RESOLUCIÓ DE TRIANGLES

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1 RESOLUIÓ DE TRINGLES Pàgin 03 REFLEXION I RESOL Prolem Per lulr l ltur d un rre, podem seguir el proediment que utilitzà Tles de Milet per tror l ltur d un piràmide d Egipte: omprr-ne l omr m l d un vr vertil l longitud de l qul ens és onegud. Fes-o seguint quest mètode i sent que: l vr f m, l omr de l vr f 37 m, l omr de l rre f 5 m. Per soluionr quest prolem uràs utilitzt l semlnç de dos tringles ,65 m m 5 m L ltur del árol es de 6,65 m. 37 m Prolem ernt onei l distàni què es tro de l rre i els ngles i, i vol lulr l distàni què es tro de rme ì ì Ddes: 63 m; o ; 3 o Per resoldre el prolem, primer relitz un diui esl : 000 ( m mm). Després, mesur l longitud del segment i, desfent l esl, otindràs l distàni què ernt es tro de rme. mm Desiendo l esl: m 63 m 3 ì ì

2 Prolem 3 nàlogment pots resoldre quest ltre prolem: ernt veu des de s s el stell i l di. onei les distànies mdós llos, j que n fet el mí peu moltes vegdes; i vol desorir l distàni del stell l di. Per fer-o, prèviment, de mesurr l ngle ì. Ddes: 00 m; ì 700 m; 0 o. Utilitz r l esl :0 000 (00 m m). 00 m m 00 m m 700 m 7 m,7 m ò 70 m 700 m 7 m 0 00 m m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plint-i el teorem de Pitàgores: ) Els ostts iguls d un tringle retngle isòseles l ipotenus del qul f. ) L ltur d un tringle equilàter de ostt. Fes tots els àluls mntenint els rdils. Hs d rrir les soluions següents: y 3 y

3 UNITT ) + ) y + ( ) y y Pàgin 0. lul tg sent que sin 0,39. Fes-o, tmé, m luldor. os (sen ) 0,39 0,9 sen tg 0, os on luldor: s ß 0,39 t { Ÿ ««} 3 3. lul os sent que tg,. Fes-o, tmé, m luldor. s + s/, Resolviendo el sistem se otiene s 0,79 y 0,6. on luldor: s t, { Ÿ\ \ } Pàgin 05. Sent que l ngle està en el n qudrnt (90 <<0) i sin 0,6, lul os i tg. 0,6 t os 0,6 0,7 0,6 tg 0,79 0,7. Sent que l ngle està en el 3r qudrnt (0 <<70) i os 0,3, lul sin i tg. s 0,3 t sen (0,3) 0,56 0,56 tg 0,67 0,3 3

4 3. Sent que l ngle està en el t qudrnt (70 <<360) i tg 0,9, lul sin i os. s t 0,9 s/ 0,9 El sistem tiene dos soluiones: s + s 0,6; 0,7 s 0,6; 0,7 Teniendo en uent dónde está el ángulo, l soluión es l primer: sen 0,6, os 0,7. omplet l qudern l tul següent i mpli-l per ls ngles 0, 5, 0, 70, 300, 35, 330 i sin 0 / / 3/ os 3/ 0 tg 0 3/3 jud t de l representió dels ngles en un irumferèni goniomètri sin 0 / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 0 3/ / sin / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 3/ /3 0 Pàgin 06. Tro les rons trigonomètriques de l ngle 397º: ) Otenint l epressió de l ngle l intervl [0, 360). ) Otenint l epressió de l ngle l intervl ( 0, 0]. ) Diretment m l luldor. ) ) sen 397 sen 37 0, sen 397 sen ( 3) 0, os 397 os 37 0,5 os 397 os ( 3) 0,5 tg 397 tg 37,5 tg 397 tg ( 3),5

5 UNITT. Pss dsun dels ngles següents l intervl [0º, 360º) i l intervl ( 0, 0]: ) 396 ) 9 ) 65 d) 3 95 e) 7 6 f ) 90 Se trt de epresr el ángulo de l siguiente form: k o k, donde k Ì 0 ) ) ) d) e) f) undo emos, por ejemplo, , por qué tommos? Porque, previmente, emos relizdo l división 7 6 / 360 { }. Es el oiente entero. Pàgin 07 LLENGUTGE MTEMÀTI. Digues el vlor de les següents rons trigonomètriques sense demnr-o l luldor. Després, omprov-o m l seu jud: ) sin(37 Ò ) ) os( 5 Ò ) ) tg( Ò ) d) os(7 Ò ) ) sen ( ) sen ( 30) sen 30 ) os ( ) os (0) ) tg ( ) tg ( 35) tg 35 d) os ( ) os ( ) os ( 360 5) os ( 5) os 5. Repeti m l luldor quests àluls: st P 0 { } st P 0 { } Epli els resultts. om és possile que dig que l ngle l tngent del qul vl 00 és 90º si 90º no té tngent? Es un ángulo que difiere de 90 un ntidd tn pequeñ que, pesr de ls mus ifrs que l luldor mnej, l redonderlo d 90. 5

6 Pàgin 09. lul les rons trigonomètriques de 55º, 5º, 5º, 5º, 35º, 305º i 35º prtir de les rons trigonomètriques de 35º: sin 35 0,57; os 35 0,; tg 35 0, ò 55 y 35 son omplementrios. sen 55 os 35 0, os 55 sen 55 0,57 ( Tmién tg 55,3 tg 35 0,70 sen 55 0, tg 55,3 os 55 0,57 ) sen 5 os 35 0, os 5 sen 35 0,57 tg 5,3 tg 35 0, ò 5 y 35 son suplementrios. sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0, sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0, sen 35 os 35 0, os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 tg 35,3 os 35 sen 35 tg 35 0,

7 UNITT sen 305 os 35 0, os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 tg 305,3 os 305 sen 35 tg ( 35) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0, sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os Desori les rons trigonomètriques de 35º, 56º i 3º, utilitznt l luldor només per tror rons trigonomètriques d ngles ompresos entre 0º i 90º sen 35 sen 0,039 os 35 os 0,999 tg 35 (*) tg 0,039 (*) sen 35 sen tg 35 tg os 35 os 56 0 sen 56 sen 0,067 os 56 os 0,935 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: sen 56 os 66 0,067 os 56 sen 66 0,935 tg 56 0,5 tg 66, sen 3 sen 0,3090 os 3 os 0,95 tg 3 tg 0,39 7

8 3. Diui, sore l irumferèni goniomètri, ngles que omplisquen les ondiions següents i estim, en d s, el vlor de les restnts rons trigonomètriques: ) sin, 3 tg > 0 ) os, > 90 ) tg, os < 0 d) tg, os < 0 ) sen / < 0 tg > 0 sen / os 0,6 os < 0 é3. er udrnte tg 0,5 ) os 3/ > 90º sen 0,66 os 3/ é. udrnte tg 0, ) tg < 0 os < 0 sen 0,7 os 0,7 sen > 0 é. udrnte tg d) tg > 0 os < 0 sen 0,9 os 0,5 sen < 0 é3. er udrnte tg Pàgin. Les propostes següents estn referides tringles retngles que, en tots els sos, es designen per, sent l ngle rete. ) Ddes: 3 m, 57. lul. ) Ddes: 3 m, 57. lul. ) Ddes: 50 m, 30 m. lul i. d) Ddes: 35 m, 3. lul. e) Ddes: 35 m, 3. lul. ) os os 7,3 m ) sen sen 6, m

9 UNITT ) + 396,69 m tg 0, 39 3' 57'' d) tg 56,0 m tg e) sen 66,05 m sen. Per determinr l ltur d un pl ens n em llunyt 7 m de l se i em mesurt l ngle que form l visul l punt més lt m l oritzontl. Hem otingut un vlor de 0º. Qunt mesur el pl? tg tg 0 5,7 m 0 7 m 3. Tro l àre d quest qudrilàter. Suggeriment: prti-lo en dos tringles. 6 m 3 m 0 7 m 9 m 9 3 sen ,3 m 7 6 sen 0,67 m 3 m 0 9 m 6 m El áre es l sum de y :,0 m 7 m 9

10 Pàgin 3. En un tringle oneiem 6, 7 m i 3 m. lul l longitud del ostt. H 7 os 6 6,3 m H 7 sen 6 59, m H H 9,75 m H + H 6,3 m + 9,75 m 5, m 7 m 6 H 3 m. En un tringle MNP oneiem M 3, N 3 i NP 7 m. lul MP. PH sen 3 PH 7 sen 3 3,05 m 7 PH PH 3,05 sen 3 MP 60,9 m MP sen 3 sen 3 M P 7 m 3 3 H N 3. En un tringle oneiem 0 m, 33 m i 53. lul l longitud del ostt. H os 53,0 m 0 m? 53 H 33 m H sen 53 5,97 m H H 0,96 m H + H 6,35 m. Estem, mesurem l ngle dvll el que es veu l edifii (º), ens n llunyem 0 m i tornem mesurr l ngle (35º). Quin és l ltur de l edifii i quin distàni ens en troem? Oserv l il lustrió: 35 0 m 0

11 UNITT tg d tg d tg 35 (d + 0)tg 35 d tg 35 d tg (d + 0) tg 35 d 39,90 m tg tg 35 d tg 5,97 m L ltur es 5,97 m. L primer distni es 39,90 m, y or, después de lejrnos 0 m, estmos 79,90 m. Pàgin sig o-. Repeti l demostrió nterior en el s que tús. Tin en ompte que: sin (0 ) sin H (0 ) H sen sen sen sen (0 ) sen sen sen sen sen. Demostr, detlldment, snt-te en l demostrió nterior, l relió següent: sin sin Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos.

12 H Por tnto, tenemos: sen sen sen sen sen sen sen sen Pàgin 5 3. Resol el mtei prolem nterior ( m, 30) prenent per els vlors següents:,5 m, m, 3 m, m. Justifi gràfiment per què s otenen, segons els sos, p soluió, un soluió o dues soluions.,5 m,5 0,5 sen, ) 3 sen sen sen sen 30,5 30 m,5 m Imposile, pues sen é [, ] siempre! No tiene soluión. on est medid,,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo.

13 UNITT m sen 0,5 sen 90 sen sen sen 30 m 30 m Se otiene un úni soluión. 3 m 3 0,5 sen 0, 6 ) sen sen 30 3 ' 37," 3 ',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 0. m sen 0,5 sen 0,5 sen Un soluión válid. 50 m 30 m L soluión 50 no es válid, pues, en tl so, serí + 0. Imposile! 3

14 Pàgin 7. Resol els tringles següents: ) m; 6 m; 0 m ) m; 7 m; 0 ) m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 05 e) m; 5 i 60 f) 5 m; 35 ) + os os os os 0, ' 33" m 6 m 0 m + os os os 0, ' 57,5" ' 9,5" ) + os os ,9 97,06 7, m 7 sen sen sen 7 sen 0 sen 0,6 7, 7, sen 0 m 5 7',3" 6 5' 5,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 5' 5,7"

15 UNITT ) + os os os 0, ' 57,5" + os os os 0, ' 33" 0 ( + ) 3 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m m d) + os os 05 3, 5,59 m sen sen 5,59 sen 05 sen sen 05 sen 0,69 5,59 3 m 05 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 3 6' 3,7" e) 0 ( + ) 75 sen sen sen ' 5,3" 36 6' 3,7" sen 5 sen 5,93 m sen 75 sen sen sen 75 No válid sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m 5

16 f) 0 ( + ) 0 5 sen sen sen 0 sen 35 5 sen 35 3,05 m sen 0 omo 3,05 m 5. Les ses d un trpezi fn 7 m i 0 m, i un dels ostts, 7 m. L ngle que formen les retes sore les quls es troen els ostts prl lels és de 3º. lul l mesur de l ltre ostt i l àre del trpezi. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: P ( + 7) plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os y 0y os 3 0 y 6,96y y 0 m 7 m y 0 No válido y 6,96 m z 7 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 0 7 DP 0 (z + 6,96) 7 6,96 P 6,96 z + 6,96 0z,7 z,7 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde sí: z D P 7 m, entones: D 3 sen 3 ò z sen 3,7 sen 3 6, Áre D 6,9,93 m 6

17 UNITT 6. Un viell demn uili i dues estions de ràdio en reen els senyls, i, que disten entre si 50 km. Des de les estions es mesuren els ngles següents: 6 i 53. quin distàni de d estió es tro el vi- ì ì ell? km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 0, km 7. Per tror l ltur d un glous, relitzem els mesurments indits l figur. Qunt dist el glous del punt? Qunt, del punt? quin ltur es tro el glous? 63 G 90 H m H m ì G sen 63 5, m dist el gloo del punto. sen 63 sen 5 sen sen 7 6,9 m dist el gloo del punto. sen 7 sen 5 sen 5 sen 75 5, sen 75,3 m es l ltur del gloo. 5, 7

18 Pàgin EXERIIS I PROLEMES PROPOSTS PER PRTIR Relió entre rons trigonomètriques lul l rest de rons trigonomètriques de l ngle (0 < < 90) utilitznt les relions fonmentls: 3 3 ) sin ) os ) tg 3 d) sin e) os 0,7 f) tg 3 ) sen + os 3 + os os 3 ( ) os sen 3/ tg os / 3 ) sen + sen ( ) sen / tg / ) + tg 3 ) 7 + ( os os os sen d) os ( ( 7 7 ) 3 ) os os os sen os 55 os / 3 55 tg 55/ 55 e) sen (0,7) sen 0,6 sen 0,69 0,69 tg 0,96 0,7 7 7

19 UNITT f) + 3 os os os 0 0 sen 9 3 sen Sent que l ngle és otús, omplet l tul següent: sin os tg 0,9 0,5 0, 0, 0,75 sin os tg 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 0,39 0, 0, 0, 0,7 0,,36 0,75,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen + os 0,9 + os os 0,9 os 0,536 os 0,39 7 otuso os < 0 tg sen,36 os (Se podrín lulr diretmente on l luldor sen 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) + tg + 0,565 os 0,6 os 0, os os tg sen sen tg os ( 0,75) ( 0,) 0,6 os ) sen os 0,0 0,956 sen 0,99 tg sen 0,99,5 os 0, d) sen os 0,6 0,36 sen 0,6 tg sen 0,6 0,75 os 0, (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os sen 0,5 0,75 os 0,7 tg sen 0,5 0,57 os 0,7 9

20 f) + tg + 6 os 0,059 os 0, os sen tg os ( ) ( 0,) 0,96 3 Trod l rest de rons trigonomètriques de : ) sin /5 < 70 ) os /3 tg < 0 ) tg 3 < 0 sen < 0 ) sen < 0 é 3. er udrnte os < 0 < 70 tg > 0 os sen os /5 tg sen os 3/5 3 ) os > 0 tg < 0 sen < 0 é. udrnte sen os 5 5 sen tg sen os ) tg < 0 < 0 é. udrnte sen > 0 os < 0 tg os os os sen os 0 0 tg sen tg os ( 3) ( ) Epress om un ngle del primer qudrnt: ) sin 50 ) os 35 ) tg 0 d) os 5 e) sin 35 f ) tg 0 g) tg 30 )os 00 i) sin 90 ) sen 50 sen 30 ) os 35 os 5 ) sen 0 sen 30 tg 0 os 0 os 30 tg 30 d) os 55 sen 5 0

21 UNITT e) sen 35 sen 5 f ) sen 0 sen 60 tg 0 os 0 os 60 tg 60 ( sen 0 os 30 Tmién tg 0 os 0 sen 30 tg 30 ) g) sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 ) os 00 os 0 i) sen 90 os 0 (Tmién sen 90 sen 70) 5 Si sin 0,35 i < 90, tro: ) sin (0 ) )sin ( + 90) ) sin (0 + ) d) sin (360 ) e) sin (90 ) f) sin (360 + ) ) sen (0 ) sen 0,35 ) sen ( + 90) os sen + os os 0,35 0,775 ò os 0,9 sen ( + 90) os 0,9 ) sen (0 + ) sen 0,35 d) sen (360 ) sen 0,35 e) sen (90 ) os 0,9 (luldo en el prtdo )) f) sen (360 + ) sen 0,35 6 Si tg /3 i 0 < < 90, resol: ) sin ) os ) tg (90 ) d) sin (0 ) e) os (0 + ) f) tg (360 ) ) tg sen sen tg os os os tg os os sen tg os

22 ) luldo en el prtdo nterior: os ) tg (90 ) sen (90 ) os os (90 ) sen d) sen (0 ) sen e) os (0 + ) os f) tg (360 ) sen (360 ) sen tg os (360 ) os 3 7 Tro m l luldor l ngle : ) sin 0,75 < 70 ) os 0,37 > 0 ) tg,3 sin < 0 d) os 0,3 sin < 0 ) on l luldor 35' 5" é. udrnte sen < 0 omo dee ser é 3. er udrnte < 70 Luego ' 5" 35' 5" ) on l luldor: ' 56,3" os < 0 > 0 é 3. er udrnte 360 ' 56,3" 7' 3,7" ) tg,3 > 0 sen < 0 os < 0 é 3. er udrnte on l luldor: tg,3 5 ' 7,39" ' 7,39" 3 ' 7,"

23 UNITT d) os 0,3 > 0 sen < 0 é. udrnte on l luldor: os 0,3 76 ' 0,5" 76 ' 0,5" 3 7' 9,6" Resoluió de tringles retngles Resol els següents tringles retngles ( 90) tront l mesur de tots els elements desoneguts: ) 5 m, m. Tro,,. ) 3 m, 37. Tro,,. ) 7 m, 5. Tro,,. d) 5, km, 7. Tro,,. ) m 5 tg 0,6 37', ',5" m 5 m ) sen 7,5 m sen tg 57,06 m tg m ) os 3, m os 5 tg 7 tg 5, m m 3

24 d) sen 5, sen 7 5, km 5, os 5, os 7,9 km 5, 5, km 7 9 Si volem que un int trnsportdor de 5 metres eleve l àrreg fins un ltur de 5 metres, quin ngle s urà d inlinr l int? 5 sen 0,6 36 5',6" 5 5 m 5 m 0 Un esl de m està reolzd en un pret formnt un ngle de 50º m el sòl. Tro l ltur l qul rri i l distàni que en sepr l se de l pret. m 50 d sen 50,53 m d os 50 d,9 m El ostt d un rome mesur m i l ngle menor és de 3º. Qunt mesuren les digonls del rome? m 9 y 3 sen 9 os 3 y y sen 9,6 m d 5, m os 9 7,6 m D 5, m

25 UNITT lul l projeió del segment 5 m sore l ret r en els sos següents: ) 7 ) 50 r ' ' ) 5 d) 90 '' ) os '' 5 os 7,6 m ) '' 5 os 5 9,6 m ) '' 5 os 5,9 m d) '' 5 os 90 0 m 3 ) Tro l ltur orresponent l ostt en dsun dels tringles següents: I II III m 7 m 5 m 3 3 m 5 m m ) Tro l àre de d tringle. ) I) sen 7 7,9 m II) sen 3 5 3,5 m III) sen 3, m 7,9 ) I) 7,7 m 5 3,5 II) 99,3 m, III),5 m En el tringle, D és l ltur reltiv l ostt. m les ddes de l figur, tro els ngles del tringle. 3 m m D, m En En ì D: sen ' 37''; D 90 ' 3'' 3 ì D : tg 5 7' ''; D 6 3' '', Ángulos: 3' 35''; ' 37''; 5 7' '' 5

26 5 Des d un punt P eterior un irumferèni de 0 m de rdi, es tren les tngents quest irumferèni que formen entre si un ngle de 0º. lul l distàni de P dsun dels punts de tngèni. 0 m O 0 P En OP 0 : tg 0 P P 7,7 m Distni de P d uno de los puntos de tngeni: 7,7 m Pàgin 3 Teorem dels sinus 6 lul i en el tringle en què: 55, 0, 5 m m 0 (55 + 0) 5 5,33 m sen sen sen 55 sen 5 sen 5 9,6 m sen sen 0 sen 5 7 Tro l ngle i el ostt en el tringle en què: 50, 3 m, m. 3 sen sen sen 50 sen 3 m sen 50 sen 3 50 m 0 ( + ) 93 9' 5'' 3 sen 93 9' 5'' sen sen sen 50 9,9 m 36 50' 6 '' (Tiene que ser < ) 6

27 UNITT Resol els tringles següents: ) 35 7 m ) m m ) 7 sen 35 0 (35 + ) 03; 0 m sen sen sen 03 sen 7 sen,67 m sen sen 03 sen 05 ) sen 35 5' 9''; 39 3' 5'' sen sen 30 sen 30 sen 39 3' 5'' 9,79 m sen sen 05 9 Dos mis situts en dos punts, i, que disten 500 m, veuen l torre d un esglési,, dvll els ngles 0 i 55. Quin distàni i ì ì entre d un d ells i l esglési? 0 (0 + 55) m sen 0 sen sen 5 3,6 m 500 sen 5, m L distni de l iglesi es de, m, y l de l iglesi, 3,6 m. Teorem del osinus 0 lul en el tringle, en què:, 7, m, 5,3 m. 5,3 m 7, m + os 7, + 5,3 7, 5,3 os 0, m Tro els ngles del tringle en què m, m, 35 m. m m 35 m os + 35 os 5 3' '' os os 3 7' '' 35 0 ( + ) 7' 5'' 7

28 Resol els tringles següents: ) 3 m 7 m 0 ) 5 m 57 m 65 ) 3 m m 3 m ) os 0,9 m 7 3 +,9 3,9 os 9 56' '' 0 ( + ) 0 3' 5'' ) os 65 79,7 m ,7 5 79,7 os 0 ' 5'' 0 ( + ) 7 ' 55'' ) os os 0 ( + ) 33 0' 35'' 30 0' 9'' 7 ' 56'' 3 Des de l port de m s,, veig el inem,, que es tro 0 m, i el ì quios, K, que està 5 m, dvll un ngle K 0. Quin distàni i entre el inem i el quios? 0 m 0 5 m K os 0 77, m es l distni entre el ine y el kiosko. Resoluió de tringles qulssevol Resol els tringles següents: ) 00 m 7 63 ) 7 m ) 70 m 55 m 73 d) m 00 m 0 e) 5 m 30 m 0 m f) 00 m 5 m 50 m g) 5 m 9 m 30 ) 6 m m 57

29 UNITT ) 0 ( + ) 70 sen sen 00 sen 70 sen 7 00 sen 7 77,3 m sen sen 63 9, m sen 70 sen 63 sen 70 ) 0 ( + ) sen 70 6,5 m sen 75 sen 70 sen sen 35 0,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) os ,7 75,3 m , ,3 os os ,3 70 0,5 6 3' 9," 55 75,3 0 ( + ) 6' 0,6" d) os 0 79,6 m + os os + os,6 + 00,6 00 0,969 ' 5,5" 0 ( + ) 37 5' 55,5" e) + os os ,7 3 37' 9," 30 0 os ,665 30' 33" ( + ) 9 5' 57,6" f) os ,9 3 39' 3," 5 50 os , ' 6,7" ( + ) 5 ' 3,9" 9

30 5 g) 9 9 sen 30 sen 0,596 sen 30 sen 5 7 ' 6," 5 3' 3," L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) 3' 3," 5 5 sen 7,5 m sen 30 sen sen 30 ) 6 6 sen 57 sen 0,690 sen 57 sen 3 5' 35,7" ',3" L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) ',3" sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 PER RESOLDRE 5 Un estàtu de,5 m d ltur està ol lod sore un peny. Des d un punt del sòl es veu l peny dvll un ngle de 5º i l estàtu, dvll un ngle de 0º. lul l ltur de l peny. tg 5 y y,5 + tg 55 y y tg 5,5 + tg 55,5 + tg 5 tg 55,5 tg 5 tg 55,5 tg 5 + tg 5 0,5 m (el pedestl) tg 55 tg 5,5 m 0 5 y 30

31 UNITT 6 Un vió vol entre dues iutts, i, que disten 0 km. Les visuls des de l vió i formen ngles de 9º i 3º m l oritzontl, respetivment. quin ltitud es tro l vió? V (vión) 9 0 km 3 tg 9 tg 9 tg tg 3 tg 3 tg 9 0 tg 3 tg 3 0 tg 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 tg 3 tg 9 7, km tg 3 + tg 9 7 Tro el ostt de l otògon insrit i de l otògon irumsrit en un irumferèni de rdi 5 m m l 30' 5 sen 30',9 m 5 Ldo del otógono insrito: l 3, m 5 30' y tg 30' y,07 m 5 Ldo del otógono irunsrito: l', m 5 m y l' 3

32 lul els ostts i els ngles del tringle. 7 m 50 3 m D En el tringle retngle D, tro i D. D, tro, sps que En D: 3 3 os 50,7 m os 50 D tg 50 D 3 tg 50 3,6 m 3 En D : D 3,6 sen 0, ' 59" 7 7 D os D 7 os 6 m 7 sí, y tenemos: 50 7 m 0 ( + ) 99 3' " 30 56' 59" D + D 9 m,7 m i D. Per tror 9 En un irumferèni de rdi 6 m trem un ord 3 m del entre. ì Tro l ngle O. P El tringle O és isòseles. O P 3 m 6 m O OP 3 m O 6 m ì OP 90 ì 3 ì os PO PO 60 6 ì ì O PO

33 UNITT 30 Per lolitzr un emissor lndestin, dos reeptors, i, que disten entre si 0 km, orienten les ntenes p l punt on es tro l emissor. questes direions formen m ngles de 0º i 65º. quin distàni de i es tro l emissor? E 0 0 km 65 E 0 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen sen 0 sen 75 sen 75 6,65 km dist de. 0 0 sen 65 sen 75 sen 75 9,3 km dist de. 3 En un entrenment de futol es ol lo l pilot en un punt situt 5 m i m de d un dels pls de l porteri, l mplàri de l qul és de 7 m. Dvll quin ngle es veu l porteri des d quest punt? (porterí) 7 m 5 m m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os ,

34 Pàgin 3 lul l àre i les longituds dels ostt i de l ltr digonl: ì D ì 50. lul els ostts del tringle D i l seu àre. Per tror l ltr digonl, onsider el tringle D m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 50 m 0 0 ( + ) 0 sen 50 sen 50 sen 0 sen 0,7 m sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 6,6 m sí: D 6,6 m D,7 m Pr lulr el áre del triángulo : sen 50 sen 50 sen 50 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 9 m Pr lulr l otr digonl, onsideremos el triángulo D: plindo el teorem del oseno: D 6,6 +,7 6,6,7 os 70 93, D 3,9 m ,6 m 70,7 m D 3

35 UNITT 33 Dos viells ien d un port m rums diferents que formen un ngle de 7º. El primer n i les 0 del mtí m un veloitt de 7 nus, i el segon n i les 30 min, m un veloitt de 6 nus. Si l st dels equips de ràdio és de 50 km, podrn posr-se en ontte les 3 de l vesprd? (Nu mill / or; mill 50 m). P 7 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro P 7 50 m/ m ro P 6 50 m/ 3, m Neesrimente, > P y > P, luego: > m omo el lne de sus equipos de rdio es m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 9 3,7 m). 3 En un retngle D de ostts m i m, es trç des de un perpendiulr l digonl, i, des de D, un ltr perpendiulr l mtei digonl. Siguen M i N els punts on questes perpendiulrs tllen l digonl. Tro l longitud del segment MN. D N m M m En el tringle, tro. En el tringle M, tro M. Tin en ompte que: MN M Los triángulos ND y M son igules, luego N M omo MN N M, entones: MN M Por tnto, st on lulr en el triángulo y M en el triángulo M. 35

36 En : + 0 (por el teorem de Pitágors) lulmos En M : tg,5 56 ' 35," (en ): M os M os (56 ' 35,"), m Por último: MN M,, 5,6 m, m 35 Tro l ltur de l rre QR de peu inessile i més i que el punt d oservió, m les ddes de l figur. Q 30 0 R P 50 m P' Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividid l torre según l figur dd; y llmemos z l distni de P l torre. Q y R z 30 0 P 50 m P' tg z tg z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg (z + 50) tg tg 30 z tg z tg tg 30 z 5,3 m tg tg 30 Sustituyendo en z tg 5,3 tg 60, m y Pr lulr y: tg 0 y z tg 0 5,3 tg 0 9,7 m z Luego: QR + y 79, m mide l ltur de l torre. 36

37 UNITT 36 lul l ltur de QR, el peu del qul és inessile i més lt que el punt on es tro l oservdor, m les ddes de l figur. Q R P 3 P' 50 m Llmemos l distni del punto más lto l líne orizontl del oservdor; y, l distni de l se de l torre l mism líne; y z, l distni R'P, omo se indi en l figur. tg ( + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 5, tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 5, tg 0,37 m Pr lulr y: y tg y z tg z Q 5, tg 7, m Por tnto: QR y 7,97 m mide l ltur de l torre. y R R' z P 3 50 m P' QÜESTIONS TEÒRIQUES 37 Epli si les igultts següents referides l tringle són vertderes o flses: ) ) os sin 3) ) sin 5) tg tg 6) tg 7) sin os 0 ) os 9) 0) sin ) sin tg tg sin os ) os 37

38 ) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 ) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 0) Verdder, pues sen + os omo os sen os sen ) Fls, pues sen os (porque? ) sen / ) Verdder, pues os / 3 Prov que en un tringle qulsevol es verifi: R sin sin sin R és el rdi de l irumferèni irumsrit. Trç el diàmetre des d un dels vèrtes del tringle. pli el teorem dels sinus en els tringles i '. ' O plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen sen ' En ' sen ' sen ' 3

39 UNITT Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen sen 39 Prov que només i un tringle m questes ddes: 3 m,,5 m, 60 Hi p tringle m questes ddes?: 35, 3 m, 3 m + os,5 ( ) + os 60 3, ,75 0 3,5 m 3 ± m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo y un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 0). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: 3 3 sen sen sen sen 35 3 sen 35 sen 3 sen Pero: > 0 Imposile! Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no y ningún triángulo on esos dtos. 39

40 Pàgin 5 PER PROFUNDIR-HI 0 Dues vies de tren d, m d mple es reuen i formen un rome. Si un ngle de tll és de 0º, qunt vldrà el ostt del rome?,, sen 0 l, m l sen 0, m 0 l 0 Per tror l distàni entre dos punts inessiles i, fiem dos punts i D tls que D 300 m, i mesurem els ngles següents: ì ì D 5 D 0 ì D ì 6 3 D m 6 lul. Si onoiésemos y, podrímos llr. lulemos, pues, y : on el teorem del oseno en En el triángulo D: Por el teorem del seno: 300 sen 69 D 300 sen 65 9, m sen 65 sen m En el triángulo D: D m Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen sen 0,0 m sen 6 0

41 UNITT Podemos entrrnos y en el triángulo y plir el teorem del oseno: 9, +,0 9,,0 os 3 636,09 56,96 m 9, m 3,0 m En un erle de 5 m de rdi, tro l àre ompres entre un ord de 0 m de longitud i el diàmetre prl lel ell. I 0 m II III 5 m Podemos dividir l zon somred en tres, de form que: I III setores irulres de ángulo desonoido. II triángulo isóseles de ldos igules 5 m y de ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur desde : , m sí: Áre II se Ò ltur 0,, m lulemos el ángulo (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: os os , ) 3 37',3" 5 5 En I: onoido podemos lulr fáilmente: 0 ',9" Y, on esto, el áre: Áre I π r π 5 9,6 m Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I, + 9,6 T 30,0 m

42 3 Dues irumferènies són tngents eteriorment i els rdis fn 9 m i m. Tro l ngle,, que formen les tngents omunes. O' 9 O P Els rdis formen m les tngents dos tringles retngles. om que OP +, tenim: sin y sin lul i després. OP + sen + O'P sen (7 + ) 9 ( + ) , m Sustituyendo por su vlor: sen + + 6, 0, 0,36 37',5" sí: 5 ' 3" UTOVLUIÓ. D un tringle retngle oneiem l ipotenus m i el tet 7 m. Tro n els ngles guts. m 7 sen 35 ' 7 '' 90 5 ' 53'' 7 m

43 UNITT. Epress m un ngle del primer qudrt les rons trigonomètriques dels ngles següents: 5, 07, 3, 56 sen 5 sen (0 6) sen 6 os 5 os 6 tg 5 tg 6 sen 07 sen (0 + 7) sen 7 os 07 os 7 tg 07 tg 7 sen 3 sen (360 ) sen os 3 os tg 3 tg sen 56 sen ( ) sen 96 sen (360 6) sen 6 os 56 os 6 tg 56 tg 6 3. Si sin /5 i > 90, lul sense tror l ngle : ) os ) tg ) sin (0 + ) d) os (90 + ) e)tg (0 ) f) sin (90 + ) ) os sen os 6 os 9 3 os ± os 5 /5 ) tg 3/5 3 ) sen (0 + ) sen 5 d) os (90 + ) sen e) tg (0 ) tg 3 f) sen (90 + ) os. Si tg 3,5, tro m jud de l luldor, epress-o om un ngle de l intervl [0, π) i otín-ne el sinus i el osinus. st3.5 ± { \ } Hy dos soluiones: sen 0,96; os 0,7 sen 0,96; os 0,7 5 56' 3'' 05 56' 3''

44 5. lul l àre del tringle. 0 m 3 m 3 m 0 m ltur: sen 0 sen 9,39 m 0 3 9,39 Áre 50, m 6. Dlt d un edifii en onstruió i un gru de m. Des d un punt del sòl es veu el punt més lt de l gru dvll un ngle de 50º respete l oritzontlitt i el punt més lt de l edifii dvll un ngle de 0º m l oritzontlitt. lul l ltur de l edifii. m 0 50 tg 0 + tg 50 tg 50 tg 0,3 m tg 50 tg 0,3 tg 0 9,5 m L ltur del edifiio es 9,5 m. tg0 tg 50 + tg 0 7. Resol el tringle en quests sos: ) 9 m, 33 m, ) 5 m, m, 30 ) on el teorem del oseno, llmos : os 60,9 9 m 33 m,7 m Del mismo modo, llmos : ,7 9,7 os os 0,5 97 9' 0 ( + ) 3 5'

45 UNITT ) Hllmos on el teorem de los senos: m sen sen sen sen 30 sen m 0,6 Hy dos soluiones: 59' 9'' 37 0' 5'' 07 0' 5'' 59' 9'' sen 30 sen 07 0' 5'',0 m,9 m sen 30 sen 59' 9''. Dos mis estn en un pltj 50 m de distàni i en el mtei pl vertil que un milot que es tro volnt entre mdós. En un moment dont, un l veu m un ngle d elevió de 50º i l ltre m un ngle de 3º. Quin distàni i de d un d ells l milot? 0 (50 + 3) m 3 Hllmos y on el teorem de los senos: sen 50 sen sen 50 sen 9,9 m 50 9, m sen sen sen 3 sen 9 Ls distnis de d uno l omet son,9 m y 9, m, respetivmente. 9. Els ostts d un prl lelogrm mesuren m i 3 m i formen un ngle de 5º. Tro n l longitud de l digonl mjor. 0 5 d lulmos d plindo el teorem del oseno: 5 m d os 057, 3 m d 5,36 m es l medid de l digonl. 5