Mediante el uso del álgebra matricial, los resultados fundamentales en econometría se presentan de manera compacta y clara.

Transcripción

1 MI Ingenería Comercal RPASO D MATRICS Medante el uso del álgebra matrcal, los resultados fundamentales en econometría se presentan de manera compacta clara. Una matrz es una coleccón de números ordenados rectangularmente, A [ a k ] [ A] k! # # # # "# a a... a k a a... a k a n a n... a nk Un vector es un conjunto ordenado de números dspuestos en una fla o en una columna. $ & & & & %& Una matrz puede ser tambén nterpretada como un conjunto de vectores columna. La dmensón de una matrz ndca el número de flas el número de columnas que contene: A es una matrz nk, que ndca que A tene n flas k columnas. S n es gual a k, entonces A es una matrz cuadrada. Una matrz smétrca A, es aquella en la cual a k a k, para todo. Una matrz dagonal, es una matrz cuadrada cuos úncos elementos dstntos de cero, aparecen en su dagonal prncpal. Una matrz escalar es una matrz dagonal, con el msmo valor en todos los elementos de la dagonal. Una matrz dentdad es una matrz escalar con unos en la dagonal. Una matrz trangular es aquella que contene ceros encma, o ben debajo de la dagonal prncpal.

2 MI Ingenería Comercal. OPRACIONS CON MATRICS.- Igualdad: A B a k b k k Transpuesta: B A b k a k k A A Suma: C A ± B [a k + b k ] Conmutatva: A + B B + A A + B A+ B Asocatva: A + B+ C A + B + C Producto: De dos vectores es un escalar. C AB A nk B kt C nt AB BA ABC ABC AB + C AB + AC AB B A No es conmutatva Asocatva Dstrbutva Transpuesta.. SUMA D LMNTOS: matrz escalar de. S a : n X a a a na a X S a n : n n X X n

3 MI Ingenería Comercal Suma de cuadrados de los elementos de un vector: Suma de los productos de los vectores X e Y: Matrz dempotente.- s la que se emplea para transformar datos en desvacones de la meda. n n n donde n es nn con cada elemento n ntonces, [ ][ n ] puesto que I [I n ] [I n] M o Todos los elementos de la dagonal de Mº son n los demás son n. Suma de desvacones respecto a la meda: [M º ] Suma de desvacones al cuadrado: M º M º M ºM º M º Dado que Mº es una matrz dempotente. La suma de cuadrados productos cruzados de desvacones respecto a las medas: M º M º Pero s Z [] M º z 3

4 MI Ingenería Comercal 3. RANGO D UNA MATRIZ: l producto escalar: un escalar múltplo de un vector a es otro vector a cuas coordenadas son el múltplo escalar de las coordenadas de a. Cualquer escalar múltplo de a es un segmento de esta línea. Un conjunto de vectores es lnealmente dependente s cualquera de los vectores en el conjunto puede ser escrto como una combnacón lneal de los otros. Un conjunto de vectores es lnealmente ndependente s solo s, la únca solucón a la ecuacón a + a k a k es:... k l rango columna de una matrz es la dmensón del vector espaco generados por sus columnas: Rango de una Matrz: ra ra mnn º flas, N º columnas Para cualquer matrz, ra raa ra A Dos vectores a b son ortogonales, s ab ba a b Un sstema de ecuacones es homogéneo s adopta la forma A. Un sstema de ecuacones es No Homogéneo s Ab. Donde b es un vector no nulo A debe tener rango completo. La traza de una matrz cuadrada kk es la suma de los elementos de la dagonal prncpal. Todas las matrces smétrcas dempotentes, ecepto I, son sngulares. 4

5 MI Ingenería Comercal UNIDAD. INTRODUCCIÓN. QUÉ S CONOMTRÍA? conometría: Medcón conómca Pero el avance de la dscplna es más amplo. Def. : La econometría consste en la aplcacón de la estadístca matemátca a la nformacón económca para dar soporte empírco a los modelos construdos por la economía matemátca obtener resultados numércos G. Ttner. Def. : La econometría puede ser defnda como el análss cuanttatvo de fenómenos económcos reales, basados en el desarrollo smultáneo de la teoría la observacón, relaconados medante métodos apropados de nferenca P. Samuelson. Def. 3: l arte del econometrsta consste en encontrar el conjunto de supuestos que sean lo sufcentemente específcos realstas, de tal forma que le permtan aprovechar de la mejor manera los datos que tene a su dsposcón.. Malnvaud. Def. 4: l método de la nvestgacón econométrca busca esencalmente una conjuncón entre la teoría económca la medcón real, utlzando como puente la teoría la técnca de la nferenca estadístca. T. Haavelmo. DISCIPLINA APART? La econometría es una amalgama de Teoría conómca, conomía matemátca, estadístca económca estadístca matemátca. Por eso merece ser estudada 5

6 MI Ingenería Comercal de forma separada. TORÍA CONÓMICA: Formula hpótess de naturaleza prncpalmente cualtatva. Por sí msma no proporcona medda numérca alguna de la relacón de varables. La econometría da contendo empírco a gran parte de la teoría económca. CONOMÍA MATMÁTICA: Su nterés es epresar la teoría económca en forma matemátca por medo de ecuacones sn preocuparse de la verfcacón empírca de la teoría. La econometría se preocupa prncpalmente de la verfcacón empírca de la teoría económca. La conversón de ecuacones matemátcas en ecuacones econométrcas requere mucha destreza. STADÍSTICA CONÓMICA: Se relacona prncpalmente con la recoleccón, procesamento presentacón de cfras económcas en forma de gráfcos tablas. l estadístco económco no va mas allá de la recoleccón de nformacón, no le concerne la utlzacón de las cfras recopladas para probar la valdez de las teorías económcas. STADÍSTICA MATMÁTICA: Aunque se utlzan muchas herramentas de ésta, el econometrsta requere métodos especales en vsta de la naturaleza únca de la maoría de las cfras económcas..e. no provenen de epermentos controlados. La econometría es el campo de la economía que tene que ver con la aplcacón de la estadístca matemátca las herramentas de la nferenca estadístca a las 6

7 MI Ingenería Comercal medcones empírcas de relacones postuladas por la economía teórca.. MODLIZACIÓN CONOMÉTRICA La economía teórca es generalmente estrcta no ambgua. Los modelos postulan relacones determnístcas precsas pero no se debe olvdar que un modelo es solo una smplfcacón de la realdad. - Nngún modelo puede esperar englobar la gran cantdad de los aspectos aleatoros de la vda económca. s necesaro por tanto ncorporar elementos estocástcos en nuestros modelos empírcos "ε". - Se debe entender que la ntroduccón de un error aleatoro en un modelo determnístco no pretende meramente recoger sus nefcencas. - Un modelo o teoría nunca puede ser realmente confrmado a menos que se haga tan amplo como para nclur cualquer posbldad pero un modelo puede ser falsado. La ntroduccón de elementos estocástcos en el modelo hace que este cambe, de una afrmacón eacta, a una descrpcón probablístca de los valores esperados. Úncamente el predomno de evdenca empírca puede nvaldar convenentemente el modelo probablstco.. MTODOLOGÍA D LA CONOMTRÍA Cómo proceden los econometrstas en el análss de un problema económco? Aunque ha varas escuelas de pensamento, se presenta la metodología tradconal o clásca. Se tenen los sguentes lneamentos:. Planteamento de la teoría o de la hpótess. 7

8 MI Ingenería Comercal. specfcacón del modelo matemátco de la teoría.. specfcacón del modelo econométrco o estadístco de la teoría. v. Obtencón de datos. v. stmacón de los parámetros del modelo econométrco. v. Prueba de hpótess. v. Pronóstco o predccón. v. Utlzacón del modelo para fnes de control o polítca. jemplo:. La le pscológca fundamental de Kenes, consste en que los hombres mujeres como regla general en promedo, están dspuestos a ncrementar su consumo a medda que su ngreso aumenta pero no en la msma cuantía.. Se tene una relacón postva entre el consumo C el ngreso Y. l economsta matemátco sugere: C + Y donde < < son los parámetros del modelo C Y, las varables. A este modelo se le conoce como la funcón de consumo. 3. specfcacón del modelo econométrco de consumo. Se supone que no este relacón eacta o determnístca entre C Y. Para consderar las relacones neactas, el econometrsta modfca la funcón de consumo de la sguente manera: C + Y + ε ε es el térmno de perturbacón, tambén conocdo como la varable estocástca. Representa todos los otros factores que afectan que no son consderados en el modelo. 4. Para estmar el modelo econométrco báscamente se requeren datos, que pueden provenr de tablas ser epresados en gráfcos. 8

9 MI Ingenería Comercal 5. Lo sguente es estmar los parámetros de la funcón consumo. sto da contendo empírco a la funcón consumo. La técnca estadístca se conoce como Análss de regresón. Un ejemplo de la funcón estmada es: C ˆ 84,7 +, 78Y La propensón margnal a consumr del ejemplo ndca que por cada $ de ngreso,,78$ se destnan al consumo real, en promedo. 6. Se tenen que plantear crteros para evaluar s los valores estmados concuerdan con las epectatvas de la teoría que está sendo probada. Se realza la nferenca estadístca o prueba de hpótess. 7. S el modelo escogdo confrma la hpótess o teoría, se puede utlzar para predecr los valores futuros de la varable dependente. Se logra dentfcar el error de predccón. 8. Para meddas de polítca en modelos macroeconómcos, por ejemplo, cuánto debe cambar Y para mantener C en C? 3. RPASO D CONCPTOS BÁSICOS D PROBABILIDADS Por qué necestamos estudar teoría de probabldades para analzar observacones o datos de la realdad? Por qué no nos concentramos con hacer hstogramas usar meddas descrptvas? Supongamos que contamos con una muestra de datos de un fenómeno de nterés. Podemos hacer un gráfco de frecuencas empírcas de los datos dervar nformacón útl. 9

10 MI Ingenería Comercal 5 4 Frequenc Mdpont Aunque el gráfco anteror descrbe adecuadamente la dstrbucón del ancho de una muestra de calles de Cochabamba, los estadístcos descrptvos están confnados a dcha muestra. Cualquer pregunta respecto de la poblacón de la cual se dervó la muestra no puede ser dscutda. La esenca del trabajo econométrco es, en este sentdo, proveer resultados generales a partr de muestras cua nformacón es lmtada. La teoría de probabldades provee un modelo matemátco para la nferenca estadístca que, al realzarse sobre una muestra de observacones, permte estudar fenómenos generales. Por esto, este capítulo repasa la prncpal teoría de probabldades. 4. VARIABLS ALATORIAS. Defncón útl de varable aleatora X: Funcón cuo rango de valores es conocdo e-ante pero el varo que toma es solo conocdo e-post. X es una varable aleatora porque hasta que se realce el epermento su valor es ncerto. Las probabldades se asocan a las realzacones cuantfcando la ncertdumbre.

11 MI Ingenería Comercal Asocamos a ellas una probabldad de ocurrenca, que denotamos por: ProbX donde X es el conjunto de valores es un elemento realzacón de la funcón. Para este curso, las probabldades son eógenas. Lo anteror ndca que la probabldad de que X asuma un valor depende de su probabldad de ocurrenca. sten dos tpos de varables aleatoras: las varables dscretas las varables contnuas. 5. FUNCIONS D DISTRIBUCIÓN gremos que las funcones de probabldad cumplan algunas restrccones. La manera más smple de vsualzarlo es: PX PX f Lo anteror es drecto s la varable X es dscreta, pero s ésta es contnua entonces PX. Sn embargo, para [, ], P a b este de hecho: b a f d f d La dstrbucón acumulada de probabldades es la probabldad que X sea menor que un certo valor z la denomnamos F. F f o F f d z z

12 MI Ingenería Comercal Para descrbr varables aleatoras su dstrbucón, usualmente empleamos los momentos de la dstrbucón esperanza, medana, moda, varanza, skewness, Kurtoss, etc., los cuales pueden ser brutos o centrados. Los segundos utlzan desvacones con respecto a la meda, en tanto que los prmeros no. 3. DSCRIPTORS DL MOMNTO CNTRAL D UNA DISTRIBUCIÓN l valor esperado de una varable aleatora se defne como el promedo de las realzacones de X ponderado por su probabldad de ocurrenca. [ ] f para toda funcón X dscreta [ ] f d para toda funcón X contnua Note que la esperanza meda no tene que ser un valor que la varable aleatora puede tomar cuando ésta es dscreta. Por ejemplo, al lanzar un dado numerado de a 6, el valor esperado es 3,5. Otros descrptores de uso común son la medana que es el valor del medo del rango de valores de la dstrbucón se usa prncpalmente cuando ha valores etremos, pues a dferenca de la meda no se ve tan nfluda por éstos. Ocasonalmente se usa la moda, que es el valor que ocurre con maor probabldad, pero cua defncón es arbtrara para varables contnuas. 3. DSCRIPTORS D OTROS MOMNTOS D UNA DISTRIBUCIÓN Varanza de una dstrbucón V esperado de la dspersón de una varable aleatora. Skewness de una dstrbucón [ ] es decr, es el valor S esperado de la asmetría de la varable aleatora. Kurtoss de una dstrbucón 3 [ ] es decr, es el valor K 4 [ ] es decr, es el valor

13 MI Ingenería Comercal esperado de las colas de la dstrbucón de la varable aleatora. 4. DISTRIBUCIONS DISCRTAS D USO COMÚN Supongamos que el epermento A tene dos posbles resultados S{éto, fracaso} con probabldades de ocurrenca de p -p respectvamente: Éto P p Fracaso P p La dstrbucón o descrpcón de los datos del epermento anteror es la llamada dstrbucón de Bernoull: f p p, en otro caso. Como el msmo Bernoull se encargó de demostrar, s el epermento se repte n veces se obtene la dstrbucón bnomal. f n n p p donde n n! n!! Ha otras dscretas útles. ntre ellas está la de Posson, que corresponde al límte de la bnomal cuando n p, tal que np es constante. θ e θ f ; θ! 5. DISTRIBUCIONS CONTINUAS D USO COMÚN n muchos epermentos en economía no puede suponerse que las varables aleatoras de nterés sean dscretas, por lo que se utlzan funcones contnuas. 3

14 MI Ingenería Comercal La dstrbucón normal: S n, la epresón de la bnomal es poco práctca. De Movre encuentra la dstrbucón que resulta en este caso: f z π " [z]% e # $ & es decr, la dstrbucón normal. sta dstrbucón es la base de muchos test procedmentos de estmacón que usaremos en este curso. La representacón de la normal se ndca como: ~Nμ,! S ~Nμ,! entonces a + b~na + bμ, b!! Lo anteror representa que la forma de la dstrbucón se mantene ante transformacones lneales. De a + b~na + bμ, b!! s a!! b!! entonces ~N, La dstrbucón normal estándar: La funcón normal se estandarza fáclmente: z µ s z N µ, N, La dstrbucón Ch-cuadrado: s N, χ Una propedad de esta funcón es que sumas de varables que se dstrbuen χ tambén se dstrbuen χ : s, entonces + χ χ χ La dstrbucón F: s χ m w χ / m n F m, n w/ n 4

15 MI Ingenería Comercal La dstrbucón t de student: s z N, z w χ tn wn La dstrbucón logístca: f z + e za b 6. DISTRIBUCIONS CONJUNTAS s posble que dos o mas varables puedan ser descrtas por una funcón de probabldades conjunta. P a b; c d f, a b c d b d a c f, dd l objetvo prncpal de las cencas socales la economía en partcular es descrbr.e. modelar dstrbucones conjuntas. La probabldad acumulada es: F, Pr X ; Y 7. DISTRIBUCIONS MARGINALS Suponendo que este la densdad conjunta de dos o más varables, resulta natural preguntarse qué probabldad tene o de ocurrr, ndependente de los valores que tome la o las otras varables o? s decr, para obtener las dstrbucones margnales a partr de la densdad conjunta, es necesaro sumar o ntegrar lalas otras varables. n un caso de 5

16 MI Ingenería Comercal dos varables: f f, f f, d De aquí se derva el concepto de ndependenca estadístca. S la densdad conjunta es el producto de las margnales, las varables son ndependentes. f ; f! f! <> e son ndependentes. Asocada a la dstrbucón margnal habrá, naturalmente, esperanzas margnales, varanzas margnales, etc. La esperanza en una dstrbucón conjunta se obtene respecto a la dstrbucón margnal. s decr:!! f, V!! [ ]! f, 8. DISTRIBUCIONS CONDICIONALS Para cencas socales, la dstrbucón más nteresante es la condconal, es decr aquella que descrbe cuál es la probabldad que condconal en que tome algún certo valor que denotamos por f. Se puede demostrar que f f, f f. Para ello defnremos prmero la nocón de probabldad condconal. 6

17 MI Ingenería Comercal Supongamos que en el epermento de trar dos monedas, sabemos que el prmer tro fue cara. Camba esta nformacón la estructura de probabldades? Prmero, note que ahora el espaco de eventos se reduce a: S { CC, SC A }. ntonces, tenen que cambar las probabldades P., sendo ahora: P A { CC} P A { CS} Defnremos la probabldad condconal como: s solo s PA>. P A P A A A P A A P A Resulta clave entender que la meda condconal de en, [ ] eactamente el concepto de una regresón lneal en econometría. Supongamos que el epermento puede ser descrto por la sguente relacón: + ε, con ε como rudo blanco, cuas característcas son [ ε ] j, cero en otro caso. ntonces [ ]. es cov[ ε, ε j ] para Una segunda propedad nteresante se derva al aplcar el operador de la varanza condconal al modelo anteror. Un poco de álgebra permte obtener: V [ ] [ ] [ ] sta es la funcón cedástca. Aplcando la le de las esperanzas teradas [ [ ]] [ ] se puede obtener: de donde se desprende que: V[] V!" [ ] # $ +!" V[ ] # $ [ V[ ] ] V[ ] V [ [ ] ] es decr, la ncertdumbre asocada a la predccón hecha sobre la base de una regresón es menor a aquella de los datos. Por lo tanto, la varacón de surge por dos motvos: 7

18 MI Ingenería Comercal ro. varía con è Varanza de la regresón V!" [ ] # $ do. varía alrededor de la meda condconal è Varanza resdual!" V[ ] # $ 3ro. la suma total es la varanza total. Y al analzar una regresón, resulta de nterés preguntarnos cuál de las dos partes es más grande. De ahí se derva Coefcente de determnacón!"#$"%&".!"#!"$%&!"#$%&%.!"!#$ 9. TORÍA ASINTÓTICA. l conocmento del comportamento en el límte de la dstrbucón de un estmador, puede utlzarse para nferr una dstrbucón apromada para el estmador obtendo de una muestra fnta. a Convergenca en probabldad. Los límtes están consderados respecto al tamaño muestral n. La varable aleatora n converge en probabldad a c s: lm Pr c > ε!! plm! c la convergenca en probabldad mplca que los valores cercanos a c que toma la varable, son cada vez más probables, a medda que n aumenta. La convergenca en meda cuadrátca mplca que, s tene μ! con sus límtes ordnaros guales a c, entonces! converge en meda cuadrátca a c. s decr: 8

19 MI Ingenería Comercal plm! c La convergenca en meda cuadrátca mplca la convergenca en probabldad, pero la convergenca en probabldad no mplca convergenca en meda cuadrátca. Por lo tanto, se puede defnr un estmador consstente de la sguente manera: plm θ θ luego se puede defnr la consstenca de la meda cuadrátca: plm μ la consstenca de la meda de funcones es: plm!!! g [g ] Teorema de Slutzk. Se cumple para funcones contnuas g que no son funcón de n. plm g! gplm! establece una comparacón entre el valor esperado de una varable aleatora su límte en probabldad. Por lo tanto, 9

20 MI Ingenería Comercal plm s! μ! Reglas límte en probabldad: S plm! c plm n + d c + d plm! d plm n d c d plm n / d c/d b Convergenca en dstrbucón dstrbucón límte.- La sucesón de varables aleatoras {! } converge en dstrbucón a una varable aleatora con fda F s:

21 MI Ingenería Comercal. L MODLO CLÁSICO D RGRSIÓN LINAL MCRL Su forma genérca:, k + ε f,..., Uno de los aspectos más útles del modelo de regresón múltple es su capacdad para dentfcar efectos de un conjunto de varables ndependentes sobre una dependente. 3. SUPUSTOS DL MODLO CLÁSICO D RGRSIÓN LINAL a. Forma funconal lneal b. Identfcabldad de los parámetros del modelo c. Valor esperado de la perturbacón dada la nformacón observada d. Varanzas convaranzas de las perturbacones dada la nformacón observada e. Naturaleza de los datos sobre varables ndependentes f. Dstrbucón de probabldad de la parte estocástca del modelo LINALIDAD DL MODLO D RGRSIÓN k k + ε ; los subíndces j k son de columnas de X varables + ε ; los subíndces t son para flas de X observacones l La varables dependente es la suma del componente determnístco una varable aleatora. La lnealdad hace referenca a la manera en que los parámetros ε entran a formar parte de la ecuacón no necesaramente a la relacón entre varables. Modelo logarítmco lneal: Modelo semlogarítmco: ln + ln k ln k + ε elastcdad constante ln + δt + ε modelo de crecmento económco t t t Modelo logístco: ln t t + δt + ε l t t Modelo translogarítmco: K k K T k t ln + k ln k + δ kt ln k + ε RANGO COMPLTO X es una matrz nk con rango k.

22 MI Ingenería Comercal so sgnfca que X tene rango de columna completa: las columnas de X son lnealmente ndependentes ha al menos k observacones condcón de dentfcacón. n un modelo lneal debe estr varacón en X, de lo contraro no se puede aprender nada de él. RGRSIÓN [ ε ] [ ε ] [ ε ] [ ε... [ ε n ] [ ε ε,..., ε n ] [ ε ] [ [ ε ] [ ] Cov [, e] Las observacones en no conllevan nformacón sobre el valor esperado de ε. [ ] esperanza condconada. PRTURBACIONS SFÉRICAS.- Donde: ste homocedastcdad No ha autocorrelacón Var Cov [ ε ] [ ε ε ]... j... [ εε ] [ εε ] I Var [ ε ] [ Var[ ε ] ] Var[ [ ε ] ] I RGRSORS NO STOCÁSTICOS X es una matrz conocda nk, de constantes.

23 MI Ingenería Comercal NORMALIDAD [, I] ε N perturbacones normalmente dstrbudas, meda cero varanza constante l Teorema del Límte Central TCL puede generalmente aplcarse a ε. l supuesto mplca que ε es estadístcamente ndependente es no correlaconado. 4. RGRSIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS Los parámetros desconocdos de la relacón estocástca son el objetvo a estmar. La regresón poblaconal es [ ], la estmacón de [ ] ˆ ˆ. es 4. VCTOR D COFICINTS D MCRL Mnmza la suma de cuadrados de los resduos. S es mínmo: ε Mn : S ε ε + S + ˆ ˆ S ˆ matrz postva defnda. ˆ ˆ Mínmos cuadrados en un modelo de dos varables: e e a a b a b na + b dvdendo por n a + b la regresón pasa por las medas. e b a b susttuendo por ˆ

24 MI Ingenería Comercal b a + donde n n b n b 5. RGRSIÓN ORTOGONAL S las varables en una regresón múltple no están correlaconadas son ortogonales las pendentes de la regresón múltple son las msma que las pendentes de las regresones smples ndvduales. 5. ASPCTOS ALGBRAICOS ˆ ˆ ˆ ˆ e S la prmera columna de X es una columna de unos:. La suma de los resduos de OLS es cero: e e e. l hperplano de la regresón pasa por el punto de las medas de los datos: ˆ 3. La meda de los valores calculados por la regresón es gual a la meda de los valores pendentes: ˆ ˆ l vector de resduos OLS es: [ ] M I e e e ˆ M es smétrca e dempotente. M es una matrz que produce el vector de los resduos de Mínmos Cuadrados en la regresón de Y sobre X, cuando se premultplca cualquer vector Y. + ε puede ser estmado con: ˆ ε ε ε ε A ˆ ˆ es una funcón lneal de ε.

25 MI Ingenería Comercal S X es no estocástco [ ] ε ˆ es un estmador lneal nsesgado de. ˆ [ ] [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ ε ε A A Var [ ] [ ] [ ] I εε εε εε Sea b c un estmador lneal e nsesgado de, donde c es kn. [ ] [ ] [ ] c cc b Var I c c c c + ε ˆ + D I c D c b D c D [ ] b Var [ ] [ ] [ ] [ ] ˆ DD Var DD D D DD D D La Var[b ] es gual a Var[ ˆ ] mas una matrz defnda no negatva. Por consguente Var[b ]> Var[ ˆ ]. Teorema de Gauss-Markov: n el modelo clásco de regresón lneal el estmador de mínmos cuadrados ˆ es el estmador lneal nsesgado de varanza mínma de. Para cualquer vector de constantes w, el estmador lneal nsesgado de varanza mínma w en el MCRL es w ˆ. S los represores son no estocástcos, entonces - es una constante. ntonces ˆ es un estmador nsesgado, por Gauss-Markov, es además de mínma varanza. 5. RGRSORS STOCÁSTICOS Un método para obtener las propedades estadístcas de ˆ consste en obtener prmero los resultados deseados condconados en X. S podemos establecer nsesgadez condconada en X arbtraro, podemos promedar las X para obtener un resultado ncondconado.

26 MI Ingenería Comercal ˆ + ε [ ˆ ] + [ ε ] + Lo que mplca que para una muestra - a no es aleatoro. Usando la le de epectatvas teradas para obtener la esperanza ncondconal: [ ˆ ] [ ˆ [ ] ] + [ [ ε ] ] [ ˆ ] [ ] ste resultado solo depende del supuesto 3 de MCRL. La varanza condconal es: [ ˆ ] Var utlzando la descomposcón de varanzas, la Var [ ˆ ] [ Var[ ˆ ] ] Var [ [ ˆ + ] ] [ Var[ ˆ ] ] [ ] [ ] varanza ncondconal será: lo que sgnfca que el estmador depende de la muestra, al fnal la conclusón de Gauss-Markov no se altera. La varanza ncondconada de ˆ solo puede ser descrta en térmnos del comportamento de X para cada muestra el estmador ˆ es de Varanza Mínma, pero no de sabe cual es la muestra óptma. 5.3 NORMALIDAD Y LA DISTRIBUCIÓN D ˆ Debdo a que se supone que los errores se dstrbuen normales, se tene: ε ˆ beta es una funcón lneal del vector de perturbacones ε. S ε sgue una dstrbucón normal, se cumple: ntonces: X~ N[ µ, Σ] AX+ ˆ ~ N[ Aµ + ˆ, AΣA ] ˆ ~ N[, ] Donde la dstrbucón normal de ˆ es una consecuenca del supuesto que ndca que las perturbacones ε se dstrbuen normalmente. Algunas propedades son: ε N,, a aε N b + ε N b, ˆ N[, ] ˆ N[, ] j Cuando es NO STOCÁSTICA, esa es eactamente la dstrbucón del estmador. j jj

27 MI Ingenería Comercal Cuando es STOCÁSTICA, de debe consderar la dstrbucón condconal del estmador. Como se ha supuesto que la dstrbucón de los resduos es normal, la densdad conjunta queda descrta por la sguente funcón de verosmltud. Π ε n [ ε ε ] f ; θ Π [π ] e π e aplcando logartmos se tene: n lnl,, lnπ Para mamzar la funcón de verosmltud, en este caso equvale a mnmzar el segundo térmno de la parte de la ecuacón de la derecha, que a su vez es una funcón de la suma de resduos al cuadrado. ntonces, OLS es el estmador de Mámo Verosmltud es MLI. 5.4 STIMACIÓN D ˆ e está estmado mperfectamente a sus homólogos n poblaconales. Los resduos de los mínmos cuadrados son: Puesto que: ntonces: [ + ] Me e M M ε con el supuesto: M e e ε Mε el estmador de tr [ e e ] [ ε Mε ] tr[ M[ εε ] ] tr[ M I] tr[ M] n k [ [ ε Mε ] ] [ tr Mεε ] M tr I tr I tr[ ] tr I tr I n k tr e e n k n n k Var[ ˆ] ˆ e n estmador muestral de la varanza muestral del estmador ˆ. n k 5.5 CONTRAST D HIPÓTSIS ˆ t el contraste para un parámetro k S ˆ

28 MI Ingenería Comercal 5.6 INTRVALO D CONFIANZA ˆ ˆ k λ k tλ con n-k g.l. Prob b t,, b + λ 5.7 CONTAST D SIGNIFICATIVIDAD D LA RGRSIÓN S todos los ˆ son cero, el coefcente de correlacón múltple tambén lo será: R k F[ k, n k] donde H R n k S F es alto, la hpótess se rechaza. 6. BONDAD D AJUST l objetvo del análss de regresón es dar cuenta eplcar de las varacones de. s decr, la varacón total de :. Sea M I n, entonces la suma de cuadrados totales se puede escrbr como: M. Así ˆ M ˆ + ε M M ε ˆ M ˆ M + ε ε entonces, SCTSCR+SC se defne el coefcente de ajuste como: l problema de R SC SCT SCR e e SCT M R es que s añaden varables a la regresón, éste no puede reducrse. Por ello, se necesta una medda de ajuste que penalce el eceso de regresores. l R ajustado es dcha medda: R e e / n k M / n 7. STIMADOR D MÁXIMA VROSIMILITUD Consderemos que tenemos una muestra de n observacones ndependentes de una msma dstrbucón que no conocemos pero que queremos descubrr, f ; θ. S cada dato vene de f ; θ éstos son ndependentes, su dstrbucón conjunta la densdad de la muestra vene de:

29 MI Ingenería Comercal L f ; θ f ; θ... f n; θ sta es la funcón de verosmltud que mde la probabldad que los datos que dsponemos vengan de una msma dstrbucón f ; θ. Propuesta base: Por qué no buscamos el θ que hace máma la probabldad que los datos vengan de f ; θ? jemplo elemental. Supongamos que los datos son tomados ndependentemente corresponden a robos de bccletas en la Unversdad. La muestra es : {5,,,,,3,,3,4,}. Supongamos que creemos que la dstrbucón que mejor representa los datos es la Posson. ntonces: θ e θ f ; θ! Así la funcón de verosmltud es: f,,..., ; θ θ e θ! θ e θ 7.36 Podemos optmzar la funcón, pero resulta más fácl optmzar el logartmo de la funcón de verosmltud. ntonces, log f,,..., ; θ θ + logθ log7.36 Buscamos aquel θ que hace más probable que los datos vengan de una Posson. Lo que se resuelve de manera elemental medante cálculo para obtener ˆ θ. Se debe comprobar que la segunda dervada sea negatva para asegurar que θˆ es un mámo. se es el estmador de máma verosmltud es óptmo. s nsesgado, de varanza mínma, asntótcamente normal e nvarante. S la dstrbucón que utlzamos es multvarada, θˆ será un vector. 7. LÍMIT CRAMR-RAO Suponendo que la densdad satsface certas restrccones, la varanza de un estmador lneal nsesgado de un parámetro θ es sempre o gual a: [ I θ ] lnl θ θ lnl θ θ l límte Cramer-Rao en el ejemplo de la posson sería:

30 MI Ingenería Comercal lnl θ Σ nθ θ θ θ La utldad de Cramer-Rao es que so algún estmador nsesgado lneal alcanza dcho límte, entonces éste será óptmo. 7. STIMACIÓN FICINT Mámo Verosíml Hemos estudado la funcón de verosmltud. Ahora, la usaremos para dervar un estmador crucal, además, para entender lo que hace cada tpo de test.

31 MI Ingenería Comercal JRCICIOS ADICIONALS. Suponga que tene una muestra con 5 datos, que provenen de una normal con meda varanza desconocdos. Suponga que un cuarto de los datos es menor que 5 tres cuartos de ellos son menores a. Obtenga una epresón para estmar µ. n 5~ N µ, 5 µ P<5,5 P z <, 5 µ P<,75 P z <, 75 5 µ z valor nferor µ z µ 5 z z Igualando : 5 z zs z s z 5 µ s s valor superor 5 el segundo resultado es: z s z 5zs µ z z s 5z 5 z z s. Suponga que tene parámetros nsesgados, estmados ndependentemente φ, con sus respectvas varanzas η, Qué combnacón lneal de ambos φ η parámetros θ F φ, φ es un estmador nsesgado de varanza mínma de θ? S a ˆ φ + a ˆ φ la ecuacón que dentfca la combnacón lneal V S aη + a η + a cov aφ a, aa φ V S a η Varanza mínma: η + a V S a η + a η a a η a η V S a a η + η que es postva, entonces es un mínmo.

32 MI Ingenería Comercal Despejando a : a a η η + aη η η + η Por lo tanto la respuesta es: η S η + η η ˆ φ + ˆ φ η + η 3. Sea una muestra de n observacones de {} con dstrbucón f θe θ. ncuentre el estmador de Mámo Verosmltud. Demuestre que éste es un mámo. Obtenga la varanza. La ecuacón de densdad conjunta será: L θ e L θ e θe θe θ θ θ 3 θσ Aplcando logartmos a la ecuacón de verosmltud: Mamzando: ln L nlnθ θ lnl n θ θ n θ el estmador MV. lnl n θ θ θ negatvo, es mámo. La varanza asntótca aplcando Cramer-Rao: lnl n I θ θ θ θ 4. ncuentre el estmador de la varanza de los resduos demuestre que se dstrbue como χ. La prmera parte la pueden hacer La ch-cuadrado: n k ˆ ε Mε

33 MI Ingenería Comercal ε ε M k n ˆ donde, ε N luego N,, es obvo verdad? ntonces: ˆ k n k n χ