Funciones y sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Funciones Función Afín. Función Lineal Resolución gráfica Ecuaciones de º grado Ecuaciones Irracionales Resolución de problemas Parábolas. Representación gráfica Sistemas de ecuaciones no lineales Resolución de problemas Resolución gráfica

2 Funciones sistemas de ecuaciones lineales Una función afín iene dada por la epresión a b, donde a representa la pendiente b la ordenada en el origen. Su representación gráfica es una recta. Conocidos dos puntos de la recta, la pendiente se calcula diidiendo el incremento de la diferencia de ordenadas) entre el incremento de la diferencia de abscisas). Si la pendiente es positia la recta sube si es negatia la recta baja. La característica fundamental de una función afín es que a incrementos iguales de la ariable ariable independiente) corresponden incrementos iguales de la ariable ariable dependiente). Si b la función se llama lineal o de proporcionalidad directa. Ejemplos De una función que sabemos que es afín sólo conocemos la tabla de alores que aparece a la derecha. Encuentra la epresión de dicha función represéntala. Solución Por ser una función afín, cada punto de la recta debe de erificar la ecuación a b. a b a a b b En un eperimento de física se obtiene la tabla adjunta, donde el espacio recorrido por un objeto se epresa en metros el tiempo que tarda en recorrerlo se epresa en segundos. Es una función afín? t e Solución Una manera de comprobar si es una función afín es erificar que los segmentos que unen dos puntos consecutios tienen la misma pendiente., ), ), ), ) Como no es una función afín Otra manera es comprobar que cada punto de la recta erifica la ecuación e at b. a b a b a b e t Si el tercer punto está alineado con los anteriores debe erificar esta ecuación. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 No es una función afín Una receta para hacer helados recomienda poner gramos de ainilla por cada cm de leche. Encuentra la relación entre la cantidad de leche de ainilla representa la función. Solución Si llamamos a la cantidad de leche a los gramos de ainilla la ecuación es de la forma a a a Ejemplo En una academia cobran, por las clases de inglés, una cantidad fija de en concepto de matrícula más una cuota de mensuales. Halla la epresión analítica que relaciona el número de meses con el coste total representa gráficamente la función obtenida. Solución Es una función afín C ) Es importante hacer notar, que el dominio de esta función está restringido a los alores positios de la ariable independiente tiempo). Ejemplo En un recibo de la luz aparece la siguiente información: consumo kw/h precio del kw/h. a) Cuánto cobrarán por la energía consumida? Escribe la relación entre el consumo el coste represéntala gráficamente. b) Si además nos cobran al mes por el alquiler del equipo, cómo queda la función que relaciona el consumo el coste? Represéntala en los mismos ejes que la anterior. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

4 c) Qué transformación sufre el precio si le añadimos el % de IVA? Escribe la función correspondiente represéntala junto a las otras dos en los mismos ejes. Solución kw a) h kw / h Es una función lineal. Si es el consumo C) es el coste en función del consumo C ) b) C ) c) C ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

5 Compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas A B C Sea un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cua solución la A B C podemos obtener por cualquiera de los tres métodos: sustitución, reducción e igualación. A B Si diremos que el sistema es compatible determinado por tanto tiene una A B única solución. Gráficamente el sistema representa dos rectas que se cortan un punto cuas coordenadas corresponden con la solución del sistema de ecuaciones. A B C Si diremos que el sistema es incompatible por tanto no tiene solución. A B C Gráficamente el sistema representa dos rectas paralelas. A B C Si diremos que el sistema es compatible indeterminado por tanto tiene A B C infinitas soluciones. Gráficamente el sistema representa dos rectas que coinciden. Ejemplo Los gráficos a), b) c) son la representación gráfica de los sistemas S, S' S''. Indica qué gráfico corresponde a cada sistema describe cada uno de los sistemas según todo lo anterior: S : S': S'': Ejemplo De cuáles de estos sistemas es solución el par,? Razónalo. Solución ) ) ) ) Del tercero. Ejemplo Los lados de un triángulo están sobre las rectas determinadas por las ecuaciones: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

6 Cuáles son las coordenadas de los értices del triángulo? Haz una representación gráfica del problema. Solución Las coordenadas de los értices corresponden a los puntos de corte de las rectas estos se obtienen resoliendo los sistemas de ecuaciones. A, ) B,) C,) Ejemplo Los lados de un paralelogramo están sobre las rectas determinadas por las ecuaciones,,. Cuáles son las coordenadas de los értices del paralelogramo? Haz una representación gráfica del problema. Solución Al ser un paralelogramo primero hacemos la representación gráfica para er cuáles son las rectas cuas intersecciones determinan los értices del paralelogramo. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

7 A, ) B, ) C, ) D, ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

8 Ecuaciones de º grado La fórmula para calcular las raíces de la ecuación completa de segundo grado a b c es: Número de soluciones b b ac a La cantidad b ac que aparece bajo el radical se llama discriminante de la ecuación, a que permite discriminar o distinguir el número de soluciones de una ecuación de segundo grado, de su signo depende que ésta tenga o no soluciones. Si b ac> eisten dos soluciones distintas. Si las soluciones son, la ecuación puede factorizarse así: ) ) a Si b ac el radical se anula, las dos soluciones son iguales. Se dice también que se trata de una solución o raíz doble. Si la raíz doble es, la ecuación puede factorizarse así: a ) ) a ) Si b ac < no eisten raíces cuadradas reales la ecuación no tiene soluciones reales. En este caso se dice que la ecuación es irreducible a que no se puede factorizar al carecer de raíces reales. Ejemplo Es mu importante identificar bien los coeficientes de con sus signos respectios. a,b c ) Comprobación: Ejemplo ) ) ) ) ), de el término independiente, a, b c I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

9 ) ) ) ) Comprobación: ) ) Ejemplo c b, a ) ) Comprobación: Ejemplo c b, a En este caso lo más práctico es eliminar los denominadores para operar con número enteros. ) ) ) ) Comprobación: Ejemplo ) Eliminamos el paréntesis, reducimos términos semejantes simplificamos la epresión resultante. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

10 c b, a ) ) Comprobación: ) ) Ejemplo c b, a ) ) ) ) En este caso la solución o raíz es doble. Comprobación: Ejemplo c b, a ) ) No tiene solución Ejemplo Aplicando la fórmula c b, a ) ) ) ) Sacando factor común ) Comprobación: Ejemplo Aplicando la fórmula c b, a I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez ) )

11 Despejando directamente la incógnita Comprobación: ) Ejemplo Resoler las siguientes ecuaciones sin aplicar la fórmula. a) b) c) ) ) Soluciones a) ) b) Ejemplo c) ) ) ) Eliminamos los paréntesis los denominadores. a, b c ) ) ) ) No tiene solución Ejemplo ) ) Eliminamos los paréntesis los denominadores. a, b c I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

12 ) ) ) ) Ejemplo ) ) ) Eliminamos el paréntesis del interior del corchete. ) ) ) ) ) Multiplicamos el paréntesis por el corchete. ) ) ) c b, a ) ) Ejemplo ) ) Eliminamos los paréntesis.,) m.c.m., ) ) ) ) ) Ejemplo ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez Eliminamos los paréntesis.

13 ) Ejemplo m ) )m m ) m Eliminamos los paréntesis. m m m m m m.c.m.,) m m m m m m ) m ) m m m) m m m m m m m m m m ) ) ) ) m Ejemplo ) t t ) )t t Eliminamos los paréntesis. t t t t t t t t t t t) t t t I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

14 Ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales Son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Se resuelen mediante los pasos siguientes: ) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando los restantes términos, radicales no radicales, al otro miembro. ) Se elean al cuadrado los dos miembros. Si el índice de la raíz es distinto de, ha que elear los dos miembros de la ecuación a la potencia necesaria según el índice de la raíz, con el objeto de que ésta desaparezca. ) Si eiste todaía algún radical se repite el proceso. ) Se resuele la ecuación obtenida se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas erifican la ecuación dada. Es fundamental comprobar todas las soluciones, a que en el proceso de elear al cuadrado, aunque se conseran todas las soluciones, pueden introducirse soluciones nueas que, naturalmente, ha que rechazar. Ejemplo ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Ejemplo ) Comprobación: Ejemplo ) ) ) ) ) ) ) Comprobación: ) ) ) La solución de la ecuación es. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

15 Ejemplo Eliminamos el denominador pasando la raíz al segundo miembro multiplicando al. ) ) Comprobación: Ejemplo Dejamos uno de los radicales en el primer miembro eleamos los dos miembros al cuadrado. ) ) ) ) ) Dejamos el radical en el primer miembro eleamos nueamente los dos miembros al cuadrado. ) ) ) ) ) ) ) Comprobación: ) ) ) La solución de la ecuación es. Ejemplo ) Comprobación: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

16 Ecuaciones Bicuadradas Se llaman ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado que carecen de término impar. Su forma general es: a b c Si la epresamos de la forma a ) b c hacemos el cambio z obtenemos la ecuación de segundo grado a z bz c. Resoliendo esta ecuación en z se obtienen a lo más dos soluciones z que permiten calcular. z z z z z z z Ejemplo z z z z Ejemplo ) z ) z )) z z z z z ) ) ) ) z z z z No ha solución z Ejemplo z z z ) ) )) z z z z z I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

17 Problemas propuestos con soluciones ) ) c) b) a) ) ) ) ) e) ) ) d) h) g) f) l) k) ) j) ) ) i) o) ) ) ) n) m) s) r) q) p) ) u) t) Soluciones c) b) ) a g) f ) e) ) d j) i) ) h,, m) l) ) k s) r) q) p) o) ) n no tiene I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez ) u) ) t

18 Resolución de problemas ) Al aumentar en cm el lado de un cuadrado se forma otro cuadrado de cm de área. Calcula la medida del lado del cuadrado inicial. Sean la medida del lado del cuadrado inicial. Al aumentar el lado cm, el nueo lado del cuadrado será de. ) ) ) La solución álida es la positia, es decir, cm a que el lado del cuadrado no puede ser negatio. Comprobación: ) ) La tercera parte del cuadrado de un número entero, sumado a la quinta parte del mismo número da como resultado. Calcula dicho número. Sea el número buscado. m.c.m., ) ) ) La solución álida es, a que de las dos soluciones es la única que es un número entero. Comprobación: ) Una caja mide cm de altura de ancho mide cm más que de largo. Su olumen es de cm. Calcula su longitud su anchura. Sea el largo de la caja. ) ) ) La solución álida es la positia, es decir, cm a que el lado de la caja no puede ser negatio. Por tanto, el largo es cm, el ancho cm la altura es de cm. Comprobación: ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

19 ) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las medidas de sus lados son tres números enteros consecutios. Sea uno de los lados. Los otros dos serán, por tanto, la hipotenusa será el que es el maor. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: ) ) ) ) ) ) La solución álida es. Los lados del triángulo son,. Comprobación: ) ) ) Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide cm menos que la altura la diagonal mide cm. Sea la medida de la altura. La base será. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene: ) ) ) ) ) Las dimensiones son cm de altura cm de base. Comprobación: ) ) La suma de los cuadrados de dos números consecutios positios es. Cuáles son los números? Sea uno de los números. El número consecutio será. ) ) ) La solución álida es, por tanto los números consecutios positios son. Comprobación: ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

20 ) El producto de dos números consecutios positios es. Cuáles son esos números? Sea uno de los números. El número consecutio será. ) ) ) La solución álida es que es el número positio, por tanto los números consecutios positios son. Comprobación: ) ) El cuadrado de un número positio, menos el triple del número, menos es. Cuál es el número? Sea el número. ) ) ) ) La solución álida es que es el número positio. Comprobación: ) El área de un rectángulo es cm. Cuáles son sus dimensiones sabiendo que una es el doble que la otra? Sea la base del rectángulo. La altura será. La solución álida es que es la positia, por tanto la base mide la altura. Comprobación: ) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de años la edad del padre será el doble que la del hijo. Cuántos años tienen ahora cada uno? Sea la edad actual del hijo. La edad del padre será. ) ) ) ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

21 La solución álida es que es la positia, por tanto el hijo tiene años el padre. Comprobación: ) ) La suma de las edades de los miembros de una familia es años. El padre tiene años más que la madre que tuo a los dos hijos gemelos a los años. Qué edad tiene cada uno? Sea la edad actual de la madre. La edad del padre será. ) La madre tiene años, el padre los hijos gemelos años. Comprobación: ) ) Para construir una pirámide regular de base cuadrada de m de altura se han necesitado m de piedra. Calcula el lado de la base de la pirámide. Si es el lado del cuadrado de la base de la pirámide, la fórmula que nos da el olumen es: V Área de la base altura m Comprobación: ) Busca los números que cumplan la siguiente condición: La décima parte del número más los dos tercios de su cuadrado da un resultado nulo. Sea el número que buscamos. ) Comprobación: ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

22 Gráficas de las Funciones Cuadráticas ) Un grupo de jóenes amantes de los deportes de riesgo han decidido hacer puenting desde un puente de m de altura. Van lanzándose con cuerdas de diferentes longitudes midiendo el tiempo que tardan en sentir el tirón de la cuerda en sus pies. Al final de la jornada han recopilado todos estos datos en una tabla: t seg) em) a) Representa en un sistema de ejes de coordenadas esas parejas de alores. b) Trata de encontrar una epresión algebraica que reproduzca esa tabla. ) Epresa el olumen de una lata cilíndrica de altura dm en función del radio de la base representa gráficamente la función obtenida. ) Con un cartón cuadrado de dm de lado se desea construir una caja cortando cuadrados de lado en las esquinas. a) Epresa el área de la caja en función de represéntala gráficamente. b) Si la caja tiene tapa, epresa el área representa gráficamente la función correspondiente. Utilizando el programa de matemáticas Geogebra, o la Calculadora Gráfica contesta los siguientes apartados: ) Representa las funciones encuentras entre ellas? '. Qué relación ) Representa las funciones entre ellas?. Qué relación encuentras ) Cómo será la ecuación de la parábola desplazada erticalmente unidades? ) Representa las funciones: entre ellas? ) ). Qué relación encuentras ) Si la parábola la desplazamos horizontalmente unidades hacia la derecha cuál es su ecuación? si la desplazamos horizontalmente una unidad hacia la izquierda? ) Si la parábola la desplazamos horizontalmente unidades hacia la izquierda erticalmente unidades hacia abajo cuál es su ecuación? ) Desarrolla las potencias de las funciones del problema ). Compara el resultado con las ecuaciones de partida ponte otros ejemplos. ) a) Representa la función ) ) obsera detenidamente su gráfica. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

23 b) Borra la gráfica de la función anterior representa las funciones ) ), ) ) e ) ). Qué relación guardan los números que aparecen en la función con los puntos de corte con el eje de abscisas? c) Representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones ) ), ) ) e ) ). qué tienen en común estas tres gráficas? en qué se diferencian? Basándote en las conclusiones obtenidas en este apartado te atrees a escribir la ecuación general de una parábola si conocemos los puntos donde esta corta al eje de abscisas? d) Borra las funciones anteriores representa la función ) ) ). La gráfica correspondiente a esta función no es una parábola, pero si obseras detenidamente la función su gráfica puedes deducir los puntos donde corta al eje de abscisas. Estas funciones se denominan funciones polinómicas de tercer grado. Cuál será la ecuación general de estas funciones? de una función polinómica de cuarto grado? ) Teniendo en cuenta las conclusiones del apartado anterior obserando las gráficas de las siguientes funciones cuáles son sus raíces puntos de corte con el eje de abscisas)? Haz la descomposición factorial de cada una de las funciones encuentra su epresión desarrollada. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

24 Pasos para representar gráficamente una parábola a b c Ejemplo Representar gráficamente la parábola En este ejemplo a b c ) Cálculo del Vértice V, ) El értice es el punto V, ) b a ) ) ) ) Cortes con el eje de abscisas o eje horizontal OX) Hacemos siempre resolemos la ecuación resultante b b ac a ) ) ) ) ) Los puntos de corte son,),) ) Corte con el eje de ordenadas o eje ertical OY) Hacemos siempre ejemplo: calculamos el alor resultante de la. En nuestro El punto de corte es el,) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

25 Problemas sobre parábolas ) a) Escribe la ecuación de la parábola resultante de trasladar el értice de la al punto, ). b) Calcula los puntos en que corta al eje OX. Represéntala. c) Ponte otros ejemplos. Solución a) ) b) Cortes con el eje de abscisas Hacemos resolemos la ecuación resultante ) ) No corta a OX Corte con el eje de ordenadas o eje ertical OY) Hacemos calculamos el alor resultante de la. En nuestro ejemplo: ) El punto de corte es el,) ) a) Encuentra el értice de la parábola. Calcula los puntos de corte con el eje OX con el eje OY. b) Represéntala. Sol: V, ),),,),) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

26 ) Haz lo mismo con las parábolas a) b) e t t Sol: a) V, ),),,), ) b) V, ), No corta al eje de abscisas,, ) ) Determina las ecuaciones de las siguientes parábolas: Solución Para calcular la ecuación de una parábola conocidos tres de sus puntos lo mejor es sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación general de la parábola a b c resoler el sistema formado por las tres ecuaciones lineales con incógnitas a, b c. Pero cuando de los tres puntos que conocemos dos corresponden a los puntos de corte con el eje de abscisas el método más rápido es sustituir el tercer punto en la ecuación k a) b) donde a b son las abscisas de los puntos de corte. Para la parábola cóncaa los puntos de corte son,),). La ecuación es: k ) ) El alor del k lo obtenemos sustituendo las coordenadas del értice, ) en la ecuación. k ) ) k ) k La ecuación de la parábola cóncaa es ) Para la parábola conea los puntos de corte son,),). La ecuación es: k ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

27 El alor del k lo obtenemos sustituendo las coordenadas del értice, ) en la ecuación. k ) ) k ) k La ecuación de la parábola conea es ) ) El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad iene dada por la función f), donde representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula: a) Cuántas personas enferman al quinto día? b) Cuándo deja de crecer la enfermedad? c) Cuándo desaparecerá la enfermedad? Sol: a) personas b) días c) días ) Se lanza un cuerpo erticalmente hacia arriba con una elocidad de m/s desde un punto situado a m del suelo. Su altura en cada instante está dada por la ecuación t t. a) Haz una representación gráfica. b) En qué instante el cuerpo alcanza la altura máima? Cuál es ésta? c) En qué interalo de tiempo el cuerpo está a una altura superior a los m? d) En qué instante el cuerpo llegará al suelo? Solución a) En este caso a b c. Al ser una función que depende del tiempo el dominio es para t. Calculamos el értice los puntos de corte con el eje de abscisas. V, ) b a ) ) El értice es el punto V, ) Cortes con el eje de abscisas: Hacemos resolemos la ecuación resultante t t t ) ) ) ) t t Como el tiempo no puede ser negatio el único punto de corte con el eje de abscisas es,). Corte con el eje de ordenadas: t El punto de corte es el,) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

28 b) La altura máima la alcanza al cabo de seg es de m. c) En la ecuación de la parábola sustituimos t t Entre los seg seg t d) El cuerpo llegará al suelo al cabo de seg t t t ) La parábola a b c pasa por el origen de coordenadas. a) Cuánto aldrá c? b) Si además sabemos que pasa por los puntos, ), ). Cuánto aldrán a b? c) Representa gráficamente la parábola. Sol: a) c b) a b ) Tenemos kg. de naranjas que ho se enden a /kg. Cada día que pasa se estropea kg. el precio aumenta /kg. a) Cuándo hemos de ender las naranjas para obtener el máimo beneficio? b) Cuál será ese beneficio? Sol: a) Al cabo de días b) ) Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de ordenadores son G) en euros, los ingresos que se obtienen por las entas son I) ' en euros. Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio ingresos menos gastos) sea máimo? Sol: ordenadores I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

29 ) Determina la ecuación de la parábola calcula las coordenadas de los puntos situados sobre ella. Sol: Los puntos son:,) ;, ) ;, ) ;,) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

30 Sistemas de ecuaciones no lineales Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. ) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. ) Se sustitue el alor de la incógnita despejada en la otra ecuación. ) Se resuele la ecuación resultante. ) Cada uno de los alores obtenidos se sustitue en la otra ecuación. Se obtienen así los alores correspondientes de la otra incógnita ) Comprobamos los resultados sustituendo los alores de e en las dos ecuaciones para er si se cumplen. Ejemplo ) Despejamos en la primera ecuación ) Sustituimos el alor de en la segunda ecuación. ) ) Resolemos la ecuación resultante ) ) ) ) ) Sustituimos estos alores en la primera ecuación., ),) ) Comprobación:, ),) Ejemplo ) ) ) ) Simplificando I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

31 ) ) ) ),) ), Comprobación: ),,) Ejemplo ) ) Eliminamos los paréntesis ) ) ) ) ) ),), Comprobación: ), ) ),) Ejemplo ) ) ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

32 ) ) ) ),) ) ), Comprobación: ) ) ), ) ),) Ejemplo ), ) ) ) ) Comprobación: ), Ejemplo ) ) Eliminamos los paréntesis ) ) ) ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

33 ) ) ) ),,) Comprobación: ) ),), I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

34 Problemas propuestos con soluciones c) b) a) d) f) e) ) h) g) i) l) k) j) p) o) n) m) s) r) ) q) Soluciones ') ', ',') e),) d), ), c),) ), b),),) ) a ) ', ) ', ) f { ) j ),,) i),) h) ), ), g) no tiene { ), l),') ',') ' k) ),,) o) ),,) n),) ), m),) ), r) ), ), q),,, ),,),, ) p I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez,,) ) s

35 Resolución de problemas ) Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide cm que su base es el triple de su altura? Sea la base del rectángulo e la altura. ) Comprobación:, ) El área del rectángulo es: cm cm cm ) La diagonal de un rectángulo mide cm su área cm. Calcular sus dimensiones. Sea la base del rectángulo e la altura. z z z ) z z z ) ) ) z z,),) Comprobación:,),) Las dimensiones del rectángulo pueden ser cm de base cm de altura ó cm de base cm de altura. ) Las diagonales de un rombo se diferencian en cm su área es cm. Calcula la medida de las diagonales. Sean e las diagonales del rombo. Sabemos que la fórmula que da el área del rombo es D d A, donde D es la diagonal maor d la diagonal menor. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

36 ) ) ) ) Eidentemente, la solución negatia no es álida. Las dimensiones de las diagonales son,) Las dimensiones de las diagonales son cm cm. ) El perímetro de un triángulo isósceles es m. Las altura relatia al lado desigual mide cm. Calcula la medida de los lados iguales. Sea el alor de los lados iguales la mitad del lado que forma la base. ) Los lados desiguales miden cm. ) Los lados de un triángulo miden cm, cm cm, respectiamente. Calcula la altura relatia al lado más largo halla el área del triángulo. Aplicamos el Teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos. h h ) h h ) Igualando los segundos miembros tenemos: [ ) ) ) ] ) [ ] I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

37 cm h h cm A cm ) En una parcela rectangular de m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de m. ) ) ) ) Eliminamos los paréntesis: ) ) ) ) ) ) Las dimensiones de la parcela son de m m. ) Varios amigos an a repartir un premio de a partes iguales. Dos de ellos deciden renunciar a su parte de esta forma los demás reciben más cada uno. Cuántos amigos son? Cuánto recibe cada uno? Sean los amigos e el dinero que reciben cada uno. ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

38 ) ) ) ) La solución álida es Ha amigos. Como de ellos renuncian a su parte, el resto, es decir, reciben cada uno. ) Si la base de un rectángulo disminue cm la altura aumenta cm, se conierte en un cuadrado. Si la base disminue cm la altura aumenta cm, su área disminue cm. Calcula los lados del rectángulo. ) ) Eliminamos los paréntesis. ) ) ) Los lados del rectángulo miden cm cm. ) La suma de dos números enteros positios es. El producto del primero aumentado en unidades por el segundo aumentado en unidades es. Encuentra los dos números. Sean e los números que buscamos. ) ) ) ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

39 ) Comprobación: ) ) ),) ) ), ) ) ) Ha dos parejas de números que cumplen las condiciones del problema,,), ). ) La diferencia de los cuadrados de dos números positios es el maor tiene dos unidades más que el pequeño. Encuentra los dos números Sea maor de los dos números e el menor. ) )) Comprobación:,) Los dos números son el el ) Los lados de dos cuadrados suman cm. Con sus diagonales se forma un rectángulo de cm. Encuentra el alor de los lados de estos cuadrados. Sean e los lados de los cuadrados. La diagonal del primer cuadrado de lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras: d La diagonal del segundo cuadrado de lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras: d I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

40 Con estas diagonales formamos un cuadrado de área cm. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones: ) ) ) ) ) Comprobación:,), ) Los lados de los cuadrados son cm cm I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

41 Solución representación gráfica de un sistema de ecuaciones no lineal Solución del sistema Resolemos el sistema formado por las dos ecuaciones. El método más rápido es el de igualación. Despejamos la en las dos ecuaciones e igualamos los resultados. En nuestro ejemplo las a están despejadas. Igualando las tenemos: La ecuación de segundo grado la podemos resoler de dos maneras: Sacando factor común ) Ha dos soluciones:, ),) Resoliendo la ecuación con la fórmula ) ) Representación gráfica del sistema Para representar gráficamente la función recta) basta con dar dos alores a la, si bien para asegurarnos podemos dar tres alores así comprobar que están alineados. Para representar gráficamente puntos de corte. parábola) calculamos el értice los b Vértice a V, ) Cortes con OX I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

42 ) ) ) Los puntos de corte son,),) Corte con OY Corta en el punto, ) Ejemplo Solución representación gráfica del sistema de ecuaciones: Solución del sistema Resolemos el sistema formado por las dos ecuaciones. El método más rápido es el de igualación. Despejamos la en las dos ecuaciones e igualamos los resultados. Resoliendo la ecuación con la fórmula I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

43 ) ) Si Si ) ) Ha dos soluciones:,,) Representación gráfica del sistema Para representar gráficamente puntos de corte. parábola) calculamos el értice los b Vértice a V, ) Cortes con OX ) ) ) Los puntos de corte son,),) Corte con OY Corta en el punto, ) Para representar gráficamente puntos de corte. parábola) calculamos el értice los b ) Vértice a ) V,) ) ) Cortes con OX ) ) ) )) Los puntos de corte son,),) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

44 Corte con OY Corta en el punto,) Ejemplo Una persona dispara desde el suelo un proectil que describe una traectoria dada por la función e t t. Mientras que el proectil permanece en el aire, otra persona pilota un aión teledirigido que sigue una traectoria definida por la función e t e en metros t en segundos). a) Representa en unos mismos ejes ambas traectorias. b) Desde qué punto se ha disparado el proectil? Desde qué punto ha salido el aión? c) Cuál es el alcance máimo del proectil si no impacta con el aión? Cúanto tiempo tarda? d) A qué alturas se encuentra el proectil en t segundos? Encuentra parejas de alores de t para los que el proectil esté a la misma altura? Cuántas podrás encontrar? e) Da las coordenadas de los puntos donde coinciden las dos las traectorias. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

45 Solución a) Puntos desde donde se ha disparado el proectil desde donde ha salido el aión teledirigido. b) Para calcular analíticamente desde donde se ha disparado el proectil desde donde ha salido el aión calculamos los puntos de corte de las gráficas con los ejes. Cortes de e t t Eje de abscisas e t t t ) ) ) ) t t Los puntos de corte son,), ) Eje de ordenadas t e, ) Cortes de e t Eje de abscisas e t t El punto de corte es,), como se obsera en el zoom del gráfico de la parte superior. Eje de ordenadas t e, ) Dado que ni el tiempo ni el espacio pueden ser negatios, el proectil se ha disparado desde el punto,) el aión ha salido desde el punto, ). I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

46 c) El alcance máimo del proectil iene dado por el punto más alto de su traectoria que coincide con el értice de la parábola. b a ) ) V, ) Es decir, el alcance máimo del proectil son m tarda en llegar seg. d) Si t seg e ) m El proectil se encuentra a m de altura al cabo de seg del lanzamiento. Como todaía no ha llegado al punto más alto értice de la parábola) quiere decir que al descender uele a pasar por la misma altura. Para conocer al cabo de cuánto tiempo resolemos la ecuación: t t t t ) t ) ) ) t t seg seg El proectil se encuentra a m de altura al cabo de seg al cabo de seg. Podemos encontrar infinitas parejas de alores de t que estén comprendidas en el interalo entre seg. e) Para dar las coordenadas de los puntos en los que coinciden las dos traectorias resolemos el sistema formado por las dos ecuaciones cuas soluciones corresponden a los puntos de corte de las dos gráficas. t t e ' t e t t ' t t t ) t ) ) ) t t Si Si t t seg seg e m e m Las coordenadas de los puntos donde coinciden las dos traectorias son:, ), ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez