g(x) se llama función integrante ò integrando.

Transcripción

1 - g() se ll fció itegrte ò itegrdo. - es l vrible de itegrció. Itegrl idefiid, técics de itegrció Teore 8.. ( Itegrles iiciles ). d. E geerl d,?-, Q. Si f,.., f so fcioes defiids e itervlo y,., costtes: 8.. Etoces: ANTIDIFERENIAION [ f ±... Ó f ] INTEGRAL d fd INDEFINIDA. ±... ± f d Deostrció: Defiició 8.. U fció F se dice qe es tiderivd de fció f e itervlo ) Obvio cerrdo pes si I F() si F' f I. Observr qe si G F dode es lg costte etoces G es tiderivd de f pes F ' G'. F () ) Se sige por idcció veos pr Observció: ) Del Por teore deostrr del vlor [ fedio(.9) f ] d se tiee fqe si ± f es f ( ) dfció f tl qe f ' 0 pr todo I (itervlo) etoces f es costte e I. ) ) Si f y g so dos tiderivds de f e itervlo I etoces eiste costte tl qe F G. El ite () os idic qe ls tiderivds de fció f se fereci solo e costte. Lego si F es tiderivd de F etoces F es lld l tiderivd s geerl de f otr qe F es fili de fcioes pes vrí co cd tiderivd. Defiició 8. El proceso pr hllr l tiderivd s geerl es lldo itegrció escribireos: d f f ' d f() ó ( g d G() ; G ()g(). Dode: - es lldo sigo de itegrl.

2 Itegrl idefiid, técics de itegrció Si [ f f ] d F F ' ( F ) ' f f f d G c G' G c f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d ' f d H c H ' H c ' f Por defiició: f f d f d ± f Ejeplo: ) d / / ) ( ) d Teore 8.. (Regl de l cde pr l itegrl idefiid). Se fció diferecible de. Si f es fció defiid e () co tiderivd F etoces: f d F Deostrció: Si G F( ) pero F' ( ( ) f ( ( ) G' F( ( ) ' f ( ( )) '( ) Ejeplo: bido: F d, (d) d d y f / Atiderivd s geerl d d f d F / 8.. ANTIDIFERENIAIÓN EN EUAIONES DIFERENIALES SEPARABLES..- Eccioes difereciles co vribles seprds: i) osidereos l fció y g tl qe g' f dy etoces g' f y' y' d f d dy f d ecció diferecil. d dy f d y c g c y g c ; c c c oo y vios se tiee fili de fcioes de pedietes de qe se pede represetr e el plo y cd pto (, y ) perteece sol crv

3 Itegrl idefiid, técics de itegrció Ejeplo: Se qiere l solció coplet de l ecció diferecil dy d Lego ecotrr l solció prticlr qe stisfg l codició (, y ) (,). Segú lo terior y c c c y c es l solció coplet c de l ecció diferecil. c 0 Pr l solció prticlr: c -, y, c y ii) osidereos l fció y g tl qe: g' ' f y' ' Etoces y'' d f d y' g' c y' d ( g' c ) d g' d cd y g c c depede de dos práetros. Ejeplo: Ecotrr l solció coplet de l ecció diferecil. d y ó se dy' ( ) d itegrdo y c de qí d dy ( c) d itegrdo se tiee y c c dy f iii) osidereos l ecció diferecil y' d g( y) Est pede solciorse ltiplicdo por g( y) d Óse g( y) y' d f d g( y) dy f d g y dy f.- Itegrció y oviieto rectilíeo. d oo y sbeos el oviieto de prtícl lo lrgo de rect es ddo por l fció del tiepo s f ( t), l velocidd isttáe y l celerció isttáe se ds d s dv pede deterir prtir de v f '( t) y f '' t dt dt dt Lego co lgs codicioes de froter es posible deterir l ecció del oviieto por itegrció. Ejercicio U prtícl se eve e l líe rect, s es l distci isttáe dirigid de l prtícl desde el orige e t segdos, v est e p/seg. De l prtícl e t segdos y est e p/seg y t-, s, s cdo t es igl epresr v y s e fció de t. Solció: - 0 -

4 Itegrl idefiid, técics de itegrció dv oo t dv ( t ) dt v t t c dt Sstityedo v, t -c, c ds Tbié v t t ds ( t t ) dt s t t t c dt Sstityedo s, t c 7/ se tiee l distci s e fció de t 7 s( t) t t t 8.. INTEGRALES INDEFINIDAS BÁSIAS. Prier Bloqe de forls básics: ) ) ) ) Si sbeos F ' d ( ) ; Etoces: d ; Q, Si F e sbeos F' d e d Si F Sbeos F ' Si Etoces: L L Sbeos F ' d d ; > 0 Etoces: d L Segdo bloqe de forls básics: ) ) ) ) ) ) 7) Si F se Sbeos F ' d cosd Etoces: cos d se Si F cos Sbeos F ' d sed Etoces: sed cos Si F tg Sbeos F ' d sec d Si F F Etoces: e d d Etoces: sec d F ctg Sbeos F ' d csc Etoces: csc d Si F sec Sbeos F ' d sectgd Etoces: sectgd sec Si F csc Sbeos F ' d cscctgd Etoces: cscctgd csc Si F L sec Sbeos F ' d tgd e Ld tg d ctg Q - -

5 Itegrl idefiid, técics de itegrció 8) 9) 0) ) ) ) ) ) ) 7) 8) Etoces: tgd L sec Si F L se Sbeos F ' d ctgd Etoces: ctgd L se Si F L sec tg Sbeos F ' d secd Etoces: secd L sec tg Si F L csc ctg Sbeos F ' d cscd csc d L csc ctg Si F seh Sbeos F ' d coshd Etoces: cosh d seh Si F cosh Sbeos F ' d sehd Si Si Etoces: Etoces: sehd cosh F tgh Sbeos F ' d sech d Etoces: sech d tgh F ctgh Sbeos F ' d csch d Etoces: csch d Si F sec h Sbeos F ' d sechtghd Etoces: sechtghd sech Si F csc h Sbeos F ' d cschctghd Etoces: d Si F L cosh Sbeos F ' ctgh cschctghd csc h Etoces: tghd L cosh Si F L seh Sbeos F ' d cot ghd tghd Etoces: ctghd L seh Tercer bloqe de forls básics: ) Si F se sbeos F ' d Etoces: d se osececi: d ;, > 0 d se z se z z d se ; > 0 - -

6 Itegrl idefiid, técics de itegrció ) Si F tg sbeos F ' d Etoces: d tg osececi: d ; 0 d dz z > z dz d tg ( z) tg d tg ; >0 ) Si F sec sbeos F ' d d ; >0 Etoces: d sec >0 osececi: d : > 0: > 0 d d d : > 0: > 0 dz ; z dz d : >0: >0 z z Etoces: sec z sec ; > 0: > 0 d sec ; > 0: > INTEGRAIÓN POR PARTES. Se y v defiids y diferecibles e itervlo qereos hllr ( d dv ( v c ) c ( v c ) dv v vd c Sbeos: dv v c d v c dv v c d v c c vd c c Est es lld forl de itegrció por prtes. ; c c c Observció: ) Est fórl es y útil pr resolver chs itegrles solo teeos qe relizr elecció decd de y dv. A veces fvorece escoger tlqe l diferecir se teg siplificció. dv - -

7 Itegrl idefiid, técics de itegrció ) oo y vios l hllr dv v c, o es ecesrio cosiderr c. Ejeplo: Ld osidereos L, dv d d v d Ld L d c L c c Ld L c Ejeplo: e seb cosiderr e, dv sebd d e d v seb b e sebd e cosb e cosbd c b b osiderr e, dv cosbd d e d, v seb b e sebd e b cosb b e b seb b e sebd c c e e sebd ( seb bcosb) c b 8.. INTEGRALES DE PRODUTOS DE POTENIAS DE LAS FUNIONES TRIGONOMÉTRIAS E HIPERBÓLIAS. ) Itegrles de l for: se cos d, seh cosh ) Si es etero ipr k > 0 ests itegrles pede resolverse: k k se cos d ( se ) cos sed ( cos ) cos sed k k seh cosh d ( seh ) cosh sehd ( cosh ) cosh sehd ) Si es etero ipr k > 0 los itegrles pede resolverse: k k se cos d se ( cos ) cos d se ( se ) cos d k k seh cosh d seh ( cosh ) cosh d seh ( seh ) cosh d ) Si > 0 ; > 0 eteros pr ls itegrles se pede resolver co: k, k d. - -

8 Itegrl idefiid, técics de itegrció k k k k cos cos se cos d se cos d d k k k cosh cosh seh cosh d seh cosh d Desrrolldo los últios itegrdo obteeos itegrles del cso (), () Y tbié () dode volveos plicr el proceso. k d b) Itegrles de l for: tg sec d, tgh sech d ) Si k etero ipr positivo: k k tg sec d ( tg ) sec tgsec d ( sec ) sec tgsec d k k tgh sech d ( tgh ) sec h tghsechd ( sech ) sech tghsechd ) Si k etero pr positivo: tg sec d tg tgh sech d tgh c) Itegrles de l for: k k ( sec ) sec d tg ( tg ) sec k k ( sech ) sech d tgh ( tgh ) ) Si k etero ipr positivo. k k ctg csc d ( ctg ) csc ctgcsc d ( csc ) csc csch d ctgh csch ctghcschd k ( csch ) csc h ctghcsc hd ) Si k etero pr positivo. ctg csc d ctg ctgh ctgh csch d) Itegrles de l for: Bst sr ls forls coo: Ejeplo: d k ctgh ctg k k ( csc ) csc d ctg ( ctg ) ctgcsc d csc k k ( csch ) csch d ctgh ( ctgh ) cos d, se se d, cos cos d cosh d, seh seh d, cosh cosh d se d ( se ) sed ( cos ) csc d, ctgh csc h d se( ) cos( ) se( ) se( ) ( cos cos ) d( cos ) cos cos cos k se( ) seh( ) [ ] sed d sech d d csch d - -

9 Itegrl idefiid, técics de itegrció cos cos cos osiderr :, cos Ejeplo: se d se cos cos se cos d d cos cos cos 8 ( )( ) d 8 se d cos cos 8 8 d se se d se d d 8 se se [ ] Ejeplo: Etoces sec cosiderr: tg d sec tgsec d tgsec sec d tg tg( tg ) sec d tg[ tg tg ] d( tg) / 9/ ( tg tg tg ) d( tg) / 7 / / tg tg tg INTEGRALES DE FUNIONES RAIONALES. i) Usdo frccioes prciles. Ddo f, g, dos polioios: Si grd g < grd f q, r / f q f r O se q itegrdo: g g g r f d q d g L r itegrl del do iebro es fácil de hllr, qí estdireos r osidereos l fció rciol h g Tl qe grd( r) < grd( g) (fció rciol propi). Si g se epres coo prodcto de epresioes de l for: ( ) (, ) d ( ) r g b, b, c d e c d e ; d ce < 0 ; d c e < 0 Usdo frccioes prciles siepre es posible epresr h coo s S de epresioes de l for. A B X D D,,,, dode: i j b ( b ) c d e ( c d e) A ) Por cd fctor liel b e g hbrá solo terio e l s S. b ) Por cd fctor liel b e g hbrá s de térios: ( ) r g d - -

10 Itegrl idefiid, técics de itegrció B b B KKK ( b) ( b ) B e l s S. ) Por cd fctor cdrático c D e l s S. c d e d e ; d ce < 0 e g hbrá solo terio ) Por cd fctor cdrático c d e ; d ce < 0 e g g() hbrá D D s de, térios KKK e l s S. c d e ( c d e) Pr hllr los A, B,, D i,, KK - Iglos coeficietes e los erdores de h S ó - oo l igldd vle e el recorrido de h dos vlores decdos. r Filete: h d d S d g Ejeplo: Pr: d ( ) r osidereos: A D D h g ( ) ( ) Debeos igles coeficietes e los erdores de h S A( ) ( D)( ) ( D ) ( ) ( ) A( ) ( D)( ) ( D) ( A ) D ( A ) ( D D ) A,, D 0,, D 0 Por tto. d d L ( ) ii) Usdo el étodo de Herite. f Se qiere l itegrl d ; f, g polioios g f Dode h es frcció rciol propi. g Si g b b r ( ) K( r ) ( p q) K( ps qs) cdráticos irredcibles pede estr repetidos. Usdo frccioes prciles siepre es posible epresr: f f f d d.. (*) g g g i i i i A S s dode los fctores lieles i - 7 -

11 Itegrl idefiid, técics de itegrció El polioio g es el áio coú divisor etre el polioio g y s derivd g'. g Dode g e l cl y o se repite igú fctor. g Pr hllr f, f cyos grdos so eores e idd lo ás qe los grdos de los polioios g, g ; se deriv bos iebros de (*) y se igl coeficietes segú el étodo estdido teriorete. Ejeplo: Pr d 8 osiderr: A B K M 8 8 d 8 Derivdo bos iebros: ( 8) A ( 8) ( )( A B) ( K M )( 8) ( 8) Igldo coeficietes del erdor K 0; M ; A ; B d 8 8 d tg 8 iii) Itegrles del tipo ( ) q r ; Z Podrí itetr resolverse sdo l sstitció: d p d d d Ejeplo: Pr / d d Hceos z dz d / / ( ) ) dz Hceos z dz d / z( z ) d se se se z iv) Itegrles del tipo R, Dode KK,,,, KK,, k k c Z b d, K K, c Podrí itetr resolverse cosiderdo Míio coú últiplo,, KK, b d k k d k - 8 -

12 Itegrl idefiid, técics de itegrció Lego hceos el cbio de vribles b c d d Ejeplo: Hllr se tiee ;.c.(,) / / ( ) ( ) Hceos, d d d d d / ( ) / ( ) L L (, p q r) v) Itegrció por sstitció de Eler: Ls itegrles R Pede itetr resolverse coo sige: ) Si p 0 Hceos p q r p b) Si r 0 Hceos p q r r c) Si el trioio p q r tiee dos ríces reles, b Hceos p q r ( ) o ( b ) Ejeplo: Pr Obteiédose d coo osiderr ( ) ( ) d, d ( ), d d L L d vi) Itegrles de l for: R, b, c d d Ests itegrles se redce l cso (iii) bst hcer l sstitció: b, c d. d Ejeplo: hceos: d d E (iv) d d, - 9 -

13 Itegrl idefiid, técics de itegrció :..(*) Dode,, so úeros rcioles. Ests itegrles pede ser reselts bjo cierts codicioes debido l teático e ls cles: ) Si p es úero etero. Pr resolver (*) sstitios dode es íio coú últiplo de los deoidores de ls frccioes,. ) Si o es etero y es etero. Pr resolver (*) sstitios dode es el deoidor de l frcció. ) Si o es etero y ( ) es etero. Pr resolver (*) sstitios dode es el deoidor de frcció. Pr resolver (*) sstitios dode es el deoidor de frcció. 9 Aqí,,, coo 0 Sstitios d d d L d L L d b p p s s p s b s p p p b s s p b s s p d s p d d L d d L vii) Ls itegrles de l for hebyshev Ejeplo: Z

14 Itegrl idefiid, técics de itegrció Ejeplo: ( ) Aqí,, p, s oo p 0 Sstitios ( ) / d ( ) d viii) Itegrles de l for: d L ( ) R( se,cos ) d d d L ( ) / ( ) Dode R es fció rciol e se y cos. Ests itegrles pede ser reselts p p sdo l sstitció iversl tg, < < Segú el triglo rectáglo: d se ; cos Por propiedd: se se cos cos ( ) cos se se, cos Adeás tg d d d d d t Observció: ) Si R se, cos R se, cos sele ser coveiete l sstitció cos. ) Si R( se, cos ) R( se, cos ) sele ser coveiete l sstitció se ) Si R se, cos R se, cos sele ser coveiete l sstitció tg - -

15 Itegrl idefiid, técics de itegrció Ejeplo: secos se cos d oo R( se, cos ) R( se, cos ) Sstitios tg tg d d. se ; cos secos d Por lo tto d. cos se d d ( )( ) L( ) L( ) L tg L tg 8.7. INTEGRAIÓN POR SUSTITUIÓN TRIGONOMETRIA E HIPERBÓLIA. Si es fció de derivble se qiere clclr ls itegrles: R(, ) d, R( ), d, R(, ) d Dode R es rciol e ls vribles, ±, i) Pr l itegrl :, d ; >0 Hceos l sstitció trigooetric set t se, R se t t y ls deás fcioes trigooetrics de obtiee del triglo rectáglo. - -

16 Itegrl idefiid, técics de itegrció ii) Pr l itegrl ( ) R, d ; >0 iii) Hceos l sstitció trigooetric tg t t t tg, tg( t) y ls deás fcioes trigooetrics se obtiee del triglo rectáglo. Pr l itegrl R ( ), d ; >0 so (): Si > Hceos l sstitció trigooetrics sec t t sec, sec( t) t y ls deás fcioes trigooetrics se obtiee del triglo rectáglo. so (): Si < > bios l vrible v dv d Lego plicos el cso () Observció: Ls itegrles dds tbié se pede itetr resolverse por sstitció hiperbólics sigiedo los odelos (i), (ii), (iii). Ejeplo: / ( ) d ; >0 Sstitios set d costdt, set t se cost ( cost ) / ( costdt) / ( ) d ( set) t se cost cos t se t cos tdt dt t se( t) se ( t) 8 t [ set cos t costse t] ( set cost) - -

17 Itegrl idefiid, técics de itegrció Observció: Ls itegrles de l for: (, ) d ; ( ) R, ; (, ) R d R d Dode es etero ipr positivo es ás fácil sdo ls sstitcioes., Respectivete Ejeplo: Pr d ; 9 Hciedo 9 d d y 9 Etoces d 9 ( d) 9 ( 9) d ( 9) d ( 8 8) d

18 Itegrl idefiid, técics de itegrció 8.8. RELAIÓN DE EJERIIOS. I.- Ecotrr ls solcioes coplets de ls eccioes difereciles dds ) dy d y dy ) ( ) ) y d Ecotrr l solció prticlr segú ls codicioes dds dy ) ( )( ) ; y -, - d d y ) ( ) ; y -, y - cdo - d dy d y y II.- ) Los ptos (-, ) y (0, ) está e crv y e clqier pto (, y) de l crv d y. Ecotrr l ecció de l crv. d d y ) E clqier pto (,y) de crv y ecció de l rect d tgete l crv e el pto (, ) es y ecotrr l ecció de l crv. ) Sí pelot red sobre el ivel del selo co velocidd iicil de 0p/seg. y si l rpidez de l pelot decrece rzó de p/seg debido l fricció Qé t lejos rodrá l pelot? III. Hllr ls itegrles idefiids. l l e ( l ) ) d ) d ) d l d 8 ) d ) ) d l 9 e se 7) 8) se d d cos 9) e d cos cos tg IV.- Usr ls técics de itegrció pr resolver ls sigietes itegrles: A.- ) 7 ( ) e ( ) e d ) d ) rcse d tg ) d ) l d ) l d B.- ) ) se cos ) se ( d d ) se ) cos d d ) cos cos se ) cos se d se sec c tg d.- ) d ) d ) ( 0) d - -

19 Itegrl idefiid, técics de itegrció ) 7) d ) d ) d d 8) d 9) d D.- ) ) d d 9 ) ) ( ) ( ) ( ( ( 8) ) ( ) d ) ( ) d ) d E.- ) ( d ) ) ( ) d ) d ) d ) ) l d d F.- ) d ) ) 7) 0) l ( ) l d l d d ( ) ) 8) ) d ) d d ) d d 9) tg d ) d d G.- ) ) 7) 9) se d ) d ) d cos cos cos cos se tg se d ) d ) d se cos tg cos cos d 8) d se cos se se se se cos tg d 0) d ) d se cos se cos tg - -