Regresión con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias

Transcripción

1 Regresión con daos de series de iempo: Variables no esacionarias En esas noas se desarrollan los aspecos eóricos y prácicos del capíulo 1 de los libros de exo de R. Carer Hill, William E. Griffihs y Guay C. Lim (1) Principles of Economerics, 4a.ed. (POE4) y de Lee C. Adkins y R. Carer Hill (1) Using Saa for Principles of Economerics (USPOE4). Variables esacionarias y no esacionarias Inspección visual use "C:\POE4\usa.da", clear generae dae = q(1984q1) + _n-1 forma dae %q sse dae sline gdp, name(gdp, replace) ylabel(()16,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("real US gross domesic produc (GDP)", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_1.gph",replace) sline D.gdp, name(dgdp, replace) yline() ylabel(-3(1)3,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("change in GDP", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_.gph",replace) graph combine gdp dgdp, saving("c:\poe4\g1_c1.gph",replace) sline inf, name(inf, replace) ylabel(()14,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("inflaion rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_3.gph",replace) sline D.inf, name(dinf, replace) yline() ylabel(-(1),angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("change in he inflaion rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_4.gph",replace) graph combine inf dinf, saving("c:\poe4\g1_c.gph",replace) sline f, name(f, replace) ylabel(()1,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("federal funds rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_5.gph",replace) sline D.f, name(df, replace) yline() ylabel(-3(1)1,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("change in he federal funds rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_6.gph",replace) graph combine f df, saving("c:\poe4\g1_c3.gph",replace) sline b, name(b, replace) ylabel(()14,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("three-year bond rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_7.gph",replace) sline D.b, name(db, replace) yline() ylabel(-1.6(.4)1.6,angle(horizonal)) xlabel(,labsize(small)) ile("change in he bond rae", size(medium)) yile("") saving("c:\poe4\g1_8.gph",replace) graph combine inf dinf, saving("c:\poe4\g1_c4.gph",replace) graph combine gdp dgdp inf dinf, cols() saving("c:\poe4\g1_a1.gph",replace) graph combine f df b db, cols() saving("c:\poe4\g1_all_a.gph",replace)

2 Algunas series de iempo de la economía noreamericana Real US gross domesic produc (GDP) Change in GDP 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae Inflaion rae Change in he inflaion rae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae 1 Federal funds rae 1 Change in he federal funds rae q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae Three-year bond rae Change in he bond rae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae 1985q1 199q1 1995q1 q1 5q1 1q1 dae

3 Esadísica descripiva summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if in(1984q,1996q4) summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if in(1997q1,) Propiedades de una serie esacionaria E(y ) = μ Media consane (1.1a) Var(y ) = σ Varianza consane (1.1b) Cov(y, y +s ) = Cov(y, y s ) = γ s Covarianza depende de s, no de (1.1c) La exploración visual no es suficiene. Es necesaria una prueba formal de esacionariedad. Modelo AR(1) Es un modelo úil para explicar la diferencia enre una serie esacionaria y una serie no esacionaria y = ρy 1 + v, ρ < 1 (1.a) El supueso ρ < 1 implica que y es esacionaria. El proceso AR(1) muesra que cada realización de la variable aleaoria y coniene una proporción ρ del valor del periodo pasado más un error que sigue una disribución con media cero y varianza σ v.

4 Ejemplos, con daos arificiales: y =.7y 1 + v y = 1 +.7y 1 + v y y clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=.7*l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel(-6(1)6) yline() clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=1+.7*l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel(-(1)1) yline() y = y 1 + v y = y 1 + v 4 8 y y clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=1+.1*+.7*l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel((4)4) clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel(-8(4)16) yline() y =.1 + y 1 + v y = y 1 + v y y clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=.1+l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel((1)6) clear se obs 5 gen =_n sse gen y= in 1 for num /5:replace y=.1+.1*+l.y+rnormal(,1) in X sline y, ylabel(()14)

5 En general AR(p) incluye los rezagos desde y hasa y p. en =1 y 1 = ρy + v 1 en = y = ρy 1 + v = ρ(ρy + v 1 ) + v = ρ y + ρv 1 + v en =3 y 3 = ρy + v 3 = ρ(ρ y + ρv 1 + v ) + v 3 = ρ 3 y + ρ v 1 + ρv + v 3 en y = ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v En cada érmino que coniene ρ y v, el exponene de ρ es j y el subíndice de v es j. Así, por ejemplo, para el úlimo érmino de la expresión anerior el exponenes de ρ es j = y el subíndice de v es j =. Reordenando érminos y = v + ρv 1 + ρ v + + ρ v +ρ 1 v 1 + ρ y La media de y es E(y ) = E(ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ) E(y ) = E(ρ y ) + E(ρ 1 v 1 ) + E(ρ v ) + + E(ρ v ) + E(ρv 1 ) + E(v ) E(y ) = ρ y + ρ 1 E(v 1 ) + ρ E(v ) + + ρ E(v ) + ρe(v 1 ) + E(v ) E(y ) = ρ y para grande y dado que ρ < 1 Por lo ano la media de y es E[y ] =. La varianza de y es es decir lim E(y ) = lim ρ y = y lim ρ = VAR(y ) = E[y E[y ]] = E[y ] VAR(y ) = E[ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v E(ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v )] VAR(y ) = E[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] Desarrollando el polinomio al cuadrado y considerando que el valor esperado de los érminos cruzados en v es cero a parir del supueso de no correlación enre las innovaciones, es decir COV(v, v s ) = E[(v j E[v j ])(v k E[v k ])] = E[v j v k ] = para odo j k, se iene

6 para grande y dado que ρ < 1 Por lo ano, la varianza de y es VAR(y ) = E[ρ 1 v 1 ] + E[ρ v ] + + E[ρ v ] + E[ρv 1 ] + E[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 E[v 1 ] + (ρ ) E[v ] + + (ρ ) E[v ] + (ρ )E[v 1 ] + E[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 VAR[v 1 ] + (ρ ) VAR[v ] + + (ρ ) VAR[v ] + (ρ )VAR[v 1 ] + VAR[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 σ v + (ρ ) σ v + + (ρ ) σ v + (ρ )σ v + σ v VAR(y ) = σ v [1 + ρ + (ρ ) + + (ρ ) + (ρ ) 1 ] 1 + ρ + (ρ ) + + (ρ ) + (ρ ) 1 = 1 1 ρ VAR(y ) = σ 1 v 1 ρ = σ v 1 ρ La covarianza enre dos errores e y e s que esán disanes s periodos es γ s = COV(e, e s ) = E[(e E[e ])(e s E[e s ])] = E[e e s ] Susiuyendo (9B.4) y el rezago de e a s periodos de (9B.4) se iene γ s = E[(v +ρv 1 + ρ v + ρ 3 v ρ s 1 v (s 1) + ρ s v s + ρ s+1 v (s+1) + ρ s+ v (s+) + ρ s+3 v (s+3) + )(v s +ρv (s+1) + ρ v (s+) + ρ 3 v (s+3) + )] Los érminos cruzados de v originarán érminos de covarianza enre v y v s que serán cero, de acuerdo con el supueso COV(v, v s ) = para s hecho en (9.31). Así, el resulado anerior se simplifica a = E[ρ s v s + ρ s+ v (s+1) + ρ s+4 v (s+) + ] = E[ρ s v s ] + E[ρ s+ v (s+1) ] + E[ρ s+4 v (s+) ] + = ρ s E[v s ] + ρ s+ E[v (s+1) ] + ρ s+4 E[v (s+) ] + = ρ s σ v + ρ s+ σ v + ρ s+4 σ v + = ρ s σ v (1 + ρ + ρ 4 + ) COV(e, e s ) = ρ s 1 σ v 1 ρ = ρs σ v 1 ρ Así, el modelo AR(1) expresado en (1.a) es un ejemplo clásico de un proceso esacionario con media cero. Los daos del mundo real difícilmene endrán media cero. Ahora se inroduce el caso de una media μ disina de cero, reemplazando y en (1.a) por y μ como sigue (y μ) = ρ(y 1 μ) + v despejando y y = μ(1 ρ) + ρy 1 + v

7 que puede expresarse como siendo Por recursividad se iene y = α + ρy 1 + v, ρ < 1 (1.b) α = μ 1 ρ y 1 = α + ρy + v 1 y = α + ρy 1 + v = α + ρ(α + ρy + v 1 ) + v = α(1 + ρ) + ρ y + ρv 1 + v y 3 = α + ρy + v 3 = α + ρ(α + αρ + ρ y + ρv 1 + v ) + v 3 = α(1 + ρ + ρ ) + ρ 3 y + ρ v 1 + ρv + v 3 generalizando en y = α + ρy 1 + v = α(1 + ρ + ρ + + ρ 1 ) + ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v Media Varianza E[y ] = E[α(1 + ρ + ρ + + ρ 1 ) + ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] E[y ] = E [α 1 1 ρ ] + E[ρ y ] + E[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] E[y ] = α 1 ρ = μ VAR[y ] = VAR[α(1 + ρ + ρ + + ρ 1 ) + ρ y + ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] VAR[y ] = VAR[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] VAR[y ] = E[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v E[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ]] para grande y dado que ρ < 1 Por lo ano, la varianza de y es VAR[y ] = E[ρ 1 v 1 + ρ v + + ρ v + ρv 1 + v ] VAR(y ) = E[ρ 1 v 1 ] + E[ρ v ] + + E[ρ v ] + E[ρv 1 ] + E[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 E[v 1 ] + (ρ ) E[v ] + + (ρ ) E[v ] + (ρ )E[v 1 ] + E[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 VAR[v 1 ] + (ρ ) VAR[v ] + + (ρ ) VAR[v ] + (ρ )VAR[v 1 ] + VAR[v ] VAR(y ) = (ρ ) 1 σ v + (ρ ) σ v + + (ρ ) σ v + (ρ )σ v + σ v VAR(y ) = σ v [1 + ρ + (ρ ) + + (ρ ) + (ρ ) 1 ] 1 + ρ + (ρ ) + + (ρ ) + (ρ ) 1 = 1 1 ρ

8 VAR(y ) = σ 1 v 1 ρ = σ v 1 ρ De acuerdo con lo anerior, se describe la variable desviada de la media y μ, como esacionaria alrededor de cero, o bien la variable y como esacionaria alrededor de su valor medio μ = Ejemplo: el proceso en el que E(y ) = μ = y = 1 +.7y 1 + v α 1 ρ. α 1 ρ = = 1.3 = 1 3 = 3.33 Ora exensión de (1.a) es considerar un modelo AR(1) que flucúe en orno a una endencia lineal μ + δ. En ese caso, la serie sin endencia en forma auorregresiva es y μ δ = ρ(y 1 μ δ( 1)) + v, ρ < 1 desarrollando los érminos, agrupando y despejando a y se obiene y = μ + δ + ρy 1 ρμ ρδ( 1) + v y = μ(1 ρ) + ρδ + δ + ρy 1 ρδ + v y = μ(1 ρ) + ρδ + δ(1 ρ) + ρy 1 + v que puede expresarse como y = α + ρy 1 + λ + v (1.c) donde α = μ(1 ρ) + ρδ λ = δ(1 ρ) Por recursividad se iene y 1 = α + ρy + λ + v 1 y = α + ρy 1 + λ + v = α + ρ(α + ρy + λ + v 1 ) + λ + v = α(1 + ρ) + ρ y + λ( + ρ) + ρv 1 + v y 3 = α + ρy + 3λ + v 3 = α + ρ[α(1 + ρ) + ρ y + λ( + ρ) + ρv 1 + v ] + 3λ + v 3 = α(1 + ρ + ρ ) + ρ 3 y + λ(3 + ρ + ρ ) + ρ v 1 + ρv + v 3 generalizando en y = α + ρy 1 + λ + v = α + ρ[α(1 + ρ + ρ + ) + ρ 1 y + λ{( 1) + ( )ρ + + ρ 3 + ρ } + ρ v 1 + ρ 3 v + ρ 4 v ρv + v 1 ] + λ + v = α(1 + ρ + ρ + ) + ρ y + λ{ + ( 1)ρ + ( )ρ + + 3ρ 3 + ρ + ρ 1 } + ρ 1 v 1 + ρ v + ρ 3 v ρ v + ρv 1 + v Media E[y ] = E[α(1 + ρ + ρ + ) + ρ y + λ{ + ( 1)ρ + ( )ρ + + 3ρ 3 + ρ + ρ 1 } + ρ 1 v 1 + ρ v + ρ 3 v ρ v + ρv 1 + v ] E[y ] = αe[1 + ρ + ρ + ] + E[ρ y ] + λe[ + ( 1)ρ + ( )ρ + + 3ρ 3 + ρ + ρ 1 ] + E[ρ 1 v 1 + ρ v + ρ 3 v ρ v + ρv 1 + v ]

9 E[y ] = α(1 + ρ + ρ + ) + λ{ + ( 1)ρ + ( )ρ + + 3ρ 3 + ρ + ρ 1 } + ρ 1 E[v 1 ] + ρ E[v ] + ρ 3 E[v 3 ] + + ρ E[v ] + ρe[v 1 ] + E[v ] E[y ] = α(1 + ρ + ρ + ) + λ{(1 + ρ + ρ + ) (ρ + ρ + 3ρ ρ 3 + ρ + ρ 1 )} E[y ] = α(1 + ρ + ρ + ) + λ(1 + ρ + ρ + ) λρ(1 + ρ + 3ρ + 4ρ ρ 4 + ρ 3 + ρ ) E[y ] = α 1 1 ρ + λ 1 1 ρ λρ 1 (1 ρ) = α 1 ρ ρλ (1 ρ) + λ 1 ρ haciendo δ = λ 1 ρ μ = α 1 ρ ρ λ (1 ρ) (1 ρ) = α 1 ρ ρδ 1 ρ se obiene Varianza = α ρδ 1 ρ α ρδ E[y ] = 1 ρ + λ = μ + δ 1 ρ Se deja como ejercicio desarrollar VAR[y ] para obener un puno adicional en la evaluación final. Un ejemplo de ese ipo de series es el proceso en el que y = y 1 + v λ = δ(1 ρ) =.1(1.7) =.3 α ρδ μ = 1 ρ = = Modelos de caminaa aleaoria Considerando el caso especial de ρ = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (1.a) y = y 1 + v (1.3a) La solución por recursividad en =1 y 1 = y + v 1 en = y = y 1 + v = (y + v 1 ) + v = y + s=1 v s

10 generalizando en y = y 1 + v = y + Media s=1 v s E[y ] = y + E[v 1 + v + + v ] = y + E[v 1 ] + E[v ] + + E[v ] = y Varianza VAR[y ] = VAR[v 1 + v + + v ] = E[v 1 ] + E[v ] + + E[v ] = σ v La media es consane y la varianza no es consane, por lo que la serie de caminaa aleaoria es no esacionaria. Un ejemplo de ese ipo de caminaa aleaoria es el proceso y = y 1 + v en el que ρ = 1 y no hay endencia deerminísica. En la descomposición de y = y + s=1 v s, el érmino s=1 v s es denominado endencia esocásica. Caminaa aleaoria con drif o deriva Considerando el caso especial de ρ = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (1.a) con un inercepo α y = α + y 1 + v (1.3b) La solución por recursividad en =1 y 1 = α + y + v 1 en = y = α + y 1 + v = α + (α + y + v 1 ) + v = α + y + generalizando en y = α + y 1 + v = α + y + Media s=1 v s s=1 v s E[y ] = E[α + y + s=1 v s ] = α + y + E[ s=1 v s ] = α + y + s=1 E[v s ] = α + y o Varianza VAR[y ] = VAR[v 1 + v + v v ] = E[v 1 ] + E[v ] + + E[v ] = σ v La media y la varianza no son consanes, dependen de, por lo que la serie de caminaa aleaoria con drif es no esacionaria. Un ejemplo de ese ipo de caminaa aleaoria es el proceso y =.1 + y 1 + v.

11 Caminaa aleaoria con drif y endencia Considerando el caso especial de ρ = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (1.a) con un inercepo α y endencia y = α + δ + y 1 + v (1.3c) La solución por recursividad en =1 y 1 = α + δ + y + v 1 en = y = α + δ + y 1 + v = α + δ + (α + δ + y + v 1 ) + v = α + 3δ + y + v s generalizando en y = α + δ + y 1 + v = α + ( (+1) ) δ + y + v s En el resulado anerior se oma en cuena el resulado aplicable a la progresión geomérica s= = ( + 1) Se deja como ejercicio desarrollar E[y ] y VAR[y ] para obener dos punos adicionales en la evaluación final. Es claro que para ese proceso que la media y la varianza no son consanes, dependen de, por lo que el proceso de caminaa aleaoria con drif α y endencia es no esacionaria. s=1 Regresiones espurias Deecar si una serie de iempo y es esacionaria o no, anes de realizar el análisis economérico es imporane para no incurrir en el riesgo de obener resulados aparenemene significaivos a parir de daos no relacionados al emplear series no esacionarias. Esas regresiones son espurias. Para ilusrar ese problema consideremos dos series independienes de caminaa aleaoria rw 1 : y = y 1 + v 1 rw : x = x 1 + v donde v 1 y v son errores independienes N(,1). Las series se generan independienemene, de manera que una no iene relación con la ora. A coninuación, un caso ilusraivo

12 use "C:\poe4\spurious.da", clear gen ime = _n sse ime regress rw1 rw esa bgodfrey sline rw1 rw, name(g1, replace) scaer rw1 rw, name(g, replace) rw 1 = rw, R =.7 ( = 4.837) RW process 4 6 RW process ime RW process RW process 4 6 RW process

13 Cuando se esima un modelo de regresión con series de iempo no esacionarias, los resulados pueden indicar espuriamene una relación significaiva, cuando ésa no exise. Típicamene, los residuales de esas regresiones se muesran alamene correlacionados. En esos casos, los esimadores de mínimos cuadrados ordinarios no cumplen con las propiedades usuales y los esadísicos no son confiables. En virud de ese problema laene, cómo probar esacionariedad en una serie de iempo? y cómo manejar el análisis de regresión con daos no esacionarios? Pruebas Dickey-Fuller de raíces uniarias para esacionariedad La manera formal de probar esacionariedad es examinando el valor de ρ en el modelo AR(1). Casos 1. Proceso AR(1) sin consane y sin endencia A parir de y = ρy 1 + v (1.4) donde v es independiene con media cero y varianza consane σ v. Resando y 1 en ambos lados de la igualdad se obiene la ecuación de prueba y y 1 = ρy 1 y 1 + v o equivalenemene y = (ρ 1)y 1 + v y = γy 1 + v (1.5a) donde γ = ρ 1 y y = y y 1. El conrase de hipóesis es H o ρ = 1 para no esacionariedad conra H a ρ < 1 para esacionariedad. Enonces, la hipóesis puede planearse en érminos de ρ o de γ : H ρ = 1 H γ = H 1 ρ < 1 H 1 γ < Si no se rechaza H la serie corresponde a un proceso no esacionario, γ =, es decir ρ 1 =, que equivale a ρ = 1. Si se rechaza H la serie corresponde a un proceso esacionario.. Proceso AR(1) con consane y sin endencia A parir de y = α + ρy 1 + v donde v es independiene con media cero y varianza consane σ v. Resando y 1 en ambos lados de la igualdad y y 1 = α + ρy 1 y 1 + v

14 se obiene la ecuación de prueba y = α + (ρ 1)y 1 + v o equivalenemene y = α + γy 1 + v (1.5b) donde γ = ρ 1 y y = y y 1. El conrase de hipóesis es H o ρ = 1 para no esacionariedad conra H a ρ < 1 para esacionariedad. Enonces, la hipóesis puede planearse en érminos de ρ o de γ : H ρ = 1 H γ = H 1 ρ < 1 H 1 γ < Si no se rechaza H la serie corresponde a un proceso no esacionario, γ =, es decir ρ 1 =, que equivale a ρ = 1. Si se rechaza H la serie corresponde a un proceso esacionario. 3. Proceso AR(1) con consane y con endencia A parir de y = α + ρy 1 + λ + v donde v es independiene con media cero y varianza consane σ v. Resando y 1 en ambos lados de la igualdad se obiene la ecuación de prueba y y 1 = α + ρy 1 y 1 + λ + v o equivalenemene y = α + (ρ 1)y 1 + λ + v y = α + γy 1 + λ + v (1.5c) donde γ = ρ 1 y y = y y 1. El conrase de hipóesis es H o ρ = 1 para no esacionariedad conra H a ρ < 1 para esacionariedad. Enonces, la hipóesis puede planearse en érminos de ρ o de γ : H ρ = 1 H γ = H a ρ < 1 H a γ < Si no se rechaza H la serie corresponde a un proceso no esacionario, γ =, es decir ρ 1 =, que equivale a ρ = 1. Si se rechaza H la serie corresponde a un proceso esacionario.

15 Los valores críicos de la prueba Dickey-Fuller El esadísico calculado para la prueba Dickey-Fuller es denominado esadísico τ y su valor debe ser comparado con el correspondiene valor críico τ c a un nivel de significancia dado. La regla de decisión: si τ τ c se rechaza la hipóesis nula de no esacionariedad. Si τ > τ c no se rechaza la hipóesis nula. Si el érmino de error esá auocorrelacionado, se iene la ecuación con inercepo exendida en un número suficiene de érminos de rezago que capuran la dinámica complea del proceso. Dicha ecuación es y = α + γy 1 + m s=1 a s y s + v (1.6) donde y 1 = y 1 y, y = y y 3, Se agregarán anos érminos de rezago de la primera diferencia como sean necesarios que aseguren que los residuales no esén correlacionados. También se puede considerar incluir rezagos de la variable dependiene. El número de rezagos necesario puede deerminarse examinando la función de auocorrelación (ACF) de los residuales v o la significancia de los coeficienes esimados de los rezagos de primera diferencia a s. Con base en (1.6) las pruebas de raíces uniarias y sus varianes (sin inercepo o con endencia) son conocidas como pruebas Dickey-Fuller aumenadas. En la prácica se uilizan las pruebas Dickey-Fuller aumenadas (en lugar de la versión no aumenada) para asegurar que los errores son no correlacionados. En odo caso son empleados los valores críicos de la siguiene abla presenada en el exo de R. Carer Hill, William E. Griffihs y Guay C. Lim (1)

16 Procedimienos para la prueba Dickey-Fuller Los valores críicos de las pruebas Dickey-Fuller se derivan de las siguienes simulaciones Proceso verdadero Ecuación de prueba y = y 1 + v v ~N(, σ ) y = ρy 1 + v y = y 1 + v v ~N(, σ ) y = α + ρy 1 + v y = δ + y 1 + v v ~N(, σ ) y = α + ρy 1 + λ + v Primero, elaborar la gráfica de la serie de iempo de la variable y seleccionar la prueba Dickey-Fuller adecuada con base en una inspección visual de la gráfica. i) Si la serie flucúa en orno a una media muesral de cero, emplear la prueba para el modelo sin consane y sin endencia. ii) iii) Si la serie flucúa en orno a una media muesral diferene de cero, emplear la prueba para el modelo con consane y sin endencia. Si la serie flucúa en orno a una endencia lineal, emplear la prueba para el modelo con consane y con endencia. Segundo, proceder con una de las prueba de raíz uniaria omando en cuena que es imporane la elección correca de los valores críicos de acuerdo con la ecuación de prueba esimada, la cual, depende de la ausencia o presencia de los érminos consane y de endencia. Las pruebas Dickey-Fuller: ejemplo Considere dos series de iempo de asas de inerés: la asa de rendimieno de fondos federales F y la asa de rendimieno de un bono a res años B. En las gráficas respecivas de primeras diferencias se observa una media disina de cero, por lo que se realizará la prueba con la ecuación con consane y sin endencia. El modelo (1.6) con los rezagos requeridos de acuerdo a su significancia es para F F = α + γf 1 + a s F s + v m s=1

17 para B B = α + γb 1 + a s B s + v m s=1 En Saa use "C:\poe4\usa.da", clear gen dae = q(1984q1) + _n - 1 forma %q dae sse dae * Augmened Dickey Fuller Regressions wih buil in funcions dfuller f, regress lags(1) dfuller b, regress lags(1) F = F F 1 (au) (.55) B =.37.56B B 1 (au) (.73)