PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

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1 José Atoo Jméez eto PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. PARÁMETROS DE CETRALIZACIÓ La formacó recogda e ua tabla o gráfca estadístca suele resumrse e uos pocos valores que os forma del comportameto de todos los dvduos del colectvo estudado. Estos valores, represetatvos de todos los de ua dstrbucó, se llama parámetros o meddas de cetralzacó. Estos parámetros tede a stuarse haca el cetro del cojuto de datos ordeados... Meda artmétca Meda artmétca de ua varable estadístca es el cocete etre la suma de todos los valores de dcha varable y el úmero total de éstos. Se represeta por. Su cálculo se realza, segú las epresoes que sgue, atededo a la presetacó de los datos. Para datos s frecuecas. S la varable toma los valores,,,, la meda artmétca se calcula medate la epresó: K Para datos co frecuecas. S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la meda artmétca se calcula medate la epresó: K Calcula la meda artmétca de la superfce de los Parques acoales. Parques acoales ha Pcos de Europa 6.9 Ordesa y Mote Perddo.608 El Tede 3. La Caldera Taburete Tmafaya.0 Doñaa 0.0 La Tablas de Damel.98 El Archpélago de Cabrera 0.0 Garajoay Total.8 Los datos aparece s frecuecas. Debemos sumar todas las superfces y dvdr esta suma por el úmero de Parques acoales '6 hectáreas 9 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

2 José Atoo Jméez eto Las edades de los alumos de ua clase so las que se refleja e la tabla. Hallamos la edad meda de los alumos. Edad ( ) Total 0 84 La varable es dscreta. Para hallar la meda debemos sumar todos los datos, lo que equvale a multplcar cada valor por su frecueca absoluta y sumar todos los productos. 84 4' años 0 Hemos tallado los treta alumos de ua clase. Co los datos obtedos y agrupado las tallas por tervalos hemos calculado la talla meda de éstos. La varable es cotua y los datos está agrupados e clases. La meda de ua varable cotua se obtee sumado los productos de las marcas de clase de los tervalos por su frecueca absoluta y dvdedo ese producto etre el úmero total de datos. Talla (cm) Marcas de clase ( ) [0, ) [, 60) 3 4 [60, 6) [6, 0) 6.00 [0, ] Total cm 30.. Moda Moda de ua varable estadístca es el valor de dcha varable que tee mayor frecueca absoluta (es decr, el valor de la varable que más se repte). Se represeta por Mo. Para las edades de los alumos del ejemplo ateror, la moda es Mo 4, ya que 4 es la edad que tee u mayor úmero de alumos. Esta dstrbucó, como sólo tee ua moda, se dce que es ua dstrbucó umodal. Dada ua dstrbucó de frecuecas, su tabla es la sguete Las modas so Mo 3 y Mo, por ser estos dos valores de la varable los que tee mayor frecueca. Dremos e estos casos que se trata de ua dstrbucó bmodal. E el caso de que los datos esté agrupados e tervalos llamamos clase o tervalo modal a la clase que preseta mayor frecueca absoluta. S o ecestamos mucha precsó e el cálculo de la moda, podemos tomar como valor apromado de la msma la marca de clase del tervalo modal. Cuado es ecesara mayor precsó e el cálculo recurrmos a la sguete epresó que os da su valor eacto. Mo e Mo ) ( Mo ( Mo Mo Mo Mo a ) e etremo feror del tervalo modal a ampltud del tervalo modal Mo, Mo, Mo frecuecas absolutas del tervalo modal, del tervalo ateror y del posteror, respectvamete Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

3 José Atoo Jméez eto E la dstrbucó estadístca vsta co aterordad que os proporcoa la talla de los treta alumos de ua clase, el mayor valor de la frecueca absoluta da como tervalo modal [6, 0). El valor apromado de la moda es 6 cm. o obstate, el valor eacto de está es: 0 Mo cm ( 0) ( 4) 8 Por tato, la talla moda de esta clase es Mo 66 cm, que como podemos ver se aproma mucho a la marca de clase del tervalo modal, 6 cm. Observa como gráfcamete, a través del hstograma, també se puede calcular la moda. Mo Mo Δ Mo e a e a cm ) ( ) Δ Δ 8 ( Mo Mo Mo Mo.3. Medaa Las calfcacoes que ha obtedo alumos e Matemátcas y 8 alumos e Legua ha sdo las sguetes: Matemátcas: ; Legua: Observamos que e Matemátcas la ota 6 deja tres alumos a su zquerda y tres a su derecha. E las de Legua, como o hay ua ota cetral, tomamos la meda artmétca de las dos otas cetrales: (4 6)/. Decmos que la ota medaa e Matemátcas es 6 y e Legua. Medaa de ua varable estadístca es el valor (o es sempre u valor de la varable) que, tras ordear los datos de forma crecete, deja a su zquerda u úmero de datos guales a los que deja a su derecha; es decr, es el valor tal que la mtad de los datos so meores o guales que él y la otra mtad guales o mayores. Se deota por Me. Dada la sere estadístca, 3,, 9,,, 6, calcula la medaa. Ordeamos los datos:, 3,, 6, 9,, la medaa es Me 6, por ser éste el valor cetral. Dada la sere estadístca,, 3, 9,, 3,, 6, calcula la medaa. Ordeamos los datos:, 3,, 6, 9,,, 3 e este caso hay dos valores cetrales, que so 6 y 9; la medaa es Me (6 9)/. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 3

4 José Atoo Jméez eto El proceso ateror, para calcular la medaa, es útl cuado dspoemos de pocos datos, pero cuado el úmero de éstos es grade este procedmeto resulta muy laboroso, sedo ecesaro costrur ua tabla estadístca co frecuecas absolutas acumuladas. De esta forma, para el cálculo de la medaa de ua varable estadístca dscreta debemos dstgur dos casos: Que o esta gú valor de la varable,, cuya frecueca absoluta acumulada,, sea gual que la mtad del úmero de dvduos, /. E este caso, la medaa es el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada sea mayor que la mtad del úmero de dvduos. Las calfcacoes ( ) que obtuvero los 3 alumos de ua clase e la asgatura de Iglés fuero las que proporcoa la sguete tabla. Halla la calfcacó medaa Total 3 La mtad del úmero total de dvduos es / 6 La calfcacó medaa es Me, dado que es el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada, 9, ecede a la mtad del úmero de datos, 6. E el caso de que esta u valor de la varable,, cuya frecueca absoluta acumulada sea gual que la mtad del úmero de dvduos, es decr, /, la medaa ha de ser la meda artmétca etre dcho valor de la varable y el sguete. E el eame de evaluacó, las calfcacoes que obtuvero fuero muy parecdas. Hallemos uevamete la calfcacó medaa Total 3 E este caso, el valor tee por frecueca absoluta acumulada 6, que es precsamete la mtad del úmero total de dvduos: / 6. La calfcacó medaa es ahora Me ( 6)/ E el caso de que los datos esté agrupados e tervalos, llamamos tervalo o clase medaa a la prmera clase o tervalo cuya frecueca absoluta acumulada sobrepase estrctamete a la mtad del úmero de dvduos. S o ecestamos mucha precsó podemos tomar como valor apromado de la medaa la marca de clase correspodete a la clase medaa. Cuado es ecesara mayor precsó e el cálculo de la medaa, para varables agrupadas e tervalos, utlzamos la sguete epresó que os da su valor eacto. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 4

5 José Atoo Jméez eto Me e Me Me a e etremo feror de la clase medaa a ampltud de la clase medaa Me frecueca absoluta de la clase medaa Me frecueca absoluta acumulada de la clase ateror a la clase medaa Ecuetra la talla medaa e la dstrbucó estadístca vsta e el ejemplo del epígrafe.. Talla (cm) [0, ) [, 60) 3 4 [60, 6) [6, 0) 6 6 [0, ] 4 30 Total 30 El tervalo o clase medaa es [6, 0) ya que es el prmer tervalo cuya frecueca absoluta acumulada, 6, sobrepasa a la mtad del úmero de dvduos, /. El valor apromado de la medaa es etoces 6 cm. Para obteer la medaa eacta utlzamos la epresó dcada aterormete: Me 6 6 6'4 cm Cuado los datos está agrupados e tervalos, la medaa puede terpretarse geométrcamete como el puto del eje de abscsas que permte dvdr el hstograma de frecuecas absolutas e dos partes de gual área. Lo comprobamos a cotuacó co el ejemplo ateror. Área de la zquerda: Área de la derecha: 4 0 E este ejemplo puedes ver que o se preseta gú problema cuado se ecuetra u tervalo cuya frecueca absoluta acumulada es gual que la mtad del úmero total de dvduos. Calculamos la talla medaa de esta dstrbucó (lgeramete modfcada de la ateror). Talla (cm) [0, ) [, 60) 3 4 [60, 6) 6 [6, 0) 6 0 [0, ] 30 Total 30 El tervalo o clase medaa es el msmo, [6, 0), pues es el prmero cuya frecueca absoluta acumulada,, sobrepasa a la mtad del úmero de dvduos, /. El valor apromado de la medaa es 6 cm. Obteemos el valor eacto: 30 Me cm; lógcamete Me e. 0 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

6 José Atoo Jméez eto. CUARTILES Hemos vsto aterormete que la medaa separa los datos, ordeados de meor a mayor, e dos partes co el msmo úmero de datos. Pero e ocasoes ecestamos saber más acerca de la dstrbucó de los datos, por lo que se hace ecesaro troducr otras meddas como so los cuartles. Así como la medaa separa los datos e dos grupos, los cuartles separa los datos e cuatro grupos de la sguete maera: Q 3 Q Me Q Q 3 Q Me ' Q 3 ' Prmer cuartl Q : es el meor valor que supera a la cuarta parte de los datos. Segudo cuartl Q : es el meor valor que supera a la mtad de los datos, es decr, la medaa. Tercer cuartl Q 3 : es el meor valor que supera las tres cuartas partes de los datos. El proceso para hallar estos parámetros es aálogo al cálculo de la medaa. Veamos, a través de los sguetes ejemplos, cómo se halla los cuartles de ua dstrbucó estadístca dscreta o cotua. Varable estadístca dscreta Total 3 La cuarta parte del úmero total de datos es /4 8. El prmer cuartl es Q 4, dado que es el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada,, ecede a la cuarta parte del úmero de datos, 8. La mtad del úmero total de datos es / 6. E segudo cuartl o medaa es, por tato, Q Me, dado que es el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada, 9, ecede a la mtad del úmero de datos, 6. E este caso, el valor 6 tee por frecueca absoluta acumulada 4, que es precsamete las tres cuartas partes del úmero total de datos: 3/4 4. El tercer cuartl es ahora Q 3 (6 )/ 6 Varable estadístca cotua E el caso de que los datos esté agrupados e tervalos, cosderaremos el tervalo o clase cuya frecueca absoluta acumulada sobrepase estrctamete al úmero de datos e cuestó. Podemos tomar como valor apromado de los dsttos cuartles las marcas de clases correspodetes; cuado es ecesara mayor precsó e sus cálculos, usaremos las sguetes epresoes que os proporcoa los valores eactos. Q e 4 Q Q a Q Me e Me Me a Q 3 3 e 4 Q3 Q3 a Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 6

7 José Atoo Jméez eto Hallemos los cuartles de la dstrbucó estadístca cotua correspodete a los datos obtedos de las alturas de 3 persoas. Talla (cm) [0, ) [, 60) 3 [60, 6) 6 0 [6, 0) 6 3 [0, ] 3 Total 3 /4 8, luego el tervalo correspodete al prmer cuartl es [60, 6) ya que es el prmer tervalo cuya frecueca absoluta acumulada,, sobrepasa a la cuarta parte del úmero de dvduos. El valor apromado del prmer cuartl es etoces 6 cm. Obtegamos su valor eacto: 3 Q Q e a 60 ' 6' cm 0 Q / 6, co lo que el tervalo [6, 0) es el tervalo medao o tervalo correspodete al segudo cuartl, ya que es el prmero cuya frecueca absoluta acumulada, 3, sobrepasa a la mtad del úmero de dvduos. El valor apromado del segudo cuartl o medaa es 6 cm. Hallamos su valor eacto: 3 Me Q 6 Me e a 6 0'4 6'4 cm Me 3/4 4, por lo que [6, 0) es també el tervalo correspodete al tercer cuartl, pues es el prmer tervalo cuya frecueca absoluta acumulada, 3, sobrepasa a las tres cuartas partes del úmero de dvduos. Cosecuetemete, el valor apromado del tercer cuartl es també 6 cm. Calculamos su valor eacto: Q Q 3 e a 6 3' 68' cm, valor bastate superor a la medaa 3 Q3 EJERCICIOS. La temperatura que ha marcado u termómetro e los dferetes días de la semaa, ha sdo (e grados cetígrados) los que puede verse e la tabla. Lues Martes Mércoles Jueves Veres Sábado Domgo Míma Máma a) Calcula la temperatura meda míma. b) Calcula la temperatura meda máma. c) Calcula la meda de las osclacoes etremas daras.. Dada la dstrbucó estadístca sguete: 3,,,, 6, 4,,, 9,,, 6, 4. Calcula la meda artmétca, la moda, la medaa y los cuartles. 3. Halla la meda, la medaa, la moda y los cuartles de la dstrbucó cuya tabla de frecuecas es la sguete Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

8 José Atoo Jméez eto 4. Las edades de los compoetes de ua peña de afcoados al fútbol so: 8, 6,, 0, 8, 6,, 8,, 8, 0, 9, 36, 4, 8, 0, 8, 9, 0 a) Calcula la edad meda, la edad moda y la edad medaa, así como los cuartles. b) Represeta gráfcamete los datos de esta dstrbucó.. La sguete tabla muestra la dstrbucó, a lo largo de u mes, del úmero de camoes que crcula daramete por u cruce de carreteras. º de camoes por día [30, 400) [400, 40) [40, 00) [00, 0) [0, 600] º de días 9 4 Calcula la meda, la moda, la medaa y los cuartles de esta dstrbucó. 6. Las respuestas correctas a u test de 80 pregutas realzado por 600 persoas so las que se recoge a cotuacó. Respuestas [0, 0) [0, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 0) [0, 60) [60, 0) [0, 80] º de persoas Calcula el úmero medo de respuestas correctas, la moda y la medaa. Halla los cuartles. Iterpreta gráfcamete el cálculo de la moda y de la medaa, y comprueba que la medaa es el puto del eje de abscsas que dvde el hstograma de frecuecas absolutas e dos partes de gual área.. La meda de, 4 3, 4, 6, 9 y es 4. Cuáto vale la medaa de esta sere de úmeros? 8. La sguete sere de datos: 8,, 4, a, 36, 3, b, está ordeada y tee de medaa 30 y de meda 3. Ecuetra el valor de a y b. 3. PARÁMETROS DE DISPERSIÓ Este año hay dos cursos muy desguales e cuato al redmeto e Matemátcas. Observa sus calfcacoes. Poca dspersó! E 3º A hay pocas otas bajas, pocas altas y cas todas se stúa e toro al. Mucha dspersó! E 3º B hay bastates alumos co muy bajo redmeto, bastates co muy bue redmeto y pocas calfcacoes e toro al. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 8

9 José Atoo Jméez eto Auque estas dstrbucoes de otas tee aspecto dferete, sus medas so parecdas, A 03 y B ; es decr, lo que dfereca a ambos cursos es su comportameto respecto a la meda. Es ecesaro, pues, coocer e qué medda los datos umércos está agrupados o o alrededor de los valores cetrales. A esto es a lo que se llama dspersó, y los parámetros que os forma de cómo se separa los datos se llama parámetros o meddas de dspersó. Los parámetros de dspersó so valores umércos que os forma de las desvacoes que sufre los datos de ua dstrbucó estadístca respecto de los parámetros cetrales, e partcular respecto a la meda artmétca. 3.. Rago o recorrdo Ua maera muy seclla de determar el grado de dspersó de los datos es observar la separacó etre el dato más grade y el más pequeño de la dstrbucó estadístca. Rago o recorrdo de ua varable estadístca es la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca. Se represeta por R. Halla el rago de la sguete dstrbucó estadístca. Putuacó [38, 44) [44, 0) [0, 6) [6, 6) [6, 68) [68, 4) [4, 80] º de alumos R putos El rago es u parámetro fácl de calcular, pero que ofrece ua formacó muy lmtada. Así, os da ua dea de la ampltud del cojuto de datos, pero está muy fludo por los valores etremos. 3.. Desvacó meda La dstaca etre cualquer dato y la meda artmétca,, recbe el ombre de desvacó de dcho dato. Ua maera de observar la dspersó de la dstrbucó estadístca es calcular la meda artmétca de todas las desvacoes. Desvacó meda de ua varable estadístca es la meda artmétca de las desvacoes de todos los datos respecto a su meda artmétca. Se represeta por d m. S la varable toma los valores,,, (datos s frecueca) la desvacó meda se puede calcular medate la sguete epresó: d m K S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la desvacó meda se calcula co la epresó sguete: d m K Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 9

10 José Atoo Jméez eto Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 0 Los sguetes datos correspode al úmero de faltas de ortografía cometdas por dos alumos e sete dctados. Alumo A:,,,,, 8, 9 Alumo B: 4, 4,,,, 6, 6 Hallamos la desvacó meda de ambas seres de datos: A faltas d A m faltas Para la otra sere, agrupamos los datos e ua tabla: Total B faltas ' d B m faltas Observamos que, auque ambos tee gual meda artmétca, el úmero de faltas de ortografía está meos dsperso e el segudo alumo (es decr, el alumo B es mucho más regular que el alumo A) Varaza y desvacó típca Otro parámetro estadístco mportate es el que mde la dspersó a partr de los cuadrados de las desvacoes. Varaza de ua varable estadístca es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de todos los datos respecto a su meda artmétca. Se represeta por. S la varable toma los valores,,, (datos s frecueca) la varaza se puede calcular medate algua de las sguetes epresoes: ) ( ) ( ) ( ) ( K o be medate K S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la varaza se calcula medate las epresoes sguetes: ) ( ) ( ) ( ) ( K

11 José Atoo Jméez eto o be medate K Desvacó típca de ua varable estadístca es la raíz cuadrada postva de la varaza. Se deota por Coefcete de varacó Ua dspersó de u metro e la medda de ua logtud de 00 m es muchísmo más pequeña que ua dspersó de u metro e ua medda de 0 m. El cocete etre la desvacó típca y la meda de ua varable estadístca se deoma coefcete de varacó y es muy útl para comparar las dspersoes de dos varables estadístcas de dferete meda o de dferete aturaleza. Se suele epresar e % y se represeta por C var. C var La meda, así como la desvacó típca se epresa e la msma udad que la varable X. El coefcete de varacó es ua catdad s dmesó, depedetemete de las udades elegdas. Qué sere de úmeros te parece más dspersa de las sguetes? Sere A:, 3,,, 9 Sere B:, 4, 8, 8 Hallamos la meda y la desvacó típca de ambas seres para calcular sus coefcetes de varacó: 3 9 Sere A: A A 8 ; luego 8 ' 884 A Sere B: B ' B ' '6 8'68 ; 4 4 co lo que 8'68 ' 94 B Co los datos aterores, los coefcetes de varacó de las respectvas seres so: C A '884 B '94 var A 00 6' % C var B 00 6' 4 ' % A Por tato, la seguda sere es algo meos dspersa que la prmera (auque tega mayor desvacó típca). B Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

12 José Atoo Jméez eto Aalcemos los parámetros de dspersó de las dstrbucoes estadístcas vstas aterormete relatvas a las calfcacoes de los cursos 3º A y 3º B. Dstrbucó estadístca de 3º B ( ) ( ) Total B 3 30 ( ) 40' ' putos B 3' 4 30 R B putos 3' 4 3' 66 putos d 9' 30 m B Dstrbucó estadístca de 3º A B B 3'66 3' 4 putos C var B 00 '6 % ' Total B A 30 ' 03 putos 86 A '03 3' 3 30 R A 9 8 putos A 3'3 ' 89 putos d 430 ' 30 m A A '89 38 ' putos C var A 00 3' % '03 A Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

13 José Atoo Jméez eto Coclusoes: Parámetros de dspersó 3º A 3º B Rago 8 0 Desvacó meda Desvacó típca Coefcete de varacó 3 % 6 % Como podemos aprecar, todos los parámetros de dspersó del grupo 3º A so meores que los del grupo 3º B, cludo el coefcete de varacó. Por tato, podemos afrmar rotudamete que la dstrbucó estadístca del grupo 3º A es meos dspersa que la de 3º B. EJERCICIOS 9. Las calfcacoes de Jua e ses pruebas fuero: 8, 64, 9, 86, 69 y. Halla la meda, la medaa y todos los parámetros de dspersó. 0. Fíjate que para hallar la varaza hay que elevar al cuadrado las desvacoes respecto a la meda; por ello, la varaza o se epresa e las msmas udades que los datos. De maera que s los datos se epresa e metros, e qué udades se epresará la varaza? Y la desvacó típca y el coefcete de varacó?. Los sguetes datos so calfcacoes obtedas e certo eame de Legua.,, 3, 4,, 9,,,, 4, 8, 3,, 8,, 9, 3,, 4,, 0, 9, 4, 8, 6, 9, 3, 3,,,, 8, 6,, 3, 6, 4,, 4, 8,, 3,,, 4, 6,,, 6,, 8, 4, 3,,, 6, 9,,, a) Elabora ua tabla e la que aparezca las dferetes frecuecas smples. b) Calcula los parámetros de cetralzacó de las calfcacoes. c) Calcula todos los parámetros de dspersó.. E la fabrcacó de certo tpo de bombllas se ha detectado alguas defectuosas. Se ha estudado 00 lotes de 00 pezas cada uo, obteédose los datos de la tabla adjuta. Defectuosas º de lotes Calcula los parámetros de cetralzacó y de dspersó. 3. E u hosptal se quere estmar el peso de los ños recé acdos. Para ello se seleccoa, de forma aleatora, 00 de éstos, obteédose los sguetes resultados. Peso (g) [, ) [, ) [, ) [, 3) [3, 3 ) [3, 4) [4, 4 ) [4, ] º de ños a) Calcula los pesos medo, medao y moda de la dstrbucó ateror. b) Determa el rago, la desvacó meda y la desvacó típca de la varable. 4. S has realzado los ejerccos y 3 aterores podrás comprobar que las desvacoes típcas so, respectvamete, 4 y Cuál de las dos dstrbucoes es meos dspersa?. S a los úmeros 0,, 4, 6, 8 y 0, los multplcamos por 4 se obtee 40, 48, 6, 64, y 80. Qué puedes decr de las medas, las varazas y las desvacoes típcas de ambas seres estadístcas? 6. S a los úmeros 0,, 4, 6, 8 y 0, les sumamos 9 se obtee 9,, 3,, y 9. Compara las medas, las varazas y las desvacoes típcas de ambas seres estadístcas. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 3

14 José Atoo Jméez eto 4. ESTUDIO COJUTO DE MEDIA Y DESVIACIÓ TÍPICA: DISTRIBUCIOES ORMALES Las meddas de cetralzacó meda, medaa y moda a veces cocde. Cuado esto ocurre se dce que la dstrbucó es smétrca. Su gráfco, be dagrama de barras o hstograma, toma la forma que puedes ver a cotuacó, e dode las frecuecas correspodetes a valores de la varable equdstates de u valor cetral so guales. Gráfco de barras de ua dstrbucó smétrca Hstograma smétrco La represetacó gráfca smétrca más coocda es la campaa de Gauss, que correspode a ua dstrbucó ormal llamada así porque muchos feómeos se dstrbuye de esta maera. El puto más alto correspode a la meda artmétca, sedo los valores cetrales más frecuetes que los alejados, cuya frecueca dsmuye. La meda artmétca y la desvacó típca so los parámetros estadístcos más utlzados. E toda dstrbucó estadístca, el estudo del comportameto cojuto de estos parámetros os aporta umerosa formacó sobre la dstrbucó de frecuecas estudada. Que la campaa se ecuetre más o meos aplastada depede del valor de la desvacó típca. Cuado la campaa es muy putaguda es porque hay poca dspersó, y cuado está muy aplastada la dspersó es mucho mayor. Teorema de Chebyshev E ua dstrbucó ormal se cosdera que el 00 % de los datos es el área compredda e la campaa. E el tervalo (, ) se ecuetra el 68 6 % del total de los datos. E el tervalo (, ) se ecuetra el 9 44 % del total de los datos. E el tervalo ( 3, 3) se ecuetra el 99 3 % del total de los datos. Campaa de Gauss y Teorema de Chebyshev La sguete tabla refleja la estatura, e cetímetros, de 33 alumos. Talla (cm) [, ) [, 63) [63, 69) [69, ) [, 8] Total Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 4

15 José Atoo Jméez eto Observado el hstograma y polígoo de frecuecas observamos que la dstrbucó es umodal y bastate smétrca. Calculamos la meda y la desvacó típca:.6 6'4 33 cm '4 39' '34 6' cm Vamos a calcular el porcetaje de persoas co estaturas e los sguetes tervalos: E el tervalo (, ) (6 8, 3 ) hay 3 9 dvduos, que represeta al 66 6 % de los datos. E el tervalo (, ) (4 9, 9 99) hay dvduos, que represeta al % de los datos. E el tervalo ( 3, 3) (48 64, 86 6) está los 33 dvduos, que represeta lógcamete al 00 % de los datos. Los resultados del ejemplo ateror se da de forma parecda e dstrbucoes estadístcas bastate smétrcas respecto de u valor cetral de la varable estadístca. Decmos que estas dstrbucoes tee u comportameto ormal. Certo Ayutameto va a costrur u parque y quere cotar co la opó de los vecos. A ua muestra de éstos se les ha pregutado sobre el grado de aceptacó del proyecto y los resultados ha sdo: Aceptacó ( ) Frecueca ( ) El ayutameto se preguta por el comportameto ormal de las respuestas, por lo que debemos hallar el úmero de casos que hay e cada tervalo (, ), (, ) y ( 3, 3) Total Hallamos la meda artmétca y la desvacó típca: ' '983 putos '46 putos 3. 4'983 E el prmer tervalo (3, 6 44) hay casos, que supoe el 6 % del total. E el segudo tervalo ( 09, 90) hay casos, esto es, el 94 0 % del total. E el tercer tervalo (0 9, 9 369) hay casos, que supoe el 00 % del total. Se observa que los porcetajes obtedos se correspode, apromadamete, co lo que hemos deomado como comportameto ormal. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

16 José Atoo Jméez eto E ua cosulta médca se ha meddo durate ua jorada la frecueca cardaca de 80 persoas, e latdos por muto, y se ha obtedo los resultados recogdos e la tabla. Estuda el comportameto ormal de esta dstrbucó estadístca. Itervalo [40, ) [, 0) [0, 8) [8, 00) [00, ) [, 30] Represetamos el polígoo de frecuecas correspodete a la dstrbucó estadístca latdos por muto, el cual preseta bastate smetría. Los parámetros estadístcos de la frecueca cardaca, ua vez calculados, so: 8 94 latdos/m y 6 40 latdos/m Veamos cómo se dstrbuye los pacetes e los tervalos mecoados: E el tervalo (, ) (69 4, 0 34) hay dvduos, que represeta al 6 % del total. E el tervalo (, ) (3 4, 8 4) hay dvduos, que represeta al 93 % del total. Por últmo, e el tervalo ( 3, 3) (36 4, 3 4) se ecuetra 80 que, lógcamete, so el 00 %. Los porcetajes obtedos os dca que esta dstrbucó estadístca tee, e buea medda, u comportameto ormal. 4.. Varables ormalzadas Para poder comparar dos datos correspodetes a dos dstrbucoes dsttas, hay que tpfcar o ormalzar dchos valores, es decr, calcular los valores z y, después, comparar los resultados. E ua prueba de Idoma, Jua obtee ua ota de y e el cojuto de la clase se tee y. E otra prueba saca 6 8, sedo las calfcacoes de la clase 6 y. Cuál de las calfcacoes es mejor respecto de la clase? Para poder comparar ambas calfcacoes, lo hacemos a través de sus correspodetes putuacoes ormalzadas. ' Para, teemos: z 0' putos 6' 8 6 Para 6 8, teemos: z 6 ' 8 0' 8 putos Al ser mayor la seguda putuacó ormalzada, la seguda calfcacó puede cosderarse mejor que la prmera. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 6

17 José Atoo Jméez eto EJERCICIOS. E ua dstrbucó tervee 600 persoas. Se sabe que es umodal y bastate smétrca. Se tee que la meda artmétca es 0 y la desvacó típca es. Cuátas persoas se dstrburá e el tervalo (43, )? 8. E el gráfco está represetadas las dstrbucoes de la varable estadístca talla (e cetímetros) de dos equpos A y B de balocesto. Uo de los equpos tee A 99 y A 4; el otro B 93 y B 4. a) Asoca cada uo de estos gráfcos al equpo correspodete. Razóalo. b) U uevo jugador co ua talla de 0 cm, e cuál de los dos equpos sería «más» alto? 9. Se desea comparar la duracó de dos marcas de lámparas halógeas. Para ello, elegmos dos muestras, compuestas por 0 lámparas de cada ua de las marcas. La duracó e semaas de cada ua de ellas se refleja a cotuacó. Marca A Marca B a) Calcula la meda y la desvacó típca de las duracoes de cada marca de lámparas. b) Qué marca sería acosejable elegr? Cuál de las dos dstrbucoes tee meor dspersó? 0. Ua fábrca de yogures empaqueta éstos e cajas de ce udades cada ua. Para probar la efcaca de la produccó se ha aalzado 80 cajas comprobado los yogures defectuosos que cotee cada ua y se ha obtedo los resultados de la tabla. º de yogures defectuosos º de cajas Defe cuáles so los dvduos de esta muestra y la varable estadístca. Después calcula para esta dstrbucó estadístca los parámetros de cetralzacó y los parámetros de dspersó. Por últmo, represeta gráfcamete la dstrbucó y halla el úmero de cajas que está e los tervalos (, ), (, ) y ( 3, 3). A la vsta de los resultados, puede calfcarse la dstrbucó de ormal?. El presupuesto del Isalud, por Comudades Autóomas y e mles de mlloes de pesetas, del año 99 fue el sguete. Comudad Cataluña avarra Adalucía Galca C. Valecaa País Vasco Gestó drecta Presupuesto a) Costruye el dagrama de sectores correspodete a esta dstrbucó de frecuecas. b) Qué datos de los aterores se ecuetra e el tervalo (, )?. Durate el mes de julo, e ua determada cudad, se ha regstrado las sguetes temperaturas mámas. 3, 3, 8, 9, 9, 33, 3, 3, 30, 3, 3,, 8, 9, 9, 30, 3, 3, 3, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 3, 30, 3, 34, 33, 33 a) Halla los parámetros de cetralzacó. b) Calcula el rago y la desvacó típca. c) Comprueba s e el tervalo (, ) se ecuetra apromadamete el 9 44 % de los datos. 3. De ua muestra de plas eléctrcas, se ha obtedo los datos de la tabla adjuta sobre su duracó e horas. Duracó (horas) [, 30) [30, 3) [3, 40) [40, 4) [4, 0) [0,] º de plas a) Realza la represetacó gráfca de la dstrbucó. b) Calcula la meda y la desvacó típca. c) Qué porcetaje de plas tee su duracó compredda e los tervalos (, ), (, ) y ( 3, 3)? Puede cosderarse que la dstrbucó tee u comportameto ormal? Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

18 José Atoo Jméez eto. CÁLCULO ESTADÍSTICO.. Estadístca y calculadora Recordamos, ua vez más, que cada modelo de calculadora tee ua forma partcular de actuacó, tato e la troduccó de datos y operacoes como e la realzacó de los cálculos. Por ello, se debe cosultar y leer co atecó el maual de struccoes. La mayoría de las calculadoras tee fucoes estadístcas y e estos casos e el teclado fgura los símbolos:.. Estadístca y hojas de cálculo La Estadístca, que por su propa aturaleza maeja ua gra catdad de datos, ha ecotrado u alado muy valoso e la Iformátca, ya que los ordeadores so capaces de realzar, s equvocarse, mles de operacoes e u segudo. Aparte de muchos programas especalzados e Estadístca, ua de las aplcacoes más utlzadas e los cálculos estadístcos es la hoja de cálculo, que permte troducr los datos de ua dstrbucó y obteer rápdamete los parámetros de ua forma seclla y elegate. Cada hoja de cálculo se preseta como ua patalla cuadrculada formada por flas (horzotales) y columas (vertcales). La terseccó de ua fla co ua columa se llama celda. Cada celda se detfca co la letra de su columa y el úmero de su fla (A, D, ). Para troducr ua formacó e ua celda prmero hay que actvarla y luego escrbr el teto, dato o fórmula que os teresa. Las fórmulas so operacoes matemátcas que se realza co los datos de otras celdas. Cuado se actva ua celda que cotee ua fórmula, e ella se ve el resultado de la operacó correspodete, pero e la parte superor de la hoja se vsualza su epresó. Calcular la putuacó meda, la varaza y la desvacó típca de la dstrbucó obteda al aplcar u test a 88 alumos, cuyos resultados se muestra e la tabla sguete. Putuacoes [38, 44) [44, 0) [0, 6) [6, 6) [6, 68) [68, 4) [4, 80] º de alumos La patalla que os muestra la hoja de cálculo es smlar a la sguete: A B C D E F G H I Putuacoes ,3636 6, ,3636 9, ,3636 9, ,3636 3, , , , , , , Total Meda 9,364 putos Varaza 89,63 3 Rago 4 putos Desv. típca 9,446 putos 4 Desv. meda,64 putos Coef. de varacó 0,9 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 8

19 José Atoo Jméez eto Solucoes a los ejerccos propuestos Los cálculos ecesaros para la resolucó de los ejerccos ha sdo elaborados co ua hoja de cálculo tomado redodeos co dsttas cfras decmales. S has usado calculadora para ello es probable que, e alguos casos, o cocda eactamete los resultados obtedos.. La temperatura que ha marcado u termómetro e los dferetes días de la semaa, ha sdo (e grados cetígrados) los que puede verse e la tabla. Lues Martes Mércoles Jueves Veres Sábado Domgo Míma Máma a) Calcula la temperatura meda míma. b) Calcula la temperatura meda máma. c) Calcula la meda de las osclacoes etremas daras. Solucó.- 4 ( ) ( 3) a) míma grado cetígrado b) máma grados cetígrados. c) Hallemos las osclacoes etremas daras, es decr, la dfereca etre la máma y la míma dara. Lues Martes Mércoles Jueves Veres Sábado Domgo Osclacoes osclaco es 6 grados cetígrados. Observa que 6 grados cetígrados. osclacoes máma míma. Dada la dstrbucó estadístca sguete: 3,,,, 6, 4,,, 9,,, 6, 4. Calcula la meda artmétca, la moda, la medaa y los cuartles. Solucó.- Ordeemos los 3 datos de forma crecete:,,, 3, 4, 4,,, 6, 6,,, 9. Teemos etoces: ' La dstrbucó tee cco modas: Mo, Mo 4, Mo, Mo 6 y Mo. Medaa y cuartles: Q 3 Q Me Q 3 6 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 9

20 José Atoo Jméez eto 3. Halla la meda, la medaa, la moda y los cuartles de la dstrbucó cuya tabla de frecuecas es la sguete Solucó Total 60 8' 60 Se trata de ua dstrbucó umodal, sedo Mo 0 /4 ; precsamete el valor 6 de la varable tee por frecueca absoluta acumulada, por lo que el prmer cuartl es Q (6 )/ 6 De forma aáloga, / 30 Me Q (8 0)/ 9 3/4 4 luego Q 3 0, por ser éste el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada, 4, es mayor que las tres cuartas partes del úmero total de datos. 4. Las edades de los compoetes de ua peña de afcoados al fútbol so: 8, 6,, 0, 8, 6,, 8,, 8, 0, 9, 36, 4, 8, 0, 8, 9, 0 a) Calcula la edad meda, la edad moda y la edad medaa, así como los cuartles. b) Represeta gráfcamete los datos de esta dstrbucó. Solucó.- a) Costruyamos la correspodete tabla de frecuecas: Total '0 años. 9 La edad moda es Mo 8 (dstrbucó umodal) ya que es la edad que tee u mayor úmero de compoetes. / 9 la edad medaa es Me Q 9 (prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada, 0, es mayor que la mtad del úmero de dvduos). /4 4 Q 8 ; 3/4 4 Q 3 b) Represetamos la dstrbucó medate u dagrama de barras y polígoo de frecuecas: Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 0

21 José Atoo Jméez eto. La sguete tabla muestra la dstrbucó, a lo largo de u mes, del úmero de camoes que crcula daramete por u cruce de carreteras. º de camoes por día [30, 400) [400, 40) [40, 00) [00, 0) [0, 600] º de días 9 4 Calcula la meda, la moda, la medaa y los cuartles de esta dstrbucó. Solucó.- º de camoes [30, 400) 3 0 [400, 40) 4. [40, 00) 4 8. [00, 0) 9 4. [0, 600] Total 3.. El valor de la meda es 48' 90 3 camoes por día. El tervalo modal es [40, 00), sedo 4 camoes por día el valor apromado de la moda. Su valor eacto es: Mo Mo Mo e a ' 48' camoes por día. ) ( ) ( ) ( 9) ( Mo Mo Mo Mo /4, luego el tervalo correspodete al prmer cuartl es [40, 00); el valor apromado del prmer cuartl es 4 camoes por día. Hallamos su valor eacto: 3 Q Q e a '4 43'4 camoes por día. Q També [40, 00) es el tervalo o clase medaa, ya que es el prmer tervalo cuya frecueca absoluta acumulada, 8, sobrepasa a la mtad del úmero de dvduos, / ; el valor apromado de la medaa es 4 camoes por día. Hallamos, o obstate, la medaa eacta de la dstrbucó: Me Q 3 Me e 40 a '64 488'64 camoes por día. Me 3/4 3, luego [00, 0) es el tervalo correspodete al tercer cuartl; el valor apromado de éste es camoes por día. Hallamos su valor eacto: Q Q 8 3 e a ' 9' camoes por día. 9 3 Q3 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

22 José Atoo Jméez eto 6. Las respuestas correctas a u test de 80 pregutas realzado por 600 persoas so las que se recoge a cotuacó. Respuestas [0, 0) [0, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 0) [0, 60) [60, 0) [0, 80] º de persoas Calcula el úmero medo de respuestas correctas, la moda y la medaa. Halla los cuartles. Iterpreta gráfcamete el cálculo de la moda y de la medaa, y comprueba que la medaa es el puto del eje de abscsas que dvde el hstograma de frecuecas absolutas e dos partes de gual área. Solucó.- Respuestas [0, 0) [0, 0) [0, 30).8 [30, 40) [40, 0) [0, 60) [60, 0) [0, 80] Total úmero medo de respuestas correctas: 4' respuestas. El tervalo modal es [40, 0) y 4 respuestas el valor apromado de la moda. El valor eacto de la msma es: Mo Mo Mo e a '9 respuestas. ) ( ) (0 90) (0 8) 3 ( Mo Mo Mo Mo /4 0, co lo que [0, 30) es el tervalo correspodete al prmer cuartl; el valor apromado de éste es respuestas. Hallamos su valor eacto: 600 Q Q e a '6 respuestas. Q La clase medaa e [40, 0) pues es el prmer tervalo cuya frecueca absoluta acumulada, 30, sobrepasa a la mtad del úmero de dvduos, / 300; el valor apromado de la medaa es 4 respuestas, y el valor eacto es: Me Q 600 Me 6 30 e a '33 respuestas. 0 0 Me 3/4 40, luego [0, 60) es el tervalo correspodete al tercer cuartl; el valor apromado de éste es respuestas. Hallamos su valor eacto: Q Q e a '4 respuestas Q 3 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

23 José Atoo Jméez eto Iterpretacó gráfca de los resultados: Por últmo, comprobemos que ambas zoas e que la medaa dvde al hstograma tee gual área: Área de la zquerda: Área de la derecha: La meda de, 4 3, 4, 6, 9 y es 4. Cuáto vale la medaa de esta sere de úmeros? Solucó.- A través de la meda hallamos el valor de : (4 3) ( 4) ( 6) 9 ( ) La sere estadístca obteda es:,, 9, 6, 9, 0. Para hallar la medaa ordeamos los datos: 6, 0,, 9, 9, como hay dos valores cetrales, y 9, la medaa es Me ( 9)/. 8. La sguete sere de datos: 8,, 4, a, 36, 3, b, está ordeada y tee de medaa 30 y de meda 3. Ecuetra el valor de a y b. Solucó.- El valor cetral a es la medaa 30, por tato, a Me 30. Como la meda es 3, obteemos así el valor de b: b 66 b b 8 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 3

24 José Atoo Jméez eto 9. Las calfcacoes de Jua e ses pruebas fuero: 8, 64, 9, 86, 69 y. Halla la meda, la medaa y todos los parámetros de dspersó. Solucó.- Observa que so datos s frecueca o, equvaletemete, co frecueca absoluta. Prmeramete ordeamos los datos: 64, 69,, 86, 8, Meda: 8' putos 6 6 Como hay dos valores cetrales, la medaa resulta ser Me ( 86)/ 8 putos Fáclmete, el rago es R putos Calculamos la desvacó meda: d m 64 8' 69 8' 8' 86 8' 8 8' 9 8' 6 6 0' putos 6 La varaza la podemos hallar co dos epresoes dsttas: ( ) (64 8' ) 666'8334 ' 4 6 O be utlzado la sguete epresó: (69 8' ) ( 8' ) (86 8' ) 6 (8 8' ) (9 8' ) Hallamos la desvacó típca: ' 4 0' 4 putos ' ' 4 Por últmo, calculamos el coefcete de varacó: C var 00 3'48 % 8 ' o obstate, s te resulta muy egorrosa esta otacó, sempre puedes recurrr a orgazar los datos e ua tabla: ( ) Total De esta forma: 469 8' putos 6 6 dm 0' putos 6 ( ) 666' ' 4 ; o be, ' Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 4

25 José Atoo Jméez eto 0. Fíjate que para hallar la varaza hay que elevar al cuadrado las desvacoes respecto a la meda; por ello, la varaza o se epresa e las msmas udades que los datos. De maera que s los datos se epresa e metros, e qué udades se epresará la varaza? Y la desvacó típca y el coefcete de varacó? Solucó.- S los datos se epresa e metros, etoces la varaza se epresará e metros cuadrados. La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza, por ello, ésta vedrá epresada e metros. La meda artmétca se epresa també e metros, al gual que la desvacó típca, pero el coefcete de varacó o se epresa e gua medda.. Los sguetes datos so calfcacoes obtedas e certo eame de Legua.,, 3, 4,, 9,,,, 4, 8, 3,, 8,, 9, 3,, 4,, 0, 9, 4, 8, 6, 9, 3, 3,,,, 8, 6,, 3, 6, 4,, 4, 8,, 3,,, 4, 6,,, 6,, 8, 4, 3,,, 6, 9,,, a) Elabora ua tabla e la que aparezca las dferetes frecuecas smples. b) Calcula los parámetros de cetralzacó de las calfcacoes. c) Calcula todos los parámetros de dspersó. Solucó.- a) Hallamos las frecuecas smples absolutas, relatvas y porcetuales Total f p b) Aprovechamos la sguete tabla, e la que aparece també los cálculos ecesaros para el sguete apartado. ota: Hemos hallado los datos ecesaros para calcular la varaza usado las dos epresoes estudadas. ( ) ( ) 4, , , , , , , , , , Total Meda: ' 3 putos ; Moda: Mo putos ; Medaa: / 30 Me putos 60 c) Hallamos ahora los parámetros de dspersó: Rago: R 0 9 putos ' Desvacó meda: dm ' 083 putos 60 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

26 José Atoo Jméez eto ( ) 3'6 Varaza: ' ; o be, '3 ' Desvacó típca: '4608 ' 3368 putos C var ' '68 % ' 3. E la fabrcacó de certo tpo de bombllas se ha detectado alguas defectuosas. Se ha estudado 00 lotes de 00 pezas cada uo, obteédose los datos de la tabla adjuta. Defectuosas º de lotes Calcula los parámetros de cetralzacó y de dspersó. Solucó Total Meda: 4' 44 bombllas defectuosas 00 Moda : Mo bombllas defectuosas Medaa: / 00 Me (4 )/ 4 bombllas defectuosas Rago: R 8 bombllas defectuosas Desvacó meda: dm ' bombllas defectuosas Varaza: 4'44 ' Desvacó típca: '369 ' 4 bombllas defectuosas 4 ' Coefcete de varacó: C var 00 34'3 % 4' 44 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 6

27 José Atoo Jméez eto 3. E u hosptal se quere estmar el peso de los ños recé acdos. Para ello se seleccoa, de forma aleatora, 00 de éstos, obteédose los sguetes resultados. Peso (g) [, ) [, ) [, ) [, 3) [3, 3 ) [3, 4) [4, 4 ) [4, ] º de ños a) Calcula los pesos medo, medao y moda de la dstrbucó ateror. b) Determa el rago, la desvacó meda y la desvacó típca de la varable. Solucó.- Peso (g) [, ) 99 6 [, ) [, ) [, 3) [3, 3 ) [3, 4) [4, 4 ) [4, ] Total ' a) 3' 4 g. 00 / 0 [3, 3 ) es el tervalo medao, sedo 3 el peso medao apromado. El valor eacto del peso medao es: 00 Me 8 Me e a 3 0' 3 3' g. Me [3, 3 ) es també el tervalo modal, y 3 el valor apromado de la moda. Su valor eacto es: b) R 4 g. Mo Mo Mo e a 3 0' 3 3'94 g. ) ( ) (40 0) (40 6) 34 ( Mo Mo Mo Mo 39' dm 0'39 g ' 3'4 00 0,34 0'34 0' 69 g. 4. S has realzado los ejerccos y 3 aterores podrás comprobar que las desvacoes típcas so, respectvamete, 4 y Cuál de las dos dstrbucoes es meos dspersa? Solucó.- Para comparar las dspersoes de dos varables estadístcas de dferete meda o de dferete aturaleza se utlza el coefcete de varacó. E los ejerccos aterores teemos que: C var() 34 3 % y C var(3) 0 %, por lo que la dstrbucó del ejercco 3 es meos dspersa. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos

28 José Atoo Jméez eto. S a los úmeros 0,, 4, 6, 8 y 0, los multplcamos por 4 se obtee 40, 48, 6, 64, y 80. Qué puedes decr de las medas, las varazas y las desvacoes típcas de ambas seres estadístcas? Solucó.- Hallemos los parámetros mecoados de dchas seres estadístcas: Sere A Sere B Total Total Sere A: A 6 A A A A Sere B: B 60 6 B B B B 60 3 Podemos observar que: 60 B 4 A B 4 4 A B A B 4 A B 4 4 A B 4 A S a los úmeros 0,, 4, 6, 8 y 0, les sumamos 9 se obtee 9,, 3,, y 9. Compara las medas, las varazas y las desvacoes típcas de ambas seres estadístcas. Solucó.- Calculamos los parámetros de la seguda sere (los de la prmera fgura e el ejercco ateror): Teemos ahora que: Sere C Total C C C 4 6 C C C 4 9 A 9 C A 9 S embargo, las varazas y, por tato, las desvacoes típcas o varía: C A C A Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 8

29 José Atoo Jméez eto. E ua dstrbucó tervee 600 persoas. Se sabe que es umodal y bastate smétrca. Se tee que la meda artmétca es 0 y la desvacó típca es. Cuátas persoas se dstrburá e el tervalo (43, )? Solucó.- Por ser la dstrbucó umodal y bastate smétrca tedrá u comportameto ormal, de ahí que e el tervalo (43, ) (, ) se ecuetre apromadamete el 68 6 % del total de dvduos, esto es, uas 40 persoas. 8. E el gráfco está represetadas las dstrbucoes de la varable estadístca talla (e cetímetros) de dos equpos A y B de balocesto. Uo de los equpos tee A 99 y A 4; el otro B 93 y B 4. a) Asoca cada uo de estos gráfcos al equpo correspodete. Razóalo. b) U uevo jugador co ua talla de 0 cm, e cuál de los dos equpos sería «más» alto? Solucó.- a) El prmer hstograma se asoca al equpo A, pues los datos está más agrupados e toro al tervalo (98, 04) que cotee a la meda A 99 y la desvacó típca A 4 es meor. b) Para hacer la comparacó debemos ormalzar la altura del jugador e ambos equpos; así, para 0 cm teemos: ' z A ' z B ' 4 4' Por tato, este jugador se cosderaría más alto e el equpo B. 9. Se desea comparar la duracó de dos marcas de lámparas halógeas. Para ello, elegmos dos muestras, compuestas por 0 lámparas de cada ua de las marcas. La duracó e semaas de cada ua de ellas se refleja a cotuacó. Marca A Marca B a) Calcula la meda y la desvacó típca de las duracoes de cada marca de lámparas. b) Qué marca sería acosejable elegr? Cuál de los dos dstrbucoes tee meor dspersó? Solucó.- a) Hallamos la meda y la desvacó típca: Marca A Marca B Total 4 6. Total 6.09 Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 9

30 José Atoo Jméez eto 4 Marca A: A 4' 0 6. semaas; A A 4' '4 3' 38 0 semaas Marca B: B 6' semaas; B A 6' 8'6 ' 94 semaas. 0 0 b) Lógcamete es acosejable elegr la marca B, pues tee ua duracó meda mayor (6 semaas) y meor desvacó típca varabldad respecto de la meda ( 94 semaas). Para comparar la dspersó de las dstrbucoes hallamos sus coefcetes de varacó: C A 3'38 B '94 var A 00 3'68 % C var B 00 '09 A 4' 6' % B Como vemos, segú los coefcetes de varacó, la dstrbucó de la marca B tee meor dspersó. 0. Ua fábrca de yogures empaqueta éstos e cajas de ce udades cada ua. Para probar la efcaca de la produccó se ha aalzado 80 cajas comprobado los yogures defectuosos que cotee cada ua y se ha obtedo los resultados de la tabla. º de yogures defectuosos º de cajas Defe cuáles so los dvduos de esta muestra y la varable estadístca. Después calcula para esta dstrbucó estadístca los parámetros de cetralzacó y los parámetros de dspersó. Por últmo, represeta gráfcamete la dstrbucó y halla el úmero de cajas que está e los tervalos (, ), (, ) y ( 3, 3). A la vsta de los resultados, puede calfcarse la dstrbucó de ormal? Solucó.- Los dvduos de esta muestra so cajas de ce udades de yogures, sedo la varable estadístca el úmero de yogures defectuosos que cotee cada caja. Hallemos los parámetros de cetralzacó y de dspersó: Total Parámetros de dspersó: Parámetros de cetralzacó: Mo 0 yogures 93' R yogures; dm ' 8 yogures ' yogures 80 / 40 Me (0 )/ 0 yogures 0 ' ' ' 094 ' 44 yogures C var ' ' 0 % ' Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 30

31 José Atoo Jméez eto Represetamos gráfcamete la dstrbucó medate u dagrama de barras y u polígoo de frecuecas: E el tervalo (, ) (0 3, ) hay cajas, el 8 % del total. E el tervalo (, ) (, 4 0) hay cajas, el 96 % del total. E el tervalo ( 3, 3) (3, 4) hay cajas, el 98 % del total. E base a los porcetajes obtedos, prcpalmete e el tervalo (, ), o se puede decr que la dstrbucó tega u comportameto ormal. Observa també que la dstrbucó o es, e absoluto, smétrca respecto de gú valor cetral de la varable estadístca (, Mo 0 y Me 0 ).. El presupuesto del Isalud, por Comudades Autóomas y e mles de mlloes de pesetas, del año 99 fue el sguete. Comudad Cataluña avarra Adalucía Galca C. Valecaa País Vasco Gestó drecta Presupuesto a) Costruye el dagrama de sectores correspodete a esta dstrbucó de frecuecas. b) Qué datos de los aterores se ecuetra e el tervalo (, )? Solucó.- a) Calculamos la ampltud y el porcetaje sobre el total para cada Comudad Autóoma y completamos la tabla co los datos para el cálculo de los parámetros del apartado b. Comudad Cataluña avarra Adalucía Galca C. Valec. P. Vasco G. drecta Total Presupuesto Ampltud % b) La meda y la desvacó típca so: '86 mles de mlloes. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 3

32 José Atoo Jméez eto ' ' 3'0 mles de mlloes. E el tervalo (, ) (8 6, 63 6) se ecuetra los presupuestos de todas las Comudades Autóomas aterores, lo que supoe u total de mles de mlloes de pesetas, esto es, u 6 4 % del presupuesto total.. Durate el mes de julo, e ua determada cudad, se ha regstrado las sguetes temperaturas mámas. 3, 3, 8, 9, 9, 33, 3, 3, 30, 3, 3,, 8, 9, 9, 30, 3, 3, 3, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 3, 30, 3, 34, 33, 33 a) Halla los parámetros de cetralzacó. b) Calcula el rago y la desvacó típca. c) Comprueba s e el tervalo (, ) se ecuetra apromadamete el 9 44 % de los datos. Solucó.- a) Realzamos el recueto y hacemos la correspodete tabla para el cálculo de los parámetros: 944 Meda artmétca: 30' 4 ºC 3 Moda: Mo 3 ºC Medaa: / Me 30 ºC b) Rago: R 34 ºC Total Desvacó típca: 30'4 ' ' 60 ºC 3 c) E el tervalo (, ) (, 33 6) hay datos, esto supoe u 93 % del total de los datos. Matemátcas 4 o ESO (Opcó B) Parámetros estadístcos 3