Análisis matemático. Hoja de Problemas nº 1 (Tema 1)

Transcripción

1 Tema Aálisis matemático Hoja de Poblemas º (Tema ) Pueba po iducció: i) ( ) ii) Desigualdad de Beouilli: Si a, etoces ( a) a iii) Todos los úmeos de la foma so múltiplos de 8 iv) es siempe u úmeo positivo v) vi) cos cos cos cos se se vii) es divisible po sea cual fuee a) Pueba que es u úmeo iacioal b) Pueba que es u úmeo iacioal c) Decimos que u úmeo eal es algebaico si es aíz de u poliomio (o ulo) de coeficietes eteos Demuesta que 5 es u úmeo algebaico a) Demuesta que log 7 es iacioal b) Pueba que los úicos úmeos atuales paa los que log es acioal so las potecias de de epoete eteo o egativo 4 Resolve las siguietes desigualdades: i) 5( ) < 5; ii) < ; iii) ; iv) ( )( ) < v) ; vi) 5 9 > ; vii) > ; 5 5 Sea p Q, p R\Q Pueba que p p so úmeos iacioales 6 Calcula cotas supeioes e ifeioes, supemo e ífimo, máimo míimo (si eiste) de los siguietes cojutos i) {,,,, }; ii) Z; iii) { R / 5 6 }; iv) { Q / < 5}; v) { R\Q / < }; vi) { R / < }; vii) {, N} 7 Demuesta que si es u úmeo positivo, etoces 8 Demuesta que si a b so úmeos eales positivos co a > b, se veifica: ab a b a b < ab < < a b /

2 9 Calcula: a), ; b), ; c), Tema Ecueta los úmeos eales paa los que: i) 6 ; ii) ; iii) 4 ; iv) < ; v) ; vi) > ; vii) 4 < ; viii < ; i) ; ) 4 ; i) ; ii) > ; iii) < ; (iv) Repeseta e R los siguietes cojutos: {(, ) R / < }; {(, ) R / } {(, ) R / }; {(, ) R / > }; {(, ) R / > }; {(, ) R / > e > }; {(, ) R /, N}; {(, ) R / < }; {(, ) R / } \ {(, )}; {(, ) : > }; {(, ) : < }; /

3 Tema Aálisis matemático Hoja º (Tema ) Descibi los cojutos de úmeos complejos que veifica las siguietes codicioes: a) z z; b) z z ; c) z a < co a fijo; d) z a z b co ab, fijo; z e) z Detemia, e cada caso, los úmeos eales e que veifica: a) i i ; b) i i ; c) i i Halla el módulo el agumeto de los siguietes úmeos complejos: a) 4i; b) ( 4i) ; c) ( 4i) 6 ; c) ( i) ; d) 4i ; e) 8 i i ; cosα i siα f) cos β i si β 4 Poba que: m, m a) z z ; b) z z ; c) z w z w ; d) z w z z z z f) z z (, ) ; g) Re z ; h) Im z i 5 Halla todos los valoes de las siguietes aíces: zw ; e) ( z ) a) ; b) i ; c) 4 ; d) i ; e) i ; f) 6 i 6 Detemia todos los úmeos complejos z que veifica: z ; a) z 4i; b) z zi ; c) z 4 z 4 ; d) z z ; e) z z ; f) z 8 z cae deto del ecito del plao complejo defiido po z < z 7 a) Sea z co z Poba que es imagiaio puo z b) Sea z u úmeo complejo de módulo Poba que el úmeo z z es eal /

4 Tema Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º (Tema ) E cada uo de los casos siguietes, ecota u δ > tal que ƒ() l < ε paa todo que satisfaga < a < δ a) ƒ(), a, l 5; b) ƒ() se, a, l ; c) ƒ(), a, l Demosta que Cuáto vale este límite? a a a a lim m bm b b es u úmeo eal si sólo si m Estudia la eistecia de lím f ( ), calculalo, cuado eista, e los siguietes casos: a a) a 5 f ( ) ; b) a f ( ) ; 4 5 c) a f ( ) ; d) a f ( ) cos ; e) a f ( ) cos ; Si eiste lím f ( ) vale b, poba que: a a) Si c > b, δ > tal que si < a < δ, etoces ƒ() < c b) Si c < b, δ > tal que si < a < δ etoces ƒ() > c 5 Sea ƒ : A R de modo que eiste lím f ( ) Es cieto que eiste lím f ( )? a 6 Sea ƒ : (a, b) R moótoa ceciete Poba que: lím f ( ) sup {ƒ() / < c} if {ƒ() / > c} lím f ( ) c c 7 Estudia la cotiuidad de las siguietes fucioes e los putos dode se idica: a) b) f ( ) si,, ƒ(), ƒ() Estudia e R 9 f ( ) se si, ƒ() Estudia e R 8 Sea,,,, úmeos eales distitos Ecota ua fució poliómica ƒ de gado tal que ƒ(i) ai, dode a, a,, a so úmeos dados Da u poliomio P de gado tal que P(), P() 7, P P 4 9 Sea ƒ la fució ƒ() si [, ] \ Q ƒ(p/q) si p/q [, ] es ua facció ie- q ducible Sea g (a) lím f ( ) Es la fució f cotiua e [, ]? Lo es g? a Costui f : R R cotiua que veifique: ƒ() paa todo R, ƒ() si ƒ() si < a /6

5 Tema Poba que si ƒ: R R es cotiua, iectiva ƒ(a) ƒ(b), co a < b, etoces f a, b f ( a), f ( b) ( [ ] ) [ ] Sea f, g : [a, b] R ambas cotiuas co ƒ(a) < g(a) ƒ(b) > g(b) Demosta que eiste [a, b] tal que ƒ() g() Sea F: [, ) [, ) cotiua, co F() > tal que si < α β, es F(β) F(α) ( β α) Poba que eiste u úico a > tal que F(a) a a) Poba que la ecuació tiee al meos ua solució ( ) 6 b) Si α < β, poba que la ecuació tiee al meos ua solució e el itevalo α β (α, β) c) Poba que la ecuació 7 8 tiee ua aíz mao que 7 Calculala co u eo meo que 5 Paa cada ua de las fucioes poliómicas siguietes ƒ, halla u eteo tal que ƒ() paa algú [, ] a) ƒ() ; b) ƒ() ; c) ƒ() 5 ; d) ƒ() Sea P() ua fució poliómica tal que el coeficiete de la potecia de de mao gado es Poba que: a) Si P es de gado pa, etoces lím P( ) ; b) Si P es de gado impa, etoces lím P( ) lím P( ) 7 Sea P() ua fució poliómica de gado pa Poba que eiste R tal que P() P() ó P() P() paa todo R 8 Sea ƒ ua fució cotiua sobe R de modo que lím f ( ) que ƒ toma todos los valoes eales lím f ( ) Poba 9 Cosideemos la ecuació a a a co impa los ai eales Poba que dicha ecuació tiee al meos ua aíz eal Sea ƒ : R R cotiua co lím f ( ) l a) Poba que ƒ está acotada lím f ( ) l b) Poba que si l l, etoces ƒ tiee máimo /o míimo, l, l R Sea d ua diecció e el plao T u tiágulo Poba que eiste ua ecta co diecció d de modo que divide al tiágulo T e dos pates de igual áea /6

6 Tema Desaollo de las solucioes de alguos de los poblemas popuestos c) ƒ() ρ es lo que teemos que hace meo que u ε > dado peviamete Hagamos maipulacioes e paa que apaezca el que haemos pequeño Obviamete todo uesto poblema se educe a acota Es- bocemos la gáfica de : Si, po ejemplo <, está e la zoa aada, co lo que >, etoces, > > Así pues, si <, etoces < U vez que hemos escito ƒ() ρ < K a, el poblema está esuelto pues dado ε >, tomo δ mi, ε, si < δ, e paticula seá meo que, co lo que <, po se ε ε δ <, sigue que si < δ, < ε 5 a) lím Como tato umeado como deomiado so fucioes cotiuas 4 5 que se aula e, el límite de ambos e es po lo que o podemos aplica el esultado de que el límite del cociete es el cociete de los límites Peo ambos poliomios so divisibles po, po lo que podemos escibi c) / / 5 lím 4 5 ( )( ) lím ( )( ) ( )( ) lím lím 4 ( )( ) lím lím 4 lím ( )( 6 4) ( 6 4) lím lím ( ) 4 a) Hagamos u esbozo gáfico de lo que sigifica que lím f ( ) b : a c b δ Sea c > b Así pues c b > Sea ε c b a /6

7 Sé que eiste δ > tal que si < a < δ, etoces ƒ() b < c b, es deci ƒ() b < c b ƒ() < c como queíamos poba De foma totalmete aáloga se pueba el apatado b) Hazlo ahoa! 6 Pobemos que lím f ( ) sup {ƒ() : < c} Audémoos co ua gáfica: c a c b Tema Obviamete {ƒ() : < c} está acotado supeiomete pues ƒ() ƒ(t) co t (c, b) < c Sea l sup {ƒ() : < c} Veamos que lím f ( ) l, es deci, veamos que dado ε >, eiste δ > / c < δ ƒ() l < ε c Como l ε o es cota supeio de {ƒ() : < c}, eiste d < c co ƒ(d) > l ε Sea δ c d Si c < δ, etoces c < c d > d ƒ () f (d) ƒ() > l ε, es deci ε < ƒ() l Po ota pate, como ƒ() l si < c, es ƒ() < l ε, es deci ƒ() l < ε Hemos pobado, pues, que si c < δ, es ε < ƒ() l < ε ƒ() l < ε El cecimieto de ƒ pueba que sup {ƒ() : < c} if {ƒ() : > c} la igualdad if {ƒ() : > c} lím f ( ) se demuesta de maea totalmete aáloga a lo que acabamos de c desaolla Si ƒ es dececiete, aplicamos las desigualdades ateioes a la fució moótoa ceciete (ƒ) queda: lím f ( ) if {ƒ() : > c} sup {ƒ() : < c} lím f ( ) c 7 a) f ( ) si {, }, ƒ(), ƒ() 9 Si {, }, ƒ es cotiua po tatase de u cociete de fucioes cotiuas o aulase el deomiado Calculemos lím f ( ) lím lím lím ƒ() po lo 9 ( )( ) 6 que ƒ o es cotiua e lím f ( ) lím Como lím f ( ), ƒ o es cotiua e 9 8 El poliomio buscado seá de la foma ƒ() b b b b Veamos que, co los datos dados, podemos obtee los úmeos bi f ( ) b b b b a f ( ) b b b b a f ( ) b b b b a c 4/6

8 Tema Fijados los úmeos a, a,, a, el sistema escito, de icógitas las b-es es compatible de- temiado, pues el detemiate de la matiz de los coeficietes, a sabe, u detemiate de Vademode, siedo su valo ( i j ), distito de ceo pues los i so distitos Así pues, ago matiz coeficietes ago matiz ampliada º icógitas El caso paticula que os pide se esuelve si más que sustitui las i po,,, las ai po, 7 4 espectivamete 9 ƒ o es cotiua e [, ] pues, po ejemplo, o lo es e a que ƒ () lím f ( ) o es pues e cualquie etoo de ha úmeos iacioales, po tato, co image Estudiemos la fució g: Sea a [, ] Como cada etoo de a cotiee úmeos iacioales su image po ƒ es, es clao que lím g( ), de eisti, debeá se Veamos que, efectivamete, lím g( ) a Dado ε >, tomo q N co a j< i, es p < ε Sea,,, los acioales de [, ] de la foma q q co q q Ha, atualmete, ua catidad fiita de ellos ( po qué?) Si a es uo de ellos lo quito sea δ mi { a i, i,,, } Obviamete δ > pues es el míimo de u cojuto fiito de úmeos positivos Si < a < δ es, o bie poque es iacioal o poque es acioal de la foma q p co q q Así pues ƒ() ó f ( ) < q q < ε Es deci, ƒ() < ε si < a < δ, co lo que lím f ( ), o sea, g (a), de dode g es costate e [, ], po tato, cotiua a Se podía pesa, e picipio, que la gáfica de F podía hace algo así co lo que o iba a eisti el tal a Vamos a ve que eso o es posible E pime luga, veemos que eiste a co F (a) a Luego veemos que es úico Si ( ) ) () F F( < F el poblema está esuelto pues la situació seía así: Y como F es cotiua, había u a (, ()) la bisectiz, po tato, F (a) a Supogamos pues ( F( ) ) F() F dode F cotaía a F > Po la codició dada, tomo α β 4F () digo 4F() F() 4F() F() F 4F() F( la situació seía así: F ( ) ( ) ) F () F (F ()) F () F () 4F () 5/6

9 Ota vez po la cotiuidad de F, eiste a ( F( ),4F() ) Veamos que ha u úico a co esa popiedad: tal que F (a) a Tema Si eistiea b > a co F (b) b, aplico la codició dada digo F (b) F (a) ( b a), o sea: b a ( b a) que es absudo Aálogamete si a > b 4 b) Cosideemos la fució ƒ() E (α, β), ƒ es cotiua Po ota pate, lím f ( ) 6 veamos que eiste a (α, β) co ƒ(a) α β α lím f ( ) Así pues, eiste úmeos m co m < tales que ƒ(m) >, ƒ () < ambos de (α, β) co lo que aplicado el teoema de Bolzao a la fució cotiua ƒ e [m, ] aseguamos la eistecia del a buscado 9 Sea p () a a a a a a Podemos escibi p () como co lo que al se impa, es lím p( ) lím p( ) Como p es cotiua la ateio afimació os asegua la eistecia de úmeos m q tales que m < q ƒ(m) < ƒ(q) >, volvemos a aplica el teoema de Bolzao e [m, q] aseguamos la eistecia de ua aíz U agumeto difeete estaía basado e la eistecia de u úmeo pa de aíces complejas ( po qué?) co lo que al se impa habá algua aíz eal β 6/6

10 Aálisis matemático Hoja º 4 (Tema 4) Tema 4 Sea ƒ ua fució que satisface ƒ( ) ƒ() ƒ() paa cualesquiea e supogamos lím 7 f ( h) h h a) Calcula ƒ() b) Utiliza la defiició de deivada paa halla ƒ () f ( ) f () Supó que f es ua fució paa la que lím Cuáles de las siguietes afimacioes tiee que se vedadeas, cuáles puede se vedadeas cuáles uca puede se ve- dadeas? a) ƒ () ; b) ƒ() ; c) lím f ( ) f () ; d) f es cotiua e ; e) ƒ es cotiua e Empaeja cada ua de las gáficas (a e) co la de su deivada (iv) Eplica tu azoamieto a) b) c) d) e) i) ii) iii) iv) v) a si 4 Sea ƒ() b si > a) Halla todos los posibles valoes de a b paa los que ƒ es cotiua e b) Dibuja la gáfica de ƒ cuado a b c) Halla todos los valoes de a b paa los que ƒ es deivable e d) Dibuja la gáfica de ƒ paa los valoes de a b hallados e el apatado c) 5 Detemia si las afimacioes siguietes so siempe vedadeas o si puede se falsas e alguas ocasioes Justifica tu espuesta a) Si ƒ() < ƒ() >, debe habe u úmeo z (, ) tal que ƒ(z) b) Si ƒ es cotiua e [, ], ƒ() < ƒ() >, debe habe u úmeo z (, ) tal que ƒ(z) c) Si ƒ es cotiua e [, ] ha u úmeo z (, ) tal que ƒ(z), etoces ƒ() ƒ() tiee que tee sigo difeete d) Si ƒ o tiee ceos es cotiua e [, ], etoces ƒ() ƒ() tiee el mismo sigo 6 Halla ƒ e témios de g si: a) ƒ() ( g(a) ; b) ƒ() g ) g ( g(a) ); c) ƒ() ( g() ) g 7 U astoauta viaja de izquieda a deecha a lo lago de la cuva Al descoecta el cohete viajaá a lo lago de la tagete a la cuva e el puto de descoeió E qué puto debeá paa el moto paa alcaza el puto (4, 9)? Y paa llega al (4, 9)? 8 Sea h ( ) f ( g( ) ) dode ƒ g tiee las gáficas que te mostamos: f g a) Calcula h() h() b) Es h () positivo, egativo o ceo? Justifícalo c) Es h () positivo, egativo o ceo? Justifícalo /

11 Tema 4 l 9 Dibuja la gáfica de f ( ) Qué es mao: e ó e? Eplica po qué la ecuació b tiee como mucho ua solució e [, ] sea cual fuee el úmeo b Demuesta que la ecuació cos se tiee eactamete dos solucioes eales Halla los máimos míimos locales absolutos de las fucioes siguietes: a) ƒ() 8 e [, ] / b) ƒ() 4 e [, 5] A cotiuació, dibuja sus gáficas Calcula los siguietes límites: e e cos a) lím ; b) lím ; c) lím ; d) lím se 4 se log 4 Dibuja las gáficas de las fucioes siguietes: a) f ( ) ; b) f ( ) 4 5 Los beeficios de ua fábica de camisas depede del úmeo de camisas que se fabica cada día, segú la fució ƒ() 5 6 9, dode mide el úmeo de miles de camisas fabicadas al día ƒ() la gaacia e milloes de euos al mes Atediedo al úmeo de máquias pesoal ecesaios, la fábica puede opta po fabica u úmeo diaio de camisas compedido ete 4 Cuátas camisas debe fabica paa obtee u beeficio máimo? /

12 Aálisis matemático Hoja º 5 (Tema 5) Tema 5 a) Esboza la gáfica de la cuva paa divide dicho itevalo e cico pates iguales paa demosta que: d < ' ' '4 '6 '8 < ' '4 '6 '8 b) Divide dicho itevalo e luga de 5 e pates iguales obté las desigualdades: d < < c) Demuesta que la difeecia ete estas dos sumas es d) Cómo debe se de gade paa calcula d co u eo de utilizado ua de las sumas ateioes? b Sea ƒ cotiua e R tal que f ( ) a d paa cualesquiea a, b R Pueba que ƒ es idéticamete ula Si calcula eplícitamete igua itegal, di cuál de las siguietes o es igual a ceo: a) se d ; b) se d - ; c) cos d ; d) cos d ; e) cos d - 4 Sea ƒ la fució cua gáfica es la de la figua, que cosiste e dos segmetos dos cuatos de cicufeecia a) Calcula f ; b) Calcula f ; c) Deduce, utilizado agumetos geométicos la itegal ( 5) 9 d (Idicació ( 5) , el pime sumado fució impa el segudo sumado coespode a ua fució cua gafica es pate de ua cicufeecia) 6 Cuato estudiates de Igeieía Ifomática o se poe de acuedo sobe el valo de la itegal 8 5 se d Atoio dice que vale, Beatiz que es igual a ; Calos dice que vale 8 mietas que Diaa dice que es Uo de los cuato está e lo cieto Quié es? (No 9 itetes calcula la itegal; elimia las espuestas que ceas eóeas) 7 Ecota F paa F defiida sobe [, ] del modo siguiete: ) F( ) se t dt ; ) F( ) dt ; ) F( ) t dt t ; g( ) 4) F( ) f () t dt ; co g deivable f cotiua 8 ) Poba que F es cotiua e R cos si < ) Demosta que eiste F si Sea F() si ) Estudia si F es deivable e t e dt si > 4) Estudia la cotiuidad de F () 9 La base de u sólido es la egió del plao limitada po el eje las ectas, 5 Cada secció pepedicula al eje es u cuadado Halla el volume del sólido /

13 Tema 5 Halla el volume del sólido fomado cuado la egió dada po la cuva se el itevalo [, ] gia alededo del eje Halla el volume del sólido fomado cuado la egió limitada po las cuvas, gia alededo del eje Esboza la gáfica de la cuva / / 9 Halla la logitud de dicha cuva ete 7 Deduce el áea de ua esfea de adio 5 4 Calcula las siguietes itegales impopias: a) d 5 ; b) e d d d ; c) ; d) 4 5 Demosta, utilizado el citeio de compaació, que las dos itegales impopias siguietes so covegetes: d e a) ; b) d 6 Demosta, utilizado el citeio de compaació, que las dos itegales impopias siguietes so divegetes: d se a) ; b) d 7 Calcula las siguietes itegales impopias: d d a) ; b) e d log ; c) 8 Detemia la covegecia o divegecia de las itegales actg d a) d ; b) d / ( ) ; c) / ( ) (5 ) ; d) t dt 9 Paa u cieto valo eal c, la itegal c d covege Detemia c el valo de dicha itegal /

14 Tema 6 Aálisis matemático Hoja º 6 (Tema 6) d d Calcula: a) ; b) Calcula ( ) e d ; c) 5e d po dos maeas difeetes: 4 a) po la sustitució u b) po la sustitució tg θ Calcula l ( ) d seθ dθ 4 Calcula se θ a) Usado la sustitució que se aplica a cualquie fució acioal e se θ cos θ b) Escibiedo se θ como cos θ usado la sustitució u cos θ 5 Calcula: e d 4 a) ; b) d e e ; c) se cos d 6 Demosta las siguietes fómulas de educció: ) se d se cos se d, > pa ) cos d cos se cos d, > pa ) d d ( ) ( ) 7 Calcula las siguietes itegales: cos d a) se 8 d ; b) z) ( ) se d ; c) cos ; d) d ; e) 4 f) se cos d ; g) tg 4 θ dθ ; h) d ; i) d ; j) d ( 4 ) d 4 ( ) d ) cos d ; l) 4 d ; m) ; ) ; ñ) ; o) 6 4 se d log e d ; 7 d d d d p) ( )d ; q) ; ) ; s) ; t) ( ) 4 5 ; u) d ; log ( ) actg v) d ; w) e se d ; ) 8 Calcula d ( ) a) usado faccioes simples b) Mediate la sustitució u d ( 4 ) / d ; ) ; 4 ; ; /

15 Tema 6 9 Tasfoma d mediate cada ua de estas sustitucioes esolve el más fácil de los poblemas esultates a) u ; b) u ; c) tg θ Tasfoma el poblema de halla a) Itegació po pates co f b) La sustitució tg θ d e oto poblema, usado: g c) La sustitució u /

16 Tema 7 Aálisis matemático Hoja º 7 (Tema 7) Utiliza la defiició de límite paa poba que: a) lím ; b) lím ; c) lím De la sucesió { } se sabe que es covegete que sus témios so alteativamete positivos egativos Cuál es su límite? Justifícalo po u ejemplo Sea { } ua sucesió covegete a u úmeo a) Si a >, poba que eiste tal que >, implica a > b) Si a <, poba que eiste tal que >, implica a < 4 Poba que todo úmeo eal es límite de ua sucesió de: a) úmeos acioales; b) úmeos iacioales 5 Poba que toda sucesió o acotada tiee ua subsucesió que tiede a ó a 6 Calcula los siguietes límites: 6 a) lím ; b) lím ( ) c) lím ( ) e) cos( a ) lim cos a 7 Sucesioes ecuetes: i) Sea a > Defiimos a ii) acotada Calcula su límite Sea > paa cada, sea Demosta que { } es covegete cal- cula su límite iii) Sea > ; d) lím ; Es covegete? a Poba que { } es ceciete 8 Sea a el úmeo de istuccioes de u detemiado algoitmo paa su ejecució sobe datos de etada Se sabe que dicho algoitmo actúa de la siguiete maea: ) Co u solo dato de etada, esuelve el poblema usado ua istucció ) Co datos de etada, usa 4 istuccioes paa educi el poblema a datos se ejecuta sobe ellos el mismo algoitmo Halla la sucesió {a } deduci que lim a /

17 9 Cosidea la sucesió,, ( ) Demuesta que es covegete Poba que covege ab- Cosidea las seies,! solutamete paa todo ( ) ()! ( ) ( )! Halla la suma de las seies siguietes, geométicas o telescópicas: Tema 7 a) e ; b) 8 4 ; c) e 6 ; d) log( ) log ( Ua seie del tipo a b), a se llama ait-geomética a) Poba que covege si sólo si < b) Calcula su suma Cuáto vale? Halla el caácte de las seies siguietes: a) ; b) 4 g) log ; c)! ( ) ; h) ; d) ( )! ; e) ; i) ; j) ; f) (log ) 4 Detemia si cada ua de las seies siguietes es absolutamete covegete, codicioalmete covegete o igua de las dos cosas: a) b) 4 5 c) ( ) ( log( ) ) d) ( ) actg ; /

18 Tema 8 Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º 8 (Tema 8) a) Compoba que la ecuació de ua ecta e coodeadas polaes es Acosθ B seθ dode A B so costates b) Da ecuacioes catesiaas de las siguietes cuvas dadas e polaes: ) cos θ; ) se θ (Cadioide) a) Halla las coodeadas cilídicas del puto cuas coodeadas catesiaas so (6, 6, 8) Localiza este puto b) Si u puto tiee coodeadas cilídicas 8,,, cuáles so sus coodeadas catesiaas? a) Halla las coodeadas esféicas de los putos cuas coodeadas catesiaas so: (,, ) (,, 6) b) Halla las coodeadas catesiaas de los putos cuas coodeadas esféicas so:,,,, 6 4) 4 4 Repeseta las gáficas de las siguietes cuvas dadas e coodeadas polaes: a) ; b) sec θ; c) 4 se θ; d) cos θ; e) se θ (Cadioide) 5 Esboza la cuva epesetada po las ecuacioes paaméticas t, escibe posteiomete la coespodiete ecuació e catesiaas elimiado el paámeto 6 Esboza la cuva epesetada po las ecuacioes paaméticas cos θ, se θ escibe posteiomete la coespodiete ecuació e catesiaas elimiado el paámeto 7 Esboza la cuva epesetada po las ecuacioes paaméticas 4 sec θ, tg θ escibe posteiomete la coespodiete ecuació e catesiaas elimiado el paámeto 8 Descibe alguas difeecias e las cuvas epesetadas po los siguietes paes de ecuacioes paaméticas: a) t b) cos θ c) e t d) e t t cos θ e t e t 9 Calcula la ecuació de la ecta tagete a la cuva de ecuacioes paaméticas α cos α, cosα, α [, ], e los putos de la cuva coespodietes a α α 4 E la cuva ateio, ecueta los putos (si los ha) e los que la tagete es vetical aquellos e los que es hoizotal a la cuva t /5

19 Tema 8 Calcula la logitud del aco de la cuva e t cos t, e t se t paa t Calcula el peímeto de la hipocicloide dada po a cos θ, a se θ Halla el áea bajo la cuva e t, e t e el itevalo [, ] 4 Escibe la ecuació e polaes de: a) Cicufeecia a b) Recta c) Paábola 4a 4a 5 Escibe ecuacioes catesiaas de las cuvas dadas po las siguietes ecuacioes e polaes: a) 6 ; b) se θ seθ 6 Calcula la pediete de la tagete a la gáfica dada po ( cos θ) e θ / 7 Calcula las ecuacioes de las tagetes veticales de las hoizotales a la cuva dada po se θ 8 Calcula el áea de la egió compedida ete los lazos de cuva dada po cos θ 9 Halla el áea de la egió comú a las dos egioes limitadas po la cicufeecia 6 cos θ la cadioide cos θ Calcula la logitud de la cadioide cos θ Calcula la logitud del aco de la gáfica de Calcula el áea de la egió comú a 4 cos θ sobe el itevalo θ θ Qué tipo de cóica es la dada po? 4 Esboza la gáfica de la cóica del ejecicio ateio 5 Esboza la gáfica de la cóica dada po Dibuja la cuva descita po u puto P que se mueve e el plao de foma que su distacia al puto T(, ) es siempe el doble que su distacia al eje vetical /5

20 Desaollo de las solucioes de alguos de los poblemas popuestos Tema 8 Recueda que la elació ete las coodeadas catesiaas (, ) las polaes (, θ) viee dada po el esquema, es deci, po las fómulas cosθ o, lo que es lo mismo, seθ θ actg Así pues, teemos: a) La ecuació de ua ecta e coodeadas catesiaas es M N T co M, N T costates Podemos poe, pues, M cos θ N se θ T, es deci M N M N cos θ seθ, o sea, A cos θ B se θ siedo A B T T T T (ecoda b) La cuva e polaes cos θ seá e catesiaas cos θ cos θ se θ), es deci,, o, lo que es lo mismo, ( ) Fialmete la cadioide se θ, escita e coodeadas catesiaas seía, es deci: θ Escibamos la elació ete las coodeadas cilídicas las catesiaas el paso de uas a otas θ P z P: Catesiaas Cilídicas (,, z) (, θ, z) cos θ se θ z z tg θ Así pues, θ actg z z a) Si las coodeadas catesiaas de u puto P so (6, 6, 8), sus cilídicas seá, pues, 6,, 8 4 b) Si las coodeadas cilídicas de u puto P so 8,,, sus coodeadas catesiaas 9, 9, seá ( ) /5

21 Tema 8 Escibamos la elació ete las coodeadas esféicas las catesiaas el paso de uas a otas cos θ, sigue que cosθ, es deci, z ρ cos ϕ cos (9º ϕ) se ϕ ρ ρ se ϕ como cosθ ρ se ϕ, de dode ρ cos θ se ϕ Aálogamete, se θ, co lo que ρ se θ se ϕ Resumiedo: θ ϕ ρ P z P: Catesiaas Cilídicas (,, z) (ρ, θ, ϕ) ρ cos θ se ϕ ρ se θ se ϕ z ρ cos ϕ De aquí, ρ se ϕ z ρ ρ z, θ actg, ϕ accos z z Paa esolve los apatados a) b) basta co sustitui 4 e) se θ (Cadioide) Como se θ se θ, la cuva es simética especto del eje vetical Sabemos además que si θ [, ], si θ [, ], etoces > Hagamos, pues, ua pequeña tabla de valoes Po la simetía obsevada, bastaá estudia paa θ, θ, θ /6 / / / 7/4 7/6 / / / / Co estos datos, podíamos esboza co bastate pecisió la pate deecha de la cuva, po simetía, la ota, quedádoos algo así: 4/5

22 Tema 8 / / Nota: Si queemos obtee otos datos de iteés, como, po ejemplo, tagetes o hoizotales o veticales, podemos poe se θ, es deci, ( se θ) se θ cos θ, o sea, ( se θ) cos θ, co lo que d d cosθ se θ se θ cos θ dθ dθ d d Así pues, había tagetes hoizotales cuado (supuesto que ), es deci, dθ dθ cos θ se θ, ecuació que, e la mitad deecha, se veifica paa θ Obseva que esta 6 ecuació se veifica tambié paa θ, peo ahí o ha tagete hoizotal pues, paa ese d valo, dθ d d Habá tagetes veticales cuado (supuesto que ), es deci, dθ dθ se θ cos θ cos θ se θ se θ se θ /, es deci, pues paa θ, hemos visto que d dθ 7 θ, 6 Repeseta ota vez la cuva teiedo e cueta estas cosideacioes obseva que coicide co la a dibujada 5/5

23 Tema 9 Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º 9 (Tema 9) Halla el domiio el ecoido de las siguietes fucioes ƒ: R R a) f (, ) 4 ; b) f(, ) acse ( ) Esboza la gáfica de la supeficie dada po f(, ) Descibe las cuvas de ivel paa la fució f (, ) dibuja tales cuvas paa c ±, ± acse 4 Calcula lím dibuja el cojuto de putos (, ) e los que está defiida esa (, ) (,) fució 5 Sea f (, ) si (, ) (, ) f vale e el oige Compoba que eiste los dos límites iteados e el oige Compoba que, si embago, el límite de f e (, ) o eiste 6 Ecueta el límite si eiste de f(, ) cuado (, ) (, ) siedo f (, ) eamiado el compotamieto de f cuado (, ) (, ) a tavés de a tavés de 4 se ( ) 7 Utiliza coodeadas polaes paa calcula 8 Sea ƒ : R \ { (, ) } R Poba que lím (,) (,) (, ) (, ) lím f(, ) Lsi sólo si paa todo ε >, eiste δ > tal que si < < δ, se tiee que ƒ( cos θ, se θ ) L < ε, 9 Poba que las fucioes <, > : R R, : R R so cotiuas Calcula las deivadas paciales co especto a co especto a paa: a) z log ; b) z e se Calcula las deivadas paciales segudas de a) z ; b) z actg z z Demosta que z se ( ct) es solució de la ecuació c t θ [, ] Si w z, e t cos t, e t se t z e t, obtee cadea; b) escibiedo w como fució de t deivado dw mediate: a) la egla de la dt 4 Si w z z, t, t dw z t, obtee mediate: dt a) la egla de la cadea; b) escibiedo w como fució de t deivado /7

24 Tema 9 5 Si w actg, cos θ e se θ, obté w w mediate: θ a) la egla de la cadea; b) escibiedo w como fució de θ deivado 6 La logitud, achua altua de u paalelepípedo cece a azó de cm/miuto, cm/miuto 5 cm/miuto espectivamete Calcula el itmo de cecimieto del volume de la supeficie e el istate e que dichas magitudes mide, 6 4 cm espectivamete 7 a) Calcula la deivada dieccioal de v i 4 j g (, ) e el puto P(, 4) e la diecció de b) Calcula la deivada dieccioal de ƒ(,, z) z z e el puto P (,, ) e la diecció de v i j c) Calcula la deivada dieccioal de ƒ(, ) 4 e el puto P (, ) e la diecció del vecto v i j 8 a) Calcula el gadiete de la fució h(, ) tg, el máimo valo de la deivada dieccioal e el puto P, 4 9 Si b) Aálogamete paa la fució el puto (, 4, ) f (,, z) z 4 f (, ), calcula D f (, ) u si u (cos θ,si θ) co : a) θ ; b) θ 6 La tempeatua T e cada puto de ua placa viee dada po la fució T Ecueta la diecció de máimo cecimieto del calo si estamos e el puto P(, 4) Estudia la eistecia de deivadas dieccioales e el oige de las fucioes: a) ƒ(, ) ; b) ƒ(, ) ma {, } Si F(, ) e e epeseta la altua de ua motaña e la posició (, ), e qué diecció desde (, ) debeíamos comeza a camia paa subi más ápido? Halla u vecto uitaio omal a la supeficie z se 4 e el puto 6,, Ecota la ecuació del plao tagete a la fució f (, ) e el puto (,, ) 5 Paa la fució ƒ(, ) ecota los plaos tagetes si eiste- a la gáfica de ƒ que veifica las siguietes popiedades: a) Tagete e el puto (,, ) b) Cotiee a la ecta que pasa po (,, ) (,, ) c) Cotiee al puto (,, ) 6 Ecota las ecuacioes del plao tagete ecta omal a: a) z 4 e el puto (,, ) /7

25 b) z 9 e el puto (,, 4) c) z actg e el puto,, 4 7 Estudia si la fució ƒ(, ) 4 4 tiee etemos elativos putos de silla 8 Aálogamete paa la fució ƒ(, ) 9 Ecota el etemo absoluto de la fució ƒ(, ) sobe la egió R {(, ) / 8} a) Poba que z o tiee máimo i míimo e el plao b) Halla el máimo el míimo de z sobe la cicufeecia de adio ceto (, ) c) Lo mismo que e b) peo ahoa sobe el cículo Ecota tes úmeos positivos cua suma sea la suma de sus cuadados sea míima Tema 9 Ha que costui ua tubeía de coducció de agua desde el puto P al puto S que debe pasa po egioes de difeetes costes de costucció (ve figua) Calcula e paa que el coste total C sea míimo si el coste po m de P a Q es el tiple que de R a S de Q a R doble que de R a S P m Q m R m S U sevicio de etega de paquetes equiee que las dimesioes de ua caja ectagula sea tal que la logitud más el doble del acho más el doble de la altua o ebase los 9 cm Cuál es el volume de la caja más gades que se podá evia? 4 Utiliza los multiplicadoes de Lagage paa ecota la míima distacia del puto (,, ) al plao z /7

26 Desaollo de las solucioes de alguos de los poblemas popuestos Tema 9 5 Recueda que los límites iteados e el oige viee a sigifica los límites siguiedo cada uo de estos dos camios: () () Cuado ƒ sigue el camio () lím f (, ) es pues ƒ valdía costatemete e el etoo señalado (, ) (,) Eactamete igual cuado ƒ sigue el camio () Peo lím f (, ) o eiste pues al acecase (, ) a (, ) siguiedo los camios dados po (, ) (,) m m m, el valo de f va a depede de m E efecto: f (, ) m m 8 Sabemos que, (, ) (, ) lím f(, ) Lsigifica que paa cada ε >, eiste δ > tal que si < ( ) ( ) < δ, etoces f(, ) L< ε Si epesamos e como (, ) (, ) cos θ, se θ, co θ [, ), >, teemos que ( ) ( ) f (, ) f ( cos θ, se θ) Así pues, lím f(, ) Lsigificaá que paa cada ε >, eiste δ >, tal que si < < δ, etoces f ( cos θ, se θ ) L < ε, que ea pecisamete lo que os pedía poba 9 No ha más que escibi de qué fucioes se tata: La fució poducto escala, epesetada po <, >, es la fució que al pa de vectoes, le asocia el úmeo eal siedo (,, ) e (,, ), es deci, es la fució que a la -upla de úmeos,,,,,, ) le asocia el úmeo eal i ( i i Como se tata de suma de fucioes cotiuas, es cotiua La fució distacia, epesetada po, es la fució que al pa de putos,, dados po (,, ) e (,, ) ( ) ( ), es deci, es la fució que a la -upla de úmeos (,,,,, ) le asocia el úmeo ( ( ) ) / i i, fució cotiua e todo R po se suma composició de fucioes cotiuas les asocia el úmeo [ ] a) ƒ(, ) Sabemos que si ƒ fuea difeeciable e el oige, eistiía la deivada dieccioal de ƒ e ese puto, e la diecció de cualquie vecto v vedía dada po el poducto escala gad f (,) v Ocue, si embago, que teemos seias dudas de que ƒ sea difeeciable e el oige, pues o so deivables e Así que paa calcula las deivadas dieccioales, apliquemos la defiició 4/7

27 Tema 9 Recodemos: Sea v u vecto co v D v f ( a) lím h f ( a hv) h f ( a) Sea v (, s) lím h h s h D pues o eiste v f ( hv) f (,) lím h h lím h h h lím h h s Si i i s so, o eiste h Si, teemos la deivada dieccioal segú (, ), o f h s sea, que eiste vale pues lím a que es el umeado Aálogamete h h f eiste la deivada dieccioal si s, o sea, e la diecció de (, ) es deci, vale tambié Resumiedo: f (, ) peseta e (, ) deivadas paciales peo igua ota deivada dieccioal Recodemos que la deivada dieccioal de F e (, ) segú la diecció del vecto v viee dada po F(,) v, po lo que seá máima cuado la diecció de v coicida co la de F(,) Calculemos, pues, F(,) : F 4e ; f 6e, así que F(,) (, 6) co lo que la diecció de máimo cambio, es deci, la de más ápida escalada, es la idicada po el vecto uitaio 5 La supeficie dada es z, o sea: z U vecto omal al plao tagete e (,, z) es el ƒ (,, z) es deci: (,, ) j a) z D como pasa po (,, ), D el plao es z b) U vecto dieccioal de la ecta dada es (,, ) ó más cómodo (,, ) Así pues (,, ) (,, ) Así pues, el plao tagete e cualquie puto de coodeadas (,, ) es paalelo a la ecta dada, debe se, pues, de la foma z D Como debe cotee a los putos (,, ) (,, ), debeá veificase que 6 D el plao seá de la foma z 6 El valo de lo obteemos ahoa haciedo ota que pasa po (,, ), es deci: 6 pedida ± esulta dos plaos co la codició c) Los plaos buscados so de la foma z D, como pasa po el oige, es D Como, po ota pate, debe pasa po (,, ), estos úmeos debe veifica que, o sea,, de dode sigue que o eiste tal plao a) Ua codició ecesaia paa que z pesete u máimo o u míimo e (a, b) es que z z z z ( a, b) ( a, b) Veamos éstas:,, así que el úico puto e el que se aula simultáeamete es e (, ), po lo que éste puto es el úico 5/7

28 Tema 9 cadidato a máimo o míimo, peo si acudimos al hessiao de z, obsevamos que F F 8, F F co lo que cocluimos que (, ) o es i máimo i míimo sio u puto de silla Es impotate que obseves que o había hecho falta acudi al hessiao paa coclui que (, ) o ea i máimo i míimo, pues z ( ) co lo que z (, ), z (, ) > z (, ) < si b) Nos pide el máimo el míimo de z cuado os estigimos a los putos (, ) tales que ` Como es mu cómodo paametiza dicha cicufeecia, hagámoslo os limitaemos a calcula el máimo el míimo e u cieto itevalo de ua fució de ua vaiable Los (, ) tales que so los (, ) co cos t, se t t [, ], po lo que z cos t se t se t cos t cos t se t co t [, ] La foma más cómoda de calcula el máimo el míimo de esta z e [, ] es obsevado que z se 4t, po lo que z seá máima si se 4t t 8, paa este valo, z al- cazaá el máimo valo que seá cos se, así que el míimo seía si lo 4 4 alcazaa, que sí lo hace, e t E esume: z alcaza e la cicufeecia de ceto (, ) adio el máimo e cos, se el míimo e cos, se 8 8 c) Po lo visto e a) b) los cadidatos a máimo míimo seía los putos del iteio co deivadas paciales ulas los putos de la fotea como hemos visto e b) que, e la fotea, el máimo el míimo se alcaza e los putos ateiomete señalados, sigue que los cadidatos a máimo míimo paa este apatado c) so: (, ), cos, se 8 8 cos, se Calculado el valo de z e estos putos, cocluimos que el máimo el 8 8 míimo de z e {(, ) / } se alcaza e los mismos putos que el máimo míimo de z e {(, ) / } Ha que hace máima la fució V f (,, z) z sometida a las esticcioes z 9, >, >, z > Veamos, e pime luga, dóde está los cadidatos a máimo si < z < 9 F F F E ellos,,,, es deci: z, z,, cuas solucioes so cualesquiea putos de la foma (,, ), (,, ), (,, z z) Estudiemos ahoa los cadidatos a máimo de f e los (,, z) tales que z 9 Paa ello, utilizaemos el método de los multiplicadoes de Lagage: 6/7

29 Tema 9 Cosideemos la fució g (,, z) f (,, z) λ ( z 9) esolvamos el sistema g, z 9 g g g z λ ; z λ ; λ, co lo que uesto sistema se educe al z z λ ; z λ ; λ, z 9 De las pimeas ecuacioes, cocluimos que z z de la º º, z, así que, z, po lo que e la última podemos escibi 9, es deci, 5 Así pues, sabemos que el máimo se ecueta e (, 5, 5) o e los putos del iteio (,, ), (,, ), (,, z), que obviamete está e (, 5, 5), paa el que el volume es V cm 7/7

30 Tema Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º (Tema ) 4 Calcula ( ) dd Calcula θ θ d d θ se Esboza la egió R cua áea viee dada po la itegal iteada d d Cambia el ode de itegació compueba que ambas itegales da la misma áea 4 Cambia el ode de itegació de: 8 a) (, ) f dd ; b) mi,log f (, ) dd ; c) R f (, ) dd 5 Calcula la itegal se dd 6 6 Esboza la egió R calcula la itegal ( ) dd 7 Dada da dode R es el tiágulo limitado po las ectas,, R platea las itegales paa d d paa d d, utiliza la más cómoda paa calcula la itegal sobe la egió dada R 8 Calcula el volume del sólido limitado po el paaboloide z 4 el plao 9 Calcula la itegal iteada log e d d log e Calcula la deivada de la fució ϕ( ) d Poba que Paa ello sigue las idicacioes siguietes: e d Sea R, R R segú el dibujo ƒ(, ) e R R R R a a a /4

31 a) Poba que b) Poba c) Poba que a ( e ) f que R 4 a ( ) ( ) a e a e < e d < 4 4 e d a ( e ) f R 4 η τ Ua vez que has pobado c), demuesta que e d dode η R τ > τ (Esta última fució itegado es la fució de desidad de la distibució omal) Tema Calcula la itegal doble d d mediate cambio a polaes 8 Coveti la suma de las itegales dobles dd dd e ua itegal doble utilizado el cambio a polaes calcula dicha itegal 4 Utiliza coodeadas polaes paa calcula f (, ) da dode f (, ) actg R es la R egió fomada po los putos (, ) tales que,, 5 Calcula 4 dz d d 4 6 Rescibe la itegal dz d d e el ode dz d d 7 Utiliza ua itegal tiple paa calcula el volume del sólido limitado po los cilidos z e z e el pime octate 8 Calcula el jacobiao paa el cambio de vaiables e u se ν, e u cos ν 9 Calcula 4( ) e dd utilizado el cambio de vaiables ( u v), R ( u v), siedo R el tiágulo de vétices (, ), (, ) (, ) Utiliza u cambio de vaiables paa calcula ( )( 4 ) d d, siedo R el paalelogamo de vétices (, ), (, ), (5, ) (4, ) Si R es la egió del cículo 5 a la izquieda de la ecta, escibe los límites de itegació paa f (, ) da tato paa d d como paa d d Calcula el áea de dicha egió R Calcula el áea de la supeficie que defie la fució f(, ) ecima de la egió R siedo f(, ) 6 R {(, ) / 6} R /4

32 Tema Calcula las itegales tiples, a) / ( ), siedo B {( z,, ) : z 4} B z dddz b) 4 4 ( ) dddz C, siedo C ( z,, ) : 4, z Desaollo de las solucioes de alguos de los poblemas popuestos 8 4 a) Ha que cambia el ode de itegació e (, ) 8 f dd Hagamos u esbozo de la egió dode os pide itega obsevamos que es la sombeada, es deci, que ha que cam- 8 bia el ode de itegació e (, ) f dd Obseva que la egió sombeada, si quiees itega e pime luga sobe os platea u poblema gave pues o lo podemos escibi como g () Así pues, itegaíamos pimeo sobe luego sobe quedádoos pues, f d d f d d 4 Obseva que es mucho más cómodo e este caso itega e el ode d d que e el d d f (, ) U teoema (de Leibitz) sobe deivació bajo el sigo itegal, dice que si f (, ) b so cotiuas e R [a, b] [c, d], etoces la deivada de la fució ϕ ( ) f (, ) d es a b f(, ) ϕ ( ) d Ua geealizació de dicho teoema paa cuado alguo (o los dos) a b( ) límites de itegació o so costates, diía que si ϕ ( ) f (, ) d co b() deivable, es ϕ ( ) d f (, b( ) ) b ( ) a b( ) f(, ) a E uesto caso, las fucioes que apaece veifica las codicioes, siedo f (, ) e f (, ) e, po lo que ( ) e e ϕ ( ) d ( ), co lo que a) I a a f e d d R /4

33 / a Hacemos el cambio a polaes cos θ, se θ po lo que I ( ) / e dθ a a e ( e ) a a / e dθ Aálogamete I ( a ) a ( ) ( e ) f R 4 e 4 θ Tema e d dθ b) Ha que poba que ( ) ( ) ( ) a a a e < e d < e < f a < ( e ) como R 4 f a a R ( e ) a a d d ( ) a a ( e e d ) a a d e d e d ( a e d ) pedía / a e θ Sabemos que ( e ) a c) Tomado límites e b) cuado a, podemos escibi 4 ( e d ) e d < e e d d, hemos pobado lo que os, es deci: 4 η τ η d) Paa calcula e d, hagamos u τ τ u u lleva a e τ du, es deci: e du τ Como u e du d τ u e, sigue que la itegal pedida es du, lo que os es ua fució pa 4/4

34 Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º (Tema ) Tema Demuesta que los vectoes u, v w so coplaaios si sólo si ( v) w cos t Calcula lím i t j t t u Paa las fucioes vectoiales ( t) ti 4t j u( t) 4ti t j, calcula las deivadas de: a) (t); b) (t) u(t); c) (t) u(t); d) (t) 4 Ecueta las discotiuidades de la fució F(t) ( t, t ) ( t, t) ( 7 t, t 4 ) lím F( t) 5 t t Sea F(t) ( e cos t, e se t) Calcula lím F( t) 6 t t Compoba que la cuva G(s) ( cos s, s se s, s ) si si t < si t < t s está sobe la supeficie z Idica cómo pocede paa hace u dibujo apoimado de la misma t t 7 Sea F ( t), co t [, ] t t a) Calcula F, F, F F 4 b) Ecota la image de F c) Poba que F es ua fució iectiva t t 8 Ecota el vecto de posició (t) si ( t) 4e i e j () i 9 Utiliza la aceleació de u móvil a ( t) ti t j paa halla la velocidad la fució de posició si v( ) 5 j () Halla la posició del móvil e el itevalo t Ecota el vecto aceleació demosta que su diecció es siempe hacia el ceto del cículo si ( t) b cos wti b se wt j Calcula la logitud del aco descito po la cuva ( t) a cos ti a se t j e el itevalo [, ] Calcula ( ti ) [ log t j t ]dt ds Halla el vecto velocidad V, la velocidad la aceleació A del cuepo co vecto desplaza- dt mieto t R( t) ti t j te /

35 Desaollo de las solucioes de alguos de los poblemas popuestos 5 Estudiemos los límites cuado t t de cada ua de las compoetes de F F(t) ( t), F ( )) ( t F co F(t) e t cos t F(t) e t se t Si t, lím cos t e t t Tema t lím e cos t es ua fució acotada Aálogamete lím e t se t, co lo que lím F( t) (, t ) E cambio, cuado t, o va a eisti lím F( t), pues o va a eisti, po ejemplo, lím F ( ) t E efecto: lím F ( ) lím e t cos t lím e t cos( t) lím t t t t t e t t t t t pues cos t como la fució cos t toma valoes positivos egativos e cualquie itevalo de logitud, los valoes e t cost se haá abitaiamete gades e valo absoluto, egativos positivos e icluso tambié valdá e putos de cualquie itevalo de logitud po lo que o va a eisti lím F( t) 6 Bastaá ve que (s cos s) (s se s) s lo que es imediato si más que obseva que (s cos) (s se s) s Paa hace u dibujo apoimado de la misma, obsevemos que si s, obteemos el puto (,, ) éste es el úico puto dode la cuva cota al eje z pues, salvo paa s, s cos s s se s o se aula simultáeamete Po ota pate, siempe estaá e el semiespacio supeio (z siempe) Fialmete, se obseva simetías ocasioadas al da valoes iguales e valo absoluto de sigo cotaio a s Así pues, paa s obteemos ( cos, se, ) paa s, cos ( ), se ( ), ( cos, se, ( ) ) Fialmete, obsevaá que pasaá po el plao po el co peiodicidad 7 Paa el apatado a) basta sustitui t po los valoes dados Paa los apatados b) c) es mu útil t t obseva que cos α se α t t siedo t tg α Así pues, escibamos F (t) como F (α) (cos α, se α) si t [, ], α [, /4], co lo que uesta cuva es F (β) (cos β, se β) co β [, /], cuva que sabemos que cosiste e el pime cuadate de la cicufeecia uidad t /

36 Tema Aálisis matemático Igeieía Ifomática Hoja º (Tema ) Calcula el otacioal del campo vectoial F (,, z) zi j z e el puto (,, ) F ( z Calcula el otacioal del campo vectoial,, ) actg i ( log ) j Calcula ot(ot F ) si F (,, z) zi j z 4 Calcula la divegecia del campo vectoial F(,, z) se i cos j z 5 Calcula la divegecia del otacioal del campo vectoial F (,, z) zi j z 6 Sea F ( ) siedo i j z Pueba que div F Si F( ) co, pueba que, etoces, div F 7 Sea f u campo escala F uo vectoial Poba que: a) div f f; b) ot f ; c) div (ot F) ; d) div (f F) f div F F f; e) ot (ot F) div F F dode F ( F, F, F) 8 Calcula ( z ) a lo lago del camio C: desde (, ) a (, ) e setido ati- c hoaio 9 Calcula ( ) c ds ds a lo lago del camio C: ( t) se t i cost j 8 co t Calcula ( 4 )ds dode C es el tiágulo de vétices (, ), (, ) (, ) ecoido e setido atihoaio Detemia si F(, ) e (i j) es cosevativo, si lo es, ecueta la fució potecial ƒ(, ) Detemia si e F (,, z) se i cos j es cosevativo Detemia si F (,, z) i j (z ) es cosevativo, si lo es, ecueta la fució potecial ƒ(,, z) 4 Calcula el valo de la itegal de líea d ( ) d a lo lago de: a) Elipse 5 6 desde (5, ) hasta (, 4) b) Paábola 4 desde (, ) hasta (, 4) c 5 Utiliza el teoema fudametal paa calcula e se d e cos d dode C es el cículo C de cicloide θ se θ, cos θ desde (, ) hasta (, ) N M 6 Compoba el teoema de Gee obsevado que d d da C R siedo C la egió limitada po e 4 /4

37 Tema 7 Utiliza el teoema de Gee paa calcula la itegal ( ) d ( ) d siedo C la fotea de la egió iteio al ectágulo de vétices (5, ), (5, ), (5, ) (5, ) eteio al cuadado de vétices (, ), (, ), (, ) (, ) 8 Utiliza el teoema de Gee paa calcula actg d lg ( ) d siedo C la fotea C de la elipse 4 cos θ, 4 se θ 9 Utiliza ua itegal de líea paa calcula el áea de la egió R limitada po la ecta la paábola 4 C La tía de Tom Sawe le ha pedido que pite ambos lados de la vieja valla (ve figua) Tom estima que po deja que alguo de sus amigos pite m de valla, la víctima volutaia le pagaía ptas Cuáto puede gaa Tom, supoiedo que su tía le popocioe si costo la pitua? f (, ) Calcula la itegal de supeficie S : t ( cos t, se t) ds siedo S la supeficie dada po z 9 paa Calcula la itegal de supeficie z co 4 S z ds siedo S la supeficie dada po Calcula S F N ds (el flujo de F a tavés de S siedo N el vecto uitaio omal hacia fuea a S) si F (,, z) i j z S es la supeficie dada po z 9 co z 4 Compueba el teoema de la divegecia obteiedo S F N ds como ua itegal de supeficie como ua itegal tiple siedo co z 4 5 Utiliza el teoema de la divegecia paa calcula S S la esfea z 4 F(,, z) i j z S el cilido dado po F N ds siedo F (,, z) i j z 6 Compueba el teoema de Stoes obteiedo F dr como ua itegal de líea como ua i- C tegal de supeficie siedo que cae e el pime octate 7 Utiliza el teoema de Stoes paa calcula F dr paa C F (,, z) zi j z S la poció del plao 4 z F (,, z) log i actg j S la poció del plao z 9 que cae e el pime octate sobe u pétalo de la cuva se θ /4

38 Tema /4 Desaollo de las solucioes de alguos poblemas popuestos 6 Teemos que ),, ( z j i z F dode z Recodemos que divegecia de F, epesetada po z z F (Se epeseta a veces po div F) Necesitamos calcula tes deivadas paciales La pimea es Ahoa bie: z z Así pues, 4 5 Haciedo eactamete lo mismo paa las otas dos tedíamos que 5 z z 5 z, así que F z 5 ) ( z 5, como queíamos demosta Paa la seguda pate del poblema pocedemos de la misma foma: Teemos que, ahoa, z z F co Calculemos Al igual que ates,, co lo que Haciedo eactamete lo mismo paa las otas dos, tedíamos que z z z, co lo que F z ) ( z si como queíamos poba

39 Tema 7 c) Recodemos que dado el campo vectoial F (,, z) P (,, z) i Q (,, z) j R (,, z), la divegecia de F, epesetada P Q R po div F es el campo escala tal que (div F) (,, z) otacioal de F, epesetado po Rot F es el campo vectoial que asocia a cada (,, z) el vecto z i j z P Q R Calculemos div (Rot F) veamos que es R Q Si P (,, z), (Rot F) (,, z) (,, z) i z Q P (,, z), po lo que div (Rot F) seía R P (,, z) j z R Q (,, z) R P Q P (,, z) z z z (,, z) que puedes desaolla ve que es (ecueda el teoema de las deivadas cuzadas) u obseva que es z el desaollo del detemiate fomal z que seía ceo po tee dos filas igua- P Q R les Segú se obseva e la figua, la base de la valla e el pime cuadate es la taectoia γ : [, /] R tal que γ (t) ( cos t, se t) la altua de la valla e cada puto (, ) es f (, ) / Así pues, el áea de ua caa de la mitad de la valla seá f (, ) ds ( / ds Como γ (t) (9 cos t se t, 9 se t cos t), es ) γ γ pues, γ ( t ) ( 9cos t se t) t t t t (9 se cos ( / ) ds ( se t ) 9 se t cos t dt 9 γ / ) 9 se cos 9 se t cos t Así / (se t se 4 t) cost dt Haciedo se t u cos t dt du, teemos que ( / ) ds 9 ( u u 4 ) du u 5 u 9 5 que seá el áea e el pime cuadate Así pues, el áea de ua caa de la valla es 45 m como ha que pita las dos caas esulta 9 m, de dode sus amigos si además de pitale la valla le da ptas cada m, esulta que Tom Sawe puede gaa 9 : 8 γ 4/4