Producto y división de dos series a partir de los coeficientes de Fourier.
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- Lucas Redondo Rodríguez
- hace 6 años
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1 Prduc dvsó de ds seres rr de ls cefcees de Furer Frcsc Prr Rdrígue Dcr e Cecs Ecómcs UED PRODUCO Y DIVISIÓ DE DOS SERIES PRIR DE LOS COEFICIEES DE FOURIER Frcsc Prr Rdrígue s lcesed uder Creve Cmms Reccme-Cmercl Ured Lcese Prduc de cvlucó Se ds vecres de dmesó Se defe su rduc de cvlucó ; cm el vecr: El rduc de cvlucó se uede exresr de frm mrcl:
2 L mr cudrd del rduc de cvulsó rece el mre de mr crcule que ls elemes de l rmer clum v rd su scó e ls clums sucesvs L rsfrmd dscre de Furer del rduc de cvlucó de es el rduc de Hdmrd de ls crresdees rsfrmds de de : DF DF DF U frm de clculr es rves de l mullccó crded crded de ls rsfrmds de de ; eed l rsfrmd vers de ese vecr DF Prduc de Kreer S es u mr m es u u mr q, eces el rduc de Krecer es l mr lque m q
3 Se ds vecres de dmesó el rduc de Kreer serí: L dgl rcl del rduc Krecer serí eces l sere que se edrí l mullcr e ls seres g e f : I g f Prduc de ds seres rmócs Se f g ds vecres de seres rmócs de dmesó Se defe su rduc ; cm el vecr: El rduc uede desrrllrse rr de ls cefcees de Furer
4 L mullccó de ds rmó de dferee frecuec, [ ] [ ] s s m m j j d lugr l sguee sum: s s s s m j m j m j m j que uld l dedd del rduc : [ ] [ ] [ ] [ ] m m j m m j m m j m m j s s s s d cm resuld: m j j m j j m j j m j j s s u sere rmómc c frecuecs gulres que se ee rr de l sum dferec de ls frecuecs gulres de ls rmó múlls, c β α β α β α s s β α β α β α s s s β α β α β α s s s β α β α β α
5 cefcees de Furer eds rr de ls cefcees de ls rmó múlls L ecó del érm -esm del erdgrm resule de mullcr ds fuces eródcs c ds más rmó, es lg más cmlej que el resuld de l mullccó es u sum de rdu de rmó, que d lugr u sum de rmó c dferees frecuecs gulres cm csecuec de ls sums dferecs de ls frecuecs gulres de cd rduc de rmó, lgus de ls cules rece scds dferees cefcees Pr ejeml, el rduc de ds seres eds rr de ds rmó: f s s g s s Se edrí l sguee secuec de fuces de se e cefcees de Furer: Cefcees de Furer Fuces e Cefcees de Furer Fuces se s s s s
6 s s s s s s s Que drí lugr l sguee sere de Furer: g f s s s s α Dde: α
7 Ejeml f,5,5 s,, s 5 5 f,5,5 -,5 - -, g,9, s,,7 s 5 5
8 g,5,5 -,5 - -, Drí lugr ls sguees cefcees de furer: α,5,,5,9,7,,,,,5,9,5,,,5,,5,9,5,,9,,,5,,5,7,,,,9,5,7,5,,,,,7,,7,,,5,,,9,,,5,,5,7,5,,6
9 ,,9,,,5,,5,7,5 De l que resul l sguee sere rmóc: f g,,,5,5 s, s,6,5,6 s,5 s f*g,5,5,5 -, L mullccó de ds seres de lgud eds cm sums de es decr g rmó, cus frecuecs gulres s eds rr de s e f s
10 d cm resuld u uev sere rmóc de / erds f g µ E dde s µ Pred de ds seres rmócs de, l que d lugr ls ds seres de Furer que se rese cucó: f s s s s g s s s s Dde,75,57,56, ese que µ es l cvr rmóc, ccdrá c l cvr muesrl ere f g s cud, l que curre cud l sere rmóc se muesr s desfse, e cu cs, f g µ E geerl se uede sumr que medd que es mr el mñ de l sere l cvr muesrl se cercrá l cvr rmóc
11 L mullccó sucesv de ls cur rmóm de f r el rmer rmóc de g drí lugr ls sguees frecuecs gulres:,75 de frm que s s L mullccó sucesv de ls cur rmóm de f r el segud rmóc de g drí lugr ls sguees frecuecs gulres: s s x x x x
12 de frm que s s L mullccó sucesv de ls cur rmóm de f r el ercer rmóc de g drí lugr ls sguees frecuecs gulres:
13 de frm que s s L mullccó sucesv de ls cur rmóm de f r el cur rmóc de g drí lugr ls sguees frecuecs gulres: eed resee que:
14 s s s se ee ls cefcees de furer de l sere resule de l mullccó de g f rr del sguee ssem mrcl:
15 C β µ Ejeml, s,, s,, s,5,5 f s,5,6 s,7, s,,9 g
16 el rduc g f d cm resuld :,5,75,,5,775,55,6,65,,99,,,,,,5,5,9,,,7,6,5,,9,7,,5,6,,,7,,5,7,7,,7,,5,5,7,,,,5,,5,6,5,5,5,5,,7,7,,5,,7,,7,,5,5,7,,6,5,,7,9,,5,6,7,,,9 Que d lugr l sguee sere:,75 s,,5 s,775,55 s,6,65 99 g Dd que e el ejeml, se uede smlfcr l mullccó e el md exues
17 L mr uede descmerse e vrs mrces, us servr r clculr ls cefcees scds ls es rs ls scds ls ses Ess mrces serí:,,,,,, I
18 Csderd ls sguees vecres:, L slucó mrcl ls cefcees de ls ses es [ ] I L slucó mrcl ls cefcees de ls ses es [ ] I
19 Ejeml, s,, s,, s,5,5 f s,5,6 s,7, s,,9 g,6,6,,6,,9,,5,5,7,5,7,,,9,,6,,6,6,,,7,5,7,5,5,,9,,6,9,9,,,9,9,6,,9,,,7,5,,,7,7,,,5,7,, I,,,,5,,,,5
20 ,9,,5,,6,,5,5,,6,,5,,9,,5,,7,,6,5,,,7,,5,7,5,5,7,5,7,5,7,,99,5,65,,55,,5,75,9,,,7,6,,,,,6,7,,,9,,5,7,,5,,7,5,7,5,5,7,5,7,5,7,,,5,,6,,,775,,,,,5 Dvs de ds seres rmócs Uld el desrrll mrcl de l mullccó de seres rmócs, dems ler el sguee ssem: [ I ] [ I ] E dde hr ls vecres de cefcees s ccds l gul que ls mrces,, I I s desccds Remrd :, e que ls vecres I I,
21 El ssem slucr quedrí [ ] [ ] El ssem l cm esá led frece sluces cefcees que e reldd s redudes r vculrse l se de cer de, ms c vlr cer l e de cer c vlr u, cu cefcee es el rduc crud de ls cefcees de furer de ms seres: µ Uld eces u ssem reducd fls clums eslecems el sguee ssem mrcl: Cu slucó es [ ] C Ejeml Prms de ls cfrs del ejercc, el ssem C se desrrllrí sí:
22 ,,,5,,,,5,,,7,,7,5,7,,,,,5,5,7,,,,7,5,7,,7,5,9,,6,7,5,7,,,5,,5,5,6,5,5,7,5,7,,,5,,,555,5,65,6,75,5,,775,6,75,95,55,65 U ve clculd l vers de,,,,5,,,7,,6,,9,,,5,,,,6,,,,5,96, 5,,6,,7,,,,,5,,,,,,6,,9,5,7,5,,5,,5,6 Se ee l slucó :,,555,5,65,6,75,5,,,,5,,,7,,6,,9,,,5,,,,6,,,,5,96, 5,,6,,7,,,,,5,,,,,,6,,9,5,7,5,,5,,5,6,,,5,,,,5 Ivers de u sere rmóc
23 Se u vecr de dmesó Se defe su rduc de vecrl ; cm el vecr: ' Prms de l sere f que ee u desrrll de Furer de l frm: f s L sere resuld de g edrá u desrrll de Furer de l frm g s dde g Oerd: f g s s que equvle :
24 x s s s El rmer sumd es u mullccó de ds seres rmócs, cu cefcee, eces: x s s s md e csdercó l exresó err x s s s De mer que uld ls crers de l dvsó, l re rmóc de l vers de, se ee mullcd vers del desrrll del rduc de l sere rmóc s r l sere rmóc s El érm deedee serí el vlr med de l sere g Ejeml Prms de l sere rmóc
25 s,5,6 s,7, s,,9 f Clculms,95 Desrrll su rduc rr de l mr:,,,7,,7,5,7,,,,,5,5,7,,,,7,5,7,,7,5,9,,6,7,5,7,,,5,,5,5,6,5,5,7,5,7,,,5, Que d lugr l sguee vers :,,,,5,,,7,,6,,9,,,5,,,,6,,,,5,96, 5,,6,,7,,,,,5,,,,,,6,,9,5,7,5,,5,,5,6 L re rmóc de l vers de f es:
26 ,6 -, -,7 -,6,7 -,, -,95,5,7,,6,,9,,,,5,,,7,,6,,9,,,5,,,,6,,,,5,96, 5,,6,,7,,,,,5,,,,,,6,,9,5,7,5,,5,,5,6 Resuld,6 s,6 7 s,, s,7,,9 g Prduc de ds seres Se f g ds vecres de dmesó Se defe su rduc ; cm el vecr: ' El rduc uede desrrllrse rr de ls cefcees de Furer Prms de l sere emrl
27 f Que dme l sguee reresecó: f Dde, eces s f ϖ ϖ Sed ϖ El rduc de g f se desrrllrí eces: s s s s s s g f ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ Dd que el rduc s s ϖ ϖ ϖ ϖ es el rduc de ds seres rmócs, el resuld de mullcr ds seres requere ñdr l desrrll de ese rduc:
28 µ Ls sumds, s ϖ ϖ s ϖ ϖ C l que resul: Y Ce elrr u mr de mñ cmcd ds ls erces erres r eer ls cefcees de Furer e u úc ercó Pr ell h que rescdr de l rmer fl de l mr, de l rmer fl l ulm clum de l mr, de l rmer fl de l mr I, de l rmer fl ulm clum de l mr I I Uld el erem de Plchrel resul que: YZ σ Dde YZ σ es l cvr de ls seres f g :
29 σ YZ Ejeml 5 L sere que rece e l fgur º se descme e ls sguee ccls de Furer: f,5,, s,7, s ,, s,, s,, s ,5, s,, s, su ve l sere que se rerese e l fgur º se descme e ls sguee ccls de Furer:
30 f,5,, s,7, s ,, s,, s,, s ,5, s,, s, L sere que rece e l fgur º se descme e ls sguee ccls de Furer: x g,,, s,, s ,7,9 s,, s,, s ,, s,9, s, El desrrll mrcl r mullcr l re rmóc de g que d lugr ls cefcees scds ls es serí:,,7,,,,5,,,7,,,,5,,,,,,5,,
31 ,,,5,,,,5,,,5,,,,,,,,,,,5,,,5,,,,5,,,,,5,,,,,,5,,,,7,,,5,,,,7,,,7,,,,5,,,,7,,,,5,7,,,7,,,,,7,,,7,,,,,7,,,7,,,,,7,,,7,5,,,,7,,,,5,,,,7,,,7,,,,5,,,7,,,6,6,,7,,,,,6,,,,5,9,6,6,,6,,,,6,,6,6,9,5,,,,,6,,,,,7,,6,6,,,7,6,,5,,,,7,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
32 ,,,,,,,,,, I,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -,,,,,,, -, -,,,,,, -, -, -,,,,, -, -, -, -,,,, -, -, -, -, -,,, -, -, -, -, -, -,, -, -, -, -, -, -, -, I,,,,,,,,,6,5,5,5,7,,,,7,,6, -,, -,,,,,, -,9,9 -, -, -, -, -,, -,, -, -,6 -, -,7 -, -, -, -,7 -,5 -,5 -,5 -,6 -, -, -, -, -, -, -, -, Pr clculr ls cefcees scds ls es de l sere rduc hrí que relr hr l sguee mullccó: Sed,,,,,,,7,7,9,,,,,,,,,5,9,,
33 ,,,5, Pr der reslver el ssem uld cmld fls clums, hrí que rescdr de l rmer fl e cd mr de desrrll 5 :,7,,,6,6,,7,,,,,6,,,,5,9,6,6,,6,,,,6,,6,6,9,5,,,,,6,,,,,7,,6,6,,,7,6,,5,,,,7, I,,6,5,5,5,7,,,,7,,6, -,, -,,,,,, -,9,9 -, -, -, -, -,, -,, -, -,6 -, -,7 -, -, -, -,7 -,5 -,5 -,5 -,6 -, -, -, -, -, -, -, -, L slucó ese sussem scds ls es del rduc serí: que s drí ls cefcees de Furer 5 óese que clus drí rescdrse de ls clums cus vlres s cers e l mr v ser mullcds r el eleme del vecr cu vlr es cer S se quere u slucó cmc hrí que rescdr de dchs elemes que
34 5,99 6,,7,7,,,67,6 El cefcee scd l e de cer, l med de l sere mullccó serí: µ,95 El desrrll mrcl r mullcr l re rmóc de g que d lugr ls cefcees scds ls ses serí smlr l de ls es, er erd,, I : -, -,7 -, -, -, -,5 -, -, -,7,,6, -,,, -,,6,, -,,6,6 -,5,6,5, -,,,,6 -,,6,, -,,,5,6 -,5,6,6 -,,,,6 -,,, -,,,6, -,7,,5,,,,7, I -, -, -, -, -, -, -,, -, -, -, -, -, -,,, -, -, -, -, -,,,, -, -, -, -,,,,, -, -, -,,,,,, -, -,,,,,,, -,,,,,,,,
35 I,,,,,,,,,, -,9 -,, -, -,,6, -, -, -, -,7 -,,5,7, -, -,6 -,5 -,6,5,, -, -, -,5 -,6,5,6, -, -,7 -,5 -,,7,,, -, -,6 -,, -,,,9 -, -, -, -,,,,,,,, Pr clculr ls cefcees scds ls ses de l sere rduc hrí que relr l sguee mullccó: Sed,,,,,,, Prescded de l rmer fl: -,7,,6, -,,, -,,6,, -,,6,6 -,5,6,5, -,,,,6 -,,6,, -,,,5,6 -,5,6,6 -,,,,6 -,,, -,,,6, -,7,,5,,,,7,,,, -,9 -,, -, -,,6, -, -, -, -,7 -,
36 I,5,7, -, -,6 -,5 -,6,5,, -, -, -,5 -,6,5,6, -, -,7 -,5 -,,7,,, -, -,6 -,, -,,,9 -, -, -, -,,,,,,,, L slucó ese sussem scds ls ses del rduc serí: que s drí ls cefcees de Furer,,5,5,7,5,5,7,5 E frm cmc l mr serí:,7,,,6,6,,7,,,6,5,5,5,7,,,,,6,,,,,7,,6, -,,,5,9,6,6,, -,,,,,,,6,,,,6, -,9,9,6,6,9,5,, -, -, -, -, -,, -,,,,6,,,,, -, -,6 -, -,7 -, -,,7,,6,6,,,7,6 -, -,7 -,5 -,5 -,5 -,6 -,,,5,,,,7, -, -, -, -, -, -, -,,,, -,9 -,, -, -, -,7,,6, -,,,6, -, -, -, -,7 -,, -,,6,, -,,5,7, -, -,6 -,5 -,6,6,6 -,5,6,5, -,,5,, -, -, -,5 -,6,,,6 -,,6,,,5,6, -, -,7 -,5 -, -,,,5,6 -,5,6,6,7,,, -, -,6 -, -,,,,6 -,,
37 , -,,,9 -, -, -, -,, -,,,6, -,7 L mr I serí:,7,,,6,6,,7,,,6,5,5,5,7,,,,,6,,,,,7,,6, -,,,5,9,6,6,, -,,,,,,,6,,,,6, -,9,9,6,6,9,5,, -, -, -, -, -,, -,,,,6,,,,, -, -,6 -, -,7 -, -,,7,,6,6,,,7,6 -, -,7 -,5 -,5 -,5 -,6 -,,,5,,,,7, -, -, -, -, -, -, -,,,, -,9 -,, -, -,,,,6, -,,,6, -, -, -, -,7 -,,,9,6,, -,,5,7, -, -,6 -,5 -,6,6,6,5,6,5, -,,5,, -, -, -,5 -,6,,,6,,6,,,5,6, -, -,7 -,5 -, -,,,5,6,5,6,6,7,,, -, -,6 -, -,,,,6,9,, -,,,9 -, -, -, -,, -,,,6,, Dd que:,,,7,,,,9,,,,9,,,, L mullccó mrcl quedrí
38 ,9,,,65,,5,,6,9,9,,,7,5,7 I eed e cue que :,,,,,,,,,,5,,,,7, Eces:
39 ,7,5,5,7,5,5,,6,67,,,7,7 6, 5,99,,,,,,,,,,5,,,,7,,,9,,,65,,5,,6,9,9,,,7,5,7 I Dvsó de ds seres Pred de I Ce eer ls cefcees de furer de l re rmóc de l sere f erd de l sguee mer: I I Dd que eces:
40 S el ssem ee slucó úc 6 E cu cs : I L exresó mrcl del cefcee es: [ ] Pr l que [ ] I Rerded: [ ], I Sed 6 Dch resrccó equvle l deedec lel de Y Z, s se refere que YZ σ
41 u mr cudrd de mñ -, e cu clum fgur el ccee Se ee eces l slucó: [ ], I Ejeml 6 Uld ls seres del ejeml 5, l mr I serí:,7,,,6,6,,7,,,6,5,5,5,7,,,,,6,,,,,7,,6, -,,,5,9,6,6,, -,,,,,,,6,,,,6, -,9,9,6,6,9,5,, -, -, -, -, -,, -,,,,6,,,,, -, -,6 -, -,7 -, -,,7,,6,6,,,7,6 -, -,7 -,5 -,5 -,5 -,6 -,,,5,,,,7, -, -, -, -, -, -, -,,,, -,9 -,, -, -,,,,6, -,,,6, -, -, -, -,7 -,,,9,6,, -,,5,7, -, -,6 -,5 -,6,6,6,5,6,5, -,,5,, -, -, -,5 -,6,,,6,,6,,,5,6, -, -,7 -,5 -, -,,,5,6,5,6,6,7,,, -, -,6 -, -,,,,6,9,, -,,,9 -, -, -, -,, -,,,6,,,
42 I E que l mr vers se clculrí:,7 -, -, -,5,7 -,,7,59 -,6 -,9 -,,76,6 -,,6 -,,7 -,7, -,,9 -,,,6 -,55 -,,,,,9 -, -,7,, -,,,76 -,5 -,7,,56 -,,,6 -, -,5,,,7,6,5 -,56 -,9 -,,6, -, -, -,5,6,7 -, -,,6, -, -, -,7, -,,,9 -, -,5, -,,9,,5 -,, -, -,65,9,5 -, -,, -, -,69,7 -,,76 -,56 -, -,,5, -,9, -, -,57,,,5,,5 -,77 -, -, -,,,5,6 -,7 -,,5 -,,,65 -,6,6 -,7 -,,,9 -,9,, -,7 -,9, -, -,7,9 -,9 -,55,,6 -,,5, -, -,7,66,6 -,69 -,,7 -, -, -,,56,, -, -, -, -,9,6, -,6 -, -,5 -,56,76, -, -,,9 -, -,57,69, -,69 -,6,9 -, -,,7,6,, -, -,,, -,56 -, -, -, -,,,5 -,7 -,,,6 -,5 -,5 -,,, -,7,7 -,5 -,,5,9,,6,9 -,,6, -,69,5,,9 -, -,56,7 -,7,,9 Y el vecr 5,99,,7 6,,7,5,7,,7,7,,,,,,,5,9,67,,9,6,,,6,,,,5,,5,5,,,7,,65,5,,,5,,,7,,9 El rduc mrcl [ ] serí:
43 ,,,6,6,,,,6,6,,9,,,,6,,9,56,,,7,,,56,,6,,,,56,6,56,,,6,,6,,,6,96,,,6,,6,,,,,,,,,,,6,6,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,7,,,,5,,,,,,,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,6,,,,,,,,,,,6,6,,,6,56,,,6,,6,,,6,96,,,6,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,9,6,96,,,,,,96,,,7,7,,96,,,,6,,,,6,,,7,,,,,,,,6,,,,6,,,7,,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,6,56,,,6,,6,,,6,96,,,6, E que l mr, quedrí:,6,,,,,,,,,,,6,6,, E csecuec, l mr I [ ], serí:,,,6,, -,, -,, -,,,, -,
44 ,,,,6, -,,7,, - -,, -,7,6,,,9,7,,, -, -, -,,56 -,6 -,,,6,9,,96,,56, , -, -, -,,,,7,96,,,7,7 -, -,9 -,7 -,9 -,, -, -, -,,,,,6, -, -,5 -, -,7 - -,5 -,,,,,56,7,6,5 -, -, - -,6 -,6 -,7 -,,,6,,,6,6,76,96 -,5 -, -,5 -, -, -, -,5 -,, -, - -, - -, - -, -, - -,6 -, -,, -, - -,9 - -, -,5,,,,, -, -, -, - -, -, -, , -,, -, -, -, -, -,, -,56 -, -,9 - -,6 -,7 -, -,,6,, -,, - -, -, - -,6 -,5 -,6, -,,,,,6,,,6 -, - -,7 -,5 -, -, -,,,,, -, -,7 -,, -, - -, - - -, -, -,6, - Su vers I [ ], :,79, -,9 -,6,99 -,6,5, -,6 -,6,97, -,,,,66 -,,,7 - -,6,,6 -, -,6, -, -,, -,9 -,,7, -,9,9,99 - -,5, -,9,, -,6 -,6,,,7,, -,6 -, -,,6, - -, -,6,9,99,7 -,9,,7 - -,9,,6 -, -,,6 -, -,5, -,6 -,7, -,,7, -, -,,, -,,6, -,6,6 -,6,99 -,6 -,9,,79 -,5 -,, - -,56,56 -,,, - -, - -,,69,77 -, -,, -,5 -,,9,,6 - -,,6 - -,,5,59 -,7 -,9,6 - -,,9 -,6 -,,5,6 -,,, -,7 -,7,7,79 -,9,,9 -, -,6 -,6,, -,, - -,9 -,9,79,6 -,7,6, -,97, -,9 -,6 - -,6,6 -,9 -,7,65 -,7 -,9,6, -,, -, -,,6,56 -, -,,6 -,7,6,79 -,9 -, -,, -,6 -,5,,56 -,5 -,,9, -,9,79,7 -,7,, -,6,9, - -,,7,9 -, -,6 -,9 -,7,59 Y el vecr
45 ,,, 6,7,6,,,,7,5,6,6,76,,,,,,,,,,,5,,,,7,,5,95,7,5,5,7,5,5,,6,67,,,7,7 6, 5,99
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