c) Estime el número de millas que se tendrán que recorrer para que el costo llegue a $ 25, x + 18,000 = 25, x = 25,000 18, x = 7,000 x = 7,000/0.40 = 17,500 Se tendrán que recorrer 17,500 millas 12

13 2) Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades, cuando el precio es de $58 por unidad, y de 200 unidades a un precio de $50 cada una. a) Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. En la ecuación de la demanda x, el números de unidades vendidas es función del precio. Los pares ordenados deben escibirse (precio, número de unidades): (58, 100) y (50, 200) m = ( )/ (50 58) = 100/ (-8) = x 200 = (p 50) x 200 = p x = p x = p b) Determine la demanda cuando el precio es de $45 x = (45) La demanda es de 262 unidades semanales. c) Determine el precio que se cobrará si la demanda es de 240 unidades p = p = = -585 p = -585/(-12.5) = Si el precio fuera de $46.80 por unidad, se esperaria una demanda de 240 unidades. 3) Un fabricante tiene costos fijos de 1,000 y más un costo de $3 por unidad producida. El producto se vende a $ 5.20 por unidad. a) Determine la ecuación de costo total. C(x) = 3x + 1,000 b) Determine la ecuación de ingreso. I(x) = 5.2 x c) Determine la ecuación de utilidad. P(x) = I(x) C(x) = 5.2 x (3x + 1,000) = 2.2 x 1,000 d) Cuál es el costo de producir 2,000 unidades? C(2,000) = 3(2,000) + 1,000 = 6, ,000 = 7,000 El costo de producir 2,000 unidades es de $7,000 e) Cuál es la utilidad de vender 2,000 unidades? P(2,000) = 2.2 (2,000) -1,000 = 4,400 1,000 = 3,400 Habria una ganancia de $3,400 f) Encuentre el punto de equilibrio: P(x) = 0 2.2x 1,000 = x = 1,000 x = 1,000/2.2 x = Para llegar al punto de equilibrio habría que producir y vender 455 unidades del producto. 13

14 4) Suponga que el costo de producir 10 unidades de un producto es $40 y el costo de 20 unidades es $70. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, x, determine el costo de producir 35 unidades. Tenemos los puntos (10, 40) y (20, 70) y debemos determinar la ecuación de costo total: m = (70-40)/(20-10) = 30/10 = 3 C 40 = 3(x 10) C = 3x C = 3x +10 Ahora podemos usar esta ecuación para calcular el costo de producir 35 unidades: C(35) = 3 (35) +10 = = 115 El costo de producir 35 unidades es de $115. EJERCICIOS de PRÁCTICA: 1. La ganancia de un fabricante de bicicletas se puede aproximar mediante la ecuación P = 60 x + 90,000 donde x es el número de bicicletas fabricadas y vendidas. a) Trace una gráfica de las ganancias contra con el número de bicicletas vendidas (hasta 5000 bicicletas). b) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía recupere sus gastos. c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía obtenga una utilidad de US$150, El costo semanal de operación de un taxi es de $75.00 más 15 centavos por kilometro recorrido. a) Escriba una ecuación que exprese el costo semanal C en términos de los kilómetros k. b) Trace una gráfica que muestre el costo semanal contra el número de kilómetros conducidos por semana.(hasta 200 km). c) Calcule el costo semanal si Juan recorre 150 kilómetros. d) Calcule los kilómetros de recorrido efectuado por Juan si el costo fué de $ El salario semanal de Pedro es de $200 más 10% de comisión sobre ventas semanales. a) Plantée una ecuación. b) Trace una gráfica del salario semanal comparado con las ventas semanales. c) Cuál es el salario de Pedro si sus ventas fueron de $20,000? d) Si su salario a la semana es de $1,200 Cuánto fueron sus ventas? 4. El costo variable de fabricar una mesa es de L 9.00 por mesa y los costos fijos son L al día. a) Determinar el costo total y de fabricar x mesas al día. b) Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día? 5. El costo variable de fabricar una mesa es de L y los costos fijos son L 25,000 al mes. Cada mesa se vende a L 150. a) Determinar la ecuación de costo total. b) Determinar la ecuación de ingreso. c) Determinar la ecuación de utilidad. 14

15 d) Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al mes? e) Cuál es el ingreso de fabricar 150 mesas al mes? f) Cuál es la utilidad de fabricar 150 mesas al mes? g) Encuentre el punto de equilibrio. h) Grafique en un mismo plano cartesiano las ecuaciones de ingreso y costo total. 6. La demanda mensual de reproductores de DVD es una función lineal del precio p, para $150 p $400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 reproductores por mes. Si el precio es $300 solo se venderán 30 reproductores. a) Determine la ecuación de demanda. b) Determine la demanda cuando el precio es $260. c) Determine el precio que se cobra si la demanda es de 45 reproductores. 7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10,000 paquetes a la semana cuando el precio es de L 1.20 por paquete, pero que las ventas se incrementan en 2,000 paquetes cuando el precio se reduce a L 1.10 por paquete. Determine la función de la demanda, suponiendo que es lineal. 8. El ingreso, I, de una obra de teatro es una función lineal del número de boletos vendidos, t. Cuando se venden 80 boletos el ingreso es de $1000. Cuando se venden 200 boletos el ingreso es de $2500. a) Utilice estos datos para escribir la ecuación. b) Determine el ingreso si se vendieron 120 boletos. c) Si el ingreso fue de $2200, cuantos boletos se vendieron? 9. Una compañía que repara copiadoras cobra por servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de L por un servicio de una hora y L por un servicio de tres horas, determine la función lineal que describa el precio del servicio en donde x es el número de horas de servicio. Grafique. 10. Un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50,000 pares de zapatos cuando el precio es de $35 el par y 35,000 pares de zapatos cuando el precio es de $30. Determine la ecuación de la oferta. 11. La demanda semanal de televisores es 1200 unidades cuando el precio es de $575 cada uno, y 800 unidades cuando el precio es de $725 cada uno. a) Determine la ecuación de demanda para los televisores, suponiendo un comportamiento lineal. b) Cuántos televisores se venden si el precio es de $800? c) A que precio deben vender los televisores si se desea vender 1500 de ellos? 12. El costo de un boleto de autobús en Tegucigalpa depende de la distancia viajada. Un recorrido de 2 millas cuesta L 4, mientras que un recorrido de 6 millas cuesta L 6. a) Escriba una ecuación que represente el costo de boleto de autobús. b) Si un cliente pagó L 7, Cuántas millas recorrió? 13. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas realizadas. En la primera semana, su salario semanal fue de $650 cuando vendió $1000. En la segunda semana, su salario semanal fue de $875 cuando vendió $2500 a) Encuentre la ecuacio n que represente el salario semanal de Juan. (Las ventas representan la variable ẍ y el salario semanal la variable ÿ) 15

16 b) Si Juan vendió $4000 en la semana, cuánto fue su salario semanal? c) Si el salario semanal de Juan es de $777.50, cuánto vendió en esta semana? d) Cuál es el salario base que recibe Juan? 14. El costo fijo de una compañía es de L 150. Cuando se fabrican 200 unidades, el costo total es de L a) Determine el costo variable. b) Determine la ecuación de costo total c) Determine el número de unidades que debe fabricar para que el costo total sea de L 6900 d) Determine el costo total si se fabrican 450 unidades 15. Una compañía vende cada articulo a L 5. Cuando fabrica 500 unidades el costo total es de L 1250, y cuando fabrica 750 unidades el costo total es de L1750 a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía. b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 cuántas unidades debe vender? c) Determine la utilidad si se venden 350 unidades. 16. Una compañía vende 2,000 unidades y su utilidad es de $10,000; cuando vende 2,250 unidades, su utilidad es de $15,000. a) Encuentre la ecuación de utilidad suponiendo que es lineal. b) Determine la utilidad si se venden 3,200 unidades. c) Si la compañía tiene una utilidad de $23,000, cuántas unidades vendió? d) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no sufra perdida. 17. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas realizadas. En la primera semana, cuando vendió $1000, su salario semanal fue de $770. En la siguiente semana,cuando vendió $2500, su salario semanal fue de $950. a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan. Las ventas representan la variable x y el salario semanal la variable y. b) Si Juan vendió $4000 en una semana, cuánto fue su salario semanal? c) Si el salario semanal de Juan fue de $860, cuánto vendió en esa semana? d) Cuál es el salario base que recibe Juan? 18. Un fabricante encuentra que las ventas son de 1,000 unidades a la semana cuando el precio es de L 10 por unidad, pero que las ventas fueron de 900 unidades cuando el precio fue de L 15 por unidad. Determine la ecuación de la demanda. 19. Un fabricante de DVD tiene costos mensuales fijos de $6,600 y costos variables de $35 por unidad. La compañía vende cada DVD a $60. a) Escriba la función de costo total. b) Escriba la función de ingreso. c) Escriba la función de utilidad. d) Encuentre el ingreso si se venden 200 unidades. e) Encuentre la utilidad o pérdida si se venden 250 unidades. 20. Una compañía tiene costos fijos de $40,000 y el costo variable es de $400 por artículo. Los artículos se venden a $600 cada uno. a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía. 16

17 b) Si se desea una utilidad de $ 60,000 cuantas unidades debe vender? c) Encuentre la cantidad de unidades que se deben vender para que la compañía no tenga ganancias ni perdidas. 21. Una compañía vende cada articulo a L 35. Cuando fabrica 250 unidades el costo total es de L 8000, y cuando fabrica 380 unidades el costo total es de L9560 a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía. b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 cuántas unidades debe vender? c) Determine el costo total si se venden 500 unidades. d) Determine la utilidad si se venden 500 unidades 22. Una imprenta cobra una cantidad fija de L 80 más un cargo adicional de L 0.05 por copia. Por ejemplo por 500 copias cobra L 105 y por 700 copias cobra L 115. a) Determine la función que describa el costo de impresión. b) Encuentre el costo de 1000 copias. c) Haga la gráfica de la función de costo de impresión (de 500 copias en adelante) 23. Una compañía tiene costos fijos de L 300 y el costo variable es de L 0.75 por artículo. Los artículos se venden a L 1.00 cada uno. a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía. b) Si la compañía desea una utilidad de L 1,950 cuántas unidades debe vender? c) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no tenga ganancias ni perdidas. FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática, o de segundo grado, puede escribirse de la forma = 2 + +, con a, b, c números reales y a 0. Su Dominio son todos los números reales. La forma de la gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Tiene un punto mínimo o máximo, donde la curva cambia de direccion y se regresa. Este punto recibe el nombre de vértice. Las dos secciones de la gráfica, a la izquierda y derecha del vértice se conocen como ramás de la parábola. La parábola es simetrica respecto a la linea vertical que pasa por su vértice. Esta linea no es parte de la parábola, pero a veces se traza porque ayuda a crear la gráfica con mayor nitidez. La parábola se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Las ramás de las parábolas se acercan más entre si y al eje de simetria a medida que el valor absoluto de a aumenta. A medida que el valor absoluto de a disminuye, las ramás de la parábola se apartan mas, y se acercan a la linea horizontal que pasa por el vértice. 17

18 La forma particular y dirección de una parábola está determinada exclusivamente por a, su magnitud y su signo. Los coeficientes b y c solo contribuyen a determinar la ubicacion de la parábola en el plano cartesiano. Otros puntos de interés en una parábola son: su intercepto con el eje y, que esta ubicado en (0, c); y su(s) interceptos con el eje x. Una parábola puede no tener interceptos en x, tener uno solo y hasta dos. Dos interceptos en x Un intercepto en x No intercepto en x El Vértice de la Parábola El valor de x del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c se obtiene por medio de la formula x = -b/(2a) y el valor de y se obtiene al evaluar este valor de x en la función. Ejemplos: 1) = = ( ) y = (-3)2 + 6(-3) + 4 = = -5 vértice: (-3.-5) 2) = = ( ) y = 22 4(2) + 5 = = 1 vértice: (2, 1) 3) = = ( ) y = 2(4)2 16(4) + 35 = = 3 vértice: (4. 3) 18

19 4) = = ( ) y = -(1)2 + 2(1) + 3 = = 4 vértice: (1. 4) Rango de la Función El Rango de la función cuadrática con a > 0 son todos los numeros reales mayores o iguales que el y del vértice. Si a < 0, son todos los números menores o iguales que el y del vértice. Ejemplos: 1) = a = 1, vértice (-3, -5) Rango: [-5, + [ 2) = a = 1, vértice (2, 1) Rango: [1, + [ 3) = a = 2, vértice (4, 3) Rango: [3, + [ 4) = a = -1, vértice (1, 4) Rango: ]-, 4] Interceptos en x: Mostramos anteriormente que una parábola podria tener como máximo dos interceptos en x y como mínimo, ninguno. La expresion = b 2 4ac recibe el nombre de discriminante y nos permite determinar el números de interceptos en x de nuestra función: Si b 2 4ac > 0, la gráfica tiene dos interceptos en x. Si b 2 4ac = 0, la gráfica tiene un solo intercepto en x, que resulta ser su vértice. Si b 2 4ac < 0, la gráfica no tiene interceptos en x. Los interceptos en sí se obtienen usando la siguiente formula: Note que la expresion dentro de la raiz cuadrada es el discriminante. Hay que ser cuidadoso al utilizar esta formula porque es común cometer errores de signos o en el orden de operaciones. Recomiendo calcular el discriminante primero y luego los interceptos así. Ejemplos: = Δ 2 1) = + + a = 1, b = 6, c = 4 = b 2 4ac = 6 2 4(1)(4) = = > 0 la para bola tiene dos interceptos en x = (1) = = = = = =

20 2) = + a = 1, b = -4, c = 5 = b 2 4ac = (-4) 2 4(1)(5) = = -4-4 < 0 la para bola no tiene interceptos en x 3) = + a = 2, b = -16, c = 35 = b 2 4ac = (-16) 2 4(2)(35) = = -24 la para bola no tiene interceptos en x 4) = + + a = -1, b = 2, c = 3 = b 2 4ac = 2 2 4(-1)(3) = = > 0 la para bola tiene dos interceptos en x = ( 1) = = = 2 2 = 1 = 6 2 =3 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graficar utilizando Tablas de Valores: Una función cuadrática puede graficarse creando una tabla de valores, pero antes de escoger los valores de x a usar hay que ubicar el vértice, para hacer la tabla centrada en el mismo y que podamos captar bien la forma de la parábola. Se crea una tabla de valores centrada en el vértice para aprovechar la simetría y obtener más puntos con menos calculos. No nos alejamos mucho del vértice porque los valores de y crecerán mucho y serán dificiles de manejar. y = x 2 + 6x + 4 y = x 2-4x + 5 y = 2x 2-16x + 35 y = -x 2 + 2x + 3 x y x y x y x y

21 Crear tablas de valores, no importa que sean de pocas entradas, resulta tedioso y no necesariamente se captan bien puntos de importancia práctica como los interceptos. Los coeficientes y valores en la vida real pueden no ser tan amigables como los de los ejemplos desarrollados aqui. Graficar utilizando el Vértice y los Interceptos con los Ejes. Se pueden obtener buenas gráficas utilizando solamente el vértice y los interceptos, aprovechando la simetria de la parábola. Ya vimos como se encuentra el vértice (x = -b/(2a) ), el intercepto en y (0,c) y los interceptos en x, si existen. Se ubican dichos puntos en el plano cartesiano y se ubica tambien el punto que corresponde al Iy al otro lado del eje de simetria. Ejemplos: y = x 2 + 6x + 4 vértice: (-3, -5) Iy: (0, 4) Ix: (-0.77, 0) y (-5.23, 0) y = x 2-4x + 5 vértice: (2, 1) Iy: (0, 5) Ix: no tiene Como no hay Ix, se trabaja con solo tres puntos. Es indispensable ubicar el punto que hace pareja con el Iy, al otro lado del eje de simetría. 21

22 EJERCICIOS de PRÁCTICA: Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango. 1. ( )=3( 2)(1 ) 2. ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( +10) 12. ( )= ( )= ( )= 2 +8 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 se resuelve por factorización o utilizando la fórmula general Si la ecuación tiene la forma ax 2 + bx + r = s, primero debe reescribirse para que sea igual a cero y hasta entonces veremos cuál es el valor de c en la fórmula. Ejemplo: Resolver x 2-4x + 5 = 7 La ecuación debe re-escribirse x 2-4x = 0 x 2-4x 2 = 0 Es en esta ecuación, igualada a cero que se determina que a = 1, b = -4 y c = -2 y ahora se sustituyen estos valores en la fórmula para encontrar la(s) soluciones de la ecuación, si es que la(s) tiene. = b 2 4ac = (-4) 2 4(1)( 2) = = 24 la ecuacio n tiene dos soluciones = (1) = = = = 4.45 = = 0.45 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS En las aplicaciones de las funciones cuadráticas la función ya nos es dada o se obtiene facilmente. Desde el punto de vista matemático, hay cuatro tipos de ejercicios: 1. Se nos pide averiguar cuál es el valor de la función para un determinado valor de la variable independiente. Es decir, encuentre f(m). Evalúe. 22

23 2. Se nos pide averiguar qué valor de la variable independiente produciría un valor dado de la variable dependiente. Es decir, resuelva f(x) = n. Aplique la fórmula general. 3. Se nos pide averiguar qué valor de la variable independiente maximizaría (o minimizaría) el valor de la variable dependiente. Es decir, encuentre el valor de x del vértice. 4. Se nos pide averiguar cuál es el valor máximo (o mínimo) de la variable dependiente. Es decir, encuentre el valor de y del vértice. Lo primero que debemos determinar, leyendo cuidadosamente el ejercicio, es cuál de estos tipos de preguntas se nos plantea, para que no hagamos cálculos innecesarios o que no nos conduzcan a la respuesta que necesitamos. Tambien debemos prestar atención a qué exactamente representan las variables en las ecuaciones. Como en cualquier problema de aplicación, al terminar la parte matemática del ejercicio, véase a usted mismo como un consultor al que se le ha contratado para que encuentre una respuesta a la pregunta que se le planteó. Conteste apropiadamente en una oración, incluyendo unidades si es aplicable. Ejemplos: 1) La función del costo total de fabricar un producto es C(x) = 100 x x , donde x es el numero de unidades producidas, en miles, y C representa el costo total, en miles de dolares, a) Si cada unidad de producto se vende en $2000, encuentre la función de utilidad. P(x) = 2000 x (100 x x ) = 100 x x 1000 b) Determine el nivel de produccion requerido para lograr el punto de equilibrio. P(x) = 100 x x 1000 = 0 = b 2 4ac = (700) 2 4(-100)( 1000) = 490, ,000 = 90,000 = ,000 2( 100) = = = =2 = =5 El punto de equilibrio se logra cuando se producen 2,000 unidades y cuando se producen 5,000 unidades. c) Cuantas unidades habría que producir para obtener una utilidad de $ 150,000? P(x) = 100 x x 1000 = x x = x x 1150 = 0 = b 2 4ac = (700) 2 4(-100)( 1150) = 490, ,000 = 30,000 23

24 = ,000 2( 100) = = = =2.635 = =4.365 Se puede obtener una utilidad de $ 150,000 ya sea vendiendo 2,635 unidades o 4,365 unidades. d) Que utilidad se obtendría al producir 4,000 unidades del producto? P(4) = 100 (4) (4) 1000 = 200 miles de dolares Se obtendria una utilidad de $ 200,000 e) Determine que nivel de producción resulta en la maxima utilidad. = 2 = 700 2( 100) = =3.5 La máxima utilidad se obtiene al producir y vender 3,500 unidades. f) Cual es la máxima utilidad esperada? P(3.5) = 100 (3.5) (3.5) 1000 = 225 miles de dolares La máxima utilidad esperada es de $ 225,000 2) La función de demanda de una empresa es q = -1.75p + 115, donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. I = pq = p ( -1.75p + 115) = p p Precio al que se maximiza el ingreso: = 2 = 115 2( 1.75) = =32.86 El precio que maximizará el ingreso es de Demanda cuando el producto tiene ese precio: q = -1.75p = (32.86) = 57.5 El nivel de producción que maximizaria el ingreso total del fabricante es de 57 o 58 unidades. Ingreso cuando el producto tiene vale $32.86 I = p p = (32.86) (32.86) = 1, El maximo ingreso posible es de $ 1,

25 EJERCICIOS DE PRÁCTICA: 1. Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel universitario, se puede utilizar la función N(t)= t t + 46 en millones. En la ecuación t es el numero de años desde 1989, 1 t 1 9. a) Calcule el total de estudiantes inscritos en 1995 b) En que años el total de estudiantes inscritos es de 54 millones? 2. Una compañía de investigación de mercado estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familia lo usaran, en donde: f(n) = (10/9 n)(12 n), 0 n 12 Estime el numero máximo de familias que usaran el producto y grafique. 3. Un negocio vende n sillas, n 50, a un precio de (50-0.4n) dólares cada una. Cuántas sillas deben venderse para obtener un ingreso de $ Un negocio vende ẍ sillas, a un precio de (50-0.2x) dólares cada una. Cuántas sillas deben venderse para que el ingreso sea máximo? 5. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares es una función del precio de alquiler de las cintas, t. La ecuación de utilidad es P=0.2t t 1.2, 0 t 5. a) Si la tienda cobra $3 por cinta, Cuál es la utilidad o perdida semanal? b) Si cobra $5 por cinta, Cuál es la utilidad o perdida semanal? c) Cual debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semanal sea $1600? 6. Una compañía productora de alimento para aves obtiene una utilidad semanal de acuer do con la función f(x)=-0.4x 2 +80x-200, donde x es el numero de bolsas de alimento para aves fabricadas y vendidas. a) Determine el numero de bolsas de alimento para aves que debe vender para obtener la utilidad máxima. b) Determine la utilidad máxima. 7. La ganancia mensual P ( en miles de dólares) de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función P = -2x x 12, donde x es el numero de bicicletas en cientos, producidas y vendidas al mes. Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? Determine la ganancia máxima? 8. La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que obtendrá por una puesta en escena, puede calcularse con la formula I= -x x 45 donde 2 x 2 0, donde x es el costo de un boleto. a) Cuánto debe cobrar para obtener el ingreso máximo? b) Cuál es el ingreso máximo? 9. La dueña de la compañía contrato a un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias P (x) de la venta de x unidades, están dadas por: P (x) = x (120 x ) a) Cuántas unidades debe vender para maximizar las ganancias? b) Cual es la ganancia máxima? c) Cuál es el intervalo de ventas en el cual al menos su ganancia es cero? 25

26 10. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación C(x)= x x El precio de venta de cada unidad es de L250 a) Encuentre la función de utilidad. b) Determine la utilidad si se venden 50 unidades. c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima. d) Encuentre la utilidad máxima 11. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación C(x)= x + x 2. El precio de venta de cada unidad es de L 130 a) Encuentre la función de utilidad. b) Encuentre el numero de unidades que deben venderse para que la compañía no obtenga perdidas 12. Se determina la utilidad diaria de una empresa por medio de la siguiente función: f (x) = 16 x 0.1 x 2 100, donde x representa el numero de unidades vendidas. a) Qué nivel de producción maximiza la utilidad? b) Cuál es la utilidad máxima? c) Cuál es la utilidad si se venden 40 unidades? 13. La ganancia mensual P de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función P = -4x x 3600, donde x es el numero de bicicletas producidas y vendidas al mes. a) Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? b) Determine la ganancia máxima. c) Determine la utilidad o pérdida si se venden 5 bicicletas al mes. d) Determine la utilidad o pérdida si se venden 35 bicicletas al mes 14. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en donde p + 2x = 50. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x)= x. Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? 15. La función de demanda de una empresa es p= q, donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. 16 Un negocio vende ẍ relojes a un precio de p = x dólares cada uno. a) Encuentre la función de ingreso b) Determine la cantidad de relojes que debe vender para obtener el ingreso máximo c) Cuantos relojes debe vender para obtener un ingreso de $2160. d) Determine el precio al que debe vender cada reloj para que el ingreso sea máximo. 17. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado mediante la ecuación x = -20 p donde p representa el precio de venta. El costo de producción es de $10 por cada unidad. a) Encuentre la función de ingreso b) Encuentre la función de utilidad c) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso d) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad. e) Determine el ingreso máximo f) Determine la utilidad máxima 26

27 18. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado mediante la ecuación x = p + 15,000 donde p representa el precio de venta. El costo de variable es de $4 por cada unidad y el costo fijo de $7000. a) Encuentre la función de ingreso b) Encuentre la función de utilidad c) Encuentre la función de costo total d) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso e) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad. f) Determine el ingreso máximo g) Determine la utilidad máxima 19. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en donde p + 2x = 500. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x) = x. a) Determine la función de ingreso b) Determine el numero de unidades que maximiza el ingreso c) Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que el ingreso sea máximo. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Las funciones de valor absoluto tienen la forma general ( ) = + +, donde k, m, b y c son números reales y k 0. Su dominio son todos los números reales. Las gráficas de estas funciones tienen forma de V si k > 0 y forma de V invertida si k < 0. Los dos brazos de la V se llaman ramas de la gráfica y el punto donde se unen recibe el nombre de vértice. Como en la parabola, es el punto mínimo o máximo de la gráfica. Las ramas son rayos con pendientes opuestas, -k m y k m. La recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetría de la gráfica. El valor de la coordenada en x del vertice se obtiene resolviendo la ecuación mx + b = 0. El valor de y del vértice es exactamente c. O sea, el vértice es el punto (-b/m, c). 27

28 El intercepto en y de la gráfica de la función valor absoluto se obtiene evaluando f(0). Al igual que en la parabola, la gráfica puede no tener interceptos en x, tener uno solo y hasta dos. Se puede puede decir que la expresion -c / k es el discriminante para esta función. Si es negativa, no habrá interceptos en x; si es cero, habrá solo un intercepto en x, que sera precisamente el vértice de la gráfica; si es positivo, habrá dos interceptos en x, que se obtienen resolviendo la ecuacion f(x) = 0. El rango de la función valor absoluto serán todos los números reales mayores o iguales a c, si k > 0; y todos los números reales menores o iguales a c si k < 0. Es decir, [c, + [ y ] -, c], respectivamente.. Pasos para graficar funciones valor absoluto: 1) Determinar hacia donde abre. 2) Determinar el vértice 3) Determinar las intersecciones con los ejes. 4) Graficar Ejemplos: 1) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 3 2x y grafíquela. k = 3, c = -4 Como k > 0, la gráfica tiene forma de V. Dominio: R Rango: [-4, + [ Vértice: 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -3 y = -4 Iy: f(0) = 3 2(0) +6-4 = = 3(6) 4 = 18 6 = 12 Ix: 3 2x = 0 3 2x + 6 = 4 2x + 6 = 4/3 2x + 6 = 4/3 o 2x + 6 = -4/3 2x = 4/3-6 2x = -4/3-6 2x = -14/3 2x = -22/3 x = -7/3 x = -11/3 x -2.3 x -3.7 Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la grafica. Nota: Es conveniente ubicar el vértice y uno de los Ix y trazar el rayo que vá en esa dirección antes de ubicar el segundo Ix. Recordar que los rayos se unen en el vértice y no pasan más allá del mismo. Los dos rayos salen del vértice. 2) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 2 x - 5 y grafiquela. k = 2, c = 0 Como k > 0, la gráfica tiene forma de V. 28

29 Dominio: R Rango: [0, + [ Vértice: x -5 = 0 x = 5 y = 0 (5,0) Iy: f(0) = = 2-5 = 2(5) = 10 Ix: 2 x -5 = 0 x - 5 = 0 x 5 = 0 x = 5 Esta vez solo tenemos un Ix. Como es el mismo vertice, en realidad solo tenemos dos puntos. Tendremos que usar la simetría de la gráfica para ubicar el punto que hace pareja con el Iy del otro lado del eje de simetría para poder dibujar bien la V. 3) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 2 4x y grafiquela. k = 2, c = 1 Como k > 0, la gráfica tiene forma de V. Dominio: R Rango: [1, + [ Vértice: 4x - 3 = 0 4x = 3 x = 3/4 y = 1 Iy: f(0) = 2 4(0) = = 2(3) + 1 = = 7 Ix: 2 4x = 0 2 4x -3 = -1 4x 3 = -1/2 No tiene solucion porque un valor absoluto no puede ser negativo. La grafica no tiene interceptos en x. Esta vez, al igual que la anterior, solo contamos con dos puntos: el vertice y el intercepto en y, y tendremos nuevamente que usar la simetría de la gráfica para ubicar el punto que hace pareja con el Iy del otro lado del eje de simetría para poder dibujar bien la V. 4) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = -2 x y grafiquela. k = -2, c = 64 Como k < 0, la gráfica tiene forma de V invertida. Dominio: R Rango: ] -, 6] Vértice: x + 1 = 0 x = -1 y = 6 Iy: f(0) = = -2 (1) + 6 = = 4 29

30 Ix: -2 x = 0-2 x + 1 = -6 x + 1 = -6/(-2) x + 1 = 3 x + 1 = 3 o x + 1 = -3 x = 3 1 x = -3-1 x = 2 x = -4 Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la gráfica. Siempre conviene trazar el eje de simetría para comprobar que los puntos que quedan a la misma altura en y estan a la misma distancia de éste. OBSERVACIONES: Es muy, muy importante que recuerde que los dos rayos salen del vértice y que el vértice está entre los dos rayos, no a un lado de ellos. No acepte gráficas que luzcan así (estas gráficas fueron creadas con los puntos obtenidos en los ejemplos anteriores pero unidos incorrectamente). Note que en la primera gráfica el vertice queda a la derecha de los dos interceptos en x. En la segunda gráfica, parte de la gráfica es una linea horizontal y el vertice queda a la derecha de los dos puntos utilizados para trazar los rayos. EJERCICIOS de PRÁCTICA: Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango. 1. ( )= ( )= ( )= ( )= + 5. ( )= ( )=4 1 +3

31 7. ( )= ( )= ( )= ( )= ( )=5 12. ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= = 2 FUNCIÓN RADICAL (RAÍZ CUADRADA) Una función radical que estudiaremos acá tiene la forma: ( )= + +, donde k, m, b y c son números reales, k 0, m 0. Como en los números reales no se puede sacar raíz cuadrada a números negativos, mx + b debe ser mayor o igual que cero. La madre de las funciones con raíz cuadrada es la función =, que tiene la forma que se muestra en el gráfico de la derecha. El dominio de = son los números reales mayores o iguales que cero: [0, + [ Su rango es tambien [0, + [ La gráfica arranca del punto (0,0) que recibe el nombre de punto inicial. La función = tiene el mismo dominio y punto inicial que la función madre, pero la gráfica está reflejada sobre el eje x. Su dominio es [0, + [ pero su rango es ] -, 0]. Si el signo negativo se coloca dentro de la raiz cua-drada, =, la grafica se refleja sobre el eje y. El dominio es ] -, 0] y esta vez (0,0) no es el punto de arranque sino el remate. Aqui, (0,0) recibe el nombre de punto final. El rango es [0, + [ 31

32 Los efectos de estos signos negativos son independientes y no se modifican el uno al otro, asi que de ninguna manera los multiplique. La grafica de = tiene dominio ] -, 0] y rango ] -, 0]. El punto (0,0) es un punto final. Para la forma general de la función raiz cuadrada, la solucion de la desigualdad mx + b 0 nos da el dominio. Si m > 0, el punto (-b/m, c) es un punto inicial. Si m < 0, el punto (-b/m, c) es un punto final. Si k > 0, el rango es [c, + [. Si k < 0, el rango es ] -, c] Si k >0 si m > 0, punto inicial Si k <0 si m > 0, punto inicial si m < 0, punto final Al igual que siempre, el intercepto en y se encuentra evaluando f(0), si es que 0 esta en el Dominio de la funcion. Si no esta, la grafica no tiene Iy. El intercepto en x se encuentra resolviendo la ecuacion f(x) = 0. Si esta no tiene solucion, porque -c/k es negativo, la grafica no tiene Ix. Pasos para graficar funciones radicales de la forma ( )= + + 1) Determinar hacia donde abre. 2) Determinar el dominio. 3) Encontrar el punto inicial o punto final. 4) Encontrar las intersecciones con los ejes. 5) Graficar 6) Determinar el rango 32

33 Ejemplos: 1) Graficar la función ( )= m, k son ambas positivas, de modo que la gráfica se abre hacia arriba y a la derecha. x x -5 Dominio: [ -5, + [ punto inicial: (-5, 3) Iy: (0)= = Ix: ( )=2 +5+3= = 3 +5= No tiene solucion porque las raíces cuadradas no pueden ser negativas; la gráfica no tiene Ix. Rango: [ 3, + [ 2) Graficar la funcion ( )= m, k son ambas positivas, de modo que la gráfica se abre hacia arriba y a la derecha. x x -3 Dominio: [ -3, + [ punto inicial: (-3, -4) Iy: (0)= = Ix: ( )=2 +3 4=0 2 +3=4 +3= =2 x + 3 = 2 2 x + 3 = 4 x = 4 3 = 1 Rango: [ -4, + [ 3) Graficar la función ( )= k es positiva, la gráfica se abre hacia arriba m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda -x x -4 x 4 Dominio: ] -, 4] punto final: (4, 5) Ix: (0)= =2 4+5=2(2)+5=4+5=9 Iy: ( )=2 +4+5=0 2 +4= 5 +4= 5/2 no tiene solucion; la gráfica no tiene intercepto en x. Rango: [ 5, + [ 33

34 4) Graficar la función ( )= k es negativa, la gráfica se abre hacia abajo m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda -x x -3 x 3 Dominio: ] -, 3] punto final: (3, 5 ) Ix: (0)= = Iy: ( )= =0 2 +3= 5 +3= = + 3 = =6.25 x = = 3.25 x = 3.25 Rango: ] -, 5] 5) Graficar la función ( )= 4+2 k es negativa, la gráfica se abre hacia abajo m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda -x x 4 x -4 Dominio: ] -, -4] punto final: (-4, 2 ) Ix: f(0) no esta definida porque x = 0 esta fuera del dominio No hay intercepto en y. Iy: ( )= 4+2=0 4= 2 4=2 x 4 = (2) 2 = 4 x = = 8 x = 8 Rango: ] -, 2] Note que, como en muchos casos solo se dispone de dos puntos para trazar la gráfica, usted debe mantener presente al momento hacerlo cuál es el punto inicial o punto final, para que no haga la curva en la dirección equivocada. 34

35 EJERCICIOS de PRÁCTICA: Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango. 1. ( )= ( )= ( )= ( )= 3 5. ( )= ( )= ( )= ( )= 2 9. ( )= ( )= ( )= ( )= = =1 2 2 FUNCIONES RACIONALES Una función racional es una función que puede escribirse como el cociente de dos polinomios: ( )= ( ) ( ) donde P y Q son polinomios y el grado de Q no es cero. Las funciones racionales toman muchas formas, pero para todas, el dominio lo constituyen todos los valores de x para los que Q(x) 0. 35

36 Los interceptos se calculan de la manera usual: Iy: f(0), si esta definido Ix: solucion de la ecuacion f(x) = 0. Solo que aqui se utiliza el hecho de que una fraccion es cero si y solo si el numerador es cero y el denominador no lo es. Asi que se resuelve la ecuacion P(x) = 0 y si la solucion esta en el dominio de la funcion, es un intercepto en x. Para las funciones racionales tenemos que introducir el concepto de ASÍNTOTA. x = a es una asíntota vertical del grafico de y = f(x) si Q(a) = 0 pero P(a) 0. La gráfica nunca pasa por las asíntotas verticales, porque la función no esta definida en esos valores de x. A los lados de la asíntota, la grafica crece o decrece sin límite. Lo representamos escribiendo y + o y -, respectivamente. Vea las cuatro primeras gráficas en la pagina anterior. Es importante hacer énfasis en que la asíntota vertical es una linea vertical y no solo un valor de x, asi que debe reportarse como x = a y no solo como a. Si Q(a) = 0 y P(a) = 0, significa que es un factor tanto de P como de Q y la fracción puede simplificarse. Entonces, en lugar de una asíntota vertical, ocurre lo que llamamos un punto faltante. La grafica tiene un pequeno hoyo a la altura de x = a. Observe el pequeno hoyo indicado a la altura de x = 3 en la cuarta grafica en la pagina anterior. El punto faltante es un punto (a, y a) y debe reportarse como tal. Hay que calcular el valor de y para poder reportarlo. El valor de y del punto faltante se encuentra sustituyendo a en la version simplificada de la función Si el dominio de la función son todos los numeros reales (Q(x) nunca puede ser cero), no hay ni asíntotas verticales ni puntos faltantes. Vea las dos ultimas graficas en la pagina anterior. Una asíntota horizontal es una linea horizontal a la que la grafica se acerca, pero no cruza ya en los extremos izquierdo y derecho de la grafica. La grafica puede, sin embargo, atravesar esta linea en la parte central del plano. Las lineas horizontales punteadas en las graficas de la pagina anterior son asíntotas horizontales. Si la asíntota es y = 0, coincide con el eje x y no se marca con esta linea punteada, 36

37 pero sigue siéndolo. Observe que en la tercera y en la ultima grafica de la pagina anterior, la grafica cruza la asíntota horizontal en cierto punto, pero despues se mantiene solo casi rozandola. Las funciones racionales tienen como máximo una asíntota horizontal, que se determina de la manera siguiente: (1) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la asíntota horizontal sera y = 0 (el eje x). (2) Si el grado de P(x) es igual al grado de Q(x), la asíntota horizontal sera el cociente de los coeficientes principales de ambos polinomios. (3) Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), no hay asíntota horizontal. En su lugar ocurre una asíntota oblicua. La asíntota horizontal, como linea, se reporta como y = k y no solo como k. Ejemplos: ( )= 2 Habra una asíntota horizontal en y = 0, porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador. ( )= Habra una asíntota horizontal en y = 5/2, porque el grado del numerador es igual al grado del denominador. Las asíntotas oblicuas son lineas inclinadas a las que la grafica de la función se acerca pero no cruza. Se determinan dividiendo P(x) entre Q(x). El cociente de esta division es la asíntota oblicua. Ejemplo: ( )= 2 Al dividir obtenemos el cociente x + 5. La recta y = x + 5 es una asíntota oblicua de la grafica de H(x). Si la division resultara exacta (el residuo es cero), la gráfica sera la gráfica del cociente, pero con puntos faltantes donde la función original no estaba definida. Graficar funciones racionales puede ser un poco laborioso. Si la función ya luce como f(x) = P(x) / Q(x) 1) Encontrar los ceros de Q(x) y determinar el dominio de la funcion. 2) Factorizar P(x) y Q(x) y eliminar los factores comunes. Las asíntotas verticales estan dadas por los ceros del denominador de la fraccion simplificada. Los ceros de Q(x) que no determinen asíntotas resultan en puntos faltantes. 3) Encontrar la asíntota horizontal o la asíntota oblicua. 4) Si existe una asíntota horizontal, y = k, determinar si la grafica la atraviesa, resolviendo f(x) = k. 5) Encontrar las intersecciones con los ejes. 37

38 6) Ubicar en el plano cartesiano las asíntotas, interceptos y puntos faltantes. 7) Evaluar la función en los valores de x necesarios para determinar en qué zonas la gráfica está por encima de la asíntota horizontal y en qué zonas está por debajo de la misma. 8) Graficar. 9) Determinar el rango de la función. Ejemplos: (1) Graficar ( )= Dominio: x 5 = 0 x = 5 Dominio: R {5} La fraccion ya esta en su minima expresion. x = 5 es una asíntota vertical. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 es la asíntota horizontal. Determinar si la gráfica atraviesa la asíntota horizontal: no puede ser igual a cero porque el numerador es una constante. La gráfica no atraviesa la asíntota horizontal. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: (0)= = = 0.4 Ix: No hay interceptos en x porque f(x) no puede ser cero. Al lado izquierdo de la asíntota vertical, la gráfica esta bajo la asíntota horizontal (porque alli esta el Iy). Además (4)= = = 2 Para ver adonde esta la otra rama de la grafica, evaluamos la función en un valor de x mayor que x = 5, por ejemplo 6 (6)= = =2 que esta por encima de la asíntota horizontal 38

39 Rango: R - { 0 } (2) Graficar ( )= Dominio: 2x 4 = 0 2x = 4 x = 2 Dominio: R {2} La factorizando el numerador y denominador vemos que ( )=. La función no puede ( ) simplificarse; ya está en su mínima expresión. x = 2 es una asíntota vertical. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es igual al grado del denominador. y = -½ es la asíntota horizontal. Determinar si la grafica atraviesa la asíntota: = (1 - x) = -½ (2x 4) 1 - x = -x = 2 La ecuación no tiene solucion. La gráfica no atraviesa la asíntota. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: (0)= ( ) = Ix: f(x) = 0 cuando 1 x = 0 x = 1 = ¼ = 0.25 La gráfica pasa por encima de la asíntota horizontal a la izquierda de la asíntota vertical (alli estan los dos interceptos) Para ver adonde esta la otra rama de la grafica, evaluamos la función en un valor de x mayor que x = 2, por ejemplo 3 39

40 f(3) = (1-3)/(2(3) 4) = -2/2 = -1, que es esta por debajo de la asíntota horizontal. Rango: R {-1} (3) Graficar ( ) = 2 Dominio: x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = ± 2 Dominio: R {-2, 2} La función ya este en su minima expresion. x = -2 y x = 2 son ambas asíntotas verticales. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 es la asíntota horizontal. Determinar si la gráfica atraviesa la asíntota horizontal. f(x) no puede ser igual a cero porque el numerador es una constante. La gráfica no atraviesa la asíntota horizontal. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: (0) = = = 2 ( ) Ix: f(x) nunca es igual a cero. No hay Ix. Hay que evaluar la función en al menos cuatro valores: uno a la izquierda de x = -2, uno a la derecha de x = 2 y uno a cada lado del intercepto en y, en la franja entre las dos asíntotas. f(-3) = -1.6 f(3) = -1.6 f(-1.5) = 4.57 f(1.5) =

41 Note que esta vez hay una franja por encima de la asíntota horizontal en la que no hay gráfica. Rango: ]-, 0[ U [2, + [ (4) Graficar ( )= 2 Dominio: x 2 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 3 Dominio: R {-3, 3} La función ya este en su minima expresion. x = -3 y x = 3 son ambas asíntotas verticales. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 es la asíntota horizontal. Determinar si la grafica atraviesa la asíntota horizontal. 2 2 = 0 4x 2 = 0 x = 0 La grafica atraviesa la asíntota horizontal cuando x = 0 Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: f(0) = 4(0) 2 / (0 2-9) = 0/(-9) = 0 Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente Hay que evaluar la función en al menos cuatro valores: uno a la izquierda de x = -3, uno a la derecha de x = 3 y uno a cada lado del intercepto en y, en la franja entre las dos asíntotas. f(-4) = -2.2 f(4) = 2.2 f(-2.5) = 3.6 f(2.5) =

42 Rango: R (5) Graficar ( )= 2 Dominio: x 2 16= 0 x 2 = 16 x = ± 4 Dominio: R {-4, 4} La función puede simplificarse f(x) = (x + 4)/(x 2 16) = (x + 4)/(x + 4)(x 4) = 1/(x 4) x 4 = 0 cuando x = 4 x = 4 es una asíntota vertical Hay un punto faltante cuando x = -4, = = = (-4, -1/8) De aqui en adelante trabajamos solo con la versión simplificada de f(x). El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 es la asíntota horizontal. Determinar si la grafica atraviesa la asíntota horizontal. = 0 no se hace cero porque el numerador es una constante La grafica no atraviesa la asíntota horizontal. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: f(0) = 1/(0 4) = 1/ (-4) = -1/4 Ix: f(x) nunca es igual a cero 42

43 La gráfica pasa debajo de la asíntota horizontal a la izquierda de la asíntota vertical. Tenemos que evaluar en un valor de x a la derecha de la asíntota vertical para ver que pasa de ese lado. f(5) = 1/(5-4) = 1 Rango: R {0} (6) Graficar ( )= 2 Dominio: x 2 25 = 0 x 2 = 25 x = ± 5 Dominio: R {-5, 5} La función ya este en su mínima expresión. x = -5 y x = 5 son ambas asíntotas verticales. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es mayor que el grado del denominador. No hay asíntota horizontal, sino oblícua. Al dividir x 3 entre (x 2 25) obtenemos x como cociente y 25 x como residuo. La recta y = x es la asíntota oblícua 43

44 Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: f(0) = (0) 3 / (0 2-25) = 0/(-25) = 0 Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente Hay que evaluar la función en al menos cuatro valores: uno a la izquierda de x = -5, uno a la derecha de x = 5 y uno a cada lado del intercepto en y, en la franja entre las dos asíntotas verticales. f(-6) = f(6) = 19.6 f(-4.5) = 19.2 f(4.5) = La gráfica obtenida con esta información luce así: Rango: R (6) Graficar ( )= 2 Dominio: x = 0 x 2 = -3 Nunca, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo. Dominio: R 44

45 El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 es la asíntota horizontal. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: (0)= = =0 Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente La gráfica solo atraviesa la asíntota horizontal en (0,0) Tenemos que evaluar la función a ambos lados del intercepto para determinar su forma. ( 1)= (1)= ( 2)= (2)= ( 3)= (3)= ( 1) 2 = = = 0.25 (1) 2 = = = 0.25 ( 2) 2 = = (2) 2 = = ( 3) 2 = = = 0.25 (3) 2 = = = 0.25 La gráfica parece doblarse en algún punto entre x = -3 y x = -1, y en algún punto entre x = 1 y x = 3 pero no podemos determinar con exactitud donde pasa exactamente, a menos que evaluemos en una gran cantidad de valores. Tampoco podemos determinar el rango con precisión. Que pasa cuando la función aparece como f(x) = P(x)/Q(x) + k, k siendo una constante? La gráfica solo se traslada verticalmente k unidades, de modo que el dominio, asíntotas verticales o puntos faltantes se ubican siempre con la fraccion P(x)/Q(x) La asíntota horizontal se mueve k unidades y los calculos de interceptos y valores de y tendran que tomar en cuenta toda la formula. 45

46 Ejemplo: Graficar ( )= 1 Dominio: x 5 = 0 x = 5 Dominio: R {5} La fraccion ya esta en su minima expresion. x = 5 es una asíntota vertical. No hay puntos faltantes. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. y = 0 1 = -1 es la asíntota horizontal. Determinar si la grafica atraviesa la asíntota: 1 = 1 = 0 y esta expresion nunca se hace cero porque el numerador es una constante. La grafica no atraviesa la asíntota. Determinar las intersecciones con los ejes: Iy: (0)= 1 = 2/5 1 = 1.4 Ix: 1=0 = 1 2 = x 5 x = 7 Como estos puntos ya quedaron en distintos cuadrantes, no necesitamos evaluar mas puntos. Rango: R { 1] 46

47 EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Analice y grafique las siguientes funciones. Determine su dominio y rango 1. f(x) = 14. f(x) = 26. f(x) = ** 2. f(x) = 15. f(x) = ( )( ) 27. f(x) = ** 3. f(x) = 4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) = 7. f(x) = 8. f(x) = 9. f(x) = 10. f(x) = 11. f(x) = 12. f(x) = ( ) 13. f(x) = 16. f(x) = 17. f(x) = * 18. f(x) = * 19. f(x) = ( ) 20. f(x) = * 21. f(x) = * 22. f(x) = * 23. f(x) = * 24. f(x) = * 25. f(x) = ** * 28. f(x) = 29. f(x) = ** 30. f(x) = 31. f(x) = ** 32. f(x) = 33. f(x) = f(x) = 35. f(x) = 36. f(x) = 37. f(x) = ** ** ** 1 * Punto faltante ** Asíntota oblícua 47

48 TENDENCIAS Imagínese moviéndose en el plano cartesiano viajando de izquierda a derecha sobre la curva de = ( ) hacia la recta vertical =. A medida que se avanza sobre la curva, los valores de x van estando cada vez más cerca de a, pero al mismo tiempo, los valores de y van acercandose a algún valor k Representamos esto escribiendo: Cuando x a, y k Ahora imagínese moviéndose en el plano cartesiano viajando de derecha a izquierda sobre la curva de = ( ) hacia la recta vertical =. A medida que se avanza sobre la curva, los valores de x van estando cada vez más cerca de a, pero al mismo tiempo, los valores de y van acercandose a algún valor k. Representamos esto escribiendo: Cuando x a +, y k En el caso de las funciones racionales, cuando x se acerca a alguna de las asíntotas verticales, el valor de y no se acerca a ningún número en particular sino que crece sin límite (y + ) o cae sin límite (y ). Estos símbolos se utilizan cuando se quiere proveer información para describir la gráfica de una función racional para que la pueda graficar sin hacer usted mismo todo el análisis que describimos en la sección anterior. 48

49 Ejemplo: La gráfica: Se describiría diciendo que: Cuando x 5, y Cuando x 5 +, y + A.H.: y = 1 Ix: (7,0) Iy: (0, 1.4) La gráfica: Se describiría diciendo que: EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Complete la información usando las siguientes gráficas: 1. Complete: a) Si x 2 entonces y b) Si x 3 entonces y c) Si x 2 + entonces y d) Si x 5 + entonces y e) Si x 3 + entonces y f) Si x 5 entonces y g) El rango es h) El dominio es 49

50 2. Complete: a) Si x 4 entonces y b) Si x 4 + entonces y c) Si x 1 entonces y d) Si x 1 + entonces y e) Si x 4 entonces y f) Si x 4 + entonces y g) El rango es h) El dominio es 3. Complete: a) Si x 1 entonces y b) Si x 1 + entonces y c) El punto faltante es d) El rango es e) El dominio es 4. Complete: a) Si x 5 entonces y b) Si x 5 + entonces y c) Si x 1 entonces y d) Si x 1 + entonces y e) Si x 3 entonces y f) Si x 3 + entonces y g) El rango es h) El dominio es 50

51 5. Complete: a) Si x 1 entonces y b) Si x 1 entonces y c) Si x 1 + entonces y d) Si x 1 + entonces y e) El rango es f) El dominio es Graficar usando tendencias Cuando se nos pide graficar usando tendencias, se nos dá la información y nosotros la trasladamos poco a poco al papel donde graficamos. Ejemplos: 1) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 1, y - Cuando x 1 +, y + AH: y = -3 Ix: (2, 0) Iy: (0, -6) Las dos primeras líneas nos dicen que x = 1 es una asíntota vertical. Ubicamos las asíntotas y los interceptos. Una vez ubicadas las asíntotas e interceptos, vemos que la gráfica es sencilla y que las ramas de la misma se encuentran en el cuadrante superior derecho y en el cuadrante inferior izquierdo. Las dibujamos y luego verificamos si se cumplen las tendencias dadas en las dos primeras líneas de la descripción. 51

52 Hicimos pasar la gráfica por los puntos que habíamos ubicado. Cuando x 1, y - Cuando x 1 +, y + y = -3 es una asíntota horizontal, no porque hayamos dibujado la línea punteada, sino porque la gráfica se acerca a ella sin cruzarla, en los extremos de la gráfica. La gráfica es satisfactoria porque cumple con todos los criterios que nos dieron. 2) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x -2-, y - Cuando x -2+, y + Cuando x 3+, y + Cuando x 3-, y - Cuando x +, y 0+ Cuando x -, y 0- Ix = Iy = (0, 0) Las primeras cuatro líneas nos dicen que x = 2 y x = 3 son asíntotas verticales. La quinta y sexta línea indican que y = 0 es la asíntota horizontal. Ubiquemos las asíntotas y los interceptos. Como solo hay un punto, marquemos lo que sabemos de las tendencias a los lados de las asíntotas 52

53 Hacemos pasar la gráfica por las marcas que pusimos en la segunda imágen. Esta gráfica es satisfactoria porque cumple con todas las características indicadas en la lista que se nos dió. Cuando x -2-, y - Cuando x -2+, y + Cuando x 3+, y + Cuando x 3-, y - Cuando x +, y 0+ Cuando x -, y 0- Ix = Iy = (0, 0) 3) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 2+, y + Cuando x 2-, y + AH: y = 2 Corta la AH en (-4/5, 2) Ix: (0, 0) y (1, 0) Iy: (0, 0) Las dos primeras líneas nos dicen que x = -2 es una asíntota vertical. Ubicamos las asíntotas y los interceptos. Marcamos las tendencias a los lados de la asíntota vertical (marcas anaranjadas) Como la gráfica solo cruza la asíntota horizontal en el punto indicado, debemos asumir que cuando x -, y 2+ La otra rama cruza la asíntota horizontal, pero solo una vez, asi que debemos asumir que cuando x +, y 2 Marcamos esto a los lados de la asíntota horizontal (marcas verdes) 53

54 Esta gráfica es satisfactoria porque cumple con todas las características indicadas en la lista que se nos dió. Cuando x 2+, y + Cuando x 2-, y + AH: y = 2 Corta la AH en (-4/5, 2) Ix: (0, 0) y (1, 0) Iy: (0, 0) EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 0+, y - AH: y = 0 Cuando x 0-, y + Ix no tiene Cuando x 2+, y - Iy no tiene Cuando x 2-, y - 2) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x -2+, y - AH: y = 1 Cuando x -2-, y + Corta la AH en x = 4 Cuando x 2+, y + Ix = Iy = (0,0) Cuando x 2-, y - 3) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 1+, y - Cuando x +, y 1- Cuando x 1-, y - Cuando x -, y 1+ Cuando x -2+, y - Ix = (2, 0) Cuando x -2-, y + Iy = (0,-1) 4) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 2+, y + AH: y = 0 Cuando x 2-, y + Corta la AH en (0,0) Cuando x -3+, y - Ix = Iy = (0,0) Cuando x -3-, y - Punto faltante (3,1) 5) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x -3-, y + Cuando x +, y 2+ Cuando x -3+, y - Cuando x -, y 2+ Cuando x 3+, y - Punto maximo en (0,0) Cuando x 3-, y + Ix = Iy = (0, 0) 54

55 6) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x -2-, y + AH: y = 2 Cuando x -2+, y + Ix: (-3,0),(-1,0),(3,0),(1,0) Cuando x 2+, y + Iy: (0,-1) Cuando x 2-, y + 7) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x -3-, y + AH: y = -1 Cuando x -3+, y + No corta la AH Cuando x 0-, y + Cuando x +, y -1+ Cuando x 0+, y - Cuando x -, y -1- Cuando x 2-, y - Ix: (-1,0),(-4,0) Cuando x 2+, y - Iy: no tiene 8) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion: Cuando x 2+, y + AH: y = 0 Cuando x 2-, y - Corta la AH en (0,0) Cuando x -3-, y - Ix = Iy = (0,0) Cuando x 3+, y - Punto faltante en (3, ½) EJERCICIOS DE PRÁCTICA REPASO I. Selección única. 1) La función ( )= + a tiene asíntota vertical = y aíntota horizontal en =3 cuando a) =3, =5 b) =, =3 c) =0, =5 d) =3, =0 2) Si la parabola =3( )( 5) tiene eje de simetría en =17/6 entonces a) = b) = c) = 3) El rango de la función ( )= es: a) [1, + [ b) ] -, 1] c) [-1, + [ d) ] -, -1 ] 4) El gráfico de la función f(x) = corta el eje x en el punto a) (5/2, 0) b) (2,1)} c) (0. 5) d) (0, 5/2) 2 d) = 55

56 5) La parabola con vértice (1,2) y que pasa por (0, 5) tiene ecuación: a) = b) = c) = d) = ) Las ecuaciones de todas las asíntotas de f(x) = son a) y = 1, y = 1, x = 2 b) x = 2, x = 2 c) y = 0, x = 1 d) y = 2, x = 1, x = 1 7) Una fábrica de calzado tiene costos fijos de $6,600 por semana y un costo de $15 por cada par de zapatos. Si vende cada par a $20, el número de pares de zapatos que necesita vender por semana para cubrir los costos de producción es: a) 660 b) 1320 c) 440 d) 330 8) La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (0, 5) tiene ecuación: a) = +5 b) = 8 c) = 8 +5 d) = ) Si ( )= + y ( 3)=8 y (3)= 4 entonces a) =2, = 2 b) =4, = 8 c) = 2, =2 d) = 4, =20 10) Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (0, -4) y (2, 0)? a) 2 +4 =8 b) 4 +2 =8 c) 2 4 =8 d) 4 +2 = 8 e) Ninguna de las anteriores. 11) Cuál es el dominio de ( )= 4? a) Todos los numeros reales. b) 4 c) 4 d) 4 e) Ninguno de los anteriores. 12) El rango de ( )= es: a) Todos los numeros reales. b) 3 c) 3 d) Ninguno de los anteriores. 13) La función ( )= a) Tiene un punto máximo en (4, 6) b) Tiene un punto máximo en (4, 6) c) Tiene un punto mínimo en (4, 6) d) Tiene un punto mínimo en (4, 6) e) Ninguna de las anteriores.

57 14) La función ( )= a) Abre hacia abajo y tiene dos interceptos en el eje x. b) Abre hacia arriba y no tiene interceptos en el eje x. c) Abre hacia abajo y no tiene interceptos en el eje x. d) Abre hacia arriba y tiene un intercepto en el eje x. e) Ninguna de las anteriores. 15) El dominio de la función ( )=2 2 1 es: a) [ 1, + [ b) ], 1 ] c) R d) Ninguna de las anteriores. 16) El rango de la función ( )= es: a) [ 2, + [ b) ] 1, + [ c) ], 1 [ d) Ninguna de las anteriores. 17) La función f(x) = tiene asíntota vertical en: a) =2 b) = 2 c) = 2 d) No tiene asíntota vertical. 18) El vértice de la función ( )= es: a) (1, 1) b) ( 1, 1) c) ( 1, 2) d) Ninguno de los anteriores. 19) El dominio de la función ( )= es: a) 2 b) 2,+ c),3 d) a y b son correctas 20) En la función ( )= el vértice es: a) ( 2, 8) b) ( 2, 16) c) ( 2, 0) d) (2, 8) 21) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (2, 3) es: a) Indefinida b) 0 c) 6/4 d) 6/4 22) El dominio de la función ( )= +3+2 es: a) 3 b) 3 c) 3,+ d),3 23) En la función ( )= 2 +6 el rango es: a) Los reales b),6 c) 6,+ d) 6,+ 24) En la función ( )= + +, donde c > 0 y k > 0, la gráfica a) Tiene un Ix. b) Tiene dos Ix. c) No tiene Ix. d) Ninguna de las anteriores. 57

58 Dada la siguiente gráfica: 25) El dominio de la gráfica es: a) 3 b) 0 c) 3 d) 0 26) El rango de la gráfica es: a) 0,+ b) 3,+ c),0 d), 3 27) El punto ( 3, 0) representa un: a) Punto final b) Punto máximo c) Punto mínimo d) Punto inicial II. Escriba la respuesta correcta: 1) La pendiente de la ecuación 3 +5 =2 es 2) El vértice de la función ( )=2 2 3 es 3) El punto faltante de la función ( )= es 4) El dominio de la función ( )= es 5) El rango de la función ( )= +1 es 6) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y cuya pendiente es 4 7) El vértice de la función ( )= 2 +1 es 8) La asíntota horizontal de la función ( )= 3 es 9) Encuentre el intercepto en y de la función ( )=