Índice general. Referencias 50

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1 Índice general 1. UNIDAD I: Derivadas parciales Funciones de varias variables Funciones de dos o más variables Derivadas parciales de una función de dos variables Interpretación geométrica de las derivadas parciales Derivadas parciales de una función de dos o más variables Derivadas parciales de orden superior Diferenciabilidad Regla de la cadena Derivación Implícita Derivadas direccionales. Vector Gradiente Plano tangente y recta normal a una superficie Extremos absolutos y extremos relativos de funciones de dos variables Método de los multiplicadores de Lagrange Referencias 50 1

2 Capítulo 1 UNIDAD I: Derivadas parciales 1.1. Funciones de varias variables Hasta ahora nos hemos preocupado del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades físicas dependen de dos o más variables, por ejemplo: el volumen V de un cilindro circular recto depende del radio r y de la altura h; la presión P ejercida por un gas ideal encerrado es una función de su temperatura T y de su volumen V ; la temperatura de un punto P = (x, y, z) de un objeto en el espacio puede depender del tiempo t y además de las tres coordenadas rectangulares x, y, z de P ; un fabricante puede saber que el costo c de producir cierto artículo depende del material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y los gastos materiales ( cinco variables!); etc. Como usualmente se trabajará con funciones de dos o tres variables, se presenta la definición formal de una función de dos variables. Definición 1.1. Sea D R 2 una región. Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) en D un único número real denotado por f(x, y). Notación: Manteniendo la notación utilizada para funciones de una variable, se tiene ahora f : D R 2 R (x, y) z = f(x, y). En lo que resta de esta unidad, D se considera como una región o dominio. Observación 1.1. El dominio de f se escribe D f = D, y es el conjunto de las preimágenes de f, es decir D f = {(x, y) R 2 : f(x, y) R}, mientras que el recorrido de f, R f, es el conjunto de todas las imágenes bajo f, esto es R f = {z = f(x, y) : (x, y) D f }. 2

3 Las variables x e y corresponden a las variables independientes, mientras que z corresponde a la variable dependiente. Ejemplos 1. Si f(x, y) = 2x 2 3xy + 5. Hallar a) f(0, 0). b) f(2, 3). c) f( 1, 1). 2. Hallar el dominio de f(x, y) = ln(x 2y + 4). 3. Determinar el dominio y rango de g(x, y) = 9 x 2 y 2. Solución 1. a) f(0, 0) = 5. b) f(2, 3) = = = 5. c) f( 1, 1) = 2( 1) 2 3( 1)( 1) + 5 = = Se sabe que (x, y) D f f(x, y) = ln(x 2y + 4) R. Luego (x, y) D f x 2y + 4 > 0 x 2y > 4. Así, D f = {(x, y) R 2 : x 2y > 4}. 3. El dominio de g es D g = {(x, y) R 2 : 9 x 2 y 2 0} = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 9}, que es el disco con centro en (0, 0) y radio 3. 3

4 Para el cálculo del rango de g. Notar que si z = g(x, y) = 9 x 2 y 2, entonces Así, z 0. (1.1) z 2 = 9 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 9 z 2. (1.2) Como x 2 + y 2 0 para cualquier valor de x, y R, entonces la relación (1.2) implica 9 z 2 0 z 2 9 z 3 3 z 3. (1.3) Por lo tanto, de (1.1) y (1.3) se deduce que 0 z 3, por lo que el rango de f es R f = {z R : 0 z 3}. Gráficas Otro modo de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su gráfica. Definición 1.2. Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) R 3 tal que z = f(x, y) y (x, y) está en D. Así como la gráfica de una función f de una variables es una curva C con ecuación y = f(x), la gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z = f(x, y). Podemos visualizar la gráfica S de f directamente sobre o abajo de su dominio D en el plano xy. 4

5 Ejemplo Cuál es el recorrido o rango de f(x, y) = 16 4x 2 y 2? Describir la gráfica de f. Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 16 4x 2 y 2 0. Por lo tanto, D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o son interiores a la elipse dada por x y2 16 = 1. Elipse en el plano xy. El recorrido o rango de f está formado por todos los valores z = f(x, y) tales que 0 z 16 ó 0 z 4 Recorrido o rango de f. 5

6 Ejemplo Grafique la función f(x, y) = 6 3x 2y. Solución La gráfica de f tiene la ecuación z = 6 3x 2y o bien 3x + 2y + z = 6, la cual representa a un plano. Trazas : Si z = 0 3x + 2y = 6, Si y = 0 3x + z = 6, Si x = 0 2y + z = Funciones de dos o más variables Una función de tres variables, f, es una regla que asigna a cada terna ordenada (x, y, z) en un dominio D R 3 un único número real denotado por f(x, y, z). Por ejemplo, la temperatura T en un punto sobre la superficie de la Tierra depende de la longitud x, la latitud y del punto, y del tiempo t, de modo que se puede escribir T = f(x, y, t). Ejercicios propuestos I. En los ejercicios siguientes, hallar y simplificar los valores de la función en los puntos dados. a) f(x, y) = x y. 1) (3, 2). 2) ( 1, 4). 3) (30, 5). 6

7 4) (5, y). 5) (x, 2). 6) (5, t). b) f(x, y) = 4 x 2 4y 2. 1) (0, 0). 2) (0, 1). 3) (2, 3). 4) (1, y). 5) (x, 0). 6) (t, 1). c) f(x, y) = xe y. 1) (5, 0). 2) (3, 2). 3) (2, 1). 4) (5, y). 5) (x, 2). 6) (t, t). d) g(x, y) = ln x + y. 1) (2, 3). 2) (5, 6). 3) (e, 0). 4) (0, 1). 5) (2, 3). 6) (e, e). e) h(x, y, z) = xy z. 1) (2, 3, 9). 2) (1, 0, 2). 3) ( 2, 3, 4). 4) (5, 4, 6). f ) f(x, y, z) = x + y + z. 1) (0, 5, 4). 2) (6, 8 3). 3) (4, 6, 2). 4) (10, 4, 3). g) f(x, y) = x sin(y). 7

8 1) ( 2, π ). 4 2) (3, 1). ( 3) 3, π ( 3 4) 4, π ). 2 ). II. h) V (r, h) = πr 2 h. 1) (3, 10). 2) (5, 2). 3) (4, 8). 4) (6, 4). i) f(x, y) = x 2 2y. f(x + x, y) f(x, y) 1). x f(x, y + y) f(x, y) 2). x j ) f(x, y) = 3xy + y 2. f(x + x, y) f(x, y) 1). x f(x, y + y) f(x, y) 2). x En los siguientes ejercicios, hallar el dominio y rango o recorrido de la función dada. a) f(x, y) = 4 x 2 y 2. b) f(x, y) = 4 x 2 4y 2. c) f(x, y) = arcsin(x + y). ( y d) f(x, y) = arc cos. x) e) f(x, y) = ln(4 x y). f ) f(x, y) = ln(xy 6). g) z = x + y xy. h) z = xy x y. i) f(x, y) = e x y. j ) f(x, y) = x 2 + y 2. k) g(x, y) = 1 xy. l) g(x, y) = x y. 8

9 Derivadas parciales de una función de dos variables En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: Cómo afectaría el valor de una función un cambio en una de sus variables independientes? Se suele contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, mientras mantiene constantes las otras variables como temperatura y presión. Para determinar la velocidad o ritmo de cambio de una función f respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. Definición 1.3. Sea f : D R 2 R y sea (x 0, y 0 ) un punto interior de D, se llama derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x 0, y 0 ) al límite f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lím h 0 h = f x cuando existe. Se llama derivada parcial de f con respecto a y en el punto (x 0, y 0 ) al límite cuando existe. Notación f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) lím h 0 h = f y La derivada parcial de z = f(x, y) con respecto a x en (x 0, y 0 ) se denota por f x (x f 0, y 0 ), z x (x0,y 0 ), x (x 0, y 0 ), f x (x 0, y 0 ), z x (x 0, y 0 ). Análogamente, la derivada parcial de z = f(x, y) con respecto a y en (x 0, y 0 ) se denota por f y (x f 0, y 0 ), z y (x0,y 0 ), y (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), z y (x 0, y 0 ). Si ahora hacemos variar el punto (x 0, y 0 ), entonces f x y f y se transforman en funciones de dos variables: Derivada parcial de f con respecto a x f x = f f(x + h, y) f(x, y) x(x, y) = lím. h 0 h La derivación parcial de f con respecto a x corresponde a la razón a la cual cambia f(x, y) cuando varía x, mientras que y se mantiene constante. 9

10 Derivada parcial de f con respecto a y f y = f f(x, y + h) f(x, y) y(x, y) = lím. h 0 h La derivación parcial de f con respecto a y corresponde a la razón a la cual cambia f(x, y) cuando varía y, mientras que x se mantiene constante. La técnica de derivación parcial consiste en: 1. Para encontrar f x, considérese a y como constante y derívese f(x, y) con respecto a x. 2. Para encontrar f y, considérese a x como constante y derívese f(x, y) con respecto a y. Ejemplos 1. Si z = ye x y, hallar zx y z y. 2. Si z = 1 ( y 2 ln(x2 + y 2 ) + arctan, hallar (z x ) x) 2 + (z y ) Dada f(x, y) = xe x2y, hallar f x y f y, y evaluar cada una en el punto (1, ln(2)). Solución 1. Al considerar y como constante y derivando con respecto a x, se obtiene z x = y e x y 1 y = e x y. Ahora, al considerar x como constante y derivando con respecto a y, se tiene z y = e x x y + y e y ( xy ) ( = e x 2 y 1 x ). y 2. Notar que entonces z x = 1 2 2x x 2 + y + 1 ( ( y y ) x )2 x 2 x = x 2 + y y 2 x 2 + y 2 = x y x 2 + y, 2 (z x ) 2 = x2 2xy + y 2 (x 2 + y 2 ) 2. 10

11 Por otro lado, lo cual implica Por lo tanto z y = 1 2 2y x 2 + y ( y ) 1 x x y = x 2 + y + x 2 x 2 + y 2 = x + y x 2 + y, 2 (z y ) 2 = x2 + 2xy + y 2 (x 2 + y 2 ) 2. (z x ) 2 + (z y ) 2 = x2 2xy + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 + x2 + 2xy + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 2(x2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 = 2 x 2 + y Como la derivada parcial de f con respecto a x es f x (x, y) = xe x2y (2xy) + e x2y, entonces la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (1, ln(2)) es f x (1, ln(2)) = e ln(2) (2 ln(2)) + e ln(2) = 4 ln(2) + 2. Por otro lado, dado que la derivada parcial de f con respecto a y es f y (x, y) = xe x2y (x 2 ) = x 3 e x2y, entonces la derivada parcial de f con respecto a y en el punto (1, ln(2)) es f y (1, ln(2)) = e ln(2) = Interpretación geométrica de las derivadas parciales Las derivadas parciales de una función de dos variables, z = f(x, y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y = y 0, entonces z = f(x, y 0 ) representan la curva que se forma en la intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano y = y 0. Por consiguiente, f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) = lím x 0 x representa la pendiente de esta curva en el punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Nótese que tanto la curva como la recta tangente se encuentran en el plano y = y 0. 11

12 Análogamente f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = lím y 0 y representa la pendiente de la curva dada por la intersección de z = f(x, y) y el plano x = x 0 en (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). denotan las pendientes de la superficie en las dire- Informalmente, los valores f cciones x e y, respectivamente. y f x y Ejemplo Si f(x, y) = 4 x 2 2y 2, determine f x (1, 1) y f y (1, 1) e interprete estos números como pendientes. 12

13 Solución Tenemos f x (x, y) = 2x f y (x, y) = 4y, f x (1, 1) = 2 f y (1, 1) = 4. La gráfica de f es el paraboloide z = 4 x 2 2y 2 y el plano vertical y = 1 lo intersecta en la parábola z = 2 x 2, y = 1 (ver C 1 en la figura). La pendiente de la recta tangente de esta parábola en el punto (1, 1, 1) es f x (1, 1) = 2. De la misma manera, la curva C 2 que se forma cuando el plano x = 1 intersecta al paraboloide es la parábola z = 3 2y 2, x = 1 y la pendiente de la tangente en (1, 1, 1) es f y (1, 1) = Derivadas parciales de una función de dos o más variables El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si w = f(x, y, z), existen tres derivadas parciales, cada una de las cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Es decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, considerar y y z constantes y se deriva con respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respecto y y con respecto a z se emplea un proceso similar. w x = f f(x + x, y, z) f(x, y, z) x(x, y, z) = lím, x 0 x w y = f f(x, y + y, z) f(x, y, z) y(x, y, z) = lím, y 0 y w z = f f(x, y, z + z) f(x, y, z) x(x, y, z) = lím. z 0 z En general, si w = f(x 1, x 2,..., x n ), hay n derivadas parciales denotadas por w x k = f xk (x 1, x 2,..., x k ), k = 1, 2,..., n. Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada. 13

14 Ejemplo 1. Hallar w x, w y y w z, si w(x, y, z) = 3x 2 y + 2xz 2 5y Hallar las derivadas parciales de f(x, y, z) = e x y sin(x + z). Solución w 1. x = 6x + 2z2, 2. w y = 3x2 10y, w z = 4xz. f x (x, y, z) = 1 y e x y sin(x + z) + e x y cos(x + z), f y (x, y, z) = x y 2 e x y sin(x + z), f z (x, y, z) = e x y cos(x + z). Observación 1.2. Sin importar cuantas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretar como tasas, velocidades o ritmos de cambio. Ejemplo Una lámina de metal plana se encuentra en el plano xy y la temperatura T en (x, y) está dada por T = 10(x 2 + y 2 ) 2, donde T se mide en grados y, x e y en centímetros. Calcule la tasa de cambio o variación de T con respecto a la distancia en el punto (1, 2) en la dirección: a) Del eje x. b) Del eje y. Solución Aquí la tasa de cambio con respecto a la distancia corresponde a la derivada parcial, de modo que a) T x = 20(x2 + y 2 )2x b) T y = 20(x2 + y 2 )2y T (1, 2) = = 200 (grados por cm). x T (1, 2) = = 400 (grados por cm). y 14

15 Derivadas parciales de orden superior Si f es una función de dos variables, definida en una región abierta D R 2, tal que sus derivadas parciales existen en cada punto (x, y) D, entonces f x y f y son a su vez funciones de x e y, las cuales también pueden tener derivadas parciales. En este caso se obtienen cuatro segundas derivadas parciales de f: Ejemplo z = f(x, y) f x f y x y y y 1. Determine las segundas derivadas parciales de ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f y ) = 2 f x 2 = f xx = 2 f y x = f xy = 2 f x y = f yx = 2 f y 2 f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2. = f yy 2. Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de z = y cos(xy). Solución 1. Notar que luego f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 ; f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y, f xx = x (3x2 + 2xy 3 ) = 6x + 2y 3 ; f xy = y (3x2 + 2xy 3 ) = 6xy 2, f yx = y x (3x2 y 2 4y) = 6xy 2 ; f yy = y (3x2 y 2 4y) = 6x 2 y Como z x = y( sin(xy))y = y 2 sin(xy), z y = cos(xy) + y( sin(xy))x = cos(xy) xy sin(xy), 15

16 se tiene z xx = y 2 (cos(xy))y = y 3 cos(xy), z xy = y (z x) = ( 2y) sin(xy) + ( y 2 )(cos(xy))x = 2y sin(xy) xy 2 cos(xy), z yy = sin(xy)x (x sin(xy) + xy cos(xy)x) = x sin(xy) x sin(xy) x 2 y cos(xy), z yx = x (z y) = y sin(xy) yx(cos(xy))y (sin(xy))y = 2y sin(xy) xy 2 cos(xy). Notar que las derivadas parciales z xy y z yx, llamadas Derivadas paciales mixtas, son iguales, situación que ocurrirá para el tipo de funciones que utilizaremos con mayor frecuencia. La formalización de este hecho es dada en el siguiente teorema. Teorema 1.1. (de Clairut) Suponga que f está definida sobre un disco D que contiene el punto (x 0, y 0 ). Si tanto la función f xy como f yx son continuas sobre D entonces Ejemplo f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ). Verificar que z xy = z yx, si z = 2x 2 ye sin(x). Solución Como se tiene z x = 4xye sin(x) + 2x 2 y cos(x)e sin(x) y z y = 2x 2 e sin(x), z xy = 4xe sin(x) + 2x 2 cos(x)e sin(x), z yx = 4xe sin(x) + 2x 2 cos(x)e sin(x). De modo que z xy = z yx. Ejercicios 1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de cada una de las siguientes funciones: a) f(x, y) = 2x 3y + 5 b) f(x, y) = x 2 3y

17 c) z = x y d) z = 2y 2 x e) z = x 2 e 2y f ) z = xe x y g) z = ln(x 2 + y 2 ) h) z = ln( xy) ( ) x + y i) z = ln x y j ) z = ln(x 2 y 2 ) k) z = x2 2y + 4y2 x l) z = xy x 2 + y 2 m) h(x, y) = e (x2 +y 2 ) n) g(x, y) = ln( x 2 + y 2 ) ñ) f(x, y) = x 2 + y 2 o) f(x, y) = 2x + y 3 p) z = tan(2x y) q) z = sin(3x) cos(3y) r) z = e y sin(xy) s) z = cos(x 2 + y 2 ) 2. En los siguientes ejercicios, dada f(x, y), hallar todos los valores de x e y tales que f x (x, y) = 0 y f y (x, y) = 0 simultáneamente de a) f(x, y) = x 2 + 4xy + y 2 4x + 16y + 3 b) f(x, y) = 3x 3 12xy + y 3 c) f(x, y) = 1 x + 1 y + xy d) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1) 3. En los siguientes ejercicios, calcular las derivadas parciales de primer orden respecto de x, y y z. a) w = x 2 + y 2 + z 2 b) F (x, y, z) = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 17

18 c) G(x, y, z) = 1 1 x2 y 2 z 2 d) H(x, y, z) = sin(x + 2t + 3z) e) f(x, y, z) = 3x 2 y 5xyz + 10yz 2 f ) w = 3xz x + y 4. Compruebe que la conclusión del teorema de Clairaut se cumple, es decir, u xy = u yx. a) u = x 4 y 3 y 4 b) u = e xy sin(y) c) u = cos(x 2 y) d) u = ln(x + 2y) ( y e) u = arctan x) f ) u = sin(x 2y) 5. En los siguientes ejercicios, mostrar que la función dada satisface la ecuación de Laplace: a) z = 5xy b) z = 1 2 (ey e y ) sin(x) c) z = e x sin(y) ( y d) z = arctan x) 2 z x + 2 z 2 y = En los siguientes ejercicios, mostrar que la función dada satisface la ecuación de ondas: a) z = sin(x ct) b) z = cos(4x + 4ct) c) z = ln(x + ct) d) z = sin(wct) sin(wx) 2 z t 2 = c2 2 z x En los siguientes ejercicios, mostrar que la función dada satisface la ecuación del calor: ( x ) a) z = e t cos ( c x ) b) z = e t sin c z t = 2 z c2 x. 2 18

19 Diferenciabilidad Una función f dada por z = f(x, y) es diferenciable en (x 0, y 0 ) si z puede expresarse en la forma z = f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y + ε 1 x + ε 2 y, donde (ε 1, ε 2 ) (0, 0) cuando ( x, y) (0, 0). La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Ejemplo Mostrar que la función dada por es diferenciable en todo punto del plano. Solución f(x, y) = x 2 + 3y Haciendo z = f(x, y), el incremento de z en un punto arbitrario (x, y) en el plano es z = f(x + x, y + y) f(x, y) = (x 2 + 2x x + x 2 ) + 3(y + y) (x 2 + 3y) = 2x x + x y = 2x( x) + 3( y) + x( x) + 0( y) = f x (x, y) x + f y (x, y) y + ε 1 x + ε 2 y, donde ε 1 = x y ε 2 = 0. Como ε 1 0 y ε 2 0 cuando ( x, y) (0, 0), se sigue que f es diferenciable en todo punto del plano. Definición 1.4. Sea z = f(x, y) una función de dos variables que admite primeras derivadas parciales. Entonces i) Las Diferenciales de las variables independientes están dadas por dx = x, dy = y. ii) La Diferencial (o diferencial total) de la variable dependiente está dada por dz = f x (x, y)dx + f y z z (x, y)dy = dx + x y dy. Basados en lo que ocurre para funciones de una variable es razonable pensar que dz proporcione una buena aproximación para z, con x y y pequeños, sin embargo la garantía de que dz z para incrementos pequeños exige la continuidad de las primeras derivadas parciales. Teorema 1.2. Si las derivadas parciales f x y f y existen cerca de (x 0, y 0 ) y son continuas en (x 0, y 0 ), entonces f es diferenciable en (x 0, y 0 ). 19

20 Ejemplo La temperatura T en el punto P (x, y) en un sistema de coordenadas rectangulares está dada por T (x, y) = 8(2x 2 + 4y 2 ) 1/2. Use deferenciales para calcular la diferencia de temperaturas entre los puntos (6, 3) y (6,1; 3,3). Solución dt = T T (x, y)dx + (x, y)dy. x y Aquí (x, y) = (6, 3), dx = 0, 1 y dy = 0, 3, mientras que T x = 81 2 (2x2 + 4y 2 ) 1/2 4x = T y = 81 2 (2x2 + 4y 2 ) 1/2 8y = 16x T 96 (6, 3) =, 2x2 + 4y 2 x y T 96 (6, 3) =. 2x2 + 4y 2 y 108 reemplazando, se tiene dt = , , 3 3, 695. Como las derivadas parciales T x y T y aproximación obtenida es aceptable. son continuas en un entorno del punto (6, 3), entonces la Regla de la cadena Recordemos que si f y g son funciones de una variable tales que y = f(x) y x = g(t), entonces la función compuesta entre f y g está dada por y la derivada dy dt y = (f g)(t) = f(g(t)) se puede precisar aplicando la Regla de la cadena, esto es dy dt = dy dx dx dt. Interesa ahora generalizar esta idea a funciones de varias variables. 20

21 Para el caso de funciones de 2 variables, la situación más simple está dada por f : D R 2 R (x, y) z = f(x, y), siendo x e y funciones de la variable t. Entonces z = f(x(t), y(t)) y tiene sentido el problema de determinar dz dt. Teorema 1.3. (Regla de la Cadena A) Sean x = x(t) e y = y(t) funciones diferenciables en (x(t), y(t)). Entonces z = f(x(t), y(t)) es diferenciable en t y dz dt = z dx x dt + z dy y dt. Este diagrama representa la derivada de z con respecto a t. Consideremos ahora la situación en la que z = f(x, y), pero cada una de las variables x e y es función de dos variables s y t. En este caso tiene sentido el problema de determinar z s y z t. Teorema 1.4. (Regla de la Cadena B) Sean x = g(s, t) e y = h(s, t) funciones que admiten primeras derivadas parciales en (s, t) y sea z = f(x, y) diferenciable en (g(s, t), h(s, t)). Entonces z = f(g(s, t), h(s, t)) tiene primeras derivadas parciales dadas por i) z s = z x x s + z y y s. ii) z t = z x x t + z y y t. 21

22 Teorema 1.5. (Regla de la Cadena. Caso general) Supóngase que z = f(x 1, x 2,..., x n ) es una función diferenciable y que cada una de las variables x 1, x 2,..., x n es una función de m variables de la forma t 1, t 2,..., t m, de tal manera que todas las derivadas parciales x j existen (j = 1, 2,..., n; i = 1, 2,..., m). Entonces z es función de t 1, t i t 2,..., t m y Ejemplo z t i = n j=1 z x j x j t i, para cada i = 1, 2,..., m. Escribir la regla de la cadena para el caso en que w = f(x, y, z, u); x = x(s, t), y = y(s, t), z = z(x, y) y u = u(s, t). Solución Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la correspondiente derivada parcial. En este caso 22

23 Entonces Ejemplo w s w t = w x x = w x s + w y y s + w z z s + w u u s, x t + w y y t + w z z t + w u u t. Escribir la regla de la cadena para el caso en que w = f(p, q) con p = p(x, y, z) y q = q(x, y, z). Solución En este caso el diagrama es Entonces w x = w p p x + w q q x, w = w p y p y + w q q y, w = w p z p z + w q q z Derivación Implícita Aunque en la unidad de Cálculo I, referida a derivación implícita, se introdujo la técnica para derivar funciones f(x) definidas implícitamente por la ecuación F (x, y) = 0, ahora es posible describir más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto, definamos la función compuesta F por w = F (u, y) con u = x, y = y(x), 23

24 entonces dw dx = w du u dx + w dy y dx. De la definición de función implícita se tiene que w = F (x, f(x)) = 0 para todo x D f, de modo que dw du = 0. Además, como u = x entonces = 1. Por lo tanto dx dx Si w y 0, entonces dy w x + w dy y dx = 0. w dx = x w y = F x F y. Teorema 1.6. Si una ecuación F (x, y) = 0 define implícitamente a una función derivable f(x) tal que y = f(x), entonces dy dx = F x. F y Ejemplo Hallar dy dx Solución suponiendo que y = f(x) satisface la ecuación x 4 + 2x 2 y 2 3xy 3 + 2x = 0. Supongamos que F (x, y) = x 4 + 2x 2 y 2 3xy 3 + 2x = 0, entonces Aplicando el Teorema 1.6, se tiene F x = 4x 3 + 4xy 2 3y 3 + 2, F y = 4x 2 y 9xy 2. dy dx = + 4xy 2 3y x3. 4x 2 y 9xy 2 En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de la forma F (x, y, z) = 0 que define implícitamente a una función, por ejemplo, z = f(x, y). Esto significa que F ((x, y), f(x, y)) = 0 para todo (x, y) D f. Si f es diferenciable y las derivadas parciales f x y f y existen, entonces es posible usar la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales z x y z, sin que sea necesario despejar z de la ecuación F (x, y, z) = 0. El y siguiente teorema garantiza tal situación 24

25 Teorema 1.7. Si una ecuación F (x, y, z) = 0 define implícitamente a una función diferenciable f(x, y) tal que z = f(x, y) en el dominio de f, entonces z x = F x F z, z y = F y F z. Ejemplo Hallar z y z x y, suponiendo que z = f(x, y) satisface la ecuación x 2 y + z 2 + cos(xyz) = 4. Solución Supongamos que entonces F (x, y, z) = x 2 y + z 2 + cos(xyz) 4 = 0, F x = 2xy yz sin(xyz), F y = x 2 xz sin(xyz), F z = 2z xy sin(xyz). Aplicando el Teorema 1.7, se tiene Ejercicios z x = F x = F z z y 2xy yz sin(xyz) 2z xy sin(xyz), = F y F z = x2 xz sin(xyz) 2z xy sin(xyz). 1. En los siguientes ejercicios, hallar la diferencial total. a) z = 3x 2 y 3 b) z = x2 y c) z = 1 x 2 + y 2 d) w = x + y z 2y e) z = x cos(y) y cos(x) f ) z = 1 2 (ex2 +y 2 e x2 y 2 ) 25

26 g) z = e x sin(y) h) w = e y cos(x) + z 2 i) w = 2z 3 y sin(x) j ) w = x 2 yz 2 + sin(yz) 2. Aplique la regla de la cadena para hallar dz dt o dw dt. a) z = x 2 + y 2 + xy, x = sin(t), y = e t. b) z = cos(x + 4y), x = 5t 4, y = 1 t. c) z = 1 + x 2 + y 2, x = ln(t), y = cos(t). ( y ) d) z = tan 1, x = e t, y = 1 e t. x e) w = xe y z, x = t 2, y = 1 t, z = 1 + 2t. f ) w = ln( x 2 + y 2 + z 2 ), x = sin(t), y = cos(t), z = tan(t). 3. Mediante la regla de la cadena encuentre z s y z t. a) z = x 2 y 2, x = s cos(t), y = s sin(t) b) z = arcsin(x y), x = s 2 + t 2, y = 1 2st c) z = sin(θ) cos(ϕ), θ = st 2, ϕ = s 2 t d) z = e x+2y, x = s t, y = t s e) z = e r cos(θ), r = st, θ = s 2 + t 2 ( u ) f ) z = tan, u = 2s + 3t, v = 3s 2t v 4. En los siguientes ejercicios, hallar dy dx a) x 2 3xy + y 2 2x + y 5 = 0 b) cos(x) + tan(xy) + 5 = 0 c) ln( x 2 + y 2 ) + xy = 4 x d) x 2 + y 2 y2 = 6 mediante derivación implícita. 5. En los siguientes ejercicios, hallar las primeras derivadas parciales de z mediante derivación implícita. a) x 2 + y 2 + z 2 = 25 26

27 b) xy + yz + xz = 0 c) tan(x + y) + tan(y + z) = 1 d) z = e x sin(y + z) e) x 2 + 2yz + z 2 = 1 f ) x + sin(y + z) = 0 g) e xz + xy = 0 h) x ln(y) + y 2 z + z 2 = 8 6. Suponga que las funciones dadas son derivables. a) Si z = f(x, y), donde x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Determine z r, z θ ( ) 2 z + x ( ) 2 z = y ( ) 2 z + 1 r r 2 ( ) 2 z θ b) Si u = f(x, y), donde x = e s cos(t) e y = e s sin(t), demuestre que ( ) 2 ( ) [ 2 ( u ) 2 ( ) ] 2 u u u + = e 2s + x y s t c) Si z = f(x y), demuestre que z x + z y = 0 d) Si z = f(x, y), donde x = s + t e y = s t, demuestre que ( ) 2 z x ( ) 2 z = z z y s t 1.2. Derivadas direccionales. Vector Gradiente y demuestre que Recuerde que si z = f(x, y), entonces las derivadas parciales de f x y f y se definen como f x (x 0, y 0 ) = f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lím, h 0 h f y (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) lím h 0 h y representan las razones de cambio de z en las direcciones x e y; es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Supongamos que ahora queremos encontrar la razón de cambio de z en (x 0, y 0 ) en la dirección de un vector arbitrario u = a, b. Para hacer esto consideremos la superficie S cuya ecuación es 27

28 z = f(x, y) (la gráfica de f), y sea z 0 = f(x 0, y 0 ). Entonces el punto P (x 0, y 0, z 0 ) queda sobre S. El plano vertical que pasa por P en la dirección de u intersecta a S en una curva C. La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u. Si Q(x, y, z) es otro punto sobre C y P, Q son las proyecciones sobre el plano xy, entonces el vector es paralelo a u y entonces P Q = hu = ha, hb para algún escalar h. Por lo tanto, x x 0 = ha, y y 0 = hb, por lo que x = x 0 + ha, y = y 0 + hb y z h = z z 0 = f(x 0 + ha, y 0 + hb) f(x 0, y 0 ). h h Si tomamos el límite cuando h 0, obtenemos la razón de cambio de z con respecto a la distancia en la dirección de u, la cual se denomina derivada direccional de f en la dirección de u. Definición 1.5. Sean f una función de dos variables x e y y û = a, b = cos(θ), sin(θ) un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de û, denotada por Dûf, es dada por f(x + ha, y + hb) f(x, y) Dûf = lím, h 0 h si tal límite existe. Para calcular la derivada direccional de una función de dos variables, de la forma z = f(x, y) se aplica el siguiente teorema. Teorema 1.8. Si f es una función de variables x e y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = a, b = cos(θ), sin(θ) y D u f(x, y) = f x (x, y) cos(θ) + f y (x, y) sin(θ). 28

29 Ejemplos 1. Hallar la derivada direccional de f(x, y) = 4 x y2 en el punto (1, 2) en la dirección de ( π ) ( π ) u = cos i + sin j Determine la derivada direccional de la función f(x, y) = x 2 y 3 4y en el punto (2, 1) en la dirección del vector v = 2i + 5j. Solución 1. Notar que D u f(x, y) = f x (x, y) cos(θ) + f y (x, y) sin(θ) ( = ( 2x) cos(θ) + y ) sin(θ). 2 Evaluando en θ = π, x = 1 e y = 2 se obtiene 3 ( ) 1 D u f(1, 2) = ( 2) 2 3 = 1 2 1, ( 1) ( ) 3 2. Observar que el vector v no es unitario, pero como v = 29, entonces el vector unitario en la dirección de v es u = v v = 2 i + 5 j Por lo tanto, como ( ) ( ) 2 5 D u f(x, y) = 2xy 3 + (3x 2 y 2 4), se tiene ( ) ( ) 2 5 D u f(2, 1) = 2(2)( 1) 3 + (3(2) 2 ( 1) 2 4) = 4(2) + 8(5) 29 = Definición 1.6. Si f es una función de dos variables x e y, entonces el gradiente de f es la función vectorial f definida por f(x, y) = f x (x, y), f y (x, y) = f x i + f y j. 29

30 Ejemplo Si f(x, y) = sin(x) + e xy, entonces f(x, y) = f x, f y = cos(x) + ye xy, xe xy y f(0, 1) = 2, 0 = 2i. Ejemplo Si f(x, y) = y ln(x) + xy 2, hallar el vector gradiente de f en el punto (1, 2). Solución Dado que se tiene f x (x, y) = y x + y2 y f y (x, y) = ln(x) + 2xy, f(x, y) = ( y x + y2 ) i + (ln(x) + 2xy)j. En el punto (1, 2) el gradiente es f(1, 2) = ( ) i + (ln(1) + 2(1)(2))j = 6i + 4j. Como el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivada direccional de f en la dirección de u como D u f(x, y) = [f x (x, y)i + f y (x, y)j] [cos(θ)i + sin(θ)j]. En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vector dirección. Este útil resultado se resume en el siguiente teorema. Teorema 1.9. (Forma alternativa de la derivada direccional) Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es Ejemplo D u f(x, y) = f(x, y) u. Si f(x, y) = xe y, determine la razón de cambio de f en el punto P (2, 0) en la dirección de P a Q( 1 2, 2). 30

31 Solución Primero calculamos el vector gradiente: f(x, y) = f x, f y = e y, xe y f(2, 0) = 1, 2. El vector unitario en la dirección P Q 1, 2 es 2 u = 3 5, 4 5, de modo que la razón de cambio de f en la dirección de P a Q, utilizando la fórmula alternativa es D u f(2, 0) = f(2, 0) u = 1, 2 3 5, 4 5 ( = 1 3 ) ( ) = Teorema (Propiedades del gradiente) Sea f diferenciable en el punto (x, y). 1. Si f(x, y) = 0, entonces D u f(x, y) = 0 para todo u. 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por f(x, y). El valor máximo de D u f(x, y) es f(x, y). 3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por f(x, y). El valor mínimo de D u f(x, y) es f(x, y). Ejemplo La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica es dada por T (x, y) = x x 2 + y 2. Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (2, 3). Solución Las derivadas parciales de T son T x (x, y) = x2 + y 2 2x 2 (x 2 + y 2 ) 2 = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2, T y (x, y) = 2xy (x 2 + y 2 ) 2. 31

32 Luego, en el punto (2, 3) se tiene que T x (2, 3) = 9 4 (4 + 9) 2 = 5 169, T y (2, 3) = 12 (4 + 9) 2 = Por lo tanto, la dirección de mayor incremento es T (2, 3) = i j = 1 (5i 12j). 169 Definición 1.7. Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f(x, y) = k, donde k es una constante (en el rango de f). Una curva de nivel f(x, y) = k es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado k. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f. Podemos ver en la figura la relación entre curvas de nivel y trazas horizontales. Las curvas de nivel f(x, y) = k son justamente las trazas de la gráfica de f en el plano horizontal z = k proyectadas en el plano xy. Entonces, si dibujamos las curvas de nivel de una función y las representamos como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces podemos formar mentalmente una imagen de la gráfica. La superficie tiene pendiente abrupta donde las curvas de nivel están cercanas entre sí. Es algo más plana donde las curvas se separan. Teorema Si f es diferenciable en (x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) 0, entonces f(x 0, y 0 ) es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por (x 0, y 0 ). 32

33 Ejemplo Para el paraboloide z = x2 4 + y2, encontrar la ecuación de su curva de nivel que pasa por el punto P (2, 1) y graficarla. Además, hallar el vector gradiente del paraboloide en el punto P y graficarlo con su punto inicial en P. Solución Sabemos que las curvas de nivel del paraboliode están dadas por x y2 = k, k constante. Como (2, 1) pertenece a la curva, entonces reemplazando se obtiene = k, esto es k = 2. Por lo tanto, la curva de nivel que pasa por P (2, 1) está dada por x y2 = 2 x2 8 + y2 2 = 1. 33

34 Por otra parte, si f(x, y) = x2 4 + y2, entonces f x (x, y) = x 2, f y(x, y) = 2y y f(2, 1) = (1, 2). Funciones de tres variables Para funciones de tres variables se pueden definir la derivada direccional y el gradiente de una manera similar a la utilizada para una función de dos variables. Esto es Dûf(x, y, z) puede interpretarse como la razón de cambio de la función en la dirección de un vector unitario û. Definición 1.8. Si f es una función de tres variables x, y, z, entonces el gradiente de f es dado por f(x, y, z) = f x (x, y, z)i + f y (x, y, z)j + f z (x, y, z)k. Observación 1.3. Para hallar la derivada direccional de una función de tres variables se utiliza la forma alternativa, esto es Dûf(x, y, z) = f(x, y, z) û. Ejemplo Si f(x, y, z) = x sin(yz), determine: 1. El gradiente de f. 2. La derivada direccional de f en el punto (1, 3, 0) en la dirección v = i + 2j k. Solución 1. El gradiente de f es f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) = sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz). 34

35 2. En el punto (1, 3, 0), tenemos f(1, 3, 0) = 0, 0, 3. El vector unitario en la dirección de v = i + 2j k es u = 1 i + 2 j 1 k Por lo tanto, D u f(1, 3, 0) = f(1, 3, 0) u ( 1 = 3k 6 i + 2 j 1 ) k 6 6 ( = 3 1 ) 6 3 = 2. Propiedades del gradiente de una función de tres variables 1. Si f(x, y, z) = 0, entonces Dûf(x, y, z) = 0, para todo û. 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por f(x, y, z). El valor máximo de Dûf(x, y, z) es f(x, y, z). 3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por f(x, y, z). El valor mínimo de Dûf(x, y, z) es f(x, y, z). Ejemplo Suponga que la temperatura en un punto (x, y, z) del espacio está dada por T (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2, donde T se mide en C y x, y, z en metros. En qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en el punto (1, 1, 2)?. Cuál es el valor de la máxima razón de aumento? Solución Como entonces 160x T x (x, y, z) = (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ), T 320y y(x, y, z) = 2 (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ), 2 480z T z (x, y, z) = (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ), 2 T (1, 1, 2) = ( , , 960 ) = 5 ( 1, 2, 6)

36 Por lo tanto, la temperatura T aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente T (1, 1, 2) = 5 ( 1, 2, 6), 8 lo que equivale a la dirección del vector ( 1, 2, 6). Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por T (1, 1, 2) = 5 8 ( 1, 2, 6) = 5 ( 1, 2, 6) 8 = = Observación 1.4. Si w = f(x, y, z) es una función de tres variables, la superficie f(x, y, z) = k, k constante se llama superficie de nivel para f. Si P (x, y, z) D f, entonces f(p ) es perpendicular a la superficie de nivel de f que pasa por P. Por ejemplo, en un problema de condución de calor en un cuerpo homogéneo, donde w = T (x, y, z) mide la temperatura en el punto (x, y, z), la superficie de nivel T (x, y, z) = k se llama superficie isoterma, ya que todos los puntos de ella tienen la misma temperatura k. Además, en cualquier punto dado del cuerpo, el calor fluye en la dirección contraria al gradiente, esto es, la dirección de mayor decrecimiento de la temperatura, y por lo tanto perpendicular a la superficie en dicho punto Plano tangente y recta normal a una superficie Suponga que una superficie S tiene por ecuación a z = f(x, y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas, y sea P (x 0, y 0, z 0 ) un punto sobre S. Al igual que en la sección anterior, sean C 1 y C 2 las curvas que se obtienen al intersectar los planos verticales y = y 0 y x = x 0 con la superficie S. Entonces, el punto P se encuentra tanto en C 1 como en C 2. Sean T 1 y T 2 las rectas tangentes a las curvas C 1 y C 2 en el punto P. Entonces, el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene a las rectas tangentes T 1 y T 2. 36

37 Definición 1.9. Supongamos que F (x, y, z) = 0 determina una superficie S y que F es diferenciable en un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) de S con F (P 0 ) 0. Entonces el plano que pasa por P 0 perpendicular a F (P 0 ) se llama Plano tangente a la superficie S en P 0. Definición Si una superficie S tiene un plano tangente en un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ), entonces la recta que pasa por P 0 y es perpendicular al plano tangente se llama recta normal a la superficie S en P 0. Teorema Para la superficie F (x, y, z) = 0 y el punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) de ella, se tiene 1. Ecuación del plano tangente en P 0 F x (P 0 )(x x 0 ) + F y (P 0 )(y y 0 ) + F z (P 0 )(z z 0 ) = Ecuación de la recta normal en P 0 Ejemplos x x 0 F x (P 0 ) = y y 0 F y (P 0 ) = z z 0 F z (P 0 ). 1. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al paraboloide elíptico en el punto (1, 1, 3). z = 2x 2 + y 2 2. Probar que las superficies x 2 + 4y + z 2 = 0 y x 2 + y 2 + z 2 6z + 7 = 0 son tangentes entre si en el punto (0, 1, 2), esto es, demostrar que ellas tienen el mismo plano tangente en (0, 1, 2). 3. Dos superficies son mutuamente ortogonales en un punto de intersección, si sus normales en dicho punto son mutuamente ortogonales. Probar que la esfera (x 1) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 66 es ortogonal al paraboloide x 2 + y 2 = z en el punto (2, 2, 8). Solución 1. Sea F (x, y, z) = 2x 2 + y 2 z = 0, entonces F x (x, y, z) = 4x, F y (x, y, z) = 2y, F z (x, y, z) = 1. Luego, F x (1, 1, 3) = 4, F y (1, 1, 3) = 2, F z (1, 1, 3) = 1. Un vector normal al plano tangente en el punto (1, 1, 3) es f(1, 1, 3) = 4i + 2j k. 37

38 Por lo tanto, una ecuación del plano tangente es y una ecuación de la recta normal es 4(x 1) + 2(y 1) (z 3) = 0 4x + 2y z = 3, x 1 4 = y 1 2 = 3 z. 2. Sean F (x, y, z) = x 2 +4y+z 2 = 0, G(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 6z+7 = 0 y P 0 (0, 1, 2). Entonces F (P 0 ) = 2x, 4, 2z P0 = 0, 4, 4 y la ecuación del plano tangente π 1 está dada por 0(x 0) + 4(y + 1) + 4(z 2) = 0 4y z 8 = 0 y + z = 1. Por otra parte, G(P 0 ) = 2x, 2y, 2z 6 P0 = 0, 2, 2 y la ecuación del plano tangente π 2 está dada por 0(x 0) 2(y + 1) 2(z 2) = 0 2y 2 2z + 4 = 0 y + z = 1. Por lo tanto, ambas superficies son tangentes en (0, 1, 2) ya que tienen el plano tangente común y + z = 1 en (0, 1, 2). 3. Consideremos F (x, y, z) = (x 1) 2 +(y 1) 2 +z 2 66 = 0, G(x, y, z) = x 2 +y 2 z = 0, y P 0 (2, 2, 8). Entonces F (P 0 ) = 2(x 1), 2(y 1), 2z P0 = 2, 2, 16, G(P 0 ) = 2x, 2y, 1 P0 = 4, 4, 1. En este caso, las vectores normales están dados por donde n 1 = 2, 2, 16 y n 2 = 4, 4, 1, n 1 n 2 = 2, 2, 16 4, 4, 1 = = 0, lo que muestra que las superficies dadas son ortogonales en (2, 2, 8). 38

39 Ejercicios 1. En los siguientes ejercicios, hallar la derivada direccional de la función en la dirección de u = cos(θ)i + sin(θ)j, si a) f(x, y) = x 2 + y 2, θ = π 4. b) f(x, y) = y x + y, θ = π 6. c) f(x, y) = sin(2x y), θ = π 3. d) g(x, y) = xe y, θ = 2π En los siguientes ejercicios, hallar el gradiente de la función en el punto dado. a) f(x, y) = 3x 5y , (2, 1). b) g(x, y) = 2xe y x, (2, 0). c) z = cos(x 2 + y 2 ), (3, 4). d) z = ln(x 2 y), (2, 3). e) w = 3x 2 y 5yz + z 2, (1, 1, 2). f ) w = x tan(y + z), (4, 3, 1). 3. En los siguientes ejercicios, hallar la derivada direccional de la función en P en la dirección de v, utilizando la forma alternativa. a) f(x, y) = 3x 4xy + 5y, P (1, 2) y v = 1 2 (i + 3j). b) f(x, y) = x 3 y 3, P (4, 3) y v = 2(i + j). 2 c) f(x, y) = xy, P (2, 3) y v = i + j. d) f(x, y) = x, P (1, 1) y v = j. y e) g(x, y) = x 2 + y 2, P (3, 4) y v = 3i 4j. f ) g(x, y) = arc cos(xy), P (1, 0) y v = i + 5j. g) h(x, y) = e x sin(y), P ( 1, π 2 ) y v = i. h) f(x, y, z) = xy + yz + xz, P (1, 1, 1) y v = 2i + j k. i) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, P (1, 2, 1) y v = i 2j + 3k. j ) h(x, y, z) = x arctan(yz), P (4, 1, 1) y v = 1, 2, 1. k) h(x, y, z) = xyz, P (2, 1, 1) y v = 2, 1, En los siguientes ejercicios, utilizar el gradiente para hallar la derivada direccional de la función en P en la dirección de Q. 39

40 a) g(x, y) = x 2 + y 2 + 1, P (1, 2) y Q(3, 6). b) f(x, y) = 3x 2 y 2 + 4, P (3, 1) y Q(1, 8). c) f(x, y) = e x cos(y), P (0, 0) y Q(2, 1). d) f(x, y) = sin(2x) cos(y), P (0, 0) y Q ( π 2, π). 5. En los siguientes ejercicios, hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto dado. ( ) a) h(x, y) = x tan(y), 2, π 4. ( ) b) h(x, y) = y cos(x y), 0, π 3. c) g(x, y) = ln( 3 x 2 + y 2 ), (1, 2). d) g(x, y) = ye x2, (0, 5). e) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, (1, 4, 2). 1 f ) w =, (0, 0, 0). 1 x2 y 2 z2 g) f(x, y, z) = xe yz, (2,, 0, 4). h) w = xy 2 z 2, (2, 1, 1). 6. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1, 2, 2) es 120. a) Determine la razón de cambio de T en (1, 2, 2) en la dirección hacia el punto (2, 1, 3). b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de temperatura está dado por un vector que apunta hacia el origen. 7. La temperatura en un punto (x, y, z) está dada por donde T se mide en C y x, y, z en metros. T (x, y, z) = 200e x2 3y 2 9z 2, a) Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto P (2, 1, 2) en la dirección hacia el punto (3, 3, 3). b) En qué dirección la temperatura se incrementa más rápido en P? c) Encuentre la razón máxima de incremento en P. 8. Suponga que en una cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por V (x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz. a) Determine la razón de cambio del potencial en P (3, 4, 5) en la dirección del vector v = i + j k. 40

41 b) En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P? c) Cuál es la razón máxima de cambio en P? 9. En los siguientes ejercicios, hallar una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. a) g(x, y) = x 2 y 2, (5, 4, 9). b) f(x, y) = 2 2 x y, (3, 1, 1). 3 ( c) z = e x (sin(y) + 1), 0, π, 2). 2 d) z = x 2 2xy + y 2, (1, 2, 1). e) h(x, y) = x 2 + y 2, (3, 4, ln(5)). f ) x 2 + 4y 2 + z 2 = 36, (2, 2, 4). g) x 2 + 2z 2 = y 2, (1, 3, 2). h) xy 2 + 3x z 2 = 4, (2, 1, 2). i) x = y(2z 3), (4, 4, 2). 10. En los siguientes ejercicios, hallar una ecuación del plano tangente y hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie en el punto dado. a) x 2 + y 2 + z = 9, (1, 2, 4). b) x 2 + y 2 + z 2 = 9, (1, 2, 2). c) xy z = 0, ( 2, 3, 6). d) x 2 y 2 + z 2 = 0, (5, 13, 12). ( y ( ) e) z = arctan, 1, 1, π 4. x) f ) xyz = 10, (1, 2, 5) Extremos absolutos y extremos relativos de funciones de dos variables Definición Una función de dos variables tiene un máximo local en (x 0, y 0 ) si f(x, y) f(x 0, y 0 ) cuando (x, y) está cerca de (x 0, y 0 ) (Esto significa que f(x, y) f(x 0, y 0 ) para todos los puntos (x, y) en algún disco con centro en (x 0, y 0 )). El número f(x 0, y 0 ) recibe el nombre de valor máximo local. Si f(x, y) f(x 0, y 0 ) cuando (x, y) está cerca de (x 0, y 0 ), entonces f tiene un mínimo local en (x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) es un valor mínimo local. Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto, o un mínimo absoluto en (x 0, y 0 ). 41

42 Teorema (Teorema del valor extremo) Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo. Definición (Extremos relativos) Sea f una función definida en una región R que contiene a (x 0, y 0 ). 1. La función f tiene un mínimo relativo en (x 0, y 0 ) si f(x, y) f(x 0, y 0 ), para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x 0, y 0 ). 2. La función f tiene un máximo relativo en (x 0, y 0 ) si f(x, y) f(x 0, y 0 ), para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x 0, y 0 ). Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de f es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f. Definición (Puntos críticos) Sea f definida en una región abierta R que contiene (x 0, y 0 ). El punto (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f si se satisface uno de los siguientes puntos: 1. f x (x 0, y 0 ) = 0 y f y (x 0, y 0 ) = f x (x, y) o f y (x, y) no existe. Teorema Si f tiene un extremo relativo en (x 0, y 0 ) en una región abierta R, entonces (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f. Observación 1.5. Es decir, el teorema establece que los extremos relativos sólo ocurren en los puntos críticos. 42

43 Ejemplo 1. Encontrar los valores extremos de la función f(x, y) = x 2 2x + y Calcule los valores extremos de f(x, y) = y 2 x 2. Solución 1. Como f es diferenciable en todo R 2, entonces los únicos puntos críticos posibles de f son del tipo estacionario. Entonces f(x, y) = 0 (2x 2, y ) = (0, 0) 2 2x 2 = 0 y 2 = 0 x = 1 y = 0. Para poder concluir si el punto crítico estacionario (1, 0) corresponde a un valor máximo o mínimo de f, bastará evaluar f en puntos de una vecindad de (1, 0) y efectuar la comparación. En este caso, teniendo en cuenta que f(1, 0) = 1, es posible aplicar la siguiente técnica: f(x, y) = x 2 2x + y2 4 = x 2 2x y2 4 1 = (x 1) 2 + y = f(1, 0). Por lo tanto, f(1, 0) es un mínimo absoluto de f. Notar que f no tiene valores máximos. 2. Puesto que f x (x, y) = 2x y f y (x, y) = 2y, entonces el único punto crítico de f es (0, 0). Observe que para los puntos en el eje x (y = 0), de modo que f(x, y) = x 2 < 0 (si x 0). No obstante, para puntos en el eje y (x = 0), de modo que f(x, y) = y 2 > 0 (si y 0). Por lo tanto, todo disco con centro en (0, 0) contiene puntos donde f toma valores positivos, así como puntos donde f donde f toma valores negativos. Por lo tanto, f(0, 0) = 0 no puede ser un valor extremo de f, de modo que f no tiene valor extremo y (0, 0) es llamado punto de silla. Prueba de la segunda derivada Supongamos que las derivadas parciales de f son continuas sobre un disco de centro (a, b), y supongamos que f x (a, b) = 0 y f y (a, b) = 0, es decir, (a,b) es un punto crítico de f. Sea D = D(a, b) = f xx (a, b)f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2. 43

44 a) Si D > 0 y f xx (a, b) > 0, entonces f(a, b) es un mínimo local. b) Si D > 0 y f xx (a, b) < 0, entonces f(a, b) es un máximo local. c) Si D < 0, entonces f(a, b) no es un máximo local ni un mínimo local. Observación En el caso c) el punto (a, b) se llama punto de silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (a, b). 2. Si D = 0, la prueba no proporciona información: f podría tener un máximo local o un mínimo local en (a, b), o bien, en (a, b) podría haber un punto de silla de f. 3. Para recordar la fórmula de Des útil escribirla como un determinante: Ejemplo D = f xx f yx f xy f yy = f xxf yy (f xy ) 2. Determinar los valores extremos relativos de la función f(x, y) = x 3 + 3xy 2 3x 2 3y Solución Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto, f(x, y) = (0, 0) { 3x 2 + 3y 2 6x = 0 6xy 6y = 0 { x 2 + y 2 2x = 0 y(x 1) = 0 44

45 De la segunda ecuación se tiene y = 0 o x = 1. Si y = 0 x 2 2x = 0 x(x 2) = 0 x = 0 o x = 2, Si x = y 2 2 = 0 y 2 = 1 y = 1 o y = 1. Por lo tanto, los puntos críticos estacionarios son: (0, 0), (2, 0), (1, 1) y (1, 1). Enseguida se calculan las segunas derivadas parciales de f y D(x, y): f x (x, y) = 3x 2 + 3y 2 6x, f y (x, y) = 6xy 6y, f xx (x, y) = 6x 6, f yy (x, y) = 6x 6, f xy (x, y) = 6y. Luego D(x, y) = f xx f xy f xy f yy = 6x 6 6y 6y 6x 6 = (6x 6)2 36y 2. Por lo tanto Para (0, 0) : D(0, 0) = 36 > 0, f xx (0, 0) = 6 < 0 f(0, 0) es un valor máximo relativo. Para (2, 0) : D(2, 0) = 36 > 0, f xx (2, 0) = 6 > 0 f(2, 0) es un valor mínimo relativo. Para (1, 1) : D(1, 1) = 36 < 0 f(1, 1) es un punto de silla. Para (1, 1) : D(1, 1) = 36 < 0 f(1, 1) es un punto de silla Método de los multiplicadores de Lagrange Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver es: Determinar los valores extremos de la función f(x, y) sujetos a la condición g(x, y) = 0. Consideremos las curvas de nivel de la superficie z = f(x, y) a optimizar, esto es, f(x, y) = k con k constante. En la figura se muestran la gráfica de la ecuación de restricción g(x, y) = 0 y las curvas de nivel f(x, y) = k, para k = 12, 20, 30, 40 y 50. Entonces nuestro problema es equivalente 45

46 a encontrar la curva de nivel con el mayor valor posible de k (para el caso del máximo) o con el menor valor de k (para el caso del mínimo) que se intersecte con la curva de restricción. Esto sucede cuando las curvas se tocan mutuamente, esto es, cuando tienen una tangente en común. En la figura, los puntos de intersección son P 0 (x 0, y 0 ) y P 1 (x 1, y 1 ) siendo f(x 0, y 0 ) al máximo valor de f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0 (ya que k = 40) y f(x 1, y 1 ) al valor mínimo de f(x, y) sujeto a la restricción g(x, y) = 0 (ya que k = 10). El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico para determinar los puntos P 0 (x 0, y 0 ) y P 1 (x 1, y 1 ). En efecto, como en estos puntos la curva de nivel de f y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una recta tangente común, entonces las curvas tamnién tienen una recta normal común. Pero f(x 0, y 0 ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por P 0. Por otra parte, g(x 0, y 0 ) es siempre normal a g (es evidente que este análisi también es válido para P 1 ). Por lo tanto, los vectores f y g son paralelos en P 0 y P 1. Esto es f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) f(x 1, y 1 ) = λ g(x 1, y 1 ), λ 0, donde λ recibe el nombre de Multiplicador de Lagrange. Método de los multiplicadores de Lagrange Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = k (suponiendo que estos valores existan y que g 0 se encuentre en la superficie g(x, y, z) = k): a) Determine todos los valores de x, y, z y λ tales que f(x, y, z) = λ g(x, y, z) y g(x, y, z) = k. b) Evalúe f en todos los puntos (x, y, z) que resulten del paso a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f, el más pequeño es el valor mínimo de f. Ejemplo Determine los valores extremos de la función f(x, y) = x 2 + 2y 2 sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1. Solución Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restricción g(x, y) = x 2 + y 2 = 1. Mediante los multiplicadores de Lagrange, resolvemos las ecuaciones f = λ g y g(x, y) = 1, lo que se puede escribir como f x = λg f y = λg y g(x, y) = 1, 46

47 o bien, como 2x = 2xλ, (1.4) 4y = 2yλ, (1.5) x 2 + y 2 = 1. (1.6) De (1.4) se tiene x = 0 o bien λ = 1. Si x = 0, entonces de (1.6) se deduce y = ±1. Si λ = 1, entonces y = 0 de acuerdo con (1.5), de modo que (1.6) implica x = ±1. Por lo tanto, f tiene posibles valores extremos en los puntos (0, 1), (0, 1), (1, 0) y ( 1, 0). Al evaluar f en estos cuatro puntos encontramos que f(0, 1) = 2, f(0, 1) = 2, f(1, 0) = 1, f( 1, 0) = 1. Por lo tanto, el valor máximo de f en la circunferencia x 2 + y 2 = 1 es f(0, ±1) = 2 y el valor mínimo es f(±1, 0) = 1. Aplicación del método de los Multiplicadores de Lagrange a problemas de optimización Ejemplo Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 12[m] 2 de cartón. Calcule el volumen máximo de la caja. Solución Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura de la caja en metros, según se muestra en la figura. Entonces el volumen de la caja está dado por la función f(x, y, z) = xyz, 47