E S. circunferencia de centro O y radio OA. i

Transcripción

1 ltos Físic pr icis Igirí otcto: 6.3- Rflxió u spjo plo pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció sobr suprficis pls Vmos cosidrr l sistm óptico formdo por u suprfici pl S límit d u mdio homogéo l cul s rflj los ryos lumiosos y vmos supor qu dlt dl spjo s cutr u puto lumioso. P D E D S E U ryo lumioso qu prt d s rflj l llgr l spjo d modo qu form u águlo igul l d icidci y lo mismo ocurr pr culquir otro ryo. El h d ryos rfljdos s divrgt y por tto l img s virtul. Vmos dmostrr qu l sistm s prfctmt stigmático, s dcir, qu ls prologcios d todos los ryos rfljdos s cort u puto qu s l img dl puto. Si prologmos los ryos y hst su puto d itrscció, vmos dmostrr qu l posició d s idpdit d los ryos lgidos. Los triágulos D y D d l figur so iguls, y qu ti comú l ldo D, y los águlos dycts so tmbié iguls sgú ls lys d l rflxió. Por tto y D D. Si trmos hor l rct, los dos triágulos P y P so tmbié iguls y qu, sgú hmos visto triormt, so iguls los ldos y, l ldo P s comú, y los águlos so iguls. Por cosiguit, los águlos P tmbié so iguls, y como su sum s d 80º, cd uo d llos s d 90º. o lo cul, l ldo P s igul l P, quo dmostrdo qu l puto qu s cort los ryos y DD s prcismt l simétrico dl puto rspcto dl spjo, y por él ps ls prologcios d todos los ryos rfljdos Dsplmito d l img l dsplrs l spjo Vmos cosidrr dos dsplmitos dl spjo: ) u trslció prll sí mismo. b) u rotció lrddor d u j situdo su propio plo, prpdiculr l plo d icidci. E l primr cso s pud comprobr fácilmt, qu si l spjo s dspl u distci d, l img s dspl d. E l sgudo cso vmos supor qu u spjo E gir toro u j prpdiculr l plo d l figur qu ps por l puto O. Supogmos qu tmos u puto lumioso dl qu prt ryos qu icid l spjo. Tido cut qu l img dl puto s simétric rspcto dl spjo E, ést db str situd l circufrci d ctro O y rdio O. i Trdo dsd l prpdiculr l spjo E, l itrscció co l circufrci s l img dl puto. I O E i Supogmos qu l spjo gir u águlo i y ps l posició E. i I L uv img strá situd igulmt sobr l E circufrci d ctro O y rdio O, y s l itrscció co dich circufrci d l prpdiculr trd por l spjo E. D l figur s dduc qu l águlo s igul i por sr sus ldos rspctivmt prpdiculrs ls posicios E y E dl spjo, y por sr u águlo iscrito l circufrci, su mdid s l mitd dl rco qu brc sus ldos. Por tto, l águlo ctrl O s i, co lo qud dmostrdo qu l girr u spjo plo, l img s dspl u circufrci co ctro l j d giro, y su dsplmito gulr s l dobl dl águlo girdo por l spjo. U ryo qu prt d, tl como l I, s rflj l posició E iicil dl spjo siguido l dircció I, y l girr l spjo icid l puto I rfljádos l dircció I, formdo los ryos rfljdos l águlo co vértic l puto.

2 pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció suprficis pls otcto: ltos@tlfoic.t ltos Físic pr icis Igirí hor bi, l triágulo I I s vrific qu y como dmás por sr l águlo qu form ls ormls los spjos, rsult α θ [3] Es dcir, qu udo u ryo icid sobr u spjo plo u dircció dtrmid, l girr l spjo u cirto águlo, l ryo rfljdo gir u águlo dobl Dioptrio plo Vmos studir l pso d l lu trvés d u dioptrio plo, cosistt u suprfici pl qu spr dos mdios trsprts, prscidido dl fómo d l rflxió, qu simpr s produc. O I I y dl triágulo OI Dividido mimbro mimbro [4] y [5], y dspjdo O P α ϕ ϕ [] ϕ ϕ θ [] Supogmos qu l suprfici pl P spr dos mdios trsprts d ídics d rfrcció y, sido >, y qu u foco putul lumioso mit ryos qu icid sobr l suprfici P. Pr obtr l img dl puto s prciso hllr l itrscció d dos ryos qu prt d dicho puto. El ryo I qu form u águlo co l orml trd por l puto I s rfrct siguido l dircció I d modo qu, sgú l ly d l rfrcció: sφ sφ [3] El ryo O, qu icid ormlmt sobr l dioptrio, s rfrct si dsvirs, d modo qu l img dl puto obsrvd l dircció I s l puto qu s l itrscció dl ryo O y l prologció dl ryo I. Por cosiguit l img s u img virtul. Dl triágulo OI s dduc: O OI " tgφ [4] "O OI " tgφ [5] y tido cut l ly d l rfrcció [3] "O O tgφ tgφ O sφ sφ cosφ cosφ [6] "O O s φ s φ [7] D l rlció [7] s dduc qu l posició dl img dpd dl águlo d icidci, y por tto, l sistm o s stigmático. Si los ryos qu cotribuy l formció d l img dl puto so muy próximos l orml trd por l puto O, los águlos d icidci so muy pquños y l cució [7] s rduc "O O [8] E rli, l ojo prcib l img d u form lgo difrt l idicd l figur trior, l qu s h xgrdo l sprció d los ryos qu itrvi l formció d dich img pr u mjor comprsió dl fómo.

3 ltos Físic pr icis Igirí otcto: pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció sobr suprficis pls 3 I I El ojo v l img d u puto por mdio d los ryos qu prt dl mismo y qu s cutr comprdidos dtro d u strcho coo o picl d lu qu ptr trvés d l pupil. U ryo lumioso qu prt d icid l puto I s rfrct l dircció I. Otro ryo qu icid l puto I s rfrct l dircció I. El ojo prcib los ryos como si procdis dl puto, itrscció d ls prologcios d los ryos I I. Por cosiguit, l img s virtul. El sistm st cso o s prfctmt stigmático, s dcir, ls prologcios d todos los ryos rfrctdos qu prt dl puto o s cort u úico puto, sio qu l img qu prcib l ojo dpd, como s h visto triormt, dl águlo d icidci Rflxió totl. Águlo límit. D l ly d l rfrcció s dduc qu l águlo d icidci qud xprsdo por l rlció Vmos cosidrr dos posibls csos por lo qu rspct los ídics d rfrcció : ) < E s cso, culquir qu s l águlo d icidci, simpr srá s < y por cosiguit, udo u ryo d lu ps d u mdio mos rfrigt otro más rfrigt, simpr xist l ryo rfrctdo, y dmás, <, d modo qu l ryo rfrctdo s proxim l orml. b) > E st cso s simpr <, s dcir qu s s [9] udo u ryo d lu ps d u mdio más rfrigt otro mos rfrigt, l ryo rfrctdo s lj d l orml. L 90º I udo llg l suprfici d sprció u ryo tl como l I, prt d su itsi s cutr l ryo rfljdo I, y prt l ryo rfrctdo I, qu s h sprdo d l orml. Si vmos umtdo l águlo d icidci, llg u momto qu l producto dl sgudo mimbro d [9] s igul l ui, cuyo cso l águlo 90º, lo qu sigific qu l ryo rfrctdo I s rst l suprfici d sprció d los dos mdios. El vlor corrspodit l águlo d icidci s domi águlo límit y qud dtrmido por l rlció s L [0] Si l águlo d icidci tom u vlor suprior l águlo límit, como l cso dl ryo I, tocs, sgú l rlció [9], s > lo qu idic qu o xist l ryo rfrctdo, y por tto, tod l itsi s cutr l ryo rfljdo I, por lo qu s domi st fómo rflxió totl, qu ti lugr, cudo l lu icid sobr l suprfici d sprció d dos mdios, psdo d u mdio más rfrigt otro mos rfrigt, co u águlo suprior l águlo límit Lámi d crs plo-prlls U combició scill d dioptrios plos s u lámi trsprt d crs plo-prlls d ídic. Supodrmos, l cso más grl, qu los mdios qu rod l lámi ti ídics d rfrcció, rspctivmt, y. Supogmos qu u ryo I icid, propgádos l mdio d ídic, sobr u d ls crs formdo u águlo co l orml dich cr. Est ryo s propg dtro d l lámi l dircció I I formdo u águlo co l orml I, tl qu

4 pítulo Rflxió y rfrcció suprficis pls otcto: I I pud clculr prtir dl triágulo I I : 4 d D I I sustituydo [7] y [8] [6], s obti d - s ltos Físic pr icis Igirí s s [] Por sr prlls ls crs d l lámi, l águlo d icidci l sgud cr s, y por cosiguit, l águlo formdo por l ryo rfrctdo I co l orml l puto I, cumpl co l rlció D ls cucios [] y [] s dduc s s [] s s [3] lo qu sigific qu l ryo mrgt I ti l mism dircció qu l corrspodrí si hubir psdo dirctmt dl primr mdio l último. E l cso prticulr d qu los mdios qu rod l lámi s idéticos, s dduc d [3] qu, y l ryo I s prllo l I, d mr qu l lámi produc u dsplmito ltrl d, qu s d I IIs( -) [4] Por otr prt, dl triágulo I DI II [5] cos Sustituydo [5] [4], y dsrrolldo l so d l difrci d ( s cos - cos s ) [6] cos y tido cut qu y qu s s [7] cos - s [8] cos ( s -s - cos s ) s ( - ) - s D l cució trior s dduc qu l dsvició d producid l ryo icidt dpd dl águlo d icidci, y por tto, u lámi plo-prll o s u sistm stigmático, slvo cudo s cosidr ryos próximos l orml. E ss codicios, si prt d u puto lumioso dos ryos, uo O O I l dircció d l orml l lámi, y otro u dircció I muy próxim l trior, l ryo rfrctdo l primr cr I I d lugr l img virtul tl qu, sgú l rlció [8], s [9] O I O $ O [0] y l prologció dl ryo mrgt I produc l img fil, tl qu, sgú [8], s O ' O ' ' [] Por otr prt, d l figur s dduc qu O ' OO ' + O + O Sustituydo [] [], $ O O ' ' + + O [3] []

5 ltos Físic pr icis Igirí otcto: pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció sobr suprficis pls 5 D l figur s dduc, tido cut [3], qu l obsrvr u puto lumioso, tl como l, dircció orml u lámi d crs plo-prlls s produc u proximció prt dl mismo cuyo vlor s d ' O ' O ' ' O ' O O ' O - - S + X [4] Est dsplmito o dpd d l posició dl objto, sio solmt dl spsor d l lámi y d su ídic d rfrcció Prism. Dsvició producid E óptic s d l ombr d prism l sistm costituido por dos dioptrios plos qu form u águlo. S trt, pus, d u mdio trsprt limitdo por dos crs pls o prlls. Ests dos crs s cort rl o virtulmt u rct domid rist dl prism. Vmos limitr l studio d l propgció d l lu l cso scillo qu l plo d icidci s orml l rist dl prism. E sts codicios los ryos o sl d dicho plo, domido scció pricipl dl prism. Supogmos qu s l scció pricipl d u prism d águlo ídic d rfrcció, y qu l mdio qu l rod ti u ídic <. U ryo como l, qu icid l puto I d l cr, D prt s rflj, y prt s rfrct l dircció dl ryo b, d I cumpliédos qu I b ' s s ' [5] E c No s h dibujdo l ryo rfljdo l cr pr vitr cofusios. El ryo b icid l puto I d l cr, rfrctádos filmt sgú l ryo c, cumpliédos qu omo s dduc d l figur, l prism dsví l ryo icidt, hciédol mrgr sgú l ryo rfrctdo c, producido u águlo d dsvició d, qu s pud clculr fácilmt prtir dl triágulo DI I. El águlo d, s u águlo xtrior dicho triágulo, y por tto s igul l sum d los dos águlos itriors o dycts DI I y DI I : su v, l triágulo EI I l águlo formdo por ls rcts I E I E, s igul l águlo dl prism, por sr ormls rspctivmt ls crs y, y s, simismo, u águlo xtrior dicho triágulo, por tto, Sustituydo [7] [6], Míim dsvició d ( - ' ) + ( ' - ) + ' - ( ' + ) [7] ' + [8] d + ' - [9] D l rlció [8] s dduc qu l dsvició producid por u prism dpd dl águlo d icidci, dl ídic d rfrcció, por mdio dl águlo, y dl águlo dl prism. E rli, pr u ryo d lu moocromátic ti spcil itrés lir cómo vrí l águlo d dsvició l vrir l águlo d icidci. Por tto, vmos clculr l drivd d d rspcto dl águlo d icidci, prtir d l rlció [8]: ' + [30] Drivdo los dos mimbros d rlció [6] rspcto d, Dspjdo s ' s ' [6] ' cos ' cos ' d [3] ' d [3], ' cos d [3] ' cos '

6 6 pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció suprficis pls otcto: ltos@tlfoic.t ltos Físic pr icis Igirí y sustituydo [30] Por otr prt, drivdo los dos mimbros d [8] rspcto d, tido cut qu s costt, Sustituydo [34] [33], Si l dsvició d h d sr míim, l drivd [38] db sr ul, por tto, cos + [33] ' cos ' ' - [34] cos ' - [35] ' cos ' L drivd dl sgudo mimbro d [35] s pud clculr drivdo los dos mimbros d [5] rspcto d : d dod, dspjdo ', Sustituydo [37] [35], y simplificdo, ' cos ' cos ' [36] cos ' cos cos cos ' - cos ' - [38] cos ' cos ' cos ' cos cos ' [39] cos ' cos y tido cut ls rlcios [5] y [6], podmos dspjr s y s pr sustituir cos y cos l rlció [39]: cos cos ' ' ' [40] s s - - ' Efctudo oprcios y simplificdo, qud cos cos ' - ' s - ' s ' y tido cut qu y so mors d 90º, s dduc d l rlció trior qu db sr csrimt ' [4] y d [8] s dduc qu ' [43] E coclusió, l dsvició míim d u ryo s produc cudo l tryctori dl ryo lumioso s simétric rspcto dl plo bisctor dl prism. E rli, ls codicios [40] y [4], pr ls qu s ul l primr drivd d d rspcto d, so tto codicios d míimo como d máximo. Pr vrigur si dichs codicios corrspod u míimo s csrio clculr l sgud drivd d d rspcto d, y comprobr qu su sigo s positivo. D l rlció [30] s obti ' d d cos [37] ' cos ' [4] d ' [44] y sustituydo ls drivds qu prc l cálculo, por ls rlcios obtids lo lrgo dl dsrrollo trior, s llg trs u lborioso procso, qu s omit por su xcsiv xtsió, l coclusió d qu pr los vlors [4] y [43] l drivd sgud por [44] s positiv lo qu cofirm qu pr u águlo d icidci qu cumpl ls codicios [4] y [43], l águlo d dsvició s míimo y qu, sgú [9], [4] y [43], s

7 ltos Físic pr icis Igirí otcto: pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció suprficis pls dmí mí - 7 [45] d dod s dduc qu l vlor dl águlo d icidci s + dmí [46] mí y tido cut ls rlcios [8], [4] y [43] s pud clculr l ídic d rfrcció, u v coocido l águlo d dsvició míim, prtir d + d s mí [47] s